【高中数学】第5章 5.1.1 变化率问题
5.1.1变化率问题课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
4.8
.
计算运动员在 0 t 48 这段时间里的平均速度，发现了什么？ 49
用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
运动员在 0 t 48 这段时间里的平均速度为 0. 显然，在这段时间内， 49
运动员并不处于静止状态. 因此，用平均速度不能准确反映运动员在这 一时间段里的运动状态.
1.瞬时速度的概念：
1.999999
x 0
x
k Δx 2
0.01
2.01
0.001
2.001
0.0001
2.0001
0.00001
2.00001
0.000001
2.000001
……
……
当 x 无限趋近于 0 时，即无论 x 从小于 1 的一边，还是从大于 1 的一边
无限趋近于 1 时，割线 P0 P 的斜率 k 都无限趋近于 2.
给出 t 更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度 v 的值. 当 t 无限趋近于 0 时，
即无论 t 从小于 1 的一边，还是从大于 1 的一边无限趋近于 1 时，平均速度 v 都无限
趋近于 5 .
由
v
h(1 Δt) h(1) (1 Δt) 1
4.9Δt
5
发现，当
t
无限趋近于
0
时，
4.9Δt
也无限趋近于
0，
所以 v 无限趋近于 5 ，这与前面得到的结论一致.
数学中，我们把
5
叫做“当
t
无限趋近于
0
时，
v
h(1
Δt) Δt
h(1)
的极限”，记为
h(1 Δt) h(1)
lim
5 .
【课件】第5章 5.1 5.1.1 变化率问题【新教材】人教A版(2019)选择性必修第二册
)
A．9.8 m/s 是物体从 0 s 到 1 s 这段时间内的速率
B．9.8 m/s 是 1 s 到(1＋Δt)s 这段时间内的速率
C．9.8 m/s 是物体在 t＝1 s 这一时刻的速率
D．9.8 m/s 是物体从 1 s 到(1＋Δt)s 这段时间内的平均速率
C [结合平均变化率与瞬时变化率可知选项 C 正确．]
变化率．(重点) 率及瞬时速度的学习，培养逻辑
3.理解函数的平均变化率，瞬时变 推理及数学运算的核心素养.
化率及瞬时速度的概念．(易混点)
3
情境 导学 探新 知
4
1．高台跳水运动中，运动员相对于水面的 高度 h(m)与起跳后的时间 t(s)存在函数关系 h(t) ＝－4.9t2＋6.5t＋10.那么如何用运动员在某些 时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？
20
1．求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的改变量 Δx＝x2－x1； 第二步，求函数值的改变量 Δy＝f (x2)－f (x1)； 第三步，求平均变化率ΔΔyx＝fxx22－－fx1x1. 2．求平均变化率的一个关注点 求点 x0 附近的平均变化率，可用fx0＋ΔΔxx－fx0的形式．
切线的斜率为 k＝lim Δx→0
f1＋Δx－f1 Δx
＝ lim Δx→0
1＋Δx2＋1－12＋1 Δx
＝ lim Δx→0
Δx2＋2Δx Δx
＝lim (Δx＋2) Δx→0
＝2.
故切线方程为 y－2＝2(x－1)，即 y＝2x.
34
求函数 y＝f (x)在点 x0 处的导数的三个步骤
35
[跟进训练] 2．求函数 y＝x42在 x＝2 处的切线方程．
42
【教案】变化率问题(第2课时)教学设计高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
第五章一元函数的导数及其应用《5.1.1变化率问题》教学设计第2课时◆教学目标1．通过求曲线上某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法.2. 理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念．◆教学重难点◆教学重点：理解曲线上某点处切线斜率的概念及算法教学难点：理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念◆课前准备PPT课件．◆教学过程【新课导入】问题1：阅读课本第62~64页，回答下列问题：（1）本节将要探究哪类问题？（2）本节探究的起点是什么？目标是什么？师生活动：学生带着问题阅读课本，并在本节课中回答相应问题．（1）本节课主要学习变化率问题：曲线上某点处切线斜率的问题．（2）总结归纳出一般函数的平均变化率概念和瞬时变化率的概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率和瞬时变化率解法的一般步骤．平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础．在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透．一般曲线的切线的概念与学生熟悉的圆的切线的定义方式不同，学生不易理解，因此曲线的切线概念是本节的教学难点．通过本节的学习，学生的数学抽象和直观想象素养将得以提升．设计意图：通过阅读读本，让学生明晰本阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架．问题2：什么叫直线与圆相切？师生活动：学生回顾并回答．预设的答案：如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切．对于一般的曲线C，如何定义它的切线呢？设计意图：通过复习直线与圆相切，引出问题，进入新课．【探究新知】知识点1：曲线在某点处的切线 我们以抛物线f （x ）=x 2为例进行研究．问题3：如何定义抛物线2()f x x =在点0(11)P ，处的切线？ 师生活动：学生思考，尝试回答，教师讲解．与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线2()f x x =在点0(11)P ，处的切线，我们通常在点0(11)P ，的附近任取一点2()P x x ，，考察抛物线2()f x x =的割线0P P 的变化情况.如图，当点P 无限趋近于点0P 时，割线0P P 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线0PT 称为抛物线2()f x x =在点0(11)P ，处的切线. 知识点2：曲线在某点处的切线斜率抛物线2()f x x =在点0(11)P ，处的切线0PT 的斜率与割线0P P 的斜率有内在联系.记1x x ∆=-，则点P 的坐标是2(1Δ(1Δ))x x ++，.于是，割线0P P 的斜率2()(1)(1Δ)1Δ21(1Δ)1f x f x k x x x -+-===+-+-.我们可以用割线0P P 的斜率k 近似地表示切线0PT 的斜率0k ，并且可以通过不断缩短横坐标间隔||x ∆来提高近似表示的精确度，得到如下表格.0x ∆< 0x ∆>x ∆ Δ2k x =+ x ∆ Δ2k x =+ 0.01-1.990.012.010.001-1.9990.0012.0010.0001- 1.9999 0.0001 2.0001 0.00001- 1.99999 0.00001 2.00001 0.000001-1.9999990.0000012.000001…… ……当x ∆1时，割线0P P 的斜率k 都无限趋近于2.事实上，由(1Δ)(1)Δ2Δf x f k x x+-==+可以直接看出，当x ∆无限趋近于0时，Δ2x +无限趋近于2.我们把2叫做“当x ∆无限趋近于0时，(1Δ)(1)Δf x f k x +-=的极限”，记为Δ0(1Δ)(1)lim 2Δx f x f x→+-=.从几何图形上看，当横坐标间隔||x ∆无限变小时，点P 无限趋近于点0P ，于是割线0P P 无限趋近于点0P 处的切线0PT .这时，割线0P P 的斜率k 无限趋近于点0P 处的切线0PT 的斜率0k .因此，切线0PT 的斜率02k =.【巩固练习】例1 已知函数1y x x=-，求该函数在点x ＝1处的切线斜率． 师生活动：学生分组讨论，每组派一代表回答，教师完善． 预设的答案：∵11(1)(1)11y x x ∆=+∆---+∆111x x =+∆-+∆1xx x ∆=∆++∆111y x x ∆=+∆+∆，∴斜率k ＝001lim lim(1)1121x x y x x∆→∆→∆=+=+=∆+∆．设计意图：通过求曲线上某点处切线斜率的问题，加深学生对曲线在某点处的切线和切线斜率的理解，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养． 方法总结：求曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线斜率 (1)计算00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆， （2）计算0limx yx∆→∆∆，该值即为曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线斜率．例2已知函数f (x )＝3x 2＋5，曲线y =f （x ）在点（（x 0，f （x 0））处的切线方程． 师生活动：学生分组讨论，每组派一代表回答，教师完善． 预设的答案：因为f (x )＝3x 2＋5，所以Δy = f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝3(x 0＋Δx )2＋5－(3x 02＋5) =3 x 02＋6 x 0Δx ＋3(Δx )2＋5－3 x 02－5＝6 x 0Δx ＋3(Δx )2. 所以063yx x x∆=+∆∆， 所以0000limlim(6)6x x yx x x x ∆→∆→∆=+∆=∆，所以曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线斜率为6 x 0，所以曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线方程为000()6()y f x x x x -=-， 即200635y x x x =-+． 方法总结：求曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线方程(1)计算00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆， （2）计算0limx y x ∆→∆∆，即曲线y =f （x ）在点（x 0，f （x 0））处的切线斜率为0lim x yk x∆→∆=∆．（3）写出切线方程00()()y f x k x x -=-．设计意图：通过求曲线上某点处切线的方程问题，进一步加深学生对曲线在某点处的切线的理解，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养． 练习：教科书P 64 练习1、2设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养．【课堂总结】1．板书设计：5.1.1变化率问题新知探究巩固练习 知识点1：曲线在某点处的切线 例1 知识点2：曲线在某点处的切线斜率例22．总结概括：（1）什么叫曲线在某点处的切线； （2）如何求曲线在某点处的切线斜率． 师生活动：学生总结，老师适当补充．设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力． 3．课堂作业：教科书P 70 习题5.1 2、4、7【目标检测设计】1.在曲线2y x =上取一点(1)1，及附近一点()11x y +∆+∆，，则曲线在点(1)1，处的切线的斜率为( ) A.12x x∆++∆ B.2 C .2x ∆+ D.12x x+∆-∆ 设计意图：让学生进一步理解曲线在某点处的切线及切线斜率的求解. 2.已知曲线11y x =-上两点112222A B x y ⎛⎫⎛⎫-+∆-+∆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，当1x ∆=时，割线AB 的斜率为_______. 3．求曲线24y x =在x ＝2处的切线的方程． 设计意图：让学生进一步理解曲线在某点处的切线方程的求法.参考答案：1. B 设2()f x x =，则2000(1)(1)(1)1limlim lim(2)2x x x f x f x x x x∆→∆→∆→+∆-+∆-==∆+=∆∆.故选B.2.16-设1()1f x x =-，则1111(2)(2)1122222(2)x f x f x x x -∆⎛⎫⎛⎫+∆-=---=-= ⎪ ⎪+∆+∆+∆⎝⎭⎝⎭， 则(2)(2)12(2)2(2)xf x f x xx x ∆-+∆--+∆==∆∆+∆， 当1x ∆=时，割线AB 的斜率112(21)6k -==-⨯+.3．解：∵2222()4(2)2(24)4x xy x x -∆-∆∆=-=+∆+∆，24(2)y x x x ∆-∆-=∆+∆ ∴20044limlim 1(2)4x x y x x x ∆→∆→∆-∆--===-∆+∆，∴曲线24y x=在x ＝2处的切线的斜率为-1， ∴曲线24y x=在x ＝2处的切线的方程为y -1=-1（x -2），即y =-x +3．。
人教版高中数学选择性必修第二册5.1.1 变化率问题 【同步教学课件】
(1)分别求 s(t)在区间0，π4和π4，π2上的平均速度；
解
物体在区间0，π4上的平均速度为v－1＝s（t2）t2－－st1（t1）＝sπ4－π4－s（0 0）＝
22－0 π 4
＝2
2 π.
