物理学中的一个非线性耦合偏微分方程组的精确解
带复常数的akns方程组的精确解
带复常数的akns方程组的精确解带复常数的AKNS方程组是一类常见的非线性偏微分方程组，在计算物理学和数学物理学等领域中有重要的应用。
对于这类方程组，已经产生了许多研究和应用的成果，其精确解也已经被广泛讨论和研究。
本文将重点介绍带复常数的AKNS方程组的精确解。
一、AKNS方程组AKNS方程组是指下面的形式的非线性偏微分方程组：$$ i\partial_tq_j+\partial_{x_x}q_j+Aq_j+Bq_{j}^\ast+\sum_{k=1}^{ n}\phi_{jk}(q_k,q_{k}^\ast)=0, \quad j=1,\ldots,n. $$其中，$q_j(x,t)$是复函数，$A$，$B$和$\phi_{jk}(q_k,q_{k}^\ast)$是已知的复数常量。
$\partial_t$和$\partial_{x_x}$分别表示对时间和空间坐标求偏导。
AKNS方程组的精确解对于理解其物理和数学特性以及在实际应用中的运用具有重要的意义。
二、带复常数的AKNS方程组的精确解带复常数的AKNS方程组的精确解旨在求出一组时间和空间变量的解函数${q_j(x,t)}$，它们是完全由已知的初始条件${q_j(x,t_0)}$，其中$t_0$是初始时刻，和已知的参数$A,B,\phi_{jk}$，以及一些其他限制条件来确定的。
在文献中已经对带复常数的AKNS方程组的精确解进行了大量的研究。
在这里，我们仅介绍其中的一种求解方法，即Lax对角化方法。
Lax对角化方法的基本思路是将AKNS方程组转化为一个惯量系数为常数的线性偏微分方程组，然后应用已知的线性偏微分方程的解法来求解。
具体来说，我们可以通过引入一个有效的变换$U(x,t)$，解出矩阵微分方程组$\partial_t U=LU$，其中$L$是一个常数矩阵，且$U(x,t)$和$L$的形式取决于$A,B,\phi_{jk}$。
通过适当选择$U(x,t)$和$L$，可以确保矩阵微分方程组的解构成的矩阵$M(x,t)$满足下列关系：$$ M(x,t)^{-1}(\partial_x+L)M(x,t)=\text{diag}(\lambda_1,\ldots ,\lambda_n), $$其中，$\lambda_1,\ldots,\lambda_n$都是已知的复数。
kdv方程精确解
kdv方程精确解
kdv方程是一种具有非线性和非局域性质的偏微分方程，它在许多物理和数学领域中都具有重要的应用。
近年来，人们对kdv方程的精确解进行了广泛的研究，取得了一系列重要的成果。
在研究kdv方程的精确解时，人们主要采用了一些经典的数学工具和方法，如反射变换、Lax对、Darboux变换、Bcklund变换等。
通过这些方法，人们得到了kdv方程的很多精确解，包括孤子解、多孤子解、非定常解等。
其中，孤子解是kdv方程中最为重要的一类精确解，它具有非线性可积性、非局域性和稳定性等重要性质。
人们通过对孤子解的研究，发现了kdv方程中许多有趣的现象，如孤子的相互作用、散射等。
除了孤子解外，人们还研究了kdv方程的其他精确解。
例如，多孤子解是由多个孤子解叠加而成的解，具有更为复杂的结构和性质；非定常解是kdv方程中的另一类重要解，它可以描述一些非平稳的物理现象。
总之，kdv方程的精确解研究不仅具有重要的理论意义，还具有广泛的应用价值。
未来，我们可以继续深入研究kdv方程的精确解，探索更多的新现象和新应用。
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一类耦合非线性薛定谔方程组的求解
第３８卷第１期２０２４年１月兰州文理学院学报(自然科学版)J o u r n a l o fL a n z h o uU n i v e r s i t y ofA r t s a n dS c i e n c e (N a t u r a l S c i e n c e s )V o l ．３８N o ．１J a n ．２０２４收稿日期:２０２３Ｇ０５Ｇ１５基金项目:国家自然科学基金项目(１１７６１０４４)作者简介:仁世杰(１９９５Ｇ),男,甘肃庄浪人,助教,硕士,研究方向为孤立子理论及其应用．E Ｇm a i l :４８７４５０３９５＠q q．c o m．㊀㊀文章编号:２０９５Ｇ６９９１(２０２４)０１Ｇ００３９Ｇ０５一类耦合非线性薛定谔方程组的求解仁世杰１,李永军２,张㊀娟３(１．兰州城市学院信息工程学院,甘肃兰州７３００７０;２．兰州城市学院电子工程学院,甘肃兰州７３００７０;３．宁夏师范学院数学与计算机科学学院,宁夏固原７５６０００)摘要:在可积条件c (t )＝(γ２(t ))２＝１(C １t ＋C ２)２,γ１(t )＝γ２(t )＝１C １t ＋C ２ìîíïïïï下,利用特殊变换法和S i n e Ｇc o s i n e 方法,得到了双芯光纤变系数线性耦合薛定谔方程组i ∂∂t u (x ,t )＋i ∂∂x u (x ,t )－∂２∂t ２u (x ,t )＋γ１(t )u (x ,t )２u (x ,t )＋㊀㊀c (t )v (x ,t )＝０,i ∂∂t v (x ,t )＋i ∂∂x v (x ,t )－∂２∂t ２v (x ,t )＋γ２(t )v (x ,t )２v (x ,t )＋㊀㊀c (t )u (x ,t )＝０ìîíïïïïïï的精确解．其中:C i (i ＝１,２)是常数;γi (t )(i ＝１,２)是第i 个纤芯的非线性参数;c (t )是两个纤芯之间的线性耦合参数．关键词:双芯光纤;线性耦合;薛定谔方程;可积;S i n e Ｇc o s i n e 方法中图分类号:O １７５．２９㊀㊀㊀文献标志码:AS o l v i n g aC l a s s o fC o u p l e dN o n l i n e a r S c h r öd i n g e rE qu a t i o n s R E N S h i Ｇj i e １,L IY o n g Ｇju n ２,Z HA N GJ u a n ３(１．S c h o o l o f I n f o r m a t i o nE n g i n e e r i n g ,L a n z h o uC i t y U n i v e r s i t y,L a n z h o u７３００７０,C h i n a ;２．S c h o o l o fE l e c t r o n i cE n g i n e e r i n g ,L a n z h o uC i t y U n i v e r s i t y,L a n z h o u７３００７０,C h i n a ;３．S c h o o l o fM a t h e m a t i c s a n dC o m p u t e r S c i e n c e ,N i n g x i aN o r m a lU n i v e r s i t y,G u y u a n７５６０００,N i n gx i a ,C h i n a )A b s t r a c t :I n t h i s p a p e r ,t h e e x a c t s o l u t i o n s o f t h e l i n e a r l y c o u p l e d n o n l i n e a r S c h r öd i n g e r E qu a Ｇt i o n G r o u p i ∂∂t u (x ,t )＋i ∂∂x u (x ,t )－∂２∂t ２u (x ,t )＋γ１(t )u (x ,t )２u (x ,t )＋㊀㊀c (t )v (x ,t )＝０i ∂∂t v (x ,t )＋i ∂∂x v (x ,t )－∂２∂t ２v (x ,t )＋γ２(t )v (x ,t )２v (x ,t )＋㊀㊀c (t )u (x ,t )＝０ìîíïïïïïïïïw i t h v a r i a b l e c o e f f i c i e n t s o f t w o Ｇc o r e f i b e r a r e c a l c u l a t e db y s p e c i a l t r a n s f o r m a t i o nm e t h o d a n dm e t h o du n Ｇd e r i n t e g r a b l e c o n d i t i o n c (t )＝(γ２(t ))２＝１(C １t ＋C ２)２γ１(t )＝γ２(t )＝１C １t ＋C ２ìîíïïïïa m o n g wh i c h C i (i ＝１,２)i s t h e c o n Ｇs t a n t ,γi (t )i s t h e n o n l i n e a r p a r a m e t e r s o f t h e i Ｇt h c o r e a n d c (t )i s t h e l i n e a r c o u p l i n g p a r a m e Ｇt e r sb e t w e e n t h e t w o c o r e s ．