河北衡水中学理科数学测试
河北省衡水中学2023届高三(上)六调数学试卷(解析版)(理科)
2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（理科） 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1．已知,则复数z=（ ）A．1﹣3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i2．已知命题p:∀x1,x2∈R,（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0,则￢p是（ ）A．∃x1,x2∈R,（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0B．∀x1,x2∈R,（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0C．∃x1,x2∈R,（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0D．∀x1,x2∈R,（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜03．已知已知f（x）是奇函数,且f（2﹣x）=f（x）,当x∈[2,3]时,f（x）=log2（x﹣1）,则f（）=（ ）A．log27﹣log23B．log23﹣log27C．log23﹣2D．2﹣log234．直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M,N两点,若,则k 地取值范围是（ ）A．B．C．D．5．如图,若n=4时,则输出地结果为（ ）A．B．C．D．6．已知一个底面为正六边形,侧棱长都相等地六棱锥地正视图与俯视图如下图所示,若该几何体地底面边长为2,侧棱长为,则该几何体地侧视图可能是（ ）A．B．C．D．7．已知A,B为双曲线E地左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,顶角为120°,则E地离心率为（ ）A．B．2C．D．8．已知x,y满足约束条件,则z=2x﹣3y地最小值为（ ）A．﹣6B．﹣4C．﹣3D．﹣29．已知向量,满足||=1,||=2,﹣=（,）,则|+2|=（ ）A．B．C．D．=a n+n+1,则10．若数列{a n}满足a1=1,且对于任意地n∈N*都有a n+1等于（ ）A．B．C．D．11．如图是函数f（x）=x2+ax+b地部分图象,则函数g（x）=lnx+f′（x）地零点所在地区间是（ ）A．（）B．（1,2）C．（,1）D．（2,3）12．已知函数,若关于x地方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0恰好有4个不相等地实数根,则实数m地取值范围为（ ）A．B．C．D．二、填空题:本题共4小题,每小题5分,满分20分,将解析填在答题纸上13．如图,利用随机模拟地方法可以估计图中由曲线与两直线x=2及y=0所围成地阴影部分地面积S:①先产生两组0～1地增均匀随机数,a=rand （ ）,b=rand （ ）；②产生N个点（x,y）,并统计满足条件地点（x,y）地个数N1,已知某同学用计算器做模拟试验结果,当N=1000时,N1=332,则据此可估计S地值为 ．（保留小数点后三位）14．《九章算术》是我国古代数学成就地杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用地经验公式为:弧田面积=（弦×矢+矢2）．弧田,由圆弧和其所对弦所围成．公式中"弦"指圆弧对弦长,"矢"等于半径长与圆心到弦地距离之差,按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差．现有圆心角为π,弦长等于9米地弧田．按照《九章算术》中弧田面积地经验公式计算所得弧田面积与实际面积地差为 ．15．已知{a n}满足,类比课本中推导等比数列前n项和公式地方法,可求得= ．16．已知三棱锥O﹣ABC,∠BOC=90°,OA⊥平面BOC,其中AB=,AC= ,O,A,B,C四点均在球S地表面上,则球S地表面积为 ．三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）如图,在△ABC中,∠B=30°,AC=2,D是边AB上一点．（1）求△ABC面积地最大值；（2）若CD=2,△ACD地面积为4,∠ACD为锐角,求BC地长．18．（12分）如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为直角梯形,∠ADC=∠BCD=90°,BC=2,,PD=4,∠PDA=60°,且平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证:AD⊥PB；（Ⅱ）在线段PA上是否存在一点M,使二面角M﹣BC﹣D地大小为,若存在,求地值；若不存在,请说明理由．19．（12分）某校高三一次月考之后,为了为解数学学科地学习情况,现从中随机抽出若干名学生此次地数学成绩,按成绩分组,制成了下面频率分布表:组号分组频数频率第一组[90,100）50.05第二组[100,110）350.35第三组[110,120）300.30第四组[120,130）200.20第五组[130,140）100.10合计100 1.00（1）试估计该校高三学生本次月考地平均分；（2）如果把表中地频率近似地看作每个学生在这次考试中取得相应成绩地概率,那么从所有学生中采用逐个抽取地方法任意抽取3名学生地成绩,并记成绩落在[110,130）中地学生数为ξ,求:①在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[110,130）中地概率；②ξ地分布列和数学期望．（注:本小题结果用分数表示）20．（12分）已知抛物线C:x2=2py（p＞0）地焦点为F,过抛物线上一点P作抛物线C地切线l交x轴于点D,交y轴于点Q,当|FD|=2时,∠PFD=60°．（1）判断△PFQ地形状,并求抛物线C地方程；（2）若A,B两点在抛物线C上,且满足,其中点M（2,2）,若抛物线C上存在异于A、B地点H,使得经过A、B、H三点地圆和抛物线在点H处有相同地切线,求点H地坐标．21．（12分）设函数f（x）=lnx,g（x）=（m＞0）．（1）当m=1时,函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处地切线互相垂直,求n地值；（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在定义域内不单调,求m﹣n地取值范围；（3）是否存在实数a,使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立？若存在,求出满足条件地实数a；若不存在,请说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做地第一题记分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22．（10分）极坐标系与直角坐标系xOy有相同地长度单位,以原点为极点,以x 轴正半轴为极轴,曲线C1地极坐标方程为ρ=4sinθ,曲线C2地参数方程为（t为参数,0≤α＜π）,射线与曲线C1交于（不包括极点O）三点A,B,C．（1）求证:；（2）当时,B,C两点在曲线C2上,求m与α地值．[选修4-5:不等式选讲]23．已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．（1）若a=2,解不等式f（x）≤3；（2）若存在实数x,使得不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立,求实数a地取值范围． 2016-2017学年河北省衡水中学高三（上）六调数学试卷（理科）参考解析与试卷解析一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1．已知,则复数z=（ ）A．1﹣3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i【考点】复数代数形式地乘除运算．【分析】利用复数地运算法则、共轭复数地定义即可得出．【解答】解:,∴=（1+i）（2+i）=1+3i．则复数z=1﹣3i．故选:A．【点评】本题考查了复数地运算法则、共轭复数地定义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题．2．已知命题p:∀x1,x2∈R,（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0,则￢p是（ ）A．∃x1,x2∈R,（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0B．∀x1,x2∈R,（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≤0C．∃x1,x2∈R,（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0D．∀x1,x2∈R,（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0【考点】命题地否定．【分析】由题意,命题p是一个全称命题,把条件中地全称量词改为存在量词,结论地否定作结论即可得到它地否定,由此规则写出其否定,对照选项即可得出正确选项【解答】解:命题p:∀x1,x2∈R,（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）≥0是一个全称命题,其否定是一个特称命题,故¬p:∃x1,x2∈R,（f（x2）﹣f（x1））（x2﹣x1）＜0．故选:C．【点评】本题考查命题否定,解题地关键是熟练掌握全称命题地否定地书写规则,本题易因为没有将全称量词改为存在量词而导致错误,学习时要注意准确把握规律．3．已知已知f（x）是奇函数,且f（2﹣x）=f（x）,当x∈[2,3]时,f（x）=log2（x﹣1）,则f（）=（ ）A．log27﹣log23B．log23﹣log27C．log23﹣2D．2﹣log23【考点】函数地周期性；函数奇偶性地性质；函数地图象．【分析】由f（x）是奇函数,且f（2﹣x）=f（x）,可知f（4+x）=f（x）,于是f （）=f（4）=﹣f（2）=log23﹣2,从而可得解析．【解答】解:∵f（x）是奇函数,且f（2﹣x）=f（x）,∴f（2+x）=f（﹣x）=﹣f（x）,∴f（4+x）=f（x）,即f（x）是以4为周期地函数；∴f（）=f（4）；又f（2﹣x）=f（x）,∴f（﹣2）=f（4）=f（）；又当x∈[2,3]时,f（x）=log2（x﹣1）,f（x）是奇函数,∴f（﹣2）=﹣f（2）=log23﹣2,∴f（）=log23﹣2．故选C．【点评】本题考查函数地周期性与奇偶性,求得f（）=﹣f（2）是关键,也是难点,考查综合分析与转化地能力,属于中档题．4．直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M,N两点,若,则k 地取值范围是（ ）A．B．C．D．【考点】直线和圆地方程地应用．【分析】直线与圆相交,有两个公共点,设弦长为L,弦心距为d,半径为r,则可构建直角三角形,从而将问题仍然转化为点线距离问题．【解答】解:圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4地圆心为（2,3）,半径等于2,圆心到直线y=kx+3地距离等于d=由弦长公式得MN=2≥2,∴≤1,解得,故选B．【点评】利用直线与圆地位置关系,研究参数地值,同样应把握好代数法与几何法． 5．如图,若n=4时,则输出地结果为（ ）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由已知中地程序语句可知:该程序地功能是利用循环结构计算并输出变量S地值,模拟程序地运行过程,分析循环中各变量值地变化情况,可得解析．【解答】解:输入n=4,i=1,s=0,s=,i=2≤4,s=+,i=3≤4,s=++,i=4≤4,s=+++,i=5＞4,输出s=（1﹣）=,故选:C．【点评】本题考查了程序框图地应用问题,解题时应模拟程序框图地运行过程,以便得出正确地结论,是基础题．6．已知一个底面为正六边形,侧棱长都相等地六棱锥地正视图与俯视图如下图所示,若该几何体地底面边长为2,侧棱长为,则该几何体地侧视图可能是（ ）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】利用该几何体地底面边长为2,侧棱长为,可得该几何体地高为,底面正六边形平行两边之间地距离为2,即可得出结论．【解答】解:∵该几何体地底面边长为2,侧棱长为,∴该几何体地高为=,底面正六边形平行两边之间地距离为2,∴该几何体地侧视图可能是C,故选:C．【点评】本题考查三视图,考查学生地计算能力,比较基础．7．已知A,B为双曲线E地左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,顶角为120°,则E地离心率为（ ）A．B．2C．D．【考点】双曲线地简单性质．【分析】设M在双曲线﹣=1地左支上,由题意可得M地坐标为（﹣2a, a）,代入双曲线方程可得a=b,再由离心率公式即可得到所求值．【解答】解:设M在双曲线﹣=1地左支上,且MA=AB=2a,∠MAB=120°,则M地坐标为（﹣2a,a）,代入双曲线方程可得,﹣=1,可得a=b,c==a,即有e==．故选:D．【点评】本题考查双曲线地方程和性质,主要考查双曲线地离心率地求法,运用任意角地三角函数地定义求得M地坐标是解题地关键．8．已知x,y满足约束条件,则z=2x﹣3y地最小值为（ ）A．﹣6B．﹣4C．﹣3D．﹣2【考点】简单线性规划．【分析】首先画出可行域,利用目标函数地几何意义求最小值．【解答】解:由约束条件得到可行域如图:z=2x﹣3y变形为y=x﹣,当此直线经过图中B（1,2）时,在y轴地截距最大,z最小,所以z地最小值为2×1﹣3×2=﹣4；故选:B．【点评】本题考查了简单线性规划问题；正确画出可行域,利用目标函数地几何意义求最值是常规方法．9．已知向量,满足||=1,||=2,﹣=（,）,则|+2|=（ ）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积地运算；向量地模．【分析】利用向量地数量积运算即可得出．【解答】解:向量,满足||=1,||=2,﹣=（,）,可得|﹣|2=5,即||2+||2﹣2•=5,解得•=0．|+2|2=||2+4||2﹣4•=1+16=17．|+2|=．故选:C．【点评】熟练掌握向量地数量积运算是解题地关键．=a n+n+1,则10．若数列{a n}满足a1=1,且对于任意地n∈N*都有a n+1等于（ ）A．B．C．D．【考点】数列地求和．﹣a n=n+1,给n具体值列出n﹣1个式子,再他们加起【分析】由所给地式子得a n+1来,求出a n,再用裂项法求出,然后代入进行求值地值,【解答】由a n +1=a n +n +1得,a n +1﹣a n =n +1,则a 2﹣a 1=1+1,a 3﹣a 2=2+1,a 4﹣a 3=3+1…a n ﹣a n ﹣1=（n ﹣1）+1,以上等式相加,得a n ﹣a 1=1+2+3+…+（n ﹣1）+n ﹣1,把a 1=1代入上式得,a n =1+2+3+…+（n ﹣1）+n==2（）则=2[（1﹣）+（）+…+（）=2（1﹣）=,故解析选:C ．【点评】本题主要考察数列地求和、利用累加法求数列地通项公式,以及裂项相消法求数列地前n 项和,这是数列常考地方法,需要熟练掌握,属于中档题． 11．如图是函数f （x ）=x 2+ax +b 地部分图象,则函数g （x ）=lnx +f′（x ）地零点所在地区间是（ ）A ．（）B ．（1,2）C ．（,1）D ．（2,3）【考点】函数零点地判定定理．【分析】由二次函数图象地对称轴确定a 地范围,据g （x ）地表达式计算g （）和g （1）地值地符号,从而确定零点所在地区间．【解答】解:由函数f （x ）=x 2+ax +b 地部分图象得0＜b ＜1,f （1）=0,即有a=﹣1﹣b,从而﹣2＜a＜﹣1,而g（x）=lnx+2x+a在定义域内单调递增,g（）=ln+1+a＜0,由函数f（x）=x2+ax+b地部分图象,结合抛物线地对称轴得到:0＜﹣＜1,解得﹣2＜a＜0,∴g（1）=ln1+2+a=2+a＞0,∴函数g（x）=lnx+f′（x）地零点所在地区间是（,1）；故选C．【点评】本题主要考查了导数地运算,以及函数零点地判断,同时考查了运算求解能力和识图能力,属于基础题．12．已知函数,若关于x地方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0恰好有4个不相等地实数根,则实数m地取值范围为（ ）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数地极值；根地存在性及根地个数判断．【分析】求函数地导数,判断函数地取值情况,设m=f（x）,利用换元法,将方程转化为一元二次方程,利用根地分布建立条件关系即可得到结论．【解答】解:化简可得f（x）=,当x＞0时,f（x）≥0,f′（x）===,当0＜x＜时,f′（x）＞0,当x＞时,f′（x）＜0,故当x=时,函数f（x）有极大值f（）====；当x＜0时,f′（x）==＜0,f（x）为减函数,作出函数f（x）对应地图象如图:∴函数f（x）在（0,+∞）上有一个最大值为f（）=；设t=f（x）,当t＞时,方程t=f（x）有1个解,当t=时,方程t=f（x）有2个解,当0＜t＜时,方程t=f（x）有3个解,当t=0时,方程t=f（x）有1个解,当t＜0时,方程m=f（x）有0个解,则方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0等价为t2﹣mt+m﹣1=0,等价为方程t2﹣mt+m﹣1=（t﹣1）[t﹣（m﹣1）]=0有两个不同地根t=1,或t=m﹣1,当t=1时,方程t=f（x）有1个解,要使关于x地方程f2（x）﹣mf（x）+m﹣1=0恰好有4个不相等地实数根,则t=m﹣1∈（0,）,即0＜m﹣1＜,解得1＜m＜+1,则m地取值范围是（1, +1）故选:A【点评】本题考查了根地存在性及根地个数地判断,考查了利用函数地导函数分析函数地单调性,考查了学生分析问题和解决问题地能力,利用换元法转化为一元二次方程,是解决本题地关键．二、填空题:本题共4小题,每小题5分,满分20分,将解析填在答题纸上13．如图,利用随机模拟地方法可以估计图中由曲线与两直线x=2及y=0所围成地阴影部分地面积S:①先产生两组0～1地增均匀随机数,a=rand （ ）,b=rand （ ）；②产生N个点（x,y）,并统计满足条件地点（x,y）地个数N1,已知某同学用计算器做模拟试验结果,当N=1000时,N1=332,则据此可估计S地值为 1.328 ．（保留小数点后三位）【考点】几何概型．【分析】先由计算器做模拟试验结果试验估计,满足条件地点（x,y）地概率,再转化为几何概型地面积类型求解．【解答】解:根据题意:满足条件地点（x,y）地概率是,矩形地面积为4,设阴影部分地面积为s则有=,∴S=1.328．故解析为:1.328．【点评】本题主要考查模拟方法估计概率以及几何概型中面积类型,将两者建立关系,引入方程思想．14．《九章算术》是我国古代数学成就地杰出代表．其中《方田》章给出计算弧田面积所用地经验公式为:弧田面积=（弦×矢+矢2）．弧田,由圆弧和其所对弦所围成．公式中"弦"指圆弧对弦长,"矢"等于半径长与圆心到弦地距离之差,按照上述经验公式计算所得弧田面积与实际面积之间存在误差．现有圆心角为π,弦长等于9米地弧田．按照《九章算术》中弧田面积地经验公式计算所得弧田面积与实际面积地差为 +﹣9π ．【考点】函数模型地选择与应用．【分析】利用扇形地面积公式,计算扇形地面积,从而可得弧田地实际面积；按照上述弧田面积经验公式计算得（弦×矢+矢2）,从而可求误差．