矢量运算及微积分初步(2013-09-30)
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微积分、矢量
O
若函数
f (x) 在点 x0
附近有连续的导函数
f ′(x)
、f ′′(x) ，且 f ′( x0 ) = 0, f ′′( x0 ) ≠ 0 ， 处取极大值； 则 f ′′( x0 ) < 0 时 f (x ) 在 x0 处取极大值； 处取极小值。 f ′′( x0 ) > 0 时 f (x) 在 x0 处取极小值。
7 3 2 3 2 2 2 2 = x −5· x +C = x
(2e) x 2x ex x x +C = + C． dx 例6 ∫ 2 e dx =∫ (2e )x dx = 1+ ln 2 ln(2e)
1 + (x + x 2 ) 1+ x + x2 dx 例7 ∫ dx =∫ 2 2 x(1+ x ) x(1+ x ) 1 1 1 1 dx +∫ dx =∫ ( + )dx=∫ x 1+ x2 x 1+ x2 = arctan x +ln | x | +C ．
∫ [f(x)+g(x)]dx=∫ f(x)dx+∫
g(x)dx．
性质2 求不定积分时， 性质2 求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子 可以提到积分号外面来， 可以提到积分号外面来，即
∫ kf(x)dx=k∫ f(x)dx (k 是常数，k ≠0)．
例4
∫
=∫
x( x2 −5)dx = ∫ ( x −5x )dx
2(1 − x2 ) 2x = ⋅ cos 。 2 2 2 (1 + x ) 1+ x
函数的极值点和极值： 函数的极值点和极值：
矢量初步
A Ax i Ay j Az k B Bx i B y j Bz k
，求：A B
解：1、
ii j j kk 1 i j jk ki 0
2、 A B A B A B A B x x y y z z
物理学
矢量初步
k i
颠倒次序加“-”
i j j k
物理学
练习： 2、已知： A Ax i Ay j Az k ， k
矢量初步
j
i
求：
A B
B B x i B y j Bz k
i
j
k
ii j j k k 0 i j k ; j k i ;k i j
0
B
与 A
θ
A
90 则： c 0；A投影在 0 90 则： c 0，A投影在
问题： A B B A ?
正方向间的、不 B
B的 反 方 向 ； B的 正 方 向 。
物理学
矢量初步
练习：1、i、j、k 自身与相互间的点积；
2、已知：
3、叉积（矢积） A B C
C的方向与 A、B 都垂直， 且沿从A到B的右手螺旋钻 前进的方向；C = AB sinθ。
C
B
θ
A
问题：矢量 叉积满足 对易律吗？
A B B A
物理学
矢量初步
练习： 1、i、j、k 自身与相互间的叉积 （右手系）
ii j j kk 0 i j k; j k i; ki j
颠倒次序加“-”
A B ( Ay Bz Az B y )i ( Az Bx Ax Bz ) j ( Ax B y Ay Bx )k
矢量运算
矢量函数的积分 矢量函数的积分 如果矢量函数A(t)随时间变化,则它对时间的 随时间变化, 如果矢量函数 随时间变化 积分
B=
∫ = (∫ A
A ( t ) dt
x
dt i +
) (∫ A dt ) j + (∫ A dt )k
y z
= Bxi + B y j + Bzk
求矢量函数的积分实际上也是求它各个分量的 积分. 积分.
R
B
A
R = A+ B + C
加法满足 交换律: 交换律: 结合律: 结合律:
A + B = B + A A + (B + C ) = (A + B ) + C
两矢量相减 两矢量相减 其中 B 与
A B = A + ( B)
B
A A B B B
大小相等而方向相反
三,矢量的数乘
矢量与一实数相乘后仍是一矢量. 矢量与一实数相乘后仍是一矢量.
