复合函数求导公式运算法则

复合函数求导公式运算法则

1. 基本公式：如果函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数

y=f(g(x))也可导，且导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)。

2. 对数函数：对于自然对数函数y=ln(u)，其中u是一个关于自变

量x的函数，其导数为dy/dx=1/u·du/dx。

3. 幂函数：对于幂函数y=u^n，其中u是关于自变量x的函数，n是

常数，则其导数为dy/dx=n·u^(n-1)·du/dx。

4. 指数函数：对于指数函数y=a^u，其中a是常数，u是关于自变量

x的函数，其导数为dy/dx=a^u·ln(a)·du/dx。

5. 三角函数：对于三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。常见的三角函数包括正弦函数、余弦函

数和正切函数等。

6. 反三角函数：对于反三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的

函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。常见的反三角函数包括反正弦

函数、反余弦函数和反正切函数等。

7. 双曲函数：对于双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。常见的双曲函数包括双曲正弦函数、双

曲余弦函数和双曲正切函数等。

8. 反双曲函数：对于反双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的

函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。常见的反双曲函数包括反双曲

正弦函数、反双曲余弦函数和反双曲正切函数等。

下面通过实际例子来说明复合函数求导公式的运算法则。

例子1：求函数y=(2x+1)^3的导数。

解：将y看作是外层函数f(u)=u^3，其中u=2x+1、根据链式法则，

导数dy/dx=f'(u)·u'(x)。

对于f(u)=u^3，其导数为f'(u)=3u^2

对于u=2x+1，其导数为u'=2

将以上结果代入导数公式，得到dy/dx=3(2x+1)^2·2=6(2x+1)^2

例子2：求函数y=sin(2x+1)的导数。

解：将y看作是外层函数f(u)=sin(u)，其中u=2x+1、根据链式法则，导数dy/dx=f'(u)·u'(x)。

对于f(u)=sin(u)，其导数为f'(u)=cos(u)。

对于u=2x+1，其导数为u'=2

将以上结果代入导数公式，得到dy/dx=c os(2x+1)·2=2cos(2x+1)。