运筹学课件1-1线性规划问题及其数学模型
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《运筹学线性规划》PPT课件
划问题化成如下的标准型：
max Z x1 2x2 3x4 3x5 0x6 0x7
x1 x2 x4 x5 x6 7 x1 x2 x4 x5 x7 2 3x1 x2 2x4 2x5 5 x1, x2, x4, , x7 0
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
一、线性规划问题的解的概念
(1.4)
标准型具有如下特点： （1）目标函数求最大值； （2）所求的变量都要求是非负的； （3）所有的约束条件都是等式； （4）常数项非负。 综合以上的讨论可以说明任何形式的线 性规划问题都可以通过上述手段把非标准 型的线性规划问题化成标准型。现举例如 下：
例1－4 试将如下线性规划问题化成标准型
多样性给讨论问题带来了不便。为了便于今后讨论，我 们规定线性规划问题的标准型为：
max Z c1x1 c2x2 cnxn
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2
a1nxn b1 a2nxn b2
am1x1 am2x2 amnxn bm
x1, x2 , , xn 0
例1－1：（计划安排问题）某工厂在计划期内安排
生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所占用的
设备A、B的台时、原材料的消耗及两种产品每件可
获利润见表所示：
I
II 资源总量
设备A(h)
0
3
15
设备B(h)
4
0
12
原材料(公斤)
2
2
14
利润(元)
2
3
问如何安排计划使该工厂获利最多？
解: 假设 x1、x2分别表示在计划期内生产
二、线性规划问题的图解法
对于简单的线性规划问题(只有两个决策变量的
线性规划问题)，我们可以通过图解法对它进行求解
max Z x1 2x2 3x4 3x5 0x6 0x7
x1 x2 x4 x5 x6 7 x1 x2 x4 x5 x7 2 3x1 x2 2x4 2x5 5 x1, x2, x4, , x7 0
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
一、线性规划问题的解的概念
(1.4)
标准型具有如下特点： （1）目标函数求最大值； （2）所求的变量都要求是非负的； （3）所有的约束条件都是等式； （4）常数项非负。 综合以上的讨论可以说明任何形式的线 性规划问题都可以通过上述手段把非标准 型的线性规划问题化成标准型。现举例如 下：
例1－4 试将如下线性规划问题化成标准型
多样性给讨论问题带来了不便。为了便于今后讨论，我 们规定线性规划问题的标准型为：
max Z c1x1 c2x2 cnxn
a11x1 a12x2 a21x1 a22x2
a1nxn b1 a2nxn b2
am1x1 am2x2 amnxn bm
x1, x2 , , xn 0
例1－1：（计划安排问题）某工厂在计划期内安排
生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所占用的
设备A、B的台时、原材料的消耗及两种产品每件可
获利润见表所示：
I
II 资源总量
设备A(h)
0
3
15
设备B(h)
4
0
12
原材料(公斤)
2
2
14
利润(元)
2
3
问如何安排计划使该工厂获利最多？
解: 假设 x1、x2分别表示在计划期内生产
二、线性规划问题的图解法
对于简单的线性规划问题(只有两个决策变量的
线性规划问题)，我们可以通过图解法对它进行求解
运筹学 第二章 线性规划课件
ij m n
1
m
则模型可表示为
Maxz CX
s .t
.
AX X
0
b
2020/11/9
运筹学 第二章 线性规划
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1) 428.0000
VARIABLE VALUE X1 20.000000 X2 24.000000
A
B
CD
0.1
0
0.1 0.2
0
0.1
0.2 0.1
0.4
0.6
2.0 1.7
试决定买M与N二种饲料各多少公斤而使支出的总费用为 最少？
运筹学 第二章 线性规划
2020/11/9
解：设购买M、N饲料各为 x , x ，则
1
2
M 1 i x 1 n 0 4 x 2 z
0.1x1 0 x 2 0.4
第二章 线性规划（Linear Programming）
第一节 线性规划的模型与图解法 第二节 单纯形法 第三节 对偶问题与灵敏度分析 第四节 运输问题 第五节 线性整数规划
2020/11/9
运筹学 第二章 线性规划
第一节 线性规划的模型与图解法
一、线性规划问题及其数学模型
在生产管理和经营活动中经常需要解决：如何 合理地利用有限的资源，以得到最大的效益。
2020/11/9
运筹学 第二章 线性规划
2020/11/9
例1 某工厂可生产甲、乙两种产品，需消耗 煤、电、油三种资源。现将有关数据列表如下：
资源单耗 产 品
资源 煤 电 油
单位产品价格
甲乙
《运筹学》课件 第一章 线性规划
10
解：令
xi=
1， Si被选中
min z= ci xi i 1 10
0， Si没被选中
xi 5
i 1
x1 x8 1 x7 x8 1
称为技术系数
b= (b1,b2, …, bm) 称为资源系数
2、非标准型
标准型
（1）Min Z = CX
Max Z' = -CX
（2）约束条件
• “≤”型约束，加松弛变量；
松弛变量
例如： 9 x1 +4x2≤360
9 x1 +4x2+ x3=360
• “≥”型约束，减松弛变量；
例、将如下问题化为标准型
数据模型与决策 (运筹学）
课程教材：
吴育华,杜纲. 《管理科学基础》，天津大学出版社。
绪论
一、运筹学的产生与发展
运筹学（Operational Research) 直译为“运作研究”。
• 产生于二战时期 • 60年代，在工业、农业、社会等各领域得到广泛应用 • 在我国，50年代中期由钱学森等引入
Min z x1 2x2 3x3
x1 x2 x3 7
s.t
.
x1 x2 x3 3x1 x2 2
x3
2
5
x1, x2 , x3 0
解：令 Min z Max z' (z' z) ，第一个约束加松弛变量x5，
第二个约束减松弛变量x6，得标准型：
Max z' x1 2x2 +3x3
x1 x2 x3 x4 7
s.t .
x1 x2 3x1
x3 x2
x5 2 2x3 5
x1 , , x5 0
运筹学课件——第2讲__线性规划模型(1)
❖ 线性规划模型？
LP模型： 设:配制生产甲饮料x1升,乙饮料x2升.
min Z 2x1 3x2源自x1 x2 350s.t.