矢量的表示: 矢量的表示: 矢量的表示 1,作图表示:有指向的线段.线段的长 作图表示:有指向的线段. 度表示矢量的大小, 度表示矢量的大小,箭头所指的方向表示 矢量的方向. 矢量的方向. 书写表示: 2,书写表示:在字母的上加一箭头 矢量的大小:也叫矢量的模 矢量的大小:也叫矢量的模,表示为 矢量的大小 单位矢量:大小=1的矢量,用于表示 单位矢量:大小= 的矢量 的矢量, 单位矢量 矢量的方向. 矢量的方向. 因而有: 因而有:
λ A=C
大小 方向
C = λ A λ > 0 C 平行于 A λ < 0 C 平行于- A 平行于-
矢量的数乘满足 结合律: 结合律: 分配律: 分配律:
理论力学(矢量运算基本知识)
ai = i aix+ jaiy + kaiz 则有: Rx= aix
4.矢量的矢积 (1)定义: c = a × b
R = ai Rz= aiz
Ry= aiy
c
c a b sin a b
b a
6
(2)直角坐标中的解析表示
i a b ax bx
j ay by
k az bz
y
xE+2xA= c1
xB+(xB - xA) = c2
xC+(xC - xB) = c3
C
E
xD - xC =c4
D
x
18
对上述各式微分得:
2 dxB - dxA = 0 dxD - dxC = 0
dxE + 2 dxA = 0
2 dxC - dxB = 0
8dxD = -d xE
8vD= - vE 8aD= - aE aE = 2 vE =10 aE = 2
18 5
14
二.绪论
1.理论力学的研究对象
(1)机械运动
(2)质点,质点系,刚体和多刚体系统
(3)静力学,运动学,动力学和分析力学概论
2.理论力学的学习目的 3.理论力学的研究方法 4.理论力学的学习方法
15
例题2.如图所示,滑轮和绳子的质量均不计,物块A和B
的质量分别为m1和m2 且m1< m2 ,试求物块A的加速度. 解:
理 论 力一.矢量运算的基本知识 1.单位矢量 2.矢量的加法 3.矢量的标积 4.矢量的矢积 5.矢量的导数
2
二.绪论
1. 理论力学的研究对象 2. 理论力学的学习目的 3. 理论力学的研究方法 4. 理论力学的学习方法
矢量运算及微积分初步
h) h
f (x0 ) .
f ( x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) . x x0
应当指出，函数 f(x) 的导数 f ´(x) 本身也是x的一 个函数，因此我们可以再取它对x的导数，这叫函 数 y = f(x) 的二阶导数。
y f (x) d 2 y d ( dy ) d f (x) dx2 dx dx dx
19
2) 矢量积（叉积、外积） A B C 是一个轴矢量
大小：平行四边形面积
C A B ABsin (0 )
C
B A
精品课件
绪论
方向：右手螺旋
20
绪论
矢积的性质：
A B B A
A ( B C) A B AC
A A 0
A(BC) B( A•C) C( A• B)
精品课件
18
直角坐标系下的表示
因为Ｘ、Ｙ、Ｚ轴相互垂直，所以
i i 1; i j 0;
j j 1; i k 0;
k k 1 jk 0
A B (Axi Ay j Azk ) (Bxi By j Bzk )
Ax Bx Ay By Az Bz
精品课件
R
D
C AB
R ABCD
精品课件
14
绪论
2) 矢量的数乘
大小
A
C
方向
C A 0 C平行于 A
0 C平行于－A
结合律： ( A) ( ) A 分配律： ( A B) A B
精品课件
15
绪论
3) 矢量的分解 在一个平面内，若存在两个不共线的矢量 e1和e2 则 平面内的任一矢量可以分解为：
矢量的混合积 结果为平行六面体的体积 （A B) • C (C A) • B (B C) • A
附录 矢量与微积分初步
2、矢量平移的不变性：
把矢量 A 在空间平移，则矢量 A 的大小和方向都 不会因平移而改变。
A
A
A
图2 矢量平移
2019/9/13
2
附录：矢量与微积分
二 矢量合成的几何方法
1、利用质点在平面上的位移说明矢量相加法则：
c
C
B
ABC
a
b
A
图3 两矢量相加的三角形法则
自矢量 A 的末端画出矢量 B ，再从矢量 A 的始端 到矢量 B 的末端画出矢量 C ，则 C 就是 A 和 B
2019/9/13
14
附录：矢量与微积分
若函数在某一区间内各点均可导，则在该区间内每一点都有函 数的导数与之对应，则导数也成为自变量的函数，称为导函数。
f'xlim ylim fx xfx
x x 0 x 0
x
tan y
f x
x
f'xlimylimtan
附录：矢量与微积分
A B A x i A y j A z k B x i B y j B z k
利用 i j k ,i k j,i i 0 ，
AxBykAxBzj AyBziAyBxk AzBxjAzByi
AyBzAzBy i AzBxAxBz j AxByAyBx k
uv'
u'vuv' v2
v0
y f u，u x ，y为x的复合函数 y f x
dy dy du dx du dx
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17
附录：矢量与微积分
