线性相关和线性无关的结论

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线性相关与线性无关

这里必有k 0，否则，有 k11 k 2 2 k m m 0
由向量组1， 2，， m 线性无关知：
k1 k 2 k m 0 故可由1， 2，， m线性表示。
下证唯一
设 k11 k 2 2 k m m
n维列向量组 1 , 2 n 可以排成一个m×n分块矩阵
A 1 , 2 , n
向量组 a1, a 2 ,, a n 称为矩阵A的列向量组.
类似地, 矩阵A (aij )mn 又有m个n维行向量
a11 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2
解：设 k11 k 2 2 k 3 3 O
k1 2k 2 4k 3 0
k1 k 2 k 3 0
1 2 4 系数行列式为 2 3 1 2k1 3k2 k3 0 1 1 1
3 2 8 12 4 1 0
故方程组有非零解，即有非零的数 k1, k2 , k3 使
b 1 1 2 2 m m
则称向量是向量组的线性组合或称向量 b A b能向量组线性表示。 A
向量组的等价
定义:
设有两个 n 维向量组
( I ) : 1 , 2 , , r ( II ) : 1 , 2 , , s
若向量组（I ）中每个向量都可由向量组（II）线性表示，则称向量组（I ）可由向量组（II）线性表示；若向量组（I ）与向量组（II）可以互相线性表示，则称向量组（I ）与向量组（II）等价。
n维行向量组
T
a1 n a2n a in a mn

平面向量的线性相关与线性无关

平面向量的线性相关与线性无关平面向量是研究平面内的运动和位置关系的重要工具。

在平面向量的研究中，线性相关和线性无关是两个重要的概念。

一、线性相关和线性无关的定义给定平面内的n个向量v1，v2，…，vn，如果存在不全为零的实数k1，k2，…，kn，使得k1v1+k2v2+…+knvn=0，那么这些向量就被称为线性相关的。

反之，如果只有当k1=k2=…=kn=0时才能满足k1v1+k2v2+…+knvn=0，那么这些向量就被称为线性无关的。

在平面向量的表示中，通常采用向量的坐标表示法。

设向量v=(x, y)，则v可以表示为二维坐标系中的一个点P(x, y)。

对于平面内的向量v和w，利用向量的坐标表示法，可以将其表示为v=(x1, y1)，w=(x2, y2)。

根据线性相关和线性无关的定义，可以总结出以下结论：1. 若v=(0,0)，则v与任何向量都是线性相关的，因为存在任意实数k使得kv=0。

2. 若v和w不同时为零向量，且v和w共线，那么v和w是线性相关的。

因为存在实数k使得kv+(-k)w=0。

3. 若v和w不同时为零向量，且v和w不共线，那么v和w是线性无关的。

因为只有当k1v+k2w=0时，才能满足k1=k2=0。

二、线性相关与线性无关的性质1. 若向量组v1，v2，…，vn中存在某个向量为零向量，那么这个向量组是线性相关的。

因为取ki=0，使得第i个向量的系数为零，其他向量的系数仍然任意，则可以满足k1v1+k2v2+…+knvn=0。

2. 若向量组v1，v2，…，vn中的任意两个向量共线，那么这个向量组是线性相关的。

因为存在不全为零的ki，使得ki第i个向量与其他向量共线。

3. 若向量组v1，v2，…，vn中的向量个数大于向量的维数，那么这个向量组是线性相关的。

因为根据维数定理，n个维数为m的向量无法张成一个m维的空间，因此存在不全为零的ki，使得k1v1+k2v2+…+knvn=0。

4. 若向量组v1，v2，…，vn中的向量个数小于向量的维数，那么这个向量组是线性无关的。

平面向量的线性相关与线性无关的判定

平面向量的线性相关与线性无关的判定平面向量是数学中的重要概念，线性相关和线性无关是对平面向量组中向量之间关系的描述。

在本文中，我们将探讨如何判定平面向量的线性相关和线性无关性质。

一、平面向量的定义和表示平面向量是具有大小和方向的箭头，可以用有序数对表示。

设有平面向量AB，其中A和B是平面上的两个点，则向量AB的定义可以表示为AB = (x2 - x1, y2 - y1)，其中x1、y1和x2、y2分别是点A和点B的横纵坐标。

二、线性相关与线性无关的定义1. 线性相关：若存在不全为零的实数k1、k2、...、kn，使得向量组V1、V2、...、Vn满足k1V1 + k2V2 + ... + knVn = 0，则称向量组V1、V2、 (V)线性相关。

