初三中考数学专题复习：二次函数综合题含答案

中考数学专题复习：二次函数综合题

1．如图，抛物线2

122

y x bx =

+-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （﹣1，0）．

(1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； (2)判断△ABC 的形状，证明你的结论；

(3)点M 是对称轴上的一个动点，当△ACM 的周长最小时，求点M 的坐标及△ACM 的周长．

2．如图，直线y =-x +4与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线y =2

3

-x 2+bx +c 经过B 、C 两点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，点E 是抛物线上的一动点（不与B ，C 两点重合），当S △BEC =1

4S △BOC 时，求点E 的坐标；

(3)若点F 是抛物线上的一动点，当S △BFC 取值在什么范围时，对应的点F 有且只有两个？

3．如图，抛物线2y ax 2x c =++（a ＜0）与x 轴交于点A 和点B （点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧），与y 轴交于点C ，OB ＝OC ＝3．

(1)求该抛物线的函数解析式；

(2)如图1，连接BC ，点D 是直线BC 上方抛物线上的点，连接OD ，CD ，OD 交BC 于点F ，当:COD

COB

S

S

＝1：3时，求点F 的坐标；

(3)如图2，点E 的坐标为（0，﹣3

2），在抛物线上是否存在点P ，使∠OBP ＝2∠OBE ？若存在，请求出点

P 的坐标；若不存在，请说明理由．

4．如图，抛物线2

1262

y x x =

--与x 轴相交于点A 、点B ，与y 轴相交于点C ．

(1)请直接写出点A ，B ，C 的坐标；

(2)点P （m ，n ）（0＜m ＜6）在抛物线上，当m 取何值时，∠PBC 的面积最大？并求出∠PBC 面积的最大值．

(3)点F 是抛物线上的动点，作FE AC ∥交x 轴于点E ，是否存在点F ，使得以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =-++的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于()0,3C ，A 点在原点的左侧，B 点的坐标为3,0．点P 是抛物线上一个动点，且在直线BC 的上方．

(1)求这个二次函数及直线BC 的表达式．

(2)过点P 做PD y ∥轴交直线BC 于点D ，求PD 的最大值．

(3)点M 为抛物线对称轴上的点，问在抛物线上是否存在点N ，使MNO 为等腰直角三角形，且NMO ∠为直角，若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．

6．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （4，0）两点，与y 轴交于点C （0，﹣2）．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)如图1，点D 为第四象限抛物线上一点，连接AD ，BC 交于点E ，连接BD ，记∠BDE 的面积为S 1，∠ABE 的面积为S 2，求

1

2

S S 的最大值； (3)如图2，连接AC ，BC ，过点O 作直线l BC ，点P ，Q 分别为直线l 和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P ，Q ，使∠PQB ∠∠CAB ？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

7．如图1，已知抛物线2y ax bx =+经过点A （4，0）、B （12

-，9

4-）．

(1)直接写出抛物线的解析式和顶点G 的坐标；

(2)如图2，点C 、D 是线段OA 上的两点（不含端点），过C 、D 分别作x 轴的垂线，交抛物线于点E 、F ．设P 是第三象限内抛物线上任意一点，连接PE 和PF ，分别交y 轴于点M 、N ．求证：MC ∥ND ； (3)如图3，直线y ＝kx （k ＞0）交抛物线于另一点于Q ．当∠OQG ＝90°时，求k 的值．

8．如图，抛物线23(0)y ax bx a =+-≠与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点C ．

(1)求抛物线的表达式；

(2)在对称轴上找一点Q ，使ACQ 的周长最小，求点Q 的坐标；

(3)点P 是抛物线对称轴上的一点，点M 是对称轴左侧抛物线上的一点，当PMB △是以PB 为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M 的坐标．

9．在平面直角坐标系中，直线y ＝mx -2m 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，顶点为D 的抛物线y ＝-

x2+2mx-m2+2与y轴交于点C．

(1)如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．∠求A，B，C，D四点的坐标；

∠当∠P AB面积最大时，求点P的坐标；

(2)在y轴上有一点M（0，7

3

m），当点C在线段MB上时，

∠求m的取值范围；

∠求线段BC长度的最大值．

10．次函数22

y ax bx

=++的图象交x轴于点A（－1，0），B（4，0），两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN∠x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．

(1)求二次函数22

y ax bx

=++的表达式；

(2)连接BD，当3

2

t=时，求∠DNB的面积；

(3)在直线MN上存在一点P，当∠PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点P的坐标．