基于改进的C-C方法的相空间重构参数选择

基于改进的C-C 方法的相空间重构参数选择*

陆振波 蔡志明 姜可宇

(海军工程大学电子工程学院, 武汉430033)

摘 要：针对混沌时间序列相空间重构C-C 方法的三点不足，提出了一种基于改进的C-C 方法的确定最优时延与嵌入窗的新算法。在关联积分计算过程中引入了权衡计算精度与速度的可调参数，合理选择该参数，能在不严重损失估计精度的前提下，大大加快计算速度。在理论分析的基础上，用所提出的算法对三种混沌序列进行相空间重构，仿真结果表明该算法对最优时延的选择更准确，对最优嵌入窗的选取更可靠。

关键词：混沌，时间序列分析，相空间重构，关联积分

Determination of embedding parameters for phase space

reconstruction based on improved C-C method

Lu Zhen-bo Cai Zhi-ming Jiang Ke-yu

(Electronic Engineering College, Navy Engineering University, WuHan 430033, China)

Abstract : A new algorithm to determine delay time and embedding window was presented based on the improved C-C method modified the classical C-C method in three aspects. Considering precision and rapidity of computation, an optimal parameter was introduced into the computation of correlation integral. On the foundation of theory study, phase space reconstruction of three kinds of chaotic time series is carried out, and the result of simulations verify that the algorithm is more applicable for determining appropriate delay time and embedding window.

Key Words : chaos, time series analysis, phase space reconstruction, correlation integral

1 引言

近年来，混沌时间序列分析方法在很多科研和工程领域中得到广泛应用。相空间重构是混沌时间序列分析的基础，Takens [1]等人提出了用延迟坐标法对混沌时间序列},,2,1|{N i x x i ⋅⋅⋅==进行相空间重构

},,2,1,],,,,[|{)1(M i x x x X X X T t m i t i i i i ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==−++ (1)

其中m 为嵌入维，t 为时延，t m N M )1(−−=为相空间中的点数。

Takens 定理证明了如果嵌入维m ≥12+d ，d 为系统动力学维数，则重构的动力系统与原动力系统在拓扑意义上等价。Takens 定理 *国家重点实验基金(批准号:514450801JB1101)和 国家重点实验基金(批准号:51444030105JB1101)资助的课题 联系人:E-mail: luzhenbo@

在时间序列无限长且无噪声干扰的条件下，提供了嵌入维的选取依据，这时时延t 可取任意值。然而系统动力学维数d 未知，实际时间序列又是有限长且有噪声干扰的，因此选择合适的时延t 和嵌入维m 是关键。

有关时延t 与嵌入维m 的选取，现在主要有两种观点。一种观点认为两者是互不相关的，如求时延的自相关法[2]、互信息法[3]，求嵌入维的G-P 算法[4]或FNN(flase nearest neighbors)法[5]等。另一种观点认为两者是相关的，如嵌入窗法[6] 、C-C 方法[7]。1996年，D.Kugiumtzis 提出了相空间重构的嵌入窗法，指出时延t 的选取不应独立于嵌入维m ，而应依赖于嵌入窗t m w )1(−=τ，并且要求w τ≥p τ，这里p τ为混沌系统的平均轨道周期。严格来讲混沌系统不存在周期性，然而对于存在伪周期的低维混沌系统来讲，平均轨道周期是指混沌吸引子在永不重合而又彼此相似的相空间轨道上振荡的平均周期。1999年，H.S.Kim 等人基于嵌入窗法的思想提出了C-C 方法，该方法使用关联积分同时估计出时延与嵌入窗。

本文针对混沌时间序列相空间重构C-C 方法的三点不足，提出了一种基于改进的C-C 方法的确定最优时延与嵌入窗的新算法，该算法对最优时延的选择更准确，对最优嵌入窗选取更可靠。在关联积分计算过程中引入了权衡计算精度与速度的可调参数，合理选择该参数，能在不严重损失估计精度的前提下，大大加快计算速度。

2 C-C 方法[7]

考虑混沌时间序列},,2,1|{N i x x i ⋅⋅⋅==，以时延t ，嵌入维m ，重构相空间}{i X X =，i X 为相空间中的点，则嵌入时间序列的关联积分为

∑≤<≤>−−=

M

j i ij r d r M M t r N m C 10),()1(2),,,(θ (2) 其中 )(∞−=j i ij X X d

0 ,1)( ;0 ,0)(≥=<=x x x x 若　若θθ

关联积分是个累积分布函数，表示相空间中任意两点之间距离小于r 的概率。这里点与点之间的距离用矢量之差的无穷范数表示。定义检验统计量

),,,1(),,,(),,,(1t r N C t r N m C t r N m S m −= (3)

实际(3)式的计算过程为：将时间序列},,2,1|{N i x x i ⋅⋅⋅==分解成t 个互不重迭的子序列，t 为重构时延，即