物体在区间π4，π2上的平均速度为
v－2＝sπ2π2－ －πs4π4＝1－π4
2 2 ＝4－π2
2 .
(2)比较(1)中两个平均速度的大小，说明其几何意义. 解 由(1)可知v－1－v－2＝4 2π－4>0，所以v－2<v－1.作出函数 s(t)＝sin t 在0，π2上的图 象，如图所示，可以发现，s(t)＝sin t 在0，π2上随着 t 的增大，函数值 s(t)变化 得越来越慢.
∴
lim
t 0
ΔΔst＝4a＝8，即
a＝2.
题型三 求曲线在某点处切线的斜率或方程
【例3】 求抛物线f(x)＝x2－2x＋3在点(1，2)处的切线方程. 解 由f（1＋ΔxΔ）x－f（1）
＝（1＋Δx）2－2（Δx1＋Δx）＋3－2＝Δx，
可得切线的斜率为k＝
lim
x0
Δx＝0.
所以切线的方程为y－2＝0×(x－1)，即y＝2.
则切线方程为y－2＝3(x－2)，即3x－y－4＝0.
1.明确 3 个知识点
课堂小结
平均速度、瞬时速度、曲线切线的斜率.
2.掌握 1 个公式
k＝
lim
x0
ΔΔyx＝
lim
x0
f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0）＝
lim
x x0
f（x）x－－xf（0 x0）.
3.注意瞬时速度与平均速度的区别与联系
区别：瞬时速度是刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体
新教材2024版高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.1导数的概念及其意义5.1.1变化率问题课后
5．1.1 变化率问题A 级——基础过关练 1．某质点的运动规律为s ＝t 2＋1，则在时间(2，2＋Δt )内，质点的位移增量等于 ( ) A ．4Δt ＋(Δt )2B ．4＋Δt ＋2ΔtC ．2Δt ＋(Δt )2D ．2＋Δt【答案】A 【解析】位移增量＝s (2＋Δt )－s (2)＝(2＋Δt )2＋1－(22＋1)＝4Δt ＋(Δt )2.2．如果质点M 的运动方程是s ＝2t 2－2，那么在时间段[2，2＋Δt ]内的平均速度是 ( ) A ．8＋2Δt B ．4＋2Δt C ．7＋2Δt D ．－8＋2Δt 【答案】A3．(2022年重庆模拟)如果质点A 运动的位移s (单位：米)与时间t (单位：秒)之间的函数关系为s (t )＝2t，那么该质点在t ＝3秒时的瞬时速度为( )A ．23米/秒 B ．－23米/秒C ．29米/秒 D ．－29米/秒【答案】D 【解析】Δs Δt ＝s (3＋Δt )－s (3)Δt ＝23＋Δt －23Δt ＝－23(3＋Δt )，所以lim Δt →0ΔsΔt ＝lim Δt →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23(3＋Δt )＝－29.故选D. 4．(2022年北京模拟改编)某物体做自由落体运动的位移s (t )＝12gt 2，g ＝9.8 m/s 2.若s (1＋Δt )－s (1)Δt＝24.5 m/s ，则24.5 m/s 是该物体( )A ．从0 s 到1 s 这段时间的平均速度B ．从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间的平均速度C ．在t ＝1 s 这一时刻的瞬时速度D ．在t ＝Δt s 这一时刻的瞬时速度 【答案】B 【解析】根据题s (1＋Δt )－s (1)Δt＝24.5 m/s ，可知该物体从t ＝1 s 到(1＋Δt )s这段时间的平均速度为24.5 m/s.5．已知一物体做直线运动，其运动的位移s (单位：m)与时间t (单位：s)满足：s (t )＝－t 2＋4t ，则该物体在t ＝1到t ＝3这段时间的平均速度为________m/s. 【答案】0 【解析】由Δs ＝s (3)－s (1)＝－32＋4×3－(－12＋4×1)＝0，得Δs Δt ＝03－1＝0，则该物体在t ＝1到t ＝3这段时间的平均速度为0 m/s.6．已知函数f (x )＝x 2图象上四点A (1，f (1))，B (2，f (2))，C (3，f (3))，D (4，f (4))，割线AB ，BC ，CD 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则 ( ) A ．k 1＜k 2＜k 3 B ．k 2＜k 1＜k 3 C ．k 3＜k 2＜k 1 D ．k 1＜k 3＜k 2 【答案】A 【解析】∵k 1＝f (2)－f (1)2－1＝4－1＝3，k 2＝f (3)－f (2)3－2＝9－4＝5，k 3＝f (4)－f (3)4－3＝16－9＝7，∴k 1＜k 2＜k 3.7．(多选)某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 2＋t ＋1表示，则 ( ) A ．物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为0 m/s B ．物体在t ＝0 s 时的瞬时速度为1 m/s C ．瞬时速度为9 m/s 的时刻是在t ＝4 s 时 D ．物体从0 s 到1 s 的平均速度为2 m/s【答案】BCD 【解析】lim Δt →0s (1＋Δt )－s (1)Δt ＝lim Δt →0(1＋Δt )2＋(1＋Δt )＋1－(12＋1＋1)Δt＝lim Δt →0 (3＋Δt )＝3，即物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为3 m/s ，A 错误；lim Δt →0s (0＋Δt )－s (0)Δt＝lim Δt →0(0＋Δt )2＋(0＋Δt )＋1－1Δt ＝lim Δt →0 (1＋Δt )＝1，即物体在t ＝0 s 时的瞬时速度为1 m/s ，B 正确；设物体在t 0时刻的瞬时速度为9 m/s ，又因为lim Δt →0s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt＝lim Δt →0 (2t 0＋1＋Δt )＝2t 0＋1＝9，所以t 0＝4，物体在t ＝4 s 时的瞬时速度为9 m/s ，C 正确；v －＝s (1)－s (0)1－0＝2(m/s)，D 正确．故选BCD.8．(2022年新疆期中)若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则 ( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1 【答案】A 【解析】由题意可知k ＝lim Δx →0(0＋Δx )2＋a (0＋Δx )＋b －b Δx ＝lim Δx →0 (Δx ＋a )＝a ＝1.又因为点(0，b )在切线上，所以0－b ＋1＝0，解得b ＝1.故选A.9．一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则其初速度为________，其在t ＝________时的瞬时速度为1.【答案】0 114 【解析】平均速度为s (t )－s (0)t ＝7t 2＋8－8t ＝7t ，当t 趋向于0时，平均速度为0，即初速度为0.根据瞬时速度的定义，得v ＝lim Δt →0Δs Δt ＝lim Δt →07(t ＋Δt )2＋8－7t 2－8Δt ＝14t ，所以当v ＝1时，t ＝114.10．在赛车比赛中，一赛车的位移s (单位：m)与比赛时间t (单位：s)存在函数关系s ＝10t ＋5t 2.求当t ＝20 s ，Δt ＝0.1 s 时的Δs 与Δs Δt.解：Δs ＝s (20＋Δt )－s (20)＝10×(20＋0.1)＋5×(20＋0.1)2－10×20－5×202＝21.05，故Δs Δt ＝21.050.1＝210.5. B 级——能力提升练11．一点沿直线运动，如果由起点起经过t 秒后的距离s ＝13t 3－12t 2－2t ＋1，那么速度为零的时刻是( )A ．1秒末B ．2秒末C ．3秒末D ．