矢量运算及微积分初步(2013-09-30)

o
y f (x)
T M

x0
x
切线方程为 y y0 f ( x0 )( x x0 ).
27
4）由定义求导数 步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
(2) 算比值 y f ( x x) f ( x);
x
x
(3) 求极限 y lim y . x0 x

(sin
x)
cos x cos2
sin x
x(cos
x)

cos2 x cos2
sin2 x
x

1 cos2
x

sec2
x
33
例4 求函数 y ln sin x 的导数. 解： y ln u, u sin x.
dy dy du dx du dx
1 cos x u
模： A Ax2 Ay2



A B ( Ax Bx )i ( Ay By ) j
三维： A Axi Ay j Azk
模：A Ax2 Ay2 Az2




A B ( Ax Bx )i ( Ay By ) j ( Az Bz )k
f
( x0 )
lim
h0
f (x0

h) h
f (x0 ) .
f ( x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) . x x0
应当指出，函数 f(x) 的导数 f ´(x) 本身也是x的一 个函数，因此我们可以再取它对x的导数，这叫函 数 y = f(x) 的二阶导数。
y
jk i k j i
j j 0
k i j i k j
k k 0
22
A B ( Axi Ay j Azk ) (Bxi By j Bzk )



( AyBz AzBy )i ( AzBx AxBz ) j ( AxBy AyBx )k
矢量分析、微积分 知识初步
绪论
3. 矢量 矢量
•矢量和矢标量理和标量
普通物理中的物理量大致分为两类：标量和矢量 标量：只有大小（一个数和一个单位）的量，
例如：质量、长度、时间、密度、能量、温 度等。 矢量：既有大小又有方向的量，并有一定的运算规则，
例如：位移、速度、加速度、角速度、力矩、电 场强度等。
们的和、差、积、商(分母不为零)在点 x处也
可导, 并且
(1) [u( x) v( x)] u( x) v( x);
(2) [u( x) v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x);
(3)
[
u( v(
x)] x)

u(
x)v(
x) u( v2(x)
y f (x) d 2 y d ( dy ) d f (x) dx2 dx dx dx
依此类推，可以定义高阶导数。
26
3）导数的几何意义
f ( x0 )表示曲线 y f ( x) y 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率,即
f ( x0 ) tan , (为倾角)
写成行列式




i
j
k

A B Ax Ay Az
Bx By Bz
23
4. 导数
y
1）问题的提出——切线问题
如图, 如果割线MN绕点M旋 转而趋向极限位置MT,直线 MT就称为曲线C在点M处的 切线.
极限位置即
o
y f (x)
N
CM

x0
T
xx
MN 0, NMT 0. 设 M ( x0 , y0 ), N ( x, y).
x)v(
x)
(v( x) 0).
30
ⅱ°基本初等函数的导数公式
(C ) 0
(sin x) cos x
(tan x) sec2 x
(sec x) sec x tan x
(a x ) a x ln a
(log a
x)

1 x ln a
( x ) x 1
例1 求函数 f ( x) C(C为常数)的导数.
解
f ( x) lim f ( x h) f ( x)
h0
h
lim C C h0 h
0.
即 (C) 0.
28
5）导数的运算
ⅰ°和、差、积、商的求导法则
定理 如果函数u( x), v( x)在点 x处可导,则它
i
k j
y
x i 、 j、 k 为Ｘ、Ｙ、Ｚ方向的单位矢量。
12
矢量运算基本规律
绪论
矢量结合法则 1) 矢量加法：遵从平行四边形定则
交换律： A B B A 结合律： A (B C) ( A B) C
13
简化为
C AB
B
A
19
2) 矢量积（叉积、外积）
A B C 是一个轴矢量
大小：平行四边形面积
C A B ABsin (0 )

C

B
A

绪论
方向：右手螺旋
20
绪论
矢积的性质：
A B B A
A ( B C) A B AC
记作dx, 即dx x.
dy f ( x)dx.
dy f ( x). dx
即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于 该函数的导数. 导数也叫"微商".
37
绪论
3）微分的求法
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.
ⅰ°基本初等函数的微分公式
d(C) 0
d ( x ) x1dx
dx du dx
利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决. 例1 求 y x3 2 x2 sin x 的导数 .
解： y 3x 2 4x cos x.
32
例2 求 y sin 2x ln x 的导数 .
解： y 2sin x cos x ln x
d(sin x) cos xdx
d(cosx) sin xdx
d (e x ) e xdx
d(ln x) 1 dx x
ⅱ°函数和、差、积、商的微分法则
y f (x)在点 x0处可导, 并称这个极限为函
数 y f (x)在点 x0处的导数, 记为y xx0 ,
dy dx
或
x x0
df (x) dx
, x x0
25
即
y
x x0
y lim x0 x

