南通市、泰州市2017届数学一模(含参考答案)

2017年江苏省南通市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．函数的最小正周期为．2．设集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，则A∪B=．3．复数z=（1+2i）2，其中i为虚数单位，则z的实部为．4．口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为．5．如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为．6．若实数x，y满足则z=3x+2y的最大值为．7．抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为．8．如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3cm，AA1=1cm，则三棱锥D1﹣A1BD的体积为cm3．9．在平面直角坐标系xOy中，直线2x+y=0为双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线，则该双曲线的离心率为．10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为升．11．在△ABC中，若•+2•=•，则的值为．12．已知两曲线f（x）=2sinx，g（x）=acosx，相交于点P．若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数a的值为．13．已知函数f（x）=|x|+|x﹣4|，则不等式f（x2+2）＞f（x）的解集用区间表示为．14．在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A（1，1），且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A．以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB=．（1）求cosβ的值；（2）若点A的横坐标为，求点B的坐标．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，PA⊥PD．求证：（1）直线PA∥平面BDE；（2）平面BDE⊥平面PCD．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线于点Q，求的值．18．如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪．已知点F为AD的中点，点E 在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P），再沿直线PE裁剪．（1）当∠EFP=时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；（2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．19．已知函数f（x）=ax2﹣x﹣lnx，a∈R．（1）当时，求函数f（x）的最小值；（2）若﹣1≤a≤0，证明：函数f（x）有且只有一个零点；（3）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．20．已知等差数列{a n}的公差d不为0，且，，…，，…（k1＜k2＜…＜k n＜…）成等比数列，公比为q．（1）若k1=1，k2=3，k3=8，求的值；（2）当为何值时，数列{k n}为等比数列；（3）若数列{k n}为等比数列，且对于任意n∈N*，不等式恒成立，求a1的取值范围．南通市2017届高三第一次调研测试数学Ⅱ（附加题）[选做题本题包括四小题，请选2题作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]21．已知圆O的直径AB=4，C为AO的中点，弦DE过点C且满足CE=2CD，求△OCE的面积．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知向量是矩阵A的属于特征值﹣1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy中，点P（1，1）在矩阵A对应的变换作用下变为P'（3，3），求矩阵A．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，求直线被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]24．求函数的最大值．[必做题]共2小题，满分20分）25．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQ=λBB1（λ≠0）．（1）若，求AP与AQ所成角的余弦值；（2）若直线AA1与平面APQ所成的角为45°，求实数λ的值．26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x2=2py（p＞0）上的点M（m，1）到焦点F的距离为2，（1）求抛物线的方程；（2）如图，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P，直线PF与抛物线相交于A，B两点，求△EAB面积的最小值．2017年江苏省南通市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．函数的最小正周期为．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期等于，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期为，故答案为：．2．设集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，则A∪B={1，3，5} ．【考点】并集及其运算．【分析】由交集的定义，可得a+2=3，解得a，再由并集的定义，注意集合中元素的互异性，即可得到所求．【解答】解：集合A={1，3}，B={a+2，5}，A∩B={3}，可得a+2=3，解得a=1，即B={3，5}，则A∪B={1，3，5}．故答案为：{1，3，5}．3．复数z=（1+2i）2，其中i为虚数单位，则z的实部为﹣3．