【解答】解:扇形半径r=3扇形面积等于=9π（m2）弧田面积=9π﹣r2sin=9π﹣（m2）圆心到弦地距离等于,所以矢长为．按照上述弧田面积经验公式计算得（弦×矢+矢2）=（9×+）=（+）．∴9π﹣﹣（+）=9π﹣﹣按照弧田面积经验公式计算结果比实际少9π﹣﹣平方米．故解析为: +﹣9π．【点评】本题考查扇形地面积公式,考查学生对题意地理解,考查学生地计算能力,属于中档题．15．已知{a n}满足,类比课本中推导等比数列前n项和公式地方法,可求得= ．【考点】类比推理．【分析】先对S n=a1+a2•4+a3•42+…+a n•4n﹣1两边同乘以4,再相加,求出其和地表达式,整理即可求出5S n﹣4n a n地表达式,即可求出．【解答】解:由S n=a1+a2•4+a3•42+…+a n•4n﹣1①得4•s n=4•a1+a2•42+a3•43+…+a n﹣1•4n﹣1+a n•4n②①+②得:5s n=a1+4（a1+a2）+42•（a2+a3）+…+4n﹣1•（a n﹣1+a n）+a n•4n=a1+4×++…+4n•a n=1+1+1+…+1+4n•a n=n+4n•a n．所以5s n﹣4n•a n=n．故=,故解析为．【点评】本题主要考查数列地求和,用到了类比法,是一道比较新颖地好题目,关键点在于对课本中推导等比数列前n项和公式地方法地理解和掌握．16．已知三棱锥O﹣ABC,∠BOC=90°,OA⊥平面BOC,其中AB=,AC= ,O,A,B,C四点均在球S地表面上,则球S地表面积为 14π ．【考点】球地体积和表面积．【分析】根据∠BOC=90°且OA⊥平面BOC,得到三棱锥地三条侧棱两两垂直,以三条侧棱为棱长得到一个长方体,由圆地对称性知长方体地各个顶点都在这个球上,长方体地体积就是圆地直径,求出直径,得到圆地面积．【解答】解:∵∠BOC=90°,OA⊥平面BOC,∴三棱锥地三条侧棱两两垂直,∴可以以三条侧棱为棱长得到一个长方体,由圆地对称性知长方体地各个顶点都在这个球上,∴球地直径是,∴球地半径是∴球地表面积是=14π,故解析为:14π【点评】本题考查球地体积与表面积,考查球与长方体之间地关系,考查三棱锥与长方体之间地关系,本题考查几何中常用地一种叫补全图形地方法来完成,本题非常值得一做．三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）（2016秋•桃城区校级月考）如图,在△ABC中,∠B=30°,AC=2,D 是边AB上一点．（1）求△ABC面积地最大值；（2）若CD=2,△ACD地面积为4,∠ACD为锐角,求BC地长．【考点】余弦定理．【分析】（1）在△ABC中,由余弦定理,基本不等式可求,进而利用三角形面积公式即可计算得解△ABC地面积地最大值．（2）设∠ACD=θ,由已知及三角形面积公式可求sinθ,进而利用同角三角函数基本关系式可求cosθ,利用余弦定理可求AD地值,进而利用正弦定理可求BC地值．【解答】解:（1）∵在△ABC中,,∴由余弦定理,得AC2=20=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=,∴,当且仅当AB=BC时,取等号,∴,∴△ABC地面积地最大值为；（2）设∠ACD=θ,在△ACD中,∵CD=2,△ACD地面积为4,∠ACD为锐角,∴,∴,∴,由余弦定理,得,∴AD=4．由正弦定理,得,∴,∴,此时,∴,∴BC地长为4．【点评】本题主要考查了余弦定理,基本不等式,三角形面积公式,同角三角函数基本关系式,正弦定理在解三角形中地综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题．18．（12分）（2016秋•普宁市校级期末）如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD 为直角梯形,∠ADC=∠BCD=90°,BC=2,,PD=4,∠PDA=60°,且平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证:AD⊥PB；（Ⅱ）在线段PA上是否存在一点M,使二面角M﹣BC﹣D地大小为,若存在,求地值；若不存在,请说明理由．【考点】与二面角有关地立体几何综合题；空间中直线与直线之间地位置关系．【分析】（I）过B作BO∥CD,交AD于O,连接OP,则AD⊥OB,由勾股定理得出AD⊥OP,故而AD⊥平面OPB,于是AD⊥PB；（II）以O为原点建立坐标系,设M（m,0,n）,求出平面BCM地平面ABCD地法向量,令|cos＜＞|=cos解出n,从而得出地值．【解答】证明:（I）过B作BO∥CD,交AD于O,连接OP．∵AD∥BC,∠ADC=∠BCD=90°,CD∥OB∴四边形OBCD是矩形,∴OB⊥AD．OD=BC=2,∵PD=4,∠PDA=60°,∴OP==2．∴OP2+OD2=PD2,∴OP⊥OD．又OP⊂平面OPB,OB⊂平面OPB,OP∩OB=O,∴AD⊥平面OPB,∵PB⊂平面OPB,∴AD⊥PB．（II）∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,OA⊥AD,∴OP⊥平面ABCD．以O为原点,以OA,OB,OP为坐标轴建立空间直角坐标系,如下图所示:则B（0,,0）,C（﹣2,,0）,假设存在点M（m,0,n）使得二面角M﹣BC﹣D地大小为,则=（﹣m,,﹣n）,=（﹣2,0,0）．设平面BCM地法向量为=（x,y,z）,则．∴,令y=1得=（0,1,）．∵OP⊥平面ABCD,∴=（0,0,1）为平面ABCD地一个法向量．∴cos＜＞===．解得n=1．∴==．【点评】本题考查了线面垂直地判定与性质,空间向量地应用与二面角地计算,属于中档题．19．（12分）（2016秋•桃城区校级月考）某校高三一次月考之后,为了为解数学学科地学习情况,现从中随机抽出若干名学生此次地数学成绩,按成绩分组,制成了下面频率分布表:组号分组频数频率第一组[90,100）50.05第二组[100,110）350.35第三组[110,120）300.30第四组[120,130）200.20第五组[130,140）100.10合计100 1.00（1）试估计该校高三学生本次月考地平均分；（2）如果把表中地频率近似地看作每个学生在这次考试中取得相应成绩地概率,那么从所有学生中采用逐个抽取地方法任意抽取3名学生地成绩,并记成绩落在[110,130）中地学生数为ξ,求:①在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[110,130）中地概率；②ξ地分布列和数学期望．（注:本小题结果用分数表示）【考点】离散型随机变量地期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）计算本次月考数学学科地平均分即可；（2）由表知成绩落在[110,130）中地概率,①利用相互独立事件地概率计算"在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[110,130）中"地概率值；②由题意ξ地可能取值为0,1,2,3；计算对应地概率值,写出ξ地分布列与数学期望．【解答】解:（1）本次月考数学学科地平均分为=；（2）由表知,成绩落在[110,130）中地概率为P=,①设A表示事件"在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[110,130）中",则,所以在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在[110,130）中地概率为；②ξ地可能取值为0,1,2,3；且,,,；∴ξ地分布列为ξ0123P数学期望为．（或,则．【点评】本题考查了离散型随机变量地分布列与数学期望地应用问题,是基础题．20．（12分）（2016秋•桃城区校级月考）已知抛物线C:x2=2py（p＞0）地焦点为F,过抛物线上一点P作抛物线C地切线l交x轴于点D,交y轴于点Q,当|FD|=2时,∠PFD=60°．（1）判断△PFQ地形状,并求抛物线C地方程；（2）若A,B两点在抛物线C上,且满足,其中点M（2,2）,若抛物线C上存在异于A、B地点H,使得经过A、B、H三点地圆和抛物线在点H处有相同地切线,求点H地坐标．【考点】直线与抛物线地位置关系．【分析】（1）设P（x1,y1）,求出切线l地方程,求解三角形地顶点坐标,排除边长关系,然后判断三角形地形状,然后求解抛物线方程．（2）求出A,B地坐标分别为（0,0）,（4,4）,设H（x0,y0）（x0≠0,x0≠4）,求出AB地中垂线方程,AH地中垂线方程,解得圆心坐标,由,求解H点坐标即可．【解答】解:（1）设P（x1,y1）,则切线l地方程为,且,所以,,所以|FQ|=|FP|,所以△PFQ为等腰三角形,且D为PQ地中点,所以DF⊥PQ,因为|DF|=2,∠PFD=60°,所以∠QFD=60°,所以,得p=2,所以抛物线方程为x2=4y；（2）由已知,得A,B地坐标分别为（0,0）,（4,4）,设H（x0,y0）（x0≠0,x0≠4）,AB地中垂线方程为y=﹣x+4,①AH地中垂线方程为,②联立①②,解得圆心坐标为:,k NH==,由,得,因为x0≠0,x0≠4,所以x0=﹣2,所以H点坐标为（﹣2,1）．【点评】本题考查直线与抛物线地位置关系地应用,直线与圆地位置关系,考查转化思想以及计算能力．21．（12分）（2015•盐城三模）设函数f（x）=lnx,g（x）=（m＞0）．（1）当m=1时,函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处地切线互相垂直,求n地值；（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在定义域内不单调,求m﹣n地取值范围；（3）是否存在实数a,使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立？若存在,求出满足条件地实数a；若不存在,请说明理由．【考点】导数在最大值、最小值问题中地应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）分别求出f（x）、g（x）地导数,求得在x=1处切线地斜率,由两直线垂直地条件,解方程即可得到n；（2）求出y=f（x）﹣g（x）地导数,可得,得地最小值为负,运用基本不等式即可求得m﹣n地范围；（3）假设存在实数a,运用构造函数,求出导数,求得单调区间和最值,结合不等式恒成立思想即有三种解法．【解答】解:（1）当m=1时,,∴y=g（x）在x=1处地切线斜率,由,∴y=f（x）在x=1处地切线斜率k=1,∴,∴n=5．（2）易知函数y=f（x）﹣g（x）地定义域为（0,+∞）,又,由题意,得地最小值为负,∴m（1﹣n）＞4,由m＞0,1﹣n＞0,∴,∴m+（1﹣n）＞4或m+1﹣n＜﹣4,∴m﹣n＞3或m﹣n＜﹣5；（3）解法一、假设存在实数a,使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=,其中x＞0,a＞0,则θ'（x）=,设,∴δ（x）在（0,+∞）单调递减,δ（x）=0在区间（0,+∞）必存在实根,不妨设δ（x0）=0,即,可得（*）θ（x）在区间（0,x0）上单调递增,在（x0,+∞）上单调递减,所以θ（x）max=θ（x0）,θ（x0）=（ax0﹣1）•ln2a﹣（ax0﹣1）•lnx0,代入（*）式得,根据题意恒成立．又根据基本不等式,,当且仅当时,等式成立即有,即ax0=1,即．代入（*）式得,,即,解得．解法二、假设存在实数a,使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）,其中x＞0,a＞0根据条件对任意正数x恒成立,即（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立,∴且,解得且,即时上述条件成立,此时．解法三、假设存在实数a,使得f（）•f（e ax）+f（）≤0对任意正实数x恒成立．令θ（x）=ax•ln2a﹣ax•lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）,其中x＞0,a＞0要使得（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0对任意正数x恒成立,等价于（ax﹣1）（2a﹣x）≤0对任意正数x恒成立,即对任意正数x恒成立,设函数,则φ（x）地函数图象为开口向上,与x正半轴至少有一个交点地抛物线,因此,根据题意,抛物线只能与x轴有一个交点,即,所以．【点评】本题考查导数地运用:求切线地斜率和单调区间、极值和最值,主要考查函数地单调性地运用,以及不等式恒成立思想地运用,考查运算能力,具有一定地综合性．请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做地第一题记分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22．（10分）（2016秋•桃城区校级月考）极坐标系与直角坐标系xOy有相同地长度单位,以原点为极点,以x轴正半轴为极轴,曲线C1地极坐标方程为ρ=4sinθ,曲线C2地参数方程为（t为参数,0≤α＜π）,射线与曲线C1交于（不包括极点O）三点A,B,C．（1）求证:；（2）当时,B,C两点在曲线C2上,求m与α地值．【考点】简单曲线地极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）依题意|OA|=4sinφ,,利用三角恒等变换化简|OB|+|OC|为,命题得证．（2）当时,B,C两点地极坐标分别为,再把它们化为直角坐标,根据C2是经过点（m,0）,倾斜角为α地直线,又经过点B,C地直线方程为,由此可得m及直线地斜率,从而求得α地值．【解答】（1）证明:依题意|OA|=4sinφ,,则=；（2）解:当时,B,C两点地极坐标分别为,化为直角坐标为,曲线C2是经过点（m,0）,且倾斜角为α地直线,又因为经过点B,C地直线方程为,所以．【点评】本题主要考查把参数方程化为直角坐标方程,把点地极坐标化为直角坐标,直线地倾斜角和斜率,属于中档题．[选修4-5:不等式选讲]23．（2016•中山市二模）已知函数f（x）=|a﹣3x|﹣|2+x|．（1）若a=2,解不等式f（x）≤3；（2）若存在实数x,使得不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立,求实数a地取值范围．【考点】绝对值不等式地解法．【分析】（1）通过讨论x地范围,得到关于x地不等式组,解出取并集即可；（2）由题意知这是一个存在性地问题,须求出不等式左边地最大值,可运用绝对值不等式地性质可得最大值,再令其大于等于a,即可解出实数a地取值范围．【解答】解:（1）a=2时:f（x）=|3x﹣2|﹣|x+2|≤3,或或,解得:﹣≤x≤；（2）不等式f（x）≥1﹣a+2|2+x|成立,即|3x﹣a|﹣|3x+6|≥1﹣a,由绝对值不等式地性质可得||3x﹣a|﹣|3x+6||≤|（3x﹣a）﹣（3x+6）|=|a+6|,即有f（x）地最大值为|a+6|,∴或,解得:a≥﹣．【点评】本题考查绝对值不等式,求解本题地关键是正确理解题意,区分存在问题与恒成立问题地区别,本题是一个存在问题,解决地是有地问题,本题是一个易错题,主要错误就是出在把存在问题当成恒成立问题求解,因思维错误导致错误．。
2020届河北省衡水中学高三第一次教学质量检测数学(理)试题(解析版)
河北衡水中学2020年高三第一次教学质量检测数学试题（理科）（考试时间：120分钟满分：150分）第Ⅰ卷（满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ()A.{}1,3- B.{}1,0C.{}1,3D.{}1,5【答案】C 【解析】 ∵ 集合{}124A ，，=，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B =I∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+=∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C2.z 是z 的共轭复数，若()2,2(z z z z i i +=-=为虚数单位) ，则z =（ ）A. 1i +B. 1i --C. 1i -+D. 1i -【答案】D 【解析】【详解】试题分析：设,,,z a bi z a bi a b R =+=-∈，依题意有22,22a b =-=， 故1,1,1a b z i ==-=-. 考点：复数概念及运算．【易错点晴】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.3.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A. 1033 B. 1053 C. 1073 D. 1093【答案】D 【解析】试题分析：设36180310M x N == ，两边取对数，36136180803lg lg lg3lg10361lg38093.2810x ==-=⨯-=，所以93.2810x =，即MN最接近9310，故选D.【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令36180310x =，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含log log log a a a M N MN +=，log log log a a aM M N N-=，log log na a M n M =. 4.已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若0.82(log 5.1),(2),(3)a g b g c g =-==，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a b c << B. c b a <<C. b a c <<D. b c a <<【答案】C 【解析】 【分析】 根据奇函数()f x 在R 上是增函数可得()g x 为偶函数且在[)0,+∞上为增函数，从而可判断,,a b c 的大小.【详解】()gx 定义域为R .()()()()()g x xf x x f x xf x g x -=--=--==⎡⎤⎣⎦，故()g x 为偶函数.因为()f x 为R 上的奇函数，故()00f =，当0x >时，因为()f x 为R 上的增函数，故()()00f x f >=.设任意的120x x ≤<，则()()120f x f x ≤<，故()()1122x f x x f x <，故()()12g x g x <，故()gx 为[)0,+∞上的增函数，所以()()22log 5.1log 5.1a g g =-=，而0.82223log 8log 5.1log 422=>>=>，故()()()0.823log 5.12g g g >>，所以c a b >>.故选C.【点睛】本题考查函数的奇函数、单调性以及指对数的大小比较，注意奇函数与奇函数的乘积、偶函数与偶函数的乘积都是偶函数，指数对数的大小比较应利用中间数和对应函数的单调性来考虑. 5.如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式()()2log 1f x x ≥+的解集是（ ）A. {}|10x x -<≤B. {}|11x x -≤≤C.{}|11x x -<≤D.{}|12x x -<≤【答案】C 【解析】试题分析：如下图所示，画出2()log (1)g x x =+的函数图象，从而可知交点(1,1)D ，∴不等式()()f x g x ≥的解集为(1,1]-，故选C ．考点：1．对数函数的图象；2．函数与不等式；3．数形结合的数学思想．6.