若 y f x 的导数 f ' x 对 x 可导，
把矢量 A 在空间平移，则矢量 A 的大小和方向都 不会因平移而改变。
A
A
A
图2 矢量平移
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2
附录：矢量与微积分
二 矢量合成的几何方法
1、利用质点在平面上的位移说明矢量相加法则：
c
C
B
ABC
a
b
A
图3 两矢量相加的三角形法则
自矢量 A 的末端画出矢量 B ，再从矢量 A 的始端 到矢量 B 的末端画出矢量 C ，则 C 就是 A 和 B
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附录：矢量与微积分
若函数在某一区间内各点均可导，则在该区间内每一点都有函 数的导数与之对应，则导数也成为自变量的函数，称为导函数。
f'xlim ylim fx xfx
x x 0 x 0
x
tan y
f x
x
f'xlimylimtan
附录：矢量与微积分
A B A x i A y j A z k B x i B y j B z k
利用 i j k ,i k j,i i 0 ，
AxBykAxBzj AyBziAyBxk AzBxjAzByi
AyBzAzBy i AzBxAxBz j AxByAyBx k
uv'
u'vuv' v2
v0
y f u，u x ，y为x的复合函数 y f x
dy dy du dx du dx
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附录：矢量与微积分
若 y f x 的导数 f ' x 对 x 可导，
第一次课-矢量运算
• 诺贝尔物理学奖得主、德国科学家 马克斯.玻恩所言：“与其说是因为 我发表的工作里包含了一个自然现 象的发现，倒不如说是因为那里包 含了一个关于自然现象的科学思想 方法基础。”
自20世纪中叶以来，在诺贝尔化学奖、生物及医学奖， 甚至经济学奖的获奖者中，有一半以上的人具有物理学 的背景；——这意味着他们从物理学中汲取了智慧，转 而在非物理领域里获得了成功。
——反过来，却从未发现有非物理专业出身的科学家问 鼎诺贝尔物理学奖的事例。这就是物理智慧的力量。
难怪国外有专家十分尖锐地指出：没有物理 修养的民族是愚蠢的民族！
二、物理学基本框架
三、物理世界的层次与数量级
1、 物理世界的质量层次与数量级（单位：千克） 电子 10-30 人体 质子 10-27 火箭 分子 10-22 金字塔 病毒 10-13~ 10-19 海水 蚂蚁 10-4 月球
欢迎同学们假期归来！
自我介绍
姓名：陈小艺 毕业院校：山东师范大学 研究方向：信息光学 联系方式：ss_chenxy@
大 学 物 理
绪
论
一、什么是物理学
物理学(PHYSICS)是研究物质世界最基 本的结构、最普遍的相互作用、最一般的运 动规律及所使用的实验手段和思维方法的自 然科学。简称物理。
102
地球
106
太阳
1010
银河系
1021
1023
已知的宇宙
1025
1030
1041
1053
2、 物理 世界的时 间层次与 数量级（ 单位：秒 ）
Z0 和W +或W-粒子的寿命 不稳定粒子的寿命 可见光的辐射周期 常见声音的周期 市电的周期 钟摆的周期 一天的周期 一年的周期 人类文明史 古人类至今 恐龙灭绝至今 地球的年龄 宇宙的年龄 质子的寿命
微积分初步ppt课件
设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切 线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程.
25
微分学: 积分学:
[F( x)]' ( ? ) 互逆问题 ( ? ) f ( x)
26
不定积分的概念和性质 一、原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、 不定积分的性质
Hale Waihona Puke 27一、原函数与不定积分的概念
例3 证明近似公式： ex 1 x（当x 很小时） 证明 令f (x) e x，取x0 0, x x，
由公式f (x0 x) f (x0 ) f (x0 )x得 e x f (0 x) f (0) f (0)x e0 e0 x 1 x.
类似地，可以证明当 x 较小时有下面近似公式
①求 f (x) 。 ②令 f (x) 0 ，求一阶驻点。 ③分区间讨论 f (x) 的正负号，确定单调区间
进而确定极值点。
④将极值点代入f(x)算出极值。
11
函数的极值: 请注意几点
(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点 的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不 意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是 说极值与最值是两个不同的概念.
（1）n 1 x 1 x n
(3) tan x x
(2) sin x x (4) ln(1 x) x
23
微分学问题：已知变速直线运动方程s s t , 求瞬时速度v t .
已知曲线方程y x2 1，求过点1，2的
切线方程.
