量子力学测试题(3)

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量子力学选择题1,2,3

量子力学选择题(1)原子半径的数量级是：CA．10－10cm; B.10-8m C. 10-10m D.10-13m(2)若氢原子被激发到主量子数为n的能级,当产生能级跃迁时可能发生的所有谱线总条数应为：BA．n-1 B .n(n-1)/2 C .n(n+1)/2 D .n(3)氢原子光谱赖曼系和巴耳末系的系线限波长分别为：DA.R/4 和R/9B.R 和R/4C.4/R 和9/RD.1/R 和4/R(4)氢原子赖曼系的线系限波数为R,则氢原子的电离电势为：DA．3Rhc/4 B. Rhc C.3Rhc/4e D. Rhc/e(5)氢原子基态的电离电势和第一激发电势分别是：AA．13.6V和10.2V; B –13.6V和-10.2V;C.13.6V和3.4V;D. –13.6V和-3.4V(6)根据玻尔理论,若将氢原子激发到n=5的状态,则：AA.可能出现10条谱线，分别属四个线系B.可能出现9条谱线，分别属3个线系C.可能出现11条谱线，分别属5个线系D.可能出现1条谱线，属赖曼系(7)欲使处于激发态的氢原子发出Hα线，则至少需提供多少能量（eV）?BA.13.6B.12.09C.10.2D.3.4(8)氢原子被激发后其电子处在第四轨道上运动,按照玻尔理论在观测时间内最多能看到几条线？DA.1B.6C.4D.3(9)氢原子光谱由莱曼、巴耳末、帕邢、布喇开系…组成.为获得红外波段原子发射光谱,则轰击基态氢原子的最小动能为: DA .0.66 eV B.12.09eV C.10.2eV D.12.75eV(10)用能量为12.75eV的电子去激发基态氢原子时,受激氢原子向低能级跃迁时最多可能出现几条光谱线（不考虑自旋）； AA.3B.10C.1D.4(11)按照玻尔理论基态氢原子中电子绕核运动的线速度约为光速的：CA.1/10倍B.1/100倍 C .1/137倍 D.1/237倍(12)已知一对正负电子绕其共同的质心转动会暂时形成类似于氢原子的结构的“正电子素”那么该“正电子素”由第一激发态跃迁时发射光谱线的波长应为：CA．3R/8 B.3R/4 C.8/3R D.4/3R(13)电子偶素是由电子和正电子组成的原子，基态电离能量为：CA.-3.4eVB.+3.4eVC.+6.8eVD.-6.8eV(14)根据玻尔理论可知，氦离子H e+的第一轨道半径是： A(a). a0/2 (b). a0/4 (c).2a0(d). 4a0(15)假设氦原子（Z=2）的一个电子已被电离，如果还想把另一个电子电离，若以eV为单位至少需提供的能量为：AA．54.4 B.-54.4 C.13.6 D.3.4(16)在H e+离子中基态电子的结合能是：BA.27.2eVB.54.4eVC.19.77eVD.24.17eV(17）处于基态的氢原子被能量为12.09eV的光子激发后,其轨道半径增为原来的CA．4倍 B.3倍 C.9倍 D.16倍(18)为了证实德布罗意假设,戴维孙—革末于1927年在镍单晶体上做了电子衍射实验从而证明了：BA.电子的波动性和粒子性B.电子的波动性C.电子的粒子性D.所有粒子具有波粒二象性(19）如果一个原子处于某能态的时间为10-7S,原子这个能态能量的最小不确定数量级为（以焦耳为单位）：BA．10-34； B.10-27； C.10-24； D.10-30(20）将一质子束缚在10-13cm的线度内,则估计其动能的量级为：AA. eV;B. MeV;C. GeV,D.10-20J(21)按量子力学原理,原子状态用波函数来描述.不考虑电子自旋,对氢原子当nl确定后,对应的状态数为：DA.n2;B.2n;C.l;D.2l+1(22).用波尔-索末菲(Bohr-Sommerfeld)的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（n = 0,1,2,L）CA.En=nħω .B. En=(n+1/2) ħωC. En = (n+1)ħω.D. En= 2nħω .(23). 康普顿效应证实了CA.电子具有波动性.B. 光具有波动性.C.光具有粒子性.D. 电子具有粒子(24). 设ψ(x)=δ(x)，在x −x+dx 范围内找到粒子的几率为D A.δ (x ） B.δ (x)dx C.δ2(x) D.δ2(x)dx(25).设ψ1(x)和ψ2(x)分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态c 1ψ1+ c 2ψ2的几率分布为D(26).波函数应满足的标准条件是DA.单值、正交、连续.B.归一、正交、完全性.C.连续、有限、完全性.D.单值、连续、有限.(27).有关微观实物粒子的波粒二象性的正确表述是C A.波动性是由于大量的微粒分布于空间而形成的疏密波. B.微粒被看成在三维空间连续分布的某种波包. C.单个微观粒子具有波动性和粒子性. D. A, B, C 都对(28).下列哪种论述不是定态的特点CA.几率密度和几率流密度矢量都不随时间变化.B.几率流密度矢量不随时间变化.C.任何力学量的平均值都不随时间变化.D.定态波函数描述的体系一定具有确定的能量(29).在一维无限深势阱中运动的粒子，其体系的A A.能量是量子化的，而动量是连续变化的. B.能量和动量都是量子化的. C.能量和动量都是连续变化的. D.能量连续变化而动量是量子化的(30).线性谐振子的AA.能量是量子化的,而动量是连续变化的.B.能量和动量都是量子化的.C.能量和动量都是连续变化的.D.能量连续变化而动量是量子化的.(31).在极坐标系下,氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为D(32). 在极坐标系下,氢原子体系在不同方向上找到电子的几率为D*21*212*12*12222112*1212222112*121222*********.2...ψψψψψψψψψψψψψψψψC C C C C C D C C C C C C C C C B C C A ++++++++dr r r R D rdr r R C r r R B r r R A nl nl nlnl 222222)(.)(.)(.)(.(33). F和G是厄密算符,则DA.FG必为厄密算符.B.FG−GF必为厄密算符.C.i(FG+GF)必为厄密算符.D.i(FG−GF)必为厄密算符(34).一维自由粒子的运动用平面波描写,则其能量的简并度为BA.1.B. 2.C. 3.D. 4.(35).若不考虑电子的自旋,氢原子能级n=3 的简并度为CA. 3.B. 6.C. 9.D. 12(36).氢原子能级的特点是DA.相邻两能级间距随量子数的增大而增大.B.能级的绝对值随量子数的增大而增大.C.能级随量子数的增大而减小.D.相邻两能级间距随量子数的增大而减小.(37).一维自由粒子的能量本征值BA. 可取一切实数值.B.只能取不为负的一切实数.C.可取一切实数,但不能等于零.D.只能取不为正的实数.(38).体系处于ψ=C1Y11+C2Y10态中,则ψBA.是体系角动量平方算符、角动量Z 分量算符的共同本征函数.B.是体系角动量平方算符的本征函数,不是角动量Z 分量算符的本征函数.C.不是体系角动量平方算符的本征函数,是角动量Z 分量算符的本征函数.D.即不是角动量平方算符的本征函数,也不是角动量Z 分量算符的本征函数.(39).幺正变换BA.不改变算符的本征值,但可改变其本征矢.B.不改变算符的本征值,也不改变其本征矢.C.改变算符的本征值,但不改变其本征矢.D.即改变算符的本征值,也改变其本征矢.(40).氢原子的一级斯塔克效应中,对于n = 2 的能级由原来的一个能级分裂为CA. 五个子能级.B. 四个子能级.C. 三个子能级.D. 两个子能级.(41).Stern-Gerlach 实验证实了DA. 电子具有波动性.B.光具有波动性.C. 原子的能级是分立的.D. 电子具有自旋.(42).下列有关全同粒子体系论述正确的是AA.氢原子中的电子与金属中的电子组成的体系是全同粒子体系.B.氢原子中的电子、质子、中子组成的体系是全同粒子体系.C.光子和电子组成的体系是全同粒子体系.D.α粒子和电子组成的体系是全同粒子体系.(43).全同粒子体系中,其哈密顿具有交换对称性,其体系的波函数A.是对称的.B.是反对称的.C.具有确定的对称性.D.不具有对称性.(44). 完全描述微观粒子运动状态的是:( C)(A) 薛定谔方程(B)测不准关系(C)波函数(D) 能量(45). 完全描述微观粒子运动状态变化规律的是:( C)(A)波函数(B) 测不准关系(C) 薛定谔方程(D) 能级(46). 若光子与电子的波长相等,则它们:(C )(A)动量及总能量均相等(B) 动量及总能量均不相等(C)动量相等,总能量不相等(D)动量不相等,总能量相等1、下列实验哪个不能证明辐射场的量子化[ D ](A)、光电效应 (B)、原子光吸收(C)、黑体辐射 (D)、电子晶体衍射2、下面哪个实验现象不能说明电子自旋的存在[ C ]A. 原子光谱精细结构B.反常塞曼效应C. 光的康普顿散射D.斯特恩-盖拉赫实验3、分别处于p 态和d 态的两个电子,它们的总角动量的量子数的取值是[ D ]A. 0,1,2,3,4.B.1,2,3,4.C. 0,1,2,3.D.1,2,3.4、下列哪位科学家不是因为量子力学与原子物理方面的贡献而获得诺贝尔奖的是[ D ](A). 波尔 (B).狄拉克 (C).薛定谔 (D). 德拜5、金属的光电效应的红限依赖于:[ C ](A)入射光的频率 (B)入射光的强度(C)金属的逸出功 (D)入射光的频率和金属的逸出功6、以下关于力学量算符，表述和正确的是：[ D ](A)、力学量算符的数学形式是算子(B)、力学量算符的数学形式是矩阵(C)、定义在希尔伯特空间的映射，对态矢量的任意映射都是算符(D)、定义在希尔伯特空间的映射，把一个态矢量映射为另一个态矢量的才是算符。