2x1 x2
x1
125
600
x1 0, x2 0
例5 投资问题
某集团有1000000元资金供投资，该集团有5个可供选择 的投资项目，其中各种资料如下表：
投资项目 1 2 3 4 5
xb=(x1,x2,…,xm) 加上所有取值为0 的非基变量，得：
x=(x1,x2,…,xm,0,…,0)
称x 为线性规划问题的基解。
令x1=x2=0，解得x3=4,x4=12,x5=18,则x=(0,0,4,12,18)T是一个基解。
A
103
0 2 2
1 0 0
0 1 0
100
P3 ,
P4 , P5
[LP模型]：
min Z 0.1x1 0.06x2 0.18x3 0.12x4 0.04x5
x1 x2 x3 x4 x5 1000000
s.t.00..10x51x1 0.01.708x2x20.01.407x3x3 0.02.206x4x40.00.71xx55
80000 140000
基：设Am×n (n>m)为约束方程组(b)的系数矩阵，其秩为m。 Bm×m 是矩阵A 中的一个m×m 阶的满秩子矩阵(|B|不等于0), ， 称B 是线性规划问题的一个基。不失一般性，设
B
a 11 a 21 a m1
a 12 a 22
a m2
a 1m a 2m
a mm
第1章 线性规划
❖ 本章要求： 1.掌握并熟练应用线性规划的模型处理实际问
题 2.掌握线性规划的图解法 3.掌握软件求解线性规划 4.了解线性规划对偶问题的基本性质 5.理解有关灵敏度分析内容
LP模型： 设:配制生产甲饮料x1升,乙饮料x2升.
min Z 2x1 3x2源自x1 x2 350s.t.
2x1 x2
x1
125
600
x1 0, x2 0
例5 投资问题
某集团有1000000元资金供投资，该集团有5个可供选择 的投资项目，其中各种资料如下表：
投资项目 1 2 3 4 5
xb=(x1,x2,…,xm) 加上所有取值为0 的非基变量，得：
x=(x1,x2,…,xm,0,…,0)
称x 为线性规划问题的基解。
令x1=x2=0，解得x3=4,x4=12,x5=18,则x=(0,0,4,12,18)T是一个基解。
A
103
0 2 2
1 0 0
0 1 0
100
P3 ,
P4 , P5
[LP模型]：
min Z 0.1x1 0.06x2 0.18x3 0.12x4 0.04x5
x1 x2 x3 x4 x5 1000000
s.t.00..10x51x1 0.01.708x2x20.01.407x3x3 0.02.206x4x40.00.71xx55
80000 140000
基：设Am×n (n>m)为约束方程组(b)的系数矩阵，其秩为m。 Bm×m 是矩阵A 中的一个m×m 阶的满秩子矩阵(|B|不等于0), ， 称B 是线性规划问题的一个基。不失一般性，设
B
a 11 a 21 a m1
a 12 a 22
a m2
a 1m a 2m
a mm
第1章 线性规划
❖ 本章要求： 1.掌握并熟练应用线性规划的模型处理实际问
题 2.掌握线性规划的图解法 3.掌握软件求解线性规划 4.了解线性规划对偶问题的基本性质 5.理解有关灵敏度分析内容
1-1线性规划问题及模型
史新峰
西安邮电大学 现代邮政学院
Xi'an post and telecommunications university modern post College
第一章 线性规划与单纯形法
1.1线性规划问题及模型 运 筹 学
主要内容
01 线性规划问题
运
02 线性规划模型及特征
筹
学
一 线性规划问题
二 线性规划模型
2.线性规划模型的一般形式
运 筹 学
二 线性规划模型
简写式
运 筹 学
n
max（或 min）Z c j x j j 1
s.t.
n
aij x j
(或 ，)bi
j1
xj 0
i 1,，m j 1,, n
二 线性规划模型
运向量式 筹 学
max（或 min ） Z CX
星期 需要人数 星期 需要人数
运
一
300
五
480
筹
二
300
六
600
学
三
350
日
550
四
400
应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员最少。
一 线性规划问题
在上班 周 周 周 周 周 周 周 一二三四五六日
开始上班
周一
周二
运
周三
筹
周四
学
周五 周六
周日
一 线性规划问题
解：设xj(j=1，2，…，7)为休息2天后星期一到星
期日开始上班的营业员，则这个问题的线性规划模型为
min Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
x1 x4 x5 x6 x7 300
x1
西安邮电大学 现代邮政学院
Xi'an post and telecommunications university modern post College
第一章 线性规划与单纯形法
1.1线性规划问题及模型 运 筹 学
主要内容
01 线性规划问题
运
02 线性规划模型及特征
筹
学
一 线性规划问题
二 线性规划模型
2.线性规划模型的一般形式
运 筹 学
二 线性规划模型
简写式
运 筹 学
n
max（或 min）Z c j x j j 1
s.t.