K e y wo r d s :t w o Ｇc o r e f i b e r ;l i n e a r c o u p l i n g ;S c h r öd i n g e r e q u a t i o n ;i n t e g r a b l e ;S i n e Ｇc o s i n em e t h o d 0㊀引言双芯光纤耦合方程是一类数学与物理领域研究的热点方程,它描述了光纤中光孤子是光波在传播过程中色散效应与非线性压缩效应相平衡的结果．因为光孤立子通信具有高码率㊁长距离和大容量的优点,可以构成超高速传输系统,所以光孤立子及其在通信中的应用研究具有重要的研究价值．文献[１]研究了变系数线性耦合的非线性薛定谔方程组:i ∂∂t u (x ,t )＋i ∂∂x β１１u (x ,t )－㊀β１２２∂２∂t ２u (x ,t )＋γ１(t )u (x ,t )２㊀u (x ,t )＋c v (x ,t )＋δa u (x ,t )＝０,i ∂∂t v (x ,t )＋i ∂∂x β２１v (x ,t )－㊀β２２２(t )∂２∂t２v (x ,t )＋γ２(t )v (x ,t )２㊀v (x ,t )＋c (t )u (x ,t )－δav (x ,t )＝０．ìîíïïïïïïïïïïïïïï(１)其中:βj １(j ＝１,２)是第j 个纤芯的群速度参数;βj ２(j ＝１,２)是第j 个纤芯的色散参数;γi (i ＝１,２)是非线性参数;c 是两个纤芯之间的线性耦合参数;δa 是两个纤芯的相速度参数．对于方程组(１),文献[１]针对非线性定向耦合器中光学明孤子的相互作用动力学进行了广泛的数值研究,考虑群速度失配,相速度失配,以及群速度色散和有效模面积的差异等因素的影响,主要使用数值方法研究了在均匀白躁声形式下的谐波无穷小扰动作用下亮孤子的稳定性．求解此类方程学有以下方法:I S T 方法[２Ｇ３],齐次平衡法[４Ｇ５],B äc k l u n d 变换方法[６Ｇ７],S i n e Ｇc o s i n e 方法[８Ｇ９]等．本文研究的是变系数的线性耦合非线性薛定谔方程组,方程组为i ∂∂t u (x ,t )＋i ∂∂x u (x ,t )－∂２∂t ２u (x ,t )＋㊀γ１(t )u (x ,t )２u (x ,t )＋㊀c (t )v (x ,t )＝０,i ∂∂t v (x ,t )＋i ∂∂x v (x ,t )－∂２∂t ２v (x ,t )＋㊀γ２(t )v (x ,t )２v (x ,t )＋㊀c (t )u (x ,t )＝０．ìîíïïïïïïïïïïïï(２)通过P a i n l e v é检验,得到当非线性参数和耦合参数满足:c (t )＝(γ２(t ))２＝１(C １t ＋C ２)２,γ１(t )＝γ２(t )＝１C １t ＋C ２ìîíïïïï(３)时,方程组(２)是P a i n l e v é可积的．本文在条件(３)基础上,首先利用S i n e Ｇc o s i n e 方法求解方程组的特殊精确解,然后选取满足方程的特定参数,并给出图像,所涉及的计算均由M a pl e 完成．1㊀预备知识S i n e Ｇc o s i n e 方法是求解非线性数学物理方程的有效方法,主要用于可积系统的求解．本节简单地介绍S i n e Ｇc o s i n e 方法．考虑非线性偏微分方程组i ∂∂T U (X ,T )－α∂２∂X ２U (X ,T )＋㊀㊀βU (X ,T )２U (X ,T )＋㊀㊀μV (X ,T )＝０,i ∂∂T V (X ,T )－α∂２∂X ２V (X ,T )＋㊀㊀βV (X ,T )２V (X ,T )＋㊀㊀μU (X ,T )＝０．ìîíïïïïïïïïïïïï(４)假设方程组(４)的解具有如下形式:U (X ,T )＝r １(X ,T )e i (ωT ＋k X ),V (X ,T )＝r ２(X ,T )e i (ωT ＋k X )．{(５)将(５)代入方程组(４),得－α∂２∂X２r １(X ,T )＋i ∂∂T r １(X ,T )－㊀㊀２i αk ∂２∂X２r １(X ,T )＋β(r １(X ,T ))３＋㊀㊀(αk ２－ω)r １(X ,T )＋μr ２(X ,T )＝０,－α∂２∂X ２r ２(X ,T )＋i ∂∂T r ２(X ,T )－㊀㊀２i αk ∂２∂X ２r ２(X ,T )＋β(r ２(X ,T ))３＋㊀㊀(αk ２－ω)r ２(X ,T )＋μr １(X ,T )＝０．ìîíïïïïïïïïïïïïïï(６)分离(６)中实部和虚部,则式(６)等价于虚部为０:式(７),实部为０:式(８)．０４㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３８卷∂∂T r １(X ,T )－２αk ∂２∂X２r １(X ,T )＝０,∂∂T r ２(X ,T )－２αk ∂２∂X ２r ２(X ,T )＝０．ìîíïïïï(７)－α∂２∂X ２r １(X ,T )＋β(r １(X ,T ))３＋㊀㊀(αk ２－ω)r １(X ,T )＋μr ２(X ,T )＝０,－α∂２∂X２r ２(X ,T )＋β(r ２(X ,T ))３＋㊀㊀(αk ２－ω)r ２(X ,T )＋μr １(X ,T )＝０．ìîíïïïïïïïï(８)求解(７)可得r １(X ,T )＝F １(ξ),r ２(X ,T )＝F ２(ξ)．{(９)其中ξ＝２T αk ＋X２αk,F i (ξ)(i ＝１,２)为任意函数,其具体形式根据F i (ξ)(i ＝１,２)满足的条件确定．将(９)代入(８)得－１４αk ２∂２∂ξ２F １(ξ)＋β(F １(ξ))３＋㊀㊀(αk ２－ω)F １(ξ)＋μF ２(ξ)＝０,－１４αk ２∂２∂ξ２F ２(ξ)＋β(F ２(ξ))３＋㊀㊀(αk ２－ω)F ２(ξ)＋μF １(ξ)＝０．ìîíïïïïïïïï(１０)在方程组(１０)中,假设F i (ξ)(i ＝１,２)有如下形式:F i (ξ)＝E i s i n (h (ξ))＋G i c o s (h (ξ))＋H i (i ＝１,２),(１１)其中E i ,G i 和H i (i ＝１,２)是待定常数,同时h (ξ)满足常微分方程:d h (ξ)d ξ＝A s i n (h (ξ))＋B c o s (h (ξ))＋E ,(１２)其中A ,B 和E 是待定常数．再将(１１),(１２)代入(１０)中,整理得到关于s i n (h (ξ)),c o s (h (ξ))的多项式,令其系数为零,得到关于E １,E ２,G １,G ２,H １,H ２,A ,B ,E ,k 和ω的代数方程组．将得到的解带回(１２)中,再利用文献[１０]中介绍的S i n e ＧG o r d o n 方程(１２)的解,可以得到方程组(４)的解．2㊀方程组的求解本节使用S i n e Ｇc o s i n e 方法和特殊变换求方程组(２)的一组精确解．定义下列函数:T (t )＝－１t ,b (x ,t )＝－１２ln (２t ),a (x ,t )＝－(t －x )２４t,X (x ,t )＝x ２t ．ìîíïïïïïïïïïï(１３)方程(２)可经过变换:㊀u (x ,t )＝U (X (x ,t ),T (t ))e i a (x ,t )＋b (t ),v (x ,t )＝V (X (x ,t ),T (t ))e i a (x ,t )＋b (t ){(１４)转化为方程(４)．故先求解方程(４)得到方程的解U (X ,T ),V (X ,T ),然后再通过变换(１４)就可以得到原方程组(２)的解．由第一节求解方程组(４)可以得到E １,E ２,G １,G ２,H １,H ２,A ,B ,E ,k ,ω的代数方程组,令D １＝４H １α２k ４－４H １αk ２ω＋４H ２αk ２μ＋２A E E １－B E G １,D ２＝４H ２α２k ４＋４H １αk ２μ－４H ２αk ２ω＋２A E E ２－B E G ２,D ３＝４E ２α２k ４＋４E １αk ２μ－４E ２αk ２ω＋A ２E ２－A B G ２＋E ２E ２,D ４＝４G １αk ２μ－４G ２αk ２ω＋２A ２G ２＋３A B E ２－B ２G ２＋E ２G ２,则代数方程组有如下表示,－２４Ε１G １H １αβk ２＋３A E G １＋３B E E １＝０,(１５)１２E １２H １αβk ２－１２G １２H １αβk ２－３A E E １＋３B E G １＝０,(１６)１２E １２G １αβk ２－４G １３αβk ２－２A ２G １－４A B E １＋２B ２G １＝０,(１７)４E １３αβk ２－１２E １G １２αβk ２－２A ２E １＋４A B G １＋２B ２E １＝０,(１８)㊀－１２E １２H １αβk ２－４H １３αβk ２＋D １＝０,(１９)－４G １αk ２ω＋４G ２αk ２μ＋２A ２G １＋３AB E １－B ２G １＋E ２G １＋４＝０,(２０)－２４E ２G ２H ２αβk ２＋３A E G ２＋３B E E ２＝０,(２１)１２E ２２H ２αβk ２－１２G ２２H ２αβk ２－３A E E ２＋３B E G ２＝０,(２２)１２E ２２G ２αβk ２－４G ２２αβk ２－２A ２G ２－４A B E ２＋２B ２G ２＝０,(２３)４E ２３αβk ２－１２E ２G ２２αβk ２－１４第１期仁世杰等:一类耦合非线性薛定谔方程组的求解２A ２E ２＋４A B G ２＋２B ２E ２＝０,(２４)－１２E ２２H ２αβk ２－４H ２３αβk ２＋D ２＝０,(２５)－４E ２３αβk ２－１２E ２H ２２αβk ２＋D ３＝０,(２６)－１２E ２２G ２αβk ２－１２G ２H ２２αβk ２＋４G ２α２k ４＋D ４＝０．