积分学问题： 已知瞬时速度v t , 求变速直线运动方程s st .
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端
点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点
25
微分学: 积分学:
[F( x)]' ( ? ) 互逆问题 ( ? ) f ( x)
26
不定积分的概念和性质 一、原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、 不定积分的性质
Hale Waihona Puke 27一、原函数与不定积分的概念
例3 证明近似公式： ex 1 x（当x 很小时） 证明 令f (x) e x，取x0 0, x x，
由公式f (x0 x) f (x0 ) f (x0 )x得 e x f (0 x) f (0) f (0)x e0 e0 x 1 x.
类似地，可以证明当 x 较小时有下面近似公式
①求 f (x) 。 ②令 f (x) 0 ，求一阶驻点。 ③分区间讨论 f (x) 的正负号，确定单调区间
进而确定极值点。
④将极值点代入f(x)算出极值。
11
函数的极值: 请注意几点
(1)极值是一个局部概念.由定义,极值只是某个点 的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不 意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是 说极值与最值是两个不同的概念.
（1）n 1 x 1 x n
(3) tan x x
(2) sin x x (4) ln(1 x) x
23
微分学问题：已知变速直线运动方程s s t , 求瞬时速度v t .
已知曲线方程y x2 1，求过点1，2的
切线方程.
积分学问题： 已知瞬时速度v t , 求变速直线运动方程s st .
(4)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端
点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点
矢量运算基础与微积分初步
A B AB cos ( 为A与B的夹角) 若B为单位矢量， A B为A在B方向的投影。 B 0 90 , A B 0 0 90 , A B 0 A 0 B cos 90 , A B 0
特别注意： 若
(三) 常用不定积分公式
(1) 0dx C (2) adx ax C 1 n 1 (3) x dx x C n 1
n
(4) e x dx e x C 1 (5) dx ln x C x (6) sin xdx cos x C (7) cos xdx sin x C
i 1 i
n
n
i
若记λ为这些小区间中的最长者。当λ → 0时，若此和式的极限
lim f i xi
0
i 1
则称这个和式是函数f(x) 在区间(a, b)上的定积分。
（二）、定积分与不定积分的关系
F x f x dx C
f x dx F b F a
k Az Bz
矢量运算基础
注意：严格区分矢量的叉乘与点乘！ “×”、“ · ”不能随便乱用。 (6)矢量的非法运算包括
1 A
,
ln B,
C,
eD
即：矢量不能作除数、取对数；
不能开方、作指数。
矢量与标量不能相等。 ！！！
矢量运算基础
（7）矢量的导数还是个矢量
dr0 dA dA 若A Ar0 则 r0 A dt dt dt 若在直角坐标系，坐标轴方向不变，各分量互不 相干，分别求导。如：
不遵守交换律
A ( B C ) A B A C
特别注意： 若
(三) 常用不定积分公式
(1) 0dx C (2) adx ax C 1 n 1 (3) x dx x C n 1
n
(4) e x dx e x C 1 (5) dx ln x C x (6) sin xdx cos x C (7) cos xdx sin x C
i 1 i
n
n
i
若记λ为这些小区间中的最长者。当λ → 0时，若此和式的极限
lim f i xi
0
i 1
则称这个和式是函数f(x) 在区间(a, b)上的定积分。
（二）、定积分与不定积分的关系
F x f x dx C
f x dx F b F a
k Az Bz
矢量运算基础
注意：严格区分矢量的叉乘与点乘！ “×”、“ · ”不能随便乱用。 (6)矢量的非法运算包括
1 A
,
ln B,
C,
eD
即：矢量不能作除数、取对数；
不能开方、作指数。
矢量与标量不能相等。 ！！！
矢量运算基础
（7）矢量的导数还是个矢量
dr0 dA dA 若A Ar0 则 r0 A dt dt dt 若在直角坐标系，坐标轴方向不变，各分量互不 相干，分别求导。如：
不遵守交换律
A ( B C ) A B A C
矢量运算法则ppt课件
2.矢量：不仅有大小，而且有方向的物理量。