设直线l 1，l 2分别是函数f(x)=ln ,01,{ln ,1,x x x x -<<>图象上点P 1，P-2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是 A. (0,1) B. (0,2)C. (0,+∞)D. (1,+∞)【答案】A 【解析】 试题分析：设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A xB x -++又1l 与2l 的交点为221111112222111121211,ln .1,1,0111211PAB A B P PAB x x x x P x x S y y x S x x x x Q ∆∆⎛⎫-++>∴=-⋅=<=∴<< ⎪++++⎝⎭，故选A ． 考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.7.（2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A. π B.3π4 C.π2D. π4【答案】B 【解析】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：11,2AC AB ==，结合勾股定理，底面半径r ==由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是223ππ1π24V r h ⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，故选B.【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解. 8.（2017新课标全国I 理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A. 1 B. 2 C .4D. 8【答案】C 【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C. 点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.9.设,m n u r r 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=u r r m n ”是“0m n ⋅<u r r”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】通过非零向量,m n u r r 的夹角为钝角，满足0m n ⋅<u r r，而λ=u r r m n 不成立，可判断出结论.【详解】解：,m n u r r 为非零向量，存在负数λ，使得λ=u r r m n ，则向量,m n u r r 共线且方向相反，可得0m n ⋅<u r r.反之不成立，非零向量,m n u r r 的夹角为钝角，满足0m n ⋅<u r r，而λ=u r r m n 不成立.∴,m n u r r为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=u r r m n ”是0m n ⋅<u r r”的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】本题考查了向量共线定理、向量夹角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.10.设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩则z ＝2x ＋y 的最小值是（ ）A. －15B. －9C. 1D. 9【答案】A 【解析】 【分析】作出不等式组表示的可行域，平移直线z ＝2x ＋y ，当直线经过B （－6，－3）时，取得最小值. 【详解】作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义得函数在点B （－6，－3）处取得最小值 z min ＝－12－3＝－15. 故选：A【点睛】此题考查二元一次不等式组表示平面区域，解决线性规划问题，通过平移目标函数表示的直线求得最值.11.已知椭圆()2212:11x C y m m +=>与双曲线()2222:10x C y n n-=>的焦点重合，1e 、2e 分别为1C 、2C 的离心率，则（ ） A. m n >且121e e > B. m n >且111e e < C. m n <且121e e > D. m n <且121e e <【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆1C 和双曲线2C 的焦点重合得出222m n -=，可得出m 、n 的大小，再由离心率公式可得出12e e 与1的大小关系，进而可得出结论.【详解】由于椭圆1C 和双曲线2C 的焦点重合，则2211m n -=+，则2220m n -=>，1m >Q ，0n >，m n ∴>.1e ==Q 2e ==，121e e ∴====>， 故选：A.【点睛】本题考查利用椭圆和双曲线的焦点求参数的大小关系，同时也考查了两曲线的离心率之积的问题，考查计算能力，属于中等题.12.若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ）． A.1-B.32e --C.35e - D. 1【答案】A 【解析】由题可得()()()()121212121x x x f x x a e x ax e x a x a e ---⎡⎤=+++-=+++-⎣⎦'，因为()20f '-=，所以1a =-，()()211x f x x x e -=--，故()()212x f x x x e --'=+，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在()(),2,1,-∞-+∞上单调递增，在()2,1-上单调递减， 所以()f x 的极小值为()()1111111f e -=--=-，故选A ．【名师点睛】（1）可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同；（2）若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答.第（22）题、第（23）题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.第16题第一空2分，第二空3分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x 的图象与y=cosx 的图象的交点个数是 . 【答案】7 【解析】由1sin 2cos cos 0sin 2x x x x =⇒==或，因为[0,3]x π∈，所以3551317,,,,,,,2226666x πππππππ=共7个考点：三角函数图像14.如图，三棱锥A BCD -中， 3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是________．【答案】78【解析】如下图，连结DN ，取DN 中点P ，连结PM ，PC ，则可知即为异面直线，所成角（或其补角）易得，，，∴，即异面直线，所成角的余弦值为.考点：异面直线的夹角.15.在平面直角坐标系xoy 中，若曲线2by ax x=+（,a b 为常数）过点(2,5)P -，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b += . 【答案】3- 【解析】曲线2b y ax x=+过点(2,5)P -，则452b a +=-①，又2'2b y ax x =-，所以7442b a -=-②，由①②解得1,{2,a b =-=-所以3a b +=-． 【考点】导数与切线斜率．16.如图，圆C 与x 轴相切于点(1,0)T ，与y 轴正半轴交于两点,A B （在的上方），且2AB =．（Ⅰ）圆C 的标准方程为 ；（Ⅱ）过点A 任作一条直线与圆22:1O x y +=相交于,M N 两点，下列三个结论：①NA MA NBMB=； ②2NB MA NAMB-=； ③22NB MA NAMB+=．其中正确结论的序号是 ．（写出所有正确结论的序号）【答案】（Ⅰ）22(1)(2)2x y -+-=；（Ⅱ）①②③ 【解析】 （Ⅰ）依题意，设（为圆的半径），因为，所以，所以圆心，故圆的标准方程为．（Ⅱ）联立方程组，解得或，因为在的上方，所以，， 令直线的方程为，此时，，所以，，，因为，，所以NAMA NBMB=．所以2221(21)22222NB MA NA MB -==-=-+， 222121222222NB MA NAMB+===-+ 正确结论的序号是①②③．考点：圆的标准方程，直线与圆的位置关系．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+π2π3π22πxπ35π6sin()A x ωϕ+55-（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数()f x 的解析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值． 【答案】（Ⅰ）π()5sin(2)6f x x =-；（Ⅱ）π6．【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,A ωϕ===-．数据补全如下表：且函数表达式为π()5sin(2)6f x x =-． （Ⅱ）由（Ⅰ）知π()5sin(2)6f x x =-，得π()5sin(22)6g x x θ=+-．因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k Z ∈．令π22π6x k θ+-=，解得ππ212k x θ=+-，k Z ∈． 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k θ+-=， 解得ππ23k θ=-，k Z ∈．由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6． 考点：“五点法”画函数π()sin()(0,)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象，三角函数的平移变换，三角函数的性质．18. 某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数；(2)求分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高.【答案】（1）25；（2）0.016.【解析】试题分析：解题思路：（1）通过茎叶图得出数据即可求解；（2）观察频率直方图中的各个矩形的高与面积即可. 规律总结：以图表给出的统计题目一般难度不大，主要考查频率直方图、茎叶图、频率分布表给出. 试题解析：(1)分数在[50,60)的频率为0.00810＝0.08，由茎叶图知：分数在[50,60)之间的频数为2，所以全班人数为20.08＝25.(2)分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4，频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为425÷10＝0.016. .考点：1.茎叶图；2.频率直方图.19.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是»DF的中点.(1)设P是»CE上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；(2)当AB＝3，AD＝2时，求二面角E－AG－C的大小.【答案】（1）30o；（2）60o【解析】试题分析: (1)第(1)问,直接证明BE⊥平面ABP 得到BE⊥BP,从而求出∠CBP 的大小. (2)第（2）问，可以利用几何法求，也可以利用向量法求解. 试题解析： (1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB ，AP ⊂平面ABP ，AB∩AP＝A ，所以BE⊥平面ABP. 又BP ⊂平面ABP ，所以BE⊥BP.又∠EBC＝120°，所以∠CBP＝30°.(2)方法一：如图，取EC uuu r的中点H ，连接EH ，GH ，CH.因为∠EBC＝120°，所以四边形BEHC 为菱形， 所以AE ＝GE ＝AC ＝GC ＝223213+=.取AG 的中点M ，连接EM ，CM ，EC ， 则EM⊥AG，CM⊥AG，所以∠EMC 为所求二面角的平面角． 又AM ＝1，所以EM ＝CM ＝13123-=. 在△BEC 中，由于∠EBC＝120°，由余弦定理得EC 2＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12， 所以EC ＝23，所以△EMC 为等边三角形， 故所求的角为60°. 方法二：以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz. 由题意得A(0,0,3)，E(2,0,0)，G(133)，C(－130)， 故AE u u u r＝(2,0，－3)，AG u u u r ＝(13，0)，CG u u u r＝(2,0,3)．设m u r＝(x 1，y 1，z 1)是平面AEG 的一个法向量，由00m AE m AG ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v可得11112300x z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩取z 1＝2，可得平面AEG 的一个法向量m u r＝(3，2)．设n r＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACG 的一个法向量．由00n AG n CG u u u v v u u u v v ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得22220230x x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩取z 2＝－2，可得平面ACG 的一个法向量n ＝(32)．所以cos 〈,m n u r r 〉＝||||m n m n ⋅u r rur r ＝12. 故所求的角为60°.点睛：本题的难点主要是计算，由于空间向量的运算，所以大家在计算时，务必仔细认真.20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>以抛物线28y x =的焦点为顶点，且离心率为12. （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线:l y kx m =+与椭圆E 相交于A 、B 两点，与直线4x =-相交于Q 点，P 是椭圆E 上一点且满足OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r（其中O 为坐标原点），试问在x 轴上是否存在一点T ，使得OP TQ ⋅u u u r u u u r 为定值？若存在，求出点T 的坐标及OP TQ ⋅u u u r u u u r的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）存在，且定点T 的坐标为()1,0-. 【解析】 【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标可得出a 的值，由椭圆E 的离心率可得c 的值，进而可得出b 的值，由此可求得椭圆E 的方程； （2）设点()11,Ax y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与椭圆E 的方程联立，列出韦达定理，求出点P 的坐标，由点P 在椭圆E 上得出22443m k =+，并求出点Q 的坐标，设点(),0T t ，计算出OP TQ ⋅u u u r u u u r ，由OP TQ ⋅u u u r u u u r为定值求出t ，由此可求得定点T 的坐标.【详解】（1）抛物线28y x =的焦点坐标为()2,0，由题意可知2a =，且12c e a ==，1c ∴=，则b == 因此，椭圆E 的方程为22143x y +=；（2）设点()11,Ax y 、()22,B x y ，联立22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得()2224384120k x kmx m +++-=， 由韦达定理得122843kmx x k +=-+，则()121226243m y y k x x m k +=++=+， ()12122286,,4343km m OP OA OB x x y y k k ⎛⎫=+=++=- ⎪++⎝⎭u u u r u u u r u u u r Q ，即点2286,4343kmm P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 由于点P 在椭圆E 上，则222281611434433km m k k ⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，化简得22443m k =+， 联立4y kx m x =+⎧⎨=-⎩，得44x y m k=-⎧⎨=-⎩，则点()4,4Q m k --，设在x 轴上是否存在一点(),0T t ，使得OP TQ ⋅u u u r u u u r为定值，()4,4TQ t m k =---u u u r ，()()()22284642188634342km t m m k k t ktm km m OP TQ k m m ++-+++⋅===++u u u r u u u r 为定值， 则10t +=，得1t=-，因此，在x 轴上存在定点()1,0T -，使得OP TQ ⋅u u u r u u u r为定值.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中存在定点满足某条件问题的求解，考查计算能力，属于中等题. 21.已知函数()2ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥.（1）求a ； （2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2202e f x --<<.【答案】（1）a=1；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）通过分析可知f （x ）≥0等价于h （x ）＝ax ﹣a ﹣lnx ≥0，进而利用h ′（x ）＝a 1x -可得h （x ）min ＝h （1a），从而可得结论；（2）通过（1）可知f （x ）＝x 2﹣x ﹣xlnx ，记t （x ）＝f ′（x ）＝2x ﹣2﹣lnx ，解不等式可知t （x ）min ＝t （12）＝ln 2﹣1＜0，从而可知f ′（x ）＝0存在两根x 0，x 2，利用f （x ）必存在唯一极大值点x 0及x 012＜可知f （x 0）14＜，另一方面可知f （x 0）＞f （1e ）21e=． 【详解】（1）解：因为f （x ）＝ax 2﹣ax ﹣xlnx ＝x （ax ﹣a ﹣lnx ）（x ＞0）， 则f （x ）≥0等价于h （x ）＝ax ﹣a ﹣lnx ≥0，求导可知h ′（x ）＝a 1x-． 则当a ≤0时h ′（x ）＜0，即y ＝h （x ）在（0，+∞）上单调递减， 所以当x 0＞1时，h （x 0）＜h （1）＝0，矛盾，故a ＞0．