利用对数平均不等式巧解一类数学压轴题

对数平均数

高考又见对数平均数在历年的高考压轴题中我们总是能见到对数平均数的影子。

2018年高考理科数学全国Ⅰ卷的压轴题最后一问，实际上就是对数平均数不等式的应用。

加强对对数平均数的理解，无疑能对我们解决压轴题有很大的帮助。

对于a>b>0，我们把ba ba ln ln --称作a 与b 的对数平均数，并且有：算术平均数>对数平均数>几何平均数，即：2b a +>ba ba ln ln -->ab 证明方法Ⅰ（几何证明）：如图，分别过A(a,0)、B(b,0)、C(2b a +,0)、D(ab ,0)作x 轴的垂线，与函数y=x1交于F 、G 、E 、H 四点，过E 作函数的切线，分别与BG 、AF 交于M 、N 两点。

比较曲边四边形GBAF 的面积S 1与梯形MBAN 的面积S 2，得S 1>S 2，其中：S 1=⎰ab dx x1=ln a-ln b ，S 2=2AN BM +•AB=CE •AB=ba +2•(a-b) ∴ ln a-ln b>ba +2•(a-b)即：2b a +>ba b a ln ln --……①比较梯形GBDH 的面积S 3与曲边四边形GBDH 的面积S 4，得S 3>S 4，其中：S 3=21(GB+HD)•BD=21(b 1+ab 1)(ab -b)=abb a 2- S 4=⎰abb dx x 1=ln ab -ln b=2ln ln b a +-ln b=2ln ln ba - ∴abb a 2->2ln ln b a -即：ba ba ln ln -->ab ……②综合①②，得：2b a +>ba ba ln ln -->ab (a>b>0)证明方法Ⅱ（函数证明）：令f(x)=2ln x +12+x -1 (x>1)，则有： f`(x)=x 21-2)1(1+x =22)1(24)1(+-+x x x x =22)1(2)1(+-x x x >0 ∴ f(x)>f(1)=0，即：2ln x +12+x -1>0，令x=b a ，代入整理得： 2ln ln b a ->b a b a +-即：2b a +>ba b a ln ln --……①令g(x)=x-2•ln x-x1(x>1)，则有：g`(x)=1-x 2+21x=22)1(x x ->0∴ g(x)>g(1)=0，即x-2•ln x-x1>0，令x=b a ，代入整理得：abba ->ln a-ln b即：ba ba ln ln -->ab ……②综合①②，得：2b a +>ba ba ln ln -->ab (a>b>0)经过上述证明，我们对对数平均数有了一定的了解，接下来看一看2018年高考数学理科全国Ⅰ卷第21题：已知函数f(x)=x1-x+a •ln x (1) 讨论f(x)的单调性；(2) 若f(x)存在两个极值点x 1、x 2，求证：2121)()(x x x f x f --<a-2第一问略。

对数均值不等式及变式在高考压轴题的应用

对数均值不等式及变式在高考压轴题的应用对数均值不等式及变式在高考压轴题的应用引言：数学作为高考的一门重要科目，其中不等式是数学中的一个重要概念。

在高考中，有一类不等式常常被提及，那就是对数均值不等式及其变式。

本文将对对数均值不等式及变式的应用进行探讨，并从深度和广度两个方面阐述其在高考压轴题中的实际应用。

一、对数均值不等式的定义与简单应用1.1 对数均值不等式的定义对数均值不等式是数学中的一类不等式，它是由均值不等式推导而来。

对于两个正数a和b，可以定义它们的几何平均数M和算术平均数A 为：\[ M = \sqrt{ab} \]\[ A = \frac{a+b}{2} \]而对于这两个平均数的自然对数，我们可以定义为：\[ m = \ln{M} \]\[ a = \ln{a} \]则对数均值不等式可以表示为：\[ \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \]即：\[ \frac{a+b}{2} \geq \ln{\sqrt{ab}} \]\[ \ln{(a+b)} \geq \ln{2} + \ln{\sqrt{ab}} \]\[ \ln{(a+b)} \geq \ln{2} + \frac{1}{2} \ln{ab} \]1.2 对数均值不等式的简单应用对数均值不等式在求证过程中往往与其他的不等式相结合，从而达到简化证明的目的。

例：设a、b、c为正数，证明以下不等式：\[ \frac{ab+bc+ca}{a+b+c} \leq \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8abc}\] 解：由对数均值不等式可得：\[ \ln{(a+b)} \geq \ln{2} + \frac{1}{2} \ln{ab} \]\[ \ln{(b+c)} \geq \ln{2} + \frac{1}{2} \ln{bc} \]\[ \ln{(c+a)} \geq \ln{2} + \frac{1}{2} \ln{ca} \]将上述三个不等式相加，得到：\[ \ln{(a+b)} + \ln{(b+c)} + \ln{(c+a)} \geq 3 \ln{2} +\frac{1}{2}(\ln{ab}+\ln{bc}+\ln{ca}) \]\[ \ln{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 3 \ln{2} +\frac{1}{2}(\ln{ab}+\ln{bc}+\ln{ca}) \]由对数的性质可得：\[ (a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc \cdot \sqrt{2} \]将上述不等式代入原式，即可得到所要证明的不等式。

