高三数学直线的方程
苏教版高三数学复习课件8.1 直线的方程
时，k也是关于α的单调函数，当α在此区间内由
增大到π(α≠π)时，
k由－∞趋近于0(k≠0)，当然解决此类问题时，也可采用数形结合思想，
借助图形直观地作出判断．
1．直线的斜率与倾斜角 (1)直线的斜率
已知两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1≠x2，那么直线PQ的斜率
k＝
不存在
2．由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在
具体求
直线方程时，由于所给的条件和采用的直线形式所限，可能会产
【知识拓展】
求直线的斜率及倾斜角的范围
(1)斜率k是一个实数，每条直线都存在唯一的倾斜角，但并不是每条
直线都
(2)在分析直线的倾斜角和斜率的关系时，要根据正切函数k＝tan α是单 存在斜率．倾斜角为90°的直线无斜率． 调函数，当α∈ 由0增大到 时，k由0增大到＋∞；当α∈
＝
(x1≠x2 )。
(2)直线的倾斜角 ． 斜率
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕 着
逆时针
交点按 的倾斜角．
方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线
0°
2．直线方程的五种形式
名称 点斜式 斜截式 两点式 方 程 y－y0＝k(x－x0) y＝kx＋b 适用范围 不含直线x＝x0 不含垂直于x轴的直线 不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)
单调函数，因此当k的取值连续时，直线倾斜角的取值范围有时却是断
开的，如本题就是．
【答题模板】
解：由题意，得直线2xsin α＋2y－5＝0的斜率为k＝－sin α.
又－1≤sin α≤1，
高三数学平面解析几何部分 直线的方程知识精讲 人教实验版B
高三数学平面解析几何部分直线的方程知识精讲一. 本周教学内容：平面解析几何部分：直线的方程二. 教学目的：掌握直线方程的几种形式及其相关应用三. 教学重点、难点： 重点：（1）直线的斜率与倾斜角；（2）直线方程的几种形式及求法；（3）两直线的位置关系；（4）点到直线的距离；（5）有关对称问题． 难点：（1）注意斜率与倾斜角的区别：每条直线都有倾斜角，其X 围是0°≤θ<180°，但并不是每条直线都有斜率．（2）直线方程的五种形式之间要熟练转化，在使用直线方程时，要注意方程表示直线的“局限性”．（3）判断两条直线平行或垂直时，不要忘记考虑两条直线中有一条或两条直线均无斜率的情形．（4）在运用公式=d 求平行直线间的距离时，一定要把,x y 项的系数化成相等．（5）中点坐标公式和两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具，解析几何中的中心对称和轴对称问题最终都归结为关于点的对称问题加以解决．四. 知识分析： 【知识梳理】1. 直线的斜率与倾斜角（1）已知两点1122(,),(,)P x y Q x y ，如果12≠x x ，那么直线PQ 的斜率为2121-=-y y k x x 。
（2）在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的角度，称为这条直线的倾斜角，由定义可知倾斜角的取值X 围是[)0,π。
2. 两条直线平行或垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//⇔=l l k k 。
（2）两条直线垂直如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即12121⊥⇔⋅=-l l k k 。
3. 直线的点斜式方程如果直线l 经过点000(,)P x y ，且斜率为k ，则把方程00()-=-y y k x x 叫做直线的点斜式方程。
高三数学直线的方程
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（3）灵活地设直线方程各形式，求解直线 方程； ⑷ 直线方程的五种形式之间的熟练转化。
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了人世间最可宝贵的真挚的爱情。在爱情与财富的矛盾中他们为了前者牺牲了后者。 也许当时贪婪的资本家会对之嗤之以鼻，也许会冷笑一声：“真是天底下最蠢的两人！”但在那混沌的时代中,欧·亨利是清醒的。在文章的最后，他做出了精辟的论断：“无论在任何地方，他们都是最聪明 的人。”是的，经过时间的考验，人们发现其中闪烁的人性的光辉是永恒的。 巴尔扎克曾经说过：“金钱搅在爱情一块儿， 不是太丑恶了吗？”于是他创作了一部悲剧《欧也尼?葛朗台》。小说中葛朗台这样的人，表面上是金钱的主人，其实是金钱的奴隶．可怜的女儿守着他的巨额财产， 却既无家庭也无幸福，只能成为一帮利欲熏心之徒追捕围猎的对象！这样的结局发人深思，金钱固然给人带来权势，却不能给人带来幸福。至少，在人类的感情领域，金钱是无能为力的。 罗兰说：“爱是生命的火焰, 没有它, 一切变成黑夜。”而中国五千年的历史长河则有力的明了爱对于 人民，国家的未来，都有着深刻的影响。处于封建时期的中国，社会腐败，宦官作乱，赋役繁重，百姓痛苦不堪。“肥男有母送，瘦男独伶俜。白水暮东流，青山犹哭声”，“眼枯即见骨，天地终无情！”这是杜甫《新安吏》中的诗句，揭露统治集团不顾人民死活，又旗帜鲜明地肯定平叛战 争，甚至对应征者加以劝慰和鼓励，也就不难理解了。因为当时的人民虽然怨恨唐王朝，但终究咬紧牙关，含着眼泪，走上前线支持了平叛战争。其中一方面体现了统治阶级的冷酷，这是王朝走向灭亡的根本原因；另一方面也体现出百姓对祖国的热爱，因为爱，所以蹈死不顾，所以在人民的 拥护下中国共产党走上了历史的舞台；因为爱，所以共产党和人民携手创造出了富强的中国。 在当今的社会，我们更能感受到爱的温暖。永远也忘不了那震撼世界的七日，5月12日四川的大地被撕开了一条口子，巨龙顿时感到一阵撕心裂肺的痛。几十万的生命被废墟中的黑暗所包围，死神慢 慢逼近。但越是在危难的时刻，爱的力量越能创造出奇迹。抗震救灾，众志成城，人民子弟兵火速奔往灾区，不图回报，却冒着生命危险挖废墟,抬伤员,直到虚脱也不愿休息。“子弟兵，当你的双手血肉模糊，小腿上钢筋的划伤10厘米长，饥渴交加的你呵，却把绷带让给了别人，还把自己的 口粮塞在了群众的手上”。年迈的温家宝总理亲赴重灾区，含着泪起誓：“只要有一丝的希望，就尽百倍的努力！”有人不禁歌颂：“吃的是榨菜馒头。住的是野用帐房。你那挂满焦虑的斑白的双鬓，你那刻满悲痛的清瘦的脸庞，你的足迹遍布了灾区的每个角落，你给救援者增添了无穷的力 量，你让灾民们沐浴了关爱的阳光。” 家园正在重建，四川的同胞们请不要消沉，因为有爱，中国人的心紧紧的连在一起，你并不孤单；因为有爱，我们就有光明的未来！ 朋友，当你感到孤独时，当你感到彷徨时，当你感到悲哀时，不妨读一读欧·亨利的《麦琪的礼物》，让爱的甘露滋润 我们干涸的心田，让心胸变得宽广，让意志变得坚强，让灵魂得以飞扬! 红楼魅影——读《红楼梦》 霁月难逢，彩云易散。 心比天高，身为下贱。 风流灵巧招人怨。 寿夭多因诽谤生，多情公子空牵念。 ——曹雪芹 她，是红楼梦金陵十二钗又副册之首，只因生的灵巧，艳丽，被王夫人认 做是勾引宝玉的“狐狸精”；她，是同袭人拥有同样地位的大丫头，却从没有利用自己的职权瞒上压下，反倒对小丫鬟坠儿的偷窃行为痛斥不已的正直人；她，是枉死后化作芙蓉花妖，在月朗风情的夜晚独自黯然神伤；她，是漂浮在浩然天地间唯一一缕集悲戚与幸福于一身的孤魂…… 如果 说黛玉是一株荷，品质高洁，“质本洁来还洁去，强于污淖陷渠沟。”就是她最好的写照，平生不愿多问世事，只愿和宝玉厮守一生，可以冷眼相对天下人，唯独对宝玉羞涩不已。这样的女子，外表刚强，内心却柔软，心思细腻，太过容易受伤，最终落得个“玉带林中挂，金簪雪里埋”的悲 惨下场。 如果说宝钗是一朵牡丹，艳丽无比，浑圆丰满的臂膀，雪白的肌肤曾令宝玉心动一刹那。心思圆满，虽年龄不大，却已经能在凤姐生病时将大观园管理的井井有条。无论什么时候都带笑的眼睛，“不关己事不开口，一问摇头三不知。”的处事态度，比黛玉更易相处的性格，无一不 昭示，这绝对是个大家闺秀。只可惜，完美的她并没有一个完美的爱情，对宝玉来说，宝姐姐的份量永远没有林妹妹的重。 而她，她到底是谁？她只是朵小小的芙蓉。到现在为止，都没人知道她的真实姓名，大家都只叫她“晴雯”。 晴雯是美的，美的不可方物，是大观园内最美丽的女子， 我想，她也是曹雪芹先生最爱的女子吧。因为是他赋予她最美丽的外貌，最刚烈的性格，最纯洁的心灵，最悲戚的离去……“晴雯之死”刚刚写完，曹雪芹先生也不久驾鹤西归。这样浪漫的色彩让我不禁对这个女子多了一分好奇，到底是怎样的女子？她的离去竟成了宝玉心中永远的痛。 晴 雯死了，宝玉的贴身丫鬟晴雯，曾经病中勇补雀金裘，让人感叹于她灵巧的双手和坚毅的性格。在抄捡大观园时，袭人麝月之流都只站在一旁，任人宰割，独有她是“挽着头发，冲进来”将东西稀里哗啦的倒了一地，义正严词的斥责为虎作伥的王善宝家之辈，场面之惊心痛快，读起来酣畅淋 漓。也只有她是敢于作斗争的叛逆的代表，反叛封建社会的强人。 “北方有佳人，绝世而独立。一顾倾人城，再顾倾人国。”晴雯的美艳和她太过刚烈的性格终于带给她悲剧的收场。在听了袭人的“进谏”后，王夫人决定清洗宝玉身边的丫鬟，只要看着不顺眼，统统赶出去，晴雯这样的 “狐狸精”当然不能放过，于是，染病的晴雯只能像飘落的枯叶一般死在冰冷的角落里。人生是一场戏，虽然悲戚的落幕，但她曾经绝对是最闪亮的一角。作为一首歌中的最强音，她的死有力的叩击着读者的心，无数人为她而扼腕叹息。 封建主义的社会是一口深潭，埋没了多少有志正直的 人，溺死了多少身份卑微的人。晴雯这样呆在宝玉身边却无名无分，只身同封建社会斗争，需要多大的勇气？我们却全然看不出她身为女子懦弱的一面。 夜晚，耀眼璀璨的流星滑过天际，因为曾经的轰轰烈烈，在墨蓝的天幕上，她，一定是最闪亮那颗。 红尘劫?，胭脂泪——读黛玉有感 涉 一池红尘的秋水，焚一柱虔诚的心愿。中国千年的文化燃作一缕永恒的思念。在漫漫书山中，你款款微笑，颦颦走来。一路花开。 你是中国文坛最悲怆的美丽，回眸笑，众芳谢。 当天边那朵绯红的云霞还在无法抑制地哭泣，我看见了你——你是一幅美到心碎的风景。舞的云轻轻的，抚平刺 骨的记忆，吹醒铭心的哀伤。你这泪水做成的女子，曾几何时，你额前的碎发，被飘的风那般温柔的抚起；曾几何时，你涟涟的泪滴，将安睡的雀儿惊醒。在美丽面前，你把灵魂幻化成冰，你是一幅清幽的古画，散发着中国千年清雅的墨香。你以一种不变的忧愁的姿态，从那个封建落魄的时 代，款款而来。 