4秒末【答案】B 【解析】根据瞬时速度的定义，知v ＝lim Δt →0ΔsΔt＝lim Δ t →013(t ＋Δt )3－12(t ＋Δt )2－2(t ＋Δt )＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13t 3－12t 2－2t ＋1Δ t ＝t 2－t －2.令v ＝t 2－t －2＝0，得t ＝2或t ＝－1(舍去).12．(多选)已知曲线y ＝x 3－x ＋1在点P 处的切线平行于直线y ＝2x ，那么点P 的坐标为 ( ) A ．(1，0) B ．(1，1) C ．(－1，1) D ．(0，1) 【答案】BC 【解析】设y ＝f (x )＝x 3－x ＋1，则f ′(x )＝limΔx →0(x ＋Δx )3－(x ＋Δx )＋1－(x 3－x ＋1)Δx ＝lim Δx →03x 2Δx ＋3x (Δx )2＋(Δx )3－Δx Δx ＝3x 2－1.令3x 2－1＝2，即x 2＝1，解得x ＝±1.又因为f (1)＝1，f (－1)＝1，所以P 点坐标为(－1，1)或(1，1).故选BC.13．已知曲线y ＝x 2－1上两点A (2，3)，B (2＋Δx ，3＋Δy )，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率是________；当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率是________．【答案】5 4.1 【解析】当Δx ＝1时，割线AB 的斜率k 1＝Δy Δx ＝(2＋Δx )2－1－22＋1Δx ＝(2＋1)2－221＝5；当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率k 2＝Δy Δx ＝(2＋0.1)2－1－22＋10.1＝4.1. 14．枪弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速运动，位移公式可表示为s ＝12at 2，如果枪弹的加速度a ＝5.0×105m/s 2，枪弹从枪口射出时所用时间t ＝1.6×10-3s ，那么枪弹射出枪口时的瞬时速度为__________m/s.【答案】800 【解析】位移公式为s ＝12at 2，∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 02＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ，∴lim Δt →0Δs Δt ＝lim Δt →0⎝ ⎛⎭⎪⎫at 0＋12a Δt ＝at 0.已知a ＝5.0×105 m/s 2，t 0＝1.6×10-3 s ，∴at 0＝800 m/s ，∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.15．已知函数f (x )＝－x 2＋x 图象上两点A (2，f (2))，B (2＋Δx ，f (2＋Δx ))(Δx ＞0). (1)若割线AB 的斜率不大于－1，求Δx 的范围；(2)求函数f (x )＝－x 2＋x 的图象在点A (2，f (2))处切线的斜率． 解：(1)由题意得，割线AB 的斜率为Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝－(2＋Δx )2＋(2＋Δx )－(－4＋2)Δx＝－4Δx ＋Δx －(Δx )2Δx＝－3－Δx ，由－3－Δx ≤－1，得Δx ≥－2.又因为Δx ＞0，所以Δx 的取值范围是(0，＋∞).(2)由(1)知函数f (x )＝－x 2＋x 的图象在点A (2，f (2))处切线的斜率为k ＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(－3－Δx )＝－3.。
22人教版高中数学新教材选择性必修第二册--5.1.1 变化率问题
3 − − 2 = 0
切线方程为______________________.
因为 = (1 + )3 − 13
= [(1 + )2 + (1 + ) × 1 + 12 ]
= [()2 + 3 + 3] ,
所以
= ()2 + 3 + 3 ,
体,叫“自由落体”.
已知自由落体的位移时间的计算公式为 () =
1
2 (
2
= 9.8 m/s 2 ) .
（1） 0 s 到 1 s 内的平均速度与 1 s 到 2 s 内的平均速度是否相同？
0 s 到 1 s 内的平均速度为
1 s 到 2 s 内的平均速度为
=
=
1
(12 −0)
=
(2×1+1)2 −(2×0+1)2
1−0
设在 1 s 末附近的时间增量为 ,则在 1 s 末的瞬时速度为 =
[2×(1+)+1]2 −(2×1+1)2
lim→0
= 8(m/s) ,
lim→0
= lim→0 (12 + 4) = 12( m/s) .
.
1. [2021 山东日照高二质检] 一质点的运动方程是 = 5 − 3 2 ,则在时间
段 [1,1 + ] 内的平均速度为(
D
)
A. 3 + 6
B. −3 + 6
C. 3 − 6
D. −3 − 6
¯
=
[5−3(1+)2 ]−(5−3×12 )
人教A版高中数学选择性必修第二册5.1.1变化率问题课件
1．一个物体做直线运动，位移s(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为
s(t)＝5t2＋mt，且这一物体在2≤t≤3这段时间内的平均速度为26 m/s，则实
数m的值为
()
A．2 B．1 C．－1
D．6
[析题建模] 读懂位移函数 → 明确函数求法 → 求解问题 解析：由已知，得s33－－2s2＝26，所以(5×32＋3m)－(5×22＋2m)＝26，解 得 m＝1，故选 B. 答案：B
[典例1] 已知s(t)＝5t2. (1)求t从3秒到3.1秒的平均速度； (2)求t从3秒到3.01秒的平均速度． [解] (1) v ＝s33.1.1－ －3s3＝5×3.102－ .1 5×32＝5×3.1－03.1×3.1＋3＝30.5 (m/s)． (2) v ＝s33.0.011－ －3s3＝5×3.001.20－1 5×32＝5×3.01－03.0×1 3.01＋3＝30.05 (m/s)．
[方法技巧] 设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为 s＝s(t)，则求物体在 t ＝t0 时刻的瞬时速度的步骤如下． (1)写出时间改变量 Δt，位移改变量 Δs(Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0))； (2)求平均速度： v ＝ΔΔst； (3)求瞬时速度 v：当 Δt→0 时，ΔΔst→v(常数)．
[方法技巧] 求曲线的切线方程，首先求割线的斜率，然后利用极限思想得切线的斜率， 最后由切点在切线上求曲线切线方程．
[对点练清]
1．求曲线 f(x)＝12x2＋1 在点 P1，32处的切线的斜率以及切线方程． 解：由已知可得，切线的斜率为 k＝Δlxim→0f1＋ΔΔxx－f1 ＝Δlxim→0121＋Δx2＋Δ1x－12×12＋1 ＝Δlxim→012ΔxΔ2x＋Δx ＝Δlxim→012Δx＋1＝1. 故切线方程为 y－32＝x－1，即 y＝x＋12.
数学人教A版选择性必修第二册5.1.1变化率问题课件
新知运用
例1一质点的运动方程为，其中表示位移（单位：），表示时间（单位：）.
（1）求质点在这段时间内的平均速度；
（2）求质点在时的瞬时速度.
[解析]（1）质点在这段时间内的平均速度为.（2）由（1）知.当趋近于0时，趋近于，所以质点在时的瞬时速度为.
4.一物体的运动方程为，且在时的瞬时速度为1，求的值．
[解析]因为，所以，所以．
1.一物体的运动方程是，则在这段时间内的平均速度是().A.B.C.D.
B
[解析].
随堂检测·精评价
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2.抛物线在点处的切线的斜率为().A.B.C.D.
C
[解析],.
3.若曲线，则它在点处的切Hale Waihona Puke 方程为().A.B.C.D.A
[解析]，，∴曲线在点处的切线方程为.
巩固训练
探究2 抛物线的切线的斜率
问题1：在函数的图象中，表示什么？
[答案]表示过和两点的直线的斜率.