对数平均不等式链在高考压轴题中的研究

对数平均不等式链在高考压轴题中的研究温州市瓯海区第一高级中学浙江温州 325005在高三复习课中，处理试卷存在的问题时，试卷讲评是一种常见的教学形式，过去我常常是就题评讲，笼统评讲，尽管学生能够改正错误，解决试卷中存在的问题，理解一些基本的教学方法，但并没有从根本上解决问题，学生并没有真正理解数学，掌握数学方法，具体表现为试卷中出现的问题，错误会反复出现，多次订正仍不奏效。

针对这种现象，我们认真探索，尝试将一类题型归类到一起，以基本方法为主线，以微专题的形式讲评试卷。

1.1 “微专题”复习的认识“微专题”是相对于如“函数与方程思想”“数型结合思想”这样的综合性强，涵盖知识广，研究方法活的传统大专题而言的，通常是指围绕复习重点和关键点设计的，利用具有紧密相关性的知识和方法形成的专项研究，或结合学生的疑点易错点整合的，能够在短时间内专门解决的问题集，“微专题”复习具有“因微而细”“因微而准”“因微而深”的特点。

1.2 .“微专题”形式讲评试卷的设计原理波利亚曾经指出“良好的组织使得所提供的知识容易用上，这甚至比知识广泛更为重要”。

依托主题明确，针对性强的微专题进行复习，可以促进学生深度学习，从而有利于学生获得清晰的数学知识网络，系统的数学教学方法，加深对数学的理解，提高自身的数学素养。

一、案例分析【设计意图】由于a，b是两个独立的变量，如果可以变形为一个整体，那么就可以通过构造两个变量的比值或者差值通过换元转化为一元变量，利用导数证明不等式。

通过这个不等式的证明，引入双元换元定主元这一重要方法。

请同学们尝试证明【设计意图】由不等式（1）的证明方法类比，通过不等式（2）的证明同学们尝试巩固方法。

例1：（2017云南省高三区调研）已知函数（1）讨论函数的单调性（2）当函数有两个不相等的零点时，证明：【设计意图】例2，例3的设计针对模拟考试中学生存在的共性问题，设置“微专题”，让学生通过不同层次的练习，深刻理解方法本本质，通过反复训练感悟方法的应用。

