高二数学基本不等式试题

高二数学基本不等式试题

1.下列结论中正确的是

A．的最小值为

B．的最小值为

C．的最小值为

D．当时，无最大值

【答案】B

【解析】使函数有意义，则，当且仅当，即

取到等号；对于可能小于0，对于当且仅当，即时取等号，但的

最大值为1，错；对于在上为增函数，因此有最大值.

【考点】基本不等式的应用.

2.下列各式中，最小值是2的是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】，当且仅当，即，取得最小值，故选择C，不选择A的原因是不满足是正数的条件，不选择B的原因是

中的等号不成立，不选择D的原因是该式没有最小值，所以运用均值不等式

求最值，一定要注意“一正、二定、三相等”是否都具备，缺一不可.

【考点】利用均值不等式求最值.

3.若直线始终平分圆的周长，则

的最小值为 ( )

A．1B．5C．D．

【答案】D

【解析】由题可知直线进过圆心，即有.为求，可以利用

前面的条件换掉,得,但考虑到不好求值，另寻它法.即将“1”.“2”换成,则有

,故选D.

【考点】巧用“1”和基本不等式证明不等式.

4.已知，且，则的最小值是_______.

【答案】9

【解析】∵a+b=ab，∴，∴，当且仅当时，“=”成立，∴最小值为9.

【考点】基本不等式求最值.

5.已知,若恒成立,则实数的取值范围

【答案】

【解析】由题，则，则

恒成立即

恒成立，则

【考点】基本不等式，恒成立问题

6.已知x，y，z均为正数．求证：．

【答案】不等式的证明可以考虑运用均值不等式法来得到。

【解析】证明：∵x，y，z都是为正数，∴． 4分

同理，可得，． 6分

将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得

． 8分

【考点】均值不等式

点评：主要是考查了均值不等式的求证不等式的运用，属于中档题。

7.已知，，，则的最小值为．

【答案】

【解析】因为，，，，

所以，=，当且仅当且时，的最小值为。

【考点】均值定理的应用

点评：简单题，应用均值定理，要注意“一正，二定，三相等”，缺一不可。

8.已知函数在时取得最小值,则__________.

【答案】36

【解析】根据题意，由于函数在时取得，即

时取得最小值故可知36，故答案为36.

【考点】函数的最值

点评：主要是考查了函数的最值的求解，属于基础题。

9.设均为正数，且，则的最小值为 .

【答案】

【解析】根据题意，由于均为正数，且，则可知

，那么利用均值不等式可知，的最

小值为，故答案为。

【考点】均值不等式

点评：主要是考查了均值不等式的求解最值的运用，属于基础题。

10.已知实数满足，，则c的最大值为______.

【答案】

【解析】因为，所以。将化为，再化为。所以，解得，所以c的最大值为。

【考点】基本不等式

点评：本题主要是应用基本不等式：，这个式子在求最值方面有很大作用。

11.交通管理部门为了优化某路段的交通状况，经过对该路段的长期观测发现：在交通繁忙的时

段内，该路段内汽车的车流量（千辆/时）与汽车的平均速度（千米/时）之间的函数关系为

①求在该路段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到

千辆/时）

②若要求在该时段内车流量超过千辆/时，则汽车的平均速度应限定在什么范围内？

【答案】①时，（千辆/时）②

【解析】解：①依题意，得=

当且仅当，即时，上式等号成立，

所以（千辆/时）

②由条件得，整理，得

即，解得

答：当千米/时时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时，如果要求在在该时段内车流

量超过千辆/时，则汽车的平均速度应大于千米/时且小于千米/时。

【考点】基本不等式；解一元二次不等式

点评：求式子的最值，方法可以结合二次函数、函数的导数、基本不等式和三角函数等。本题就

是结合基本不等式。

12.设，则有（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】根据题意，由于，那么根据均值不等式性质可知，，

故可知成立，而对于，当a=1,b=3不成立，排除A,当a=b=1, 选项C错误，选项D错误，

故选B.

【考点】均值不等式

点评：不等式的性质

13.设，则函数的最大值是__________

【答案】

【解析】根据题设，则函数，故可知等号成立的

条件是,故答案为。

【考点】均值不等式

点评：解决该试题的关键是根据已知的变量为正数，利用均值不等式的思想求解最值，属于基础题。

14.已知正数、满足，则的最小值是

【答案】

【解析】解：∵x＞0，y＞0，∴xy≤( )2，又x+y=xy，∴x+y≤()2，∴（x+y）2≥4（x+y），∴x+y≥4．故答案为：4

【考点】基本不等式

点评：本题考查基本不等式，利用基本不等式将已知条件转化为关于x+y的二次不等式是关键，

属于基础题．

15.若且则的最小值为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】∵，∴选C

【考点】本题考查了基本不等式的运用

点评：“1”的代换是解决此类问题的常用方法

16.函数y＝x＋＋5(x＞1)的最小值为（）

A．5B．6C．7D．8

【答案】D

【解析】当且仅当即

时等号成立，取得最小值8

【考点】均值不等式求最值

点评：均值不等式求最值注意验证等号成立条件是否满足

17.若，则的最小值是（）

A．B．C．2D．3

【答案】D

【解析】因为，则，当且仅当

取得等号，故表达式的最小值为3，选D.

【考点】本题主要考查均值不等式的求解最值的运用。

点评：解决该试题的关键是能根据题目中a的范围，构造一正二定三相等的特点来得到函数表达