【试题】量子力学考试题

【关键字】试题量子力学考试题（共五题，每题20分）1、扼要说明：（a）束缚定态的主要性质。

（b）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。

2、设力学量算符（厄米算符），不对易，令＝i（-），试证明：（a）的本征值是实数。

（b）对于的任何本征态，的平均值为0。

（c）在任何态中+≥3、自旋/2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为＝+ν （，ν>0，»ν）（a）求能级的精确值。

（b）视ν项为微扰，用微扰论公式求能级。

4、质量为m的粒子在无限深势阱（0<x<a）中运动，处于基态。

写出能级和波函数，并计算平均值，，5、某物理体系由两个粒子组成，粒子间相互作用微弱，可以忽略。

已知单粒子“轨道”态只有3种：()，()，()，试分别就以下两种情况，求体系的可能（独立）状态数目。

（i）无自旋全同粒子。

（ii）自旋/2的全同粒子（例如电子）。

量子力学考试评分标准1、（a），（b）各10分（a）能量有确定值。

力学量（不显含t）的可能测值及概率不随时间改变。

（b）（n l m ms）（n’ l’ m’ ms’）选择定则：＝，＝0,，＝0根据：电矩m矩阵元-en’l’m’ms’，n l m ms02、（a）6分（b）7分（c）7分（a）是厄米算符，所以其本征值必为实数。

（b）＝，＝＝＝i-＝i｛-G｝＝0（c）(+i)(-i)=2+2-(+i)(-i)=︱(-i)︱2≥0 <2+2->≥0，即+≥ 3、(a)，(b)各10分(a) ＝+ν＝［］+ν［］＝［］＝E ，＝［］，令E ＝，则［］［］＝0，︱︱＝--＝0＝，E1＝-，E2＝当»ν，＝（1+）1/2（1+）＝+E1-［+］，E2 ＝［+］（b ）＝+ν＝0+’，0＝，’＝ν0本征值为，取E1（0）＝-，E2（0）＝相当本征函数（Sz 表象）为1(0)＝[]，2(0)＝[] 则’之矩阵元（Sz 表象）为=0，=0，＝＝E1＝E1（0）++＝-+0-＝-- E2＝E2（0）++＝+ 4、E1＝，＝＝＝＝-i-i ＝-i ＝＝- ＝0+四项各5分 5、（i ），（ii ）各10分（i ）s ＝0，为玻色子，体系波函数应交换对称。