你是中国文坛最令人心痛的美丽，回眸笑，众芳谢。 那湘妃泪滴成的竹子，在你怀怨逝去的那一刻，伴着天边泣血的残阳，随着满地的寂寥一同叹息。天空浑浊不清，照不见云朵的倒影。我试着找寻你或怒或笑的身影。而那潇湘馆镂花的闺室古窗旁，早已没有你。你是中国 文坛最绝版的美丽。还记得你手绢题诗病由心生，自羡压倒桃花；还记得你挥洒文才院中观菊，一举秋心夺冠。恍若镜中锁眉，你泪眼相思的瘦影仍在；恍若抹泪焚诗，你绝决至此的心痛犹存。可一切恍若，却已是隔世。缘已尽，你如同那霞光，逸然的飘散。 你散作一曲铭心的凄凉。而我 在你绝然离去之时，藏匿于你身后昏黄的天际中，泪流满面。 在命运面前，你选择了最不可挽回的方式，为生命演绎不可磨灭的绝美。在命运面前，你用一种抗拒的姿态，在让你身心俱疾的大观园，不可挽回的陨落。花谢花飞，美不过你凄凄以诗伴泪；红销香断，断不去你切切柔肠百转。 你离世时痛入脾肺的呼喊憾疼人心，那一刻琴瑟不调，锈针也断，伊人不再。从此寂寞常驻寂寞林，那满眼荣华淘尽的凄凉，是你选择的凄美。 想起你，总是想起李煜的诗：林花谢了春红，太匆匆。无奈朝来寒雨晚来风。 胭脂泪，相流醉。几时重？自是人生常恨水常东。 你是永恒的存在， 你是不变的伤感。你幻灭化作香魂一缕，眺望着本不属于你的人间，双眉微锁，眼红如杏，看世人为你洒泪。你用不完美，却谱写只有你才能拥有的绝美，而我为你沉醉。 我在冷风中回味你特有的哀愁。猎猎寒风，冷彻心扉。是否会有人如我这般，在你回眸之时，将你一生的坎坷和心痛， 化作如风般冰冷的文字，在秋风中呜咽着铭记？ 你美的憔悴，美的痴迷，“今侬葬花人笑痴，明朝葬侬知是谁？”“一朝春尽红颜老，花落人亡两不知！” 你注定是最绝版的美丽，你的旋律注定要谱写一世的悲伤。而我，为你驻足之时，以你为镜，又以你为鉴。你的聪慧细腻成就了你，而 你的悲观多疑却毁了你。在我前进的路上，我愿背负你生命的重量，把欢笑演绎成我自己的铿锵。而剩下的忧愁，由我替你回味珍藏。 雾霭之中，我看见《红楼梦》金色的扉页徐徐展开，你将富有诗情的文字和泪，凝成一朵朵高贵而风雅的木槿花，以芳香馥我。而你带着你兀自的忧伤，颦 颦走来，款款微笑。 一路花开。 一轮新月自在怀——读《新月集》 在那片荒地边缘的村落里，甘蔗园隐匿在香蕉树和瘦长的槟榔树的深绿色阴影里，那是他的家，心之子的灵魂家园。 就在那神秘得似乎连时间也不曾流逝的无垠的土地上，一个博大而温柔的灵魂在20世纪阴霾的天空下踌躇 前行，那就是泰戈尔，绣口一吐就化作半轮新月的伟大诗人——泰戈尔。 读泰戈尔的《新月集》，仿佛在一种超逸的纯粹的仙境中徜徉，不可侵凌，无法逾越。我醉心于《海边》的辽阔与广袤，沉迷于《起源》中若有似无的露珠的微笑，留恋于《被忽略的盛会》中的梦之精灵，思慕于《英 雄》中崎岖的小径，更是仰于整本《新月集》的莹澈与磅礴。它饱含着满腔的深情，用如三月春风般的语丝唤醒了生活在茫然与黑暗中的人性;它歌唱着嘹亮的新歌，用如来自圣地般的甘露，滋润了干渴枯涸的心灵。虔诚的人们如朝圣般翻开它，便立即如得到两只有魔术的翅膀，使自己从现 实的苦闷境地里飞翔到美静天真的儿童国里。 我以为，一人需守三本《新月集》，一本在手上，用于与人交流；一本在脑内，用于思索品味；一本在心中，用于升华心灵。常读常新的《新月集》，已经渐渐内化到我的生命中，我开始学着回忆，
高三数学 专题9.1 直线的方程(讲+练)(原卷版+解析版)
专题9.1 直线的方程1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.知识点一 直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角，当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0，π)． 知识点二 直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k ＝tan θ.(2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1 .知识点三 直线方程的五种形式考点一 直线的倾斜角与斜率【典例1】（山西平遥中学2019届模拟）(1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π6，π3B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围是__________．【答案】 (1)B (2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)【解析】(1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3. (2)如图，因为k AP ＝1－02－1＝1， k BP ＝3－00－1＝－3， 所以k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．【方法技巧】直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此求倾斜角或斜率的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2和⎝⎛⎭⎫π2，π三种情况讨论．当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．【变式1】（湖南浏阳一中2019届模拟）直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，πC.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π【答案】B【解析】因为a 2＋1≠0，所以直线的斜截式方程为y ＝－1a 2＋1x －1a 2＋1，所以斜率k ＝－1a 2＋1，即tan α＝－1a 2＋1，所以－1≤tan α<0，解得3π4≤α<π，即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π.故选B. 考点二 直线方程的求法【典例2】（ 北京师范大学实验中学2019届模拟）根据所给条件求直线的方程． (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.【解析】(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)，从而cos α＝±31010， 则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1.又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0；当斜率存在时，设斜率为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点到直线的距离公式得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. 【方法技巧】求直线方程的两种方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程．(2)待定系数法：设出所求直线方程的某种形式，由条件建立所求参数的方程(组)，解这个方程(组)求出参数，再把参数的值代入所设直线方程即可．【变式2】（河北正定中学2019届模拟）过点P (3，1)，且比直线l ：x ＋3y －1＝0的倾斜角小30°的直线方程为__________．【答案】 3x ＋y －4＝0【解析】直线l ：x ＋3y －1＝0的斜率为－33，所以其倾斜角为150°，则所求直线的倾斜角为120°，因此所求直线的斜率k ＝－ 3.又直线过点P (3，1)，所以所求直线的方程为y －1＝－3(x －3)，即3x＋y －4＝0.考点三 直线方程的综合应用【典例3】（ 辽宁阜新实验中学2019届模拟）(1)已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．(2)已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．【解析】(1)由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，当a ＝12时，面积最小．故当四边形的面积最小时，实数a 的值为12.(2)依题意知直线l 的斜率k 存在且k <0， 则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)， 可得A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )， 所以S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎡⎦⎤12＋－9k ＋4－k ≥ 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2－9k4－k ＝12×(12＋12) ＝12， 当且仅当－9k ＝4－k，即k ＝－23时，等号成立．故△ABO 的面积的最小值为12， 此时直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0. 【方法技巧】(1)含有参数的直线方程可看作是直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题时，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．【变式3】（吉林长春市实验中学2019届模拟）当k ＞0时，两直线kx －y ＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形面积的最大值为__________．【答案】24【解析】因为2x ＋ky －2＝0与x 轴交于点(1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝0，2x ＋ky －2＝0，解得y ＝2kk 2＋2，所以两直线kx －y＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形面积为12×1×2k k 2＋2＝1k ＋2k≤122，故三角形面积的最大值为24.考点四 综合考查【典例4】（黑龙江哈尔滨市第六中学2019届质检）若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝55，则l 的斜率为( )A ．