鲁棒控制毕业论文

目前对鲁棒控制的研究多使用状态反馈，但在许多实际问题中，系统的状态往往是不能直接测量的，此时难以应用状态反馈控制律实现系统控制。

有时即使系统的状态可以直接测量，但考虑到实施控制的成本和系统的可靠性等因素，同样需要运用输出反馈来实现系统控制。

因此，研究控制系统的输出反馈镇定及其控制器设计具有重要的理论意义和实际应用价值。

本文基于Lyapunov稳定性理论和线性矩阵不等式（LMI ）方法，对不确定时滞系统研究了输出反馈控制器的设计方法，针对不确定的时滞系统设计了输出反馈控制器，保证闭环系统渐近稳定，运用MATLAB中的LMI工具箱求解控制器
参数，并用SIMULINK对实际系统进行了仿真实验，通过仿真实例证明了控制器设计方法能够达到较好的控制效果，而且具有较强的鲁棒性和稳定性，证明了设计方法的有效性。

关键词：鲁棒控制；输出反馈；线性矩阵不等式；不确定性；时滞
Abstract
At prese nt,people ofte n use state feedback con trol law to study robust con
trol,but in many practical problems,the system state often cannot be measured directly,it is difficult to use state feedback con trol law to con trol the system.Sometimes,eve n if the state can be measured directly,but,c on sideri ng the cost of impleme nti ng the con trol and reliability of the system and other factors,the state feedback control cannot achieve acceptable effect .If the output feedback law can achieve the performa nee requireme nts of the closed-loop system,then it can be selected with
priority.Therefore,the output feedback stabilization of uncertain systems and controller design has important theoretical and practical value.
This paper is based on Lyap unov stability theory and Lin ear Matrix
Inequality(LMI)methods.For uncertain time-delay systems with norm bounded un certa in parameters,the paper studied the output feedback con troller con troller desig n methods.The controller parameters were worked out by means of LMI toolbox in MATLAB.Simulatio n of the actual system was con ducted on the basis of the SIMULINK toolbox in Matlab,the results of which proved that the new controller desig n method could achieve better con trol effect and was more robust and stable.
Key words:Robust con trol;Output feedback;L in esr Matrix In equality(LMI); Un certai nty;Time-delay
目录
第1章概述 (1)
1.1输出反馈概述 (1)
1.2鲁棒控制理论概述 (1)
第2章基本理论 (4)
2.1系统的非结构不确定性 (4)
2.2系统的结构不确定性 (5)
2.3线性矩阵不等式 (5)
2.4 L YAPUNO稳定性理论 (8)
第3章输出反馈控制器设计 (13)
3.1不确定时滞系统的静态输出反馈控制器设计 (13)
3.2具有控制时滞的不确定时滞系统静态输出反馈控制器设计 (16)
3.3不确定时滞系统的动态输出反馈控制器设计 (21)
结论 (26)
参考文献 (27)
致谢 (28)
第1章概述
1.1输出反馈概述
在许多实际问题中，系统的状态往往是不能直接测量的，故难以应用状态反馈控制律来对系统进行控制。

有时即使系统的状态可以直接测量，但考虑到实施控制的成本和系统的可靠性等因素，如果可以用系统输出反馈来达到闭环系统的性能要求，则更适合选择输出反馈的控制方式。

因此，不确定系统的输出反馈镇定研究及其控制器设计具有重要的理论意义和实际应用价值。

输出反馈使用对象的输入输出模型，对线性系统来说，对象的数学模型就是传递函数。

输出反馈只取对象能检测到的输出信号作为反馈信号。

很多控制系统实际上都是输出反馈。

输出反馈有两种途径：一种是直接利用测量输出反馈，称为静态输出反馈。

一般地，静态输出反馈简单易行，但由于测量输出只是系统局部信息的反映，因而其反馈只能是局部信息的反馈，所以在很大程度上静态输出反馈不易实现系统的全局镇定；另一种途径是动态输出反馈。