《量子力学》22套考研自测题+答案

⎜⎝ 0 3λ 3 + 2λ ⎟⎠ 的本征值至 λ 的二次项，本征矢至 λ 的一次
项。
五、（10 分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作
用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几
个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?
QQ：704999167
QQ：704999167
En
=
−
Z 2e2 2a
， ψ 100 =
1
⎜⎛
Z
⎟⎞ 3 /
2
− Zr
ea
π ⎝a⎠
，计算时，可利用积分公式
∫∞ xe−2ax dx = 1 。
0
4α 2
五、（本题 20 分）
设一维谐振子的能量本征函数为ψ n (x) ，求：
QQ：704999167
HY制作
HY制作
HY制作
量子力学自测题（5）
一、填空题（本题 20 分）
1．Planck 的量子假说揭示了微观粒子
特性，Einstein 的光
量子假说揭示了光的
性。Bohr 的氢原子理论解决了经典
考研自测题精美汇总
电磁场理论和原子的
之间的矛盾，解决了原子的
的起源问题。
2．力学量算符必须是
10. n 为 Lz 的本征态，本征值为 n 。求在 L z 的本征态 n 下， Lx
和 Ly 的平均值。
11. 氢原子处于状态
⎜⎛
ψ
(r
,
s
z
)
=
⎜ ⎜
⎜− ⎝
1 2
R
21
Y 11
3 2 R 21 Y10
⎟⎞ ⎟ ⎟ ⎟
=

理工大学物理工程学院电子科学与技术专业量子力学期末考试试卷及答案

、如果原子本身处于激发态，在没有外界光照时，也可能跃迁到某些较低能级而放出光来，（B）自发和受激吸收（C）光的吸收是可观测量，应为实数，表示力学量的算符必须是ˆx p μω+ˆx p μω-1=- （2）,a a a +⎡⎤⎣⎦,a a a a +++⎤=⎦（3）ˆH 、2题各15分，第3、,要求有具体计算步骤）的矩阵为： ⎤⎥理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸| 课程名称—量子力学—— （ A 卷） | 一、选择题（每题3分，共15分）装 1.B 2.C 3. A 4.D 5.B | 二、填空题 (每空2分，共20分）1. 单值的，平方可积的2. 线性算符，厄米算符3. 平均值几率分布4. 4 200ψ，211ψ，210ψ，211ψ-5. 平均场积三、证明题（共15分）证明：（1）[][]ˆˆˆˆ,,21111ˆˆˆˆˆˆˆˆ,,,,2222ˆˆˆˆ,,122a a x p x p i i i x x x p p x p pi i x p p x μωμωμωμωμωμωμωμωμωμω+⎡⎤⎫⎛⎫⎡⎤=-+⎥⎪ ⎪⎣⎦⎪ ⎪⎥⎭⎝⎭⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎤=+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦=-=- 其中利益[]ˆˆ,xp i = （6分）（2）[],,,a a a aa a a a a a +++⎡⎤⎡⎤=+=-⎣⎦⎣⎦ ,,,a a a a a a a a a a +++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （4分）（3）可以求得：()ˆxa a +=+ ()ˆpa a +=-系统Hamilton 为()()()()22222ˆ1111ˆˆ2222211121222p H x a a a a a a aa a a a a μωωμωωω++++++⎡⎤=+=--++⎢⎥⎣⎦⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭（5分）四计算题（第1、2题各15分，第3、4题各10分，要求有具体计算步骤）1、解:(1)一维无限深势阱的本征态波函数是()n n xx aπψ=（2分）利用三角函数积化和、差，将()x ψ改写 ()2cos x xx a a ππψ=21cosx x a a ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦ 22sin 2sin cos x x x a a aπππ⎤=+⎥⎦3sin sin x x a a ππ⎤=+⎥⎦ 3x x a a ππ⎤=⎥⎦()()13x x ψψ=+⎤⎦ （4分）()x ψ是非本征态，它可以有二种本征态，部分处在()1xx aπψ=出现几率为12，能量为22122E ma π=部分处在()33x x a πψ=，出现几率为12，能量为223292E ma π= （2分） (2)处于这种状态下粒子的能量平均值22132115222E E E ma π=+= （3分）（3）粒子随时间变化的波函数为 ()222292223,sin 2n i i iE tt t ma ma nnx x x t C ee e a a ππππψψ---⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎪⎪⎭⎭∑ （4分） 2、解：（1）在z σ表象中，0110x σ⎛⎫=⎪⎝⎭ 00y i i σ-⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1001z σ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（3分）cos sin sin cos i x x y y z z i e n n n n eϕϕθθσσσσθθ-⎛⎫=++= ⎪-⎝⎭，其本征方程为cos sin cos sin 0sin cos sin cos i i i i a a a e e b b b ee ϕϕϕϕθθθλθλθθθθλ--⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⇒= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 有非零解的条件为cos sin 01sin cos i i e eϕϕθλθλθθλ--=⇒=±-- （4分）当1λ=时，对应的本征态为()()1cos /2sin /2i e ϕθψθ-⎛⎫=⎪⎝⎭ 当1λ=-时，对应的本征态为()()2sin /2cos /2i e ϕθψθ-⎛⎫= ⎪-⎝⎭ （2分）（2）在ˆz s本征态1/2χ下，n σ的可能测值为1± 故n σ的可能测值为1+的几率为()()()()22211/21cos /2,sin /2cos /20i e ϕψχθθθ⎛⎫== ⎪⎝⎭（3分）故n σ的可能测值为1-的几率为()()()()22221/21sin /2,cos /2sin /20i e ϕψχθθθ-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭（3分）3、解：微扰算符的的矩阵是'''111213'''212223'''31323300'000H H H b H H H H a H H H ba **⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ （1）根据无简并微扰论，一级能量修正量是： kk H从（1）中看出，对角位置的矩阵元全是零，因此一级修正量0)0(3)0(2)0(1===E E E （2分）又二级能量公式是： 2'(2)(0)(0)nkkn k nn kH E E E ≠=-∑（2分）所需的矩阵元'nk H 已经直接由式（1）表示出，毋需再加计算，因而有：2222'''12131(2)1(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)1121313n nnH H H b E EEEEE E E E ==+=----∑（2分） 2222'''21232(2)2(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)2312123n nnH H H a E E E E E E E E E ==+=----∑（2分） 22222'''32313(2)3(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)332313132n nnH H Hb a E EEEEE E E E E E ==+=+-----∑（2分） 4．解：（1）利用21ˆˆ2q H P A q c φμ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭可得系统的哈密顿量为 222222211ˆˆˆˆˆ221ˆˆˆ2x x y y zz x y z q q q q H P A q P A P A P A q y c c c c q P By P P q yc φεμμεμ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-+--⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫=+++-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦（4分）（2）证明：2222221ˆˆˆˆˆˆ,,2111ˆˆˆˆˆˆˆ,,,,0222x x y z x x x y x z x x q H P P By P P q y P c q P By P P P P P q y P c εμεμμμ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤=+++-⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++-=⎢⎥ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦2222221ˆˆˆˆˆˆ,,2111ˆˆˆˆˆˆˆ,,,,0222z x y z z x z y z z z z q H P P By P P q y P c q P By P P P P P q y P c εμεμμμ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤=+++-⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++-=⎢⎥ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦ˆx P 的本征函数为()/x x ip x P x e ψπ=，本征值为x p -∞<<∞ ˆz P 的本征函数为()/z zip z P x e ψπ=，本征值为z p -∞<<∞ （4分）（3）选守恒量完全集为()ˆˆˆ,,x zH P P （2分）。