例谈题根在数学解题中的应用——以对数均值不等式为例

3_¥)故学敉学2021年第3期例谈题根在数学解题中的应用----以对数均值不等式为例张国治(新疆生产建设兵团第二中学，新疆乌鲁木齐83_2)笔者通过对近几年高考、竞赛试题的研究，有一个很有趣的发现——许多试题来源于同一个问题.我们可以把这类不断生长的问题称为“题根题根是一个题族、一个题系中的源头，也是一个题群中的典例.把握住了一个题根，叩源推委，便能寻觅到解决问题的“金钥匙”，进而辐射到一个题族、题群.以题根方式展开教学，旨在寻找解题思维入口，通过题根的变式拓展探求不同的解法，帮助学生理解问题内涵，总结归纳.那么如何寻找“题根”呢? 将源于课本、高考、竞赛的题目进行提炼与升华形成结论，然后再将其广泛应用于解题实践中，这便是寻找题源的不二法门.这一过程意义非凡，因为茫茫题海中很多题目表象不同，但实质一样（可归结于同一个题根或题源）.一个题源加工而成的结论，其功效不亚于教材中的一个定理，寻找“题根”需要八方联系，浑然一体.笔者以一道竞赛题为例，探源溯流，给出一类高考题、竞赛题命题的题根，多题归一，提供一种高效学习数学的方法，敬请同行指正.[1]题根（2017年全国高中数学联赛湖南省预赛第15题）[2]已知a、6 e 11且〇 > 0, i > Q，a #b.(i)求证：#(2)如果 a、6 是函数/(a:) = lnx -的两个零点，求证> e2.证法 1:如图 1，设/(*) = e*，x e [m，n]，其中双m，0)，B(n，0)，过点分别作x轴的垂线，交曲线于c、Z)两点.点)处的切线/分别交BC、于点£、f，则f c pJ f=6〒，所以/:7 1梯形从一(j£+J f)=(n-m*n^l)e ，•^曲边梯形A sa) =| g dx =e一 e , *S梯形^ m数感是《义务教育数学课程标准（2011 版)》中的十大核心概念之一，对运算结果的估计是数感的一种重要体现.估计（估算）在三个学段都有明确具体的目标要求，其中在第三学段(7-9年级）的知识技能目标对运算（包括估算）技能的要求是达到掌握层级.固然，计算的准确性是数学学科的基本要求之一，运算能力是典型的数学能力，但其内涵已发生了变化.运算能力不仅指能够“正确地从事运算”，还包括借助工具计算和手算，也包括精确计算和估算[2].作为一线的数学教师，应该充分理解课标的价值理念,在日常的教学中应该给“估算”留一席之地.准确、标准的答案是我们数学人的追求，但“估算”是数学运算中不可或缺的组成部分估算”过程中所体现出的发散式调适与思考，正是学生创新意识形成、创新能力培养的一个有效载体.参考文献[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011版）[S].北京：北京师范大学出版社，2012.[2]马复，凌晓枚.新版课程标准解析与教学指导[M].北京：北京师范大学出版社，2012.2021年第3期故学敉学3-41n - m . 、 n — m / m …、 _ ...2 (yA + J b ) = 2 (e + e )•显然有S 梯形y l B E F < $曲边梯形/I B C D < S 梯形A f i C Z )，艮Pm +nr j一)(n - m ) e 2 < en - em < —-—(em + e n)，1_•设％> 1，则欲证不等式成立等价于证明21n % < i ---(x > 1).构造函数则e 宁<^<n - m a2，令 en = a ，可得< , , , - ^In a - lno 2证法2:(1)由对称性，不妨设a > 6 > 0,^ a - b a + b a - b a + l 先证^-----TT < —•因为^----— <In a - Ini 2 〇 In a - Ini >2(a - b )^ a ^In a - \nb 2a + ba—+设％ = T > 1，则欲证不等式成立等价于〇证明lnx > ^l l (x > 1}.X + l构造函数/(尤）=lnx - ^~~> 1)，则作)=(n因为* > 1,所以尸（*) >x(x + 1)0,/(X )在（1，+ =C )上为单调递增函数，由 f i x ) >/〇) = 0,即得lm > 1)，即<In a - In 62再证#< , a ~ f -,-.因为# <In a - Ini In a - Inia<=> In a - In 6 <y 〇b<=> In — <g 〇) = 21m -卜一(% > 1)，则g '(x ) =- (% -J )<〇，因此g U )在（1, + 〇〇)上为单调递减函数.办）<g (l ) = 0,即得21n % < (a :---1 (x > 1),即y 〇b <a综上可知，#<In a - Inia -b In a - Ini2以上结论反映了对数平均与算术平均、几何平均的大小关系，我们知道两个正数a 、6的对数平均定义：L (a , b ) = jlna - ln 6 () ’la(a = b ).则当 a >〇，i >〇,有<In a - Ini—^一，^^<[(16)<-^—（当且仅当〇=6时，等号成立).若令 lna =文！，Ini =%2,贝l j d = e*1，6 = e*2, < —z —等价于^^?J~a b <In a — Ini 2?V 2__*2 丄 ^2‘1—，利用该不等式，可x X pL e - e " e •十 ee 2 < ------- < —-xx - x 2 2以轻松获解该题的第（2)小题：证明:定义域为（〇, +〇〇 )，尸(％) 1 2017 -x2017 2黯•若p2〇17，则/，（,）= 0;若* e (0,2017),则尸〇) >0,函数/(；〇单调递增;若;c e (2017, + 〇〇 )，则尸(无）< 0,函数3-42故学敉学2021年第3期/(幻单调递减.由对称性，不妨设 a >6> 〇,则可得〇< 6<2017 <a.由条件知，ln a= 且ln6=故 lna- ln6(a-6)，即2017由对数均值不等式得2017即a + 6 > 2 x 2017.-bIn a - Inia -bIn a - In6= 2017,<2 ，1iia;,a：2= \nxl+ \nx2= m(x l+ x2)> 2m•— = 2,所以a:丨a:2> e*12.m评注:不难发现，例1第（2)小题是题根第(2)小题的一般情况，事实上，由对数均值不等,______ 1 X] ~X22J x x x2<—=---------------，艮p<m lnxj -m x2-7,可见必有〇< m < i.m e因为lnafc= In a+ In6 =----(a+ 6) >2017 》^x 2x 2017 = 2,所以d> e2.下面举例说明此题根在高考、竞赛、模考中的应用，也进一步洞悉此类问题的编拟奥秘.类型1直接用对数均值不等式例1(2016年全国高中数学联赛湖南省预赛第15题）[3]已知函数/(幻=i l n x-(1)若m =」2时，求函数/(幻的所有零点；(2)若/(4有两个极值点心、巧,且x, < 尤2•求证:丨内> e2.解析:（1)当m =-2时，/(幻=;*111»:+；*:2-x = x( \nx + x -l) (x> 0). i^,p(x)=ln% + x -1(«：> 0)，则p'(A〇=丄+ 1> 0,于是p(a〇在X(〇, + «>)上为增函数.又P(1) = 0,所以，当m =-2时，函数/(幻有唯一的零点a; = 1.(2)若/(x)有两个极值点x,、*2,则导函数/'(*)有两个零点h h•由/'U)= In* -m*，可知例2(2018年全国高中数学联赛福建省预赛第14题）[4]已知/U)= e* -似.(1)当x > 0时，不等式Q-2)/(幻+ m*2+ 2> 0恒成立,求实数m的取值范围；(2)若力、*2是/(幻的两个零点，证明：A C, + A；2> 2.解析：（1)略.(2)证明：由题可得/U)= /U2) = 〇,即I e*' = m x., t _x x,x得。

利用对数平均不等式破解极值点偏移问题

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利用对数平均不等式破解极值点偏移问题
作者：杨瑞强
来源：《中学数学杂志(高中版)》2016年第05期
近几年的高考数学压轴题中，经常出现与函数的极值点偏移有关的问题，由于这类问题的解决往往需要构造函数，技巧性较强，考生难于切入，在短时间内难以解决.如果我们借助对数平均不等式加以放缩，那么问题难度大大降低.下面谈谈利用这个不等式破解此类高考导数的压轴题.
1极值点偏移的定义
对于函数y=f（x）在区间（a，b）内只有一个极值点x0，方程f（x）=0的解为x1，x2，且a
（1）若x1+x22>x0，则称函数y=f（x）在区间（a，b）上极值点x0左偏，简称x0左偏；（2）若x1+x22
4转化策略与步骤
极值点偏移问题中，函数中多有形如ex和lnx的式子，并且极值点偏移问题实质是双变量的问题，而双变量的问题许多都可以回归对数平均.常利用对数平均不等式放缩解决，其转化的步骤有：
第一步：根据f（x1）=f（x2）建立等式；
第二步：如果等式含有参数，则消参；有指数的则两边取对数，转化为对数式；
第三步：通过恒等变换转化为对数平均问题，利用对数平均不等式放缩求解.
作者简介杨瑞强（1979—），男，湖北黄冈人，中学一级教师，黄石市优秀班主任，黄石市优秀数学教师，主要从事数学教育与中学教学研究.近几年，在数学专业杂志上发表文章80余篇.。