动态输出反馈兼有观测器的思想，并采用补偿的设计方法，具有全局反馈和可靠镇定的效果。

80年代已有一些对一般线性系统的输出反馈鲁棒镇定的研究报导，在这些报道中，文献⑴中使用了降维观测器，文献［2］和文献⑻使用的是全维观测器。

到了90 年代初，基于二次镇定概念的输出反馈鲁棒镇定问题的研究报导也有出现，其中尤以Petersenad Hollot, Jabbari^and Schmitendorf 6和Xie⑹最具代表性。

而对于不确定时滞系统的输出反馈鲁棒镇定问题到90年代中后期才有报导出现。

在文献［7］中给出了采用静态输出反馈控制律处理具有耦合参数不确定性的不确定时滞系统的鲁棒镇定问题的研究结果。

文献［8］将文献⑴的结果推广至采用动态输出反馈控制律处理一类不确定时滞系统的鲁棒镇定问题，但是要求系统的不确定性是秩1型的，并且满足匹配条件。

文献［9］采用动态输出反馈研究了一类同时存在状态和控制滞后的不确定时滞系统，得到了系统鲁棒二次可镇定的充分条件，其不确定参数为范数有界形式。

1.2鲁棒控制理论概述
上世纪60年代，状态空间结构理论的形成，与最优控制、卡尔曼滤波以及分
离性理论一起，使现代控制理论成了一个严密完整的体系。

但所有这些研究要求受控对象的数学模型是完全已知的，而大多数实际的工程系统都运行在变化的环境中，要获得精确的数学模型是不可能的。

现代控制理论的这一局限性促进了鲁棒控制的发展。

文献［1］［2］首先提出了鲁棒控制这一概念。

上世纪80年代以来，对控制系统的鲁棒性研究引起了众多学者的高度重视。

鲁棒控制理论是以使用状态空间模型的频率设计方法为主要特征，提出从根本上解决控制对象不确定性和外界扰动不确定性问题的有效方法。

鲁棒性分析和设计方法主要有％H控制方法、结
构奇异值卩方法、基于分解的参数化方法、在LQG控制的基础上使用LTR(Loop Transfer Recovery技术的LQG/LTR方法、二次稳定化方法以及基于平衡实现原理、卡里托诺夫(Kharitonov)定理和棱边定理的方法等。

控制系统就是使控制对象按照预期目标运行的系统，大部分的控制系统是基于反馈原理来进行设计的。

反馈控制已经广泛地运用于工业控制、航空航天等各个领域。

在实际控制问题中，不确定性是普遍存在的。

不确定性可能来自所描述的控制对象的模型化误差，也可能来自外界扰动的多样性。

因此，控制系统设计必须考虑不确定性带来的影响。

80年代以来，反馈控制理论获得了惊人的发展，己经变得更加严密，更加符合实际，由此发展起来的鲁棒控制理论为处理不确定性提供了有效的手段。

鲁棒控制理论发展的最突出标志是％H 控制和卩方法。

1981 年詹姆斯(Zames)提出了最优灵敏度控制方法［8］，多伊尔(Doyle)和斯坦因(Stein)提出了在频域内进行回路成形(Loop Shaping)的重要性［9］，使得在控制系统设计中许多鲁棒稳定性和鲁棒性能的指标可以表达为特定闭环传递函数矩阵的X H范数，此后
发展起来的％H控制理论是解决系统不确定性的一种有效工具。

以上这些鲁棒性分析和设计方法的不断完善，正逐步构筑起鲁棒控制理论的完整体系［10］。

鲁棒控制的主要思想是针对系统中存在的不确定性因素，设计一个确定的控制律，使得对于系统中所有的不确定性，闭环系统能保持稳定并具有所期望的性能。

鲁棒性的概念一般描述为：设被控系统的数学模型属于集合D，如果系统的
某些特性对于集合U中的每一对象都保持不变，则称系统对此特性是鲁棒的。

在控制系统中，鲁棒镇定和鲁棒性能是两个重要的概念。

鲁棒镇定是指设计控制器K，不仅使标称被控对象P稳定，而且也能使摄动后的被控对象稳定，即一个控制器K，如果对集合D中的每一个对象都能够保证内稳定，那么它就是鲁棒镇定的。