n
aij x j
(或 ，)bi
j1
xj 0
i 1,，m j 1,, n
二 线性规划模型
运向量式 筹 学
max（或 min ） Z CX
星期 需要人数 星期 需要人数
运
一
300
五
480
筹
二
300
六
600
学
三
350
日
550
四
400
应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员最少。
一 线性规划问题
在上班 周 周 周 周 周 周 周 一二三四五六日
开始上班
周一
周二
运
周三
筹
周四
学
周五 周六
周日
一 线性规划问题
解：设xj(j=1，2，…，7)为休息2天后星期一到星
期日开始上班的营业员，则这个问题的线性规划模型为
min Z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
x1 x4 x5 x6 x7 300
x1
管理运筹学线性规划PPT课件
2、运筹学发展简介
运筹学/ Operations Research，英文原意是作 战研究、运用研究。 起源于二次大战的军事领域， 发扬于战后的社会、经济、工程与管理 领域。
》（英）希 尔：高射炮系统利用研究 ； 》（英）莫尔斯：美海军大西洋护航方案研究； 》（英）空军OR小组：雷达警报和控制系统研究；
长度（m)
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
2.9
21110000
2.1
02103210
1.5
10130234
剩料(m) 0.1 0.3 0.9 0 1.1 0.2 0.8 1.4
设按第i套方案下料的原材料根数为Xi，i=1,…,5; 则线性规划模型如下：
Min Z=0X1+0.3X2+0.9X3+1.1X5+0.2X6 + 0.8X7+1.4X8
顶点 ，则其连线上的点都为最优解。
重要推论： （1）若两元（LP）问题存在最优解，则 一 定可以在K凸多边形的顶点上搜索求出！ （2）若三元（LP）问题存在最优解，则 一 定可以在K凸多面体的顶点上搜索求出！ （3）若一般（LP）问题存在最优解，则 一 定可以在K凸集的极点上搜索求出！
第3节 线性规划代数解的概念
，主要包括D、E、F三种营养成分，有关资料如下
表。问：如何配置混合饲料，以使总成本最低？
配料/营养 D
E
F
单位成本
A
1
1/2
2
6
B
1
1/2
1
3
C
1
1/4
1
2
每份饲料 20 营养标准
6
10
引例[3]：运输优化问题 运输问题有关资料如下表，在满足各电厂发电用
(完整版)运筹学胡运权第五版课件(第1章)
四运筹学研究的基本特点?系统的整体优化?多学科的配合?模型方法的应用五五运筹学研究的基本步骤运筹学研究的基本步骤?分析与表述问题?建立数学模型?对问题求解?对模型和模型导出的解进行检验?建立对解的有效控制?方案的实施第一章线性规划及单纯形法linearprogrammingandsimplexmethodggp11一般线性规划问题的数学模型11问题的提出例1用一块边长为a的正方形铁皮做一个无盖长方体容器应如何裁剪可使做成的容器的容积最大
（3）L.P. 的顶点与基可行解一一对应。
§1.3 单纯形法（Simplex Method）原理
3-1 预备知识：凸集与顶点
（1）凸集：对于集合C中任意两点连线段上的点，若全在C内， 则称集合C为凸集。
直观特征：图形从内部向外部凸出。
凸集
非凸集
（2）顶点：凸集中不在任意两点的连线段内部的点。
X1
转化为
（2）若约束条件为不等式，
则依次引入松弛变量或剩余变量（统称为松弛变量），
转化为等式约束条件。
约束为≥不等式，减去松弛变量，化为等式约束条件；
多 退
约束为≤不等式，加上松弛变量，化为等式约束条件。
少 补
注意：松弛变量在目标函数中系数全为0。
例：max z=2 x1+3 x2
2 x1+2 x2 12
s.t.
4x1
16
5 x2 15
x10， x2 0
标准化
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
2x1 2x2 x3
12
s.t.
4
x1
5 x2
x4 16 x5 15
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
（3）若决策变量xj≤0，则令
（3）L.P. 的顶点与基可行解一一对应。
§1.3 单纯形法（Simplex Method）原理
3-1 预备知识：凸集与顶点
（1）凸集：对于集合C中任意两点连线段上的点，若全在C内， 则称集合C为凸集。
直观特征：图形从内部向外部凸出。
凸集
非凸集
（2）顶点：凸集中不在任意两点的连线段内部的点。
X1
转化为
（2）若约束条件为不等式，
则依次引入松弛变量或剩余变量（统称为松弛变量），
转化为等式约束条件。
约束为≥不等式，减去松弛变量，化为等式约束条件；
多 退
约束为≤不等式，加上松弛变量，化为等式约束条件。
少 补
注意：松弛变量在目标函数中系数全为0。
例：max z=2 x1+3 x2
2 x1+2 x2 12
s.t.
4x1
16
5 x2 15
x10， x2 0
标准化
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
2x1 2x2 x3
12
s.t.
4
x1
5 x2
x4 16 x5 15
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
（3）若决策变量xj≤0，则令
清华大学运筹学课件(完整课件)
2x1 + 3x2 ≤ 4 x1,x2 ≥ 0
化标准型
max z = x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4
x1 + 2x2 + x3 = 3
2x1 + 3x2
+ x4 = 4
x1,x2,x3,x4 ≥ 0
系数矩阵
1 A 2
2 3
1 0
0 1
p1
p2
p3 p4 , 则 B p3 p4
取x3、x4为基变量,令非基变量x1= x2=0 ∴ 初始基可行解：X(0) = (0 0 3 4)T
③
3
z = 2x1 + 4x2，此时表示 目标函数的直线与表示
Q2(4,2)
① *
条件①的直线平行，
o
最优点在线段Q3Q2上。
即存在无穷多最优解。
4 Q1
x1
7
(3)无界解
[eg.5]
max z = 2x1 + 3x2 4x1 ≤ 16 x1，x2 ≥ 0
则x2 → ∞，z → ∞。 即存在无界解。
对于
n
m
max z c j x j cni xni
j 1
i 1
n
aij x j xni bi
i 1, , m
j1
x
j
0
j 1, , n m
设 xni 为基变量可行,i 1,, m
x j为非基变量, j 1,, n
n
xni bi aij x j j 1
代入目标函数
产品Ⅱ生产x2件。
4x1
≤ 16
这里z为利润函数，
4x2 ≤ 12
max z:表示求z的最大值。
化标准型
max z = x1 + 3x2 + 0x3 + 0x4
x1 + 2x2 + x3 = 3
2x1 + 3x2
+ x4 = 4
x1,x2,x3,x4 ≥ 0
系数矩阵
1 A 2
2 3
1 0
0 1
p1
p2
p3 p4 , 则 B p3 p4
取x3、x4为基变量,令非基变量x1= x2=0 ∴ 初始基可行解：X(0) = (0 0 3 4)T
③
3
z = 2x1 + 4x2，此时表示 目标函数的直线与表示
Q2(4,2)
① *
条件①的直线平行，
o
最优点在线段Q3Q2上。
即存在无穷多最优解。
4 Q1
x1
7
(3)无界解
[eg.5]
max z = 2x1 + 3x2 4x1 ≤ 16 x1，x2 ≥ 0
则x2 → ∞，z → ∞。 即存在无界解。
对于
n
m
max z c j x j cni xni
j 1
i 1
n
aij x j xni bi
i 1, , m
j1
x
j
0
j 1, , n m
设 xni 为基变量可行,i 1,, m
x j为非基变量, j 1,, n
n
xni bi aij x j j 1
代入目标函数
产品Ⅱ生产x2件。
4x1
≤ 16
这里z为利润函数，
4x2 ≤ 12
max z:表示求z的最大值。
《运筹学第二版》PPT课件
(4) 要有一个达到目标的要求，它可用决策 变量的线性函数(称为目标函数)来表示。 按问题的不同，要求目标函数实现最大化 或最小化。
精选ppt
16
它们的对应关系可用表格表示：
1
活
2
动
m
价值系数
决策变量
x1 x2 xn a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
a m 1 a m 2 a mn
经第2工厂后的水质要求：
[0.8(2x1)(1.4x2 )] 2
700
1000
精选ppt
13
数学模型
目标函数 约束条件
min z 1000 x1 800 x2
x1 1
0.8 x1 x2 1.6
x1 2
x2 1.4
x , x 0 1精选ppt 2
14
共同的特征
(1)每一个线性规划问题都用一组决策变量
拥有量
8台时 16 kg 12 kg
6
续例1
该工厂 • 每生产一件产品Ⅰ可获利2元， • 每生产一件产品Ⅱ可获利3元， • 问应如何安排计划使该工厂获利
最多?