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．【解答】解：∵z=（1+2i）2=1+4i+（2i）2=﹣3+4i，∴z的实部为﹣3．故答案为：﹣3．4．口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球．摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为0.17．【考点】概率的基本性质．【分析】利用对立事件的概率公式，可得结论．【解答】解：∵摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，∴摸出蓝球的概率为1﹣0.48﹣0.35=0.17．故答案为0.17．5．如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为5．【考点】程序框图．【分析】由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a值，并输出满足a＜16的最大n 值，模拟程序的运行过程可得答案．【解答】解：当n=1，a=1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=5，n=3；满足进行循环的条件，执行循环后，a=17，n=5；满足进行循环的条件，退出循环故输出n值为5故答案为：5．6．若实数x，y满足则z=3x+2y的最大值为7．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=3x+2y得y=﹣x+z平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（1，2），代入目标函数z=3x+2y得z=3×1+2×2=7．即目标函数z=3x+2y的最大值为7．故答案为：7．7．抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下：则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为20．【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据题意，分别求出甲、乙的平均数与方差，比较可得S甲2＞S乙2，则乙的成绩较为稳定；即可得答案．【解答】解：根据题意，对于甲，其平均数甲==75，其方差S甲2= [（65﹣75）2+（80﹣75）2+（70﹣75）2+（85﹣75）2+（75﹣75）2]=50；对于乙，其平均数乙==75，其方差S乙2= [（80﹣75）2+（70﹣75）2+（75﹣75）2+（80﹣75）2+（70﹣75）2]=20；比较可得：S 甲2＞S 乙2，则乙的成绩较为稳定； 故答案为：20．8．如图，在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=3cm ，AA 1=1cm ，则三棱锥D 1﹣A 1BD 的体积为cm 3．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥D 1﹣A 1BD 的体积==，由此能求出结果．【解答】解：∵在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=3cm ，AA 1=1cm ， ∴三棱锥D 1﹣A 1BD 的体积：=====（cm 3）．故答案为：．9．在平面直角坐标系xOy 中，直线2x +y=0为双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线，则该双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线方程得到a ，b 关系，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：直线2x +y=0为双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线，可得b=2a ，即c 2﹣a 2=4a 2，可得=．故答案为：．10．《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为升．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设最上面一节的容积为a1，利用等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，能求出结果．【解答】解：设最上面一节的容积为a1，由题设知，解得．故答案为：．11．在△ABC中，若•+2•=•，则的值为．【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理．【分析】根据题意，利用平面向量的数量积，结合余弦定理和正弦定理，即可求出的值．【解答】解：在△ABC中，设三条边分别为a、b，c，三角分别为A、B、C，由•+2•=•，得ac•cosB+2bc•cosA=ba•cosC，由余弦定理得：（a2+c2﹣b2）+（b2+c2﹣a2）=（b2+a2﹣c2），化简得=2，∴=，由正弦定理得==．故答案为：．12．已知两曲线f（x）=2sinx，g（x）=acosx，相交于点P．若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数a的值为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】联立两曲线方程，可得tanx==，a＞0，设交点P（m，n），分别求出f（x），g（x）的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，再由同角基本关系式，化弦为切，解方程即可得到a的值．【解答】解：由f（x）=g（x），即2sinx=acosx，即有tanx==，a＞0，设交点P（m，n），f（x）=2sinx的导数为f′（x）=2cosx，g（x）=acosx的导数为g′（x）=﹣asinx，由两曲线在点P处的切线互相垂直，可得2cosm•（﹣asinm）=﹣1，且tanm=，则=1，分子分母同除以cos2m，即有=1，即为a2=1+，解得a=．故答案为：．13．已知函数f（x）=|x|+|x﹣4|，则不等式f（x2+2）＞f（x）的解集用区间表示为．