－12 B.－12或－2 C.12或2D ．－2【答案】D【解析】∵sin θ＋cos θ＝55，① ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝15，∴2sin θ cos θ＝－45，∴(sin θ－cos θ)2＝95，易知sin θ＞0，cos θ＜0， ∴sin θ－cos θ＝355，②由①②解得⎩⎨⎧sin θ＝255，cos θ＝－55，∴tan θ＝－2，即l 的斜率为－2.【变式4】（江苏扬州中学2019届模拟）已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．【解析】(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1， 则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k ≥0，故k 的取值范围是[)0，＋∞.(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2kk ＜0且1＋2k ＞0，∴k ＞0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.专题9.1 直线的方程1．（江苏省无锡一中2019届期中）直线l 的方程为3x ＋3y －1＝0，则直线l 的倾斜角为( ) A ．150° B ．120° C ．60°D ．30°2．（河南省鹤壁一中2019届期末）若函数y 1＝sin 2x 1－32⎝⎛⎭⎫x 1∈⎣⎡⎦⎤0，π2，函数y 2＝x 2＋3，则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为( )A.2π12B.＋272C.＋212D.－33＋152723．（山西省晋城一中2019届质检）如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 24．（湖北省黄石一中2019届月考）若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(－1,2) D ．(－1，－2)5．(陕西师大附中2019届月考)如果AB ＞0，且BC ＜0，则直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．（黑龙江省牡丹江一中2019届期中）设点 A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段 AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，－52∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－43，52 C.⎣⎡⎦⎤－52，43D.⎝⎛⎦⎤－∞，－43∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞7．（ 浙江省舟山一中2019届期末）直线l 过原点且平分▱ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为B (1,4)，D (5,0)，则直线l 的方程为________．8．（湖北省鄂州一中2019届期中）过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．9．（江西省南昌二中2019届期末）若 ab >0，且 A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．10．（河北衡水中学2019届期中）已知点A (3,4)，分别求出满足下列条件的直线方程． (1)经过点A 且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．11．（江西省鹰潭一中2019届模拟）在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )12．（广东惠州一中2019届质检）直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎫－1，12 C ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞ D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 13．（安徽省亳州一中2019届模拟）在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0 B.3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝014．（广西省来宾一中2019届模拟）若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B.(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)15．（山东省滨州一中2019届质检）已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π416．（四川省德阳一中2019届模拟）设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )(点P 与点A ，B 不重合)，则△P AB 的面积最大值是( )A ．2 5B ．5 C.52D. 5 17．（陕西省渭南一中2019届模拟）已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为__________________．18. （广东省云浮一中2019届模拟）如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，则直线AB 的方程为____________________________．19．（ 甘肃省兰州一中2019届调研）已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.20．（四川省雅安一中2019届模拟）已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 所在直线的方程．1.（2019·浙江高三学业考试）直线y -26x =+的斜率为( )A.2B.-2C.12 D.12- 2．（2019·浙江高三学业考试）直线210x y +-=经过点（ ）A.（1，0）B.（0，1）C.11,22⎛⎫⎪⎝⎭D.11,2⎛⎫⎪⎝⎭专题9.1 直线的方程1．（江苏省无锡一中2019届期中）直线l 的方程为3x ＋3y －1＝0，则直线l 的倾斜角为( ) A ．150° B ．120° C ．60°D ．30°【答案】A【解析】由直线l 的方程为3x ＋3y －1＝0可得直线l 的斜率为k ＝－33，设直线l 的倾斜角为α(0°≤α<180°)，则tan α＝－33，所以α＝150°.故选A. 2．（河南省鹤壁一中2019届期末）若函数y 1＝sin 2x 1－32⎝⎛⎭⎫x 1∈⎣⎡⎦⎤0，π2，函数y 2＝x 2＋3，则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为( )A.2π12B.＋272C.＋212D.－33＋272【答案】B【解析】设z ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2，则z 的几何意义是两条曲线上动点之间的距离的平方．因为y 1＝sin 2x 1－32⎝⎛⎭⎫x 1∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以y 1′＝2cos 2x 1.因为函数y 2＝x 2＋3的斜率为1，所以令y 1′＝2cos 2x 1＝1，解得x 1＝π6，则y 1＝0，即函数在⎝⎛⎭⎫π6，0处的切线和直线y 2＝x 2＋3平行，则最短距离为d ＝⎪⎪⎪⎪π6＋32.所以(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎪π6＋322＝＋272.故选B.3．（山西省晋城一中2019届质检）如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2【答案】D【解析】直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2.故选D.4．（湖北省黄石一中2019届月考）若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( )A ．(1，－2)B ．(1,2)C ．(－1,2)D ．(－1，－2)【答案】A【解析】因为k ，－1，b 三个数成等差数列，所以k ＋b ＝－2，即b ＝－2－k ，于是直线方程化为y ＝kx －k －2，即y ＋2＝k (x －1)，故直线必过定点(1，－2)．5．(陕西师大附中2019届月考)如果AB ＞0，且BC ＜0，则直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率k ＝－A B ＜0，在y 轴上的截距为－C B＞0，所以直线不经过第三象限． 6．（黑龙江省牡丹江一中2019届期中）设点 A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段 AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，－52∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－43，52 C.⎣⎡⎦⎤－52，43 D.⎝⎛⎦⎤－∞，－43∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞ 【答案】B【解析】易知直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M (0，－2)，且斜率为－a .因为k MA ＝3－－－2－0＝－52， k MB ＝2－－3－0＝43， 由图可知－a ＞－52且－a ＜43，所以a ∈⎝⎛⎭⎫－43，52. 7．（ 浙江省舟山一中2019届期末）直线l 过原点且平分▱ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为B (1,4)，D (5,0)，则直线l 的方程为________．