鲁棒性能是指集合D中的所有对象都满足内稳定和某种特定的性能。

鲁棒控制理论主要研究分析和综合这两方面的问题。

在分析方面要研究的是：当系统存在各种不确定性及外加干扰时，系统性能变化的分析，包括系统的动态性能和稳定性等。

在综合方面要研究的是：采用什么控制结构、用什么设计方法保证控制系统具有更强的鲁棒性，包括如何应对系统存在的不确定性和外加干扰的影响。

它弥补了现代控制理论需要对象精确数学模型的缺陷，使得系统的分析和综合方法更加有效、实用。

鲁棒控制自提出以来，已经取得了一系列的研究结果和方法，并在一些工程领域中获得了成功的应用。

反馈控制系统设计的基本要求包括稳定性、渐进调节、动态特性和鲁棒性等四个方面。

(1) 稳定性：它是控制系统设计的最基本要求并意味着控制系统从工作点附近任意初始状态出发的轨迹在时间趋于无穷时收敛于工作点。

(2) 渐进调节：它意味着对于一类给定的目标输入r和外部扰动d，一个反馈控制系统必须能够保证lim e(t)二0即保证控制系统的稳态误差为0。

(3) 动态特性：它是指反馈控制系统的动态性能必须满足一组给定的设计指标。

(4) 鲁棒性：它是指当不确定性在一组给定的范围内发生变化时，必须保证反馈控制系统的稳定性、渐进调节和动态特性不受影响。

一个反馈控制系统是鲁棒的，或者说一个反馈控制系统具有鲁棒性，就是指这个反馈控制系统在某一类特定的不确定性条件下具有使稳定性、渐进调节和动态特性保持不变的特性，即这一反馈控制系统具有承受这一类不确定性影响的能力。

鲁棒性又可以分为鲁棒稳定性、鲁棒渐进调节和鲁棒动态特性。

(1) 鲁棒稳定性是指在一组不确定性的作用下仍然能够保证反馈控制系统的稳定性。

(2) 鲁棒渐进调节是指在一组不确定性的影响下仍然可以实现反馈控制系统的渐进调节功能。

(3) 鲁棒动态特性通常称为灵敏度特性，即要求动态特性不受不确定性的影响。

一个
反馈控制系统的设计问题就是根据给定的控制对象模型，寻找一个控制
器，以保证反馈控制系统的稳定性，使反馈控制系统达到期望的性能，并对模型不确定性和扰动不确定性具有鲁棒性。

具有鲁棒性的控制系统称为鲁棒控制系统。

抓住不确定性变化的范围界限，并在这个范围内进行最坏情况下的控制系统设计，这就是鲁棒控制系统设计的基本思想［11］。

第2章基本理论
2.1系统的非结构不确定性
在实际应用中，许多控制对象很难被精确描述，在其数学模型中不可避免地存在各种形式的不确定性。

一方面，物理系统中可能出现的现象十分复杂，现有的建模理论和数学手段又远非完善，在控制系统建模时，往往要做许多近似，因而难以建立实际对象的精确数学模型，不可避免地存在建模误差。

另一方面，在实际系统工作过程中，还存在着内部结构和参数的未知变化以及外部干扰等因素。

这些因素的总和构成了系统中的不确定性，它们的存在必然会影响系统的性能，使控制变得复杂和困难。

不确定性系统的描述包括公称模型和不确定性的摄动与公称模型的关系以及摄动的最大值这三个方面的描述。

其中公称模型是指在控制系统设计中采用的控制对象模型往往没有考虑控制对象的模型不确定性。

不确定性可分为非结构不确定性和结构不确定性这两大类。

前者用于表示那些结构不明确的不确定性，后者用于表示那些整个控制对象和不确定性之间相互关系的结构是非常明确的不确定性。

采用某些典型的非结构不确定性来描述不确定性系统，不仅是控制系统设计的需要，而且可以较容易地作出一些精确的结论。

下面以加法和乘法的不确定性为对象进行讨论。

我们把实际控制对象的传递函数P A(S)与公称模型的传递函数P(s)之差
：(s) =P A(S) -P(s) (2-1)为不确定性。

一个实际控制对象的加法不确定性传递函数模型可以描述为
P A(S^P(S) (S) (2-2)在乘法不确定性的描述中，我们把实际控制对象的传递函数P A(S)与公称模型
的传数P(S)之相对差
(S) =[P A(S)-P(S)]P^(S) (2-3)描述为不确定性。