2. 线性无关：若向量组V1、V2、…、Vn不满足线性相关的条件，即向量组中不存在不全为零的实数k1、k2、…、kn使得k1V1 + k2V2 + … + knVn = 0，则称向量组V1、V2、…、Vn线性无关。

三、判定线性相关与线性无关的方法1. 行列式判定法：对于平面向量组V1 = (a1, b1)，V2 = (a2, b2)，…，Vn = (an, bn)，首先构造行列式：D = |a1 b1 ||a2 b2 ||… … ||an bn|若D ≠ 0，则向量组V1、V2、…、Vn线性无关；若D = 0，则向量组V1、V2、…、Vn线性相关。

2. 线性方程组判定法：对于平面向量组V1 = (a1, b1)，V2 = (a2, b2)，...，Vn = (an, bn)，可以将其表示成如下的线性方程组：a1x + b1y = 0a2x + b2y = 0…anx + bny = 0若线性方程组只有零解（即x=y=0），则向量组V1、V2、 (V)线性无关；若线性方程组有非零解，则向量组V1、V2、…、Vn线性相关。

四、应用举例1. 判断向量组V1 = (1, 2)和V2 = (2, 4)的线性相关性：根据行列式判定法，构造行列式：D = |1 2 ||2 4 |计算D = 1×4 - 2×2 = 0，因此向量组V1、V2线性相关。

高中数学中的向量线性相关与线性无关

高中数学中的向量线性相关与线性无关在高中数学学习中，向量是一个非常重要的概念。

而在向量的研究中，线性相关与线性无关是一个基础而又关键的概念。

本文将探讨高中数学中的向量线性相关与线性无关的概念及其应用。

一、向量的线性相关与线性无关的定义在向量的研究中，我们经常会遇到多个向量同时出现的情况。

而这些向量之间的关系可以分为线性相关和线性无关两种情况。

1. 线性相关如果存在一组不全为零的实数$k_1,k_2,…,k_n$，使得向量$v_1,v_2,…,v_n$满足以下关系：$k_1v_1+k_2v_2+…+k_nv_n=0$其中，$0$表示零向量。

那么我们称向量$v_1,v_2,…,v_n$线性相关。

2. 线性无关如果不存在一组不全为零的实数$k_1,k_2,…,k_n$，使得向量$v_1,v_2,…,v_n$满足以上关系，那么我们称向量$v_1,v_2,…,v_n$线性无关。

二、线性相关与线性无关的几何意义线性相关与线性无关的概念在几何上有着重要的意义。

我们以二维向量为例进行说明。

假设有两个非零向量$\vec{v_1}$和$\vec{v_2}$，我们可以将它们画在二维平面上。

如果这两个向量共线，即它们的方向相同或相反，那么它们是线性相关的。

反之，如果这两个向量不共线，即它们的方向不同，那么它们是线性无关的。

同样地，对于三维向量，我们可以将它们画在三维空间中。

如果多个向量共面，那么它们是线性相关的。

反之，如果多个向量不共面，那么它们是线性无关的。

三、线性相关与线性无关的应用线性相关与线性无关的概念在向量的运算中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 向量的线性组合线性相关的向量可以通过调整系数的大小，通过线性组合的方式得到零向量。

而线性无关的向量则不能通过线性组合得到零向量。

2. 坐标系的建立在坐标系的建立中，我们通常会选择线性无关的向量作为坐标轴。

这样可以保证坐标系的唯一性和准确性。

3. 向量的基与维数如果向量组中的向量线性无关，并且能够通过线性组合得到其他向量，那么我们称这组向量为基。

空间向量的线性相关与线性无关

空间向量的线性相关与线性无关在线性代数中，空间向量的线性相关性和线性无关性是非常重要的概念。

线性相关和线性无关是用来描述多个向量之间的关系，它们在向量的线性组合中起着至关重要的作用。

本文将详细解释空间向量的线性相关和线性无关的概念，以及它们在实际问题中的应用。

一、线性相关和线性无关的定义在讨论线性相关和线性无关之前，我们首先需要了解向量的线性组合的概念。

对于给定的向量集合{v₁,v₂,...,vₙ}，它们的线性组合可以表示为：a₁v₁ + a₂v₂ + ... + aₙvₙ其中a₁,a₂,...,aₙ为标量。

如果存在一组不全为零的标量a₁,a₂,...,aₙ使得上述线性组合等于零向量，即：a₁v₁ + a₂v₂ + ... + aₙvₙ = 0那么我们说这组向量是线性相关的。