精选ppt
7
如何用数学关系式描述这问题， 必须考虑
•设x1,x2分别表示计 I,II产 划品 生的 产数 称它们为决策变量。
•生产 x1,x2的数量多少，有 受量 资的 源 ,限 拥 这是约束条x1 件 2x2。 8即 ;4x116;4x2 12
19
图1-2
max z 2 x 1 3 x 2
x1 2 x2 2
4 x1
16 4 x 2 12
x 1 , x 2 0
精选ppt
20
图1-3 目标值在（4，2）点，达到最大值14 目标函数 mz ax 2x13x2
精选ppt
16
它们的对应关系可用表格表示：
1
活
2
动
m
价值系数
决策变量
x1 x2 xn a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
a m 1 a m 2 a mn
经第2工厂后的水质要求：
[0.8(2x1)(1.4x2 )] 2
700
1000
精选ppt
13
数学模型
目标函数 约束条件
min z 1000 x1 800 x2
x1 1
0.8 x1 x2 1.6
x1 2
x2 1.4
x , x 0 1精选ppt 2
14
共同的特征
(1)每一个线性规划问题都用一组决策变量
拥有量
8台时 16 kg 12 kg
6
续例1
该工厂 • 每生产一件产品Ⅰ可获利2元， • 每生产一件产品Ⅱ可获利3元， • 问应如何安排计划使该工厂获利
最多?
精选ppt
7
如何用数学关系式描述这问题， 必须考虑
•设x1,x2分别表示计 I,II产 划品 生的 产数 称它们为决策变量。
•生产 x1,x2的数量多少，有 受量 资的 源 ,限 拥 这是约束条x1 件 2x2。 8即 ;4x116;4x2 12
19
图1-2
max z 2 x 1 3 x 2
x1 2 x2 2
4 x1
16 4 x 2 12
x 1 , x 2 0
精选ppt
20
图1-3 目标值在（4，2）点，达到最大值14 目标函数 mz ax 2x13x2
运筹学线性规划数学模型PPT课件
• 线性规划（概论）
• 两个重要人物：
• 1.利奥尼德·康托洛维奇（1912-1986）
• 苏联数学家，对经济学的主要贡献在于：建 立和发展了线性规划方法，并运用于经济分析， 对线性规划方法的建立和发展做出了开创新贡献。
• 2.G.B.丹齐克（Dantzing，1914-2005）
• 美国数学家，因创造了单纯形法，被称为 “线性规划之父”。1982年，为表彰丹齐克， 国际数学规划协会设立丹齐克奖。表彰在数学规 划有突出贡献的人
如何合理使用有限的人力，物力和资金， 使得收到最好的经济效益。
如何合理使用有限的人力，物力和资金， 以达到最经济的方式，完成生产计划的要求。
第3页/共31页
一、线性规划数学模型的建立
建立线性规划数学模型是解决线性规划问题 的一个重要步骤。
建立的线性规划数学模型是否真正的反映客 观实际，数学模型本身是否正确，都直接影响 求解结果，从而影响决策结果，所以，建立正 确的线性规划模型尤为重要。下面举例说明线 性规划数学模型的建立。
第4页/共31页
例1：（产品组合问题）
某厂利用A、B两种原料，生产甲、乙两种产品，有关数据如下：
单位产品 消耗原料
产品名称
原料名称
A B
产品售价 （千元/吨）
甲乙
12 21 32
可供利用的原料 数量（吨/日）
6 8
根据市场调查，有如下资料： 1.乙产品的需求量至多 2 吨/日; 2.乙产品的需求量比甲产品的需求量至多大 1 吨/日。 求该厂产值最大的生产方案。
第1页/共31页
• 几个重大历史事件：
• 1939年，前苏联数学家康托洛维奇出版《生产组织和计划 中的数学方法》一书
• 1947年，美国数学家丹齐克提出单纯形算法（Simpler） • 1951年美国经济学家库普曼斯出版《生产与配置的活动分
• 两个重要人物：
• 1.利奥尼德·康托洛维奇（1912-1986）
• 苏联数学家，对经济学的主要贡献在于：建 立和发展了线性规划方法，并运用于经济分析， 对线性规划方法的建立和发展做出了开创新贡献。
• 2.G.B.丹齐克（Dantzing，1914-2005）
• 美国数学家，因创造了单纯形法，被称为 “线性规划之父”。1982年，为表彰丹齐克， 国际数学规划协会设立丹齐克奖。表彰在数学规 划有突出贡献的人
如何合理使用有限的人力，物力和资金， 使得收到最好的经济效益。
如何合理使用有限的人力，物力和资金， 以达到最经济的方式，完成生产计划的要求。
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一、线性规划数学模型的建立
建立线性规划数学模型是解决线性规划问题 的一个重要步骤。
建立的线性规划数学模型是否真正的反映客 观实际，数学模型本身是否正确，都直接影响 求解结果，从而影响决策结果，所以，建立正 确的线性规划模型尤为重要。下面举例说明线 性规划数学模型的建立。
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例1：（产品组合问题）
某厂利用A、B两种原料，生产甲、乙两种产品，有关数据如下：
单位产品 消耗原料
产品名称
原料名称
A B
产品售价 （千元/吨）
甲乙
12 21 32
可供利用的原料 数量（吨/日）
6 8
根据市场调查，有如下资料： 1.乙产品的需求量至多 2 吨/日; 2.乙产品的需求量比甲产品的需求量至多大 1 吨/日。 求该厂产值最大的生产方案。