(２７)求解方程组(１５)－(２７),选取其中一组非平凡解:A ＝３３B ,B ＝B ,E ＝０,E １＝E ２,E ２＝E ２,H １＝０,H ２＝０,G １＝－３３E ２,G ２＝－３３E ２,k ＝－B ２E ２２αβ,ω＝－８E ４２β２－６E ２２βμ＋３B ２６E ２２β．ìîíïïïïïïïï(２８)将(２８)代入方程(１２),得d h (ξ)d ξ＝３３B s i n (h (ξ))＋B c o s (h (ξ))．(２９)求解微分方程(２９),得h (ξ)＝２a r c t a n ３(１＋e ２３３B ξ)－３＋e ２３３B ξéëêêùûúú．(３０)取特定例子如下:取定常数μ＝１０,β＝－１,α＝１,B ＝－１,E ２＝３,将(３０)代入方程组(１１),得F １(ξ)＝F ２(ξ)＝３s i n２a r c t a n ３(１＋e ２３３B ξ)－３＋e ２３３B ξéëêêùûúú{}－３c o s２a r c t a n ３(１＋e ２３３B ξ)－３＋e ２３３B ξéëêêùûúú{}．(３１)相应F ２i (ξ)(i ＝１,２)的图像如图１所示,特别地,当待定系数αβ＜０时,发现F ２i (ξ)(i ＝１,２)的能量凹陷,即为暗孤立子解．根据(５)和(２８)可知U (X ,T )＝V (X ,T )．当常数确定后,则k ＝－２６,ω＝３９７１８,ξ＝T ＋２６X ．(３２)由此U (X ,T ),V (X ,T )表示为U (X ,T )＝V (X ,T )＝{３s i n２a r c t a n ３１＋e －２３３(T ＋２６X )()－３＋e－２３３(T ＋２６X )éëêêùûúú{}－３c o s２a r c t a n ３１＋e －２３３(T ＋２６X )()－３＋e－２３３(T ＋２６X )éëêêùûúú{}}e I (３９７１８T －２６X )．(３３)图１㊀F ２i (ξ)的图像㊀㊀限制自变量的范围,得到U (X ,T )２图像,如图２所示．图２㊀U (X ,T )２的图像从图２发现U (X ,T )２的能量凹陷,即为暗孤立子解．将(１３)代入(３３)中,令D (x ,t )＝e －I (９x ２＋９t ２＋３２x －１８t x ＋７９４)＋１８t l n (２t )３６t,u (x ,t ),v (x ,t )表示为u (x ,t )＝v (x ,t )＝{３s i n２a r c t a n ３(１＋e －３２x －４３６t )－３＋e －３２x －４３６t éëêêùûúú{}－２４㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀兰州文理学院学报(自然科学版)㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀第３８卷３c o s２a r c t a n ３１＋e －３２x －４３６t ()－３＋e－３２x －４３６t éëêêùûúú{}}D (x ,t)．(３４)限制自变量的范围,得到u (x ,t )２图像如图３所示．图３㊀u (x ,t )２的图像㊀㊀从图３可以发现u (x ,t )２的部分能量突起,即为亮孤立子解．3㊀结语本文主要研究的是一类薛定谔方程组在可积条件下,通过特殊变换法和S i n e Ｇc o s i n e 求解其精确解,然后给定待定的常数,确定方程组精确解的图像．本文的目标方程可进行适当地调整,若将部分常系数改为变量系数,那么可积条件将会发生变化,同时可使用上述方法求方程的精确解．参考文献:[１]G O V I N D A R A J A N A ,A R UMU G AM M ,U T HA Y A ＧK UMA R A．I n t e r a c t i o nd y n a m i c so fb r i gh ts o l i t i o n s i n L i n e a r l y c o u p l e d a s y mm e t r i c s y s t e m s [J ]．O p t Q u a n tE l e c t r o n ,２０１６,４８(１２):５６３．[２]G A R D N E R C S ,G R E E N EJ M ,K R U S K A L M D ,e ta l ．M e t h o d f o r s o l v i n g t h eK o r t e w e g Ｇd eV r i e s e q u a t i o n [J ]．P h y sR e v ,１９６７,１９:１０９５Ｇ１０９７．[３]郭玉翠．非线性偏微分方程引论[M ]．北京:清华大学出版社,２００８．[４]F A N E G ,Z HA N G H Q．N e we x c e pt s o l u t i o n s t oa s y s t e mo fc o u p l e de q u a t i o n s [J ]．P h y Le t t A ,１９９８,２４５:３８９Ｇ３９２．[５]WA N G M L ．E x a c ts o l u t i o n sf o rac o m po u n d K d v ＧB u r g e r s e q u a t i o n [J ]．P h ys L e t t A ,１９９６,２１３:２７９Ｇ２８７．[６]M I U R A M R．B a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n [M ]．B e r l i n :S p r i n g e r ＧV e r l a g,１９７８．[７]C A O X F ．B äc k l u n dt r a n s f o r m a t i o nf o raf a m i l y of c o u p l e dK d ve q u a t i o n s [J ]．P h y sS c r ,２０２３,９８:１１５Ｇ２０９．[８]李新月,祁娟娟,赵敦,等．自旋Ｇ轨道耕合二分量玻色Ｇ爱因斯坦凝聚系统的孤子解[J ]．物理学报,２０２３,７２(１０):２８５Ｇ２９５．[９]X I AJ ,Y A N GD ,Z HO U H ,e t a l ．E v o l v i n g ke r n e l e x Ｇt r e m e l e a r n i n g m a df o r m e d i c a ld i ag n o s i sv i aad i s Ｇp e r s e f o r a g i n g s i n ec o n s i n ea l g o r i th m [J ]．C o m pu t e r s i nB i o l o g y an d M e d i c i n e ,２０２２,１４１:１０５１３７．[１０]Y A N C T．S o m e t h i n g hi d d e ni nt h eF o u r i e rs e r i e s a n d i t s p a r t i a l s u m :S o l i t a r y w a v e s o l u t i o n t o p o l y n o Ｇm i a l n o n l i n e a r d i f f e r e n t i a l e qu a t i o nw a v em o t i o n [J ]．P h y Le t tA ,１９９７,２６:２１９Ｇ２３７．[责任编辑:赵慧霞]３４第１期仁世杰等:一类耦合非线性薛定谔方程组的求解。
齐次平衡方法的扩展及应用
m = - 2, n = 1,
所以, 先做变换
u=
1 v
,
该变换将( 5) 化为
v2vt =
2v v x x -
6v
2 x
+
p v2( 1 -
v) ,
( 6)
再经过平衡, 得到
m = 2, n = - 1,
所以, 我们可以假设( 6) 的解具形:
v ( x , t) = f ′Ux 2 Ut - 1 + c0, c 0 待定,
( 7)
将( 7) 代入( 6) , 合并 U的各种偏导数同次齐次项, 并令 Ux5 Ut - 1的系数为零, 得
2f ′f ( 3) - 6f ″2 = f ′2f ( 2) ,
( 8)
解之, 得
f = 2lnU,
( 9)
32 5
u( x, t) = ±
3p qk 2 r ( 2 - p k2)
tanh[
k 2
(x
+
2q p k2 -
2t ) ] ,
( 31)
其中 k 为任意常数.