一个实际控制对象的乘法不确定性传递函数模型可以描述为
P A(S)珂I ：(S)]P(S) (2-4)
为了确定这个非结构化的集合，我们必须限定 厶(S )的大小，其表达式为
则(2.1.3)和(2.1.4)分别变为
P A (S ) = P(s) W(s). (s)
P A (S ) =[l W(S )：(S )]P(S )
其中加权函数W(s)表示不确定性依赖于频率3的程度 2.2系统的结构不确定性
结构不确定性是指描述动态特性的方程式具有已知的形式，即模型的结构是 已知的；但方程式中具有不确定的系数，即模型参数的值是不确定的。

先考虑下面由状态空间模型描述的线性时变系统
x 二 A[R(t)]x(t) B[s(t)]u(t)
(2-8) y(t) = cx(t)
其中x(t)是状态，u(t)是控制输入，y(t)是输出，r(t)和s(t)分别是个系数矩阵不 确定性的参数向量。

我们用实际的系数矩阵与系数矩阵的公称值之差表示系数矩阵的不确定性， 即
A[r(t)] = A[r(t)] - A (2-9)
(2-10)
其中A 和B 分别为各系数矩阵的公称值，
A[r(t)]和=B[s(t)]分别是有界时变
的不确定性的值。

输出反馈的鲁棒性问题一般考虑的是非结构不确定性，比如加性不确定性、 乘性不确定性和互质因子不确定性。

2.3线性矩阵不等式
在时域中研究参数不确定系统的鲁棒分析和综合问题的主要理论是
Lyapu nov 稳定性理论，许多控制问题可以转化成为一个线性矩阵不等式系统的可行性问题， 或者是一个具有线性矩阵不等式约束的凸优化问题。

由于有了求解凸优化问题的(2-5)
(2-6) (2-7)
内点法，使得这些问题可以得到有效的解决。

1995年，MATLAB 推出了求解线性 矩阵不等式问题的LMI 工具箱，从而使得人们能够更加方便和有效地来处理、求 解线性矩阵不等式系统，进一步推动了线性矩阵不等式方法在系统和控制领域中 的应用。

线性矩阵不等式(LMI)具有如下形式
F(x)二 F o xF X m F m ：： 0
( 2-11)
其中：X-X 2,…X m 是m 个实数变量，称为是线性矩阵不等式(2-11)的决策变量, x 二区必,…x m 厂 R m 是由决策变量构成的向量，称为决策向量。

F j 二F 「R mn ，
i =0,1，…，m 是一组给定的实对称矩阵。

式(2-11)中的不等号指的是矩阵F(x)是 负定的，即对所有非零的向量v R n ， V T F(X )V ：：：0或F (x)的最大特征值小于零 所有满足线性矩阵不等式(2-11)的x 的全体构成一个凸集。

显然，多个LMI 可用一个LMIs 表示，即
R(x) ：： 0, F 2(x) ：： 0, F m (x) ：： 0
等价于
对二次非线性矩阵不等式，通过Schur 补引理可以转化为LMI ，从而推广LMI
在控制理论研究中的应用范围，其基本思想是：若 Q(x) =Q T (x),R(x)二R T (X ),则 R(x) 0,Q(x)-S(X )R 」(X )S T (X ) 0等价于
:Q(x) S(x)l I T 1>0
：S T (x) R(xL
在控制、辨识和信号处理等领域中，许多问题都可以转化成用线性矩阵不等 式来描述的优化问题。

这里介绍三类标准的线性矩阵不等式问题及其求解：一是 可行性问题(LMIP )；二是特征值问题(EVP )；三是广义特征值问题(GEVP )。

在 MATLAB 软件的线性矩阵不等式工具箱(LMI TOOLBOX)中给出了这三类问题的 求解器。

控制系统中的一些性能指标、稳定性判据可以转化为
LMI 的这三类标准 问题，其原因是由于一方面 Lyapunov 方法易得到凸的或拟凸的条件，另一方面
LMI 本身能表示范围广泛的不同类凸约束。