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• 几个重大历史事件：
• 1939年，前苏联数学家康托洛维奇出版《生产组织和计划 中的数学方法》一书
• 1947年，美国数学家丹齐克提出单纯形算法（Simpler） • 1951年美国经济学家库普曼斯出版《生产与配置的活动分
管理运筹学线性规划ppt课件
x1 +x2 =300
D
x1
x1 ≥0, x2 ≥0
ห้องสมุดไป่ตู้
O
100 200 300 400
• 五边形ABCDO内(含边界)的任意一点2x1(x+1x，2 =x402)0都是满足所有
约束条件的一个解，称之可行解 。 z=0= 50x1 +100 x2
11
经济管理学院
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
第二节
线性规划的图解法
三 、解的可能性（续） • 无可行解：若约束条件相互矛盾，则可行域为空集
例如
maxZ= 3x1 +2 x2 -2x1 + x2 ≥2
2
经济管理学院
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
第一节
线性规划一般模型
一、线性规划问题的三个要素
•
▪ 决策问题待定的量值称为决策变量。 ▪ 决策变量的取值要求非负。
• 约束条件
第三节
线性规划的标准型
一 、标准型
• 线性规划问题的数学模型有各种不同的形式，如
▪ 目标函数有极大化和极小化； ▪ 约束条件有“≤”、“≥”和“＝”三种情况； ▪ 决策变量一般有非负性要求，有的则没有。
运筹学课件1-1线性规划问题及其数学模型
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• 第三步：确定目标函数 第三步： 以 Z 表示生产甲和乙两种产品各为x1 表示生产甲和乙两种产品各为x 时产生的经济价值， 和x2（吨）时产生的经济价值，总经济价值 最高的目标可表示为： 最高的目标可表示为：
max z＝7 x1十5 x2 z＝
这就是该问题的目标函数 这就是该问题的目标函数。 目标函数。
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• 第1步 -确定决策变量
•设 ——I x1——I的产量 ——II x2 ——II的产量
是问题中要确定的未知量， 是问题中要确定的未知量， 表明规划中的用数量表示的 方案、措施，可由决策者决 方案、措施， 定和控制。 定和控制。
x1
x2
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第2步 --定义目标函数
利润
Max Z =
x1 +
x2
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第2步 --定义目标函数
Max Z = 2 x1 + 3 x2
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对我们有 何限制?
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第3步 --表示约束条件
x1 + 2 x2 ≤ 8 4 x1 ≤ 16 4 x2 ≤ 12 x1、 x2 ≥ 0
设备 原材料A 原材料 原材料B 原材料 利润 I 1 4 0 2 II 2 0 4 3 资源限量 8 台时 16kg 12kg
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– 用向量表示
m Z = CX ax n ∑Pj xj = b i=1 x ≥ 0 j =1 2,...n , j 其 ： 中 x1 x 2 X= ... xn C = (c1, c2 , ) a1 j a2 j Pj = ... amj b 1 b 2 b= ... bm
• 第三步：确定目标函数 第三步： 以 Z 表示生产甲和乙两种产品各为x1 表示生产甲和乙两种产品各为x 时产生的经济价值， 和x2（吨）时产生的经济价值，总经济价值 最高的目标可表示为： 最高的目标可表示为：
max z＝7 x1十5 x2 z＝
这就是该问题的目标函数 这就是该问题的目标函数。 目标函数。
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• 第1步 -确定决策变量
•设 ——I x1——I的产量 ——II x2 ——II的产量
是问题中要确定的未知量， 是问题中要确定的未知量， 表明规划中的用数量表示的 方案、措施，可由决策者决 方案、措施， 定和控制。 定和控制。
x1
x2
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第2步 --定义目标函数
利润
Max Z =
x1 +
x2
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第2步 --定义目标函数
Max Z = 2 x1 + 3 x2
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对我们有 何限制?