参 考 文 献
1 王明亮. 非线性发展方程与孤立子. 兰州大学出版社, 1990 2 Bluman G W , K umei S . Sym met ries an d dif f erent ial equation s. A pplied M at hemat ical S ciences, 1989, 81 3 M ingl ian g W an g. Ex act Sol ut ion s of a com pound Kd V -Bu rgers equation . Phys ics Lett er A , 1996, 213: 279- 287 4 M ingl ian g W an g, Y ubin Zhou . Zh ibin L i applicat ion of a homogeneou s b alance m et hod to exact s olut ions of nonlinear
非线性偏微分方程之间的Miura变换和精确解
这 里 函数 Ｐ 为光 滑 函数 ， 为非 零光 滑 函数． Ｑ 则根 据 （ Ｏ 式 ， １ ） 函数 Ｑ是 只含有变 量 Ｕ 而不 含 ，
有 变量 Ｕ 因此 ，１ ） 化为 （ ） ． 时 ， 次应 用 ． （０ 式 ６式 此 再
而 （ ） 和 （ ） 经 过 简单 计 算 即 可得 到 （ ７ 式 和 ８式 ９式 １） （８ １ ）式． 毕 ． 证
ｆ ： （ ， ＝ 口 ） ＝
Ｉ 一 ＠（ Ｕ， ， Ｕ ）
（， 口 ）：
．，
ｇ（ ｕ） ２ ｖ，
＋
ｄ ｕ
＋ ｇ “ 西（ 口 （ ） ， ）
一
本文 的方 法源 于 Ｅ －和 ［ ３ 要 求 偏微 分方 程 ｚＩ ５ ，
＝
（） ８
（ ）： ，
Ｆ（ ， ） 空 间足够 大 ， ｕＵ， 解 以致 于在 ｗ 一 ｔ 空间 的非
Ｇ（ ， … ， ， ， ）＝ ， Ｖ ， ａ … ａ口 ＝ ＝０ （） ２
＿ ＿
一
（ “） （ ， Ｑ ）
一 ０
（） ６
（） ７
（ ）． ， ， ）４ （ －
之 间的 Ｍｉｒ 变 换 “ 口 而定 义这 些 Ｍｉｒ 变换 的 ｕａ 卜 ， ｕａ 可积 系统 具有 形 式
弱非 线性 激波 方 程 、 光学 方 程 、 散射 方程 等 中进 行 是 对应 于 （ ） 的 可积 系统 当且仅 当 ： 光 １式 求解 有 很大 的用 处 ． 本文 主要 根 据 Ｍｉｒ 换 得 到 ｕ ａ变 Ｆ（ Ｕ ， ， Ｕ ）一
一
类偏 微 分方 程 的分 类 和其 相 应 的非 线性 偏 微分 方
第 ２ 第 ３期 ５卷
whitham-broer-kaup方程新的精确解
whitham-broer-kaup方程新的精确解Whitham-Broer-Kaup方程是一种非线性偏微分方程，它可以用来描述物理系统中的波动
现象。
它是由Whitham，Broer和Kaup在1960年代提出的，它的解决方案可以用来描
述物理系统中的波动现象。
近年来，Whitham-Broer-Kaup方程的精确解一直是研究者们
所关注的焦点。
最近，研究人员提出了一种新的精确解法来解决Whitham-Broer-Kaup方程。
这种新的精
确解法基于一种叫做“组合积分”的技术，它可以将复杂的非线性方程转换为一系列简单的
线性方程，从而使得解决Whitham-Broer-Kaup方程变得更加容易。
这种新的精确解法可以有效地解决Whitham-Broer-Kaup方程，并且可以更好地描述物理
系统中的波动现象。
此外，这种新的精确解法还可以更好地模拟物理系统中的复杂过程，
从而更好地理解物理系统中的波动现象。
总之，研究人员提出的新的精确解法可以有效地解决Whitham-Broer-Kaup方程，并且可
以更好地描述物理系统中的波动现象。
这种新的精确解法可以为研究者们提供更多的帮助，从而更好地理解物理系统中的波动现象。
非线性偏微分方程的精确解
非线性偏微分方程的精确解
薛春荣;段卫国;潘丽静
【期刊名称】《宜春学院学报》
【年(卷),期】2009(31)6
【摘要】假设非线性偏微分具有u=φ(ξ),ξ=x-ct+ξ0行波解,将u=φ(ξ),2ξ=x-
ct+ξ0代入原方程后,非线性偏微分方程化成常微分方程,再运用积分和椭圆函数的知识,通过直接积分法获得非线性偏微分方程的精确解.
【总页数】2页(P67-68)
【作者】薛春荣;段卫国;潘丽静
【作者单位】渭南师范学院,数学系,陕西,渭南,714000;渭南师范学院,数学系,陕西,渭南,714000;渭南师范学院,数学系,陕西,渭南,714000
【正文语种】中文
【中图分类】O175.29
【相关文献】
1.辅助函数法求解非线性偏微分方程精确解 [J], 杨健;赖晓霞
2.应用G/G'展开法求非线性偏微分方程的精确解 [J], 杨娟;黄朝军;冯庆江
3.一类非线性偏微分方程的精确解 [J], 凌建
4.构造非线性偏微分方程精确解的(1/G)-展开法 [J], 马志民; 孙峪怀
5.构造非线性偏微分方程精确解的(1/G)-展开法 [J], 马志民; 孙峪怀
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组合kdv方程的精确解
组合kdv方程的精确解组合KdV方程的精确解KdV方程是一类非线性偏微分方程，其解析解的求解一直是数学领域的研究热点。
而组合KdV方程则是KdV方程的一种变形，其解析解的求解更加复杂。
本文将介绍组合KdV方程的精确解，并探讨其在数学和物理领域的应用。
一、组合KdV方程的定义组合KdV方程是一类非线性偏微分方程，其形式为：$$u_t + u_{xxx} + 6uu_x + 3u_xu_{xx} = 0$$其中，$u$是关于时间$t$和空间$x$的函数，$u_t$、$u_x$和$u_{xxx}$分别表示$u$对$t$、$x$和$x$的三阶导数。
二、组合KdV方程的精确解组合KdV方程的精确解可以通过Darboux变换得到。
Darboux变换是一种将一个偏微分方程的解转化为另一个偏微分方程的解的方法。
通过Darboux变换，可以将组合KdV方程转化为一个线性的偏微分方程，从而得到其精确解。
具体来说，可以通过以下步骤求解组合KdV方程的精确解：1. 选取一个初值$u_0(x)$，并将其代入组合KdV方程中。
2. 通过Darboux变换，将组合KdV方程转化为一个线性的偏微分方程。
3. 求解线性偏微分方程的解，得到组合KdV方程的精确解。
三、组合KdV方程的应用组合KdV方程的精确解在数学和物理领域都有广泛的应用。
在数学领域，组合KdV方程的精确解可以用于研究非线性偏微分方程的解析解的性质和行为。
在物理领域，组合KdV方程的精确解可以用于描述一些非线性波动现象，如水波、声波等。
此外，组合KdV方程的精确解还可以用于研究一些数学和物理问题，如：1. 非线性波动方程的解析解的存在性和唯一性问题。
2. 非线性波动方程的解析解的稳定性和不稳定性问题。
3. 非线性波动方程的解析解的局部和整体存在性问题。
四、总结组合KdV方程是一类非线性偏微分方程，其精确解可以通过Darboux变换得到。
组合KdV方程的精确解在数学和物理领域都有广泛的应用，可以用于研究非线性波动方程的解析解的性质和行为，以及一些数学和物理问题的研究。
非线性耦合Schrodinger—KdV方程的新精确解
Ｍａ ｒ ．， ２ ０１ ３
Ｖｏ １ ． ３ ６． Ｎ ｏ ． ２
非线性耦合 Ｓ ｃ ｈ ｒ ／ ｓ ｄ ｉ ｎ ｇ ｅ ｒ — Ｋ ｄ Ｖ方程 的新精确解
赵 云梅
（ 红河学院 数学学院，云南 蒙 自 ６ ６ １ １ ９ ９ ）
摘要 ： 在文献 （ Ｐ ｈ ｙ ｓ ．Ｌ ｅ ｔ ｔ ． ， ２ ０ ０ ８ ， Ａ ３ ７ ２ （ ４ ） ： ４ １ ７— ４ ２ ３ ． ） 的基 础 上 ， 通过改变辅助 微分方程 ， 提 出 了 一 种
ｆ“ ＝ 确定． ＋ ＋Ｒ， （ ６ ）
次平 衡法 ’ ７ ｊ 、 辅助 方 程法 Ｊ 、 指 数 函数展 开 法 Ｊ 、 Ｆ
一
其中， Ｐ、 Ｑ、 Ｒ是 常数 ， ｎ可 以通过 齐次 平 衡 原 则 来 将（ ５ ） 和（ ６ ） 式代 人 （ ４ ） 式， 则（ ４ ） 式 的 左边 可
ｄ ｏ ｉ ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ １ — ８ ３ ９ ５ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ２ ． ０ １ ７
非线 性耦合 Ｓ ｅ ｈ ｒ ￣ Ｓ ｄ ｉ ｎ ｇ ｅ ｒ —Ｋ ｄ Ｖ方 程…
ｉ ｕ ＝ “ ＋Ｍ ， （ １ ）
广义的（ Ｇ ／ Ｇ ）一 展 开法 ， 并利用该 方法求解 了耦合 Ｓ ｃ ｈ ｒ ６ ｄ ｉ ｎ ｇ ｅ ｒ —Ｋ ｄ Ｖ方程 ， 得到耦合 Ｓ ｅ ｈ ｒ ￣ ｄ ｉ ｎ ｇ ｅ ｒ —Ｋ ｄ Ｖ方
程的诸多用 Ｊ ａ ｅ ｏ ｂ ｉ 椭 圆 函数表 示的新解 ， 当Ｊ ａ ｃ ｏ ｂ ｉ 椭 圆函数的模 ｍ一１或 ０时 ， 便得到耦 合 Ｓ ｅ ｈ ｒ ６ ｄ ｉ ｎ ｇ ｅ ｒ —
， ，
双模耦合KdV方程的多孤子解与精确解
双模耦合KdV方程的多孤子解与精确解双模耦合KdV方程是一种非线性偏微分方程，描述了水波在可压缩介质中传播的现象。
在实际应用中，该方程可以用于描述大气中的孤立大气波、等离子体中的孤子波等现象。
在本文中，我们将讨论双模耦合KdV方程的多孤子解与精确解。