>1(X)
F 2(X )
<0 F m (x)
(2-12)
求解线性矩阵不等式问题的算法主要有椭球法和内点法及其它的数值解法， 其中内点法的优点很明显，它不需要给出迭代的初始可行解且能够求解拟凸问题。

MATLAB 软件开发出功能强大的LMI 工具箱的算法就是基于内点法，它提供了与 上述相对应的三类标准的线性矩阵不等式问题求解函数： feasp, min ex, gevp 。

对应三类标准的线性矩阵不等式问题的函数求解器简单介绍如下：
(1) feasp 函数(可行性问题LMIP )
对于如下的线性矩阵不等式：
A(x) ：： B(x) ，I
(2-13)
feasp 函数将在上面的约束下搜索决策变量 x ，使得满足上式的入最小化，显然, 如果':: 0则线性矩阵不等式A(x) ::: B(x)有解，且对应的x 即为一组可行解。

(2) min ex 函数(特征值问题EVP )
该问题是在一个线性矩阵不等式约束下，求矩阵
F (x)的最大特征值的最小化 问题或确定问题的约束是不可行的。

它的一般形式是:
min ■ (2-14)
这样一个问题也可以转化成以下的一个等价问题:
.T m i e x
s.t.F(x) ：：0
其中e 为决策系数，x 为决策变量
(3) gexp 函数(广义特征值问题 GEXP )
求解如下的广义特征值最小化问题：
m i n
G(xK z F(x)
s.t3 F(X )A O .H(X )£O
gevp 函数在以上约束有解时给出入的最小值 在线性矩阵不等式使用之前，许多控制问题是用Rieeati 不等式方法来解决的, 而Rieeati 不等式的求解带有一定的保守性。

Rieeati 不等式是二次矩阵不等式，所 以将二次矩阵不等式转化成线性矩阵不等式具有必要的意义，在此转化过程中， (2-15) (2-16)
矩阵的Schur补引理起着决定性的作用。

下面给出Schur引理的具体描述。

引理2.2.1 (Schur补引理)假设对称矩阵F(x)・ R n*n，并且F(x)可以进行以下分块
~F n(x) F12(X)[
F(x) = ( 2-17)
[F21(X)F22(X]
其中Fn(x)是r*r维的，假定Fn (x)是非奇异，则Fn(x) - F2i(x)F『(x)F i2(x)称为
是F^x)在F (x)中的Schur补，那么以下三结论等价:
(1) F (x) :：: 0;
T i
(2)F ii(x)：：： 0,F22(X) -F i2(x)F ii (x)F i2(x)：：0；
(3)F22 (x) ：： 0, Fn(x) - F12 (X)F2；(X)F； (x) ：： 0.
上述结论中的所有不等式都是严格不等式，如果遇有非严格的不等式，则用到下列推广了的Schur补引理：
引理2.2.2假设对称矩阵F(x) R nn，并且F(x)可以进行以下分块
_F ii(x) F i2(x)1
F(xH 1( 2-18)
T2l(x) F22(X)」
分块定义同引理2.2.1,则F乞0等价于下述三个约束条件：
(1)Fn(x) ： 0;
(2)F22(x) -F i；(x)F i「(x)F i2(x)乞0；(2-19)
(3)F iT(x)(l -F ii(x)F i「(x)) =0.
注意到引理2.2.1的(2)式和(3)式中的第二个不等式以及(2-19)式后两个不等式均为非线性矩阵不等式，因此以上的等价关系说明了应用矩阵的Schur补性质，一些非线性矩阵不等式可以转化成线性矩阵不等式。