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第3步 --表示约束条件
x1 + 2 x2 ≤ 8 4 x1 ≤ 16 4 x2 ≤ 12 x1、 x2 ≥ 0
设备 原材料A 原材料 原材料B 原材料 利润 I 1 4 0 2 II 2 0 4 3 资源限量 8 台时 16kg 12kg
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– 用向量表示
m Z = CX ax n ∑Pj xj = b i=1 x ≥ 0 j =1 2,...n , j 其 ： 中 x1 x 2 X= ... xn C = (c1, c2 , ) a1 j a2 j Pj = ... amj b 1 b 2 b= ... bm
《运筹学》全套课件(完整版)
负指数分布、几何分布、爱尔朗分布等。
服务时间分布
负指数分布、确定型分布、一般分布等。
顾客到达和服务时间的独立性
假设顾客到达和服务时间是相互独立的。
单服务台排队系统
M/M/1排队系统
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从负指 数分布，单服务台。
M/D/1排队系统
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从确定 型分布，单服务台。
投资组合优化
确定投资组合中各种资产的最 优配置比例，以最大化收益或
最小化风险。
03
整数规划
整数规划问题的数学模型
01
整数规划问题的定 义
整数规划是数学规划的一个分支 ，研究决策变量取整数值的规划 问题。
02
整数规划问题的数 学模型
包括目标函数、约束条件和决策 变量，其中决策变量要求取整数 值。
03
Edmonds-Karp算法
介绍Edmonds-Karp算法的原理、步骤和实现方法，以及其与FordFulkerson算法的比较。
网络最大流问题的应用
列举网络最大流问题在资源分配、任务调度等领域的应用案例。
最小费用流问题
最小费用流问题的基本概 念
介绍最小费用流问题的定义、 分类和应用背景。
Bellman-Ford算法
优点是可以求解较大规模的整数规划问题，缺点是计算量较大，需 要较高的计算精度。
割平面法
割平面法的基本思想
通过添加新的约束条件（割平面）来缩小可行域的范围，从而逼 近最优解。
割平面法的步骤
包括构造割平面、求解子问题和更新割平面三个步骤，通过不断 迭代找到最优解。
割平面法的优缺点
优点是可以处理较复杂的整数规划问题，缺点是构造割平面的难 度较大，需要较高的数学技巧。
服务时间分布
负指数分布、确定型分布、一般分布等。
顾客到达和服务时间的独立性
假设顾客到达和服务时间是相互独立的。
单服务台排队系统
M/M/1排队系统
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从负指 数分布，单服务台。
M/D/1排队系统
顾客到达服从泊松分布，服务时间服从确定 型分布，单服务台。
投资组合优化
确定投资组合中各种资产的最 优配置比例，以最大化收益或
最小化风险。
03
整数规划
整数规划问题的数学模型
01
整数规划问题的定 义
整数规划是数学规划的一个分支 ，研究决策变量取整数值的规划 问题。
02
整数规划问题的数 学模型
包括目标函数、约束条件和决策 变量，其中决策变量要求取整数 值。
03
Edmonds-Karp算法
介绍Edmonds-Karp算法的原理、步骤和实现方法，以及其与FordFulkerson算法的比较。
网络最大流问题的应用
列举网络最大流问题在资源分配、任务调度等领域的应用案例。
最小费用流问题
最小费用流问题的基本概 念
介绍最小费用流问题的定义、 分类和应用背景。
Bellman-Ford算法
优点是可以求解较大规模的整数规划问题，缺点是计算量较大，需 要较高的计算精度。
割平面法
割平面法的基本思想
通过添加新的约束条件（割平面）来缩小可行域的范围，从而逼 近最优解。
割平面法的步骤
包括构造割平面、求解子问题和更新割平面三个步骤，通过不断 迭代找到最优解。
割平面法的优缺点
优点是可以处理较复杂的整数规划问题，缺点是构造割平面的难 度较大，需要较高的数学技巧。
运筹学第四版第二章线性规划及单纯形法
方案的制定受到那些现实条件制约：
确定约束条件
人力资源（劳动力）的限制： 9x1 4x2 360
设备工时的限制：
4x1 5x2 200
原材料资源的限制：
3x1 10x2 300
此外，决策变量的取值不应为负值即 x1 0, x2 0
6
综上所述，我们得到了这个问题的数学模型
目标函数 约束条件
大？
项目
Ⅰ
设备A (h)
0
设备B (h)
6
调试工序(h) 1
利润（元） 2
Ⅱ 每天可用能力
5
15
2
24
表1-2
1
5
1
12
其数学模型为：
max Z 2x1 x2
5x2 15
6xx11
2x2 x2
24 5
x1, x2 0
13
例3：捷运公司在下一年度的1～4月份的4个月内拟租用仓库
堆放物资。已知各月份所需仓库面积列于下表1-3。仓库租
借费用随合同期而定，期限越长，折扣越大，具体数字见表
1-4。租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定
租用面积和期限。因此该厂可根据需要，在任何一个月初办
理租借合同。每次办理时可签一份合同，也可签若干份租用
面积和租用期限不同的合同。试确定该公司签订租借合同的
最优决策，目的是使所租借费用最少。
14
max Z 70 x1 120 x2
9x1 s.t. 43xx11
x1,
4x2 5x2 10x2 x2 0
360 200 300
资源约束
非负约束
其中 约束条件可记 s.t (subject to), 意思为“以… 为条件“、”假定“、”满足“之意。
运筹学课件 第一章线性规划
8
2013-11-30
• 以上数学模型有什么特点？ • 线性规划模型的定义 • 线性规划的一般形式
9
2013-11-30
建模过程： 1.理解要解决的问题，了解问题的目标和条 件； 2.定义决策变量（ x1 ，x2 ，… ，xn ），每 一组值表示一个方案； 3.用决策变量的线性函数形式写出目标函数， 确定最大化或最小化目标； 4.用一组决策变量的等式或不等式表示解决 问题过程中必须遵循的约束条件。
目标函数： Min
14
2013-11-30
1.2 线性规划图解法
对于只有两个决策变量的线性规划问题， 可以在平面直角坐标系上作图表示线性规划问 题的有关概念，并求解。 下面通过案例详细讲解其方法：
15
2013-11-30
例1、某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产 品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时及 A、B两种原材料的消耗、资源的限制，如下表：
10
2013-11-30
线性规划的组成： •目标函数 Max F 或 Min F
•约束条件
•决策变量
s.t. (subject to) 满足于
用符号来表示可控制的因素
11
2013-11-30
在管理中一些典型的线性规划应用
• 合理利用线材问题：如何在保证生产的条件下， 下料最少
• 配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大 利润
班次 1 2 3 4 5 6 时间 6：00 —— 10：00 10：00 —— 14：00 14：00 —— 18：00 18：00 —— 22：00 22：00 —— 2：00 2：00 —— 6：00 所需人数 60 70 60 50 20 30
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并 连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员， 既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?