如:力 F 、速度 v 、电场 E 等
矢量表示为： A | A| aˆ
其中：|
A
|
为矢量的模，表示该矢量的大小。
aˆ 为单位矢量，表示矢量的方向，其大小为1。
所以：一个矢量就表示成矢量的模与单位矢量的乘积。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
例1：在直角坐标系中， x 方向的大小为 6 的矢量如何表示？
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3. 散度：
a.定义：矢量场中某点的通量密度称为该点的散度。
b.表达式： divF lim S F dS
c.散度的计算：
V 0 V
在直角坐标系中，如图做一封闭
z
S6
S1
S3
S4
S2
曲面，该封闭曲面由六个平面组成。
S5
y
Az
A
o
Ay
Ax
y
x
cos Ax , cos Ay , cos Az
| A|
| A|
| A|
在直角坐标系中三个矢量加法运算：
A B C (Ax Bx Cx )aˆx (Ay By Cy )aˆy (Az Bz Cz ) aˆz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
2.减法：换成加法运算
第1章 矢量分析
b.矢量积（叉积）：
aˆc
B
A B | A | | B | sin aˆc
•含义：
A
两矢量叉积，结果得一新矢量，其大小为这两个矢量
组成的平行四边形的面积，方向为该面的法线方向，且三
者符合右手螺旋法则。
推论1：不服从交换律： A B B A, A B B A
矢量的代数运算和微积分
2. 矢量的积分(integral) （1）对时间 t 的积分：
t2
t1
t2 Adt ( Ax i Ay j Az k )dt
t1
(
t2
t1
t2 t2 Ax dt )i ( Ay dt ) j ( Az dt )k
t1 t1
（2）沿曲线 s 的线积分：
2. 矢量相减(minus) 由于矢量 B 与 B 方向相反，大小相等， 有： B Bx i B y j Bz k
矢量相减
A B ( Axi Ay j Az k ) ( Bxi By j Bz k ) ( Ax Bx )i ( Ay By ) j ( Az Bz )k
d dA dB (1) ( A B ) dt dt dt d [ f (t ) A] df (t ) dA (2) A f (t ) dt dt dt dB dA d (3) ( AB ) A B dt dt dt dB dA d (4) ( A B) A B dt dt dt
如:力F 、速度v 、电场 E 等
矢量的描述 1 ，图示法 2， 解析法
1 矢量的图示法
B
A
c
AB A c
矢量具有平移不变性(translation invariant)：把 矢量在空间中平移，矢量的大小和方向不会改 变，这种性质称为矢量平移的不变性。
在直角坐标(rectangular coordinates)中的表示： 一个矢量 A ，可以用它在直角坐标系中的三个 投影分量(component) Ax、Ay 和 Az 来表示：
常用矢量公式
,A A==1i ii =∑直角系 A =cos ,cos cos cos cos Ay Ae e e βγαβγ===++A =加法： A +1()iiii A B A B e =+=+∑ 31i i A B A B =⋅=∑()A B C A ⋅+=31123sin n e A B AB e A B B B θ⨯==A C ⨯ 分配律A B B A ⨯=-⨯ 不满足交换律1A B C =Adt + A dt =)A B dB dAA B dt dt dt⨯=⨯+⨯ 并矢： AB (一般 AB BA ≠)，有九个分量。
,1,i i i j ij i j i j i jA B e e T e e ===∑∑ i e 矢量与张量的矩阵表示：2,i iA A e A A A == ⎝∑A B A B A B =++T AB = T 单位张量：=00 ⎝()B C A B CA=⋅=⋅)()()A B B C A B A C =⋅=⋅=()()A B C C AB C A B ⨯⎨⨯=⨯⎪⎩并矢并矢()()(AB CD A B C D A B ⋅=⋅=两并矢二次点乘： ()():AB CD B C A D =⋅⋅ 标量C C C ⋅=⋅=AB AB AB ⋅=⋅= :AB A B =⋅分钟）)()B A B ⨯- ((2B A =⨯()()b ac a b c =⋅-⋅与矢量C 计算下列各式：)a b ⨯ ⑵ ()a b a ⨯⨯ ⑶)j i k ⨯⋅ ⑷ 2()a b a a b -⋅， －1， ） ()()()()()()a b c d a c b d a d b c ⨯⋅⋅=⨯⋅-⨯⋅()()()0a b c b c a c a b ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=)[()]c d c d a b ⋅=⋅⨯⨯ )()]()()()()()()()()b a d ab b c a d b c b d a a c b d b c a d -⋅=⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅ ⑵ ()()()a b c b c a c a b ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ ()()()()()()0a cb a bc b a c b c a c b a c a b =⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-⋅=当已知场函数则可以了解场的各种性质：系（梯、散、旋度）。
附录-矢量和微积分初步PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
ln x ' x1
sin x ' cos x
arcsin x ' ( 1 x2 )1(1 x 1)
cos x ' sin x arccos x ' ( 1 x2 )1(1 x 1)
tan x ' sec2 x arctan x ' (1 x2 )1( x )
cot x ' csc2 x arc cot x ' (1 x2 )1( x )
dy dy du dx du dx
附录一 矢量
18
物理学
第五版
附录：矢量与微积分
若 y f x 旳导数 f ' x 对 x 可导，
则 f ' x '叫做 f (x) 旳二阶导数，记作
f '' x, y '' 或
d2y dx2
函数旳极值点和极值：
若函数 y f x 在 x0 某一邻域内有定义，且 f x0 比在 x0 某邻域内全部各点 f x 旳值都大(都小)，则称 f x0 是函数 f x 旳一种极大值(极小值)。x0 点称为函数 f x 旳一种极
附录一 矢量
3
物理学
第五版
附录：矢量与微积分
d
c
BC
B
a
b
A
图4两矢量相加旳三角形法则
自矢量 A 旳末端画出矢量 B ，再从矢量 A旳始端 到矢量 B 旳末端画出矢量 C ，则 C 就是 A 和 B
旳合矢量。
附录一 矢量
4
物理学
第五版
附录：矢量与微积分
2、利用计算措施计算合矢量旳大小和方向：
C
A
10
物理学
sin x ' cos x
arcsin x ' ( 1 x2 )1(1 x 1)
cos x ' sin x arccos x ' ( 1 x2 )1(1 x 1)
tan x ' sec2 x arctan x ' (1 x2 )1( x )
cot x ' csc2 x arc cot x ' (1 x2 )1( x )
dy dy du dx du dx
附录一 矢量
18
物理学
第五版
附录：矢量与微积分
若 y f x 旳导数 f ' x 对 x 可导，
则 f ' x '叫做 f (x) 旳二阶导数，记作
f '' x, y '' 或
d2y dx2
函数旳极值点和极值：
若函数 y f x 在 x0 某一邻域内有定义，且 f x0 比在 x0 某邻域内全部各点 f x 旳值都大(都小)，则称 f x0 是函数 f x 旳一种极大值(极小值)。x0 点称为函数 f x 旳一种极
附录一 矢量
3
物理学
第五版
附录：矢量与微积分
d
c
BC
B
a
b
A
图4两矢量相加旳三角形法则
自矢量 A 旳末端画出矢量 B ，再从矢量 A旳始端 到矢量 B 旳末端画出矢量 C ，则 C 就是 A 和 B
旳合矢量。
附录一 矢量
4
物理学
第五版
附录：矢量与微积分
2、利用计算措施计算合矢量旳大小和方向：
C
A
10
物理学
矢量运算初步
理学院 物理系 陈强
矢量运算初步
3维: A = Ax + Ay + Az = Ax i + Ay j + Az k ⇒ A ± B = ( Ax ± B x )i + ( Ay ± B y ) j + ( Az ± Bz )k
合矢量与分矢量的关系: 如图, C = A + B
•满足交换律: A ⋅ B = B ⋅ A 分配律: A ⋅ ( B + C ) = A ⋅ B + A ⋅ C
•直角坐标系(3D):
A ⋅ B = Ax B x + Ay B y + Az Bz i ⋅ i = j ⋅ j = k ⋅ k = 1 其中用到: i ⋅ j = j ⋅ k = k ⋅ i = 0
A B
A= B
平移(自由)矢量: 平移后大小、方向都不变 A 模: 只表示大小. A = A 0 A ˆ 单位矢量: 只表示方向, 模为1. A = ≡ A A
3
理学院 物理系 陈强
矢量运算初步