情境设置
问题2：当趋近于0时，直线是如何变化的？
[答案]直线无限接近函数的图象在点处的切线.
新知生成
设，是抛物线上不同两点，则割线的斜率（其中），当点无限趋近于点时，我们可以用割线的斜率近似地表示点处切线的斜率.
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）函数（为常数）在区间上的平均变化率为0.()
√
（2） 瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢的情况.( )
√
2.若一质点按规律运动，则它在一小段时间内的平均速度是().A.B.C.D.
B
人教版高中数学选择性必修第二册5.1.1变化率问题 【课件】
平均速度
从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快.
把整个运动时间段分成许多小段，用每段时间内的 平均速度 近似地描述其运动状态.
例如，在 ≤ ≤ . 这段时间里，
. −
=
= . Τ
. −
一般地，在 ≤ ≤ 这段时间里，
=
= −. ∆ −
+ ∆ −
知，当 ∆ 无限趋近于0时，−. ∆无限趋近于0，
无限趋近于-5. 这与前面观察的结论一致.
把-5叫做“当∆无限近于0时， =
+∆ −()
∆
的极限”记为
+ ∆ −
= −
∆→
∆
从物理角度看， |∆| → ， 平均速度 趋近于t=1时的瞬时速度.
−
=
= −. + + .
−
新知讲解
思考
计算运动员在 ≤ ≤
这段时间里的平均速度，你发现了什么？
你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
提示：
−
=
= Τ
−
显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态.
平均速度
缩短时间间隔
瞬时速度
合作探究
思考
（1）求运动员在t=2 s时的瞬时速度；
（2）如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻 的瞬时速度？
提示：
（1）
+ ∆ − ()
= −. /
∆→
∆
（2）
+ ∆ − ( )
高中数学选择性必修二 5 1 1变化率问题(知识梳理+例题+变式+练习)(含答案)
5.1.1变化率问题要点一 平均速度与瞬时速度1．平均速度：时间段[1,1＋Δt ]内的平均速度 v －＝h (1＋Δt )－h (1)(1＋Δt )－1.2．瞬时速度：当Δt 无限趋近于0时， v －＝h (1＋Δt )－h (1)Δt的极限，记为lim Δt →h (1＋Δt )－h (1)Δt ，即为t ＝1时的瞬时速度．【重点小结】在t ＝1之后或之前，任意取一个时刻1 ＋Δt ，Δt 是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.当Δt >0时，1 ＋Δt 在1之后；当Δt<0时，1 ＋Δt 在1之前．当Δt 无限趋近于0，即无论t 从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度v 无限趋近v(1)，即为t ＝1时的瞬时速度． 要点二 抛物线的切线的斜率抛物线f (x )在点P (1,1)处的切线斜率为k ＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx.【重点小结】当Δx 无限趋近于0时，k ＝f (1 ＋Δx ) －f (1)Δx的极限，记为lim Δx →f (1 ＋Δx ) －f (1)Δx .Δx 可以是正值也可以是负值，但不为0.【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)Δx 趋近于0表示Δx ＝0.( )(2)平均速度与瞬时速度有可能相等．( )(3)平均变化率是刻画某函数在某区间上变化快慢的物理量．( )(4)一物体的运动方程是S ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是at 0.( )【答案】（1）× （2）√ （3）√ （4）√ 2．质点运动规律s (t )＝t 2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为( ) A ．6.3 B ．36.3 C ．3.3 D ．9.3 【答案】A【解析】s (3)＝12，s (3.3)＝13.89 ∴v －＝s (3.3)－s (3)3.3－3＝1.890.3＝6.3，故选A.3．如果质点M 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18 C ．54 D ．81【答案】B【解析】Δs Δt ＝3(3＋Δt )2－3×32Δt ＝18＋3Δt ，s ′＝li m Δt →0ΔsΔt ＝li m Δt →(18＋3Δt )＝18，故选B.4．抛物线f (x )＝x 2在点(－1,1)处切线的斜率为________．【答案】－2【解析】切线斜率为k ＝lim Δx →0 f (－1＋Δx )－f (－1)(－1＋Δx )－(－1)＝lim Δx →0 (－1＋Δx )2－1(－1＋Δx )－(－1)＝lim Δx →0(Δx －2)＝－2.题型一 求平均速度【例1】已知一物体的运动方程为s (t )＝t 2＋2t ＋3，求该物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度． 【解析】物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的位移增量Δs ＝s (1＋Δt )－s (1)＝[(1＋Δt )2＋2(1＋Δt )＋3]－(12＋2×1＋3) ＝(Δt )2＋4Δt .物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝(Δt )2＋4ΔtΔt＝4＋Δt .【方法归纳】求平均速度的一般步骤(1)作差，计算Δs ；(2)作商：计算ΔsΔt.【跟踪训练1】已知一物体的运动方程为s (t )＝3t －t 2，求t ＝0到t ＝2时平均速度．(s 的单位是m ，t 的单位是s)． 【答案】1 m/s【解析】v －＝Δs Δt ＝S (2)－S (0)2－0＝(3×2－22)－02＝1 (m/s)．题型二 求瞬时速度【例2】如果某物体的运动路程s 与时间t 满足函数s ＝2(1＋t 2)(s 的单位为m ，t 的单位为s)，求此物体在1.2 s 末的瞬时速度．【解析】Δs ＝2[1＋(1.2＋Δt )2]－2(1＋1.22)＝4.8Δt ＋2(Δt )2，li m Δt →0ΔsΔt ＝li m Δt →(4.8＋2Δt )＝4.8， 故物体在1.2 s 末的瞬时速度为4.8 m/s. 求物体在1.2 s 末的瞬时速度即求lim Δt →0ΔsΔt【方法归纳】(1)求运动物体瞬时速度的三个步骤①求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)．②求平均速度v ＝ΔsΔt.③求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于常数v ，即为瞬时速度．(2)求ΔyΔx(当Δx 无限趋近于0时)的极限的方法 ①在极限表达式中，可把Δx 作为一个数来参与运算．②求出ΔyΔx 的表达式后，Δx 无限趋近于0，可令Δx ＝0，求出结果即可．【跟踪训练2】一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s (t )＝3t －t 2. (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度．【解析】(1)t ＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间段[0,0＋Δt ]，即[0，Δt ]， 所以Δs ＝s (Δt )－s (0)＝[3Δt －(Δt )2]－(3×0－02) ＝3Δt －(Δt )2，Δs Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt＝3－Δt ， li m Δt →0＝ΔsΔt ＝li m Δt →(3－Δt )＝3.所以物体的初速度为3.(2)取一时间段[2,2＋Δt ]，所以Δs ＝s (2＋Δt )－s (2) ＝[3(2＋Δt )－(2＋Δt )2]－(3×2－22) ＝－Δt －(Δt )2，Δs Δt ＝－Δt －(Δt )2Δt＝－1－Δt ， li m Δt →0ΔsΔt ＝li m Δt →(－1－Δt )＝－1， 所以当t ＝2时，物体的瞬时速度为－1. 题型三 求在某点处的切线方程【例3】求抛物线y ＝2x 2＋4x 在点(3,30)处的切线方程． 【解析】Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3) ＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx＝2Δx ＋16. ∴k ＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →(2Δx ＋16)＝16.∴在点(3,30)处的切线方程为：y －30＝16(x －3)即：16x －y －18＝0. 【方法归纳】求在某点处的切线方程(1)作差：Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． (2)作商：Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.(3)取极限：k ＝lim Δx →0Δy Δx. (4)由点斜式写出切线方程．【跟踪训练3】求抛物线y ＝x 2＋3在点(2,7)处的切线方程． 