对数均值不等式及变式在高考压轴题的应用

对数均值不等式及变式在高考压轴题的应用一、引言在高中数学的学习过程中，对数均值不等式是一个重要且常见的概念。

它不仅在数学理论中有着广泛的应用，更是在高考压轴题中经常出现的考点之一。

本文将深入探讨对数均值不等式及其变式在高考压轴题中的应用，希望能够帮助读者更深入地理解这一概念，并为高考做好充分的准备。

二、基本概念所谓对数均值不等式，即指若a>0，b>0，则有ln(a) + ln(b) ≥2ln(√ab)，这是对数均值不等式的基本形式。

对数均值不等式的变式有很多种，常见的有加权形式、n元形式等。

在高中数学的学习中，对数均值不等式主要被用来证明不等式或者进行估值。

三、应用举例1. 高考压轴题一题目：已知a，b，c为正实数，求证：(a^3 + b^3 + c^3)/3 ≥(a^2b + b^2c + c^2a)/3。

解析：根据对数均值不等式，可知ln(a^3) + ln(b^3) + ln(c^3) ≥3ln(abc)，即3ln(abc) ≤ ln(a^3) + ln(b^3) + ln(c^3)。

两边同时除以3，得ln(abc) ≤ (ln(a^3) + ln(b^3) + ln(c^3))/3。

由于ln是增函数，故ln(a^3) + ln(b^3) + ln(c^3) ≥ ln(a^2b) +ln(b^2c) + ln(c^2a)。

代回，得ln(abc) ≤ ln(a^2b) + ln(b^2c) +ln(c^2a)/3，即abc ≤ (a^2b + b^2c + c^2a)/3。

又由于a，b，c为正实数，所以(a^3 + b^3 + c^3)/3 ≥ (a^2b + b^2c + c^2a)/3。

2. 高考压轴题二题目：证明当x，y > 0时，有x/y + y/x ≥ 2。

解析：根据对数均值不等式，可知ln(x) + ln(y) ≥ 2ln(√xy)，即ln(x) + ln(y) ≥ ln(x) + ln(y)。

导数压轴题分类(2)---极值点偏移问题(含答案)

导数压轴题分类(2)---极值点偏移问题(含答案)极值点偏移问题是在求解函数的极值点时，由于函数表达式的特殊性质，导致极值点位置发生偏移，需要采用特殊的解决方法。

常见的处理方法有以下几种：1.构造一元差函数F(x)=f(x)-f(2x-x)或F(x)=f(x+x)-f(x-x)，其中x为函数y=f(x)的极值点。

2.利用对数平均不等式ab<a-b+a+b。

3.变换主元等方法lna-lnb^2<ln(a-b^2)。

接下来，我们以一个具体的例子来说明极值点偏移问题的解决方法。

题目：设函数f(x)=-alnx+x-ax(a∈R)，试讨论函数f(x)的单调性；若f(x)=m有两解x1,x2(x12a。

解析：1.讨论函数f(x)的单调性由f(x)=-alnx+x-ax可知：f'(x)=-a/x+1-a=-(a/x+a-1)因为函数f(x)的定义域为(0,+∞)，所以：①若a>0时，当x∈(0,a)时，f'(x)0，函数f(x)单调递增。

②若a=0时，当f'(x)=1/x>0在x∈(0,+∞)XXX成立，函数f(x)单调递增。

③若a0，函数f(x)单调递增。

2.求证x1+x2>2a因为f(x)=m有两解x1,x2(x1<x2)，所以：alnx1+x1-ax=m，-alnx2+x2-ax=m将两式相减，整理得：lnx1-lnx2+ln(x1-x2)=a根据对数平均不等式，有：ln(x1-x2)<(lnx1-lnx2)/2代入上式得：a>-[(lnx1-lnx2)/2]化XXX：x1-x2<2e^-2a因为x1+x2>2x2>a，所以：x1+x2>2a综上所述，极值点偏移问题的解决方法包括构造一元差函数、利用对数平均不等式和变换主元等方法。