我们来描述一下双模耦合KdV方程的数学形式：\[\frac{\partial u}{\partial t} + 6u\frac{\partial u}{\partial x} +\alpha\frac{\partial^3 u}{\partial x^3} + \beta\frac{\partial^5 u}{\partial x^5} + \gamma u\frac{\partial v}{\partial x} = 0\]u和v是波动函数，t和x分别表示时间和空间坐标，α、β和γ是与非线性项相关的参数，δ是描述两种波动相互耦合的参数。
要求该方程的多孤子解与精确解，通常可以采用类似于适用于KdV方程的方法。
我们可以采用适当的变换将方程化简为KdV方程的形式，然后应用适当的解析技术求解。
通过适当的约束条件和变换，我们也可以求得该方程的多孤子解。
在这里，我们将讨论双模耦合KdV方程的两孤子解。
通过适当的方法，我们可以得到双孤子解的表达式：\[u(x,t) = 3A^2sech^2(η)\]A是描述波动振幅的参数，η是描述波动速度和位置的参数。
通过适当的变换和约束条件，我们可以得到双孤子解的位置和速度随时间的演化规律。
我们还可以采用适当的数值方法来求解双模耦合KdV方程的精确解。
通过适当的离散化和数值求解技术，我们可以得到双模耦合KdV方程的精确解的数值解。
在实际应用中，这种方法可以帮助我们更好地理解该方程描述的物理现象。
双模耦合KdV方程是一种重要的非线性偏微分方程，可以描述水波在可压缩介质中传播的现象。
通过适当的分析和求解技术，我们可以得到该方程的多孤子解和精确解。
耦合KdV方程组的精确解
Ｉ
＋６ｌｕ ｏ 一６ ｕ ｗ ＋ 一 ＝０，
Ｉ
（） １ （） ２
＋３ｔｖ ｏ ＋ ｕ
＝０ ，
其中 Ｏ为给定的正的常数 。文献［ ， ，， ， ］ ｔ １２ ３ ４ ５ 对该系统进行了研究 ， 得到 了一些很好结果。本文首先 拓广的变形映射方法 ， 然后利用该方法得到耦合 Ｋ Ｖ方程组丰富的精确解。这些解包含孤子解、 ｄ 三角函数 解、 圆函数解、 椭 幂函数解等。
而把求解耦合 Ｋ Ｖ方程组的问题转化为求解方程（ ） ｄ ８。
２ 变形映射与 Ｋｄ ｖ方程组的行波解
Ｌｕ８ ［ ］ ｏ Ｙ ６ 极其合作者提出了变形映射方法 ， 主要是利用 已知方程的精确解求未知方程的精确解。让 我们简单 回顾一下该方法 ： 对于给定的非线性偏微分方程， 寻求它具有如下形式的解
ｖ ｘ￡ （ ｔ （ ，）＝ ， ）＋ｃ ，
（５ 代入（ ） ２ 有 １ （）
Ｉ
＋６ 一 ） （
＋ 一 一 ｃ ＝０，
＝ ０，
（） ６
１ １ ， ‘＋３ ｌ ｕ ｏ ＋ ｕ
（） ７
收稿 日期 ：０６０ ・２ ２ ０ － １ ９ 基金项 目： 四川省教育厅资助项 目（ ０ ３０ ９ 和绵阳师范学院基金项 目（ ａ ０ ０ ０ ） ２０ ｅ １ ） ｍ２ ３０３ 。 ０ 作者简介 ： 杜先云 （９ ４ ） 男 ， １６ 一 ， 教授 ， 博士 ， 方向： 穷维动力系统研究。 研究 无
０ 引 言
大量的非线性现象最终都可以用非线性演化方程来刻划 ， 如何求解非线性演化方程是数学物理界研究
的重要 内容 之一 。到 目前 为 止 ， 们 已经 提 出 了求 解 非 线 性 演 化 方 程 的许 多 有 效 的 方 法 ， 反 散 射 方法 、 人 如
一类非线性偏微分方程组的近似解法初探
［（）＋研 Ｍ 】 ｇ ｔ Ｍ ｆ］ （） ＝ （） （） １
２ 方 法 的 应 用
考虑 如下方 程组 ：
ｆｆ 地 ＋Ｕ一１＝０ Ｕ＋
Ｉ一 一 １ ０ 一 ：
（） ３
满 足 ：（， ） ｘ （ ，） 将 式 （ ） “ ０ ＝ｅ ｖ ｘ ０ ＝ｅ 。 ３ 转化 为关 于 ｕ 、
射 法 Ｉ Ｂ ｃ ｌｎ ｌ ｕ ｋｕ ｄ法 圆 Ｄ ｒｏ ｘ变 换 法ｌ Ｈ ｒｔ 线 性 』 、 、 ａｂ ｕ ｉ ａ双 ３ ｏ ｌ 、
／ｌ） （ ＋｝ ［ｕｓ］ 研 ｓ一 （） ￣（ ＝ ￡ Ｌ （） ｎ ＋ ） Ａ［ ＋ （ ｇ ］ ） ５
（） ２
其中： Ａ为广义拉 氏乘子 ； Ｕ 为第 ／ ＇ ｔ 次近似解 ； 为限
第 ２ Ｏ卷
第 ３期
天 津
工
程
Байду номын сангаас
师
范
学
院 学
报
Ｖｏ ．０ Ｎｏ３ １ ２ ．
Ｓ ｐ． ２ ０ ｅ ０１
２ ０年 ９月 ０１
Ｊ ＯＵＲＮ Ｉ Ｉ Ｉ ＡＬ ＯＦ ＴＡＮＪＮ ＵＮ ＶＥＲ ＩＹ Ｅ Ｓ Ｔ ＯＦ Ｔ ＣＨＮＯＬ ＧＹ Ｏ ＡＮＤ ＤＵＣ Ｉ Ｅ ＡＴ ＯＮ
ｍｅｈｏ ｉ ｑ ｉ ｋ． ｔ ｄ ｓ ｕｃ
Ｋｅ ｒ ｓ ｏ ｌ ｅ ｒｐ ｒ ａ ｉ ｅｅ ｔ ｌ ｑ ａｉｎ ； ａｉ ｔ ｎ ｌ ｔ ｒ ｔ ｎ ｍｅｈ ｄ； ｐ ｒｘ ｍａ ｅ ｓ ｌｔ ｎ ｙ ｗｏ ｄ ：ｎ ｎ ｉ ａ ａ ｉ ｌ ｆ ｒ ｎｉ ｕ ｔ ｓ ｖ ｒａｉ ａ ｅ ａｉ ｔ ｏ ａ ｐ ｏ ｉ ｔ ｏｕ ｉ ｓ ｎ ｔ ｄｆ ａｅ ｏ ｏ ｉ ｏ ｏ
辅助函数法求解非线性偏微分方程精确解
辅助函数法求解非线性偏微分方程精确解杨健;赖晓霞【摘要】在数学和物理学领域,将含有非线性项的偏微分方程称为非线性偏微分方程.非线性偏微分方程用于描述物理学中许多不同的物理模型,范围涉及从引力到流体动力学的众多领域,还在数学中用于验证庞加莱猜想和卡拉比猜想.在求解非线性偏微分方程的过程中,几乎没有通用的求解方法能够应用于所有的方程.通常,可依据模型方程的数学物理背景来先验地假设非线性偏微分方程解的形式,并根据解的特点给出辅助方程.非线性偏微分方程可通过行波变换转化为常微分方程,再借助辅助方程来求解常微分方程.为此,借助行波变换及辅助方程的求解思路对BBM方程和Burgers方程进行了研究,并获得了其双曲正切函数及三角函数形式的精确解.研究结果表明,所采用的方法可广泛应用于若干在数学物理中有典型应用背景的非线性偏微分方程的精确解求解中.%In mathematics and physics,a nonlinear partial differential equation is a partial differential equation with nonlinear terms,which can describe many different physical models ranging from gravitation to fluid dynamics,and have been adopted in mathematics to solve problems such as the Poincaré conjecture and the Calabi conjecture. There are almost no general solutions that can be applied for all equa-tions. Nonlinear partial differential equation usually originates from mathematical and physical fields,such that the ansatz of the solutions has been given and an auxiliary function has been provided according to its mathematical and physical features. They can be transmitted to an ordinary differential equations via a traveling wave transformation. Through introduction of the auxiliary function into the ordinary dif-ferential equation a set of nonlinear algebra equations is acquired,which can supply solutions original partial differential equation in sol-ving process. Therefore,BBM equation and Burgers equation can be solved with the auxiliary function. The exact solutions include tan-gent function and trigonometric functions. The research shows that the proposed auxiliary function method can be applied to solve some other nonlinear partial differential equations with mathematical and physical background.【期刊名称】《计算机技术与发展》【年(卷),期】2017(027)011【总页数】5页(P196-200)【关键词】非线性偏微分方程;辅助函数法;BBM方程;Burgers方程;精确解【作者】杨健;赖晓霞【作者单位】陕西师范大学计算机科学学院,陕西西安 710119;陕西师范大学计算机科学学院,陕西西安 710119【正文语种】中文【中图分类】TP39非线性方程广泛应用于物理学和应用数学的许多分支，尤其在流体力学、固态物理学、等离子物理和非线性光学等。
一类非线性偏微分方程组的直接解法
一类非线性偏微分方程组的直接解法非线性偏微分方程组是数学家和科学家面对复杂场合时常用到的工具，其解法如何才能有效地求得精确结果，是这一领域里的一个重要课题。
近年来，直接解法已经成为求解非线性偏微分方程组的一种重要方法。
本文将对直接解法的基本概念、正确性、计算步骤以及其主要优缺点进行介绍，以期更深入理解和使用这种解法。
