材料力学之压杆稳定

2
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§10-3 压杆的临界应力及临界应力总图
一. 压杆的临界应力
2EI Pcr 2 (l )
cr
2 2 2EI E (i A) 2 E 2 2 2 A (l ) A (l ) A l
Pc r

l
i
E cr 2
2
i
正方形
等边角钢
槽钢
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例: 五根直径都为 d 的细长圆杆,铰接构成平面正方形 杆系 ABCD , 如各杆材料相同, 弹性模量为 E 。 求: 图 (a)、(b) 所示两种载荷作用下杆系所能承受的 最大载荷。
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解: 图 (a) 中, BD 杆受压 , 其余杆受拉。 BD 杆的临界压力 Pcr
研究压杆稳定性问题尤为重要
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压 杆 的 稳 定 性 试 验
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第十章 压杆稳定
本章要点
(1) 稳定性概念 (2) 细长压杆临界压力的计算公式——欧拉公式 (3) 稳定性强度较核
关键概念
稳定性、细长压杆、临界压力、欧拉公式、 稳定性安全系数、临界应力总图、柔度、长细比
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目录
§14-1 压杆稳定性的基本概念
§12-2 细长中心受压直杆临界力的欧拉公式 §14-3 细长压杆的临界压力 欧拉公式
§14-4 压杆的临界应力及临界应力总图 §14-5 压杆的稳定性计算
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§10-1 压杆稳定性的概念
平衡稳定性的概念
钢板尺：一端固定, 一端自由, 受轴向压
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其它构件的稳定性
P P
失稳 ---- 压杆由稳定的直线平衡状态 变为不稳定的直线平衡状态的现象。 Pcr ---- 称为临界压力 使压杆不失稳的最大轴向压力 或 使压杆失稳的最小轴向压力。 稳定性 ---- 压杆保持原有直线平衡形态的能力。 与压杆的材料、截面形式、 工程上要求 Pmax ＜ Pcr 18 长度、及杆端约束有关。
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案例2. 1995年6月29日下午, 韩国汉城三丰百货大楼, 由于盲目扩建, 加层, 致使大楼四五层立柱不堪重负而 产生失稳破坏, 大楼倒塌, 死 502人, 伤930人, 失踪113人。
10
案例3 . 2000年10月25日上午10时南京电视台演播中心 由于脚手架失稳, 造成屋顶模板倒塌,死6人, 伤34人 。

