运筹学课件1-1线性规划问题及其数学模型
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n
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j
b
b1 b 2 ... bm
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– 用矩阵表示
max Z CX AX b X 0 a 11 ..... a 1 n A .......... .... a ...... a mn m1 b 资源向量 ( P1 , P2 ,..., P3 ) C -价 值ax 向量 m 0 0 0 ... 0
量的等式或不等式。
可行域中使目标 函数达到最优的 决策变量的值 满足约束条件的决 策变量的取值范围
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问题中要确定的未知量，表 明规划中的用数量表示的方 案、措施，可由决策者决定 和控制。
线性规划问题的共同特征
• 一组决策变量X表示一个方案,一般X大 于等于零。 • 约束条件是线性等式或不等式。 • 目标函数是线性的。 求目标函数最大 化或最小化
•基本概念
决策变量（Decision variables） 目标函数（Objective function ） 它是决策变量的函数 约束条件（Constraint conditions） 指决策变量取值时受到 可行域（Feasible region) 的各种资源条件的限制 最优解（Optimal solution) ，通常表达为含决策变
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建模步骤：
• 第一步：确定决策变量
x1：生产产品甲的数量（吨） x2：生产产品乙的数量（吨）
上述变量为由决策者决定的未知量，称 为决策变量。
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• 第二步：确定约束条件
本例的约束条件为三种资源的限制用量。对各 个限制条件逐一加以分析，写出反映其限制关 系的表达式（等式或不等式），从而得到约束 条件。
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例4：营养问题
某动物饲养场利用n种天然饲料来配制混 合饲料使用，已知单位第j种天然饲料的价格 为cj，它含有第i种营养成份的量为aij；根据 动物生长的需要，要求具有m种营养成份，且 第i种营养成份的含量不得低于bi。试确定在 保证动物营养需要的条件下用最低的饲料配 合法。
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– 用向量表示
max Z CX n Pjx j b i1 x 0 j 1 , 2 ,... n j 其中： x1 x 2 X P ... xn C (c 1 , c 2 ,...c a1 j a2j ... a mj
x1 x1
3 x1 x 2 2 x 3 7 x 1 , x 2 0 , x 3 无约束 x x x 3 4 5
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解 ：标准形为
max x1 x1
z x1 2x2 3(x4 x5) 0x6 0x7 x2 (x4 x5) x6 x2 (x4 x5) 7 x7 2 7
max z＝7 x1十5 x2
这就是该问题的目标函数。
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经上述分析，可将该问题表示为：
max z＝7 x1十5 x2
3 x 1十2 4 x 1十6 7 x1 ≥ 0， x2 x2 x2 x2 ≤ 90 ≤ 200 ≤ 210 ≥ 0
这种数学表达方式，称为该问题的一种数学模型。
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产品 I
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什么是线性规划？
在工业、农业、国防、建筑、交通运输、科研、商业 等各种活动中，常常要求对资源进行统一分配、全面规划 和合理调度，以便从各种可能安排方案中找出最优的计划 或设计，用以指导生产。在这类问题中，一方面有期望达 到最优要求的目标（例如希望产值最高或消耗最少），另 一方面又要受到一定条件的限制（例如人力、物力、财力 的限制），如何安排才能使成效最高，消耗既定资源取得 的收益最大，或达到既定收益所消耗的资源最少。这可以 借助线性规划（Linear Programming，LP）来解决。