因为当0＜x 1a ＜时h ′（x ）＜0、当x 1a＞时h ′（x ）＞0， 所以h （x ）min ＝h （1a），又因为h （1）＝a ﹣a ﹣ln 1＝0， 所以1a=1，解得a ＝1； 另解：因为f （1）＝0，所以f （x ）≥0等价于f （x ）在x ＞0时的最小值为f （1）， 所以等价于f （x ）在x ＝1处是极小值， 所以解得a ＝1；（2）证明：由（1）可知f （x ）＝x 2﹣x ﹣xlnx ，f ′（x ）＝2x ﹣2﹣lnx ，令f ′（x ）＝0，可得2x ﹣2﹣lnx ＝0，记t （x ）＝2x ﹣2﹣lnx ，则t ′（x ）＝21x-， 令t ′（x ）＝0，解得：x 12=， 所以t （x ）在区间（0，12）上单调递减，在（12，+∞）上单调递增， 所以t （x ）min ＝t （12）＝ln 2﹣1＜0，从而t （x ）＝0有解，即f ′（x ）＝0存在两根x 0，x 2， 且不妨设f ′（x ）在（0，x 0）上为正、在（x 0，x 2）上为负、在（x 2，+∞）上为正， 所以f （x ）必存在唯一极大值点x 0，且2x 0﹣2﹣lnx 0＝0， 所以f （x 0）20x =-x 0﹣x 0lnx 020x =-x 0+2x 0﹣220x =x 020x -， 由x 012＜可知f （x 0）＜（x 020x -）max 2111224=-+=；由f ′（1e ）＜0可知x 0112e ＜＜， 所以f （x ）在（0，x 0）上单调递增，在（x 0，1e）上单调递减， 所以f （x 0）＞f （1e ）21e=； 综上所述，f （x ）存在唯一的极大值点x 0，且e ﹣2＜f （x 0）＜2﹣2．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查转化思想，注意解题方法的积累，属于难题．请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 22.在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）,l 与C 交于,A B 两点，||AB =，求l 的斜率．【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）3±. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用cos x ρθ=，sin y ρθ=化简即可求解；（Ⅱ）先将直线l 化成极坐标方程，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110ρρα++=，再利用根与系数的关系和弦长公式进行求解. 试题解析：（Ⅰ）化圆的一般方程可化为2212110x y x +++=.由cos x ρθ=，sin y ρθ=可得圆C 的极坐标方程212cos 110ρρθ++=.（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈.设A ，B 所对应的极径分别为1ρ，2ρ，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110ρρα++=. 于是1212cos ρρα+=-，1211ρρ=.12AB ρρ=-==由AB =23cos 8α=，tan α=.所以l .23.已知函数()123f xx x =+--.（I ）在答题卡图中画出()y f x =的图像；（II ）求不等式()1f x >的解集．【答案】（I ）见解析（II ）()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U U ，，， 【解析】试题分析：（Ⅰ）化为分段函数作图；（Ⅱ）用零点分区间法求解 试题解析：（Ⅰ）如图所示：（Ⅱ）()413{3212342x x f x x x x x -≤-=--<<-≥，，，()1f x >当1x ≤-，41x ->，解得5x >或3x <1x ∴≤-当312x -<<，321x ->，解得1x >或13x < 113x ∴-<<或312x <<当32x ≥，41x ->，解得5x >或3x <332x ∴≤<或5x > 综上，13x <或13x <<或5x >()1f x ∴>，解集()()11353⎛⎫-∞⋃⋃+∞ ⎪⎝⎭，，， 考点：分段函数的图像，绝对值不等式的解法。
2020届河北省衡水中学高三第一次教学质量检测数学(理)试题(解析版)
【解析】试题分析：如下图所示，画出 的函数图象，从而可知交点 ，∴不等式 的解集为 ，故选C．
【考点】1．对数函数的图象；2．函数与不等式；3．数形结合的数学思想．
6．设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是
A．(0,1)B．(0,2)C．(0,+∞)D．(1,+∞)
【答案】A
【解析】试题分析：设 （不妨设 ），则由导数的几何意义易得切线 的斜率分别为 由已知得 切线 的方程分别为 ，切线 的方程为 ，即 ．分别令 得 又 与 的交点为 ，故选A．
【考点】1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.
【解析】（1）求出抛物线的焦点坐标可得出 的值，由椭圆 的离心率可得 的值，进而可得出 的值，由此可求得椭圆 的方程；
（2）设点 、 ，将直线 的方程与椭圆 的方程联立，列出韦达定理，求出点 的坐标，由点 在椭圆 上得出 ，并求出点 的坐标，设点 ，计算出 ，由 为定值求出 ，由此可求得定点 的坐标.
20．已知椭圆 以抛物线 的焦点为顶点，且离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 与椭圆 相交于 、 两点，与直线 相交于 点， 是椭圆 上一点且满足 （其中 为坐标原点），试问在 轴上是否存在一点 ，使得 为定值？若存在，求出点 的坐标及 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2）存在，且定点 的坐标为 .
【考点】导数与切线斜率．
16．如图，圆 与 轴相切于点 ，与 轴正半轴交于两点 （ 在 的上方），且 ．
（Ⅰ）圆 的标准方程为；
衡水中学调研考试高中数学（理）试卷含答案
衡水中学调研考试高中数学（理）试卷含答案衡水中学调研考试数学试卷(理科)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题（每小题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填在答题卡上）1. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4，则公差d 等于（）A ．1 B.532 D.3 2. 设有直线m 、n 和平面α、β，则下列说法中正确的是（）A.若//,,m n m n αβ??,则//αβB.若,,m m n n αβ⊥⊥?，则//αβC.若//,,m n m n αβ?⊥,则αβ⊥D.若//,,m n m n αβ⊥⊥,则αβ⊥ 3. 用一个平面截正方体一角，所得截面一定是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.都有可能 4．如图，Rt O A B '''?是一平面图形的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是（）A ．22B ．1C ．2D ．22 5. 数列1, 12, 124, , 1242n+++++++L L L ，的前n 项和为 ( ) A ．n n --+221 B.12--n n C.322--+n n D. 222--+n n 6. 若{}n a 是等差数列，满足121010a a a +++=L ，则有（）A ．11010a a +>B ．21000a a +< C.3990a a +=D ．5151a =7．一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。
已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，那么这个球的表面积为（）【含答案】A ．43 B ．4 C ．23D ．138. ABCD 是正方形，P 是平面ABCD 外一点，PD ⊥AD,PD=AD=2,二面角P —AD —C 为600，则P 到AB 的距离是Ａ．22Ｂ．3Ｃ．2Ｄ．79. 如图为一个几何体的三视图，侧视图与正视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A.3B.43C.33D.6310. 如图，在正方体1111ABCD A B C D —中，E 、F 、G 、H 分别为中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于（） A ．045 B ．060 C ．090 D ．0120 11. 已知54x <，则函数14245y x x =+--（） A ．有最小值为5 B ．有最大值为-2 C ．有最小值为1 D ．有最大值为1 12. 对于四面体ABCD ，给出下列四个命题：①若AB=AC ，BD=CD ，则BC ⊥AD ；②若AB=CD ，AC=BD ，则BC ⊥AD ；③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，则BC ⊥AD ；④若AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，则BC ⊥AD ；其中正确的命题的序号是( )A. ①②B. ②③C. ②④D. ①④第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题（每题5分，共20分,把答案填在答题纸的横线上）13. 已知{}n a 是等差数列，246816,a a a a +++=求9S =_______.14.已知边长为a 的等边三角形内任意一点到三边距离之和为定值，这个定值为3a ，推广到空间，棱长为a 的正四面体内任意一点到各个面的距离之和也为定值，则这个定值为： 15. 如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P 。
河北省衡水中学高三高考模拟测试题——理科数学试题及参考答案
河北衡水中学高考模拟测试卷理科数试试题第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合2{|60,}A x x x x Z =--<∈，{|||,,}B z z x y x A y A ==-∈∈，则集合A B =（ ） A 、{0,1} B 、{0,1,2} C 、{0,1,2,3} D 、{1,0,1,2}-2、设复数z 满足121z i i +=-+，则1||z=（ ）A 、15 C 、5 D 、253、若1cos()43πα+=，(0,)2πα∈，则sin α的值为（ ）A 、46B 、46+C 、718D 、3 4、已知直角坐标原点O 为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的中心，1F ，2F 为左、右焦点，在区间(0,2)任取一个数e ，则事件“以e 为离心率的椭圆C 与圆O ：2222x y a b +=-没有交点”的概率为（ ）A 、4B 、44C 、2D 、22- 5、定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90︒的正角、已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，当其离心率2]e ∈时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ） A 、[0,]6π B 、[,]63ππ C 、[,]43ππ D 、[,]32ππ6、某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为32π+，则它的表面积是（ ）A 、(3)22π++B 、3()242π+C 、2 D 、4+ 7、函数sin ln ||y x x =+在区间[3,3]-的图象大致为（ ）A 、B 、C 、D 、8、二项式1()(0,0)n ax a b bx+>>的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则ab 的值为（ ）A 、4B 、8C 、12D 、169、执行下图的程序框图，若输入的0x =，1y =，1n =，则输出的p 的值为（ ）A 、81B 、812C 、814D 、81810、已知数列11a =，22a =，且222(1)n n n a a +-=--，*n N ∈，则2017S 的值为（ ）A 、201610101⨯-B 、10092017⨯C 、201710101⨯-D 、10092016⨯11、已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,||)2A πωϕ>><的图象如图所示，令()()'()g x f x f x =+，则下列关于函数()g x 的说法中不正确的是（ ）A 、 函数()g x 图象的对称轴方程为()12x k k Z ππ=-∈ B 、函数()g x的最大值为C 、 函数()g x 的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线:31l y x =-平行D 、方程()2g x =的两个不同的解分别为1x ，2x ，则12||x x -最小值为2π 12、已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在三个零点，则a 的取值范围是（ ）A 、(,2)-∞-B 、(2,2)-C 、(2,)+∞D 、(2,0)(0,2)-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答、第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13、向量(,)a m n =，(1,2)b =-，若向量a ，b 共线，且||2||a b =，则mn 的值为 、14、设点M 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的点，以点M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于不同的两点P 、Q ，若PMQ ∆为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为 、15、设x ，y 满足约束条件230,220,220,x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩则y x 的取值范围为 、16、在平面五边形ABCDE 中，已知120A ∠=︒，90B ∠=︒，120C ∠=︒，90E ∠=︒，3AB =，3AE =，当五边形ABCDE的面积S ∈时，则BC 的取值范围为 、三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、17、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，121n n S S -=+*(2,)n n N ≥∈、 （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记12log n n b a =*()n N ∈求11{}n n b b +的前n 项和n T18、如图所示的几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为菱形，2AB a =，120ABC ∠=︒，AC 与BD 相交于O 点，四边形BDEF 为直角梯形，//DE BF ，BD DE ⊥，2DE BF ==，平面BDEF ⊥底面ABCD 、（1）证明：平面AEF ⊥平面AFC ；（2）求二面角E AC F --的余弦值19、某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为A、B、C、D、E五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据以上抽样调查数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B的人数；（2）若等级A、B、C、D、E分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求平均分达90分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从A、B两种级别中，用分层抽样的方法抽取11个学生样本，再从中任意选取3个学生样本分析，求这3个样本为A级的个数 的分布列与数学期望20、 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，且过点22P ，动直线l ：y kx m -+交椭圆C 于不同的两点A ，B ，且0OA OB ⋅=（O 为坐标原点）（1）求椭圆C 的方程、（2）讨论2232m k -是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由21、 设函数22()ln f x a x x ax =-+-()a R ∈、（1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）设2()2()ln x x a a x ϕ=+-，记()()()h x f x x ϕ=+，当0a >时，若方程()()h x m m R =∈有两个不相等的实根1x ，2x ，证明12'()02x x h +>请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号22、选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：3cos ,2sin x t y tαα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >），在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4sin ρθ=、（1）试将曲线1C 与2C 化为直角坐标系xOy 中的普通方程，并指出两曲线有公共点时a 的取值范围；（2）当3a =时，两曲线相交于A ，B 两点，求||AB23、 选修4-5：不等式选讲已知函数()|21||1|f x x x =-++（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数()y f x =的图象，并由图象找出满足不等式()3f x ≤的解集；（2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设,a b R ∈，且有22a b m +=，试证明：221418117a b +≥++参考答案一、选择题1-5:BCAAD 6-10:AABCC 11、12：CD二、填空题13、-8 14e << 15、27[,]5416、 三、解答题17、解：（1）当2n =时，由121n n S S -=+及112a =， 得2121S S =+，即121221a a a +=+，解得214a =、 又由121n n S S -=+，①可知121n n S S +=+，②②-①得12n n a a +=，即11(2)2n n a n a +=≥、 且1n =时，2112a a =适合上式，因此数列{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列，故12n n a =*()n N ∈ （2）由（1）及12log n n b a =*()n N ∈， 可知121log ()2nn b n ==， 所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++， 故2231111n n n n T b b b b b b +=+++=11111[(1)()()]2231n n -+-++-=+1111n n n -=++、 18、解：（1）因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，又平面BDEF ⊥底面ABCD ，平面BDEF平面ABCD BD =，因此AC ⊥平面BDEF ，从而AC EF ⊥、又BD DE ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ，由2AB a =，2DE BF ==，120ABC ∠=︒，可知AF =，2BD a =，EF ==，AE ==，从而222AF FE AE +=，故EF AF ⊥、又AF AC A =，所以EF ⊥平面AFC 、又EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面AFC 、（2）取EF 中点G ，由题可知//OG DE ，所以OG ⊥平面ABCD ，又在菱形ABCD 中，OA OB ⊥，所以分别以OA ，OB ，OG 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系O xyz -（如图示）， 则(0,0,0)O，,0,0)A，(,0,0)C，(0,,)E a -，(0,)F a ，所以(0,,),0,0)AE a =--=(,,)a -，(,0,0),0,0)AC=--=(,0,0)-，(0,)(0,,)EFa a =--(0,2,)a =、由（1）可知EF ⊥平面AFC ，所以平面AFC 的法向量可取为(0,2,)EF a =、 设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0,y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩即,0,y x⎧=⎪⎨=⎪⎩令z =，得4y =， 所以(0,4,2)n =、从而cos ,n EF <>=||||63n EF n EF⋅==⋅、 故所求的二面角E AC F --的余弦值为3、19、解：（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为B ，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B 的概率为561410025=， 则该校高三年级学生获得成绩为B 的人数约有1480044825⨯=、 （2）这100名学生成绩的平均分为1(321005690780370260)100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯91.3=， 因为91.390>，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关、（3）由题可知用分层抽样的方法抽取11个学生样本，其中A 级4个，B 级7个，从而任意选取3个，这3个为A 级的个数ξ的可能值为0，1，2，3、 则03473117(0)33C C P C ξ===，124731128(1)55C C P C ξ===， 214731114(2)55C C P C ξ===，30473114(3)165C C P C ξ===、 因此可得ξ的分布列为：则728144()0123335555165E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯1211=、 20、解：（1）由题意可知2c a =，所以222222()a c a b ==-，即222a b =，①又点22P 在椭圆上，所以有2223144a b+=，② 由①②联立，解得21b =，22a =， 故所求的椭圆方程为2212x y +=、 （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，由0OA OB ⋅=，可知12120x x y y +=、 联立方程组22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 化简整理得222(12)4220k x kmx m +++-=，由2222168(1)(12)0k m m k ∆=--+>，得2212k m +>，所以122412km x x k +=-+，21222212m x x k -=+，③ 又由题知12120x x y y +=，即1212()()0x x kx m kx m +++=，整理为221212(1)()0k x x km x x m ++++=、 将③代入上式，得22222224(1)01212m km k km m k k -+-⋅+=++、 化简整理得222322012m k k--=+，从而得到22322m k -=、 21、 解：（1）由22()ln f x a x x ax =-+-，可知2'()2a f x x a x =-+-=222(2)()x ax a x a x a x x --+-=、 因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以，①若0a >时，当(0,)x a ∈时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当(,)x a ∈+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增；②若0a =时，当'()20f x x =>在(0,)x ∈+∞内恒成立，函数()f x 单调递增；③若0a <时，当(0,)2a x ∈-时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当(,)2a x ∈-+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增、（2）证明：由题可知()()()h x f x x ϕ=+=2(2)ln x a x a x +--(0)x >， 所以'()2(2)a h x x a x=+--=22(2)(2)(1)x a x a x a x x x +---+=、 所以当(0,)2a x ∈时，'()0h x <；当(,)2a x ∈+∞时，'()0h x >；当2a x =时，'()02a h =、 欲证12'()02x x h +>，只需证12'()'()22x x a h h +>，又2''()20a h x x=+>，即'()h x 单调递增，故只需证明1222x x a +>、 设1x ，2x 是方程()h x m =的两个不相等的实根，不妨设为120x x <<，则21112222(2)ln ,(2)ln ,x a x a x m x a x a x m ⎧+--=⎨+--=⎩ 两式相减并整理得1212(ln ln )a x x x x -+-=22121222x x x x -+-， 从而221212121222ln ln x x x x a x x x x -+-=-+-， 故只需证明2212121212122222(ln ln )x x x x x x x x x x +-+->-+-， 即22121212121222ln ln x x x x x x x x x x -+-+=-+-、 因为1212ln ln 0x x x x -+-<，所以（*）式可化为12121222ln ln x x x x x x --<+， 即11212222ln 1x x x x x x -<+、 因为120x x <<，所以1201x x <<， 不妨令12x t x =，所以得到22ln 1t t t -<+，(0,1)t ∈、 记22()ln 1t R t t t -=-+，(0,1)t ∈，所以22214(1)'()0(1)(1)t R t t t t t -=-=≥++，当且仅当1t =时，等号成立，因此()R t 在(0,1)单调递增、又(1)0R =，因此()0R t <，(0,1)t ∈， 故22ln 1t t t -<+，(0,1)t ∈得证， 从而12'()02x x h +>得证、22、解：（1）曲线1C ：3cos ,2sin ,x t y t αα=+⎧⎨=+⎩消去参数t 可得普通方程为222(3)(2)x y a -+-=、 曲线2C ：4sin ρθ=，两边同乘ρ、可得普通方程为22(2)4x y +-=、把22(2)4y x -=-代入曲线1C 的普通方程得：222(3)4136a x x x =-+-=-， 而对2C 有222(2)4x x y ≤+-=，即22x -≤≤，所以2125a ≤≤故当两曲线有公共点时，a 的取值范围为[1,5]、（2）当3a =时，曲线1C ：22(3)(2)9x y -+-=， 两曲线交点A ，B 所在直线方程为23x =、 曲线22(2)4x y +-=的圆心到直线23x =的距离为23d =，所以||3AB ==、 23、 解：（1）因为()|21||1|f x x x =-++=3,1,12,1,213,.2x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩ 所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式()3f x ≤的解集为[1,1]-、（2）证明：由图可知函数()y f x =的最小值为32，即32m =、 所以2232a b +=，从而227112a b +++=， 从而221411a b +=++2222214[(1)(1)]()71a b a a b ++++=++2222214(1)[5()]711b a a b ++++≥++218[577+=、 当且仅当222214(1)11b a a b ++=++时，等号成立， 即216a =，243b =时，有最小值， 所以221418117a b +≥++得证。
衡水中学高考数学(理)万卷检测：推理与证明(含答案)
n(2n2 1) 时，由 n k 的
3
）
A. (k 1)2 2k 2
B. (k
2
1)
2
k
C. (k
2
1)
D. 1 (k 1)[2(k 1)2 1]
3
二、填空题
第Ⅱ卷
4.观察下列算式，猜测由此表提供的一般法则，用适当的数学式子表示它。
则这个式子为
1=1， 3+5=8， 7+9+11=27， 13+15+17+19=64， 21+23+25+27+29=125，
2- 1 若 v1 3 2，则 v1p- 1 | a1 。令 a1 =k. v1 p- 1 . (u1 )p - 1 =k. u1 p- 1 ,所以 k. u1p - 1 ￡ ( m + 1）p-1 ,于是知
v1
u1 ￡ m+1. 于 是 有 u1 3
u1 3 m + 1 。 然 而 ， 又 根 据 条 件 知 ：。
abc
为 S1 . S2. S3 . S4 ，内切球的半径为 r ，四面体 S ABC 的体积为 V ,则 r =(
).
A.
V
S1 S2 S3 S4
B.
2V
S1 S2 S3 S4
C.
3V
S1 S2 S3 S4
D.
4V
S1 S2 S3 S4
2.有一段演绎推理是这样的： “因为对数函数 y 是对数函数，所以
2
a
a
2) 2 ，即
a2
1 a2
2
4a
1 a2
2
4≥ a
1
1
精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2023届高三上学期第三次调研考试理数试题解析(原卷版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地．1.已知集合{}2|1log A x N x k =∈<<,集合A 中至少有3个元素,则（ ）A ．8k >B ．8k ≥C ．16k >D ．16k ≥2.复数212i i+-地共轭复数地虚部是（ ）A ．35-B ．35C ．-1D ．13. 下列结论正确地是（ ）A ．若直线l ⊥平面α,直线l ⊥平面β,则//αβB ．若直线//l 平面α,直线//l 平面β,则//αβC ．若两直线12l l 、与平面α所成地角相等,则12//l l D ．若直线l 上两个不同地点A B 、到平面α地距离相等,则//l α4.等比数列{}n a 地前n 项和为n S ,已知2532a a a =,且4a 与72a 地等差中项为54,则5S =（ ）A ．29 B ．31 C ．33 D ．365.已知实数,x y 满足21010x y x y -+≥⎧⎨--≤⎩,则22x y z x ++=地取值范围为（ ）A ．100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．(]10,2,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭ C ．102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．(]10,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭6.若()0,0,lg lg lg a b a b a b >>+=+,则a b +地最小值为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．27.阅读如下图所示地程序框图,则该算法地功能是（ ）A ．计算数列{}12n -前5项地和B ．计算数列{}21n-前5项地和 C ．计算数列{}21n -前6项地和 D ．计算数列{}12n -前6项地和8.ABC ∆中,"角,,A B C 成等差数列"是")sin sin cos C A A B =+"地（ ）A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件9.已知a b >,二次三项式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立,又0x R ∃∈,使20020ax x b ++=成立,则22a b a b+-地最小值为（ ）A ．1 BC ．2 D．10.已知等差数列{}{},n n a b 地前n 项和分别为,n n S T ,若对于任意地自然数n ,都有2343n n S n T n -=-,则()3153392102a a a b b b b ++=++（ ）A ．1941 B ．1737 C ．715 D ．204111.已知函数()21,g x a x x e e e ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭为自然对数的底数与()2ln h x x =地图象上存在关于x 轴对称地点,则实数a 地取值范围是（ ）A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦ C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦ D ．)22,e ⎡-+∞⎣12.如图,在OMN ∆中,,A B 分别是,OM ON 地中点,若(),OP xOA yOB x y R =+∈ ,且点P 落在四边形ABNM 内（含边界）,则12y x y +++地取值范围是（ ）A ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．12,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分,满分20分,将解析填在答题纸上）13.若实数()0,1a b ∈、,且满足()114a b ->,则a b 、地大小关系是_____________．14.若110tan ,,tan 342ππααα⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭,则2sin 22cos cos 44ππαα⎛⎫++ ⎪⎝⎭地值为___________．15.一个几何体地三视图如下图所示,则此几何体地体积是_____________．16.已知函数()()2lg ,064,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩,若关于x 地方程()()210f x bf x -+=有8个不同根,则实数b 地取值范围是______________．三、解答题 （本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知()2sin 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭,集合(){}|2,0M x f x x ==>,把M 中地元素从小到大依次排成一列,得到数列{}*,n a n N ∈． （1）求数列{}n a 地通项公式；（2）记211n n b a +=,设数列{}n b 地前n 项和为n T ,求证:14n T <．18.（本小题满分12分）已知向量2,1,cos ,cos 444x x x m n ⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎭⎝⎭,记()f x m n=． （1）若()1f x =,求cos 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭地值； （2）在锐角ABC ∆中,角,,A B C 地对边分别是,,a b c ,且满足()2cos cos a c B b C -=,求()2f A 地取值范围．19.（本小题满分12分）如下图所示,在直三棱柱111ABC A B C -中,平面1A BC ⊥侧面11A B BA ,且12AA AB ==．（1）求证:AB BC ⊥；（2）若直线AC 与平面1A BC 所成角地正弦值为12,求锐二面角1A A C B --地大小．20.（本小题满分12分）已知函数()()()()212ln f x a x x a R =---∈．（1）若曲线 ()()g x f x x =+上点()()1,g 1处地切线过点()0,2,求函数()g x 地单调减区间；（2）若函数()y f x =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点,求a 地最小值．21.（本小题满分12分）已知()(),,,1p x m q x a ==+,二次函数()1f x p q =+ ,关于x 地不等式()()2211f x m x m >-+-地解集为()(),1,m m -∞++∞ ,其中m 为非零常数,设()()1f xg x x =-．（1）求a 地值；（2）若存在一条与y 轴垂直地直线和函数()()ln x g x x x Γ=-+地图象相切,且切点地横坐标0x 满足0013x x -+>,求实数m 地取值范围；（3）当实数k 取何值时,函数()()()ln 1x g x k x ϕ=--存在极值？并求出相应地极值点．请从下面所给地22 , 23 ,24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做地第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲已知四边形ABCD 为圆O 地内接四边形,且BC CD =,其对角线AC 与BD 相交于点M ,过点B 作圆O 地切线交DC 地延长线于点P ．（1）求证:AB MD AD BM = ；（2）若CP MD CB BM = ,求证:AB BC =．23.本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程已知直线l地参数方程为x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,以坐标原点为极点,x 轴地正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 地极坐标方程为2222cos 3sin 12ρθρθ+=,且曲线C 地左焦点F 在直线l 上．（1）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点,求FA FB 地值；（2）求曲线C 地内接矩形地周长地最大值．24.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知0x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立．（1）求满足条件地实数t 地集合T ；（2）若1,1m n >>,对t T ∀∈,不等式23log log m n t ≥ 恒成立,求m n +地最小值．。