A 负矢量: 大小相等、方向相反. B = −A B 加法: 平行四边形/ 三角形法则 b B a A → 多边 C = A+ B c 形法则 A+ B a+b+c 减法 加一个负矢量 C = A− B : y 若A//B, C的大小为 A和B的代数和 A Ay 矢量分解: 反用平行四边形法则 x θ 常见：将一个矢量分解为相互垂直的分量 Ax 2维: A = Ax + Ay = Ax i + Ay j ˆ ˆ i , j 或 ei , e j 其中 i , j : x, y方向的单位矢量，也可记为 Ax , Ay : A 在x, y方向的分量（是标量） 4
矢量运算基础
读者自行完成此步的矢量合成图．
2
A -B
B
-B D
Aห้องสมุดไป่ตู้
图 8. 矢量的差
两个或两个以上矢量叠加可以合成一个矢量，相反，一个矢量也可以分解为两个或多个分矢量．通 常，一个矢量分解为两个矢量可以有无穷多种不同的分解方案，可以在几何上想象为对角线不变的平行 四边行有无限多个，相邻的两个邻边就是两个分矢量．图 9 给出了同一矢量 C 分解为两个矢量的无穷 多种不同的分解方案中两种可能的分解结果．只有已知两个分矢量的方向或已知一个分矢量的大小和方 向，这种分解才能有唯一结果．
带箭头的线段来表示，线段的长度正比于矢量的大小，箭头的方向即矢量的方向，有时为了方便表示，
不标注起点和终点，如图 1 所示．显然，矢量具有平移不变性，即矢量虽然具有大小和方向，但它在空 间没有确定的位置，可以如图 2 所示平移到任何地方，而他仍是同一个矢量．
AP
A
O
图 1． 矢量的表示及其简化形式
A
AB
DC
B
C
A A+B
A+B+C
D
E=A+B+C +D
图 7. 多矢量的合成
矢量 A 与 B 的相减 A-B 可写成矢量 A 与矢量 -B 的叠加，即 A-B=A (-B) ，如同两矢量相加一样，
取矢量 B 的负矢量 -B ，移动 -B 使 -B 的始端与矢量 A 的末端重合，从 A 的始端引向 -B 的末端的矢量 D 就是矢量 A 与 B 差 D A-B=A (-B) ，如图 8 所示，读者也可以通过交换律得到 D A-B=(-B)+A ，请
A A
图 2．矢量的平移
两个表示同类物理量（如力）的矢量 A 与 B ，如果矢量 A 与 B 大小相等且方向相同，则称矢量 A 与 B 相等，记为 A B ， 如图 3 所示； 如果这两个矢量大小不相等或方向不相同，则矢量 A 与 B 不 相等； 如果这两个矢量大小相等但方向相反，则矢量 A 与 B 互为负矢量，记为 A -B 或 B -A ，如 图 4 所示．
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y
jk i k j i
j j 0
k i j i k j
k k 0
22
A B ( Axi Ay j Azk ) (Bxi By j Bzk )
( AyBz AzBy )i ( AzBx AxBz ) j ( AxBy AyBx )k
d(sin x) cos xdx
d(cosx) sin xdx
d (e x ) e xdx
d(ln x) 1 dx x
ⅱ°函数和、差、积、商的微分法则
17
•矢量的积
绪论
1) 标量积（点积、内积） 两个矢量的点积为一标量。
A B AB cos 为A与B的夹角
若B为单位矢， A B为A在B方向的投影
交换律： A• B B • A 分配律： A• ( B C) A• B A •C
18
直角坐标系下的表示
因为Ｘ、Ｙ、Ｚ轴相互垂直，所以
割线MN的斜率为
tan y y0 x x0
f (x) f (x0 ) , x x0
N 沿曲线C M , x x0 ,
切线MT的斜率为 k tan lim f ( x) f ( x0 ) .
x x0
x x0
24
2）导数的定义
定义 设函数 y f (x)在点 x0的某个邻域内 有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量x (点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f (x0 x) f (x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数
例1 求函数 f ( x) C(C为常数)的导数.
解
f ( x) lim f ( x h) f ( x)
h0
h
lim C C h0 h
0.
即 (C) 0.
28
5）导数的运算
ⅰ°和、差、积、商的求导法则
定理 如果函数u( x), v( x)在点 x处可导,则它
y f (x)在点 x0处可导, 并称这个极限为函
数 y f (x)在点 x0处的导数, 记为y xx0 ,
dy dx
或
x x0
df (x) dx
, x x0
25
即
y
x x0
y lim x0 x
lim
x0
f ( x0
x) x
f (x0 )
其它形式
o
y f (x)
T M
x0
x
切线方程为 y y0 f ( x0 )( x x0 ).