2013-11-30
• 以上数学模型有什么特点？ • 线性规划模型的定义 • 线性规划的一般形式
9
2013-11-30
建模过程： 1.理解要解决的问题，了解问题的目标和条 件； 2.定义决策变量（ x1 ，x2 ，… ，xn ），每 一组值表示一个方案； 3.用决策变量的线性函数形式写出目标函数， 确定最大化或最小化目标； 4.用一组决策变量的等式或不等式表示解决 问题过程中必须遵循的约束条件。
目标函数： Min
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2013-11-30
1.2 线性规划图解法
对于只有两个决策变量的线性规划问题， 可以在平面直角坐标系上作图表示线性规划问 题的有关概念，并求解。 下面通过案例详细讲解其方法：
15
2013-11-30
例1、某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产 品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时及 A、B两种原材料的消耗、资源的限制，如下表：
10
2013-11-30
线性规划的组成： •目标函数 Max F 或 Min F
•约束条件
•决策变量
s.t. (subject to) 满足于
用符号来表示可控制的因素
11
2013-11-30
在管理中一些典型的线性规划应用
• 合理利用线材问题：如何在保证生产的条件下， 下料最少
• 配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大 利润
班次 1 2 3 4 5 6 时间 6：00 —— 10：00 10：00 —— 14：00 14：00 —— 18：00 18：00 —— 22：00 22：00 —— 2：00 2：00 —— 6：00 所需人数 60 70 60 50 20 30
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并 连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员， 既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?
运筹学第一课
产品 甲 资源 设备A 设备 设备B 设备 材料C 材料 材料D 材料 利润（ 件 利润（元/件） 3 2 4 2 40 1 2 5 3 30 2 4 1 5 50 200 200 360 300 乙 丙 现有资源
分别为甲、 【解】设x1、x2、x3 分别为甲、乙、丙三种产品的产量数学模型 为：
m Z = 40x1 + 30x2 + 50x3 ax
10
4 配料问题
例5．某工厂要用三种原料1、 某工厂要用三种原料1 2、3混合调配出三种不同规格的 产品甲、 数据如右表。 产品甲、乙、丙，数据如右表。 该厂应如何安排生产， 问：该厂应如何安排生产，使利 润收入为最大？ 润收入为最大？
单价（ 产品名称 规格要求 单价（元/kg） ） 50 甲 原材料 1 不少于 50%，原材料 2 不超过 25% ， 35 乙 原材料 1 不少于 25%，原材料 2 不超过 50% ， 25 丙 不限 原材料名称 1 2 3 每天最多供应量 100 100 60 单价（ 单价（元/kg） ） 65 25 35
• 利润 = 总收入 - 总成本 = 甲乙丙三种产品的销售单价 产品数量 - 甲乙 甲乙丙三种产品的销售单价*产品数量 丙使用的原料单价*原料数量 原料数量， 丙使用的原料单价 原料数量，故有
目标函数
50（ +35（ +25（ Max 50（x11+x12+x13）+35（x21+x22+x23）+25（x31+x32+x33）-65 25（ 35（ （x11+x21+x31）-25（x12+x22+x32）-35（x13+x23+x33） = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33
分别为甲、 【解】设x1、x2、x3 分别为甲、乙、丙三种产品的产量数学模型 为：
m Z = 40x1 + 30x2 + 50x3 ax
10
4 配料问题
例5．某工厂要用三种原料1、 某工厂要用三种原料1 2、3混合调配出三种不同规格的 产品甲、 数据如右表。 产品甲、乙、丙，数据如右表。 该厂应如何安排生产， 问：该厂应如何安排生产，使利 润收入为最大？ 润收入为最大？
单价（ 产品名称 规格要求 单价（元/kg） ） 50 甲 原材料 1 不少于 50%，原材料 2 不超过 25% ， 35 乙 原材料 1 不少于 25%，原材料 2 不超过 50% ， 25 丙 不限 原材料名称 1 2 3 每天最多供应量 100 100 60 单价（ 单价（元/kg） ） 65 25 35
• 利润 = 总收入 - 总成本 = 甲乙丙三种产品的销售单价 产品数量 - 甲乙 甲乙丙三种产品的销售单价*产品数量 丙使用的原料单价*原料数量 原料数量， 丙使用的原料单价 原料数量，故有
目标函数
50（ +35（ +25（ Max 50（x11+x12+x13）+35（x21+x22+x23）+25（x31+x32+x33）-65 25（ 35（ （x11+x21+x31）-25（x12+x22+x32）-35（x13+x23+x33） = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33
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线性规划模型的一般形式
Max ( min ) z c1 x1 c 2 x 2 ... c n x n a11 x1 a12 x 2 ... a1n x n ( , )b1 a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n ( , )b2 .......... .......... .......... .......... . .......... a x a x ... a x ( , )b m2 2 mn n m m1 1 x1 , x 2 ,..., x n 0
n
)
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j
b
b1 b 2 ... bm
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– 用矩阵表示
max Z CX AX b X 0 a 11 ..... a 1 n A .......... .... a ...... a mn m1 b 资源向量 ( P1 , P2 ,..., P3 ) C -价 值ax 向量 m 0 0 0 ... 0
线性规划问题的提出 线性规划的基本概念 线性规划的数学模型 线性规划问题的标准形式
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•问题的提出
• 引例: 生产计划问题
I 1 4 0 2 II 2 0 4 3 资源限量 8 台时 16kg 12kg
设备 原材料 A 原材料 B 利润
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如何安排生产 使利润最大
？
产品 2
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线性规划问题的标准形式目标函数最大
• 标准形式为: 约束条件等式 决策变量非负
Max Z c1 x1 c 2 x 2 ... c n x n a 11 x1 a 12 x 2 ... a 1 n x n b1 a 21 x1 a 22 x 2 ... a 2 n x n b 2 .......... .......... .......... .......... .. a x a x ... a x b m2 2 mn n m m1 1 b1 , b 2 ,... b m 0 x1 , x 2 ,..., x n 0
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–
简写为
max Z
n
c
j 1
n
j
xj i 1, 2 ,... m j 1, 2 ,..., n
a ij x j b i j 1 x 0 j