要使 P 最大,只有 FN1 , FN2 都达到临界压力, 即
P cos P sin
2E I
l1
2
（1） （2）
2E I
l2 2
2
①

90
②
将式 (2) 除式 (1) 便得
l1 tg l 2
ctg
2
arctg(ctg )
杆系所能承受的最大载荷

2EI
2a

2

2EI
2a 2
Pmax Pcr
2 EI
( 2a )
2

3 Ed 4
128a
2
图 (b) 中, BD 杆受拉 , 其余杆受压 。 四压杆的临界压力: 2EI Pcr a2 杆系所能承受的最大载荷
Pmax Pcr
3 Ed 4
2
2E p
欧拉公式的适用范围：
p
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满足该条件的压杆称为细长杆或大柔度杆。
对低碳钢, 当取 E=206GPa , σp = 200MPa ,
2E 2 206 109 p 100 6 p 200 10 所以, 对低碳钢材料, 只有压杆的长细比λ≥100 时, 才能应用欧拉公式计算其临界压力。 当压杆的长细比 λ＜λp 时, 欧拉公式已不适用。
2
μ-----长度系数
Pc r
EI
2
EI
2
EI
2
EI
2
l
2
μ=1
( 2l ) μ=2
2
(0.7l ) μ=0.7
2
(0.5l ) μ=0.521
2
Pcr
l
2l l
l C 0.7l
Pcr
Pcr
0.5l Pcr
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例: 材料相同, 直径相等的三根细长压杆如图示, 如取 E=200GPa , d=160mm , 试: 计算三根压杆的临界压力, 并比较大小。
1:1:5
Pcr a : Pcr b : Pcr c cr a A1 : cr b A2 : cr c A3
1: 2 : 20
42
例: 图示圆截面压杆 d=40mm , σs = 235MPa 。 求: 可以用经验公式σcr=304-1.12λ(MPa) 计算临界应力 时的最小杆长。
得 则
v k v 0
2
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通解为 通解： v
A sin kx B cos kx
通解 通解： v 边界条件
A sin kx B cos kx x 0 ，v 0 B0
P kl n (n 0,1,2,) k EI n P n 2 2 E I k P EI l l2
稳定性条件也可以表示成： 式中
ns t
Pc r Pmax
[ns t ]
n s t为压杆实际的工作稳定安全系数。
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例:非细长杆如果误用了欧拉公式计算临界力， 其结果比实际＿＿＿＿＿＿； 大，危险 横截面上的正应力有可能＿＿＿＿＿＿＿＿。 超过比例极限
例: 三根材料、长度均相同、两端均为球铰支座的 细长杆结构, 各自的截面形状如图。 求: 三根杆的临界应力之比以及临界力之比。
8
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例: 圆截面的细长压杆, 材料、杆长和杆端约束保持 不变, 若将压杆的直径缩小一半, 则其临界力为 1 原压杆的＿＿ 16 ; 若将压杆的横截面改变为面积相同 的正方形截面, 则其临界力为原压杆的＿＿倍。 3
解: (1).
(2).
2 E I E 64 Pcr 2 ( l) ( l) 2
在工程上, 一般采用经验公式。在我国的设计手册 和规范中给出的是直线公式和抛物线公式。
则
直线公式
cr a b
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式中 a、b 是与材料性质有关的系数。
表 13-2 直线公式的系数 a 和 b
材料 A3 钢 优质碳钢 硅钢 铬钼钢 铸铁 强铝 松木 a(MPa) 304 461 578 9807 332.2 373 28.7 b(MPa) 1.12 2.568 3.744 5.296 1.454 2.15 0.19
2
图 (b) 中, AB , BD 杆受压
N AB N BD P2
EI
2
a
2

P2
2EI
a2
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例: 长方形截面细长压杆, b/h=1/2 ; 如果将 b 改为 h 后 仍为细长杆, 临界力 Pcr 是原来的多少倍？ 解：
Pcr b Pcr a
2 E Ib h4 3 Ib ( l) 2 h 12 2 3 E Ia b I a hb ( l) 2 12
解: 由
a s 304 235 616 . s 112 . b l 要求 s i
有
0.04 i l s 616 . 4 0.88 m 0.7
E cr 2
2
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cr a : cr b : cr c
l
i
4
E E E : : 2 2 2 1 2 3
2 2 2
I1 I 2 I 3 i1 : i2 : i3 A : A : A 1 2 3
2 2 2
4
2 4 2 d d d d d 4 2 64 4 2 64 64 : : d 2 d2 d2 4 2 4 4 4
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工程实例
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工程背景
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工程背景
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失稳破坏案例
案例 1
上世纪初, 享有盛誉的美国桥梁学家库伯 (Theodore Cooper)在圣劳伦斯河上建造魁比克大桥 (Quebec Bridge) 1907年8月29日, 发生稳定性破坏, 85 位工人死亡, 成为上世纪十大工程惨剧之一。
P P P
7m
5m
(a)
(b)
9m (c)
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P
解: 三根压杆的临界压力分别为:
2 EI 2 200 109 (a) . Plj 2 L 1 52
EI b . Plj 2 L
2
0.164
64 2540kN
0.7 7
2
x l ，v 0 A sin kl 0
sin kl 0
x
Fcr
l m m

2EI
l
2
两端铰支细长压杆临界压力的欧拉公式
y
B
v A sin kx A sin
x

A — 最大挠度
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二. 其它杆端约束条件下细长压杆的临界压力
EI P cr 2 ( l)
§10-2 细长压杆的临界压力欧拉公式
一. 两端铰支细长压杆的临界压力 设: 理想的中心受压细长杆, 在最小抗弯平面内失稳。
x
Fcr
M ( x) P v E I v M ( x) P v
F
M(x)=-Fv m x B
l m m m x
w
y B
y
P 即 v v0 即 EI P 2 令 令k EI