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】令g（x）=f（x2+2）﹣f（x）=x2+2+|x2﹣2|﹣|x|﹣|x﹣4|，通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可．【解答】解：令g（x）=f（x2+2）﹣f（x）=x2+2+|x2﹣2|﹣|x|﹣|x﹣4|，x≥4时，g（x）=2x2﹣2x+4＞0，解得：x≥4；≤x＜4时，g（x）=2x2﹣4＞0，解得：x＞或x＜﹣，故＜x＜4；0≤x＜时，g（x）=0＞0，不合题意；﹣≤x＜0时，g（x）=2x＞0，不合题意；x＜﹣时，g（x）=2x2+2x﹣4＞0，解得：x＞1或x＜﹣2，故x＜﹣2，故答案为：．14．在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A（1，1），且AB⊥AC，则线段BC的长的取值范围为[，] ．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】画出图形，当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值，求出BC坐标，即可求出|BC|的长的取值范围．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，已知B，C为圆x2+y2=4上两点，点A（1，1），且AB⊥AC，如图所示当BC⊥OA时，|BC|取得最小值或最大值．由，可得B（，1）或（，1），由，可得C（1，）或（1，﹣）解得BC min==，BC max==．故答案为：[，]．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A．以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB=．（1）求cosβ的值；（2）若点A的横坐标为，求点B的坐标．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】（1）由条件利用余弦定理，求得cosβ的值．（2）利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦、余弦公式，求得点B的坐标．【解答】解：（1）在△AOB中，由余弦定理得，AB2=OA2+OB2﹣2OA•OBcos∠AOB，所以，=，即．（2）因为，，∴．因为点A的横坐标为，由三角函数定义可得，，因为α为锐角，所以．所以，，即点．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP=OC，PA⊥PD．求证：（1）直线PA∥平面BDE；（2）平面BDE⊥平面PCD．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结OE，说明OE∥PA．然后证明PA∥平面BDE．（2）证明OE⊥PD．OE⊥PC．推出OE⊥平面PCD．然后证明平面BDE⊥平面PCD．【解答】证明：（1）连结OE，因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，所以O为AC中点．又因为E为PC的中点，所以OE∥PA．…4分又因为OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以直线PA∥平面BDE．…6分（2）因为OE∥PA，PA⊥PD，所以OE⊥PD．…8分因为OP=OC，E为PC的中点，所以OE⊥PC．…10分又因为PD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，PC∩PD=P，所以OE⊥平面PCD．…12分又因为OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD．…14分．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，焦点到相应准线的距离为1．（1）求椭圆的标准方程；（2）若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线于点Q，求的值．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由已知条件可得，，然后求解椭圆的方程．（2）由题意知OP的斜率存在．当OP的斜率为0时，求解结果；当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y=kx．联立方程组，推出．OQ2=2k2+2．然后求解即可．【解答】解：（1）由题意得，，，…2分解得，c=1，b=1．所以椭圆的方程为．…4分（2）由题意知OP的斜率存在．当OP的斜率为0时，，，所以．…6分当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y=kx．由得（2k2+1）x2=2，解得，所以，所以．…9分因为OP⊥OQ，所以直线OQ的方程为．由得，所以OQ2=2k2+2．…12分所以．综上，可知．…14分．18．如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪．已知点F为AD的中点，点E 在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P），再沿直线PE裁剪．（1）当∠EFP=时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；（2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）当∠EFP=时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=．可得FN⊥BC，四边形MNPE为矩形．即可得出．（2）解法一：设，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．可得，，．四边形MNPE面积为==，化简利用基本不等式的性质即可得出．解法二：设BE=tm ，3＜t ＜6，则ME=6﹣t ．可得PE=PF ，即．，NP=3﹣T +，四边形MNPE 面积为==，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）当∠EFP=时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=．