【解析】Δy ＝[(2＋Δx )2＋3]－(22＋3)＝4Δx ＋(Δx )2 ∴ΔyΔx ＝4＋Δx ∴k ＝lim Δx →(4＋Δx )＝4. ∴在点(2,7)处的切线方程为：y －7＝4(x －2) 即：4x －y －1＝0.一、单选题1．函数()2f x x =，()2g x x =在[0，2]上的平均变化率分别记为1m ，2m ，则下列结论正确的是（ ）A ．12m m =B ．12m m >C ．21m m >D ．1m ，2m 的大小无法确定【答案】A 【分析】根据平均变化率的定义计算比较即可. 【解析】12220220m ⨯-⨯==-，22220220m -==-，故12m m =.故选：A.2．“天问一号”于2021年2月到达火星附近，实施火星捕获.2021年5月择机实施降轨，在距离火星表面100 m 时，“天问一号”进入悬停阶段，完成精避障和缓速下降后，着陆巡视器在缓冲机构的保护下，抵达火星表面，巡视器在9 min 内将速度从约20000 km ／h 降至0 km/h.若记与火星表面距离的平均变化率为v ，着陆过程中速度的平均变化率为a ，则（ ） A ．0.185m s v ≈/，210.288m s a ≈/ B ．0.185m s v ≈-/，210.288m s a ≈/ C ．0.185m s v ≈/，210.288m s a ≈-/ D ．0.185m s v ≈-/，210.288m s a ≈-/ 【答案】D 【解析】巡视器与火星表面的距离逐渐减小，所以01000.185m/s 960v -=≈-⨯. 巡视器在着陆过程中的速度逐渐减小，所以22000010000606010.288m/s 960a ⨯-⨯=≈-⨯. 故选：D.3．一物体的运动方程是23s t =+，则t 在[]2,2.1内的平均速度为（ ） A ．0.41 B ．4.1C ．0.3D ．3【答案】B 【分析】由平均速度的定义求解即可 【解析】2232132 4.12.12s v t ∆+⋅--===∆-，故选：B4．函数()221y f x x ==-在区间[]1,1x +∆上的平均变化率yx∆∆等于（ ）． A ．4 B ．42x +∆C ．()242x +∆D ．4x【答案】B 【分析】由给定条件求出函数增量y ∆，再根据平均变化率的意义列式化简即得. 【解析】因函数()221y f x x ==-，则()f x 在区间[]1,1x +∆上的函数增量y ∆有：()()()()()22112112142y f x f x x x ∆=+∆-+∆---=∆+∆=，于是有42yx x∆=+∆∆， 所以所求平均变化率yx∆∆等于42x +∆. 故选：B5．我们常用函数()y f x =的函数值的改变量与自变量的改变量的比值来表示平均变化率，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数值的改变量y ∆=（ ） A ．()0f x x +∆B ．()0f x x +∆C ．()0f x x ⋅∆D ．()()00f x x f x +∆-【答案】D 【分析】根据平均变化率的概念即可得出结果. 【解析】由题意知，当0x x =时，()0y f x =；当0x x x =+∆时，()0y f x x =+∆， 故()()00y f x x f x ∆=+∆-. 故选D.6．函数()y f x =，自变量x 由0x 改变到0x k x +∆（k 为常数）时，函数的改变量y ∆为（ ）． A ．()0f x k x +∆ B ．()0f x k x +∆ C ．()0f x k x ⋅∆ D ．()()00f x k x f x +∆-【答案】D 【分析】根据定义求解即可. 【解析】解：由变化率的关系，()()00y f x k x f x ∆=+∆-.故选：D ． 7．设()f x 为可导函数，且当0x ∆→时，()()1112f f x x--∆→-∆，则曲线()y f x =在点()() 1,1f 处的切线斜率为（ ） A ．2 B ．1- C ．1 D ．2-【答案】D 【分析】由导数的定义及导数的几何意义即可求解. 【解析】解：由导数的几何意义，点()() 1,1f 处的切线斜率为(1)f '， 因为0x ∆→时，()()1112f f x x--∆→-∆，所以()()()()11(1)liml 11222imx x f f x f f x xxf ∆→∆→--∆--∆='=-∆∆=，所以在点()() 1,1f 处的切线斜率为2-， 故选：D. 8．函数()12f x x=在2x =处的导数为（ ） A ．2 B ．12C ．14D ．18-【答案】D 【分析】利用导数的定义即可求出结果. 【解析】()()()()000011222222111lim lim lim lim 2428x x x x f x f x f x x x x x ∆→∆→∆→∆→-∆+∆-+∆⨯⎛⎫===-⋅=- ⎪∆∆∆+∆⎝⎭，所以函数()f x 在2x =处的导数为18-.故选：D.二、多选题9．某堆雪在融化过程中，其体积V （单位：3m ）与融化时间t （单位：h ）近似满足函数关系：()311010V t H t ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-（H 为常数），其图象如图所示，记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为v （单位：3m /h ），1t ，2t ，3t ，4t 时刻的瞬时融化速度分别为1v ，2v ，3v ，4v （单位：3m /h ），那么下列各式正确的是（ ）A ．1v v <B ．2v v >C ．30v v +>D ．40v v +<【答案】AD 【分析】平均融化速度表示()V t 的图象与坐标轴交点连线的斜率，再由瞬时变化率的概念判断即可. 【解析】平均融化速度为()()10001000V V v -=-，反映的是()V t 的图象与坐标轴交点连线的斜率，如图，观察可知1t ，2t 处瞬时速度（即切线的斜率）小于平均速度，3t ，4t 处瞬时速度及v 都小于0.故选：AD10．已知函数()y f x =，下列说法正确的是（ ） A ．()()00y f x x f x ∆=+∆-叫作函数值的增量 B ．()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆∆叫作函数在[]00,x x x +∆上的平均变化率 C ．()f x 在0x x =处的导数记为y ' D ．()f x 在0x x =处的导数记为()0f x ' 【答案】ABD 【分析】由函数值的增量的意义判断A ；由平均变化率和瞬时变化率的意义判断BCD. 【解析】A 中，()()00y f x x f x ∆=+∆-叫作函数值的改变量，即函数值的增量，A 正确；B 中，()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆∆称为函数()f x 在0x 到0x x +∆之间的平均变化率，B 正确； 由导数的定义知函数()f x 在0x x =处的导数记为()0f x '，故C 错误，D 正确. 故选：ABD11．某物体的运动路程s （单位：m ）与时间t （单位：s ）的关系可用函数()21s t t t =++表示，则（ ）A ．物体在1s t =时的瞬时速度为0m/sB ．物体在0s t =时的瞬时速度为1m/sC ．瞬时速度为9m/s 的时刻是在4s t =时D ．物体从0到1的平均速度为2m/s【答案】BC 【分析】由平均速度与瞬时速度的定义求解即可 【解析】对于A ：()()()()()()2200011111111lim lim lim 33t t t t t s t s t t t∆→∆→∆→+∆++∆+-+++∆-==+∆=∆∆，即物体在1s t =时的瞬时速度为3m/s ，A 错误．对于B ：()()()()()2000000011lim lim lim 11t t t s t s t t t t t ∆→∆→∆→+∆-+∆++∆+-==+∆=∆∆， 即物体在0s t =时的瞬时速度为1m/s ，B 正确． 对于C ：设物体在0t 时刻的瞬时速度为9m/s ，又()()()000000limlim 21219t t s t t s t t t t t∆→∆→+∆-=++∆=+=∆，所以04t =，物体在4s t =时的瞬时速度为9m/s ，C 正确． 对于D ：()()()103m /s 10s s v -==-，D 错误．故选：BC第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．某厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时时原油温度（单位：℃）为()()3218243f x x x x =-+≤≤，那么原油温度的瞬时变化率的最小值为______.【答案】0 【分析】根据题意求出温度的瞬时变化率，进而求出它的最小值. 【解析】由题意可知温度的瞬间变化率为()()()()()323220111limlim88233x x f x x f x f x x x x x x x x x xx ∆→∆→+∆-⎡⎤==+∆-+∆+-+-=-⎢⎥∆⎣⎦'∆()()21124x x =--≤≤，因此当2x =时，原油温度的瞬时变化率取到最小值为()20f '=.故答案为：0.13．下面说法正确的是______（填序号）.①若()0f x '不存在，则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处没有切线； ②若曲线()y f x =在点()()00,x f x 处有切线，则()0f x '必存在；③若()0f x '不存在，则曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线斜率不存在； ④若曲线()y f x =在点()()00,x f x 处没有切线，则()0f x '有可能存在. 【答案】③ 【分析】根据导数的几何意义，结合题意，对每个选项逐项判定，适当举出反例，即可求解.