( P 1 , P 2 ,...,
Pn )
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一般线性规划问题的标准形化
• min Z=CX 等价于 max Z’ = -CX • “” 约束：加入非负松驰变量 例： 目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x 1 + 2x2 8 4x 1 16 4x2 12 x 1、 x 2 0
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• “” 约束： 减去非负剩余变量 ； • x 可正可负（即无约束）；
k
' " ' " Max x 令 x x x xx , k k k k k 60
例 ： min
z x1 2 x 2 3 x 3 x2 x2 x 3 7 x7 x3 2
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第一步：确定变量 x1、 x2 、 x3 、 x4 分别表示用于项目A、 B、C、D的投资百分数。 第二步：确定约束条件 x1－ x2 － x3 － x4≤0 x2 ＋ x3 － x4≥0 x1 ＋ x2 ＋ x3 ＋ x4 ＝1 xj ≥0，j＝1，2,…,4
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第三步：确定目标函数 max z=0.15x1+0.1x2+0.08x3+0.12x4 数学模型 max z = 0.15x1 + 0.1x2 + 0.08x3 + 0.12x4 x1 － x2 － x3 － x4 ≤ 0 x2 ＋ x3 － x4 ≥ 0 x1 ＋ x2 ＋ x3 ＋ x4 ＝ 1 xj ≥0，j＝1，2,…,4
C—价值向量 b—资源向量 X—决策变量向量
X 策变CX 量向量 Z- 决
AX X a 1 1 ..... a 1 n A .......... .... a m 1 ...... a m n
b 0 0 0 0 ... 0
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一般线性规划问题的标准形化
• min Z=CX 等价于 max Z’ = -CX • “” 约束：加入非负松驰变量 例： max z 2 x1 3x2 0 x3 0 x4 0 x5
8 x1 2 x2 x3 4 x x4 16 1 4 x x 12 2 5 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
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线性规划研究的内容
• 在现有的资源条件下，如何充分利用资 源，使任务或目标完成得最好（求极大 化问题）。
• 在给定目标下，如何以最少的资源消耗 ，实现这个目标（求极小化问题）。
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• 第1步 -确定决策变量
•设
x 2 ——II的产量
x 1 ——I的产量
是问题中要确定的未知量， 表明规划中的用数量表示的 方案、措施，可由决策者决 定和控制。
例3：投资问题
某单位有一批资金用于四个工程项目的投资， 用于各工程项目时所得之净收益（投入资金的百 分比）如下表所示：
工程项目
收益（％）
A 15
B 10
C 8
D 12
由于某种原因，决定用于项目A的投资不大于 其它各项投资之和；而用于项目B和C的投资不小 于项目D的投资。试确定使该单位收益最大的投 资分配方案。
第一章 线形规划
本章学习重点
线性规划是运筹学中比较成熟的一个分支 ，它具有成熟而有效的求解方法，可以借助于 计算机进行求解，在军事、经济等领域中具有 广泛的应用。学习本章，要掌握线性规划的数 学模型（建模以及把不同形式的线性规划问题 化为标准形式的方法）、求解方法。
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第一节
线性规划问题 及其数学模型
x1
x2
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第2步 --定义目标函数
利润
Max Z =
x1 +
x2
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第2步 --定义目标函数
Max Z = 2 x1 + 3 x2
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对我们有 何限制?