量子力学中的波粒二象性练习题及

量子力学中的波粒二象性练习题及解答量子力学中的波粒二象性练习题及解答1. 简答题：(1) 什么是波粒二象性？波粒二象性是指微观粒子既可以表现出波动性质，也可以表现出粒子性质的现象。

(2) 波粒二象性在实验中表现出哪些特点？在实验中，波粒二象性表现出以下特点：- 干涉现象：微观粒子通过狭缝后会出现干涉条纹，表明它们具有波动性质；- 衍射现象：微观粒子通过缝隙后会发生衍射，表明它们具有波动性质；- 粒子定位：当对微观粒子进行测量时，它们会被定位在某一位置，表明它们具有粒子性质；- 粒子撞击：当微观粒子撞击屏幕或探测器时，它们会以粒子的方式撞击。

(3) 请列举一个实验来说明波粒二象性的存在。

杨氏实验是一个典型的实验，可用来证明波粒二象性的存在。

实验原理如下：- 在实验台上放置一个光源，通过狭缝产生光束。

- 光束通过两个间距恒定的狭缝，并在屏幕上形成干涉条纹。

- 当光源中只有一个光子时，它只能通过其中的一个狭缝，并在屏幕上形成单个点，表明光子具有粒子性质。

- 当光源中有多个光子时，它们可以通过两个狭缝的任意一个，并在屏幕上形成干涉条纹，表明光子具有波动性质。

2. 计算题：(1) 根据波粒二象性的原理，一个电子的动量和波长之间的关系可以由德布罗意公式给出：λ = h / p其中，λ是电子的波长，h是普朗克常数，p是电子的动量。

如果一个电子的动量为2 × 10^-25 kg·m/s，求其波长。

解答：根据德布罗意公式，λ = h / p代入动量p的值，得到λ = 6.63 × 10^-34 J·s / 2 × 10^-25 kg·m/s化简后可得λ = 3.315 × 10^-9 m因此，该电子的波长为3.315纳米。

(2) 假设一个中子的速度为300 m/s，求其波长。

已知中子的质量为1.67 × 10^-27 kg。

解答：首先，计算中子的动量p = m * v，其中m是中子的质量，v是中子的速度。

量子力学中的测量测试题

量子力学中的测量测试题量子力学是研究微观粒子行为的重要理论，其中测量是一个核心概念。

量子力学中的测量与经典物理中的测量有所不同，涉及到了波函数坍缩和不确定性原理等重要概念。

接下来，我将为您提供一些关于量子力学中的测量的测试题。

测试题一：波函数坍缩1. 量子力学中，什么是波函数坍缩？2. 波函数坍缩发生在量子体系的哪个阶段？3. 波函数坍缩后，量子体系处于什么样的状态？4. 请解释为什么波函数坍缩是量子力学中的一个奇特现象。

测试题二：不确定性原理1. 请简要介绍不确定性原理是什么？2. 不确定性原理对于测量中的哪些物理量起到了重要作用？3. 不确定性原理告诉我们什么？4. 请解释为什么存在不确定性原理。

测试题三：量子测量1. 在量子力学中，测量是如何定义的？2. 请解释测量对量子体系的影响。

3. 什么是观测算符？4. 您能否解释为什么测量结果是离散的？测试题四：测量算符1. 什么是测量算符？2. 测量算符可以描述哪些物理量的测量？3. 请解释为什么测量算符的本征值对应于测量的结果。

4. 您能否给出一个具体的测量算符的例子？测试题五：测量的统计解释1. 请简要介绍测量的统计解释。

2. 为什么在量子力学中，我们只能给出测量的概率？3. 请解释为什么在重复测量中，我们观察到的是统计规律而不是确定结果。

测试题六：电子自旋测量1. 电子自旋是什么？2. 请简要介绍电子自旋的测量是如何进行的。

3. 自旋上态和自旋下态分别对应于什么？4. 您能否解释为什么电子自旋测量的结果只能是自旋上态或自旋下态？以上是关于量子力学中的测量的测试题，希望能帮助您巩固对量子力学的理解。

量子力学中的测量是极其重要且复杂的一部分，对于深入理解量子世界至关重要。

通过这些测试题，您可以考察自己对于测量概念的掌握程度，并进一步拓展对量子力学的认识。

祝您学习进步！。

量子教育测试题及答案

量子教育测试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 量子力学中的“量子”一词最早是由哪位科学家提出的？A. 爱因斯坦B. 普朗克C. 薛定谔D. 波尔2. 量子纠缠是量子力学中的一种现象，以下哪项描述是错误的？A. 纠缠粒子间存在超距作用B. 纠缠粒子的某些属性在测量前不确定C. 纠缠粒子的属性在测量后立即确定D. 纠缠粒子的属性与空间距离无关3. 根据量子力学，一个粒子的位置和动量不能同时被精确测量，这被称为：A. 测不准原理B. 波粒二象性C. 量子叠加D. 量子隧穿4. 量子计算机与传统计算机的主要区别在于：A. 存储容量B. 处理速度C. 信息表示方式D. 能耗更低5. 以下哪个不是量子力学的基本原理？A. 波函数坍缩B. 量子叠加C. 量子纠缠D. 经典力学的完备性6. 在量子力学中，一个系统的状态可以用哪种数学对象来描述？A. 向量B. 矩阵C. 标量D. 张量7. 量子力学中的“观察者效应”指的是：A. 观察者的存在会影响实验结果B. 观察者必须使用仪器来观察量子系统C. 观察者可以改变量子系统的波函数D. 观察者可以预测量子系统的未来发展8. 以下哪项不是量子计算的潜在应用？A. 加密通信B. 药物设计C. 天体物理模拟D. 经典计算机编程9. 量子比特（qubit）是量子计算的基础，它与经典比特的主要区别在于：A. 存储容量B. 可以同时表示0和1C. 处理速度D. 能耗更低10. 量子退相干是量子系统与环境相互作用的结果，它会导致：A. 量子纠缠B. 量子叠加C. 量子坍缩D. 量子系统的稳定性增强答案：1. B2. A3. A4. C5. D6. A7. A8. D9. B10. C二、简答题（每题5分，共20分）1. 简述量子力学与经典力学的主要区别。