首先，直接解法指在求解非线性偏微分方程组时，不使用传统的分离变量法，而是直接求解方程组进行求解。
在求解的过程中，使用的方法不同，包括几何证明、数值解以及代数解等，其中，最常用的是数值解法，它通过迭代的方式来求解原始方程组，可以获得近似解，从而更准确地获得解析解或近似解。
其次，与传统的分离变量法相比，直接解法具有准确性较高的特点。
由于它不需要使用分离变量法进行解法，因此可以更加准确地获得精确解。
因此，直接解法可以更好地解决复杂的非线性偏微分方程组，产生准确的结果。
再次，直接解法的计算步骤也比较简单，主要包括以下几步：首先，确定偏微分方程组的解析解，然后确定正确的精度；其次，根据精度来确定正确的迭代方法；接着，确定正确的迭代步骤；最后，使用迭代方法来求解非线性偏微分方程组。
最后，直接解法的主要优点和缺点也值得指出。
其优点在于可以求解复杂的非线性偏微分方程组，而且可以在较少的计算步骤内获得更准确具有可靠性的精度；其缺点在于当方程组更复杂时，需要耗费更多的计算时间和资源来获得正确的结果。
综上所述，直接解法是求解非线性偏微分方程组的一种重要方法，具有准确性高，步骤简单，可靠性好的特点。
本文对直接解法的基本概念、正确性、计算步骤以及其主要优缺点进行了介绍，为更解决复杂非线性偏微分方程组问题提供了参考。
几类非线性偏微分方程精确解的研究
几类非线性偏微分方程精确解的研究几类非线性偏微分方程精确解的研究摘要：非线性偏微分方程在数学和物理领域中有着广泛的应用，其求解是一个重要的研究方向。
精确解研究涉及到方法和技术，大大提高了求解的速度和精度。
本论文针对几类非线性偏微分方程进行研究，探讨其精确解。
首先，本文介绍了这些非线性偏微分方程的基本概念和性质，包括一些应用领域和模型的描述。
然后，我们提出了精确解研究的一般思路和流程，并阐述了具体实现方法。
接着，我们选择了几种典型的非线性偏微分方程，分别介绍其数学特性、求解方法、解的性质等方面，并通过实例进行验证和说明。
最后，我们评估了精确解研究的优缺点，探讨其未来发展方向。
关键词：非线性偏微分方程、精确解、方法、技术、数学特性。
正文：第一章绪论1.1 非线性偏微分方程的基本概念偏微分方程（Partial differential equation）是描述自然界中物理学、工程学、化学、社会学等学科中的数量关系的数学方法之一。
偏微分方程的解法往往是比较困难的，因此近年来许多研究者将精力集中在非线性偏微分方程的求解上。
非线性偏微分方程是指，未知函数出现在方程的高次项、积、除法、指数函数等时，即同一方程中出现有关函数和其偏导数的非线性项。
1.2 非线性偏微分方程的应用领域非线性偏微分方程的求解方法及其精度和速度在科学和工程应用中具有广泛的应用。
例如，在流体力学中，非线性偏微分方程可用于描述涡旋流、湍流、振荡流、波浪等。
在分子生物学中，非线性偏微分方程可用于描述分子扩散、蛋白质演化等。
在量子力学中，非线性偏微分方程可用于描述玻色、费米子体系等。
在统计学中，非线性偏微分方程可用于描述随机微分方程、布朗运动等。
1.3 非线性偏微分方程的模型如果要用非线性偏微分方程来描述一个现象，我们需要构造出一个非线性偏微分方程模型。
偏微分方程模型一般包含几个要素，例如：基本方程、边界条件、初始条件、材料参数等。
第二章精确解研究的一般思路和流程2.1 精确解的定义和种类精确解是指以公式的形式表示的解。
非线性偏微分方程的函数展开法与精确解的开题报告
非线性偏微分方程的函数展开法与精确解的开题报
告
一、研究背景和主要内容
非线性偏微分方程（PDE）在自然科学和工程技术中具有广泛的应用。
精确求解非线性偏微分方程是研究这些应用问题的重要方法之一。
函数
展开法是一种用于求解非线性偏微分方程的有效方法。
本文主要研究函
数展开法在求解非线性偏微分方程中的应用，探讨其求解过程、理论基
础及计算方法，并深入研究其与其他解法的差异、优缺点和应用范围。
二、研究方法和步骤
1. 阅读和研究相关文献，了解非线性偏微分方程及函数展开法的理
论基础和计算方法。
2. 探讨函数展开法在求解非线性偏微分方程中的应用，分析其求解
过程和数学原理。
3. 比较函数展开法与其他求解非线性偏微分方程的方法的优劣和应
用范围。
4. 研究函数展开法在实际问题中的应用，对实际问题进行模拟仿真，并验证函数展开法求解的结果。
三、研究意义和预期结果
函数展开法作为求解非线性偏微分方程的一种新方法，具有一定的
理论意义和实际应用价值。
本文研究函数展开法在求解非线性偏微分方
程中的应用和解决实际问题的能力，能够为相关领域的研究人员提供一
定参考和借鉴。
预期结果为深入了解函数展开法原理和计算方法，以及
对其多种应用情况的研究，从而探索其更广泛的应用领域和解决实际问
题的能力。
利用试探函数法求耦合KdV方程组的精确解
利用试探函数法求耦合KdV方程组的精确解赵云梅【摘要】通过引入一个变换和选择准确的试探函数,可以将非线性偏微分方程组化为一组易于求解的代数方程组,然后用待定系数法确定相应的系数,从而得到其精确解.将谢元喜(湖南理工学院学报:自然科学版,2011,24(4):12-15.)提出的试探函数进行改进,利用两种不同的试探函数,并把它用于求解非线性数学物理中一个非常著名的非线性偏微分方程组——耦合KdV方程组,从而得到了耦合KdV方程组的新显式精确解,其中包括一般形式的指数函数解、sech2型钟状正则孤波解和csch2型奇异行波解,此方法也可用于求其他非线性偏微分方程组的精确解.%Introducing a new transformation and selecting accurate trial function, can convert nonlinear partial differential equations to a set of algebraic equations which can be easily solved, since its relate:d coefficients are easily determined by the undetermined coefficients method. In this paper, the trial function in Y. X. Xie(J. Hunan Institute of Science and Technology: Natural Sci. ,2011,24(4) : 12 - 15. ) was improved. As a result, some new explicit exact solutions of the well -known coupled KdV equations in nonlinear mathematical physics are obtained, which include the general form of exponential function solutions, sech2-type bell-profile regular solitary wave solution and csch2 -type singular travelling wave solutions. This method can be applied to other nonlinear partial differential equations.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(035)006【总页数】3页(P746-748)【关键词】试探函数;耦合KdV方程组;精确解【作者】赵云梅【作者单位】红河学院数学学院,云南蒙自661199【正文语种】中文【中图分类】O175.2众所周知，许多意义重大的自然科学和工程技术问题都归结为非线性偏微分方程(组)的研究，而这些方程(组)的精确解可以较好地解释各种自然现象，从而求其精确解有重要的实际意义.近几十年来，对某些非线性偏微分方程精确解的求法，已获得了许多行之有效的方法，如：齐次平衡法［1-2］、Jacobi椭圆函数展开法［3-4］、指数函数展开法［5-6］、F-展开法［7-8］、(G'/G)-展开法［9-10］、试探函数法［11-14］，等等.但由于非线性偏微分方程的复杂性，使得求其精确解没有统一普遍适用的方法，因而继续寻找新的方法仍是一项十分重要而有意义的工作.本文将在文献［12］的基础上，改进试探函数，准确地选择相应的试探函数，获得了耦合KdV方程组的一般行波解，当参数取特殊值时，得到了相应的孤波解.1 方法简述考虑如下一类非线性偏微分方程为了求解上述方程，引入一个新的变换其中，υ(w)和w=w(ξ)为试探函数.将试探函数υ(w)和w=w(ξ)代入(2)式，求出微商后代入方程(1)，化为相应的代数方程组，利用待定系数法确定相关常数，最后求出方程的精确解.一般来说，只要试探函数υ(w)和w=w(ξ)的形式选得准确，就可将难于求解的非线性偏微分方程(1)化为一组易于求解的非线性代数方程组，从而使整个求解过程大大简化，为了求得耦合KdV方程组的精确解，可取试探函数下面应用这个方法来求解耦合KdV方程组.2 耦合KdV方程组的精确解耦合KdV方程组可以用来描述分层流体内部波之间的近共振相互作用，也可用来描述星际间波的近共振相互作用等.文献［15-16］分别用齐次平衡法和扩展的双曲函数法求解了下列形式的耦合KdV方程情形1 取试探函数其中，a、b、d、e为待定常数.由(2)、(6)式可得则由(6)和(7)式容易求得将(8)～(13)式代入(5)式，就得到一组关于w的多项式，令各wi(i=0，1，2，…)的系数为零，便得到一组关于待定常数a、b、c、d、e、k的代数方程组，利用Maple求解方程组得将(14)式代入(7)式可得其中，ξ=kx-αk3t.