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第3步 --表示约束条件
x1 + 2 x2 8 4 x1 16 4 x2 12 x1、 x2 0
资源A限制：3 x1十2 x2 ≤ 90 资源B限制；4 x1十6 x2 ≤ 200 资源C限制： 7 x2 ≤ 210 此外，产量x1和x2不能为负，只能取正值 非负条件： x1 ≥0， x2 ≥ 0
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• 第三步：确定目标函数
以 Z 表示生产甲和乙两种产品各为x1 和x2（吨）时产生的经济价值，总经济价值 最高的目标可表示为：
线性规划问题的提出 线性规划的基本概念 线性规划的数学模型 线性规划问题的标准形式
继续
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•问题的提出
• 引例: 生产计划问题
I 1 4 0 2 II 2 0 4 3 资源限量 8 台时 16kg 12kg
设备 原材料 A 原材料 B 利润
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如何安排生产 使利润最大
？
产品 2
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线性规划问题的标准形式目标函数最大
• 标准形式为: 约束条件等式 决策变量非负
Max Z c1 x1 c 2 x 2 ... c n x n a 11 x1 a 12 x 2 ... a 1 n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n b 2 .......... .......... .......... .......... .. a x a x ... a x b m2 2 mn n m m1 1 b1 , b 2 ,... b m 0 x1 , x 2 ,..., x n 0
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线性规划模型的一般形式
Max ( min ) z c1 x1 c 2 x 2 ... c n x n a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n ( , )b1 a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n ( , )b2 .......... .......... .......... .......... . .......... a x a x ... a x ( , )b m2 2 mn n m m1 1 x1 , x 2 ,..., x n 0
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–
简写为
max Z
n
c
j 1
n
j
xj i 1, 2 ,... m j 1, 2 ,..., n
a ij x j b i j 1 x 0 j
其中：cj ---------表示目标函数系数 aij---------表示约束条件系数 bi ---------表示约束右端项
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例2(书)
某厂生产甲乙两种产品，已知制成一吨产品 甲需用资源A 3吨，资源B 4m3；制成一吨产品乙 需用资源A 2吨，资源B 6m3，资源c 7个单位。 若一吨产品甲和乙的经济价值分别为7万元和5万 元，三种资源的限制量分别为90吨、200m3和210 个单位，试决定应生产这两种产品各多少吨才能 使创造的总经济价值最高?
设备 原材料 A 原材料 B 利润 I 1 4 0 2 II 2 0 4 3 资源限量 8 台时 16kg 12kg
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该计划的数学模型
目标函数
约束条件
Max Z = 2x1 + 3x2
x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x 1、 x 2 0
x1
x2
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• 设xj为第j种天然饲料的使用量，则aij xj为第j 种天然饲料含有第i种营养成分的数量。则：
• 考虑到非负约束和目标要求，其数学模型为：
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线性规划三要素
线性规划(Linear Programming，LP)有：
• 一组有待决策的变量 （指模型中要求解的未知量） • 一个线性的目标函数 （指模型中要达到的目标的数学表达式） • 一组线性的约束条件 （指模型中的变量取值所需要满足的一切限制 条件）
)
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j
b
b1 b 2 ... bm
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– 用矩阵表示
max Z CX AX b X 0 a 11 ..... a 1 n A .......... .... a ...... a mn m1 b 资源向量 ( P1 , P2 ,..., P3 ) C -价 值ax 向量 m 0 0 0 ... 0
量的等式或不等式。
可行域中使目标 函数达到最优的 决策变量的值 满足约束条件的决 策变量的取值范围
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问题中要确定的未知量，表 明规划中的用数量表示的方 案、措施，可由决策者决定 和控制。
线性规划问题的共同特征
• 一组决策变量X表示一个方案,一般X大 于等于零。 • 约束条件是线性等式或不等式。 • 目标函数是线性的。 求目标函数最大 化或最小化
•基本概念
决策变量（Decision variables） 目标函数（Objective function ） 它是决策变量的函数 约束条件（Constraint conditions） 指决策变量取值时受到 可行域（Feasible region) 的各种资源条件的限制 最优解（Optimal solution) ，通常表达为含决策变
