(安培环路定理)

根据对称性可知，在与环 共轴的圆周上磁感应强度的大 小相等，方向沿圆周的切线 方向。磁场线是与环共轴的 一系列同心圆。
B
r2
r1
LBiblioteka Baidu
p
15
取安培环路L为螺绕环内与它同心的 圆，其半径为 r ，电流穿过 L 环路共 N次，所以根据安培环路定理
B dl 2rB 0 NI
L
bcefb b c e f
13
而
b B dl B dl 0
e c f
所以 f c B dl Bef dl Bbc dl ( Bef Bbc )l 0nIl
bcefb e b
得
B fe Bbc 0nI
O
R I
r
dl
L
r
B
dB
B dl 2rB o I
L
dS ''
dS
'
' dB
'' dB
B 0
rR rR
o I B 2r
B
无限长圆柱面电流外面的磁场与电流 都集中在轴上的直线电流的磁场相同.
r
7
若为无限长圆柱体电流的磁场分布.
仍以轴上一点为圆心，取垂直于轴 的平面内半径为 r 的圆为安培环路
§ 5-4 安培环路定理
静电场中 E dl 0 ，表示静电场是保守力场。 L 磁场是不是保守力场呢？ B dl ? L 一.安培环路定理
在真空中的稳恒电流磁场中，磁感应强度 B 沿任 意闭合曲线的线积分（也称 B 的环流），等于穿
过该闭合曲线的所有电流强度的代数和的 0 倍。
解：可视为无限多平行 长直电流的场。 分析求场点p的对称性 作 po 垂线，取对称的 长直电流元，其合磁场 方向平行于电流平面。
d B ' dB dB' '
p
dl '
o
dl ' '
无数对称元在 p点的总磁场方向平行于电流平面。 因为电流平面是无限大，故与电流平面等距离的 各点B的大小相等。在该平面两侧的磁场方向相反。 17
9
用安培环路定理求解: 一个单位长度上 有 n匝的无限长 直螺线管,由于 是密绕， 所以每 匝视为圆线圈。 由对称性分析场结构 a.只有轴上的分量；
B
b.因为是无限长， 在与轴等距离的 平行线上磁感应 强度相等。
10
l
B
a
b
d
c
将安培环路定理应用于图中的 abcda 矩形闭合曲线， 其中bc段在轴线上（bc长为l），并注意该曲线所包围 的电流 I = 0 , 所以 b c d a B dl B dl B dl B dl B dl 0
I4
I1
I3 L
I2
I1为正， I2为负， I3和I4未 被包围
2
③ B 代表空间所有电流(包括不被L包围的电
流)产生的磁感应强度的矢量和.
I1
I2
I4
l
I3
由环路内电流决定
0 Ii 0 (I 2 I3 ) B d l
L
由环路内外电流产生
环路所包围的电流
3
不变
abcda a
ab，cd段
a
d B dl B dl 0
b c
b
c
d
11
l
B
a
b
d
c
所以
abcda
a c B dl Bda dl Bbc dl ( Bda Bbc )l 0 d b
Bda Bbc
轴线上的
B 0nI
O
R I
I 2 dB B dl 2rB o I 0 r L R 2 ' '' dB '' dB 0 Ir dS B rR 2 ' 2 R dS
r
dl
L
r
B
o I B 2r
rR
B
无限长圆柱体电流内部的磁场与离开轴 线的距离成正比.外面的磁场与电流都集中 在轴上的直线电流的磁场相同.
对变化电流的磁场，本定理形式不适用，需用 其推广形式。
⑥当空间电流分布满足一定的对称性时，可用 安培环流定律求空间的磁感应强度分布。
5
三、应用安培环路定理求磁场分布
应用安培环路定理求磁场分布的解题步骤： (1)分析磁场的对称性；
(2)过场点选择适当的路径，使得 B 沿此环路的积 分易于计算： B 的量值恒定，B与dl 的夹角处处相
轴线上 B Bbc 0 nI 代入上式，
B外 Bef 0
结论：无限长通电螺线管内为均匀场， B 0nI ；螺 14 线管外的磁场为零。
例 17.7 绕在圆环上的螺线形线 圈叫做螺绕环。设螺绕环很细， 环的平均半径为 R ，总匝数为 N ，通过的电流强度为 I 。求磁场 分布。 解:分析磁场结构，与长直螺旋 管类似，环内磁场只能是平行 于线圈的轴线（即每一个圆线 圈过圆心的垂线）。
r
8
[例题2]无限长螺线管的磁场。 由毕-萨定律求得无限长密绕螺线管内轴线上一点的 B 0nI ，方向沿轴线方向（由右手螺旋法则确定） 。 现用安培环路定理证明：管内各点均有与轴线相同的 磁感应强度(即管内为均匀磁场） ，而管外 B 0 。
可证明螺线管内任一点 B 的方向均平行于轴线方向。
于是
N B 0 ( ) I 0 nI （环内） 2r
r
L
N匝
N 式中 n 代表环上单位长度内 2r 的匝数。
B ＝ 0。（环外）
R2 L O R1 r dl B
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例17.8 求无限大平板电流的磁场分布.设一无限大导 体薄平板垂直于纸面放置，其上有方向垂直于纸面朝外 的电流通过，面电流密度（即指通过与电流方向垂直的 单位长度的电流）到处均匀，大小为 j .
方向平行于轴线.
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所以 B B B da bc
0nI
l
f
e
B
b
c
用相同的方法证明，如果管外有磁场，则其方向平 行于轴线。 将安培环路定理用于图中的 bcefb矩形环路，其中bc 段长等于fe段等于l。 环路所包围的电流等于nIl，故 c e f b B dl B dl B dl B dl B dl 0nIl
d B ' 作一安培环路如图： d B bc和 da两边被电流平 dB' ' 面等分。ab和cd 与电
流平面平行,则有
p
d
l
c

L
B dl 2Bl o jl
B
dl '
o
dl ' '
a
b
结果
o j
2
方向如图所示.
在无限大均匀平面电流的两侧的磁场都 为均匀磁场，并且大小相等，但方向相反。 问：两块电流板，板间、板外，磁场分布如何？
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?
B dl 0 I i 0 ( I 2 I 3 )
?
不变
?
改变
I1 I4
位置移动
I2
I3
l
4
④一般情况下磁感应强度的环流不等于零，故磁场不 是保守场。
⑤安培环路定理的适用条件 只适用于闭合电流。对一段恒定电流的磁场不 成立。
无限长直电流，可认为电流在无限远处闭合。
(证略)
B dl 0 I i
L i
1
二.讨论：
B dl 0 I i
L i
①电流的正负：电流方向与L的绕行方向符合右手 螺旋关系时，电流为正;反之为负。 ② SIint 是环路L所包围的电流的代数和。 对于闭合电流，只有与L相铰链时，才算被L包围.
等；
(3)求出环路积分； (4)用右手螺旋定则确定所选定的回路包围电流的 正负，最后由磁场的安培环路定理求出磁感应强
度 B 的大小。
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例. 无限长圆柱面电流的磁场分布 设半径为 R ,面上均匀分布的轴向总电流I.
解:分析场结构：有轴对称性 以轴上一点为圆心，取垂直于轴 的平面内半径为 r 的圆为安培环路