专题训练： 相似三角形的五种基本模型

专题训练 相似三角形的五种基本模型

模型一 “A ”字型

1．2016·黔西南州如图3－ZT －1，在△ABC 中，点D 在AB 上，BD ＝2AD ，DE ∥BC 交AC 于点E ，则下列结论不正确的是( )

A ．BC ＝3DE

B .

BD AB ＝CE

AC

C . △ADE ∽△ABC

D . S △AD

E ＝1

3

S △ABC

2．如图3－ZT －2，在△ABC 中，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作ED ∥BC 交AB 于点D .

(1)求证：AE ·BC ＝BD ·AC ；

(2)如果S △ADE ＝3，S △BDE ＝2，DE ＝6，求BC 的长．

模型二“X”字型

3．如图3－ZT－3，在▱ABCD中，E，F分别是AD，CD边上的点，连接BE，AF，他们相交于点G，延长BE交CD的延长线于点H，则图中的相似三角形共有()

A．2对B.3对C.4对D.5对

4．如图3－ZT－4，已知AC∥BD，AB和CD相交于点E，AC＝6，BD＝4，F是BC上一点，S△BEF∶S△EFC＝2∶3.

(1)求EF的长；

(2)如果△BEF的面积为4，求△ABC的面积．

模型三母子型

4．如图3－ZT－5，在△ABC中，点D，E分别在边AC，BC上，下列条件中不能判断△CAB∽△CED的是()

图3－ZT－5

A．∠CDE＝∠B B. ∠CED＝∠A

C. CD

CE＝

CB

CA

D.

CD

CA＝

CE

AB

6．如图3－ZT－6，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．

(1)求证：△ADC∽△ACB；

(2)若AC＝4，BC＝3，求AD的长．

7．如图3－ZT－7，F，E分别是AB，AC上的点，连接FE并延长交BC的延长线于点D.已知AE·CE＝EF·ED.找出图中所有相似的三角形，并证明．

模型四一线三等角型

8．如图3－ZT－8，已知等边三角形ABC的边长为6，D是BC边上的动点，∠EDF＝60°.

(1)求证：△BDE∽△CFD；

(2)当BD＝1，CF＝3时，求BE的长．

9．(1)尝试：如图3－ZT－9①，已知A，E，B三点在同一条直线上，且∠A＝∠B＝∠DEC ＝90°，求证：△ADE∽△BEC.

(2)一位同学在尝试了上题后还发现：如图3－ZT－9②③，只要A，E，B三点在同一条直线上，且∠A＝∠B＝∠DEC，那么(1)中的结论总成立．你认为他的发现正确吗？若正确请加以证明；若不正确，请说明理由．

模型五旋转型

10．如图3－ZT－10所示，在△ABC和△AED中，AB·AD＝AC·AE，∠CAE＝∠BAD，S△ADE＝4S△ABC.

求证：DE＝2BC.

教师详解详析

1．D

2．解：(1)证明：∵BE 平分∠ABC ， ∴∠ABE ＝∠CBE . ∵ED ∥BC ， ∴∠DEB ＝∠CBE ， ∴∠ABE ＝∠DEB ， ∴BD ＝ED . ∵ED ∥BC ，

∴∠AED ＝∠C ，∠ADE ＝∠ABC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴

AE AC ＝ED BC ， ∴

AE AC ＝BD BC

， ∴AE ·BC ＝BD ·AC . (2)∵

S △ADE S △BDE ＝AD BD ＝32

，∴AD AB ＝3

5.

由(1)知△ADE ∽△ABC ，∴ED BC ＝AD

AB

， 即

6BC ＝3

5

，∴BC ＝10. 3．C [解析] 有△AGB ∽△FGH ，△HED ∽△HBC ，△HED ∽△BEA ，△AEB ∽△CBH ，共4对．故选C.

4．解：(1)∵AC ∥BD ，∴CE DE ＝AC DB ＝64＝32

.

∵△BEF 和△EFC 同高，且S △BEF ∶S △EFC ＝2∶3，∴CF BF ＝3

2

，

∴

CE DE ＝CF BF .又∠BCD ＝∠FCE ，∴△CEF ∽△CDB ，∴EF BD ＝CF BC ，∴EF 4＝35，∴EF ＝125

. (2)∵△CEF ∽△CDB ，∴∠CEF ＝∠D ， ∴EF ∥BD .∵AC ∥BD ，∴EF ∥AC ， ∴△BEF ∽△BAC ，∴S △BEF ∶S △ABC ＝(

BF BC )2.由(1)知BF CF ＝23，∴BF BC ＝2

5

. ∵S △BEF ＝4，∴4∶S △ABC ＝(2

5)2，∴S △ABC ＝25.

5．D

6．解：(1)证明：∵CD ⊥AB ， ∴∠ADC ＝∠ACB ＝90°. 又∵∠A ＝∠A ， ∴△ADC ∽△ACB .

(2)在Rt △ABC 中，AC ＝4，BC ＝3， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝5. ∵△ADC ∽△ACB ， ∴

AD AC ＝AC AB ，即AD 4＝45

， ∴AD ＝165

.

7．解：图中所有相似的三角形有△AEF ∽△DEC ，△ABC ∽△DBF . 证明如下：∵AE ·CE ＝EF ·ED ， ∴AE ∶ED ＝EF ∶CE . ∵∠AEF ＝∠DEC ， ∴△AEF ∽△DEC ， ∴∠A ＝∠D . 又∵∠B ＝∠B ，