27
4）由定义求导数 步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
(2) 算比值 y f ( x x) f ( x);
x
x
(3) 求极限 y lim y . x0 x
矢量分析、微积分 知识初步
绪论
3. 矢量 矢量
•矢量和矢标量理和标量
普通物理中的物理量大致分为两类：标量和矢量 标量：只有大小（一个数和一个单位）的量，
例如：质量、长度、时间、密度、能量、温 度等。 矢量：既有大小又有方向的量，并有一定的运算规则，
例如：位移、速度、加速度、角速度、力矩、电 场强度等。
19
2) 矢量积（叉积、外积）
A B C 是一个轴矢量
大小：平行四边形面积
C A B ABsin (0 )
C
B
A
绪论
方向：右手螺旋
20
绪论
矢积的性质：
A B B A
A ( B C) A B AC
35
绪论
2）微分的定义
定义 设函数 y f ( x)在某区间内有定义, x0及 x0 x在这区间内, 如果 y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x) 成立(其中A是与x无关的常数), 则称函数 y f ( x)在点 x0可微, 并且称A x为函数 y f ( x)在点 x0相应于自变量增量x的微分, 记作 dy xx0 或 df ( x0 ), 即dy xx0 A x.
记作dx, 即dx x.
dy f ( x)dx.
dy f ( x). dx
即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于 该函数的导数. 导数也叫"微商".
37
绪论
3）微分的求法
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
ⅰ°基本初等函数的微分公式
d(C) 0
d ( x ) x1dx
15
绪论
3) 矢量的分解 在一个平面内，若存在两个不共线的矢量 e1和e2 则 平面内的任一矢量可以分解为：
A A1e1 A2 e2
常用 e1e2 称为正交分解
三维空间中应有3个不共面的矢量
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•矢量在直角坐标系下的表示 （二维推广到三维）
y
Ay
A
Ax x
A Axi Ay j
A
B C AB
矢量合成的三角形法则
R
D
A
C B
R ABCD
14
绪论
2) 矢量的数乘
大小
A
C
方向
C A 0 C平行于 A
0 C平行于－A
结合律： ( A) ( ) A 分配律： ( A B) A B
A A 0 A(BC) B( A•C) C( A• B)
矢量的混合积 结果为平行六面体的体积 （A B) • C (C A) • B (B C) • A (B A) • C
21
直角坐标系下的表示（右手系）
z
z
右手系
左手系
y
x
x
i j k; j i k; i i 0;
9
一单位
A
A
A
A
矢量的图示
等矢量
负矢量
矢量平移（大小和方向不变），矢量不变
Hale Waihona Puke A A A
B
B
B
10
•矢量的模与单位矢量
矢量的大小称为矢量的模，用 A 或 A 表示
矢量
eA
，其模为１、方向与
A
相同，称为
A
单位矢量
A AeA
11
直角坐标系
z
(sin
x)
cos x cos2
sin x
x(cos
x)
cos2 x cos2
sin2 x
x
1 cos2
x
sec2
x
33
例4 求函数 y ln sin x 的导数. 解： y ln u, u sin x.
dy dy du dx du dx
1 cos x u
们的和、差、积、商(分母不为零)在点 x处也
可导, 并且
(1) [u( x) v( x)] u( x) v( x);
(2) [u( x) v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x);
(3)
[
u( v(
x)] x)
u(
x)v(
x) u( v2(x)
f
( x0 )
lim
h0
f (x0
h) h
f (x0 ) .
f ( x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) . x x0
应当指出，函数 f(x) 的导数 f ´(x) 本身也是x的一 个函数，因此我们可以再取它对x的导数，这叫函 数 y = f(x) 的二阶导数。
y f (x) d 2 y d ( dy ) d f (x) dx2 dx dx dx
依此类推，可以定义高阶导数。
26
3）导数的几何意义
f ( x0 )表示曲线 y f ( x) y 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率,即
f ( x0 ) tan , (为倾角)
cos x sin x
cot x
例5 求函数 y ( x2 1)10 的导数 .
解： dy 10( x 2 1)9 ( x 2 1) dx 10( x 2 1)9 2x 20x( x 2 1)9 .
34
绪论
5. 微分
1）问题的提出
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
i
k j
y
x i 、 j、 k 为Ｘ、Ｙ、Ｚ方向的单位矢量。
12
矢量运算基本规律
绪论
矢量结合法则 1) 矢量加法：遵从平行四边形定则
交换律： A B B A 结合律： A (B C) ( A B) C
13
简化为
C AB
B
A
设边长由x0变到x0 x,
x0
正方形面积 A x02,
x 0 x
A ( x0 x)2 x02
2x0 x (x)2 .
(1)
(2)
A
x
2 0
x (x)2
x
x0x x0
(1) : x的线性函数,且为A的主要部分; (2) : x的高阶无穷小,当 x 很小时可忽略.