反之，如果只有当所有的标量a₁,a₂,...,aₙ都等于零时，上述线性组合才能等于零向量，那么我们说这组向量是线性无关的。

二、线性相关和线性无关的判断方法对于一组给定的向量，我们如何判断它们是线性相关还是线性无关的呢？一个常用的方法是使用行列式。

假设我们有n个n维向量组成的矩阵A=[v₁,v₂,...,vₙ]，其中v₁,v₂,...,vₙ为这组向量。

如果矩阵A的行列式det(A)=0，则这组向量是线性相关的；否则，它们是线性无关的。

这是由于线性相关性的定义中，线性组合等于零向量相当于系数矩阵的行列式等于零。

三、线性相关和线性无关的性质线性相关和线性无关具有一些重要的性质。

首先，如果一组向量中存在一个零向量，那么这组向量一定是线性相关的，因为只需将对应的标量取为1，其余标量取为零，线性组合就等于零向量。

其次，如果一组向量中包含的向量个数大于向量的维数，那么这组向量一定是线性相关的。

这是因为如果向量的个数大于维数，则存在自由变量，可以通过系数的选择使得线性组合等于零向量。

最后，如果一组向量中没有零向量，并且向量的个数小于等于向量的维数，那么这组向量可能是线性相关的也可能是线性无关的，需要进一步判断。

《线性代数》向量组的线性相关与线性无关

a11 a21
an1
即行列式 D = a12 a22
an2 = 0 ?
核心问题！
a1n a2n
ann
④若方程组(2)有非零解，则a1,a2,,an线性相关；否则,线性无关.
特殊方法（举例）
亦即
例7. 证明下列单位向量组线性无关.
1
0
0
0
α1
=
0
,
0
α2
=
1
,
0
α3
=
0 1
,
α4
=
k1，k2，，kn，使
k1a1+k2a2+ + knan=o 成立 .
由向量的运算性质可得
k1a1+k2a2+ +kn an=o，即
a11 a21
an1 0
k1
a12 ...
+
k2
a22 ...
+
...
+
kn
an2 ...
=
0 ...
a1n a2n
故
β
=
(-
l1 l
)α 1
+
(-
l2 l
)α 2
+
+
(-
lm l
)α m
，
即b可由向量组a1，a2，，am线性表示.
定理2 设向量组 a1，a2，，am ，b 线性相关，而a1，a2，，am线性无关，则b 可由a1，a2，，am线性表示，且表
示式是惟一的.
证明：再证表示法惟一.
设b可表示成以下两种形式，
结论： 1.含有零向量的向量组一定线性相关.

向量的线性相关与线性无关

向量的线性相关与线性无关向量是线性代数中的一个重要概念，它与线性相关与线性无关的关系密切相关。

本文将对向量的线性相关性和线性无关性进行详细介绍，并给出具体的例子。

在线性代数中，我们将一个非零向量集合中的向量称为线性相关的，如果存在一组不全为零的实数，使得这些实数与向量的乘积之和为零。

换句话说，对于线性相关的向量集合，存在一组非零解，使得线性组合等于零向量。

否则，向量集合则被称为线性无关。

接下来，我们可以通过一个例子来更好地理解这个概念。

假设我们有两个向量a和b，它们分别为[1, 2]和[2, 4]。

我们可以看到，向量b是向量a的倍数，即存在一个不为零的实数k，使得k * a = b。

因此，这两个向量是线性相关的。

这可以通过以下的等式来证明：2*[1, 2] = [2, 4]。

因此，我们称向量a和向量b是线性相关的。

那么如何判断一个向量集合是否线性无关呢？我们可以通过求解线性方程组来判断。

如果方程组的只有零解，那么向量集合是线性无关的。

我们可以使用矩阵来表示向量集合，其中每列是一个向量。

假设我们有三个向量a，b和c，它们分别为[1, 2, 3]，[2, 4, 6]和[1, 0, 1]。

我们可以构建一个矩阵A，它的列向量是a，b和c。

我们可以将其写成如下形式：A = [1, 2, 3][2, 4, 6][1, 0, 1]为了判断这三个向量是否线性无关，我们需要将其转化为一个线性方程组，并求解出该方程组的解。

将A与一个未知向量乘积等于零向量，我们可以得到一个线性方程组：A * x = 0。

其中x是一个未知向量，0是零向量。

将上述的线性方程组进行求解，我们可以得到如下的简化形式：x1 + x2 = 0x1 + x3 = 03x1 + 2x2 + x3 = 0通过求解上述线性方程组，我们可以发现只有一个解，即x1 = 0，x2 = 0，x3 = 0。