【答案】y ＝23x 【解析】直线l 平分平行四边形ABCD 的面积，则直线l 过BD 的中点(3,2)，则直线l ：y ＝23x . 8．（湖北省鄂州一中2019届期中）过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．【答案】y ＝－53x 或x －y ＋8＝0 【解析】当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ；当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y －a＝1，即x －y ＝a .代入点(－3,5)，得a ＝－8.即直线方程为x －y ＋8＝0.9．（江西省南昌二中2019届期末）若 ab >0，且 A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．【答案】16【解析】根据A (a,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b ＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab ＞0，故a ＜0，b ＜0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，可得ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时，等号成立．故ab 的最小值为16.10．（河北衡水中学2019届期中）已知点A (3,4)，分别求出满足下列条件的直线方程．(1)经过点A 且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．【解析】(1)设直线在x ，y 轴上的截距均为a .①若a ＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)，所以直线的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0. ②若a ≠0，设所求直线的方程为x a ＋y a ＝1.又点(3,4)在直线上，所以3a ＋4a＝1，所以a ＝7.所以直线的方程为x ＋y －7＝0.综合①②可知所求直线的方程为4x －3y ＝0或x ＋y －7＝0.(2)由题意可知所求直线的斜率为±1.又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)．故所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.11．（江西省鹰潭一中2019届模拟）在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )【答案】B【解析】由题意l 1：y ＝－ax －b ，l 2：y ＝－bx －a ，当a ＞0，b ＞0时，－a ＜0，－b ＜0.选项B 符合．12．（广东惠州一中2019届质检）直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎫－1，12C ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 【答案】D【解析】设直线l 的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k .令－3＜1－2k＜3，解不等式得k ＜－1或k ＞12. 13．（安徽省亳州一中2019届模拟）在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0 B.3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0【答案】C【解析】因为MO ＝MN ，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以k MN ＝－k MO ＝3，所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1)，即3x －y ＋6＝0，选C.14．（广西省来宾一中2019届模拟）若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2] B.(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)【答案】C【解析】令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，因为14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]． 15．（山东省滨州一中2019届质检）已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π4【答案】D【解析】由f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x 知，函数f (x )的图象关于x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，所以－b ＝a ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为k ＝a b ＝－1，又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，所以该直线的倾斜角为3π4，故选D.16．（四川省德阳一中2019届模拟）设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx－y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )(点P 与点A ，B 不重合)，则△P AB 的面积最大值是( )A ．2 5B ．5C.52D. 5 【答案】C【解析】由题意可知动直线x ＋my ＝0过定点A (0,0)．动直线mx －y －m ＋3＝0⇒m (x －1)＋3－y ＝0，因此直线过定点B (1,3)．当m ＝0时，两条直线分别为x ＝0，y ＝3，交点P (0,3)，S △P AB ＝12×1×3＝32.当m ≠0时，两条直线的斜率分别为－1m ，m ，则－1m·m ＝－1，因此两条直线相互垂直．当|P A |＝|PB |时，△P AB 的面积取得最大值．由2|P A |＝|AB |＝12＋32＝10，解得|P A |＝ 5.所以S △P AB ＝12|P A |2＝52.综上可得，△P AB 的面积最大值是52. 17．（陕西省渭南一中2019届模拟）已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为__________________．【答案】4x －3y －4＝0【解析】由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12， 所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， 所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)， 即4x －3y －4＝0.18. （广东省云浮一中2019届模拟）如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，则直线AB 的方程为____________________________．【答案】(3＋3)x －2y －3－3＝0【解析】由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2， 由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得 ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32， 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)， 即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.19．（ 甘肃省兰州一中2019届调研）已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16. 【解析】(1)由题意知，直线l 存在斜率．设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k ＋4， 由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83. 故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.20．（四川省雅安一中2019届模拟）已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程；(3)BC 边的垂直平分线DE 所在直线的方程．【解析】(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2， 即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2. BC 边的中线AD 经过A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线的方程为x －3＋y 2＝1， 即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12， 则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.1.（2019·浙江高三学业考试）直线y -26x =+的斜率为( )A.2B.-2C.12D.12- 【答案】B【解析】由26y x =-+可知斜率2k =-，本题选B 。
直线的方程课件-2025届高三数学一轮复习
3
2
.
[易错题]已知点 A (3，4)，则经过点 A 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为
4 x －3 y ＝0或 x ＋ y －7＝0
.