在具体求解中，需要根据函数表达式的特殊性质，选择合适的方法进行处理。

2(t-1)x2-1)/(4(t-1)2+1)为减函数，且在(1,∞)上递增，所以原不等式得证。

例谈对数平均不等式在高考中的应用_邓军民

式 a－b lna－lnb
＞姨ab
，将 ln（x＋1）＋姨x＋1
－1＜
9x x＋6
这个不等式，巧
妙地转化为证明：
9x －（ x x＋6 姨x＋1
＋姨x＋1 －1）＞0 成立即可．达
到了化繁为简、化难为易的目的．
n
Σ 例 4．当 n∈N*时，求证： 1 ＞ln（n＋1）＋ n ．
i＝1 i
b
构造函数 f（x）＝lnx－ 2（x－1）（x＞1），则 f ′（x）＝（x－1）2 ，∵x＞
x＋1
x（x＋1）
1，∴f ′（x）＞0，∴f（x）在（1，＋∞）单调递增，∴f（x）＞f（1）＝0，所以可
11．阅读下面材料，根据要求作文。有一个信者在屋檐下躲雨，看见一位禅师正撑伞走过，于是就喊道： “禅师！普度一下众生吧！带我一程如何？” 禅师道： “我在雨里，你在檐下，而檐下无雨，你不需要我度。” 信者立刻走出檐下，站在雨中，说道： “现在我也在雨中，该度我了吧！” 禅师： “我也在雨中，你也在雨中，我不被雨淋，因为有伞；你被雨淋，因为无伞。所以不是我度你，而是伞度我，你要被度，不必找我，请自找伞！” 说完便走了！要求全面理解材料，但可以选择一个侧面、一个角度构思作文。自主确定立意，确定文体，确定标题；不要脱离材料的含意作文，不要套作，不得抄袭。【写作指导】这是一个禅学故事，立意时，对事件进行深入分析，抓关键词，度、伞是材料的关键词。中心论点构成可以采用：使用材料中的关键词＋材料的中心。自伞自度，面对人生的凄风苦雨，伞是比喻，指的是自己的动作行为或是心态精神，有着这样的动作行为或是心态精神能都让自己面对物质或是心灵困境，度过风雨，迎来生命的晴天。具体写作时从 “为什么度、怎么度” 这两个维度切入，可以形成不同的思路，行文过程中时时巧妙回扣关键词。这个材料贴近当下学生的生活实际— ——多少学子长期依赖父母、他人，缺乏积极独自面对物质或是心灵困境的心态精神和动作行为。

利用对数平均不等式巧解高考数学题

利用对数平均不等式巧解高考数学题邓群毅【摘要】文章介绍了几何—对数—算术平均不等式,通过具体实例展示了其在高考真题、模拟试题、模块考试试题中的具体应用,给出了简洁、有效的解法,扩宽了解题思路.【期刊名称】《中学教研：数学版》【年(卷),期】2016(000)006【总页数】3页(P20-22)【关键词】几何平均;对数平均;算术平均【作者】邓群毅【作者单位】浙江大学附属中学浙江杭州 310007【正文语种】中文【中图分类】O122.6算术—几何平均不等式是大家熟悉的，但是加强这个不等式得到的几何—对数—算术平均不等式则比较少见.以对数平均不等式为背景的试题不断出现在近几年的高考模拟考试、高考和大学自主招生考试中.以下笔者通过举例说明几何—对数—算术平均不等式的具体应用.几何—对数—算术平均不等式设a，b为不相等的正实数，则例1 已知函数f(x)=ex,其中x∈R.1),2)略.3)设a<b，比较与的大小，并说明理由.解比较与的大小，就是比较与的大小.作变换：令ea=x，eb=y(其中x≠y)，则由对数—算术平均不等式，得即评注待比较的2个式子以指数形式给出，经过变换后，可直接使用对数—算术平均不等式，问题迎刃而解.例2 设函数f(x)=alnx-bx2，其图像在点P(2,f(2))处切线的斜率为-3.1)略.2)当a=2时，令g(x)=f(x)-kx，设x1，x2(其中x1<x2)是函数g(x)=0的2个根，x0是x1，x2的等差中项，求证：g′(x0)<0(其中g′(x)为函数g(x)的导函数).证明由a=2，a=8b-6，知b=1，即因为x1，x2是函数g(x)=0的2个根，所以2个式子相减得又x1≠x2，从而于是由对数—算术平均不等式得即因此评注表达式g′(x0)中有对数平均的变形结构，可直接利用对数—算术平均不等式判定其符号.例3 设函数f(x)=ln(1+x)，g(x)=xf ′(x),x≥0,其中f ′(x)是f(x)的导函数.1)，2)略.3)设n∈N+，比较g(1)+g(2)+…+g(n)与n-f(n)的大小，并加以证明.证明由题意，得从而g(1)+g(2)+…+g(n)>n-f(n)，该不等式等价于由对数—算术平均不等式的变形，知于是即例4 已知a>0,b>0，求证： .证明令b′=2b，只需要证明由对数—算术平均不等式的变形，得取n=1,2,3，把所得的3个不等式相加，利用几何—对数平均不等式，得评注把例4中的不等式推广到n元情形，即2008年浙江大学自主招生数学试题的第6题：证明： .在高三试卷讲评时，要关注试题的背景和实质，摆脱参考答案的限制，拓宽解题思路.一方面，教师自己要善于解题，充分挖掘问题；另一方面，在课堂教学中，可以介绍一些新颖的解题方法，启发学生的思维，提高学生的解题能力.“研究问题，追求本质”应该成为所有数学教师努力的方向.【相关文献】[1] 姜卫东.关于对数平均的一个不等式[J].高等数学研究，2007(10):53-54.。