河北省衡水中学2020届高三数学(理)试卷及答案
0,
12、定义在
上的单调函数 f x ， x 0,
， f f x log2 x 3 ，则方程
fx f x 2
的解所在区间是（
）
1 0, A． 2
1 ,1
B． 2
1,2
C．
2,3
D．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．）
1
tan
13 、 若
tan
为
．
10 3，
2
,
sin 2
其中正确命题的个数是
．
a7 ．
16、已知函数 f x 为偶函数且 f x
fx f x 4 ，又
x2 3 x 5,0 x 1 2
2x 2 x,1 x 2
，
gx
函数
x
1
2
a
Fx
，若
f x g x 恰好有 4 个零点，则 a的取值范围
是
．
三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ）
（）
1 A． 2
y
4、已知函数
B． 1
C． 2
D． 3
sin x
m 的最大值为 4 ，最小值为 0 ．两个对称轴间最短距离为
x
2 ，直线
6 是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式为（
）
y 4sin 2x
A．
6
y 2sin 2x
2
B．
6
y
C．
2sin x 3
y 2sin 2x
2
D．
3
5、在
C 中，三个内角 ， ，C 所对的边为 a ， b ， c ，若 S C 2 3 ， a b 6 ，
精品解析：【全国百强校】河北省衡水中学2023届高三高考押题卷三理数试题(解析版)
2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷理科数学（Ⅲ）第Ⅰ卷一、选择题:本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1. 已知复数,则=（）A. B. C. D.【解析】C【解析】由题意可得: ,则= .本题选择C选项.2. 集合,,则=（）A. B.C. D.【解析】A【解析】由题意可得: ,则= .本题选择A选项.3. 已知函数地最小正周期为,则函数地图象（）A. 可由函数地图象向左平移个单位而得B. 可由函数地图象向右平移个单位而得C. 可由函数地图象向左平移个单位而得D. 可由函数地图象向右平移个单位而得【解析】D【解析】由已知得,则地图象可由函数地图象向右平移个单位而得,故选D.4. 已知实数,满足约束条件则地最大值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【解析】B【解析】绘制目标函数表示地可行域,结合目标函数可得,目标函数在点处取得最大值 .本题选择B选项.5. 一直线与平行四边形中地两边,分别交于、,且交其对角线于,若,,,则=（）学,科,网...A. B. 1 C. D. -3【解析】A【解析】由几何关系可得: ,则: ,即: ,则= .本题选择A选项.点睛:(1)应用平面向量基本定理表示向量地实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量地加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题地一般思路是:先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量地形式,再通过向量地运算来解决．6. 在如下图所示地正方向中随机投掷10000个点,则落入阴影部分（曲线为正态分布地密度曲线）地点地个数地估计值为（附:若,则,.（）A. 906B. 1359C. 2718D. 3413【解析】B【解析】由正态分布地性质可得,图中阴影部分地面积 ,则落入阴影部分（曲线为正态分布地密度曲线）地点地个数地估计值为.本题选择B选项.点睛:关于正态曲线在某个区间内取值地概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ),P(μ－2σ<X≤μ＋2σ),P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)地值．②充分利用正态曲线地对称性和曲线与x轴之间面积为1.7. 某几何体地三视图如下图所示,其中俯视图下半部分是半径为2地半圆,则该几何体地表面积是（）A. B. C. D.【解析】B【解析】根据三视图可知几何体是棱长为4地正方体挖掉半个圆柱所得地组合体,且圆柱底面圆地半径是2、母线长是4,∴该几何体地表面积 ,本题选择B选项.8. 已知数列中,,.若如下图所示地程序框图是用来计算该数列地第2018项,则判断框内地条件是（）A. B. C. D.【解析】B学,科,网...【解析】阅读流程图结合题意可得,该流程图逐项计算数列各项值,当时推出循环,则判断框内地条件是.本题选择B选项.9. 已知5件产品中有2件次品,现逐一检测,直至能确定所有次品为止,记检测地次数为,则=（）A. 3B.C.D. 4【解析】B【解析】由题意知,地可能取值为2,3,4,其概率分别为,,,所以,故选B．10. 已知抛物线:地焦点为,点是抛物线上一点,圆与线段相交于点,且被直线截得地弦长为,若=2,则=（）A. B. 1 C. 2 D. 3【解析】B【解析】由题意:M（x0,2√2）在抛物线上,则8=2px,则px=4,①由抛物线地性质可知,, ,则,∵被直线截得地弦长为√3|MA|,则,由,在Rt△MDE中,丨DE丨2+丨DM丨2=丨ME丨2,即,代入整理得:②,=2,p=2,由①②,解得:x∴ ,故选:B．【点睛】本题考查抛物线地简单几何性质,考查了抛物线地定义,考查勾股定理在抛物线地中地应用,考查数形结合思想,转化思想,属于中档题,将点A到焦点地距离转化为点A到其准线地距离是关键.11. 若定义在上地可导函数满足,且,则当时,不等式地解集为（）A. B. C. D.【解析】D【解析】不妨令 ,该函数满足题中地条件,则不等式转化为: ,整理可得: ,结合函数地定义域可得不等式地解集为.本题选择D选项.12. 已知是方程地实根,则关于实数地判断正确地是（）A. B. C. D.【解析】C【解析】令 ,则 ,函数在定义域内单调递增,方程即: ,即 ,结合函数地单调性有: .本题选择C选项.点睛:(1)利用导数研究函数地单调性地关键在于准确判定导数地符号．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分,第13题～第21题为必考题,每个试卷考生都必须作答.第22题和第23题为选考题,考生根据要求作答.学,科,网...二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13. 若地展开式中项地系数为20,则地最小值为_________．【解析】2【解析】试卷分析:展开后第项为,其中项为,即第项,系数为,即,,当且仅当时取得最小值.考点:二项式公式,重要不等式.14. 已知中,内角,,地对边分别为,,,若,,则地面积为__________．【解析】【解析】由题意有: ,则地面积为 .【解析】【解析】由题意可得,为正三角形,则,所以双曲线地离心率 .16. 已知下列命题:①命题","地否定是","；②已知,为两个命题,若""为假命题,则"为真命题"；③""是""地充分不必要条件；④"若,则且"地逆否命题为真命题其中,所有真命题地序号是__________.【解析】②【解析】逐一考查所给地命题:①命题","地否定是","；②已知,为两个命题,若""为假命题,则"为真命题"；③""是""地必要不充分条件；④"若,则且"是假命题,则它地逆否命题为假命题其中,所有真命题地序号是②.三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设为数列地前项和,且,,.（1）证明:数列为等比数列；（2）求.【解析】（1）见解析；（2）.学,科,网...【解析】试卷分析:(1)利用题意结合等比数列地定义可得数列为首先为2,公比为2地等比数列；(2)利用(1)地结论首先求得数列地通项公式,然后错位相减可得.试卷解析:（1）因为,所以,即,则,所以,又,故数列为等比数列.（2）由（1）知,所以,故.设,则,所以,所以,所以.点睛:证明数列{a n }是等比数列常用地方法:一是定义法,证明 ＝q (n ≥2,q 为常数)；二是等比中项法,证明＝a n －1·a n ＋1.若判断一个数列不是等比数列,则只需举出反例即可,也可以用反证法．18. 如下图所示,四棱锥,已知平面平面,,,,.（1）求证:；（2）若二面角为,求直线与平面所成角地正弦值.【解析】（1）见解析；（2）.【解析】试卷分析:(1)利用题意首先证得平面,结合线面垂直地定义有.(2)结合(1)地结论首先找到二面角地平面角,然后可求得直线与平面所成角地正弦值为.试卷解析:（1）中,应用余弦定理得,解得,所以,所以.因为平面平面,平面平面,,所以平面,又因为平面,学,科,网...所以.（2）由（1）平面,平面,所以.又因为,平面平面,所以是平面与平面所成地二面角地平面角,即.因为,,所以平面.所以是与平面所成地角.因为在中,,所以在中,.19. 某中学为了解高一年级学生身高发育情况,对全校700名高一年级学生按性别进行分层抽样检查,测得身高（单位:）频数分布表如表1、表2.表1:男生身高频数分布表表2:女生身高频数分布表（1）求该校高一女生地人数；（2）估计该校学生身高在地概率；（3）以样本频率为概率,现从高一年级地男生和女生中分别选出1人,设表示身高在学生地人数,求地分布列及数学期望.【解析】（1）300；（2）；（3）见解析.【解析】试卷分析:(1)利用题意得到关于人数地方程,解方程可得该校高一女生地人数为300；(2)用频率近似概率值可得该校学生身高在地概率为.(3) 由题意可得地可能取值为0,1,2.据此写出分布列,计算可得数学期望为 .试卷解析:（1）设高一女学生人数为,由表1和表2可得样本中男、女生人数分别为40,30,则,解得.即高一女学生人数为300.（2）由表1和表2可得样本中男女生身高在地人数为,样本容量为70.所以样本中该校学生身高在地概率为.因此,可估计该校学生身高在地概率为.（3）由题意可得地可能取值为0,1,2.学,科,网...由表格可知,女生身高在地概率为,男生身高在地概率为.所以,,.所以地分布列为:所以.20. 中,是地中点,,其周长为,若点在线段上,且.（1）建立合适地平面直角坐标系,求点地轨迹地方程；（2）若,是射线上不同地两点,,过点地直线与交于,,直线与交于另一点,证明:是等腰三角形.【解析】（1）；（2）见解析.【解析】试卷分析:（1）由题意得,以为坐标原点,以地方向为轴地正方向,建立平面直角坐标系,得地轨迹方程为,再将相应地点代入即可得到点地轨迹地方程；（2）由（1）中地轨迹方程得到轴,从而得到,即可证明是等腰三角形.试卷解析:解法一:（1）以为坐标原点,以地方向为轴地正方向,建立平面直角坐标系.依题意得.由,得,因为故,所以点地轨迹是以为焦点,长轴长为6地椭圆（除去长轴端点）,所以地轨迹方程为.设,依题意,所以,即,代入地轨迹方程得,,所以点地轨迹地方程为.（2）设.由题意得直线不与坐标轴平行,因为,所以直线为,与联立得,,由韦达定理,同理,所以或,当时,轴,当时,由,得,学,科,网...同理,轴.因此,故是等腰三角形.解法二:（1）以为坐标原点,以地方向为轴地正方向,建立平面直角坐标系.依题意得.在轴上取,因为点在线段上,且,所以,则,故地轨迹是以为焦点,长轴长为2地椭圆（除去长轴端点）,所以点地轨迹地方程为.（2）设,,由题意得,直线斜率不为0,且,故设直线地方程为:,其中,与椭圆方程联立得,,由韦达定理可知,,其中,因为满足椭圆方程,故有,所以.设直线地方程为:,其中,同理,故,所以,即轴,因此,故是等腰三角形.21. 已知函数,,曲线地图象在点处地切线方程为.（1）求函数地解析式；（2）当时,求证:；（3）若对任意地恒成立,求实数地取值范围.【解析】（1）；（2）见解析；（3）.学,科,网...【解析】试卷分析:(1)利用导函数研究函数切线地方法可得函数地解析式为.(2)构造新函数.结合函数地最值和单调性可得.(3)分离系数,构造新函数,,结合新函数地性质可得实数地取值范围为.试卷解析:（1）根据题意,得,则.由切线方程可得切点坐标为,将其代入,得,故.（2）令.由,得,当,,单调递减；当,,单调递增.所以,所以.（3）对任意地恒成立等价于对任意地恒成立.令,,得.由（2）可知,当时,恒成立,令,得；令,得.所以地单调增区间为,单调减区间为,故,所以.所以实数地取值范围为.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做地第一题计分,作答时请写清题号.22. 选修4-4:坐标系与参数方程在极坐标系中,曲线:,曲线:.以极点为坐标原点,极轴为轴正半轴建立直角坐标系,曲线地参数方程为（为参数）.（1）求,地直角坐标方程；（2）与,交于不同四点,这四点在上地排列顺次为,,,,求地值.【解析】（1）；（2）.【解析】(1)因为,由,得,所以曲线地直角坐标方程为；由,得,所以曲线地极坐标方程为.(2) 不妨设四点在上地排列顺次至上而下为,它们对应地参数分别为,如图,连接,则为正三角形 ,所以,,把代入,得:,即,故,所以.【点睛】本题为极坐标与参数方程,是选修内容,把极坐标方程化为直角坐标方程,需要利用公式,第二步利用直线地参数方程地几何意义,联立方程组求出,利用直线地参数方程地几何意义,进而求值.学,科,网...23. 选修4-5:不等式选讲.已知,为任意实数.（1）求证:；（2）求函数地最小值.【解析】（1）见解析；（2）.【解析】试卷分析:(1)利用不等式地性质两边做差即可证得结论；(2)利用题意结合不等式地性质可得.试卷解析:（1）,因为,所以.（2）.即.点睛:本题难以想到利用绝对值三角不等式进行放缩是失分地主要原因；对于需求最值地情况,可利用绝对值三角不等式性质定理:||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|,通过适当地添、拆项来放缩求解．。
优质解析：河北省衡水中学2023届高三下学期一模考试数学(理)试题(解析版)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1.设命题甲:2210ax ax ++>地解集是实数集R ；命题乙:01a <<,则命题甲是命题乙成立地（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解析】C 考点:必要不充分条件地判定.2.设,a b R ∈且0b ≠,若复数()3a bi +（i 为虚数单位）是实数,则（ ）A ．223b a =B ．223a b =C ．229b a =D ．229a b=【解析】A【解析】试卷分析:由题意得()30312223332233333()()()(3)(3)a bi C a C a bi C a bi C bi a ab a b b i +=+++=-+-,所以2330a b b -=,即223b a =,故选A.考点:复数概念及二项式定理地应用.3.等差数列{}n a 中,2n na a 是一个与n 无关地常数,则该常数地可能值地集合为（ ）A ．{}1 B ．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭ C ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭ D ．10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】B【解析】试卷分析:由题意得,因为数列{}n a 是等差数列,所以设数列{}n a 地通项公式为1(1)n a a n d =+-,则21(21)n a a n d =+-,所以121(1)(21)n n a a n d a a n d +-=+-,因为2n na a 是一个与n 无关地常数,所以10a d -=或0d =,所以2n na a 可能是1或12,故选B.考点:等差数列地通项公式.4.ABC ∆中三边上地高依次为111,,13511,则ABC ∆为（ ）A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不存在这样地三角形【解析】C【解析】试卷分析:由题意得,根据三角形地面积相等11113511a b c ⨯=⨯=⨯,所以可设13,5,11a b c ===,由余弦定理得22251113cos 02511A +-=<⨯⨯,即(,)2A ππ∈,所以三角形为钝角三角形,故选C.考点:余弦定理地应用.5.函数()f x 是定义在区间()0,+∞上可导函数,其导函数为()'f x ,且满足()()'20xf x f x +>,则不等式()()()201620165552016x f x f x ++<+地解集为（ ）A ．{}|2011x x >- B ．{}|2011x x <-C ．{}|20162011x x -<<- D ．{}|20110x x -<<【解析】C考点:函数单调性地应用及导数地运算.6.已知F 是椭圆22:1204x y C +=地右焦点,P 是C 上一点,()2,1A -,当APF ∆周长最小时,其面积为（ ）A ．4B ．8C ．【解析】A考点:椭圆地定义地应用.7.已知等式()()()()432432123412341111x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++,定义映射()()12341234:,,,,,,f a a a a b b b b →,则()4,3,2,1f =（ ）A ．()1,2,3,4B ．()0,3,4,0C ． ()0,3,4,1--D ．()1,0,2,2--【解析】C【解析】试卷分析:由43243212341234[(1)1][(1)1][(1)1][(1)1]x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=+-++-++-++-+所以()4,3,2,1f =432[(1)1]4[(1)1]3[(1)1]2[(1)1]1x x x x =+-++-++-++-+,所以102210143243234(1)40,(1)4(1)33,4,1b C C b C C C b b =-+==-+-+=-==-,故选C.考点:二项式定理地应用.8.如下图所示是一几何体地三视图,正视图是一等腰直角三角形,且斜边BD 长为2,侧视图是一直角三角形,俯视图为一直角梯形,且1AB BC ==,则异面直线PB 与CD 所成角地正切值是（ ）A ．1BCD ．12【解析】C考点:空间几何体地三视图及异面直线所成角地计算.【方法点晴】本题主要考查了异面直线所成角、异面直线所成角地求法、以及空间几何体地三视图等知识地应用,着重考查了空间想象能力、运算能力和推理论证能力及转化思想地应用,属于基础题,本题地解答中线将三视图转化为空间几何体,取AD 地中点E ,连接,,BE PE CE ,将CD 平移到BE ,根据异面直线所成角地定义可知PBE ∠为异面直线PB 与CD 所成角,在直角三角形PBE ∆中,即可求解角地正切值.9.某学校课题组为了研究学生地数学成绩和物理成绩之间地关系,随机抽取高二年级20名学生某次考试成绩（百分制）如下表所示:若数学成绩90分（含90分）以上为优秀,物理成绩85（含85分）以上为优秀.有多少把握认为学生地学生成绩与物理成绩有关系（ ）A ．99.9%B ． 99.5%C ．97.5%D ．95%参考数据公式:①独立性检验临界值表②独立性检验随机变量2K 地值地计算公式:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【解析】B考点:独立性检验地应用.10.在一个棱长为4地正方体内,你认为最多放入地直径为1地球地个数为（ ）A ．64B ．65C ．66D ．67【解析】C【解析】试卷分析:由题意得,底层可以16个,然后在底层每4个球之间放一个,第二层能放9个,依次类推,分别第三、第四、第五层能放16个、9个、16个,一共可放置1691691666++++=个,故选C.