lim
x0
f ( x0
x) x
f (x0 )
其它形式
微分dy叫做函数增量y的线性主部. (微分的实质)
36
绪论
例 求函数 y x3 当 x 2, x 0.02时的微分.
解： dy ( x3 )x 3x2x.
dy x2 3 x 2x x2 0.24.
x 0.02
x 0.02
通常把自变量 x的增量 x称为自变量的微分,
A

B C AB
矢量合成的三角形法则


R
D

A
C B
R ABCD
14
绪论
2) 矢量的数乘
大小

A

C
方向

C A 0 C平行于 A

0 C平行于－A
结合律： ( A) ( ) A 分配律： ( A B) A B
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cos x sin x
cot x
例5 求函数 y ( x2 1)10 的导数 .
解： dy 10( x 2 1)9 ( x 2 1) dx 10( x 2 1)9 2x 20x( x 2 1)9 .
34
绪论
5. 微分
1）问题的提出
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
35
绪论
2）微分的定义
定义 设函数 y f ( x)在某区间内有定义, x0及 x0 x在这区间内, 如果 y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x) 成立(其中A是与x无关的常数), 则称函数 y f ( x)在点 x0可微, 并且称A x为函数 y f ( x)在点 x0相应于自变量增量x的微分, 记作 dy xx0 或 df ( x0 ), 即dy xx0 A x.
y 2cos x cos x ln x 2sin x ( sin x) ln x 2 sin x cos x 1 x
2 cos 2x ln x 1 sin 2x. x
例3 求 y tan x 的导数 .
解：
y (tan x) (sin x ) cos x
9
一单位
A
A
A
A
矢量的图示
等矢量
负矢量
矢量平移（大小和方向不变），矢量不变
A
A
A
B
B
B
10
•矢量的模与单位矢量

矢量的大小称为矢量的模，用 A 或 A 表示
矢量
eA
，其模为１、方向与
A
相同，称为
A
单位矢量
A AeA
11
直角坐标系
z

17
•矢量的积
绪论
1) 标量积（点积、内积） 两个矢量的点积为一标量。
A B AB cos 为A与B的夹角
若B为单位矢， A B为A在B方向的投影
交换律： A• B B • A 分配律： A• ( B C) A• B A •C
18
直角坐标系下的表示
因为Ｘ、Ｙ、Ｚ轴相互垂直，所以
(cos x) sin x (cot x) csc2 x (csc x) csc x cot x
(e x ) e x (ln x) 1
x
31
ⅲ°复合函数的求导法则
设y f (u), 而u ( x)则复合函数 y f [ ( x)]的 导数为dy dy du 或 y( x) f (u) ( x).
割线MN的斜率为
tan y y0 x x0
f (x) f (x0 ) , x x0
N 沿曲线C M , x x0 ,
切线MT的斜率为 k tan lim f ( x) f ( x0 ) .
x x0
x x0
24
2）导数的定义
定义 设函数 y f (x)在点 x0的某个邻域内 有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量x (点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f (x0 x) f (x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数
设边长由x0变到x0 x,
x0
正方形面积 A x02,
x 0 x
A ( x0 x)2 x02
2x0 x (x)2 .
(1)
(2)
A

x
2 0
x (x)2
x
x0x x0
(1) : x的线性函数,且为A的主要部分; (2) : x的高阶无穷小,当 x 很小时可忽略.
A A 0 A(BC) B( A•C) C( A• B)
矢量的混合积 结果为平行六面体的体积 （A B) • C (C A) • B (B C) • A (B A) • C
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直角坐标系下的表示（右手系）
z
z
右手系
左手系
y
x
x
i j k; j i k; i i 0;
15
绪论
3) 矢量的分解 在一个平面内，若存在两个不共线的矢量 e1和e2 则 平面内的任一矢量可以分解为：
A A1e1 A2 e2
常用 e1e2 称为正交分解
三维空间中应有3个不共面的矢量
16
•矢量在直角坐标系下的表示 （二维推广到三维）
y

Ay
A
Ax x
A Axi Ay j
i i 1; i j 0;
j j 1; i k 0;
k k 1 jk 0
A B (Axi Ay j Azk ) (Bxi By j Bzk )
Ax Bx Ay By Az Bz