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建模步骤：
• 第一步：确定决策变量
x1：生产产品甲的数量（吨） x2：生产产品乙的数量（吨）
上述变量为由决策者决定的未知量，称 为决策变量。
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• 第二步：确定约束条件
本例的约束条件为三种资源的限制用量。对各 个限制条件逐一加以分析，写出反映其限制关 系的表达式（等式或不等式），从而得到约束 条件。
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例4：营养问题
某动物饲养场利用n种天然饲料来配制混 合饲料使用，已知单位第j种天然饲料的价格 为cj，它含有第i种营养成份的量为aij；根据 动物生长的需要，要求具有m种营养成份，且 第i种营养成份的含量不得低于bi。试确定在 保证动物营养需要的条件下用最低的饲料配 合法。
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– 用向量表示
max Z CX n Pjx j b i1 x 0 j 1 , 2 ,... n j 其中： x1 x 2 X P ... xn C (c 1 , c 2 ,...c a1 j a2j ... a mj
x1 x1
3 x1 x 2 2 x 3 7 x 1 , x 2 0 , x 3 无约束 x x x 3 4 5
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解 ：标准形为
max x1 x1
z x1 2x2 3(x4 x5) 0x6 0x7 x2 (x4 x5) x6 x2 (x4 x5) 7 x7 2 7
max z＝7 x1十5 x2
这就是该问题的目标函数。
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经上述分析，可将该问题表示为：
max z＝7 x1十5 x2
3 x 1十2 4 x 1十6 7 x1 ≥ 0， x2 x2 x2 x2 ≤ 90 ≤ 200 ≤ 210 ≥ 0
这种数学表达方式，称为该问题的一种数学模型。
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产品 I
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什么是线性规划？
在工业、农业、国防、建筑、交通运输、科研、商业 等各种活动中，常常要求对资源进行统一分配、全面规划 和合理调度，以便从各种可能安排方案中找出最优的计划 或设计，用以指导生产。在这类问题中，一方面有期望达 到最优要求的目标（例如希望产值最高或消耗最少），另 一方面又要受到一定条件的限制（例如人力、物力、财力 的限制），如何安排才能使成效最高，消耗既定资源取得 的收益最大，或达到既定收益所消耗的资源最少。这可以 借助线性规划（Linear Programming，LP）来解决。
( P 1 , P 2 ,...,
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一般线性规划问题的标准形化
• min Z=CX 等价于 max Z’ = -CX • “” 约束：加入非负松驰变量 例： 目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x 1 + 2x2 8 4x 1 16 4x2 12 x 1、 x 2 0
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• “” 约束： 减去非负剩余变量 ； • x 可正可负（即无约束）；
k
' " ' " Max x 令 x x x xx , k k k k k 60
例 ： min
z x1 2 x 2 3 x 3 x2 x2 x 3 7 x7 x3 2
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第一步：确定变量 x1、 x2 、 x3 、 x4 分别表示用于项目A、 B、C、D的投资百分数。 第二步：确定约束条件 x1－ x2 － x3 － x4≤0 x2 ＋ x3 － x4≥0 x1 ＋ x2 ＋ x3 ＋ x4 ＝1 xj ≥0，j＝1，2,…,4
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第三步：确定目标函数 max z=0.15x1+0.1x2+0.08x3+0.12x4 数学模型 max z = 0.15x1 + 0.1x2 + 0.08x3 + 0.12x4 x1 － x2 － x3 － x4 ≤ 0 x2 ＋ x3 － x4 ≥ 0 x1 ＋ x2 ＋ x3 ＋ x4 ＝ 1 xj ≥0，j＝1，2,…,4
C—价值向量 b—资源向量 X—决策变量向量
X 策变CX 量向量 Z- 决
AX X a 1 1 ..... a 1 n A .......... .... a m 1 ...... a m n
b 0 0 0 0 ... 0
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一般线性规划问题的标准形化
• min Z=CX 等价于 max Z’ = -CX • “” 约束：加入非负松驰变量 例： max z 2 x1 3x2 0 x3 0 x4 0 x5
8 x1 2 x2 x3 4 x x4 16 1 4 x x 12 2 5 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0
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线性规划研究的内容
• 在现有的资源条件下，如何充分利用资 源，使任务或目标完成得最好（求极大 化问题）。
• 在给定目标下，如何以最少的资源消耗 ，实现这个目标（求极小化问题）。
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• 第1步 -确定决策变量
•设
x 2 ——II的产量