所以∠FPE=．所以FN ⊥BC ，四边形MNPE 为矩形．…3分所以四边形MNPE 的面积S=PN•MN=2m 2．…5分 （2）解法一：设，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ．所以，，． …8分由得所以四边形MNPE 面积为====…12分．当且仅当，即时取“=”．…14分此时，（*）成立．答：当时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为m 2． …16分解法二：设BE=tm ，3＜t ＜6，则ME=6﹣t ．因为∠EFP=∠EFD=∠FEP ，所以PE=PF ，即．所以，．…8分由得所以四边形MNPE面积为==…12分=．当且仅当，即时取“=”．…14分此时，（*）成立．答：当点E距B点m时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为m2．…16分．19．已知函数f（x）=ax2﹣x﹣lnx，a∈R．（1）当时，求函数f（x）的最小值；（2）若﹣1≤a≤0，证明：函数f（x）有且只有一个零点；（3）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）当时，．求出函数的导数，得到极值点，然后判断单调性求解函数的最值．（2）由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得．当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点，当﹣1≤a≤0时，f（1）=a﹣1＜0，，推出结果．（3）由（2）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．说明a＞0，由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得，说明函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，+∞）上单调递增．要使得函数f（x）在（0，+∞）上有两个零点，只需要．通过函数h（x）=2lnx+x﹣1在（0，+∞）上是增函数，推出0＜a＜1．验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点．证明：lnx≤x﹣1．设t（x）=x﹣1﹣lnx，利用导数求解函数的最值即可．【解答】解：（1）当时，．所以，（x＞0）．…2分令f'（x）=0，得x=2，当x∈（0，2）时，f'（x）＜0；当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，所以函数f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．所以当x=2时，f（x）有最小值．…4分（2）由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得．所以当a≤0时，，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，所以当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．…6分因为当﹣1≤a≤0时，f（1）=a﹣1＜0，，所以当﹣1≤a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上有零点．综上，当﹣1≤a≤0时，函数f（x）有且只有一个零点．…8分（3）由（2）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．因为函数f（x）有两个零点，所以a＞0．…9分由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得，令g（x）=2ax2﹣x﹣1．因为g（0）=﹣1＜0，2a＞0，所以函数g（x）在（0，+∞）上只有一个零点，设为x0．当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，f'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，f'（x）＞0．所以函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，+∞）上单调递增．要使得函数f（x）在（0，+∞）上有两个零点，只需要函数f（x）的极小值f（x0）＜0，即．又因为，所以2lnx0+x0﹣1＞0，又因为函数h（x）=2lnx+x﹣1在（0，+∞）上是增函数，且h（1）=0，所以x0＞1，得．又由，得，所以0＜a＜1．…13分以下验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点．当0＜a＜1时，，所以．因为，且f（x0）＜0．所以函数f（x）在上有一个零点．又因为（因为lnx≤x﹣1），且f（x0）＜0．所以函数f（x）在上有一个零点．所以当0＜a＜1时，函数f（x）在内有两个零点．综上，实数a的取值范围为（0，1）．…16分下面证明：lnx≤x﹣1．设t（x）=x﹣1﹣lnx，所以，（x＞0）．令t'（x）=0，得x=1．当x∈（0，1）时，t'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，t'（x）＞0．所以函数t（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．所以当x=1时，t（x）有最小值t（1）=0．所以t（x）=x﹣1﹣lnx≥0，得lnx≤x﹣1成立．20．已知等差数列{a n}的公差d不为0，且，，…，，…（k1＜k2＜…＜k n＜…）成等比数列，公比为q．（1）若k1=1，k2=3，k3=8，求的值；（2）当为何值时，数列{k n}为等比数列；（3）若数列{k n}为等比数列，且对于任意n∈N*，不等式恒成立，求a1的取值范围．【考点】数列与不等式的综合；等比数列的性质．【分析】（1）由已知得：a1，a3，a8成等比数列，从而4d2=3a1d，由此能求出的值．（2）设数列{k n}为等比数列，则，推导出，从而，进而．由此得到当时，数列{k n}为等比数列．（3）由数列{k n}为等比数列，a1=d，．得到，恒成立，再证明对于任意的正实数ε（0＜ε＜1），总存在正整数n1，使得．要证，即证lnn1＜n1lnq+lnε．由此能求出a1的取值范围．