因此，该向量集合是线性无关的。

通过这个例子，我们可以得出以下结论：1. 如果一个向量是零向量，那么它是线性相关的，因为可以通过与任意实数相乘等于零向量。

3.2线性相关与线性无关

的“接长”向量组；而把向量组1 ,2 ,,m 称为向量组1 , 2 ,, m 的“截短”向量组。
定理3.2.4可以简述为“相关组的截短向量组必为相关组”.它的等价说法是“无关组的接长向量组必为无关组”.
注意: “扩充或子组”与“接长或截短”的区别，前者是维数不变，向量个数增减；后者是向量个数不变，维数增减.
不妨设km 0, 则有
如果m k11
m
k1mk(mk111
m1 ,
k
则
m
1
m
1
).
k11 km1 m1 1 • m 0.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由于k个数k1 ,, km1 , km 1不全为零，故
1
,
2
,,
线性
m
相
关
。
例11设1 ,2 ,,m线性相关，m 1且1 0.
证明：存在某个t
这就是说，若方阵的行列式等于零，则它的行向量组
和列向量组都线性相关；若方阵的行列式不为零，则
它的行向量组和列向量组都线性无关。
定理3.2.1m个n维向量1,2 ,,m (m 2)线性相关
定理3.2.3可以简述为“相关组的扩充向量组必为相关组”，或者“部分相关，整体必相关”.它的等价说法是“无关组的子向量组必为无关组”或者“整体无关，部分必无关”.
定理3.2.4 设有两个向量组，它们的前n个分量对应相等： i (ai1, ai2 ,, ain ),i 1,2,, m;
i (ai1, ai2 ,, ain , ai,n1 ),i 1,2,, m.

2-2 线性相关与线性无关

向量组可以互相线性表示，则称它们等价．
向量组等价的性质
1.自身性每个向量组与自身等价.
2.对称性
若向量组A与B等价，
则向量组B与A等价.
3.传递性
若向量组A与B等价，向量组B与C等价，则向量组A与C等价.
例 6 设向量组 1 , 2 ,3 和向量组 1, 2 , 3 满足：
1 2 3 2 3 1 3 1 2
i k11
,m 中有一个向量（比如 i ）能由其余向量线性表示. 即有
ki 1i 1 ki 1i 1 kmm
k11
ki 1i 1 (1)i ki 1i 1
kmm 0
所以，1 , 2 ,
, m 线性相关.
求证：向量组 1, 2 ,3 和向量组 1, 2 , 3 等价.
通过矩阵来表述线性表示
若记向量组 A : 1 , 2 ,
存在数ki1 , ki 2 , kis , 使
, r , 和 B : 1 , 2 ,
, s ,
, r ),
A 能由 B 线性表示，即对每个向量i (i 1, 2,
T
例
设向量组 1 , 2 , 3 , 4 ，令 1 1 2 ,
2 2 3 , 3 3 4 , 4 4 1 ，证明
向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性相关．
二、线性相关性的定理
定理1 若向量组 A：1 , 2 ,
1 ,2， ,m , 线性相关,
, km , k m 1 km m km 1 0
km m km 1
存在一组不全为0的数k1 , k2 , 使得k11 k2 2

线性相关性与线性无关性

线性相关性与线性无关性线性相关性和线性无关性是线性代数中的两个基本概念，它们在向量空间和矩阵运算中有着重要的应用。

本文将介绍线性相关性和线性无关性的概念、判定条件以及相关性质。

一、线性相关性的概念和判定条件1. 线性相关性的概念线性相关性是指在向量空间中存在一种非零的线性组合，使得线性组合的系数不全为零。

换句话说，若存在一组向量(x₁, x₂, ..., xₙ)，存在不全为零的实数k₁, k₂, ..., kₙ，使得k₁x₁ + k₂x₂ + ... + kₙxₙ = 0，则称这组向量线性相关。

2. 线性相关性的判定条件线性相关性的判定条件是通过求解线性方程组来完成的。

对于一组向量(x₁, x₂, ..., xₙ)，构造一个齐次线性方程组Ax = 0，其中A = [x₁, x₂, ..., xₙ]表示向量组，x表示向量。

若齐次线性方程组有非零解，则这组向量线性相关；若齐次线性方程组只有零解，则这组向量线性无关。

二、线性无关性的概念和判定条件1. 线性无关性的概念线性无关性是指在向量空间中不存在非零的线性组合使得线性组合的系数全为零。

换句话说，若存在一组向量(x₁, x₂, ..., xₙ)，当且仅当线性组合的系数全为零时，才有k₁x₁ + k₂x₂ + ... + kₙxₙ = 0，则称这组向量线性无关。