从而利用现有的软件MATLAB 中的LMI工具箱可以直接对问题求解。

2.4 Lyapunov稳定性理论
稳定性是控制系统应具备的最重要的特性，在设计控制系统时，首先要考虑
它的稳定性。

本节我们将给出以状态空间描述的动态系统在Ly apu nov意义下的稳
定性的概念，定义及主要判据。

考虑如下非线性微分方程描述的动态系统
x(t)二f(t,x(t)), x(t o) = X o,t — t o (2-20)该系统称为自由系统(无外输入作用)。

其中R n为状态向量，f (t,x)为关于t分段连续且满足Lipschitz条件的n维向量函数。

即存在常数K 0，使得对任意XiX R n，有
f (t,xj —f(t,X2)| £K|X1 —X2I (2-21)可以证明，在上述条件下，式(2-20)中的微分方程在任意初始条件x(t o)=x°下，在任意区间t o,t[t _to上有唯一解
x(t) =X(t,X o,t o),t — t o
对于微分方程(2-20)，如果存在x^ R n，使得
X c = f (t,X c) =0,—t —t o
则x c为方程(2-20)的定常解，称为系统或微分方程(2-20)的平衡点。

定义2.3.1如果对任意给定的；• 0 ,存在:(t o, 0 0，使得对于任意满足
X。

一血—(t o,；)
的初始条件X o，方程(2-20)的解(2-21)满足
X(t,X o；t o) -Xc| ：,-上_to
则称平衡点X c是稳定的，如果X c =0，贝U称原点是稳定的。

定义2.3.2如果平衡点心=0是稳定的，且
lim x(t;X c,t o) =0
则称平衡点x c= 0是渐近稳定的
定义2.3.3如果X c =0是渐近稳定的，且存在正数〉• 0和• • 0，使得
x(t;xo,to)| _t
成立，则称X c = 0是指数稳定的。

定义234如果从系统(2-20)的任一有限非零初始状态X o出发的轨迹
X(t；X o,t o)都是有界的，且成立
!|x(t；X o,t o) -o (2-22)
则称平衡点竝是全局(大范围)渐近稳定的。

由定义判断系统的稳定性，需要解系统的状态变量。

下面讨论的Lyapu nov第二方法不需要求出状态方程的解而直接判断解的稳定性，因而又称为直接法。

下面讨论线性定常系统的稳定性条件，即方程(2-20)可以表示为
x(t)二f(x(t)), f(o)"
定义235如果存在标量函数V(x) .o对x可微，沿方程解轨迹的导数连续，
且满足
-V(x(t)H^V)T f(x(t))岂0,-t
其中
则称V (x(t))是方程(2-22)平衡点x c= 0的Lyapunov函数。

引理2.3.1设U R n为原点x = 0的一个邻域。

连续的实函数V(x)对任意的x • U为正定的充分必要条件为存在满足如下条件的严格单调增函数〉(•)和':()，
(1)： (0)o(0)=0;
(2)：(x) W(x)乞'(X).
定理2.3.1对于定常系统(2-20)，如果在平衡点x c=0的邻域U内，存在Lyapunov函数V(x)，则平衡点x c= 0是稳定的。

定理2.3.2对于定常系统(2-20)，如果在平衡点X c =0邻域U内，存在Lyapunov
函数V(x)，且满足
dt V(x(吨〕f(x(t)^-W(x(t))
其中W(x) 0，贝U系统(2-20)是渐近稳定的
定理233对于定常系统，如果在平衡点X c二0的领域内，存在Lyapunov函数
V(x)，且满足
2 2
(1)丫肿<V(x KL|x
d 2 —
(2)一V(x(t))兰—円x| U dt
其中! 0, 2 0^ 0为给定常数，则该系统是指数稳定的。

以上定理给出了非线性定常系统稳定性的充分条件。

对于线性定常系统
x(t)二Ax(t) (2-23)其中A R n n为定常矩阵。

如果取二次型
V (x)二x T (t) Px(t) ( P 是对称阵)
作为式(2-23)的Lyapunov函数，那么，沿解轨迹有
d- -x(t)Px(t) x T(t)Px(t) =x T(t)(A T P PA)x(t)
dt
记
A T P PA = -Q (2-24)
显然Q也是对称阵。