[解析] 设直线在 x 轴、 y 轴上的截距均为 a .(讨论截距是否为0)
①若 a ＝0，即直线过点(0，0)及(3，4)，
2025届高考数学一轮复习讲义
平面解析几何之 直线的方程
一、知识点讲解及规律方法结论总结
1. 直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角
直线的斜率
(1)定义式：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做
定义：当直线l与x轴相交时，
这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，
我们以x轴为基准，x轴正向
π
k＝tan
α
即③
(α≠
D. 8
5−1
＝－2，则线段 lAB ： y －1＝－2( x －4)， x ∈[2，4]，即
2−4
y ＝－2 x ＋9， x ∈[2，4]，故2 x － y ＝2 x －(－2 x ＋9)＝4 x －9， x ∈[2，4].设 h ( x )
1
1
1
1
差为0.1的等差数列，且直线 OA 的斜率为0.725，则 k 3＝(
图1
A. 0.75
B. 0.8
D )
图2
C. 0.85
D. 0.9
[解析] 如图，连接 OA ，延长 AA 1与 x 轴交于点 A 2，则 OA 2＝4 OD 1.因为 k 1， k 2，
2
k 3成公差为0.1的等差数列，所以 k 1＝ k 3－0.2， k 2＝ k 3－0.1，所以tan∠ AOA 2＝
高三数学一轮复习直线方程
解析 由题意可得 kOA＝tan 45°＝1， 3 kOB＝tan(180°－30°)＝－ ， 3 3 所以直线 lOA：y＝x，lOB：y＝－ x. 3 设 A(m，m)，B(－ 3n，n)， 所以 AB 的中点
m－ C 2
3n m＋n ， ， 2
1 由点 C 在直线 y＝ x 上，且 A，P，B 三点共线得 2 m－ 3n m＋n＝1· ， 2 2 2 解得 m＝ 3，所以 A( 3， 3)． m－0＝ n－0 ， m－1 － 3n－1 3＋ 3 3 又 P(1，0)，所以 kAB＝kAP＝ ＝ ， 2 3－1 3＋ 3 所以 lAB：y＝ (x－1)， 2 即直线 AB 的方程为(3＋ 3)x－2y－3－ 3＝0.
(2)(2014· 贵州贵阳一模)设直线 l 的方程为 x＋ycos θ ＋3＝0 (θ∈R)，则直线 l 的倾斜角 α 的取值范围是 ( A．[0，π )
π 3π C. 4， 4 π B. 4 π D. 4
)
π ， 2
π 3π π ， ∪ ， 2 4 4
1 ∴S△AOB＝ ab≥4. 2 2 1 1 当且仅当 ＝ ＝ ， a b 2 即 a＝4，b＝2 时，S△AOB 取最小值 4， x y 此时直线 l 的方程为 ＋ ＝1， 4 2 即 x＋2y－4＝0.
解法二：设直线 l 的方程为 y－1＝k(x－2)(k＜0)， 则 l 与 x 轴、y 轴正半轴分别交于 1 1 S△AOB＝ ×2－k ×(1－2k) 2
当且仅当 a－2＝1，b－1＝2，即 a＝3，b＝3 时， |PA|·|PB|取得最小值 4. 此时直线 l 的方程为 x＋y－3＝0. 解法二：|PA|· |PB|＝ ＝ 4 2 2＋4k ＋8≥4. k
高三数学直线方程试题答案及解析
高三数学直线方程试题答案及解析1.过点且斜率为的直线与抛物线相交于，两点，若为中点，则的值是．【答案】【解析】直线，设，，则由有B为AC中点，则，∴，则带入直线中，有，∴.【考点】直线方程、中点坐标公式.2.直线l经过点(3，0)，且与直线l′：x＋3y－2＝0垂直，则l的方程是______________．【答案】3x－y－9＝0【解析】直线l′：x＋3y－2＝0的斜率为k′＝－，由题意，得k′k＝k＝－1，则k＝3.所以l 的方程为y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0.3.求经过点A(2，m)和B(n，3)的直线方程．【答案】当n≠2时，y－m＝(x－2)，当n＝2时x＝2.【解析】(解法1)利用直线的两点式方程．直线过点A(2，m)和B(n，3)．①当m＝3时，点A的坐标是A(2，3)，与点B(n，3)的纵坐标相等，则直线AB的方程是y＝3.②当n＝2时，点B的坐标是B(2，3)，与点A(2，m)的横坐标相等，则直线AB的方程是x＝2.③当m≠3，n≠2时，由直线的两点式方程得.(解法2)利用直线的点斜式方程．①当n＝2时，点A、B的横坐标相同，直线AB垂直于x轴，则直线AB的方程为x＝2.②当n≠2时，过点A，B的直线的斜率是k＝.又∵过点A(2，m)，∴由直线的点斜式方程y－y1＝k(x－x1)，得过点A，B的直线的方程是y－m＝(x－2)．4.直线l经过点(3，2)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．【答案】2x－3y＝0或x＋y－5＝0.【解析】解法1：(借助点斜式求解)由于直线l在两轴上有截距，因此直线不与x、y轴垂直，斜率存在，且k≠0.设直线方程为y－2＝k(x－3)，令x＝0，则y＝－3k＋2；令y＝0，则x＝3－.由题设可得－3k＋2＝3－，解得k＝－1或k＝.故l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)．即直线l的方程为x＋y－5＝0或2x－3y＝0.解法2：(利用截距式求解)由题设，设直线l在x、y轴的截距均为a.若a＝0，则l过点(0，0)．又过点(3，2)，∴l的方程为y＝x，即l：2x－3y＝0.若a≠0，则设l为＝1.由l过点(3，2)，知＝1，故a＝5.∴l的方程为x＋y－5＝0.综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.5. 已知直线l ：＋4－3m ＝0.(1)求证：不论m 为何实数，直线l 恒过一定点M ；(2)过定点M 作一条直线l 1，使夹在两坐标轴之间的线段被M 点平分，求直线l 1的方程． 【答案】（1）见解析（2）2x ＋y ＋4＝0 【解析】(1)证明：∵m ＋2x ＋y ＋4＝0， ∴由题意得∴直线l 恒过定点M.(2)解：设所求直线l 1的方程为y ＋2＝k(x ＋1)，直线l 1与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，则A，B(0，k －2)．∵AB 的中点为M ，∴解得k ＝－2.∴所求直线l 1的方程为2x ＋y ＋4＝0.，6. 已知直线的点斜式方程为y －1＝－ (x －2)，则该直线另外三种特殊形式的方程为______________，______________，______________． 【答案】y ＝－x ＋，，【解析】将y －1＝－ (x －2)移项、展开括号后合并，即得斜截式方程y ＝－x ＋. 因为点(2，1)、均满足方程y －1＝－ (x －2)，故它们为直线上的两点．由两点式方程得，即.由y ＝－x ＋知，直线在y 轴上的截距b ＝，又令y ＝0，得x ＝.故直线的截距式方程为7. 将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为________________________________________________________________________． 【答案】y ＝－x ＋【解析】将直线y ＝3x 绕原点逆时针旋转90°得到直线y ＝－x ，再向右平移1个单位，所得到的直线方程为y ＝－ (x －1)，即y ＝－x ＋.8. 直线ax ＋y ＋1＝0与连结A(2，3)、B(－3，2)的线段相交，则a 的取值范围是________． 【答案】(－∞，－2]∪[1，＋∞)【解析】直线ax ＋y ＋1＝0过定点C(0，－1)，当直线处在AC 与BC 之间时，必与线段AB 相交，即应满足－a≥或－a≤，得a≤－2或a≥1.9. 点A (1,3)关于直线y ＝kx ＋b 对称的点是B (－2,1)，则直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是( ) A ．－B ．C ．－D ．【答案】D【解析】由题意知，解得k＝－，b＝，∴直线方程为y＝－x＋，其在x轴上的截距为.10.平面直角坐标系中直线y=2x+1关于点(1,1)对称的直线方程是()A．y=2x-1B．y=-2x+1C．y=-2x+3D．y=2x-3【答案】D【解析】在直线y=2x+1上任取两个点A(0,1),B(1,3),则点A关于点(1,1)对称的点为M(2,1),点B 关于点(1,1)对称的点为N(1,-1).