高中数学轨迹求法

一、直接法

按求动点轨迹方程的一般步骤求，其过程是建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理，主要用于动点具有的几何条件比较明显时

1．三角形ABC 中，

，且，则三角形ABC 面积最大值为__________.

2、 动点P （x,y ）到两定点A （－3，0）和B （3，0）的距离的比等于2（即2|

||

|=PB PA ），求动点P 的轨迹方程？

3、一动点到y 轴距离比到点()2,0的距离小2，则此动点的轨迹方程为 .1.

4．已知()1,0A -， ()2,0B ，动点(),M x y 满足

1

2

MA MB

=

.设动点M 的轨迹为C . （1）求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹C 是什么图形； （2）求动点M 与定点B 连线的斜率的最小值；

5、已知曲线C 是动点M 到两个定点()0,0O 、()3,0A 距离之比为1

2

的点的轨迹. （1）求曲线C 的方程；

（2）求过点()1,3N 且与曲线C 相切的直线方程.

6．一条线段的长等于10，两端点,A B 分别在x 轴和y 轴上滑动，M 在线段AB 上且

4AM MB =，则点M 的轨迹方程是（ ）

A ．221664x y +=

B ．22

1664x y +=

C ．22168x y +=

D ．22

168x y +=

B

7．已知坐标平面上一点M （x ，y ）与两个定点M 1（26，1），M 2（2，1），且

=5．

（Ⅰ）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；

（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C ，过点M （﹣2，3）的直线l 被C 所截得的线段的长为8，求直线l 的方程．

1、【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则：

，设点A 的坐标为

，由题意有： ，

整理可得： ,结合三角形 的性质可得点C 的轨迹方程为以

为圆

心，

为半径的圆出去其与x 轴的交点，据此可得三角形ABC 面积的最大值为

2、【解答】∵|PA |=2222)3(||,)3(y x PB y x +-=

++

代入

2|||

|=PB PA 得22222

2224)3(4)3(2)3()3(y x y x y x y x +-=++⇒=+-++ 化简得（x －5）2

+y 2

=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆. 3、()280y x x =≥或()00y x =< 【解析】设动点为(),P x y

2x =+，平方得244y x x =+，

当0x ≥时，8y x =；当0x <时，0y =，所以动点的轨迹方程为()2

80y x x =≥或

()00y x =<.

4、（1

2

12

2x y =

-+， 化简可得： ()2

224x y ++=，轨迹C 是以()2,0-为圆心，2为半径的圆 （2）设过点B 的直线为()2y k

x =-，圆心到直线的距离为2d

=

≤

∴

k ≤≤， min k =

（1）点M 的轨迹方程是(x －1)2

＋(y －1)2

＝25，轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆

（2）直线l 的方程为x ＝－2，或5x －12y ＋46＝0．

5．（1）22

230x y x ++-=

（2）1x =，512310x y -+= 【解析】（1）设点(),M x y .

由12

OM

AM =

1

2

=， ①

将①式两边平方整理得22

230x y x ++-=.

即所求曲线方程为22

230x y x ++-=.

（2）由（1）得()2

2

14x y ++=，表示圆心为()1,0C -，半径为2的圆.

（i ）当过点()1,3N 的直线的斜率不存在时，直线方程为1x =，显然与圆相切； （ii ） 当过点()1,3N 的直线的斜率存在时，设其方程为()31y k x -=-， 即30kx y k -+-=，

由其与圆相切得圆心到该直线的距离等于半径，即

2=，解得512

k =

， 此时直线方程为512310x y -+=，

所以过点()1,3N 且与曲线C 相切的直线方程为1x =，512310x y -+= .

7【解析】 【试题分析】（1）

运用两点间距离公式建立方程进行化简；（2）借助直线与圆的位置关系，运用圆

心距、半径、弦长之间的关系建立方程待定直线的斜率，再用直线的点斜式方程分析求解：

(1)由题意，得

化简，得．

即

．

点的轨迹方程是

轨迹是以

为圆心，以为半径的圆

(2)当直线的斜率不存在时，， 此时所截得的线段的长为

，

符合题意．

当直线的斜率存在时，设的方程为

，即

，

圆心到的距离，

由题意，得，

解得．

∴直线的方程为．

即

.

综上，直线的方程为

，或

.

二、定义法

若动点运动的规律满足某种曲线的定义，则可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空、选择题的形式出现． 1:已知圆的圆心为M 1，圆的圆心为M 2，一动圆与这两个

圆外切，求动圆圆心P 的轨迹方程。

2:一动圆与圆O ：12

2=+y x 外切，而与圆C ：0862

2

=+-+x y x 内切，那么动圆的圆

心M 的轨迹是：

A ：抛物线

B ：圆

C ：椭圆

D ：双曲线一支

3 一条线段AB 的长等于2a ,两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，求AB 中点P 的轨迹方程？

4：已知ABC ∆的顶点A ，B 的坐标分别为（-4，0），（4，0），C 为动点，且满足

,sin 4

5

sin sin C A B =

+求点C 的轨迹。