对于①中，由()0f x '不存在时，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处不一定没有切线，例如：函数()13f x x =，可得()2313f x x -'=，在0x =处的导数不存在，但曲线在该点处的切线方程为0y =，所以①不正确；对于②中，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处有切线，则()0f x '不一定存在，例如：函数()13f x x =在0x =处的切线方程为0y =，但()0f '不存在，所以②不正确；对于③中，若()0f x '不存在，根据曲线在某点处的导数的几何意义，可得曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线斜率不存在，所以③正确；对于④中，由()0f x '存在，则曲线()y f x =在点()()00,x f x 有切线为真命题，可得其逆否命题“曲线()y f x =在点()()00,x f x 处没有切线，则()0f x '不存在”为真命题，所以④错误. 故选：③14．物体做匀速运动，其运动方程是s vt =，则该物体在运动过程中的平均速度与任何时刻的瞬时速度的大小关系是______．【答案】相等【分析】由匀速运动易知平均速度和瞬时速度的定义求解即可.【解析】 因为平均速度为()()()0000s t t s t v t t vt s v t t t +∆-+∆-∆===∆∆∆， 瞬时速度为()()()00000000lim lim lim lim t t t t s t t s t v t t vt s v t v t t tt ∆→∆→∆→∆→+∆-+∆-∆∆====∆∆∆∆ 所以平均速度与任何时刻的瞬时速度任何时刻的瞬时速度相等．故答案为：相等四、解答题15．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是23s t t =-（位移：m ，时间：s ）．（1）求此物体的初速度；（2）求此物体在2t =时的瞬时速度；（3）求0t =到2t =时的平均速度．（1）3m/s（2）1m/s -（3）1m/s【分析】（1）根据题意，可知初速度即0t =时的瞬时速度，结合瞬时变化率的计算，即可求解； （2）根据题意，结合瞬时变化率的计算，即可求解；（3）根据题意，结合平均变化率的计算公式，即可求解.（1）运动物体的初速度即0t =时的瞬时速度，即()()()()2000003lim lim lim 3t t t s t s t t v t t t ∆→∆→∆→∆-∆-∆===-∆∆∆ 3(m /s)=，即物体的初速度为3m/s ．（2）根据题意，可知()()()()20022322324lim lim t t s t s t t v t t ∆→∆→+∆-+∆-+∆-⨯+==∆∆ ()()200lim lim 1t t t t t t∆→∆→-∆-∆==-∆-=∆1(m/s)-，即此物体在2t =时的瞬时速度为1m/s -． （3）()()206401(m/s)202s s v ---===-，即0t =到2t =时的平均速度为1m/s ． 16．已知某物体运动的位移m x 是时间s t 的函数，而且0.3t =时，0.38x =；0.6t =时， 5.06x =. （1）求这个物体在时间段[0.3,0.6]内的平均速度；（2）估计出0.5=t 时物体的位移.【答案】（1）15.6(m/s)（2）3.5m【分析】根据平均速度的定义即可求出结果，将x 在[0.30.6]，上的图象看成直线，根据点斜式方程写出直线方程，令0.5=t 计算即可.（1） 所求的平均速度为：()5.060.3815.6m /s 0.60.3-=- （2）将x 在[0.30.6]，上的图象看成直线，又直线过点()0.30.38，，斜率为15.6，则 x 与t 的关系可近似表示为： 0.3815.6(0.3)x t -=-，令0.5=t ，得 3.5x =， 故可估计0.5=t 时物体的位移为3.5m.。
5.1.1变化率问题 课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
求函数平均变化率的三个步骤
第一步，求自变量的增量 Δx＝x2－x1；
第二步，求函数值的增量 Δy＝f(x2)－f(x1)；
第三步，求平均变化率ΔΔxy＝fxx22－－xf1x1. 求平均变化率的一个关注点
fx0＋Δx－fx0
求点 x0 附近的平均变化率，可用
Δx
的形式．
1．质点运动规律为 s(t)＝t2＋3，则从 3 到 3＋Δt 的平均速度为 ( )
A．6＋Δt
B．6＋Δt＋Δ9t
C．3＋Δt
D．9＋Δt
答案：A
2.质点按照运动规律 s＝2t2－t 运动，其中 s 表示位移，t 表示时间， 则质点在[2,2＋Δt]这段时间内的平均速度是__7_＋__2_Δ_t_，
() A.2.1 B1.1 C.2 D.0 解析：ΔΔxy＝f11.1.1－－1f1＝00..211＝2.1.
2．求平均变化率的一个关注点
fx0＋Δx－fx0
求点 x0 附近的平均变化率，可用
Δx
的形式．
例 1 已知函数 f(x)＝3x2＋5，求 f(x)： [解] (1)因为f(x)＝3x2＋5，
在1
t
2这段时间里，v
h(2) 2
h(1) 1
一般地,在t1 t t2这段时间里，
v h(t2 ) h(t1) t2 t1
4.9(t1 t2) 4.8.
在0 t 48 这段时间里， 49
v 4.9 48 4.8 49
0.
9.9(m / s)
o
t
要精确地描述非匀速直线运动,就 要知道物体在 每一时刻运动的快慢程度．
h(t) 4.9t2 4.8t 11
h
如何描述运动员从起跳到入水的 过程中运动的快慢程度呢？
人教版高中数学选择性必修第二册5.1.1变化率问题
题型三 求抛物线切线的斜率
互动 4 如何理解抛物线的切线？抛物线的切线与割线有怎 样的联系？
【解析】 抛物线的切线是割线上点 P(x，y)无限趋近于点 P0(x0， y0)时的一个确定位置的直线．
割线斜率 k＝f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0）的极限为切线的斜率．
例 3 求抛物线 f(x)＝x2 在点(1，1)处切线的斜率．
【解析】
k0＝Δlxim→0
f（1＋Δx）－f（1） Δx
＝Δlxim→0
（1＋ΔΔxx）2－1＝Δlxim→0
2Δx＋Δx2 Δx
＝Δlxim→0 (2＋Δx)
＝2.
探究 3 求抛物线在点(x0，y0)处切线的斜率即求极限 k0＝ Δlxim→0 f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0）.
思考题 3 求抛物线 f(x)＝x2＋2 在点(0，2)处的切线方程．
【解析】 平均速度是把位移 s 看成时间 t 的函数 s＝s(t)，则 在时间段[t1，t2]上的平均速度－v ＝s（t2）t2－ －st1（t1）.
例 1 已知某质点按规律 s＝2t2＋2t 做直线运动(路程 s 的单 位为 m)，求：
(1)该质点在前 3 s 内运动的平均速度； (2)该质点在 2 s 到 3 s 这段时间内运动的平均速度．
联系：瞬时速度是平均速度的极限值．
例 2 一做直线运动的物体，其位移 s 与时间 t 的关系是 s＝ 3t－t2.
(1)求此物体的初速度； (2)求此物体在 t＝2 时的瞬时速度； (3)求 t＝0 到 t＝2 之间的平均速度．
【解析】
(1)v0＝Δlitm→0
s（Δt）－s（0） Δt
＝Δlitm→0
第五章 一元函数的导数及其应用
5.1.1 变化率问题 课件2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第
t t 0
t 0
t
1 g (3 t)2 1 g 32
lim 2
2
=
lim 1 g(6 t) 3g 29.4
(米/秒).
t 0
t
2 t 0
答案：29.4
2. 已知曲线 y 2x2 上一点 A(2,8) ，则过点 A 处的切线斜率为( )
A．4
B．16
C．8
D．2
解：由已知，过点 A 处的切线斜率为 k lim 2(2 x)2 2 22 lim (8 2x) 8 ，故选 C.
h(t1) t1
4.9(t1
t2 )
4.8 (m/s)
v
h( 48) 49 48
h(0) 0
4.9(0
48) 49
4.8
0 (m/s)
49
【发现】运动员在 0 t 48 这段时间里的平均速度为 0. 但是这段时间内，运动员仍在运动之中， 49
因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态！
x
【几何意义】从几何图形上看，当横坐标间隔 | x | 无限变小时，点 P 无限趋近于点 P0 时，
割线 P0 P 无限趋近于点 P0 处的切线 P0T ，这时，割线 P0 P 的斜率 k 无限趋近于点 P0 处的
切线 P0T 的斜率 k0 ，因此切线 P0T 的斜率 k0 2 .
小组互动
完成课本 P64 练习 1、2
可以利用几何画板等信息技术工具， 或者手绘动态分解图，
演示图中 P0 P 的动态变化趋势.
【类比】与研究瞬时速度类似，在点 P0 (1,1) 的附近任取一点 P(x, x2 ) ， 考察抛物线 f (x) x2 的割线 P0 P 的变化情况.
5.1.1 变化率问题课件ppt
Δ
的瞬时速度.
探究二
求解曲线在某点处的割线、切线斜率
例3设函数f(x)=x(x-6),则此函数图象在x=0处的切线斜率为(
A.0
B.-1 C.3
D.-6
答案 D
解析
(0+Δ)-(0)
Δ
则切线斜率
=
(Δ)2 -6Δ-0
=Δx-6,
Δ
f(0+x)-f(0)
分析利用定义及立方和公式化简求解.
解析 由题意知,斜率
f(1+x)-f(1)
k= lim
=
x
Δ→0
x→0
1
= lim (1+Δx+3Δx2)=1.