其中：cj ---------表示目标函数系数 aij---------表示约束条件系数 bi ---------表示约束右端项
量的等式或不等式。
可行域中使目标 函数达到最优的 决策变量的值 满足约束条件的决 策变量的取值范围
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问题中要确定的未知量，表 明规划中的用数量表示的方 案、措施，可由决策者决定 和控制。
线性规划问题的共同特征
• 一组决策变量X表示一个方案,一般X大 于等于零。 • 约束条件是线性等式或不等式。 • 目标函数是线性的。 求目标函数最大 化或最小化
x1 x1
3 x1 x 2 2 x 3 7 x 1 , x 2 0 , x 3 无约束 x x x 3 4 5
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解 ：标准形为
max x1 x1
z x1 2x2 3(x4 x5) 0x6 0x7 x2 (x4 x5) x6 x2 (x4 x5) 7 x7 2 7
C—价值向量 b—资源向量 X—决策变量向量
X 策变CX 量向量 Z- 决
AX X a 1 1 ..... a 1 n A .......... .... a m 1 ...... a m n
b 0 0 0 0 ... 0
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例4：营养问题
某动物饲养场利用n种天然饲料来配制混 合饲料使用，已知单位第j种天然饲料的价格 为cj，它含有第i种营养成份的量为aij；根据 动物生长的需要，要求具有m种营养成份，且 第i种营养成份的含量不得低于bi。试确定在 保证动物营养需要的条件下用最低的饲料配 合法。
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建模步骤：
• 第一步：确定决策变量
x1：生产产品甲的数量（吨） x2：生产产品乙的数量（吨）
上述变量为由决策者决定的未知量，称 为决策变量。
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• 第二步：确定约束条件
本例的约束条件为三种资源的限制用量。对各 个限制条件逐一加以分析，写出反映其限制关 系的表达式（等式或不等式），从而得到约束 条件。
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第一步：确定变量 x1、 x2 、 x3 、 x4 分别表示用于项目A、 B、C、D的投资百分数。 第二步：确定约束条件 x1－ x2 － x3 － x4≤0 x2 ＋ x3 － x4≥0 x1 ＋ x2 ＋ x3 ＋ x4 ＝1 xj ≥0，j＝1，2,…,4
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第三步：确定目标函数 max z=0.15x1+0.1x2+0.08x3+0.12x4 数学模型 max z = 0.15x1 + 0.1x2 + 0.08x3 + 0.12x4 x1 － x2 － x3 － x4 ≤ 0 x2 ＋ x3 － x4 ≥ 0 x1 ＋ x2 ＋ x3 ＋ x4 ＝ 1 xj ≥0，j＝1，2,…,4
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线性规划研究的内容
• 在现有的资源条件下，如何充分利用资 源，使任务或目标完成得最好（求极大 化问题）。
• 在给定目标下，如何以最少的资源消耗 ，实现这个目标（求极小化问题）。
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• 第1步 -确定决策变量
•设
x 2 ——II的产量
x 1 ——I的产量
是问题中要确定的未知量， 表明规划中的用数量表示的 方案、措施，可由决策者决 定和控制。
• 设xj为第j种天然饲料的使用量，则aij xj为第j 种天然饲料含有第i种营养成分的数量。则：
• 考虑到非负约束和目标要求，其数学模型为：
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线性规划三要素
线性规划(Linear Programming，LP)有：
• 一组有待决策的变量 （指模型中要求解的未知量） • 一个线性的目标函数 （指模型中要达到的目标的数学表达式） • 一组线性的约束条件 （指模型中的变量取值所需要满足的一切限制 条件）
•基本概念
决策变量（Decision variables） 目标函数（Objective function ） 它是决策变量的函数 约束条件（Constraint conditions） 指决策变量取值时受到 可行域（Feasible region) 的各种资源条件的限制 最优解（Optimal solution) ，通常表达为含决策变
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• “” 约束： 减去非负剩余变量 ； • x 可正可负（即无约束）；
k
' " ' " Max x 令 x x x xx , k k k k k 60
例 ： min
z x1 2 x 2 3 x 3 x2 x2 x 3 7 x7 x3 2
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例2(书)
某厂生产甲乙两种产品，已知制成一吨产品 甲需用资源A 3吨，资源B 4m3；制成一吨产品乙 需用资源A 2吨，资源B 6m3，资源c 7个单位。 若一吨产品甲和乙的经济价值分别为7万元和5万 元，三种资源的限制量分别为90吨、200m3和210 个单位，试决定应生产这两种产品各多少吨才能 使创造的总经济价值最高?
max z＝7 x1十5 x2
这就是该问题的目标函数。
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经上述分析，可将该问题表示为：
max z＝7 x1十5 x2
3 x 1十2 4 x 1十6 7 x1 ≥ 0， x2 x2 x2 x2 ≤ 90 ≤ 200 ≤ 210 ≥ 0
这种数学表达方式，称为该问题的一种数学模型。
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设备 原材料 A 原材料 B 利润 I 1 4 0 2 II 2 0 4 3 资源限量 8 台时 16kg 12kg
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该计划的数学模型
目标函数
约束条件
Max Z = 2x1 + 3x2
x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x 1、 x 2 0
x1
x2
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– 用向量表示
max Z CX n Pjx j b i1 x 0 j 1 , 2 ,... n j 其中： x1 x 2 X P ... xn C (c 1 , c 2 ,...c a1 j a2j ... a mj
( P 1 , P 2 ,...,
Pn )
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一般线性规划问题的标准形化
• min Z=CX 等价于 max Z’ = -CX • “” 约束：加入非负松驰变量 例： 目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x 1 + 2x2 8 4x 1 16 4x2 12 x 1、 x 2 0
产品 I
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什么是线性规划？
在工业、农业、国防、建筑、交通运输、科研、商业 等各种活动中，常常要求对资源进行统一分配、全面规划 和合理调度，以便从各种可能安排方案中找出最优的计划 或设计，用以指导生产。在这类问题中，一方面有期望达 到最优要求的目标（例如希望产值最高或消耗最少），另 一方面又要受到一定条件的限制（例如人力、物力、财力 的限制），如何安排才能使成效最高，消耗既定资源取得 的收益最大，或达到既定收益所消耗的资源最少。这可以 借助线性规划（Linear Programming，LP）来解决。