2. 线性无关性的判定条件线性无关性的判定条件是通过构造一个齐次线性方程组来完成的。

对于一组向量(x₁, x₂, ..., xₙ)，构造一个齐次线性方程组Ax = 0，其中A = [x₁, x₂, ..., xₙ]表示向量组，x表示向量。

若齐次线性方程组只有零解，则这组向量线性无关；若齐次线性方程组有非零解，则这组向量线性相关。

三、线性相关性和线性无关性的性质1. 线性相关性和线性无关性的关系线性相关性与线性无关性是相互对立的概念。

当一组向量线性相关时，它们线性无关；当一组向量线性无关时，它们线性相关。

§3.3 向量组的线性相关性

组 A线性表示,且表示式是唯一的.
证明记A (1,2 , ,m ), B (1,2 , ,m ,b),
则有R( A) R(B). 因A组线性无关,有R( A) m; 因B组线性相关,有R(B) < m 1.
所以m R(B) < m 1, 即有R(B) m.
由R( A) R(B) m,知方程组(1,2 , ,m )x b
因 1,2,3 线性无关,
故有:
x1 x3 0 x1 x2 0,
1 01
x2 x3 0
1 1 0 2 0 , 故方程组只有零解 x1 = x2 = x3 = 0 , 011
所以向量组 1, 2, 3 线性无关.
二、几个简单结论
定理3.10 设向量组A：1,2, ,m 线性相关,则向量组B :1, ,m ,m1 也线性相关.
则向量 a, b, c 线性相关, 但 c 不可由 a,b 线性表示.
3. 线性相关性在线性方程组中的应用
当方程组中有某个方程是其他方程的线性组合时,这个方程就是多余的, 这时称方程组(各个方程)是线性相关的；当方程组中没有多余方程, 就称该方程组(各个方程)线性无关．
பைடு நூலகம் 定理3.9 向量组 1,2,,m 线性相关的充要条件是它所构成的矩阵A=(1, 2,,m )的秩小于向量的
向量组 A：a1, a2, …, am
线性相关
m 元齐次线性方程组 Ax = 0
有非零解
R(A) < m
说明
(1) 含有零向量的向量组必线性相关.
(2) 向量组只含一个向量时: 若 =0, 则向量组线性相关; 若 0, 则向量组线性无关.
(3) 两个向量 1,2 线性相关的充分必要条件是存在常数k, 使得 1= k2 .

平面向量的线性相关和线性无关的概念及判定方法

平面向量的线性相关和线性无关的概念及判定方法引言：平面向量在数学和物理学中有着广泛的应用，对于研究平面向量的性质和关系，线性相关和线性无关是其中重要的概念之一。

在本文中，我们将介绍平面向量线性相关和线性无关的概念，并详细说明判断平面向量线性相关和线性无关的方法。

一、线性相关和线性无关的概念1. 线性相关：如果存在不全为零的实数k1、k2、...、kn，使得向量v1、v2、...、vn的线性组合等于零向量，则称向量v1、v2、...、vn是线性相关的。

数学表达式如下：k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0其中k1、k2、...、kn为实数，v1、v2、...、vn为向量。

2. 线性无关：如果向量v1、v2、...、vn的线性组合等于零向量等价于k1、k2、...、kn全为零，则称向量v1、v2、...、vn是线性无关的。

数学表达式如下：k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0 仅当 k1 = k2 = ... = kn = 0.二、线性相关和线性无关的判定方法1. 行列式方法：对于n维向量，可以将其排列成一个n×n的矩阵A，若|A| = 0，则向量v1、v2、...、vn是线性相关的；若|A| ≠ 0，则向量v1、v2、...、vn是线性无关的。

2. 向量方程方法：将向量v1、v2、...、vn表示成向量方程组的形式，即：x1v1 + x2v2 + ... + xnvn = 0若方程只有零解，即x1 = x2 = ... = xn = 0，则向量v1、v2、 (v)是线性无关的；若存在非零解，即x1 = x2 = ... = xn ≠ 0，则向量v1、v2、...、vn是线性相关的。