Δ→0
答案 B
1
1
(1+Δ)3 -2-( ×1-2)
3
3
Δ
方法点睛涉及解析式中含xα(α∈N且α≥2)的函数图象在某点处的切线斜
率问题的常见的公式
n 0
近于切线 P0T 的斜率 k0,即
Pn 沿着曲线无限接近点 P0 时,kn 无限趋
f(x 0 +x)-f(x 0 )
k0=
(Δx=xn-x0).
x
x→0
微练习
x
过曲线 f(x)=1-x 上一点(2,-2)及邻近一点(2+Δx,-2+Δy)作割线,则当
x
割线的斜率为
;曲线 f(x)= 在点(2,-2)处的切线斜率为
1-x
2
答案
1
3
解析 割线的斜率
f(2+x)-f(2)
x
x→0
f(2+x)-f(2)
5.1.1变化率问题课件(人教版)
h(t ) h(t1 )
在t1 t t 2这段时间里, v 2
4.9(t1 t 2 ) 4.8(m / s )
t 2 t1
48
思考3：计算运动员在0≤t≤ 秒内的平均速度？你发现了什么？
49
48
运动员在这段时间里并
h
(
)
h
(
0
)
48
在0 t 49
这段时间里, v 4948
选修第二册
《第五章 一元函数的导数及其应用》
5.1 导数的概念及其意义
本章介绍
为描述现实世界中的运动、变化规律，在数学中引入了函数；
在对函数的深入研究中，数学家创建了微积分(微分学和积分学)。
微积分的创建主要与四类问题的处理相关:
已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度；
0(m / s ) 不处于静止状态.
49 1
即用平均速度不能准确地描述运动员在某一时间段里的运动状态.
瞬时速度
问题1.高台跳水运动员的速度
思考4：瞬时速度与平均速度有什么联系与区分？
你能否利用这种关系求运动员在t=1s时的瞬时速度？
瞬时速度是某一时刻的速度；
平均速度是某一时间段内的速度.
设运动员在t0时刻附近某一时间段内的平均速度是ഥ
h(1 t ) h(1)
lim
lim (4.9t 5) 5
t 0
t 0
(1 t ) 1
t 0时, 在[1,1 t ]内 :
h(1 t ) h(1)
v
4.9t 5
(1 t ) 1
问题1.高台跳水运动员的速度
5.1.1变化率问题课件(人教版)
(1)设 P0(x0，f (x0))，P(x，f (x))是曲线 y＝f (x)上任意不同两点，
则平均变化率fx－fx0＝fx0＋Δx－fx0为割线
x－x0
Δx
P0P
的__斜__率_．
(2)当 P 点逐渐靠近 P0 点，即Δx 逐渐变小，当Δx→0 时，瞬时变
化率
lim
Δx→0
fx0＋Δx－fx0就 是 Δx
的瞬时速度，这就需要用到我们数学中的“极限”思想，意思就是让Δt无限
趋近于0.
ht0＋Δt－ht0
lim
Δt→0
Δt
思考：在点P0(1,1)的附近任取一点P(x，x2)，考察抛物线f(x)＝x2的割线 P0P有什么变化趋势？
提示 当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置.
曲线的切线斜率
5.1.1 变化率问题
学习目标
1.通过实例，了解平均速度与瞬时速度. 2.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系. 3.会求曲线在某一点处的切线方程.
情境导入 在高台跳水中， 运动员相对于水面的高度h 与起跳后的时间存在函数关 系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10， 根据上述探究，你能求该运 动员在0≤t≤0.5,1≤t≤2, 0≤t≤6459内的平均速度吗？
例 1 某物体的运动路程 s(单位：m)与时间 t(单位：s)的关系可 用函数 s(t)＝t2＋t＋1 表示，求物体在 t＝1 s 时的瞬时速度．
[解] ∵ΔΔst＝s1＋ΔΔtt－s1
＝1＋Δt2＋1＋ΔΔtt＋1－12＋1＋1＝3＋Δt，
∴lim Δt→0
ΔΔst ＝Δlitm→0
(3＋Δt)＝3.
提示 0≤t≤0.5 时， v ＝h00.5.5－ －h00＝4.05(m/s)；1≤t≤2 时， v ＝ h22－ －h11＝－8.2(m/s)；0≤t≤6459时， v ＝h46649559－－h00＝0(m/s)；
高中数学选择性必修二 5 1 1变化率问题 新
线0 T的斜率0 ，因此，切线0 T的斜率0 =2.
概念解析
3．曲线的切线斜率
(1)设 P0(x0，f (x0))，P(x，f (x))是曲线 y＝f (x)上任意不同两点，
fx－fx0 fx0＋Δx－fx0
斜率
则平均变化率
＝
为割线
P
0P 的_____．
Δx
x－x0
(2)当 P 点逐渐靠近 P0 点，即 Δx 逐渐变小，当 Δx→0 时，瞬时
变化率 lim fx0＋Δx－fx0 就是 y＝f (x)在 x0 处的切线
____的斜率即
Δx
Δx→0
fx0＋Δx－fx0
k＝ lim
Δx
Δx→0
在 1≤ t ≤2这段时间里，ҧ =
ℎ 0.5 −ℎ(0)
0.5−0
ℎ 2 −ℎ(1)
2−1
= 2.35(/)
= −9.9(/)
一般地，在 1 ≤ t ≤2 这段时间里，
ℎ 2 − ℎ(1 )
ҧ =
= −4.9 1 + 2 + 4.8
2 − 1
问题思考
48
49
探究1： 计算运动员在0 ≤ t ≤ 这段时间内的平均速度你发现了什么？你认为
C
[结合平均变化率与瞬时变化率可知选项 C 正确．]
2．已知函数 f (x)＝2x2－1 的图象上一点(1，1)及其附近一点(1＋Δx，
Δy
f (1＋Δx))，则Δx等于________．
4＋2Δx
[Δy＝f (1＋Δx)－f (1)＝2(1＋Δx)2－1－(2×12－1)＝4Δx＋
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一元函数的导数及其应用 5.1 导数的概念及其意义5.1.1 变化率问题素养目标学科素养1.理解瞬时速度的意义，会求运动方程的瞬时速度．(重点)2．理解极限的意义，会求在曲线上某点处的切线的斜率及切线方程．(重点、难点)1.数学抽象； 2．逻辑推理； 3．数学运算情境导学你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈．当爬到“十八盘”时，你感觉怎样？是平缓的山好攀登，还是陡峭的山好攀登？陡峭程度反映了山坡高度变化的快与慢．从数学的角度，如何量化曲线的“陡峭”程度呢？1．平均速度与瞬时速度在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t (单位：s )存在函数关系h (t )．(1)平均速度：一般地，在t 1≤t ≤t 2这段时间里，v ＝h (t 2)－h (t 1)t 2－t 1称为平均速度．(2)瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．设运动员在t 0时刻附近某一时间段内的平均速度是v ，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么v 将越来越趋近于运动员在t 0时刻的瞬时速度．(3)为了求运动员在t ＝1时的瞬时速度，任意取一个时刻1＋Δt ，Δt 是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0.当Δt>0时，把运动员在时间段[1,1＋Δt]内近似看成做匀速直线运动，计算时间段[1,1＋Δt]内的平均速度v，用v近似表示运动员在t＝1时的瞬时速度．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)Δx与Δy的值均可取0.()×提示：Δy可为0，但Δx不能为0.(2)瞬时速度就是一段时间内的平均速度．()×提示：瞬时速度是Δt趋近于0时的平均速度．(3)若平均速度不断增大，则函数图象“越来越陡”．(√)2．抛物线的切线的斜率当点P无限趋近于P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T 称为抛物线f(x)在点P0处的切线，我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0.1．一物体的运动方程是s(t)＝3＋t2，则物体在t＝2时的瞬时速度为()A．3 B．4C．5 D．7B解析：limΔx→0＝s(2＋Δt)－s(2)Δt＝4.2．已知抛物线f(x)＝x2＋1，则抛物线在点(2,5)处切线的斜率为() A．5 B．4C．3 D．2B解析：k＝limΔx→0f(2＋Δx)－f(2)Δx＝4.3．抛物线f(x)＝2x2－1在点(1,1)处的切线方程为________．y ＝4x －3 解析：f (x )在点(1,1)处的斜率为 lim Δx →0f (1＋Δt )－f (1)Δt＝4，所以切线方程为y ＝4x －3.【例1】子弹在枪筒中的运动可以看作是匀变速运动，其运动方程为s ＝12at 2，如果它的加速度a ＝5×105 m/s 2，子弹从枪口射出时所用的时间t 0＝1.6×10－3s ，求子弹射出枪口时的瞬时速度．解：lim Δx →012a (t 0＋Δt )2－12at 20Δt＝at 0.由题意知a ＝5×105m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ， 故at 0＝8×102＝800(m/s)，即子弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.瞬时速度是当Δt →0时，运动物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度的极限值，瞬时速度与平均速度二者不可混淆．质点按照运动规律s ＝2t 2－t 运动，其中s 表示位移，t 表示时间，则质点在[2,2＋Δt ]这段时间内的平均速度是________，在t ＝2时的瞬时速度是________．