答：量子力学与经典力学的主要区别在于其对微观粒子行为的描述方式。

经典力学基于牛顿定律，适用于宏观物体的运动描述，而量子力学则适用于微观粒子，如原子和亚原子粒子。

量子力学练习题

1、若ˆF 、ˆG 均为厄米算符，则ˆˆFG 也为厄米算符（）2、不同定态的线性叠加还是定态（）3、若ˆA 与ˆB 对易，且ˆB 与ˆC 对易，则必有ˆA 与ˆC 对易（）4、若两力学量算符ˆF 与ˆG 对易，则在任意态中，它们都有确定的值（）5、所谓全同粒子就是指所有性质均相同的粒子（）6、归一化波函数的模方2|(,)|r t ψ表示时刻，r 处粒子出现的概率（）7. 设为()n x ψ一维线性谐振子的归一化波函数，则有*ˆ()()n n x p x dx ∞-∞ψψ=⎰ ；*1ˆ()()n n x p x dx ∞+-∞ψψ=⎰ 8、称为隧道效应；9、在2ˆL 和ˆz L 的共同本征态lm Y 中，22ˆˆx y L L ∆⋅∆= 10、氢原子处于03232020(,)r a Ar eY θϕ-ψ=态，则其最可几半径r = 11、 Planck 的量子假说揭示了微观粒子能量的特性。

12. 两个角动量11j =、212j =耦合的总角动量J = 和 13. 量子力学几率守恒定律的微分形式和积分形式分别为14. 本征值方程的特点是什么？15. 全同性原理是16. 已知ˆd F x dx +=+，ˆd F x dx-=-，求ˆˆ[,]?F F +-= 17. 求ˆˆ[,()]?xf p = 18. 如果电子的质量、电荷和加速电压分别为m 、-e 、U ，则其德布罗意波长。

19.若Ψ1 ，Ψ2 ,..., Ψn ,...是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加Ψ= C 1Ψ1 + C 2Ψ2 + ...+ C n Ψn + ... (其中 C 1 , C 2 ,...,C n ,...为复常数)也是体系的一个可能状态。

（）20.设氢原子处于态求氢原子的能量、角动量平方、角动量z 分量取值的情况和相应的概率P 以及各力学量的平均值。

()()()()()1101111,,,,22r R r Y R r Y ψθϕθϕθϕ-=-221、简述量子力学的主要基本假定。

北京理工大学04年研究生入学考试量子力学试题及答案(3)

= σ x cos2 λ −σ x sin 2 λ − 2σ y cosλ sin λ
= σ x cos 2λ −σ y sin 2λ
12
四、（40分）设体系处于归一化波函数ψ = c1Y11 + c2Y20 ,求、（40分 40 1. Lz 的可测值及相应的概率。 2. L2 的可测值及相应的概率。 3.计算 (∆Lz )2 4.在 ψ = Y11 态下，求 Lx 的平均值。 5.在 ψ = Y11 态下，求 (∆Lx )2 的平均值。解：1.
a a 2
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而 − a < x < a 势阱中粒子波函数
′ 将 ψ1(x) 按 ψn (x)展开， ψ1 (x) =
a 2 a
′ ψn (x) =
1 nπ sin (x + a) a 2a
∑c ψ′ (x)
n n n
a
2 2 πx π πx π ′ c1 = ∫ψ1 *ψ1dx = sin( + )sin( + )dx a −∫ 2a 2 a 2 −a a
2 z
(∆Lz ) = c1 (1− c1 )ℏ = c1 c2 ℏ2
2 2 2 2 2 2
4.在 ψ = Y11 态下，求 Lx 的平均值。
ˆ = 1 (L + L ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 利用升降算符 L± = Lx ± iLy ，得 Lx + − 2
ˆ L± l, m = (l ∓ m)(l ± m+1)ℏ l, m±1
求基态能量一级修正。 5.当粒子处于基态时，设阱宽突然变为 2a，粒子波函数来不及改变，求粒子仍处在基态的概率。
2
解： 1. 粒子能量本征值和本征函数为：

曾谨严量子力学习题解答3

= 0 + 0 + yihpz + ihpz y zihp y ihp y z
r r 同理，亦可证得： ly , r p = 0, 由此可得：
=0
r r lz , r p = 0
r r l , r p = 0, α
证毕。
(α = x, y, z )
2.《曾 P.238-3》设 [ q, p ] = ih, f ( q ) 是q 的可微函数，证明
(
)
( ) ( ) ( )
(
)
(
)
(
)
( )
1 1 ∴ O+ = O + O + = AB + BA 2 2 1 + 1 O = OO = AB BA 2i 2i 由上面的证明易知，O 和O 均为Hermite算符。
( (
O + = BA
) ( ) (
+
)
)
1 1 ∴ O = AB = AB + BA + i AB BA 2 2i =O +O
（e） [ p, pfp ] = [ p, pf ] p + pf [ p, p ] = [ p, pf ] p + 0
= p [ p, f ] p + [ p, p ] fp = p [ p, f ] p + 0 h pf ′ p i 2 2 2 （f） p, fp = [ p, f ] p + f p, p =
( )
(
)
= A3 B1C3 + A2 B1C2 A1 ( B2C2 + B3C3 )
A1 ( B1C1 + B2C2 + B3C3 )

吉林大学量子力学作业题3算符测不准关系展开假定

1、粒子做一维运动，其哈密顿量为 )(2ˆ2x V mp H x += 且假设具有断续谱nn n E H ψψ=ˆ证明：dx x dx pm n m x n ψψαψψ∫∫=**ˆ，其中α为依赖于的常数，并求出该常数。

m n E E −2、利用测不准关系估算一维线性谐振子的零点能。

3、设粒子在宽度为a 的一维无限深势阱中运动，如果粒子的状态由波函数 a xa xa x ππψ2cos sin 4)(=描述，求粒子能量的可能取值与相应的几率。