方程(2-24)称为Lyapunov方程。

那么，由式(2-24)，式(2-23)
可化为
dV - -x T(t)Qx(t) ：： 0 (对任意x = 0 ) dt 因而，由定义
有如下定理。

-J\ /
2.3.5，V = x T Px可作为Lyapunov函数。

并且：：：0，于是，
我们
dt
定理2.3.4系统(2-23)是渐近稳定的充分必要条件是，对某个已给的对称正定阵Q，矩阵方程(2-24)有惟一解P，且P也是正定的。

如果令
丫1 =扎min (P), 丫2 =九max(P),卩=九min (Q)
显然有
2 2
V 兰V(x)兰Y2 X|W x E R n
V(x)玄—耳R n
因此，对于线性定常系统来说，如果是渐近稳定的话，则一定是全局指数稳定考虑具有不确定参数的系统
(2-25)其中：R n是系统的状态向量，A(、：)是实值参数向量：二、i,、：2,…• R k的函数。

假定不确定参数：在一个给定的集合中取值，则要研究的问题是：给出系统(2-23)的鲁棒稳定性条件，即在该条件下，对所有不确定参数「厶，系统(2-23)都是渐近稳定的。

根据不确定参数「•是定常的还是时变的，在时变的情况下是慢时变还是快时变的等不同情况，系统(2-25)的鲁棒稳定性问题具有不同的处理方法。

当不确定参数「•是未知的时变函数时，系统(2-25)就是一个时变系统，研究时变系统稳定性问题的一种有效方法就是应用Lyapunov稳定性理论。

第3章输出反馈控制器设计
3.1不确定时滞系统的静态输出反馈控制器设计
由于系统的状态经常不易测量，有些情况下甚至不可能测量，而输出反馈的实现则非常简单而且经济，因此，输出反馈镇定问题一直是控制理论和应用研究中的一个重要问题。

本节研究不确定线性时滞系统的静态输出反馈鲁棒镇定问题。

3.1.1系统状态方程
考虑如下形式的线性不确定时滞系统
x(t)二[A . A(t)]x(t) Bu(t) [A l ：A(t)]x(t -d) (3-1)
I y(t)=Cx(t)
其中：x(t) • R n,是系统的状态，u(t)・R m是控制输入，A，B，A是描述名义系统模型的已知实数矩阵，d是时滞参数。

是反映系统模型中参数不确定性的未知实矩阵，假定其是范数有界的，且满足以下形式：
lM(t) A A(t)】=E E (0片1 F2 ]
其中为适维常数矩阵，工(t)为未知的Lebesgue可测矩阵函数，且满足
' T(t)' (t)乞I
我们选择如下静态输出反馈控制规律：
u(tHFy(t) (3-2)在输出反馈控制律(3-2)的作用下得到闭环系统(3-3):
x(t) = [A BFC ：A(t)]x(t) [A1 ：A(t)]x(t _d) (3-3)
3.1.2控制器设计
定理3.1.1对系统(3-1)，如果存在正定对称矩阵X>O,Y和& >0满足如下线性矩阵不等式，则系统(3-1)是二次稳定的。