利用对数平均不等式破解极值点偏移问题

（Ｘ２－１＂￣２
＞。．所以ｌ０＿所＞
、Ｌａ：６）
对数平均与算数平均、几何平均的大小
关系：
厕而
，
２
，
故ｘ￣＋ｘ２＜２・
当０＞０，ｂ＞０，有 √ ≤ ６） ≤旦
（仅当ａ＝ｂ时。取“ ＝ ” ）．
－
／ｌｎ（１＋１）一ｌｎ（１＋２）
１一，
２
证明：（Ｉ）（ Ⅱ）略．
＋，＋２ ‘
’２一１一２
（ Ⅲ）由（Ｉ）知ｆ）＝ｅ－￣（１一，＝ｌ是
／ ∽ 的极值点，且０＜１＜１＜２．已知
，
２，所一
以南
问题得证．
＋焘
所以Ｘｌ＋Ｘ２＜０・
即Ｘ１＋＞２．
例３（２０１３年湖南卷文科第２ｌ题）已知
４转化策略与步骤极值点偏移问题中，函数中多有形如ｅ和Ｉｎｘ的式子，并且极值点偏移问题实质是双变量的问题，而双变量的问题许多都可以
３链接高考压轴题例１（２０１６年全国课标卷Ｉ理科第２１一一
：
题）已知函数厂 ∽＝一２）ｅ＋口一１）有两个
＋＋零点．（Ｉ）求ａ的取值范围；（ Ⅱ）设，，是
如果我们借助对数平均不等式加以放缩，那

对数平均不等式的应用

对数平均不等式的应用【例1】已知函数()e x f x x -=，如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明：122x x +>．【例2】已知函数()ln f x x x =的图像与直线y m =交于不同的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，求证：1221x x<．【例3】已知函数()ln f x x =和()g x ax =，若存在两个实数12,x x 且12x x ≠，满足11()(),f xg x =22()()f x g x =，求证：122x x a+>【例4】已知函数()f x e ax =-有两个零点12x x <，则下列说法错误的是 .Aa e >.2B x x +> .1C x x > .D 有极小值点x ，且2x x x +< 【例5】设函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-的两个零点是12,x x ，求证：1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭．【证明】由题意得21112222ln (2)0ln (2)0x ax a x x ax a x ⎧-+-=⎨-+-=⎩，两式相减得12121212ln ln ()()(2)()0x x a x x x x a x x --+-+--=，[]121212ln ln ()()2x x x x a x x a -=-++-，则【例6】设函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-的两个零点是12,x x ，求证：1202x x f +⎛⎫'< ⎪⎝⎭【例7】设函数()x f x e ax a =-+，其图像与x 轴交于12(,0),(,0)A x B x 两点，且12x x <，证明：0f <。

【思路分析】'(),x f x e a =-当0a ≤时，'()0f x >恒成立，不合题;当0a >时，令【题型2】(0)ln ln b a a b a>>>-的应用【例8】设函数()ln(1),()()f x x g x xf x '=+=，其中()f x '是()f x 的导函数,设n N +∈，比较12111()231231n g n n n n ⎛⎫++=+++=-+++ ⎪++⎝⎭，()g n ++与()f n -的大小，即只需比较0>时， ln ln b a b b a ，即)ln ln ,b a b a ,1a n b n ,则1ln(1)ln 1n n n ,所以11ln 2ln1ln 2,ln 3ln 2,,ln(1)ln 31n n -=<-<+-+，将以上各不等式左右两边相加得：11ln(1)31n n ++<++，故(1)(2)()()g g g n n +++>.捷，别具新意，易于学生理解、掌握ln b a a b a，即1ln ln ()ab a a ,令,1a n b n ，则11)ln ,nn可得111ln(1)123n n. 【例9】已知函数()ln()(0)f x x x a a =-+>的最小值为0，证明：12ln(21)2(*).21ni n n N i =-+<∈-∑【证明】易求1a =，待证不等式等价于2222ln(21)35721n n ++++<+-,根据0b a 时，ln ln b a bb a ，即1()ln ln b a b a b,令21,21a n b n ,则22222ln(21)ln(21),ln3ln1,ln5ln3,ln 7ln5,,2(1)121357n n n n2ln(21)ln(21)2(1)1n n n ,将以上各不等式左右两边分别相加得：2222ln(21)572121n n n +++++<+-+，()122ln 21222121ni n i n =-+<-<-+∑,得证. 【题型3】22(0)2ln ln a b bab a b a的应用】设数列{}n a 0b a时，22ln ln b b a ba，即222()ln ln b a b aa b ，令1,b n a n ,22222221)ln (1)221222n nna nn nn nn ，易证ln(n S <【题型4】(0)2ln ln a bb aba b a的应用【例11】设数列{}n a 的通项111123n a n=++++，证明：ln(21)n a n <+．【证明】根据0b a 时，2ln ln a bb ab a，即2()ln ln b a b a a b ，令21,21bn a n ,11)ln(21)nn n ，易证ln(21)n a n <+．【题型5】2(0)11ln ln bab a baab 的应用【例12】已知函数()(0)b f x axc a x的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1yx ．证明：1111ln(1),(1)232(1)nn n nn0b a时，211ln ln b ab aab ，即111ln ln ()2b a b a a b，,1an b n 则111ln(1)ln 21n n nn , 所以111111ln 2ln1,ln3ln 2,212223， 1111)ln 21n nnn ,将以上各不等式左右两边分别相加得： 1111111)22342(1)n n n ,即111111ln(1)12342(1)2n n n , 1111ln(1)232(1)nn nn .【例13】已知函数(1)()ln(1)1x x f x x xλ+=+-+．⑴若0x ≥时, ()0f x ≤,求λ的最小值；⑵设数列{}n a 的通项111123n a n =++++，证明：21ln 2n n a a -+>． 2(12)x x λλ--0b a时，211ln ln b ab aab ，即111ln ln ()2b ab a a b， ,1an bn ,则111ln(1)ln 21n n n n ,所以111ln(1)ln ,21n nnn1111112)ln(1),ln(3)ln(2),212223nn n n n nn n111ln(21)2212nn n n ,将以上各不等式左右两边分别相加得：1122221ln ,2123212n n n n n n n n 即1111112,2123214n n n n n n 故1111ln 21224n n n n++++>++．【题型6】(0)ln ln b aab b a b a的应用【例14】已知1()ln(1)311f x a x x x =+++-+．求证：222223411ln(21)411421431414n n n +++++>+⨯-⨯-⨯-⨯-对一切正整数n 均成立．0b a 时，ln b a ab b a，即ln b a baab,21,21bn a n ,则22ln(21)ln(21)41n n n,变形可得：22221142ln(21)ln(21)414141n n n n n n n ,则 22221311(ln3ln1),(ln5ln3),,ln(21)ln(21),4114421441n n n n 将以上各不等式左右两边相加得：222223411ln(21)411421431414n n n +++++>+⨯-⨯-⨯-⨯-切正整数n 均成立．。