4、在由正交规一基矢{}32u 所张成的三维空间中考虑一物理体系，算符1,u u Hˆ和B ˆ定义如下：，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=1000100010ω=H ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=010100001b B 其中0ω和b 是实常数。

（1）Hˆ和B ˆ是否是厄米算符；（2）证明Hˆ和B ˆ可对易；（3）求Hˆ和B ˆ的共同本征矢。

5、在由正交规一基矢{32,u 所张成的三维空间中，物理体系的能量算符1,u u Hˆ和另外两个物理量A ˆ与B ˆ的矩阵形式如下：，，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=2000200010ω=H ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=010100002a A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=100001010b B 其中0ω，a，b 均为正的实常数。

0=t 时体系处于 321212121)0(u u u t ++==ψ 所描述的状态。

（1）对)0(=t ψ所描述的状态，指出能量的取值及相应的取值几率，并计算出差方平均值2HΔ；（2）对)0(=t ψ所描述的状态，计算可观测量的取值及相应的取值几率；A ˆ（3）计算的任意时刻体系的态矢0>t )(t ψ；（4）对)(t ψ所描述的状态，计算B ˆ的平均值，并解释其依赖时间的原因；（5）如果在t 时刻测量Aˆ，说明其结果与（2）中的结果相同的理由。

6、在的表象中， 1=l )ˆ,ˆ(2zL L ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=010*******=x L ， ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=100000001ˆ=z L （1）给出它们的本征值和本征态矢；（2）给出)ˆ,ˆ(2zL L 表象到)ˆ,ˆ(2x L L 表象变换的S 矩阵；（3）通过S 矩阵，求出在)ˆ,ˆ(2x L L 表象中x L ˆ和zL ˆ的矩阵表示。

量子力学第三章习题与解答

第三章习题解答3.1 一维谐振子处在基态t i x e x ωαπαψ2222)(--=，求：(1)势能的平均值2221x U μω=； (2)动能的平均值μ22p T =；(3)动量的几率分布函数。

解：(1) ⎰∞∞--==dx e x x U x 2222222121απαμωμω μωμωππαμω ⋅==⋅=2222221111221ω 41= (2) ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122*2ψψμμ ⎰∞∞----=dx e dx d e x x 22222122221)(21ααμπα ⎰∞∞---=dx e x x 22)1(22222αααμπα][222222222⎰⎰∞∞--∞∞---=dx e x dx e x xααααμπα]2[23222απααπαμπα⋅-=μωμαμαπαμπα⋅===442222222 ω 41=或 ωωω 414121=-=-=U E T (3) ⎰=dx x x p c p )()()(*ψψ 212221⎰∞∞---=dx ee Px i xαπαπ⎰∞∞---=dx eePx i x222121απαπ⎰∞∞--+-=dx ep ip x 2222)(21 21αααπαπ ⎰∞∞-+--=dx ee ip x p 222222)(212 21αααπαπ παπαπα22122p e -=22221απαp e-=动量几率分布函数为 2221)()(2απαωp ep c p -==#3.2.氢原子处在基态0/301),,(a r e a r -=πϕθψ，求：(1)r 的平均值；(2)势能re 2-的平均值；(3)最可几半径； (4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。

解：(1)ϕθθπτϕθψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0220/23020⎰⎰⎰⎰∞-==⎰∞-=0/233004dr a r a a r04030232!34a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2203020/232020/232202/2322214 4 sin sin 1)()2(000a e a a e drr ea e d drd r e a e d drd r e ra e r e U a r a r a r -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-ππππϕθθπϕθθπ(3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为 ⎰⎰=ππϕθθϕθψω02022 sin )],,([)(d drd r r dr r dr r e a a r 2/23004-=2/23004)(r e a r a r -=ω 0/2030)22(4)(a r re r a a dr r d --=ω令 0321 , ,0 0)(a r r r drr d =∞==⇒=，ω 当0)( ,0 21=∞==r r r ω时，为几率最小位置/22203022)482(4)(a r e r a r a a dr r d -+-=ω08)(230220<-=-=e a dr r d a r ω ∴ 0a r =是最可几半径。

量子力学习题集及答案

23．设氢原子的状态为，求：（1）能量E，轨道角动量z分量自旋角动量z分量的可能值和相应几率；（2）能量E，轨道角动量z分量自旋角动量z分量的平均值。解： .
(1) 能量有两种可能值,, ,相应几率分别为; 有两种可能值,, ,相应几率分别为; 有两种可能值,, ,相应几率分别为; (2) =
3．德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（电）子衍射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（）和（）。
4．三维空间自由粒子的归一化波函数为=（），（）。 5．动量算符的归一化本征态（），（）。 6． t=0时体系的状态为，其中为一维线性谐振子的定态波函
数，则（）。 7．按照量子力学理论，微观粒子的几率密度=（），几率
流密度=（）。 8．设描写粒子的状态，是（粒子的几率密度），在中的
平均值为=（）。 9．波函数和是描写（同一）状态，中的称为（相因子
），不影响波函数的归一化，因为（）。 10．定态是指（能量具有确定值）的状态，束缚态是指
（无穷远处波函数为零）的状态。 11．是定态的条件是（），这时几率密度和（几率密度）
二、计算、证明题
1．粒子在一维势场中运动，试从薛定谔方程出发求出粒子的定态能级和归一化波函数.
解：当当令得
，
2．一粒子在一维势场中运动，试求粒子的能级和归一化定态波函数（准确解）。解：令则
3．一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为
试从薛定谔方程出发求粒子在态中的能级和定态波函数（不必归一化）。 { 提示：在态中 } 解：当当令得
立。
23．力学量算符的本征值必为（实数），力学量算符的属
于两个不同本征值的本征态必（相互正交）。