证明：定义如下Lyapunov 函数
T
t T
V(x(t),t)=x Px +[』x (t)Qx(t)di
式(3-5)两边分别对t 求导，有下式成立:
V =X T (A T P PA PBFC C T F T B T P )X x T PA ,x(t —d) x T (t —d)A ：Px x T Qx
x T P Ax X T ：A T P X x T P. Ax(t -d) x T (t -d) A T Px- x T (t -d)Qx(t - d) P A ：A T P 二 PE' F , (E 、F)T P _ ；，PEE T P ；F T ,F , x T P A(x 4 )d T x -t ) d T A Px 、x PE( F )x t T d -^( t 2 d T )E F P x
T -1
T
T
< x ； PEEPx x (t —d) ；F 2 F 2X (t —d)
则
V Z X T [(A BFC)T P P(A BFC) ；4pEE T P
F J F , Q ~PEE T P]X
x T PAx(t —d) x T (t -d)A T Px x T (t —d)( ；F 2T F 2 —Q)x(t —d)
__ x(t) 1]A +BFC)T P +P(A +BFC)+2g 丄PEE T P+Q+gF^F ,
PA 〔 x(t) 1
l x (t -d ).|L
A T P
；F 2F 2-Q . IL x (t -d )
上式两边分别左乘、右乘diag(P‘,l),且令X 二P ，，则上式可等价为
；X(A + BFC)T +(A + BFC)X +^J EE^£XF 1T FX<^XQX
A ~\
.
A T
吓^2—Q 一 其中
BFCX XC T F T B T 乞斗BFF T B T ；XC T CX
令丫二FF T ,则式(3-6)等价为
「XA T + AX
A E XF ,T
X A T
sF 2r F 2 -Q
0 0 0 E T
0 --s l 2 0 0 | F ,X
0 0 -Z A \ 0
X
0 0 0 -Q A
B T
0 0 0 0 CX
0 0 0 0 ■. 0 F 2
B X
C T 0 I
0 0 F 2T
0 0 0
0 0 0 <0
(3-4 )
0 0
Y Y ，
0 0
- 0
(3-5)
(3-6)
0 0
-； I
XA T AX 2〜EE T ;XF I T FX I XQX ；」BYB T ；X T CCX A
] A T
名 F 2T F 2—Q 一
若令上式小于零，并应用Schur 补引理可得：
_XA T +AX
A 1
E X
F 1T X
B X
C T
0 1 A ：
ZF 2 F 2 - Q
0 0 0 0 F 2T
E T 0 1 -名1 2 0 0 0 0 0
F 1X 0 0 -z A I 0 0 0 0 <0
(3-7)
X 0 0 0 -Q J
0 0 B T 0 0 0 0 -sY-1 0 0
CX
0 0 0 0 0 Y’l 0
1
O
F 2
-汕
比较可知，线性矩阵不等式（3-7）与不等式（3-4）等价，因此，系统（3-1）是鲁棒二次 稳
定的。

3.1.3设计实例
E=[°3〔^ =【一0.1 -0.2], F 2 = 1-0.2 0.3】,Q = l 2,送(t) = sin(t) L-0.1J
利用MATLAB 的LMI TOOLBOX 可解得：
「0.5965 0.1081 「1.7761 0.3658] 二0.6294 0.7592] X = | ，丫 = | 严=1.6478,F = I
[0.1081 0.2433一 10.3658 1.6381 一 ： 0.9127 0.4706一 系统状态x 和输出y 的单位阶跃响应如下图所示：
；-2 1 1 ,A 二 =严
Vi o ；1 0.5] j ,B =
]o ’ [■0.3 -0.1 一 ]0.5 0.8 一
-0.1 0.5 考虑系统（3-1）具有如下的各矩阵参
A 二 ,C= 0.3 1-0.2
将上述基于LMI 理论的求解静态输出反馈控制器的方法的参数都可以通过求 解LMI 得到，减少了参数的人为确定给分析和综合结果带来的保守性。

并且仿真 结果表明由LMI 方法得到的控制律能保证闭环系统是鲁棒镇定的。

3.2具有控制时滞的不确定时滞系统静态输出反馈控制器设计
控制系统不仅在状态通道中含有时滞环节，在系统的控制通道中也含有时滞 环节，针对这种系统采用时滞独立输出反馈控制律，所得的闭环系统为多时滞系 统，利用状态反馈研究了这类系统的鲁棒控制问题。

3.2.1系统状态方程
考虑如下不确定时滞系统
』x(t) = Ax(t) + AA(t)x(t _d i ) +Bu(t) +a(t)Bu(t _d 2)
( 3$、
I
y(t) = Cx(t )
其中：x(tr R n ,u(t)・ R m ,y(tr C m 分别为系统的状态变量、控制变量和输出变量, 这里控制输人和输出具有相同的维数；
d i ,d 2分别为系统与控制通道中含有的未知
时滞常数；A 、B 、C 分别为具有适当维数的系统矩阵和控制矩阵。

系统可控、可 观，且B,C 非奇异，，A(t),〉(t)为未知不确定性。

假设3.1.1不确定性：A(t)/ (t)具有如下性质
：A(t) = DE(t)F
其中E(t) • R q p 未知，但存在已知常数'「0，使得条件
图3-1系统状态阶跃响应
图3-2系统输出阶跃响应。