高考数学 分类题库考点42 抛物线（2021年）理

考点42 抛物线

一、选择题

1.（2021·山东高考文科·Ｔ11）已知双曲线1C ：22

221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为 2.假设抛物线22:2(0)C x py p =>的核心到双曲线1C 的渐近线的距离为2，那么抛物线2C 的方程为（ ） (A)

2833x y =

(B)2163

3x y = (C)28x y = (D)2

16x y =

【解题指南】此题关键利用离心率求出渐近线方程，而抛物线核心到两条渐近线的距离相等，再利用点到直线的距离公式求出p.

【解析】选D.因为双曲线1C ：22

221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，因此2==a c e ， 因此c=2a ，因此()2

2

2

2

2a b a c =+=，a b 3=，双曲线的渐近线为

x

a b y ±=， 即x y 3=.抛物线2

2:2(0)C x py p =>的核心⎪⎭⎫

⎝⎛2,0p 到双曲线1C 的渐近线x y 3=的距离为：

因此p=8, 因此抛物线2C 的方程为

2

16x y =.

二、填空题

2.（2021·陕西高考文科·Ｔ14）与（2021·陕西高考理科·Ｔ13）相同 如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1

米后，水面宽 米.

【解题指南】成立平面直角坐标系，求出抛物线方程，依照方程求解. 【解析】成立适当的坐标系，如下图，设抛物线方程为

22x py

=-（0p >），那么点（2，-2）在此抛物线上 代

入可求出抛物线的方程是22x y =-，当3y =-时，2

2(3)6x =-⨯-=，因此6x =26.

【答案】26

3.（2021·北京高考理科·Ｔ12）在直角坐标系xOy 中.直线l 过抛物线y 2=4x 的核心F.且与该抛物线相交于A ，B 两点.其中点A 在x 轴上方.假设直线l 的倾斜角为60º.那么△OAF 的面积为 . 【解题指南】写出直线l 的方程，再与抛物线方程联立，解出A 点坐标，再求面积.

【解析】抛物线

2

4y x =的核心(1,0)F ，直线:3(1)l y x =-.由解得(3,23)A ，

12(,3)33B -.因此1

12332OAF S ∆=⨯⨯=.

【答案】3

4.（2021·天津高考文科·Ｔ11）已知双曲线

2

2

12

2

:1(0,0)

x y C a b a b 与双曲线2

2

2:1

416

x y C 有相同

的渐近线，且

1C 的右核心为5F （，0），那么

_______

_________

,a b

.

【解题指南】依照双曲线的几何性质列式求解.

【解析】由题意可得22b 4

a 2a

b 5⎧=

⎪⎨⎪+=⎩

，解得1,2a b .

【答案】1 2 三、解答题

5.（2021·江西高考理科·Ｔ20）已知三点O （0,0），A （-2,1），B （2,1），曲线C 上任意一点M （x ，y ）知足||()2MA MB OM OA OB +=⋅++. （1） 求曲线C 的方程.

（2）动点Q （x 0，y 0）（-2＜x 0＜2）在曲线C 上，曲线C 在点Q 处的切线为l .问：是不是存在定点P （0，t ）（t ＜0），使得l 与PA ，PB 都相交，交点别离为D,E ，且△QAB 与△PDE 的面积之比是常数？假设存在，求t 的值.假设不存在，说明理由.

【解题指南】（1）将各点坐标代入||()2MA MB OM OA OB +=⋅++.，化简整理即得曲线C 的方程；（2）依照题目中的已知条件用t 表示出

QAB PDE

S S ∆∆，探求当

QAB PDE

S S ∆∆之比为常数时，t

所知足的等式条件，依照条件成立方程或方程组，求得t 的值. 【解析】（1）由()()2,1,2,1MA x y MB x y =---=--，

()()

()

()()22

222,,0,22MA MB x y OM OA OB x y y +=

-+-⋅+=⋅=，

由已知得

()()

2

2

22222x y y -+-=+，

化简得曲线C 的方程：2

4x y =. (2)假设存在点()()0,0P t t <知足条件， 那么直线PA 的方程是1,2t y x t PB -=

+的方程是1.2

t

y x t -=+ 曲线C 在Q 处的切线l 的方程是00

,24x x y x =-它与y 轴的交点为200,4⎛⎫- ⎪⎝⎭

x F .

由于022x -<<，因此0

112

x -<

<. ① 当10t -<<时，11

122t --<<-，存在()02,2x ∈-，使得0122x t -=

， ② 当1t ≤-时，001

11,12222--≤-<≥>x x t t ，因此l 与直线PA ，PB 必然相交，

别离联立方程组2001224-⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩t y x t x x y x ，，2

0012

24

-⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩t y x t x x y x ，，解得D ，E 的横坐标别离是 ()()22000044,2+12+1D E x t x t

x x x t x t ++==--，那么()()

2022

041,1E D x t x x t x t +-=--- 又2

04x FP t =-

-，有()

()2

2

22

0411281PDE E D x

t t S FP x x t x ∆+-⋅⋅-=⋅--＝， 又220041

41242

QAB

x x S ∆⎛⎫-=⋅⋅-= ⎪⎝⎭， 于是

()()()

2

2

20

02

20414

14QAB PDE

x

x t S S t

x t ∆∆⎡⎤

---⎣⎦=⋅-+

()()224200

422

00414141816⎡⎤-+-+-⎣⎦=

-++x t x t t x tx t .