第1章量子力学基础-习题与答案

一、是非题1. “波函数平方有物理意义，但波函数本身是没有物理意义的”。

对否解：不对2. 有人认为，中子是相距为10-13 cm 的质子和电子依靠库仑力结合而成的。

试用测不准关系判断该模型是否合理。

解：库仑吸引势能大大地小于电子的动能, 这意味着仅靠库仑力是无法将电子与质子结合成为中子的，这个模型是不正确的。

二、选择题1. 一组正交、归一的波函数123,,,ψψψ。

正交性的数学表达式为 a ，归一性的表达式为 b 。

()0,()1i i i i a d i jb ψψτψψ**=≠=⎰⎰2. 列哪些算符是线性算符------------------------------------------------------ (A, B, C, E )(A) dxd(B) ∇2 (C) 用常数乘 (D) (E) 积分3. 下列算符哪些可以对易-------------------------------------------- (A, B, D )(A) xˆ 和 y ˆ (B) x∂∂和y ∂∂ (C) ˆx p和x ˆ (D) ˆx p 和y ˆ 4. 下列函数中 (A) cos kx (B) e -bx(C) e -ikx(D) 2e kx -(1) 哪些是dxd的本征函数；-------------------------------- (B, C ) (2) 哪些是的22dx d 本征函数；-------------------------------------- (A, B, C )(3) 哪些是22dx d 和dxd的共同本征函数。

------------------------------ (B, C )5. 关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选) ------------------（C,D ）(A)光电流大小与入射光子能量成正比 (B)光电流大小与入射光子频率成正比 (C)光电流大小与入射光强度成正比 (D)入射光子能量越大，则光电子的动能越大6. 提出实物粒子也有波粒二象性的科学家是：------------------------------（ A ）(A) de Bröglie (B) A.Einstein (C) W. Heisenberg (D) E. Schrödinger7. 首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是：--------------（ C ）(A) 薛定谔 (B) 狄拉克 (C) 海森堡 (D) 波恩 8. 下列哪几点是属于量子力学的基本假设(多重选择)：---------------（ AB）(Ａ)电子自旋(保里原理) (Ｂ)微观粒子运动的可测量的物理量可用线性厄米算符表征 (Ｃ)描写微观粒子运动的波函数必须是正交归一化的 (Ｄ)微观体系的力学量总是测不准的，所以满足测不准原理9. 描述微观粒子体系运动的薛定谔方程是：------------------------------（ D ） (A) 由经典的驻波方程推得 (B) 由光的电磁波方程推得(C) 由经典的弦振动方程导出 (D) 量子力学的一个基本假设三、填空题：1. 1927年戴维逊和革未的电子衍射实验证明了实物粒子也具有波动性。

量子力学3

在θ0−θ0+dθ 中的几率为
φ (r , θ 0 , ϕ , t ) sin θ 0 dθr 2 drdϕ = ∫
− 1 = sin θ 0 dθ e a r 2 drdϕ 8πa 3 ∫ r 2
1 1 3 = sin θ 0 dθ ⋅ 2a ⋅ 2π = sin θ 0 dθ 3 2 8πa
在ϕ0−ϕ0+dϕ 中的几率为
h2 1 ∂ 2 ∂ 1 1 ∂ ∂ 1 ∂2 ˆ =− T 2 r + 2 sinϑ + 2 2 2m r ∂r ∂r r sinϑ ∂ϑ ∂ϑ sin ϑ ∂ϕ
柱坐标下
1 ∂ ∂ 1 ∂2 ∂2 ˆ =− h T ρ + 2 2 + 2 2m ρ ∂ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z
ψ = e ip x
0
h
请计算动量分布函数。请计算动量分布函数。思考题2.对一维粒子具有确切位置思考题对一维粒子具有确切位置x=x0相应的波对一维粒子具有确切位置函数？函数？ ψ ( x) = δ ( x − x0 ) 请计算动量分布函数。请计算动量分布函数。
[例题] 将波函数归一化
首先，首先，如果将这里观测时间的不确定量看作观测的持续时间，那么，持续时间，那么，测量粒子能量 E 的不确定量和对它进行观测的持续时间之间，它进行观测的持续时间之间，将存在这种不确定性关系。换句话说，对测量过程分析表明，为了精确关系。换句话说，对测量过程分析表明，测量能量(精确度达到测量能量精确度达到 ∆E )，要求测量所花费的，时间至少为
能量（能量（Hamilton)算符算符角动量算符
h2 2 v ˆ = T +V = − ˆ ˆ H ∇ +V ( r ) 2m

量子力学习题3

三.力学量用算符表达1、下列算符中哪些是线性算符：（1）2223dx d x；（2）2；（3）òdx；（4）；（5）å=hi 12、下列算符中哪些是厄米算符：（1）dx d；（2）dx di ；（3）22dx d ；（4）22dx d i ；（5）)1(r r i +¶¶- ；（6）)ˆˆ(22x x p x x p i -。

3、如果 Fˆ和 G ˆ都是厄米算符，但互不对易，试判断下列算符中哪些是厄米算符？（1）G Fˆˆ；（2）F G ˆˆ；（3）G F ˆˆ+F G ˆˆ；（4）G F ˆˆF G ˆˆ-；（5）i （G Fˆˆ+F G ˆˆ）；（6）i （G F ˆˆF G ˆˆ-）；（7）G F ˆˆ+；（8）G F ˆˆ-；（9）)ˆˆ(G F i +；（10）)ˆˆ(G F i -；4、利用对易关系式i p x x =]ˆ,[和 )(]ˆ),([x F i p x F x ¢= 式中 dx x dF x F )()(1=，试证明：（1）);(ˆ2)](ˆ,[2x F p i x F px x x = （2）)];(ˆˆ)([]ˆ)(ˆ,[x F p p x F i p x F p x x x x x +=（3）;ˆ)(2]ˆ)(,[2x x p x F i p x F x = （4）);(ˆ)](ˆ,ˆ[22xF p i x F p p x x x ¢-=（5）;ˆ)(ˆ]ˆ)(ˆ,ˆ[x x x x x p x F p i p x F p p ¢-= （6）22ˆ)(]ˆ)(,ˆ[x x x p x F i p x F p ¢-= 。

5、如果算符 b a ˆ,ˆ满足条件 1ˆˆˆˆˆ=-a b b a ，求证：(1)b a b b a ˆ2ˆˆˆˆ22=-, (2) 233ˆ3ˆˆˆˆb a b b a =- (3) 1ˆˆˆˆˆ-=-nnn n b a b ba 6、求 ?]ˆ,[=x L x ； ?]ˆ,[=y Lx ； ?]ˆ,[=z L x ，由此推出 z y ,分别与 z y x L L L ˆ,ˆ,ˆ的对易关系式。