【解答】解：（1）由已知可得：a1，a3，a8成等比数列，所以，…2分整理可得：4d2=3a1d．因为d≠0，所以．…4分（2）设数列{k n}为等比数列，则．又因为，，成等比数列，所以．整理，得．因为，所以a1（2k2﹣k1﹣k3）=d（2k2﹣k1﹣k3）．因为2k2≠k1+k3，所以a1=d，即．…6分当时，a n=a1+（n﹣1）d=nd，所以．又因为，所以．所以，数列{k n}为等比数列．综上，当时，数列{k n}为等比数列．…8分（3）因为数列{k n}为等比数列，由（2）知a1=d，．，a n=a1+（n﹣1）d=na1．因为对于任意n∈N*，不等式恒成立．所以不等式，即，恒成立．…10分下面证明：对于任意的正实数ε（0＜ε＜1），总存在正整数n1，使得．要证，即证lnn1＜n1lnq+lnε．因为，则，解不等式，即，可得，所以．不妨取，则当n1＞n0时，原式得证．所以，所以a1≥2，即得a1的取值范围是[2，+∞）．…16分南通市2017届高三第一次调研测试数学Ⅱ（附加题）[选做题本题包括四小题，请选2题作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]21．已知圆O的直径AB=4，C为AO的中点，弦DE过点C且满足CE=2CD，求△OCE的面积．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】由相交弦定理，得CD，DE中点H，则OH⊥DE，利用勾股定理求出OH，即可求出△OCE的面积．【解答】解：设CD=x，则CE=2x．因为CA=1，CB=3，由相交弦定理，得CA•CB=CD•CE，所以1×3=x•2x=2x2，所以．…2分取DE中点H，则OH⊥DE．因为，所以．…6分又因为，所以△OCE的面积．…10分．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知向量是矩阵A的属于特征值﹣1的一个特征向量．在平面直角坐标系xOy中，点P（1，1）在矩阵A对应的变换作用下变为P'（3，3），求矩阵A．【考点】特征值与特征向量的计算．【分析】设，根据矩阵变换，列方程组，即可求得a、b、c和d的值，求得A．【解答】解：设，因为向量是矩阵A的属于特征值﹣1的一个特征向量，所以．所以…4分因为点P（1，1）在矩阵A对应的变换作用下变为P'（3，3），所以．所以…8分解得a=1，b=2，c=2，d=1，所以．…10分．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，求直线被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】极坐标方程化为直角坐标方程，联立，求出A，B的坐标，即可求直线被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长．【解答】解：以极点O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．直线的直角坐标方程为y=x①，…3分曲线ρ=4sinθ的直角坐标方程为x2+y2﹣4y=0②．…6分由①②得或…8分所以A（0，0），B（2，2），所以直线被曲线ρ=4sinθ所截得的弦长AB=．…10分．[选修4-5：不等式选讲]24．求函数的最大值．【考点】柯西不等式在函数极值中的应用；三角函数的最值．【分析】利用二倍角公式化简函数的解析式，利用柯西不等式求解函数的最值即可．【解答】解：…2分由柯西不等式得，…8分所以y max=5，此时．所以函数的最大值为5．…10分．[必做题]共2小题，满分20分）25．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQ=λBB1（λ≠0）．（1）若，求AP与AQ所成角的余弦值；（2）若直线AA1与平面APQ所成的角为45°，求实数λ的值．【考点】直线与平面所成的角．【分析】（1）以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz．求出，，利用数量积求解AP与AQ所成角的余弦值．（2），．求出平面APQ的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】解：以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz．（1）因为，，所以=．所以AP与AQ所成角的余弦值为．…4分（2）由题意可知，，．设平面APQ的法向量为=（x，y，z），则即令z=﹣2，则x=2λ，y=2﹣λ．所以=（2λ，2﹣λ，﹣2）．…6分又因为直线AA1与平面APQ所成角为45°，所以|cos＜，＞|==，可得5λ2﹣4λ=0，又因为λ≠0，所以．…10分．26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线x2=2py（p＞0）上的点M（m，1）到焦点F的距离为2，（1）求抛物线的方程；（2）如图，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P，直线PF与抛物线相交于A，B两点，求△EAB面积的最小值．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；抛物线的标准方程；直线与抛物线的位置关系．【分析】（1）求出抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为，由抛物线定义，得到p=2，即可求解抛物线的方程．（2）求出函数的．设点，得到抛物线在点E处的切线方程为．求出．推出直线PF的方程，点到直线PF的距离，联立求出AB，表示出△EAB的面积，构造函数，通过函数的导数利用单调性求解最值即可．【解答】解：（1）抛物线x2=2py（p＞0）的准线方程为，因为M（m，1），由抛物线定义，知，所以，即p=2，所以抛物线的方程为x2=4y．…3分（2）因为，所以．设点，则抛物线在点E处的切线方程为．令y=0，则，即点．因为，F（0，1），所以直线PF的方程为，即2x+ty﹣t=0．则点到直线PF的距离为．…5分联立方程消元，得t2y2﹣（2t2+16）y+t2=0．因为△=（2t2+16）2﹣4t4=64（t2+4）＞0，所以，，所以．…7分所以△EAB的面积为．不妨设（x＞0），则．因为时，g'（x）＜0，所以g（x）在上单调递减；上，g'（x）＞0，所以g（x）在上单调递增．所以当时，．所以△EAB的面积的最小值为．…10分．2017年3月4日。