3. 向量组的秩方法：将向量v1、v2、...、vn排成矩阵A的列向量组，若r(A) = n，则向量v1、v2、...、vn是线性无关的；若r(A) < n，则向量v1、v2、 (v)是线性相关的。

线性相关与无关

线性相关与无关线性相关与无关是向量空间中的核心概念之一。

最简单的情况下，考虑两个向量，它们线性相关意味着它们之间存在一种线性关系，也就是说，它们可以表示为某一个向量的线性组合。

如果两个向量线性无关，就意味着它们之间不存在这种关系。

但是在更一般的情况下，需要考虑多个向量之间的线性相关性。

首先，我们需要定义一下什么是向量的线性组合。

假设有$n$个向量$u_1,u_2,\cdots,u_n$和$n$个标量$c_1,c_2,\cdots,c_n$，则它们的线性组合定义为：$$c_1u_1+c_2u_2+\cdots+c_nu_n$$因此，两个向量$u$和$v$可以表示为一个向量$w$的线性组合当且仅当它们满足以下等式：$$au+bv=w$$其中$a$和$b$是标量。

我们也可以把它写成向量方程的形式：$$\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \end{pmatrix}$$如果这个方程有一个非零解，则我们称$u$和$v$线性相关，否则称它们线性无关。

因此，我们需要解决方程组的问题，考虑什么样的情况下一个向量可以表示为其他向量的线性组合。

证明：如果向量$u_1,u_2,\cdots,u_n$是线性相关的，则存在一种不全为零的标量组$c_1,c_2,\cdots,c_n$，使得$c_1u_1+c_2u_2+\cdots+c_nu_n=0$。

因此，如果这个标量组不全为零，则我们可以找到一组$u_i$来表示其中一个向量，比如说$u_n$，如下所示：$u_n=\frac{-(c_1u_1+c_2u_2+\cdots+c_{n-1}u_{n-1})}{c_n}$，从而向量$u_n$可以表示为其他向量的线性组合。

因此，这些向量线性相关。

因此，我们可以得到一个结论：$n$个向量$u_1,u_2,\cdots,u_n$是线性无关的，则它们的任意组合都是唯一的。

线性代数中的线性无关与线性相关

线性代数中的线性无关与线性相关线性代数是数学中一门重要的学科，它研究了向量空间和线性变换等概念。

而线性无关与线性相关则是线性代数中的基本概念之一，它们对于理解矩阵和向量的性质以及解决线性方程组等问题具有重要的作用。

一、线性无关线性无关是指若一个向量组中的向量不能用其他向量线性表示，则称该向量组线性无关。

具体来说，如果对于给定的向量组{v1, v2, ..., vn}，只有当线性组合a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0时，所有系数都为零才能使等式成立，那么这个向量组就是线性无关的。

判断一个向量组是否线性无关的充要条件是，该向量组的任意有限子集都是线性无关的。

线性无关的向量组具有以下重要性质：1. 构成向量组的向量个数不超过向量空间维数；2. 向量组的秩等于其向量的个数。

二、线性相关线性相关是指若一个向量组中的向量可以表示为其他向量的线性组合，则称该向量组线性相关。

换句话说，如果存在不全为零的系数a1, a2, ..., an，使得a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0成立，那么这个向量组就是线性相关的。

线性相关的向量组具有以下重要性质：1. 一个线性相关的向量组中至少存在一个向量可以通过其他向量的线性组合得到；2. 线性相关的向量组的秩小于其向量的个数。

三、线性无关与线性相关的关系线性无关和线性相关是线性代数中两个相对的概念。

它们之间具有以下关系：1. 若一个向量组是线性相关的，则这个向量组中的任意一个向量都可以被其他向量线性表示；2. 若一个向量组是线性无关的，则这个向量组中的任意一个向量都不能被其他向量线性表示。

通过判断一个向量组是线性相关还是线性无关，可以帮助我们理解多元线性方程组的性质和解的情况。

在研究线性代数问题时，我们通常要确定向量组的线性无关性，以决定方程组的解的唯一性和完备性。

四、线性无关与线性相关的应用线性无关与线性相关的概念在线性代数中有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：1. 解决线性方程组：通过判断系数矩阵的秩是否满秩，可以判断线性方程组是否有解以及解的唯一性；2. 确定向量空间的基：一个向量空间的基就是线性无关的最大向量组，在计算中常常需要确定向量空间的基来进行问题的求解；3. 特征值和特征向量的计算：计算特征值和特征向量涉及到矩阵的可逆性和对角化，而线性无关与线性相关的概念可以帮助我们理解和计算特征值和特征向量。