利用对数均值不等式巧解一道高考压轴题

利用对数均值不等式巧解一道高考压轴题
黄文辉
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2022()8
【摘要】函数的双变量问题是近年高考试卷中热门试题之一,这类试题不仅形式多样,而且联系到的知识比较广,构造思维要求比较高,因此这类问题的解决方法也是多样的.本文着重谈谈如何利用对数均值来解决这类问题的解题思路.
【总页数】3页(P47-49)
【作者】黄文辉
【作者单位】广东省深圳市深圳中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.利用对数平均不等式巧解一类数学压轴题
2.利用对数平均不等式巧解高考数学题
3.巧用对数均值不等式解高考压轴题
4.利用对数平均不等式巧解高考压轴题
5.利用对数平均不等式巧解高考数学题
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利用对数平均不等式处理极值点偏移压轴难题

利⽤对数平均不等式处理极值点偏移压轴难题
在2016年全国卷出来，极值点偏移问题可谓是⽕遍⼤江南北，此类问题在各地区的模拟试题如
⾬后春笋不断出现。

本⽂介绍处理极值点偏移另⼀神器，对数平均不等式，也有⽼师称之为“A —L—G”不等式。

⼀、极值点偏移的定义
⼆、对数平均定义与证明
（需要说明的是对数平均不等式在⾼考中不能直接⽤，再解答题中需要证明，避免扣分）
三、⾼考例题
偏移问题在历年考题中也反复出现，⽐如2016年全国卷、2013年湖南卷、2011年辽宁卷、
2010年天津卷等，下⾯举例分别说明
四、解后思考：答题模板
第⼀步: 根据f(x1)=f(x1)建⽴等式;
第⼆步: 如果等式含有参数，则消参; 有指数的则两边取对数，转化为对数式;
第三步: 通过恒等变换转化为对数平均问题，利⽤对数平均不等式求解
上⾯四个⾼考真题也可以利⽤对称性构造函数⽅法解答，具体见上⼀篇⽂章
（给学⽣的话，⽼师可忽略是对数平均不等式在⾼考中不能直接⽤，再解答题中需要证明，避
免扣分。

解答极值点偏移问题的通法还是对称构造，但是通法并不⼀定是最简便的⽅法）
作者：湖北省黄⽯市第⼀中学杨瑞强。

对数平均与高考压轴题_陈宽宏

# 专论荟பைடு நூலகம்#
数学通讯 ) 2012 年第 11 期 ( 下半月 )
35 f ( x 1) - f ( x 2) x 1- x 2
a b 3 链接高考压轴题 ln a - ln b [ 例1
b ( a \b > 0) a
¼
大多数教辅资料采用的是将不等式 > - 1 进行下述的变形: 不妨设 x 1 > x 2 > 0,
min
1 , 取 k = 1 , 2 , ,, n , 得到 n 个不等式 , 两边叠 k+ 1 加 , 化简得 1+ 1 + 1 + , + 1 > ln ( n + 1 ) + 2 3 n n ( n \1) . 2 ( n + 1) 例6 ( 2011 年高考数学湖南卷文科第 22 题) 1 - a ln x ( a I R ) x ( Ñ ) 讨论 f ( x ) 的单调性 ; ( Ò ) 若 f ( x ) 有两个极值点 x 1 和 x 2 , 记过点 A ( x 1 , f ( x 1 ) ) , B ( x 2 , f ( x 2 ) ) 的直线的斜率为 k. 问: 是否存在 a , 使得 k = 2- a? 若存在 , 求出 a 的值; 若不存在, 请说明理由 . 简析 ( Ñ ) 略; x 1- x 2 x 1x 2 ( Ò ) 由 ( Ñ ) 知 , a > 2 且 x 1 x 2 = 1. 因为 f ( x 1 ) - f ( x 2 ) = x 1 - x 2 + a( ln x 1 - ln x 2 ) , f ( x 1) - f ( x 2) 1 = 1 + x 1- x 2 x 1x 2 ln x 1 - ln x 2 ln x 1 - ln x 2 a# = 2- a# . x 1- x 2 x 1- x 2 所以 k = 若存在 a, 使得 k = 2- a , 则 x 1- x 2 = ln x 1 - ln x 2 x 1 x 2. ln x 1 - ln x 2 = 1. 即 x 1- x 2