由两点式求出对称直线MN的方程为=,即y=2x-3,故选D.11.过点A(2，3)且垂直于直线2x＋y－5＝0的直线方程为()A．x－2y＋4＝0B．2x＋y－7＝0C．x－2y＋3＝0D．x－2y＋5＝0【答案】A【解析】方法一，设所求直线方程为x－2y＋C＝0，将点A代入得2－6＋C＝0，所以C＝4，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0，选A.方法二，直线2x＋y－5＝0的斜率为－2，设所求直线的斜率为k，则k＝，代入点斜式方程得直线方程为y－3＝ (x－2)，整理得x－2y＋4＝0，选A.12.直线过点(－1,2)且在两坐标上的截距相等，则的方程是________．【答案】或【解析】当过原点时，设直线方程为：，又因为过点，则，∴直线方程为；当直线不过原点时，设直线方程为：，代点得，则直线方程为．【考点】直线的截距式方程．13.若直线与幂函数的图象相切于点，则直线的方程为 .【答案】【解析】幂函数的图象相切于点，则，解得，所以，则，故直线的方程为，化简得.【考点】1.直线的切线方程.14.已知两条直线，且，则=A．B．C．-3D．3【答案】C【解析】根据题意，由于两条直线，且，则可知3+a=0,a=-3，故可知答案为选C.【考点】两直线的垂直点评：根据两条直线垂直的充要条件，就是,这是解题的关键，属于基础题。
2025届高三数学专题复习：直线方程重难点专题(解析版)
直线的方程重难点专题常考结论及公式结论一：两直线平行与垂直的充要条件若l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2；①l 1∥l 2⇒k 1=k 2⇒≠b 2；②l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.若l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0，且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零.①l 1∥l 2⇒A 1A 2=B 1B 2≠C 1C 2；l 1与l 2重合⇒A 1A 2=B 1B 2=C1C 2；②l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0.结论二：到角公式和夹角公式(1)l 1到l 2的角公式①tan α=k 2-k 11+k 2k 1.(l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,k 1k 2≠-1)；②tan α=A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,A 1A 2+B 1B 2≠0)(2)夹角公式①tan α=k 2-k 11+k 1k 2.(l 1:y =k 1x +b 1,l 2:y =k 2x +b 2,k 1k 2≠-1)；②tan α=A 1B 2-A 2B 1A 1A 2+B 1B 2.(l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,A 1A 2+B 1B 2≠0)直线l 1⊥l 2时，直线l 1与l 2的夹角是π2.结论三：四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为y -y 0=k (x -x 0)(除直线x =x 0)，其中k 是待定的系数；经过定点P 0(x 0,y 0)的直线系方程为A (x -x 0)+B (y -y 0)=0，其中A 、B 是待定的系数.(2)共点直线系方程：经过两直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程为l 1:(A 1x +B 1y +C 1)+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(除l 2)，其中λ是待定的系数.(3)平行直线系方程：直线y =kx +b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程.与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程是Ax +By +λ=0(λ≠0)，λ是参变量.(4)垂直直线系方程：与直线Ax +By +C =0(A ≠0,B ≠0)垂直的直线系方程是Bx -Ay +λ=0，λ是参变量.结论四：与对称有关的一些结论(1)点P (u ,v )关于点Q (s ,t )的对称点的坐标为：(2s -u ,2t -v )，特别地，点P (u ,v )关于原点的对称点的坐标为：(2×0-u ,2×0-v )，即(-u ,-v ).(2)直线Ax +By +C =0关于点P (-u ,-v )对称的直线的方程为：(2u -x )+B (2v -y )+C =0.(3)直线Ax +By +C =0关于原点、x 轴、y 轴对称的直线的方程分别为：A (-x )+B (-y )+C =0，Ax +B (-y )+C =0，A (-x )+By +C =0.(4)直线Ax +By +C =0关于直线x =u ,y =v 对称的直线的方程分为：A (2u -x )+By +C =0，Ax +B (2v -y )+C =0.(5)曲线f (x ,y )=0关于点P (u ,v )对称的直线的方程为：f (2u -x ,2v -y )=0.(6)点P (s ,t )关于直线Ax +By +C =0的对称点的坐标为：s -2A ∙As +Bt +C A 2+B 2,t -2B ∙As +Bt +CA 2+B2.特别地，当A =B ≠0时，点P (s ,t )关于直线Ax +By +C =0的对称点的坐标为：-Bt +C A,-As +CB .点P (s ,t )关于x 轴、y 轴，直线x =u ，直线y =v 的对称点的坐标分别为(s ,-t ),(-s ,t ),(2u -s ),(s ,2v -t ).题型一直线的倾斜角与斜率关系问题例1.直线x cos θ+y sin θ=0,θ∈0,5π6的斜率的取值范围为()A.-∞,3B.2,+∞C.-∞,0 ∪0,3D.-∞,2【答案】A【分析】求出直线的斜率的表达式，通过角的范围求解斜率的范围即可.【详解】由x cos θ+y sin θ=0,θ∈0,5π6 可得直线的斜率为：k =-cos θsin θ=-1tan θ.因为θ∈0,5π6 ，所以tan θ∈-∞,-33 ∪0,+∞ ,所以k =-1tan θ∈-∞,0 ∪0,3 当θ=π2时，易得k =0。
高三数学直线的方程
例2、(优化设计 P102例1) △ABC的三个顶点 A(3,-4),B(0,3),C(－6,0). 求它的三条边所在的直 线方程。
y
B(0,3) O C(-6,0)
x
A(3,-4)
合理选取直线方程的形式有利于提高解题的速度.
例3 (优化设计P103例2)已知两直线 a1 x b1 y 1 0和
a2 x b2 y 1 0 的交点为P（2，3），求过两点 Q1 (a1 , b1 )
Q2 (a2 b2 )
(a1 a2 ) 的直线方程。
（3）过两点P(x1,y1),P(x2,y2),(x1≠x2)的直线
y 2 y1 的斜率公式——k=tanα = x x 2 1
直线 名称 ①点 斜式 ②斜 截式
方程形 式
y-y0=k(xx0 )
常数意义 K 斜 率 , ( x0,y0) 直线上定点 K 斜率 ,b 为 y 轴 上截距
适用范围 K存在 K存在
练 习 : 一 条 直 线 被 两 直 线 ： 4 x+y+6=0,： 3x－5y－6=0 截得的线段的中点恰好为坐标 原点,求这条直线的方程. x+6y=0
【思维点拨】“设点而不求”是简计 算的一种十分重要的方法。
例 5 、某房地产公司要在荒地 ABCDE（如图）上 划出一块长方形地面（不改变方位）建造一栋八 层公寓，问如何设计才能使面积最大？并求面积 的最大值 （精确到1m2）。
高考数学复习考点知识讲解课件41 直线的方程
的取值范围为____13_，____3_ ____．
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(新教材) 高三总复习•数学
[解析] (1)直线xsinα－y＋1＝0的斜率是k＝sinα，
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又∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1.
