真空中静电场

真空静电场习题解答：12-1 将以长带电细线弯成如图形状，设电荷均匀分布，电荷线密度为λ，圆弧的半径分别为R 1和R 2，直线部分长度为l 。

试求，圆心O 处的电场强度。

解：将所有的电荷当作正电荷来处理，在处θ取一电荷元dq,它在O 点处产生的场强为： 将其分解为二分量：对各分量进行积分得：同理，下半圆积分得：所以合场强为：x00xxdx Edx U ax a εσ=εσ-==≤≤-⎰⎰dldq λ=210210R 4dlR 4dq dE πελ=πε=θπελ=θπε=θ=cos R 4dl cos R 4dq cos dE dE 210210x θπελ=θπε=θ=sin R 4dlsin R 4dq sin dE dE 210210y +πελ=θθπελ==⎰⎰π方向2002202y R 2d sin R 4R dE E y 0d cos R 4R dE E x 02101x ⎰⎰π=θθπελ==jR 2d sin R 4R dE E y 1002101y -πελ=θθπελ==⎰⎰π方向0d cos R 4R dE E x 02202x ⎰⎰π=θθπελ==12-2 一半径为R 的半球面，均匀的带有电荷，其面密度为σ。

求球心处的场强的大小。

解：可将半球面分割成无限多个细同轴圆环，由圆环轴线上的场强公式合场强迭加原理，求得球心处的场强。

取如图的细圆环，其在O 处产生的场强大小为： 其中x 为圆环中心至球心距离，r 为圆环半径将带入上式得到：所以球心处的场强为：12-3 用场强迭加原理求证无限大均匀带电板外一点的场强大小为：由圆环轴线上的场强公式：对无限大平板X →∞,所以：12-4 有一带电球壳内外半径分别为R 1和R 2，电荷体密度为ρ=A/r ，A 为正数，在球心处放置一点电荷Q 。

求： （1）空间任一点的场强；（2）当A 为多少时，球壳区域内的场强的大小与r 无关； 解：（1）球壳所带的电量为：()irx 4Xd qE d 2/322+πε=Rdx2dq πσ=d xR 2xd E 20εσ=⎰⎰εσ=εσ==R204d x R 2x d E E 方向向右2E εσ=()ir x 4Xd qE d 2/3220 +πε=()2202/3220o2X X12r x 4XdqdE E εσ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+-εσ=+πε==⎰⎰∞∞4r 34d r A d v d q 3π=⎪⎭⎫⎝⎛π=ρ=()2122R R v3vR R A 2Ard r 4r 34d r A d v d q q 21-π=π=⎪⎭⎫⎝⎛π=ρ==⎰⎰⎰⎰j R 1R 12E 21⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-πελ=由高斯定理得各区间的场强分为：（2）当A 为多少，球壳区域内的场强的大小与r 无关？由题意知，此区域内的场强随r 的一阶导数为零。

解得：12-5 一无限大平面，开有一个半径为R 的圆孔，设平面均匀带电，电荷面密度为σ。

求孔的轴线上离孔心为X 处的场强。

解：无限大平面在其周围形成的场强为：半径为R 的圆盘在其轴线X 处形成的场强为：孔的轴线上离孔心为X 处的场强可看成为以上二者的迭加：12-6 两个同心球面，其半径分别为0.10m 和0.30m ，小球上带有电荷q 1=-1.0⨯10-8C ，大球上带有电荷q 2=-+1.5⨯10-8C 。

求离球心为：（1）0.05m ； （2）0.20m ； （3）0.50m 各处的场强。

解：由高斯定理得： 代入数值得：()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧〉πε-π+〈〈πε-π+〈πε=22021222120212120R r r 4R R A 2Q R r R r 4R r A 2Q R r r4QE 21R 2Q A π=2E εσ=i R x x 12E 220⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-εσ=i R x 2xi R x x12i 2E 2202200 +εσ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-εσ-εσ=∴⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧〉πε+≤≤πε〈=m30.0r r4qq m 30.0r m 10.0r 4q m10.0r 0E 202120112-7 两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R 1和R 2(R 1<R 2)，单位长度上的电量为τ，求离轴为r 处的电场强度。

r 分以下三种情况：（1）r <R 1 (2) R 1<r <R 2 (3)r >R 2解：设内柱面带正电，外柱面带负电，作柱状高斯面，由高斯定理得：12-9 据量子理论，氢原子中心是一带正电e云，在正常状态下，电子云的电荷密度分布是球对称的，求原子内电场强度的分布。

已知：解：由高斯定理：12-10 两条相互平行的，无限长均匀带有相反电荷的导线，相距为a ，电荷线密度为λ。

（1）求由导线构成的平面上，任一点的场强（设该点到其一线的垂直距离为x ）；（2）求每根导线上，单位长度导线受到另一根导线上电荷作用的电场力。

解：（1）一根无限长均匀带电直线在线外离直线距离r 处的场强为： 根据上式及场强迭加原理得两直线间的场强为：a⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⨯=πε+=⨯=πε==--m 50.0r m .v 109r4q q m 20.0r m .v 1025.2r 4q m 05.0r 0E 12202113201⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧〉≤≤πετ〈=21201R r 0R r R r 2R r 0E ())a (ea q r 0a r 23e 0是玻尔半径-π-=ρ()dre a r q 4dr r 4e a q dv r dq 0a r 232e 2a r 23e---=ππ-=ρ=()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=-=ρ==--⎰⎰⎰1a R 2a R 2eq d r r ea q 4v d r d q q 0202a R 2e R2a r230evv 0=⇒ε-=πE qe r4E 02r2E 0πελ=()220021x 4a a 2x 2a 1x 2a 12E E E -πελ=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-πελ=+=⎰⎰-=vdu uv udv（2）两直线间单位长度的相互吸引力为：12-11如图所示：在点电荷q 的电场中，取一半径为R 的圆形平面，设点电荷q 在垂直平面并通过圆心O 的轴线上。