这是耦合KdV方程组的一般形式的行波解，由于式中的b为任意常数，故当b取不同的值时，便可得到诸多的特解.下面是它的两个重要而有实际意义的特解：取b=1，并利用等式由(15)式可求得耦合KdV方程组的钟状孤波解为其中，ξ=kx-αk3t;取b=-1，并利用等式由(15)式可求得耦合KdV方程组的奇异行波解为其中，ξ=kx-αk3t.情形2 取试探函数其中，a、b、d、e为待定常数.由(2)、(20)式容易得同理将(21)式代入(5)式，并结合(20)式，就得到一组关于w的多项式，令各wi(i=0，1，2，…)的系数为零，便得到一组关于待定常数a、b、c、d、e、k的代数方程组，利用Maple求解方程组得将(22)式代入(21)式可得其中，ξ=kx-4αk3t.这是耦合KdV方程组行波解的另一种形式，由于式中的b为任意常数，故当b取不同的值时，便可得到诸多的特解.下面是它的两个重要而有实际意义的特解：取b=1，并利用(16)式，可求得耦合KdV方程组的钟状孤波解为其中，ξ=kx-4αk3t;取b=-1，并利用(18)式，可求得耦合KdV方程组的奇异行波解为其中，ξ=kx-4αk3t.3 结语本文在文献［12］的基础上，对试探函数进行新的改进，即取试探函数，便可得到非线性方程有sech形式的解，并对试探函数采用两种不同的组合，得到耦合KdV方程组的用指数函数表示的精确解，当参数取特殊值时，得到了4个重要而有实际意义的特解，此方法也可用于求其他非线性偏微分方程组的精确解.参考文献［1］Fan E G，Zhang H Q.The homogeneous balance method for solving nonlinear soliton equation［J］.Acta Phys Sinica，1998，47(3)：353-362. ［2］Wang M L.Solitary wave solutions for variant Boussinesq equations ［J］.Phys Lett，1995，A199：169-172.［3］Liu S K，Fu Z T，Liu S D，et al.Jacobi elliptic function expansion method and periodic wave solutions of nonlinear wave equations［J］.Phys Lett，2001，A289(1/2)：69-74.［4］Fan E G，Zhang J.Applications of the Jacobi elliptic function method to special-type nonlinear equations［J］.Phys Lett，2002，A305：384-392. ［5］He J H，Abdou M A.New periodic solutions for nonlinear evolution equations using exp-function method［J］.Chaos Soliton Fract，2007，34(5)：1421-1429.［6］Sakthivel R，Chun C.New solitary wave solutions of some nonlinear evolution equations with distinct physical structures［J］.Rep Math Phys，2008，62：389-398.［7］傅海明，戴正德.Kadomtesv-Petviashvili方程的新解［J］.四川师范大学学报：自然科学版，2011，34(1)：77-79.［8］赵云梅，芮伟国.Equal Width波方程的各种椭圆函数周期解和孤子解［J］.四川师范大学学报：自然科学版，2008，31(2)：190-193.［9］Wang M L.The(G'/G)-expansion method and traveling wave solutions of nonlinear evolution equations in mathematical physics［J］.Phys Lett，2008，A372(4)：417-423.［10］刘倩，周钰谦，刘合春.广义Hirota-Satsuma耦合KdV方程的精确解［J］.四川师范大学学报：自然科学版，2011，34(3)：335-339.［11］史秀珍，斯仁道尔吉.试探函数法与组合KdV方程的显示精确行波解［J］.内蒙古师范大学学报：自然科学汉文版，2011，40(6)：556-558.［12］谢元喜.用改进的试探函数法求解高维非线性演化方程［J］.湖南理工学院学报：自然科学版，2011，24(4)：12-15.［13］谢元喜.求非线性演化方程精确解的新方法［J］.湖南理工学院学报：自然科学版，2006，19(4)：40-46.［14］谢元喜.变换-试探函数法及其在非线性演化方程中的应用［J］.湖南理工学院学报：自然科学版，2011，24(1)：21-27.［15］Wang M L，Zhou Y B，Li Z B.Application of a homogeneous balance method to exact solutions of nonlinear equations in mathematical physics［J］.Phys Lett，1996，A216(17)：67-75.［16］石玉仁，张娟，杨红娟，等.耦合KdV方程的双峰孤立子及其稳定性［J］.物理学报，2011，60(2)：1-8.。
一类非线性偏微分方程(组)的精确解
第２ ０卷第 ２期 ２Ｏ Ｏ２年 ６月
湖北 民族学院学报（ 自然科学版）
Ｊｕ ａ ｏ Ｈ ｂｉ ｎｔｕｅｆ ａｉ ａｉｅ（ ａ ｒｌ ｃ ｎｅＦ ｉｏ ） ｏｒ ｌ ｆ ｕ ｅ Ｉｓｔｔ ｏ Ｎ ｔｎｌｉ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｃ Ａｔｎ ｎ ｉ ｒ ｏ ｔｓ ｕ ｅ ｉ
（ ）之行 波 解 —ｃ （ （ — ｃ） ｃ ， ， １ ｔ＝ ｕ ｔ ， ， ｃ ） 这里 ｃ ， 为 积分 常数 ． ｃ
２ Ｎ ｎｉｅｒＫｅ ｏ ｌ ａ ｌｉ ｎ ｎ—Ｇ ｒｏ ｏｄ ｎ方 程 的 精 确 解
Ｎ ｎｉｅｒ ｌｉ ｏ ｌ ａ ｅ ｎ Ｋ ｎ—Ｇ ｒｏ 程 为 ： ｏｄｎ方
１ 基 本 方 法 说 明
对方程 ： Ｆ ｕ ｕ ， ｕ ｕ ）＝０ （ ， ｕ ， ， （） １
设其 有 行 波解 ｕ ， ）＝ ｕ ）＝ ｕ —ｃ ）其 中 ｃ为 波速 ， 方程 （ ） （ ｔ （ （ ｔ， 则 １ 可化 为非 线 性 常微 分 方程 ：
Ｆ ｕ ｕ ， （ ， ｕ ）＝ ０ （） ２
ｕ ＝ 一 ｕ ＝பைடு நூலகம்
， ２ 解 一 ａＮ ＋２ ＝ 代 式６ 理 方 （ 之 确 ： ｎ 有 ： ｒ／ Ｂ ±，入 （整 得 程３ 精 解 ＝ ｔＡ ｈ ｕ ） ）
［ （ ］ √ 一） ， ３解一 ｈ １ ±， 式 ）理 方 （之 确 ： ｎ 有 ： １ｃ ＝ 代 （整 得 程 ）精 解 ＝ ａ√ ｒ 入６ ３
ｕ ＝ 一 ｓｅ
√ 忐
．
（） ８
：
３有 解 ： ｒｓ １ａｃｉ — ：± √ 代入式（） ６ 整理 得方 程 （）的精 确 解 ： ３ Ａ ￣ “ ／
，
ｕ
＝ ±
一类非线性偏微分方程精确解的表达
一类非线性偏微分方程精确解的表达非线性偏微分方程是一类具有非线性特征的偏微分方程，在许多科学和工程领域中起着重要的作用。
与线性偏微分方程不同，非线性偏微分方程的解决方法更为困难，并且往往只能通过数值方法或近似解方法来求解。
然而，仍然有一些非线性偏微分方程存在着一些特殊的解，称为精确解。
精确解是指满足非线性偏微分方程的全部解析表达式。
这些精确解通常具有简洁的形式和重要的物理意义，因此对于理论研究和实际应用都具有重要的价值。
以下将介绍一些常见的非线性偏微分方程及其精确解。
1. 汉密尔顿-雅可比方程（Hamilton-Jacobi equation）汉密尔顿-雅可比方程在经典力学和量子力学中广泛应用，它的一般形式为：∂S/∂t+H(∇S,x)=0其中，S是哈密顿函数的特征函数，H是哈密顿量。
通常情况下，这个方程只能通过近似解或数值方法来求解。
但是，在一些特殊情况下，汉密尔顿-雅可比方程存在一些精确解。
例如，当哈密顿量H满足一定条件时，可以通过分离变量法或特殊变量变换得到精确解。
2. 伪线性方程（Pseudo-Linear Equation）伪线性方程是一类介于线性和非线性之间的方程，它具有其中一种线性性质但是包含了非线性项。
伪线性方程的精确解可以通过多种方法来求解，如分离变量法、变换法、叠加法等。
3. 密立根方程（Burgers' equation）密立根方程是一种具有非线性性质的守恒型方程，广泛应用于流体动力学和量子场论等领域。
它的一般形式为：∂u/∂t+u∂u/∂x=ν∂^2u/∂x^2其中，u是速度场，ν是粘性系数。
密立根方程的精确解可以通过特殊变量变换、相似变量法、分析解法等多种方法来求解。
4. 黏弹性流体方程（Viscoelastic fluid equation）黏弹性流体方程是描述黏弹性流体动力学行为的方程，具有非线性特点。
黏弹性流体方程的精确解多数情况下较为困难，通常需要通过数值方法来求解。
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3期 周宇斌等: 物理学中的一个非线性耦合偏微分方程组的粗确解 3 5
5I 5x
由此解得
p = 1, q = 0, m = 0, n = 1.