x 1 ——I的产量
是问题中要确定的未知量， 表明规划中的用数量表示的 方案、措施，可由决策者决 定和控制。
例3：投资问题
某单位有一批资金用于四个工程项目的投资， 用于各工程项目时所得之净收益（投入资金的百 分比）如下表所示：
工程项目
收益（％）
A 15
B 10
C 8
D 12
由于某种原因，决定用于项目A的投资不大于 其它各项投资之和；而用于项目B和C的投资不小 于项目D的投资。试确定使该单位收益最大的投 资分配方案。
第一章 线形规划
本章学习重点
线性规划是运筹学中比较成熟的一个分支 ，它具有成熟而有效的求解方法，可以借助于 计算机进行求解，在军事、经济等领域中具有 广泛的应用。学习本章，要掌握线性规划的数 学模型（建模以及把不同形式的线性规划问题 化为标准形式的方法）、求解方法。
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第一节
线性规划问题 及其数学模型
x1
x2
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第2步 --定义目标函数
利润
Max Z =
x1 +
x2
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第2步 --定义目标函数
Max Z = 2 x1 + 3 x2
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第3步 --表示约束条件
x1 + 2 x2 8 4 x1 16 4 x2 12 x1、 x2 0
资源A限制：3 x1十2 x2 ≤ 90 资源B限制；4 x1十6 x2 ≤ 200 资源C限制： 7 x2 ≤ 210 此外，产量x1和x2不能为负，只能取正值 非负条件： x1 ≥0， x2 ≥ 0
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• 第三步：确定目标函数
以 Z 表示生产甲和乙两种产品各为x1 和x2（吨）时产生的经济价值，总经济价值 最高的目标可表示为：
线性规划问题的提出 线性规划的基本概念 线性规划的数学模型 线性规划问题的标准形式
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•问题的提出
• 引例: 生产计划问题
I 1 4 0 2 II 2 0 4 3 资源限量 8 台时 16kg 12kg
设备 原材料 A 原材料 B 利润
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如何安排生产 使利润最大
？
产品 2
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线性规划问题的标准形式目标函数最大
• 标准形式为: 约束条件等式 决策变量非负
Max Z c1 x1 c 2 x 2 ... c n x n a 11 x1 a 12 x 2 ... a 1 n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n b 2 .......... .......... .......... .......... .. a x a x ... a x b m2 2 mn n m m1 1 b1 , b 2 ,... b m 0 x1 , x 2 ,..., x n 0
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线性规划模型的一般形式
Max ( min ) z c1 x1 c 2 x 2 ... c n x n a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n ( , )b1 a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n ( , )b2 .......... .......... .......... .......... . .......... a x a x ... a x ( , )b m2 2 mn n m m1 1 x1 , x 2 ,..., x n 0
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简写为
max Z
n
c
j 1
n
j
xj i 1, 2 ,... m j 1, 2 ,..., n
a ij x j b i j 1 x 0 j
其中：cj ---------表示目标函数系数 aij---------表示约束条件系数 bi ---------表示约束右端项
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例2(书)
某厂生产甲乙两种产品，已知制成一吨产品 甲需用资源A 3吨，资源B 4m3；制成一吨产品乙 需用资源A 2吨，资源B 6m3，资源c 7个单位。 若一吨产品甲和乙的经济价值分别为7万元和5万 元，三种资源的限制量分别为90吨、200m3和210 个单位，试决定应生产这两种产品各多少吨才能 使创造的总经济价值最高?
设备 原材料 A 原材料 B 利润 I 1 4 0 2 II 2 0 4 3 资源限量 8 台时 16kg 12kg
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该计划的数学模型
目标函数
约束条件
Max Z = 2x1 + 3x2
x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x 1、 x 2 0
x1
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• 设xj为第j种天然饲料的使用量，则aij xj为第j 种天然饲料含有第i种营养成分的数量。则：
• 考虑到非负约束和目标要求，其数学模型为：
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线性规划三要素
线性规划(Linear Programming，LP)有：
• 一组有待决策的变量 （指模型中要求解的未知量） • 一个线性的目标函数 （指模型中要达到的目标的数学表达式） • 一组线性的约束条件 （指模型中的变量取值所需要满足的一切限制 条件）