真空中静电场
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
真空静电场
习题解答：
12-1 将以长带电细线弯成如图形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为λ，圆弧的半径分别为R 1和R 2，直线部分长度为l 。试求，圆心O 处的电场强度。 解：将所有的电荷当作正电荷来处理，在处θ
取一电荷元dq,
它在O 点处产生的场强为： 将其分解为二分量：
对各分量进行积分得：
同理，下半圆积分得：
所以合场强为：
x
00x
x
dx Edx U a
x a εσ=εσ-==≤≤-⎰
⎰dl
dq λ=2
1
0210R 4dl
R 4dq dE πελ=πε=
θ
πελ=
θπε=
θ=cos R 4dl cos R 4dq cos dE dE 2
102
10x θ
πελ=θπε=
θ=sin R 4dl
sin R 4dq sin dE dE 2
1
02
1
0y +
πελ=
θθπελ=
=⎰
⎰π
方向2
00
2
2
02y R 2d sin R 4R dE E y 0d cos R 4R dE E x 0
2
1
01
x ⎰
⎰π=θθπελ==j
R 2d sin R 4R dE E y 1
0021
01y -πελ
=θθπελ==⎰⎰π方向0
d cos R 4R dE E x 02202
x ⎰⎰π=θθπελ==
12-2 一半径为R 的半球面，均匀的带有电荷，其面密度为σ。求球心处的场强的大小。
解：可将半球面分割成无限多个细同轴圆环，由圆环轴线上的场强公式合场强迭加原理，求得球心处的场强。取如图的细圆环，其在O 处产生的场强大小为： 其中x 为圆环中心至球心距离，r 为圆环半径
将带入上式得到：
所以球心处的场强为：
12-3 用场强迭加原理求证无限大均匀带电板外一点的场强大小为：
由圆环轴线上的场强公式：
对无限大平板X →∞,所以：
12-4 有一带电球壳内外半径分别为R 1和R 2，电荷体密度为ρ=A/r ，A 为正数，在球心处放置一点电荷Q 。求： （1）空间任一点的场强；
（2）当A 为多少时，球壳区域内的场强的大小与r 无关； 解：（1）球壳所带的电量为：
(
)
i
r
x 4Xd q
E d 2
/32
2
+πε=
Rdx
2dq πσ=d x
R 2x
d E 2
0εσ=
⎰
⎰εσ
=
εσ=
=
R
204d x R 2x d E E 方向向右
2E εσ=
(
)
i
r x 4Xd q
E d 2
/32
20 +πε=
(
)
220
2
/32
20
o
2X X
12r x 4Xdq
dE E εσ=⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+-εσ=+πε=
=
⎰
⎰
∞
∞
4r 34d r A d v d q 3π=⎪⎭
⎫
⎝⎛π=
ρ=(
)
2
1
2
2
R R v
3v
R R A 2Ard r 4r 34d r A d v d q q 2
1
-π=π=
⎪⎭
⎫
⎝⎛π=
ρ=
=⎰
⎰
⎰⎰j R 1R 12E 21
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-πελ=
由高斯定理得各区间的场强分为：
（2）当A 为多少，球壳区域内的场强的大小与r 无关？由题意知，此区域内的场强随r 的一阶导数为零。解得：
12-5 一无限大平面，开有一个半径为R 的圆孔，设平面均匀带电，电荷面密度为σ。求孔的轴线上离孔心为X 处的场强。 解：无限大平面在其周围形成的场强为：
半径为R 的圆盘在其轴线X 处形成的场强为：
孔的轴线上离孔心为X 处的场强可看成为以上二者的迭加：
12-6 两个同心球面，其半径分别为0.10m 和0.30m ，小球上带有电荷
q 1=-1.0⨯10-8C ，大球上带有电荷q 2=-+1.5⨯10-8C 。求离球心为：（1）0.05m ； （2）0.20m ； （3）0.50m 各处的场强。 解：由高斯定理得： 代入数值得：
()()
(
)
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎨⎧〉πε-π+〈〈πε-π+〈πε=22
02
1222
12
021
212
0R r r 4R R A 2Q R r R r 4R r A 2Q R r r
4Q
E 2
1
R 2Q A π=
2E εσ=
i R x x 12E 2
20
⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
+-εσ=
i R x 2x
i R x x
12i 2E 2
202200 +εσ=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-εσ-
εσ=
∴⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧〉πε+≤≤πε〈=m
30.0r r
4q
q m 30.0r m 10.0r 4q m
10.0r 0E 2
02
1
2
01