当0≤k≤1时，倾斜角的范围是0，4π， 当－1≤k<0时，倾斜角的范围是34π，π.故选D． (2)如图，过A(2,1)，P(－1,0)的直线的斜率为k1＝2－1－－01＝13，过B(0， 3)，P(－1,0)
取值范围是23π，34π.
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考点二 直线的方程——自主练透
对点训练
1．已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向旋转
45°，得到的直线方程是( D )
A．x＋y－3＝0
B．x－3y－2＝0
C．3x－y＋6＝0
D．3x＋y－6＝0
高考数学复习考点知识讲解课件
第一节 直线的方程
基础知识夯实 核心考点突破
(新教材) 高三总复习•数学
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考试要求：1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要 素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过 两点的直线斜率的计算公式；3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的 几种形式(点斜式、两点式及一般式)．
____(－__∞__，__－____3_]∪___[1_，__＋__∞__)_____．
[解析] (1)直线l的斜率k＝csoinsαα＝tanα， ∵α∈－2π，0，∴π＋α∈π2，π， 故k＝tanα＝tan(π＋α)． ∴直线l的倾斜角为π＋α.
高中数学基础之直线方程
高中数学基础之直线方程考查已知直线的倾斜角(斜率)，求直线的斜率(倾斜角)的问题，过两点的直线的斜率公式是高考的高频考点，常与其他知识结合考查．两直线平行与垂直的应用是高考考查的重点，一般不单独考查，常与其他知识(直线方程等)结合考查．由直线上一点和斜率求直线方程或由斜率和截距求直线方程是高考的常考点，利用两点的坐标求直线的方程或利用截距式求直线的方程也是常考知识点，一般不单独考查，常与其他知识结合考查．1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (3)范围：直线l 的倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)定义式：直线l 的倾斜角为α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2，则斜率k ＝tan α；当α＝π2时，斜率不存在．(2)坐标式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1． (3)直线的方向向量同斜率的关系若直线l 的斜率为k ，它的一个方向向量的坐标为(x ，y )，则k ＝yx ． 3．直线方程的五种形式“截距式”中截距不是距离，在用截距式时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需分类讨论．一、基础知识巩固 考点直线的倾斜角和斜率例1 (2022·南京市雨花台中学月考)一条直线过点A (－1，0)和B (2，3)，则该直线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．150°答案 B解析 设直线AB 的倾斜角为α，则tan α＝3－02－（－1）＝1.因为0°≤α<180°，所以α＝45°.故选B.例2 已知点A (1，3)，B (－2，－1).若直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 恒相交，则k 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12答案 D解析 因为直线l ：y ＝k (x －2)＋1经过定点P (2，1)，所以k P A ＝3－11－2＝－2，k PB ＝－1－1－2－2＝12，又直线l ：y ＝k (x －2)＋1与线段AB 恒相交，所以－2≤k ≤12.故选D.方法点拨1．倾斜角α与斜率k 的关系(1)当α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2时，k ∈[0，＋∞)，且倾斜角越大，斜率越大．(2)当α＝π2时，斜率k 不存在．(3)当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，k ∈(－∞，0)，且倾斜角越大，斜率越大．2．在某个区域摆动的直线斜率范围的求法(即取边夹中法则)如图，设直线l 1，l 2，l 的斜率分别为k 1，k 2，k ，则k 1<k 2，当直线l 在阴影区域摆动时，k <k 1或k >k 2；当直线l 在非阴影区域摆动时，k 1<k <k 2.此法编成口诀为“界线斜率先计算，九十度线是关键．包含此线取两边，不含此线夹中间”．考点直线的方程例3 (2021·吉林长春一中月考)过点P (3，－23)且倾斜角为135°的直线方程为( ) A ．3x －y －43＝0 B ．x －y －3＝0 C ．x ＋y －3＝0 D ．x ＋y ＋3＝0答案 D解析 因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＋23＝－(x －3)，即x ＋y ＋3＝0.故选D.例4 (2021·安庆一中月考)过点A (1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线的方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．2x －y ＝0或x ＋y －3＝0D ．2x －y ＝0或x －y ＋1＝0 答案 D解析 当直线过原点时，可得斜率为2－01－0＝2，则直线方程为2x －y ＝0；当直线不过原点时，设方程为x a ＋y －a ＝1，代入点(1，2)可得1a －2a ＝1，解得a ＝－1，则方程为x －y ＋1＝0，故所求直线方程为2x －y ＝0或x －y ＋1＝0.故选D.求直线方程时的注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用：若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零．(3)截距是数，不是距离．在x 轴上的截距是直线与x 轴交点的横坐标，在y 轴上的截距是直线与y 轴交点的纵坐标．截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解．考点与直线有关的最值问题例5 (2022·湖北黄石高三月考)已知两点A (3，0)，B (0，4)，动点P (x ，y )在线段AB 上运动，则xy ( )A ．无最小值，且无最大值B ．无最小值，但有最大值C ．有最小值，但无最大值D ．有最小值，且有最大值 答案 D解析 线段AB 的方程为x 3＋y 4＝1(0≤x ≤3)，于是y ＝－43x ＋4(0≤x ≤3)，从而xy ＝－43x 2＋4x ＝－43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋3.因为0≤x ≤3，所以当x ＝32时，xy 取最大值为3；当x ＝0或3时，xy取最小值0.例6 直线l 过点P (1，4)，分别交x 轴的正半轴和y 轴的正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点，当|OA |＋|OB |最小时，求l 的方程．解 依题意l 的斜率存在，且斜率为负， 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y －4＝k (x －1)(k ＜0). 令y ＝0，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4k ，0；令x ＝0，可得B (0，4－k ).则|OA |＋|OB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4k ＋(4－k )＝5－⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋4k ＝5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－k ＋4－k ≥5＋4＝9，当且仅当－k ＝4－k且k ＜0，即k ＝－2时，|OA |＋|OB |取最小值．此时l 的方程为2x ＋y －6＝0.与直线方程有关的最值问题的解题思路(1)借助直线方程，用y 表示x 或用x 表示y ，将问题转化成关于x (或y )的函数的最值问题．(2)利用基本不等式或函数的单调性求最值． 二、核心素养提升例1 (2021·山东潍坊市高三模拟)已知实数x ，y 满足y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)，则y ＋3x ＋2的最大值为________，最小值为________．答案 8 43解析 如图，作出y ＝x 2－2x ＋2(－1≤x ≤1)的图象(曲线段AB )，则y ＋3x ＋2表示定点P (－2，－3)和曲线段AB 上任一点(x ，y )的连线的斜率k ，连接P A ，PB ，则k P A ≤k ≤k PB .易得A (1，1)，B (－1，5)，所以k P A ＝1－（－3）1－（－2）＝43，k PB ＝5－（－3）－1－（－2）＝8，所以43≤k ≤8，故y ＋3x ＋2的最大值是8，最小值是43.例2 若过点P (1－a ，1＋a )与Q (4，2a )的直线的倾斜角为钝角，且m ＝3a 2－4a ，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－43，39解析 设直线的倾斜角为α，斜率为k ，则k ＝tan α＝2a －（1＋a ）4－（1－a ）＝a －1a ＋3，又α为钝角，所以a －1a ＋3＜0，即(a －1)(a ＋3)＜0，解得－3＜a ＜1.因为关于a 的函数m ＝3a 2－4a 的图象的对称轴为直线a ＝－－42×3＝23，所以3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232－4×23≤m ＜3×(－3)2－4×(－3)，即－43≤m ＜39.所以实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－43，39.例3 (2021·吉林省高三模拟)已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R ). (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围．解 (1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2，1).(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎨⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k ≥0，故k 的取值范围是[0，＋∞).当直线绕定点旋转时，若倾斜角为锐角，逆时针旋转，倾斜角越来越大，斜率越来越大，顺时针旋转，倾斜角越来越小，斜率越来越小；若倾斜角为钝角，也具有同样的规律；若倾斜角是锐角或钝角不确定，逆时针旋转(旋转过程中不与y 轴垂直)，倾斜角越来越大，但斜率并不一定随倾斜角的增大而增大．倾斜角和斜率都是表示直线方向的几何量，它们分别从“形”和“数”两方面反映直线的倾斜程度．求直线斜率的方法有定义法、公式法等，用正切函数(k ＝tan α)的图象来掌握倾斜角和斜率之间的关系，由两点的坐标计算直线的斜率为求直线的方程奠定了基础．重难点是直线平行和垂直的判定，注意平行和垂直的条件．判断直线的位置关系时，注意斜率不存在的情形，当直线的斜率含字母参数时，要对参数进行分类讨论．明确直线的点斜式和斜截式方程的适用条件，注意斜率不存在的情形，体会截距与距离的区别和联系，体会待定系数法在求直线方程中的应用，体会直线的两点式方程、截距式方程的推导过程，并由此求直线的方程．明确直线的方程和二元一次方程的区别与联系，弄清楚直线的一般式方程和其他几种形式之间的关系以及每种形式的适用条件，在解题时注意选择恰当的直线方程．重点提升数学抽象和数学运算素养．。
高三数学总复习 直线的方程课件 文 新人教版
1 得 A(2－k，0)，B(0,1－2k)．
由|PA|·|PB|＝
(4＋4k2)(1＋k12)
＝
8＋4(k2＋k12)≥4.