7＋2Δt 7 解析：v ＝2(2＋Δt )2－(2＋Δt )－(2×22－2)Δt ＝2(Δt )2＋7ΔtΔt＝7＋2Δt ，v ＝lim Δx →0(7＋2Δt )＝7.【例2】 求抛物线f (x )＝－x 2＋x 在点(－1，－2)处切线的斜率． 解：设抛物线f (x )在点(－1，－2)处切线的斜率为k ，则k ＝lim Δx →0f (－1＋Δx )－f (－1)Δx＝3.【例3】 求曲线f (x )＝x －1x在点(1,0)处的切线方程．解：函数f (x )＝x －1x 在点(1,0)处的切线斜率k ＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0⎝⎛⎭⎫1＋11＋Δx ＝2.故所求切线方程为y ＝2(x －1)， 即2x －y －2＝0.求曲线f (x )上一点(x 0，f (x 0))处的切线方程的步骤： (1)求曲线f (x )在(x 0，f (x 0))处切线的斜率k ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx；(2)利用点斜式求出切线方程y －f (x 0)＝k (x －x 0)．求抛物线f (x )＝x 2＋3在点P (1,4)处的切线斜率. 解：Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx＝(1＋Δx )2＋3－(12＋3)Δx ＝2＋Δx .∴所求切线的斜率 k ＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2.1．函数f (x )＝x 2在区间[－1,2]上的平均速度为( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．3B 解析：因为f (x )＝x 2，所以f (x )在区间[－1,2]上的平均速度为f (2)－f (－1)2－(－1)＝4－13＝1.故选B ．2．函数f (x )＝x 2＋x 在x ＝1到x ＝1＋Δx 之间的平均速度为( ) A ．Δx ＋2 B ．Δx ＋3 C ．2Δx ＋(Δx )2D ．3Δx ＋(Δx )2 B 解析：v ＝f (1＋Δx )－f (1)(1＋Δx )－1＝Δx ＋3.故选B ．3．直线运动的物体，从时刻t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么lim Δx →0ΔsΔt为( ) A ．从时刻t 到t ＋Δt 时，物体的平均速度 B ．从时刻t 到t ＋Δt 时，位移的平均变化率 C ．当时刻为Δt 时该物体的速度 D ．该物体在t 时刻的瞬时速度D 解析：根据题意，直线运动的物体，从时刻t 到t ＋Δt 时，时间间隔为Δt ，而物体的位移为Δs ，那么lim Δx →0ΔsΔt为该物体在t 时刻的瞬时速度．故选D ． 4．某跳水运动员离开跳板后，他达到的高度与时间的函数关系式是h (t )＝10－4.9t 2＋8t (距离单位：米，时间单位：秒)，则他在0.5秒时的瞬时速度为( ) A ．9.1米/秒 B ．6.75米/秒 C ．3.1米/秒D ．2.75米/秒C 解析：∵函数关系式是h (t )＝10－4.9t 2＋8t ， ∴lim Δx →0h (0.5＋Δt )－h (0.5)Δt＝3.1，∴在t ＝0.5秒的瞬时速度为3.1米/秒．故选C ．5．求函数f (x )＝x 2＋1在x ＝x 0到x ＝x 0＋Δx 之间的平均速度． 解：v ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)(x 0＋Δx )－x 0＝(x 0＋Δx )2＋1－x 20＋1Δx＝(x 0＋Δx )2＋1－(x 20＋1)Δx [(x 0＋Δx )2＋1＋x 20＋1] ＝2x 0＋Δx(x 0＋Δx )2＋1＋x 20＋1.1．平均速度只能粗略地反映物体在一段时间内里的运动状态，并不代表物体在每时每刻的运动情况，但是它是求瞬时速度的基础，瞬时速度是平均速度当Δt →0时的极限值． 2．曲线f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率k ＝li mΔx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.课时分层作业(十二)变化率问题 (30分钟 60分) 基础对点练基础考点 分组训练知识点1 求瞬时速度1．(5分)某物体的运动路程s (单位：m )与时间t (单位：s )的关系可用函数s (t )＝t 3－2表示，则此物体在t ＝1 s 时的瞬时速度(单位：m/s)为(B) A ．1 B ．3 C ．－1D ．02.(5分)第1题中的物体在t 0 s 时的瞬时速度为________．3t 20 m/s 解析：物体在t 0时的平均速度为 v ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt＝(t 0＋Δt )3－2－(t 30－2)Δt＝3t 20Δt ＋3t 0(Δt )2＋(Δt )3Δt＝3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2.因为li m Δt →0[3t 20＋3t 0Δt ＋(Δt )2]＝3t 20，故此物体在t ＝t 0时的瞬时速度为3t 20m/s. 3.(5分)若第1题中的物体在t 0 s 时的瞬时速度为27 m/s ，则t 0＝________.3 解析：由3t 20＝27，解得t 0＝±3. 因为t 0>0，故t 0＝3.知识点2 求曲线在某点处的斜率4．(5分)曲线f (x )＝－2x 在点M (1，－2)处的切线方程为( )A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝－2x －4C ．y ＝2x －4D ．y ＝2x ＋4 C 解析：k ＝li m Δx →0f (1＋Δx )－f (1)(1＋Δx )－1＝li m Δx →0－21＋Δx ＋2Δx ＝21＋Δx，所以k ＝2，所以直线方程为y ＋2＝2(x －1)，即y ＝2x －4.故选C ． 5．(5分)曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫1，－53处切线的倾斜角为( ) A ．1 B ．π4C ．5π4D ．－π4B 解析：∵lim Δx →0⎣⎡⎦⎤13(x ＋Δx )3－2－⎝⎛⎭⎫13x 3－2Δx＝lim Δx →0⎣⎡⎦⎤x 2＋x Δx ＋13(Δx )2＝x 2， ∴切线的斜率k ＝1.∴切线的倾斜角为π4，故选B ．6．(5分) 曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( ) A ．1 B ．12C ．－12D ．－1A 解析：∵lim Δx →0a (1＋Δx )2－a ×12Δx＝lim Δx →02a Δx ＋a (Δx )2Δx＝lim Δx →0(2a ＋a Δx )＝2a ，∴k ＝2a ， ∴2a ＝2， ∴a ＝1.能力提升练能力考点 适度提升7.(5分)设f (x )＝1x ，则li m x →af (x )－f (a )x －a等于( )A ．－1aB ．2aC ．－1a2D ．1a2C 解析：li m x →af (x )－f (a )x －a ＝li m x →a1x －1a x －a＝li m x →aa －x (x －a )·xa＝－li m x →a1ax ＝－1a 2.8．(5分)已知点P (x 0，y 0)是抛物线f (x )＝3x 2＋6x ＋1上一点，且在点P 处的切线斜率为0，则点P 的坐标为( ) A ．(1,10) B ．(－1，－2) C ．(1，－2) D ．(－1,10)B 解析：∵k ＝li m Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝li m Δx →0(6x 0＋3Δx ＋6)＝6x 0＋6，令6x 0＋6＝0，∴x 0＝－1，y 0＝3x 20＋6x 0＋1＝－2.9.(5分)已知一物体的运动方程是s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2，0≤t <3，29＋3(t －3)2，t ≥3，则此物体在t ＝1和t ＝4时的瞬时速度分别为________． 6,6 解析：t ＝1时，3(1＋Δt )2＋2－(3×12＋2)Δt ＝6＋3Δt ，li m Δt →0(6＋3Δt )＝6；t ＝4时，29＋3(4＋Δt －3)2－[29＋3×(4－3)2]Δt ＝6＋3Δt ，li m Δt →0(6＋3Δt )＝6.10.(5分)曲线y ＝x 2－3x 的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________．(2，－2) 解析：设f (x )＝y ＝x 2－3x ，切点坐标为(x 0，y 0)，斜率k ＝li m Δx →0(x 0＋Δx )2－3(x 0＋Δx )－x 20＋3x 0Δx＝li m Δx →02x 0Δx －3Δx ＋(Δx )2Δx＝2x 0－3＝1，故x 0＝2，y 0＝x 20－3x 0＝4－6＝－2，故切点坐标为(2，－2). 11.(10分)求函数f (x )＝1x－x 2在(1,0)处的切线方程．解：f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝－3－3Δx －(Δx )21＋Δx ，li m Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝－3，∴k ＝－3，∴切线方程为y ＝－3(x －1)，即3x ＋y －3＝0.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。