试求通过此平面的电场强度通量。

以P 点为球心，r 为半径作一球面。

可以看出通过半径为R 的圆平面达到电通量与通过以它为周界的球冠面的电通量相等。

球冠的面积为： 整个球的面积为：通过球面的电通量为：通过球冠面的电通量12-12 半径为R 的半球面置于场强为E 的匀强电场中，如图：试计算通过此半球面的电场强度通量。

如果半球面以OO'为轴转过90少？。

解：通过此半球面的电场强度通量与通过半径为的圆面相同。

半球面以OO'为轴转过90度，通过此半球面的电场强度通量少0。

12-13 有一非均匀电场，其场强为下式。

试求：通过如图所示的边长为a 的立方体的高斯面的电场强度通量。

已知：场强仅沿方向。

因场强为非匀强场，所以穿过立方体左、右面的电通量不等。

由题意知： 穿过立方体左面的电通量：穿过立方体右面的电通量Ra2E F 02πελ=λ=()h r r 2S -π=20r 4S π=00q ε=ϕ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ε=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ε=π-π⋅ε=ϕ=ϕ22002000h R h 12qr h 12q r 4h r r 2q S S 2e R E π=φ()ikx E E 0+=20e a E -=φ()20e a ka E +=φ其它方向为0。

所以通过整个高斯面的电通量为： 12-14 见例612-15 正电荷Q 均匀分布在半径为R 的球体内，试求球内任一点r a 处和球外任一点r b 处的电势差。

解：由高斯定理：由电势的定义式：12-16 两共轴圆柱面（R 1=3⨯10-2m ，R 2=0.1m ）带有等量异号电荷，两者的电势差为450v ，求（1）圆柱面单位长度上带的电量多少。

（2）两圆柱面之间的电场强度。

解：设圆柱面单位长度上带的电量λ，由高斯定理：两圆柱面之间的电场强度12-17 圆盘半径为8.0⨯10-2m ，均匀带电，电荷面密度为σ=2.0⨯10-5C.m -2。

（1）求轴线上任一点的电势。

（2）从场强与电势的关系，求轴线上任一点的场强。

（3）计算离盘心0.10m 处的电势和场强。

解：(1)在圆盘上取电荷元dq ，它在轴线处形成的电势为： 圆盘在轴线处形成的电势为：(2)根据场强与电势的关系：()32020e ka a ka E a E =++-=φ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥πε〈ερ=Rr r4Q R r 3r E 200⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-πε+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-πε=⋅πε+⋅ερ=⋅=⎰⎰⎰b 02a 230r R20Rr 0r r r 1R 14Q 2r 2R R 4Qd r r4Qd r 3rl d E U babar2E 0πελ=450R R ln 2dr r 2l d E U 120R R 0R R 2121=πελ=πελ=⋅=⎰⎰18m.C 1008.2--⨯=λ∴()12m V r /1074.3U -⋅⨯=rd r 2d q πσ=22022x r 2rdrxr 4dq dU +εσ=+πε=zUE ,y U E ,x U E z y x ∂∂-=∂∂-=∂∂-=()xx R 2U 220-+εσ=（3）带入数值得：12-18 两根半径为a ，相距为d 的无限长直导线(d >a)，带有等量而异号的电荷，单位长度上的电量为τ，求两根导线的电势差。

（每一根导线为一等势体）解：建立如图的坐标系，在两导线间的坐标轴上取一点x ，其合场强为： 则两导线间的电势差为：12-19 求电偶极子电势的直角坐标表达式，并用梯度求场强的直角坐标表达式。

坐标选取如图。

已知：解：由电势迭加原理，P 点的电势为：12-20 如图所示：有一长为l 的均匀带电细棒，电荷线密度为λ，试求任一点P 的电势和场强。

解：取电荷元dq它在点形成的电势为：τ L Y P b l O a dx X0E ,0E ,x R x 12x U E z y220x ==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-εσ=∂∂-=∴154m V 1048.2E ;V 1017.3U -⋅⨯=⨯=()x d 2x2E E E 00-πετ+πετ=+=-+aa d ln dx x d 1x 12Edx U 0a d aad a-πετ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+πετ==⎰⎰--l q P =3020000r 4r 4cos ql r r r r 4q r 4q r 4q U πε=πεθ≅-⋅πε=πε+πε=+-+--+()2/3220yx 4qlxU +πε=∴zUE ,y U E ,x U E z y x ∂∂-=∂∂-=∂∂-= dq λ=()()2222y x4dx y x4dqdU +πελ=+πε==zUE ,y U E ,x U E z y x ∂∂-=∂∂-=∂∂-= ()()⎰⎰++=+πελ==22220y x x ln yx 4dx dU U ()()()E ,yx 4xy 3ql E ,yx 4qlxE z 2/5220y 2/5220x =+πε--=+πε-=由电势迭加原理：12-21 如图所示：两根均匀带电的无限长平行直线（与纸面垂直），电荷的线密度分别为+λ和-λ，两根直线相距为2a ，求空间任一点P(x,y)的电势。