当且仅当 k2＝k12，即 k＝±1 时，|PA|·|PB|取最小值．
又 k＜0，∴k＝－1，这时 l 的方程是 x＋y－3＝0.
方法二：设∠BAO＝θ(0＜θ＜π2 )，过 P 作 PE⊥x 轴于 E，
6
6
＝5＋(a－3)＋a－3≥5＋2 (a－3)·a－3
＝5＋2 6，
当且仅当 a－3＝a－6 3，即 a＝3＋ 6时，a＋b 取得最小值 5＋2 6，
此时 b＝2＋ 6，直线 l 的方程为 x ＋ y ＝1， 3＋ 6 2＋ 6
即(2＋ 6)x＋(3＋ 6)y－12－5 6＝0.
1．(2008 年全国Ⅰ高考)若直线ax＋yb＝1 通过点 M(cos α，sin α)，
方程的形式 y－y1＝k(x－x1)
y＝kx＋b
已知条件
局限性
(x1，y1)为直线上一定 点，k为斜率
不包括垂直于x轴的直线
k为斜率，b是直线在y
轴上的截距
不包括垂直于x轴的直线
两点式 截距式 一般式
(x1≠x2且y1≠y2)
Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)
(x1，y1)，(x2，y2)是 不包括垂直于x轴和y轴
【方法点评】 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0
l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则
(1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)或
记为：
(A2、B2、C2不为0)．
(2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.
(3)l1与l2重合⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1＝0(或
直线的方程课件-2025届高三数学一轮复习
=
,
⋅
=
.所以
=
=
= +
≥ ,当且仅当
.所以直线的倾斜角为
=
时取等号，又 ∈ , ，所以 =
− = ，所以的斜率为 = −,又直线过点
2.斜率公式
（1）定义式：直线的倾斜角为 ≠ ，则斜率= .
（2）坐标式：设 , ， , 在直线上，且 ≠ ，
率= − − .
如果 = 且 ≠ ，则直线与 轴平行或重合，斜率等于0;
当 = 时，直线方程为 = ，即 − = ；
当 = −时，直线方程为 − + = .
方法二：当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为 = ，即
− = ;
当直线不过原点时，设直线方程为
+
−
= ≠ ,
因为直线过点 ,
,所以
,
= ∈ [, ].设直线的倾斜角为 ，则有
∈ [, ].又 ∈ [, )，所以 ∈
[ , ].故选B.
D.[ , ]
.由于 ∈ [ , ]，所以
[ , ]，即倾斜角的取值范围是
（2）已知直线过点 , ，且与以 , ， , 为端点的线段有公
+ = .
高三数学直线与方程PPT优秀课件
D. 零度角
2.(教材改编题)若直线ax+by+c=0经过第一、二、三象限，则有
()
A. ab>0，bc>0
B. ab>0，bc<0
C. ab<0，bc>0
D. ab<0，bc<0
3.(教材改编题)过点(2,4)且在坐标轴上的截距相等的直线共有
()
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
4. 直线kx-y+1=3k，当k变动时，所有直线都通过定点________．
()
答案：D
解析： 设倾斜角为a，则k=tan a=-cos q. ∵q∈R，-1≤-cos q≤1，∴-1≤tan a≤1， ∴a∈ 0,434,
题型二 求直线的方程
【例2】 求经过点A(-3,4)，且在两坐标轴上的截距之和等于
12的直线方程．
解：方法一：由题意可知直线在坐标轴上的截距不能为零，设
方法二：因为直线在两坐标轴上都存在截距且不为零，故直线
的斜率存在且不为零，故设直线方程为y-4=k(x+3)(k¹0)．
当x=0时，y=4+3k，
当y=0时，x=-4 -3，
k
所以3k+4- 4 -3=12，即3k2-11k-4=0，解得k=4或k=1 - ，
k
3
所以直线方程为y-4=4(x+3)或y-41 =- (x+3)，
一条直线的倾斜角a的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小 写字母k表示，即k=______，倾斜角是90°的直线斜率不存在．
②过两点的直线的斜率公式
经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1 x2)的直线的斜率公式为 k=________.
直线的方程课件-2025届高三数学一轮复习
课前自主预习案
课堂互动探究案
课前自主预习案
必备知识 1.直线的方向向量 若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直线l上两点，则l的方向向量的坐标为 __(x_2_－_x_1_，_y_2_－__y1_)_ ； 若 l 的 斜 率 为 k ， 则 方 向 向 量 的 坐 标 为 _____(_1_，_k_)_____． 2．直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线 l_向__上__的_方__向__ 之 间 所 成 的 角 α 叫 做 直 线 l 的 倾 斜 角 ． 当 直 线 l 与 x 轴 _平__行__或_重__合__时，规定它的倾斜角为0°. (2)范围：直线l的倾斜角的取值范围为_0_°__≤__α_＜_1_8_0_°_．
5 ． ( 易 错 ) 过 点 P(2 ， 3) 且 在 两 坐 标 轴 上 截 距 相 等 的 直 线 方 程 为 __x_＋__y_－_5_＝__0_或_3_x_－__2_y＝__0_．
解析：当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0； 当截距不为0时，设直线方程为xa + ya＝1， 则2a + 3a＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.
答案：B
2．过点(1，2)且方向向量为(－1，2)的直线的方程为( ) A．2x＋y－4＝0 B．x＋y－3＝0 C．x－2y＋3＝0 D．2x－y＋4＝0
答案：A
解析：由题意可知直线的斜率k＝−21＝－2，由点斜式方程得， 所求直线的方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.故选A.
3．已知直线l的方程为x sin α＋ 3y－1＝0，α∈R，则直线l的倾斜
题后师说
求直线方程的两种方法 (1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式． (2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待 定的系数，再由题设条件求出待定系数．
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