考点:空间几何体地机构特征.11.定义:分子为1且分母为正整数地分数成为单位分数,我们可以把1分拆为若干个不同地单位分数之和.如:1111111111111,1,1236246122561220=++=+++=++++,依次类推可得:11111111111111++++++26123042567290110132156m n =++++++,其中,,m n m n N +≤∈.设1,1x m y n ≤≤≤≤,则21x y x +++地最小值为（ ）A ．232 B ．52 C ．87 D ．343【解析】C【解析】试卷分析:由题意得,13,4520m n ==⨯=,则21111x y y x x +++=+++,因为1,1x m y n ≤≤≤≤,所以1,13y x ==时,21111x y y x x +++=+++有最小值,此时最小值为87,故选C.考点:归纳推理.【方法点晴】本题主要考查了归纳推理地应用,对于归纳推理是根据事物地前几项具备地规律,通过归纳、猜想可得整个事物具备某种规律,是一种特殊到一般地推理模式,同时着重考查了学生分析问题和解答问题地能力以及推理、计算能力,属于中档试卷,本题地解答中,根据式子地结构规律,得到,m n 地值是解答地关键.12.已知,a b R ∈,直线2y ax b π=++与函数()tan f x x =地图像在4x π=-处相切,设()2x g x e bx a =++,若在区间[]1,2上,不等式()22m g x m ≤≤-恒成立,则实数m （ ）A ．有最小值e -B ．有最小值eC ．有最大值eD ．有最大值1e +【解析】D考点:利用导数研究曲线在某点地切线方程.【方法点晴】本题主要考查了导数地运用:求切线方程和判断函数地单调性,着重考查了函数地单调性地判定及应用、不等式地恒成问题地转化为函数地最值问题,属于中档试卷,通知考查了推理、运算能力和转化地数学思想方法地运用,本题地解答中根据题意先求得,a b 地值,得出函数()g x 地解析式,再判断函数()g x 地单调性与最值,把不等式地恒成转化为函数地最值问题,即可求解m 地取值范围.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题,每题5分,满分20分．）13.已知函数()2f x x ax =-地图像在点()()1,1A f 处地切线与直线320x y ++=垂直,执行如图所示地程序框图,输出地k 值是 .【解析】6考点:程序框图地计算与输出.14.在直角坐标系xOy 中,已知点()0,1A 和点()3,4B -,若点C 在AOB ∠地平分线上,且2OC = ,则OC = .【解析】(【解析】试卷分析:由题意得,1,2OA OB == ,设OC 与AB 交于(,)D x y 点,则:1:5AD BD =,即D 分有向线段AB 所成地比为15,所以110(3)14)1355,11221155x y +-⨯+⨯==-==++,即13(,)22D -,因为2OC = ,所以2(OD OC OD=⨯= ,即点C地坐标为(.考点:向量地运算.15.如图,将平面直角坐标系中地纵轴绕原点O 顺时针旋转30︒后,构成一个斜坐标平面xOy .在此斜坐标平面xOy 中,点(),P x y 地坐标定义如下:过点P 作两坐标轴地平分线,分别交两轴于,M N 两点,则M 在Ox 轴上表示地数为x ,N 在Oy 轴上表示地数为y .那么以原点O 为圆心地单位圆在此斜坐标系下地方程为 .【解析】2210x y xy ++-=考点:圆地一般方程.【方法点晴】本题主要考查了与直角坐标有关地新定义地运算问题,对于新定义试卷,要紧紧围绕新定义,根据新定义作出合理地运算与变换,同时着重考查了转化与化归地思想方法地应用,属于中档试卷,本题地解答中,设出(,)P x y 在直角坐标下地坐标为11(,)P x y ',建立两个点之间地变换关系,代入单位圆地方程,即可曲解轨迹方程,其中正确得到两点之间地变换关系是解答地关键.16.已知ABC ∆地面积为S ,内角,,A B C 所对地边分别为,,a b c ,且2sin C A 成等比数列,2213,218322b a c ac =≤+≤,地最小值为 .【解析】34考点:等比数列地应用；余弦定理及三角形地面积公式；导数地应用.【方法点晴】本题主要考查了等比数列地通项公式,余弦定理及三角形地面积公式、导数地综合应用,试卷有一点地难度,属于难题,着重考查了学生地推理、运算能力及转化与化归思想方法地应用,本题地解答中根据题设条件先得出c a =,在利用三角恒等变换和三角形地面积公式表示成三角形地面积,进而得到a 地取值范围,,利用导数研究其单调性确定最值即可.三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设等比数列{}n a 地前n 项和为n S ,已知,12a =,且1234,3,2S S S 成等差数列.（1）求数列{}n a 地通项公式；（2）设25n n b n a =-⋅,求数列{}n b 地前n 项和n T .【解析】（1）()2n n a n N +=∈；（2）()16,110,234272,3n n n T n n n +⎧=⎪==⎨⎪+-⨯≥⎩.考点:等比数列通项公式及数列求和.18．（本小题满分12分）如图,四边形PCBM 是直角梯形,90,//,1,2PCB PM BC PM BC ∠=︒==,又1,120,AC ACB AB PC =∠=︒⊥,直线AM 与直线PC 所成地角为60︒.（1）求证:PC AC ⊥；（2）求二面角M AC B --地余弦值；（3）求点B 到平面MAC 地距离.【解析】（1）证明见解析；（2；（3.（2）在平面ABC 内,过点C 作BC 地垂线,并建立空间直角坐标系,如下图所示设()()()130,0,0,0,,0,1,,0,22P z CP z AM z z ⎫⎛⎫∴==--=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭cos 60cos AM CP AM CP AM CP ⋅︒=〈⋅==⋅0z>131,122z AM ⎛⎫=∴=∴= ⎪ ⎪⎝⎭考点:直线与平面垂直地判定与证明；空间中二面角地求解；点到平面地距离.19.（本小题满分12分）电子商务在我国发展迅猛,网上购物成为很多人地选择.某购物网站组织了一次促销活动,在网页地界面上打出广告:高级口香糖,10元钱三瓶,有8种口味供你选择（其中有一种为草莓口味）.小王点击进入网页一看,只见有很多包装完全相同地瓶装口香糖排在一起,看不见具体口味,由购买者随机点击进行选择（各种口味地高级口香糖均超过3瓶,且各种口味地瓶数相同,每点击选择一瓶后,网页自动补充相应地口香糖）.（1）小王花10元钱买三瓶,请问小王共有多少种不同组合选择方式？（2）小王花10元钱买三瓶,由小王随机点击三瓶,请列出有小王喜欢地草莓味口香糖瓶数ξ地分布列,并计算其数学期望和方差.【解析】（1）120种；（2）分布列见解析,38,2164.【解析】试卷分析:（1）若8种口味均不一样,有38C种,若其中两瓶口味一样,有1187C C种,若三瓶口味一样,有8种,由此能求出小王共有多少种选择方式；（2）由已知得1(3,)8Bξ ,由此能求出小王喜欢地草莓口香糖瓶数ξ地分布列、数学期望和方差.试卷解析:（1）若三瓶口味均不一样,有3856C =若其中两瓶口味不一样,有118756C C =,若三瓶口味一样,有8种,所以小王共有56+56+8=120种选择方式考点:排列组合地应用；离散型随机变量地期望与方差.20.（本小题满分12分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>,其短轴地下端点在抛物线24x y =地准线上.（1）求椭圆1C 地方程；（2）设O 为坐标原点,M 是直线:2l x =上地动点,F 为椭圆地右焦点,过点F 作OM 地垂线与以OM 为直径地圆2C 相交于,P Q 两点,与椭圆1C 相交于,A B 两点,如下图所示.①若PQ =求圆2C 地方程；②设2C 与四边形OAMB 地面积分别为12,S S ,若12S S λ=,求λ地取值范围.【解析】（1）2212x y +=；（2）①()()22112x y -+-=或()()22112x y -++=；②,⎫+∞⎪⎪⎭.试卷解析:（1） 椭圆短轴下端点在抛物线24x y =地准线上,1b ∴=c e a === ,a ∴=所以椭圆1C 地方程为2212x y +=（2）①由（1）,知()1,0F ,设()2,M t ,则2C 地圆心坐标为1,2t ⎛⎫⎪⎝⎭2C 地方程为()2221124t t x y ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭,当0t =时,PQ 所在直线方程为1x =,此时2PQ =,与题意不符,不成立,0t ∴≠.∴可设直线PQ 所在直线方程为()()210y x t t=--≠,即()2200x ty t +-=≠又圆2C地半径r ==由2222PQ d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,得()22211444t +⨯=+解得242t t =⇒=±∴圆2C 地方程为()()22112x y -+-=或()()22112x y -++==,即0t =时取等号又0,t λ≠∴>,当0t =时,直线PQ 地方程为1x =2AB OM ==,212S OM AB ∴=⨯=2112S OM ππ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭,12S S λ∴===综上,λ≥,所以实数λ地取值范围为,⎫+∞⎪⎪⎭.考点:椭圆地标准方程及其简单地几何性质；直线与圆锥曲线地位置关系地应用.【方法点晴】本题主要考查了圆地方程、椭圆地标准方程及其简单地几何性质、直线与圆锥曲线地位置关系地应用,着重考查了地参数地取值范围地求解及分类讨论地数学与思想方法地应用及推理、运算能力,属于中档试卷,解答时要认真审题,注意一元二次方程中韦达定理与判别式、弦长公式地灵活应用,同时熟记基本地公式是解答此类问题地基础.21.（本小题满分12分）设a 为实数,函数()()211xf x x e a x -=--.（1）当1a =时,求()f x 在3,24⎛⎫⎪⎝⎭上地最大值；（2）设函数()()()11,xg x f x a x e-=+--当()g x 有两个极值点()1212,x x xx <时,总有()()'211x g x f x λ≤,求实数λ地值（()'f x 为()f x 地导函数）.【解析】（1）最大值是()11f =；（2）21ee λ≤+.试卷解析:（1）当1a =时,()()211xf x x ex -=--则()()21'211221x xx x x e fx x xee -----=--=,令()212x h x x x e -=--,则()'122x h x x e -=--显然()'h x 在区间3,24⎛⎫⎪⎝⎭内是减函数,又'31042h ⎛⎫=< ⎪⎝⎭ ,在区间3,24⎛⎫⎪⎝⎭内,总有()'0h x <()h x ∴在区间3,24⎛⎫ ⎪⎝⎭内是减函数,又()10h =∴ 当3,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0h x >,()'0f x ∴>,此时()f x 单调递增；当()1,2x ∈时,()0h x <()'0f x ∴<,此时()f x 单调递减；()f x ∴在区间3,24⎛⎫⎪⎝⎭内地极大值也即最大值是()11f =①当10x =,11111210x x x ee λ--⎡⎤-+≤⎣⎦不等式恒成立,R λ∈；②当()10,1x ∈时,1111210x x eeλ---+≤恒成立,111121x x e e λ--≥+令函数()11111122211x xx e k x e e ---==-++显然()k x 是R 内地减函数,当()0,1x ∈,()()22011e ek x k e e λ<=∴≥++③()1,0x ∈-∞时,1111210x x eeλ---+≥恒成立,即111121x x e e λ--≤+由②,当(),0x ∈-∞,()()201e k x k e >=+,即21e e λ≤+考点:利用导数研究函数地极值；利用导数研究函数地单调性；利用导数求闭区间上函数地最值.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数地单调性,函数地极值问题,取闭区间上地最值问题,着重考查了分类讨论地数学思想和转化与化归地思想方法,是一道综合试卷,试卷有一定地难度,本题解答中把不等式可化为11111210x x x ee λ--⎡⎤-+≤⎣⎦,对任意地()1,1x ∈-∞恒成立.通过讨论①当10x =时,②当1(0,1)x ∈时,③1(,1)x ∈-∞时地情况是解解答地难点.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做地第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图,ABC ∆内接于直径为BC 地圆O ,过点A 作圆O 地切线交CB 地延长线于点,P BAC ∠地平分线分别交BC 和圆O 于点,D E ,若210PA PB ==.（1）求证:2AC AB =；（2）求AD DE ⋅地值.【解析】（1）证明见解析；（2）50.（2）由切割线定理,得2,20PA PB PC PC =⋅∴=,又5,15PB BC ==又AD 是BAC ∠地平分线,2AC CD AB DB∴==由相交弦定理,得50AD DE CD DB ⋅=⋅=.考点:圆地切割线定理；相似三角形地应用.23.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线14cos :3sin x t C y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数）,28cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）化12,C C 地方程为普通方程,并说明他们分别表示什么曲线；（2）若1C 上地点P 对应地参数为,2t Q π=为2C 上地动点,求PQ 地中点M 到直线332:2x tC y t =+⎧⎨=-+⎩（t为参数）距离地最小值.【解析】（1）()()222212:431,:1649x y C x y C ++-=+=；（2.试卷解析:（1）()()222212:431,:1649x y C x y C ++-=+=1C 为圆心是()4,3-,半径是1地圆,2C 为中心是坐标原点,焦点在x 轴,长半轴长是8,短半轴长是3地椭圆.（2）当2t π=时,()()4,4,8cos ,3sin P Q θθ-,故324cos ,2sin 2M θθ⎛⎫-++⎪⎝⎭3C 地普通方程为270x y --=,M 到3C 地距离3sin 13d θθ=--所以当43cos ,sin 55θθ==-时,d .考点:圆地参数方程；点到直线地距离公式；直线地参数方程.24.（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲已知函数()()21f x x a x a R =---∈.（1）当3a =时,求函数()f x 地最大值；（2）解关于x 地不等式()0f x ≥.【解析】（1）2；（2）当1a >时,不等式地解集为22,3a a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,当1a =时,不等式地解集为{}|1x x =当1a <,不等式地解集为2,23a a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.试卷解析:（1）当3a =时,()()()()1,332135,131,1x x f x x x x x x x --≥⎧⎪=---=-+<<⎨⎪+≤⎩所以当1x =,函数()f x 取得最大值2.（2）由()0f x ≥,得21x a x -≥-两边平方,得()()2241x a x -≥-即()2232440x a x a +-+-≤得()()2320x a x a ---+≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,所以当1a >时,不等式地解集为22,3a a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当1a =时,不等式地解集为{}|1x x =当1a <,不等式地解集为2,23a a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.考点:绝对值不等式地求解.。
精品解析：【全国百强校首发】河北省衡水中学2023届高三上学期一调考试理数试题解析(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1.集合{}{}2|ln 0,|16A x x B x x =≥=<,则A B = （ ）A ．()41，B ．[)1,4C ．[)1,+∞D ．[),4e 【解析】B考点:集合地运算2.设0.90.8 1.1log 0.9,log 0.9, 1.1a b c ===,则,,a b c 地大小关系是（ ）A ．a b c << B ．a c b << C ．b a c << D ．c a b <<【解析】C 【解析】试卷分析:由对数函数和指数函数地性质可得0.90.80.8 1.1log 0.9log 0.81,log 0.90, 1.11a b c =<==<=>故b a c <<,选C考点:对数函数和指数函数地性质3.已知1a >,()22x xf x a+=,则使()1f x <成立地一个充分不必要条件是（ ）A ．10x -<<B ．21x -<<C ．20x -<<D ．01x <<【解析】A 【解析】试卷分析:1,xa y a >∴= 在R 上为增函数,故()222202112020x xx xf x aaa x x x ++<⇔<⇔<⇔+<⇔-<<,则使()1f x <成立地一个充分不必要条件是10x -<<考点:指数函数地性质,充分不必要条件4.已知函数()20,1,01,0x f x x x ππ⎧>⎪==⎨⎪+<⎩,则()()()1f f f -地值等于（ ）A ．21-πB ．21+πC ．πD ．0【解析】C考点:由函数解析式求函数值5.曲线3cos 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭与x 轴所围图形地面积为（ ）A ．4 B ．2 C ．52D ．3【解析】D 【解析】试卷分析:曲线3cos 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭与x 轴所围图形地面积为322232cos cos sin sin 3202S xdx xdx x x ππππππ=-=-=⎰⎰考点:倒计时地几何意义及其运算6.函数sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭地图像与函数cos 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭地图像（ ）A ．有相同地对称轴但无相同地对称中心B ．有相同地对称中心但无相同地对称轴C ．既有相同地对称轴也有相同地对称中心D ．既无相同地对称中心也无相同地对称轴【解析】A考点:三角函数地对称轴,对称中心7.已知函数()f x 地图像如下图所示,则()f x 地解析式可能是（ ）A ．()3121f x x x =--B ．()3121f x x x =+-C ．()3121f x x x =-+ D ．()3121f x x x =++【解析】A 【解析】试卷分析:由图可知,函数地渐近线为12x =,排除C,D,又函数在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减,而函数121y x =-在在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减,3y x =-在R 上单调递减,则()3121f x x x =--在11,,,22⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减,选A考点:函数地单调性,渐近线8.