利用对数平均不等式解决导数压轴题探研

利用对数平均不等式解决导数压轴题探研作者：刘红，王春梅
来源：《成才之路》 2020年第21期
刘红，王春梅
（甘肃省武威第八中学，甘肃武威733000）
摘要：极值点偏移问题是近年来经常出现的高考数学导数压轴题，而对数平均不等式与极值点偏移问题有着密切的内在联系，利用对数平均不等式解决极值点偏移问题可以降低解题难度，提高解题速度。

教师应在教学中通过对极值点偏移和对数平均不等式的深入探究，使学生在解答这类题目时可以从容应对，提高正确率。

关键词：数学教学；极值点偏移；对数平均不等式；解题策略
中图分类号：G633.6 文献标志码：A 文章编号：1008-3561（2020）21-0082-02。

对数平均不等式的加强应用---2021杭二中仿真卷导数压轴

对数平均不等式的加强应用---2021杭二中仿真卷导数压轴这道题我采取对数平均不等式放缩做的，事实上，题中要证的e/m是指数放缩得来的，我后面用指数放缩，刚刚好得到出题人这个数据，但考场中我们熟悉的还是对数放缩，这题还可用极值点偏移常规的偏对称做法。

一些凑字废话：（群里有一次讨论命题的逻辑，我也想说说自己的看法，首先我很尊重和敬佩出题人，想要出题，首先要做题学习，题目不见得要做多么难的，但是一定要有自己的思考，最好是能挖掘题目背后的出题逻辑，然后看自己能不能抓住这个逻辑，也出一些高仿的题，最终就是自己原创题了，这个要求就高了些。

我看到一些老师原创题，总是追求难和怪，其他新老师想着命题的时候，都挖空心思出难题，感觉出简单了就不符合他名师的身份了，出题人最终要对学生负责，要出的简单的题给足学生分数，难题要有区分度。

不断学习，才能不断进步，不断提高对自己的要求。

数学大师张景中谈数学：好的教材、好的读物、好的老师，就应当向学生展示数学思维的美妙，引导学生体验震撼感、力量感、解放感和科学之美。

欧几里德在教授几何的时候，有个学生问，学几何能得到什么好处？欧几里德立刻吩咐仆人拿几个小钱打发他走。

因为欧几里德认为，学习几何是为了提高心智、让人更接近真理，而不是获得实际利益。

如果学生学习的目的只是为了升学，那么学习的趣味自然会大大降低，学习中就有被迫的感觉，就会痛苦。

现在大家都说要减轻学生的负担，主张课本内容简单。

主张几何少一些推理，主张取消奥数培训班。

其实，这都是头痛医头、脚痛医脚的办法。

学生不怕学得多，怕的是考得多。

如果只是把课本编得简单一些，但考试仍然很难，那么学生就不会真正“减负”。

张景中院士的书建议都多少读读，大师的功力真的不是盖的。

16秒杀导数-对数平均不等式

对数平均不等式两个正数a 和b 的对数平均定义：(),(,)ln ln ().a ba b L a b a b a a b -⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩对数平均与算术平均、几何平均的大小关系：(,)2a bab L a b +≤≤（此式记为对数平均不等式）取等条件：当且仅当a b =时，等号成立.只证：当a b ≠时，(,)2a bab L a b +<<，可设a b >.（I ）先证：(,)ab L a b <……①不等式①1ln ln ln 2ln (1)a b a a b aa b x x x b b a x b ab -⇔-<⇔<-⇔<-=>其中构造函数1()2ln (),(1)f x x x x x =-->，则22211()1(1)f x x x x'=--=--.因为1x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在(1,)+∞上单调递减，故()(1)0f x f <=，从而不等式①成立；（II ）再证：(,)2a bL a b +<……② 不等式②2(1)2()2(1)ln ln ln ln (1)(1)(1)a a b a x ab a b x x a a b b x bb---⇔->⇔>⇔>=>+++其中构造函数2(1)()ln ,(1)(1)x g x x x x -=->+，则22214(1)()(1)(1)x g x x x x x -'=-=++.因为1x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在(1,)+∞上单调递增，故()(1)0g x g <=，从而不等式秒杀秘籍：利用定积分秒杀对数平均不等式证明如右图1所示，在反比例函数()x x f 1=上任取两点⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛b b B a a A 1,,1,，点⎪⎭⎫⎝⎛++b a b a C 2,2为AB 在双曲线上的中点，x AA ⊥1轴交其于1A ，x BB ⊥1轴交其于1B ，过C 作双曲线切线交1AA 和1BB 于ED ,两点，根据()a b ba dx x S Sb a A DEB A ACBB -⋅+>⇒>⎰211111，即2ln ln ba ab a b +<--如右图2所示，在()x x f 1=上任取两点⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛b b B a a A 1,,1,，x AA ⊥1轴交其于1A ，x BB ⊥1轴交其于1B ，根据1111A ABB A ABB S S 曲>()()abab a b a b a b dx x ba 2ln ln 212111-<-⇒-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+<⎰，即ab a b a b >--ln ln成立；综合（I ）（II ）知，对,a b R +∀∈，都有对数平均不等式(,)2a bab L a b +≤≤成立，当且仅当a b =时，等号成立.题型一：指数换对数的证明极值偏移问题例1：（2010天津理）已知函数xxe x f -=)(，如果x x ≠且)()(x f x f =，证明：2＞x x + 例2：已知21,x x 是函数ax e x f -=)(的两个零点，且21x x <.其极值点为0x ，（1）求a 的取值范围。