量子力学第三章习题

(1) 转子绕一固定点转动; (2) 转子绕一固定轴转动. 解: 空间转子是在中心力场中运动的特例,即它是被约束在球面上运动的体系.这种情况下,体系的哈密顿为 (1) 对于定点转动,状态与都有关,设能量的本征函数为,有即
而比较上两式,我们得到:
当时，则此时我们同时求得能量的本征值和本征函数.
(3)角动量分量的本征值方程为它是的一个因子。的值取决于量子数，题给定的状态不是的本征态，而是本征态的线性叠加。在态中，而在态中，故在所给的态中，的可能值为和，出现和的几率分别为和，即和。的平均值
3.10. 一粒子在硬壁球形空腔中运动，势能为求粒子的能级和定态波函数。
解: 这是一个无限深方势阱的问题,它只存在束缚态解.当,. 设粒子的质量为,因此,系统的哈密顿算符为考虑到的球对称性,采用球坐标系,此时,有
第三章量子力学中的力学量
3.1 一维谐振子处在基态 ,求
(1) 势能的平均值 ;
(2) 动量的几率分布函数;
(3) 动能的平均值 .
解: (1) 势能的平均值:
(2) 动量的几率分布函数
所以
(3) 动能的平均值
计算可知,这一状态中的振子的势能和动能的平均值相等,都是零点
能的一半.
以上计算中,用到积分公式: 费曼方法介绍: 设某系统的能量本征值方程为其中含有一参数, 那么, 便有于是有再根据, 得到
(5) 另解：氢原子基态波函数为
，仅是的函数而
，所以只考虑径向的“测不准关系”
氢原子的径向能量为而所以
因而
取
由上两式得
即
将上式代入氢原子的径向能量表示式中
得
基态能量是上面表达式使取极小值。满足这一条件的由求极值的方法求

高等量子力学练习题及答案解析三

3.1幺正算符也有本征矢量。

证明幺正算符的本征值都是绝对值是1的复数；幺正算符的两个本征矢量，若所属本征值不同亦必正交。

证明：设算符U为幺正算符，ψ为其任意本征矢量，u 为对应的本征值。

即ψψu U =则ψψψψψψψψu u U U U U *+===因0≠ψψ，所以1=*u u 即 1=u即证得幺正算符的本征值都是绝对值是1的复数。

设算符U 为幺正算符的两个本征值为1u 、2u ，对应的矢量分别为1ψ、2ψ，且21u u ≠。

则111ψψu U = 11111ψψu U =- 222ψψu U = 22211ψψu U =- 因为幺正算符1-+=U U则有21212121ψψψψψψu u U U *+==2121211ψψψψu u UU *+== 所以01212121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-**ψψu u u u 因为012121≠-**u u u u ，故021=ψψ，即 1ψ和2ψ正交。

即证得幺正算符的两个本征矢量，若所属本征值不同亦必正交。

3.2 投影于某一子空间的投影算符P ，既然是厄米算符，它的本征值是什么？有无简并？本证子空间是什么？解：投影于某一子空间的投影算符∑==mi iP 1，设全空间是n 维的，且n m <。

则本征值方程ψλψψ==∑=mi i iP 1⑴其中λ为本征值，ψ为相应的本征态。

则ψλψλψ22==P P ⑵ 由幺正算符等幂性P P =2得ψψP P =2 ⑶ 由⑴、⑵和⑶式得λλ=2，所以1=λ或0=λ。

即求得投影算符的本征值是1或0。

当1=λ时，本征失量是i ，其中m i ,2,1=。

所以是简并的，本征子空间S 是由这m 个基矢构成的矢量空间。

当0=λ时，本征矢量是与i 正交的矢量。

所以也是简并的，本征子空间是S 空间的补空间。

#练习3.3 证明若算符的本征值谱中有零本征值，则这个算符肯定没有逆。

证明：假设算符A 有逆，则在值域中取一任意|φ>，则定义域有|ψ>存在即ψφφ-==AA 1已知A的全部本征值和相应的本征矢量：i i i a A ψφ= i=1，2，3…，∴()ψψφ--==A a AA算符A 存在零本征值，即00=⇒=φa a∴对于任意本征矢量()ψφa A -≠与()ψφ-=A a 矛盾∴假设不成立，即算符的本征值谱中有零本征值，这个算符肯定没有逆。

量子力学选择题3

量子力学选择题3(1)、体系从态|n>跃迁到|m>态的辐射强度J mn 正比于[ ](A)、mn r(B)、2mn r(C)、3mn r(D)、4mn r(2)、单电子原子偶极跃迁有关角动量量子数及磁量子数的选择定则是[ ](A)、1,0;1,0 m l (B)、1;1 m l (C)、1,0;1 m l (D)、1;1,0 m l(3)、有关全同粒子系的波函数，下列表述正确的是[ ](A)、费米子系的波函数满足交换对称性；玻色子系的波函数满足交换反对称性(B)、费米子系的波函数满足交换反对称性；玻色子系的波函数满足交换对称性(C)、费米子系和玻色子系的波函数都满足交换反对称性(D)、费米子系和玻色子系的波函数都满足交换反对称性。

(4)、关于费米子和波色子，下列表述正确的是[ ](A)、费米子的自旋为整数；玻色子的自旋为半整数；(B)、费米子和玻色子的自旋都是半整数；(C)、费米子和玻色子的自旋都是整数；(D)、费米子的自旋为半整数；玻色子的自旋为整数。

(5)、下列表述正确的是[ ](A)、交换全同粒子体系中任何一对粒子，不引起物理状态的改变(B)、全同粒子体系的波函数一定可以写成空间部分和自旋部分之积(C)、全同粒子体系的波函数对于任何两粒子的交换都是对称的(D)、全同粒子体系的波函数自旋部分，总能写成对称的形式或反对称的形式(6)、若一个电子的轨道角动量量子数为2，其总角动量量子数有几个取值[ ](A)、1个(B)、2个(C)、3个(D)、4个(7)、两个电子组成的体系能量本征态的自旋波函数有几个是交换对称的[ ](A)、1个(B)、2个(C)、3个(D)、4个(8)、自由粒子的波函数用平面波表示，其能量本征态的简并度是[ ](A)、1(B)、2(C)、3(D)、4(9)、给定运动状态，某力学量守恒的前提是[ ](A)、力学量算符不显含时间t；(B)、力学量算符与哈密顿算符对易；(C)、力学量算符不显含时间t，且与哈密顿算符对易；(D)、与力学量算符无关，取决于运动状态。