设()f x 是奇函数,对任意地实数,x y ,有()()()f x y f x f y +=+,且当0x >时,()0f x <,则()f x 在区间[],a b 上（ ）A ．有最小值()f aB ．有最大值()f a C ．有最大值2a b f +⎛⎫⎪⎝⎭ D ．有最小值2a b f +⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】B考点:函数地单调性9.已知函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>地图象与直线()0y b b A =<<地三个相邻交点地横坐标分别为2,4,8,则()f x 地单调递增区间是（ ）A ．[]6,63,k k k Z +∈ B ．[]6,63,k k k Z ππ+∈C ．[]63,6,k k k Z -∈ D ．无法确定【解析】A 【解析】试卷分析:因为函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>地图象与直线()0y b b A =<<地三个相邻交点地横坐标分别是2,4,8,所以函数地周期为6,所以263ππω==，并且函数地3x =时取得最大值,所以函数地单调增区间为[]6,63,k k k Z +∈ ．故选A ．考点:由()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>地部分图象确定其解析式；正弦函数地单调性10.若不等式()()1213lg1lg 33x xa x ++-≥-对任意(),1x ∈-∞恒成立,则a 地取值范围是（ ）A ．(],0-∞B ．[)1,+∞C ．(],1-∞D ．[)0,+∞【解析】C考点:函数恒成立问题11.设()f x 是定义在R 上地函数,其导函数为()'f x ,若()()'1f x f x +>,()02015f =,则不等式()2014x x e f x e >+（其中e 为自然对数地底数）地解集为（ ）A ．()(),00,-∞+∞B ．()0,+∞C ．()2014,+∞D ．()(),02014,-∞+∞ 【解析】B 【解析】试卷分析:设()()()()(),()()1xxxxxg x e f x e g x e f x eef x f x '''=-=-=+-⎡⎤⎣⎦,()()'1f x f x +>()0g x '>,函数()g x 在定义域上单调递增,()2014()2014,x x e f x e g x >+∴> ,又()00(0)020*******,()(0)0g e f e g x g x =-=-=∴>⇒>,选B考点:利用导数研究函数地性质【名师点睛】本题考查函数单调性与奇偶性地结合,属于中档题．解题时结合已知条件构造函数,然后用导数判断函数地单调性是解题地关键,这里主要还是构造新函数,通过新函数地单调性解决问题,这种方法要注意体会掌握12.设函数()xf x mπ=,若存在()f x 地极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦,则m 地取值范围是（ ）A ．()(),22,-∞-+∞ B ．()(),44,-∞-+∞ C ．()(),66,-∞-+∞ D ．()(),11,-∞-+∞ 【解析】A考点:利用导数研究函数地性质【名师点睛】本题主要正弦函数地图象和性质,函数地零点地定义,属中档题.其中关键点有两个,一是由0x为()f x 地极值点,可得到0f x =（）另一个就是由()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦可得当2m 最小时,0||x 最小,而0||x 最小为12m ,进而得到不等式,解之即可.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分,满分16分,将解析填在答题纸上）13.若非零向量,a b 满足||||2||a b a b a +=-=,则向量b 与a b +地夹角为 【解析】6π【解析】试卷分析:如下图所示,设AB ,a AD b ==,∵两个非零向量满足||||2||a b a b a +=-=,则四边形ABCD 是矩形,且 1236AB cos BAC BAC OAB OAD AC ππ==∠∴∠=∠=∴∠=，，而向量b 与a b + 地夹角即为OAD ∠,故向量b 与a b + 地夹角为6π考点:向量地夹角地计算14.设函数()y f x =在R 上有定义,对于任一给定地正数p ,定义函数()()()(),,p f x f x pf x p f x p≤⎧⎪=⎨>⎪⎩,则称函数()p f x 为()f x 地"p 界函数",若给定函数()221,2f x x x p =--=,则下列结论不成立地是: .①()()00p p f f f f ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦； ②()()11p p f f f f ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦；③()()22p p f f f f ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦； ④()()33p p f f f f ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦【解析】②考点:分段函数15.已知()f x 是定义在R 上地周期为3地函数,当[)0,3x ∈时,()2122f x x x =-+.若函数()y f x a =-在区间[-3,4]上有10个零点（互不相同）,则实数a 地取值范围是【解析】102，⎛⎫ ⎪⎝⎭考点: 根地存在性及根地个数判断．16.已知,,a b c 分别是ABC ∆地三个内角,,A B C 地对边,2a =,且()()()2sin sin b A B c b sinC +-=-,则ABC ∆面积地最大值为【解析】试卷分析:由题意ABC ∆中,2a =,()()()2sin sin b A B c b sinC +-=-由正弦定理可得,()()()22222224124cos 2222b c a b c bc b a b c b c b c bc A bc bc bc +-+-+-=-⇒+-=∴====()0,3A A ππ∈∴=.再由224b c bc +-=,利用基本不等式可得 42bc bc bc≥-=4bc ∴≤,当且仅当2b c ==时,取等号,此时,ABC ∆为等边三角形,它地面积为 11sin 2222S bc A ==⨯⨯=考点:正弦定理,余弦定理,三角形地面积,基本不等式【名师点睛】本题主要考查正弦定理地应用,基本不等式,属于中档题．由条件利用正弦定理可得224b c bc +-=．再由余弦定理可得3A π=,利用基本不等式可得4bc ≤,当且仅当2b c ==时,取等号,此时,ABC ∆为等边三角形,从而求得它地面积 1sin 2S bc A =地值．三、解答题 （本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知a R ∈,命题[]2:1,2,-0p x x a ∀∈≥,命题2q :22,-0x R x ax a ∃∈++=.（1）若命题p 为真命题,求实数a 地取值范围；（2）若命题"p q ∨"为真命题,命题"p q ∧"为假命题,求实数a 地取值范围.【解析】（1）a ≤1（2）1a >或21a -<<.考点: 复合命题地真假；函数单调性地性质．18.在ABC ∆中,内角,,A B C 所对地边分别为,,a b c ,已知()sin sin 2,2C B A A A π+-=≠.(1)求角A 地取值范围；(2)若1a =,ABC ∆地面积S =C 为钝角,求角A 地大小.【解析】（Ⅰ）0,4π⎛⎤⎥⎝⎦(2) 6A π=（2）由（Ⅰ）及1a =得b =,又因为S =,所以11sin 2C ⋅=从而sin C =,因为C 为钝角,故712C π=. 由余弦定理,得271221cos 1221212c π⎛=+-⋅=+-⋅⋅=+ ⎝,故c =. 由正弦定理,得sin 1sin 2a CA c===,因此6A π=. 考点:正弦定理,余弦定理,两角和与差地三角函数19.已知函数()1xf x e ax =+-（e 为自然对数地底数）.（1）当1a =时,求过点()()1,1f 处地切线与坐标轴围成地三角形地面积；（2）若()2f x x ≥在（0,1）上恒成立,求实数a 地取值范围.【解析】（1）()121e +（2）2a e ≥-（Ⅱ）由()2f x x ≥得21xx e a x --≥,令()()()()()2222111111,'1x x x x x x e e x x e e h x x h x x x x x x x -+----==+-=--= 令()()()()1,'1,0,1,'10,x x xk x x e k x e x k x e =+-=-∈∴=-< ()k x 在()0,1x ∈为减函数,∴()()00k x k <=,又∵()()()221110,0,'0x x x e x x h x x-+--<>∴=>.∴()h x 在()0,1x ∈为增函数,()()12h x h e <=-,因此只需2a e≥-考点:利用导数研究函数地性质20.已知函数()f x 满足()()22f x f x =+,且当()0,2x ∈时,()1ln 2f x x ax a ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭,当()4,2x ∈--时,()f x 地最大值为-4.（1）求实数a 地值；（2）设0b ≠,函数()()31,1,23g x bx bx x =-∈.若对任意()11,2x ∈,总存在()21,2x ∈,使()()12f x g x =,求实数b 地取值范围.【解析】（1）1a =-（2）33ln 22b ≤-+或33ln 22b ≥-.考点:利用导数研究函数地性质21.已知函数()()323257,ln 22f x x x ax bg x x x x b =+++=+++,（,a b 为常数）.（1）若()g x 在1x =处地切线过点（0,-5）,求b 地值；（2）设函数()f x 地导函数为()'f x ,若关于x 地方程()()'f x x xf x -=有唯一解,求实数b 地取值范围；（3）令()()()F x f x g x =-,若函数()F x 存在极值,且所有极值之和大于5ln 2+,求实数a 地取值范围.【解析】(1)32b =(2) 71,,548⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）()4,+∞【解析】试卷分析:（1）由求导公式和法则求g x '（）,利用导数地几何意义求出切线地斜率,再由题意和点斜式方程求出切线方程,把1x =代入求出切点坐标,代入()g x 求出b 地值；(2)求出方程()()'f x x xf x -=地表达式,利用参数分离法构造函数,利用导数求出函数地取值范围即可求实数b 地取值范围；（3）求函数()F x 以及定义域,求()F x '出,利用导数和极值之间地关系将条件转（Ⅲ）()2ln F x ax x x =--,所以()221'x a F x x -+=-.因为()F x 存在极值,所以()221'0x a F x x-+=-=在()0,+∞上有限,即方程2210x ax -+=在()0,+∞上有限,则有280a ∆=-≥.显然当0∆=时,()F x 无极值,不合题意；所以方程必有两个不等正跟.记方程2210x ax -+=地两根12,x x ,则12121022+=x x a x x ⎧=>⎪⎪⎨⎪⎪⎩,()()()()()22221212121211ln ln 1ln 5ln 2422a a F x F x a x x x x x x +=+-+-+=-+->-,解得216a >,满足0∆>,又1202+=a x x >,即0a >,故所求a 地取值范围是()4,+∞. 考点:利用导数研究函数地性质【名师点睛】本题主要考查导数地几何意义,函数单调性,极值和最值与导数之间地关系,综合考查导数地应用．属难题.解题时要熟练应用利用导数研究函数地性质地一般方法,包括构造新函数,分离变量,以及求极值、最值等.22.已知函数()ln 1x f x x+=.（1）求函数()f x 地单调区间和极值；（2）若对任意地1x >,恒有()ln 11x k kx -++≤成立,求k 地取值范围；（3）证明:()()2222ln 2ln 3ln 21,24123++n n n n N n n n+--+⋅⋅⋅<∈≥+.【解析】（1）见解析（2）1k ≥（3）见解析试卷解析:（1）()2ln 'x f x x-=,由()'01f x x =⇒=,列表如下:x()0,11()1,+∞()'f x +0-()f x 单调递增极大值1单调递减因此增区间()0,1,减区间()1,+∞,极大值()11f =,无极小值.（2）因为1x >,()()()ln 11ln 1111x x k kx k f x k x -+-++≤⇔≤⇔-≤-,所以()max 11f x k k -=∴≥,考点:利用导数研究函数地性质,数列求和【名师点睛】本题考查了利用导数研究函数地单调性极值与最值,数列求和等知识,属难题．解题时利用到恒成立问题地等价转化方法、分离参数方法、分类讨论方法,利用研究证明地结论证明不等式,同时应用到"累加求和"、"裂项求和"、"放缩法"等方法,要求有较高推理能力与计算能力,。
河北省衡水中学高一第二学期一调试题(数学理).doc
河北省衡水中学高一第二学期一调试题（数学理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间1第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题（每小题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填在答题卡上）1．已知)0,2(π-∈x ，53sin -=x ,则tan2x= ( )A ．247-B. 247C. 247-D. 7242.已知f(x)是偶函数,它在[0,+∞)上是增函数,若1(lg )(1)f f x >则x 的取值范围是( ) A.1(,1]10 B.1(0,)(1,)10+∞ C.1(,10)10 D.1(0,)(10,)10+∞3．已知两点A(4,1),B(7,-3),则与向量同向的单位向量是 （ ）A ．34,55⎛⎫±- ⎪⎝⎭ B 。
⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53 D 。
⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 4. △ABC 中，3A π∠=, a = 4b =, 那么满足条件的ABC ∆ ( )A .有 一个解 B.有两个解 C.无解 D.不能确定5.△ABC 中，若060,A=a =sin sin sin a b cA B C +-+-等于 （ ）A ．2 B.21C.3D.236. 定义运算a b *为：,(),(),a a b a b b a b ≤⎧*=⎨>⎩ 如121*=，则函数()f x 22x x -=*的值域为（ ）。
A ．RB. （0，+∞）C. （0，1]D. [1，+∞）7．要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的（ ）A.横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度 B.横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度C.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度D.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度8.在ABC ∆中，02B 60b =ac =，，，则ABC ∆一定是 （ ） A ． 锐角三角形 B 。
衡中高三数学试卷理科
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，若f(x)在区间[1, 2]上存在零点，则f'(x)在该区间上的值域为（）A. [-1, 0]B. [0, 1]C. [-1, 1]D. [-2, 2]2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5 = 15，S10 = 55，则a6的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 103. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面内的对应点一定在（）A. 虚轴上B. 实轴上C. 第一象限D. 第二象限4. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图像开口向上，且f(-1) = 0，f(2) = 0，则a, b, c的关系为（）A. a > 0, b > 0, c > 0B. a > 0, b < 0, c > 0C. a < 0, b > 0, c < 0D. a < 0, b < 0, c > 05. 若数列{an}的通项公式为an = 3^n - 2^n，则数列{an}的前n项和为（）A. 2^n - 1B. 3^n - 2^nC. 3^n + 2^n - 1D. 3^n - 16. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1，若f'(x) = 0的解为x1, x2，则f(x)在x1, x2之间的极值为（）A. 最大值B. 最小值C. 极大值D. 极小值7. 若函数y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图像与x轴有两个交点，则a, b, c的关系为（）A. a > 0, b > 0, c > 0B. a > 0, b < 0, c > 0C. a < 0, b > 0, c < 0D. a < 0, b < 0, c > 08. 若复数z满足|z - 1| = |z + 1|，则z在复平面内的对应点一定在（）A. 虚轴上B. 实轴上C. 第一象限D. 第二象限9. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图像开口向上，且f(-1) = 0，f(2) = 0，则a, b, c的关系为（）A. a > 0, b > 0, c > 0B. a > 0, b < 0, c > 0C. a < 0, b > 0, c < 0D. a < 0, b < 0, c > 010. 若数列{an}的通项公式为an = 3^n - 2^n，则数列{an}的前n项和为（）A. 2^n - 1B. 3^n - 2^nC. 3^n + 2^n - 1D. 3^n - 111. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1，若f'(x) = 0的解为x1, x2，则f(x)在x1, x2之间的极值为（）A. 最大值B. 最小值C. 极大值D. 极小值12. 若函数y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图像与x轴有两个交点，则a, b, c的关系为（）A. a > 0, b > 0, c > 0B. a > 0, b < 0, c > 0C. a < 0, b > 0, c < 0D. a < 0, b < 0, c > 0二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，若f(x)在区间[1, 3]上的最大值为M，则M = _______。