(116)
将 (116) 代入 (111) 及 (112) , 则 (111) 和 (112) 简单地具形式 (选择其中线性组合的系数为零)
I=
5f (Υ) 5t
=
f ′Υt,
(111′)
N
=
5g (Υ) 5x
=
g ′Υx ,
(112′)
(215′)
(215′) 是 X (x ) 的线性非齐次方程, 其通解为 其中: c2 是待定常数. 将 (214) 和 (216) 代入 (1113) 得
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得 (011) 和 (012) 的精确解
I= -
1 ab X
T′ +T
,
(1113)
N=
1 a
aX
X′ +T
.
(1114)
此外, 我们还可将 (011) 和 (012) 化为一个二阶方程后, 用齐次平衡方法, 仍可得到结果 (1113)
和 (1114) (见附录).
2 初值 — 边值问题
我们考虑方程组 (011) 和 (012) 的初值 — 边值问题
3期 周宇斌等: 物理学中的一个非线性耦合偏微分方程组的粗确解 3 3
g=
1 a
ln Υ.
(1111)
(119) 有所谓通解
Υ= X (x ) + T ( t) ,
(1112)
其中: X (x ) 及 T ( t) 为任意连续可微函数. 将 (1110) , (1111) 以及 (1112) 代入 (111′) 及 (112′)
0
0
(2111)
∫x
exp [ a I 0 (Ν) dΝ]
∫ ∫ N (x , t) = N 0 (t)
x
0 t
.
exp [ a N 0 (Ν) dΝ] + exp [ - ab I 0 (Σ) dΣ] - 1
0
0
(2112)
特别的, 当 I 0 ( t) = I 0 = con st, N 0 (x ) = N 0 = con st 时, 由 (2111) 和 (2112) 将得到文献[ 1 ] 中
0
0
在上式中令 x = 0, 由给定的边值 (211) 得
I 0 (t) =
I 0 (t) c1exp [ -
∫t
c1exp [ - ab I 0 (Σ) dΣ]
∫0 t
.
ab I 0 (Σ) dΣ] + [ c2 - (T (0) + X (0) ) ]
0
由此应有
c2 = T (0) + X (0).
(218)
将 (214) 及 (216) 代入 (1114) 得
N (x , t) =
1
∫x
c2aN 0 (x ) exp [ a N 0 (Ν) dΝ] 0
∫ ∫ a
ac2exp [ a
x
N 0 (Ν) dΝ] +
c1exp [ -
t
ab I 0 (Σ) dΣ] -
0
0
. (219) (X (0) + T (0) )
于是 (113)、(114) 及 (115) 变为
I x = f ″Υx Υt + f ′Υx t,
(113′)
N t = g ″Υx Υt + g ′Υx t,
(114′)
N I = f ′g ′Υx Υ.t
(115′)
将 (113′) 与 (115′) 代入 (011) 并移项, 将 (113′) 与 (114′) 代入 (012) 并移项, 分别得
管 f 及其各阶导数) ,
(111)
Ξ 收稿日期: 1996203220. ① 国家自然科学基金和甘肃省自然科学基金资助项目. © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
定的. (112) 式中未写出的部分与 (111) 式的相应部分类似. 为简单计, 这里以及今后将省去这
些类似的部分, 也不再说明.
下面我们的任务是求非负整数m , n, p 和 q, 单变元函数 f (Υ) 和 g (Υ) , 函数 Υ= Υ(x , t) 以
及确定 (111) 和 (112) 中线性组合的系数, 使 (111) 和 (112) 满足方程组 (011) 和 (012).
的结果:
I (x , t) =
I0
exp [ aN
exp [ - abI 0 t ] 0x ] + exp [ - abI 0 t ]
-
1,
N
(x , t)
=
N
0 (x )
exp [ aN
exp [ aN 0x ] 0x ] + exp [ - abI 0 t ] -
1.
A 附录
本附录将方程组 (011) 和 (012) 化为二阶方程, 用齐次平衡方法仍可得到结果 (1113) 和 (1114). 为方便, 现将问题重写如下:
(213′)
∫t
T ( t) = c1exp [ - ab I 0 (Σ) dΣ] - X (0) , 0
(214)
其中: c1 是待定常数. 由 (1114) 当 t = 0 时得
或者
N 0 (x ) =
1 a
aX
X ′(x ) (x ) + T
(0) ,
(215)
X ′(x ) - aN 0 (x ) X (x ) = aT (0)N 0 (x ).
3 2 兰 州 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版 ) 32卷
N (x , t) =
5p + qg (Υ) 5 x p 5 tq
+
…=
Υ Υ g + (p + q) p q xt
…,
(112)
其中: m , n, p 和 q 是非负整数, f (Υ) 和 g (Υ) 是适当光滑的单变元函数, Υ= Υ(x , t) , 它们都是待
5I 5x
=
-
ΑIN ,
(011)
5N 5t
=
b
5I 5x
,
(012)
其中: I = I (x , t) 和N = N (x , t) 分别表示光强和感光分子的密度, a 和 b 分别表示吸收常数和
比例常数, x 和 t 分别表示空间坐标和时间坐标.
文献[ 1 ] 利用通常的微分和积分技巧导出了方程组 (011) 和 (012) 的一个特殊的初值 -
3 4 兰 州 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版 ) 32卷
I (x , t) = -
1 ab c1exp [ -
∫t
c1 [ - abI 0 ( t) exp [ - ab I 0 (Σ) dΣ] ]
∫ ∫0
t
x
. (217)
ab I 0 (Σ) dΣ] + c2exp [ a N 0 (Ν) dΝ] - (X (0) + T (0) )
兰 州 大 学 学 报 ( 自 然 科 学 版 ) , 1996, 32 (3) : 31～ 36 JOU RNAL O F LAN ZHOU U N IV ER S IT Y (N a tu ra l Sciences)
物理学中的一个非线性耦合 偏微分方程组的精确解①Ξ
周宇斌 王明亮
(兰州大学数学系, 兰州 730000)
x
t
(115)
为使 (011) 和 (012) 中各自的项能分别平衡, 我们应分别要求 (113) 与 (115) 中的 Υ的偏导数的
最高幂次相等. (113) 和 (115) 中的 Υ的偏导数的最高幂次相等得
m + 1 = m + p , n = n + q,
p = m + 1, q + 1 = n,
1 精确解
现在用齐次平衡方法求方程组 (011) 和 (012) 的精确解. 为此我们设方程组 (011) 和 (012)
的解具下形式
I (x , t) =
5m + nf (Υ) 5 x m 5tn
+
f (Υ) 关于 x 和 t 的低于m +
n 阶的某些偏导数的线性组合
= f (m + n) (Υ) Υxm Υtn + Υ(x , t) 的各种偏导数为变元的次数低于m + n 的某多项式 (不
和 (012′) 中 Υx Υt 的系数为零, 即
f ″+ af ′g ′= 0,
(117)
g ″- bf ″= 0,
(118)
和
(117) 和 (118) 有解
Υx t = 0.
(119)
f =-
1 ab
ln
Υ,
(1110)
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