三湘名校教育联盟、湖湘名校教育联合体2024届高三10月大联考数学含答案解析

三湘名校教育联盟、湖湘名校教育联合体

2024届高三10月大联考

数学

一、单选题(共24 分)

1.已知集合A={x|x2+5x+6>0}，则∁R A=（）

A.[−1,6]

B.[−6,1]

C.[2,3]

D.[−3,−2]

【答案】D

【解析】

【分析】

求出集合A，利用补集的定义可得出集合∁R A.

【详解】

因为A={x|x2+5x+6>0}=(−∞,−3)∪(−2,+∞)，则∁R A=[−3,−2].

故选：D．

2.已知复数z满足z

3+4i =4−3i

z

，则|z|=（）

A.3

B.5

C.9

D.25【答案】B

【解析】

【分析】

根据复数模的运算求得正确答案.

【详解】

由已知有|z|

|3+4i|=|4−3i|

|z|

，即|z|

5

=5

|z|

，

所以|z|=5．

故选：B

3.已知向量a⃗，b⃗⃗满足|a⃗|=|b⃗⃗|=√2，a⃗⋅b⃗⃗=0．若(a⃗+λb⃗⃗)⊥(μa⃗+b⃗⃗)，则下列各式一定成立的是（）

A.λ+μ=0

B.λ+μ=−1

C.λμ=0

D.λμ=−1

【答案】A

【解析】

【分析】

根据向量垂直的要求转换为(a⃗+λb⃗⃗)⋅(μa⃗+b⃗⃗)=0计算即可.

【详解】

(a⃗+λb⃗⃗)⋅(μa⃗+b⃗⃗)=μa⃗2+(λμ+1)(a⃗⋅b⃗⃗)+λb⃗⃗2=2(λ+μ)=0，所以λ+μ=0，

故选：A.

4.已知正实数x，y，z满足(x+2y)(2y+3z)=4，则x+4y+3z的最小值为（）

A.3

B.4

C.5

D.6

【答案】B

【分析】

利用基本不等式求得正确答案.

【详解】

x+4y+3z=(x+2y)+(2y+3z)≥2√(x+2y)(2y+3z)=4，

当且仅当x+2y=2y+3z=2时等号成立.

故选：B

5.在平面α外有两条直线m和n，设m和n在平面α内的射影分别是直线m1和n1，则下列结论正确的是（）

A.m1⊥n1是m⊥n的充分条件

B.m1⊥n1是m⊥n的必要条件

C.m1与n1相交是m与n相交或重合的充分条件

D.m1与n1平行或重合是m与n平行的必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】

根据线线垂直、相交、平行，以及充分、必要条件等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】

在如图所示的正方体ABCD−A1B1C1D1中，若取平面α为平面ABCD，

m1，n1分别为AC，BD，m，n分别为A1C，BD1，满足m1⊥n1，

但是不满足m⊥n，故A错误；

若取平面α为平面ADD1A1，m1，n1分别为A1D1，AD1，

m，n分别为A1C1，BD1，满足m⊥n，但是不满足m1⊥n1，故B错误；

若取平面α为平面ABCD，m1，n1分别为AC，BD，m，n分别为AC1，B1D1，

满足m1与n1相交，但是m与n异面，故C错误；

当m与n平行时，m1与n1平行或重合，故D正确．

故选：D

6.已知数列{a n}满足a1=−1，a n+1=(1

)a n，则下列结论正确的是（）

e

A.数列{a n}为单调递增数列

B.数列{a n}为单调递减数列

C.a2022

D.a2023

【答案】D

【解析】

【分析】

根据给定的递推公式求出a2,a3判断AB；构造函数f(x)=xe x,x>0，由函数性质可得存在x0∈(0,1)使得x0=1

，再借助不等

e x0

式性质探讨a2n−1,a2n与x0的大小关系判断CD.

数列{a n }中，a 1=−1，a n+1=(1

e )a n ，则a 2=e >−1=a 1，a 3=(1

e

)e <1

e

1时，a n >0，且a n+1=

1

e a n ，令函数f(x)=xe x ,x >0，求导得

f ′

(x)=(x +1)e x >0，

则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，又f (0)=0，f (1)=e ，且函数f(x)在(0,+∞)上的图象连续不断， 因此存在x 0∈(0,1)使得f (x 0)=x 0e x 0=1，即x 0=1e x 0

，

则当a n >x 0时，a n+1=

1e a n

<

1e x 0

=x 0，当a n

1e a n

>

1e x 0

=x 0，

由a 1=−1x 0，得a 3x 0，a 5x 0，⋯，

所以当n 为奇数时，a n x 0，即有a 2022>x 0>a 2023，a 2024>x 0>a 2023，C 错误，D 正确. 故选：D

7.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (−2,0)，B (4,0)，M (1,m )，动点P 满足2|PA |=|PB |，设动点P 的轨迹为曲线C ，若曲线C 上存在两点E ，F ，使得EM ⊥MF ，则实数m 的取值范围是（ ） A.[−4√2,4√2] B.[−7,7]

C.[−√7,√7]

D.[−32,32]

【答案】C 【解析】 【分析】

先求P 点的轨迹方程，再运用直线与圆的位置关系和直角三角形斜边上的中线长为斜边长的一半的性质来求解参数范围． 【详解】

设P (x,y )，由2|PA |=|PB |，得2√(x +2)2+y 2=√(x −4)2+y 2， 化简得(x +4)2+y 2=16，如图，设圆心为Q ，

因为△EMF 为直角三角形，∠EMF =90°，若ME ，MF 为切线，则∠QME =45°， 在Rt △QME 中，∠QME =45°，∠QEM =90°，|QE |=4，所以|QM |=4√2， 要使圆Q 上存在点E ，F ，使得EM ⊥MF ， 则过M 到向圆引的两条切线的夹角不小于90°， 即圆心Q (−4,0)到点M (1,m )的距离不大于4√2， 即|QM |=√52+m 2≤4√2，解得m ∈[−√7,√7]． 故选：C ．

8.已知函数f (x )=e 2x −2ae x −4a 2x (a >0)，若函数f (x )的值域与f(f (x ))的值域相同，则a 的取值范围是（ ） A.(0,1

2)

B.(0,1]

C.(1,+∞)

D.[1

2

,+∞)

【答案】D 【解析】 【分析】

先求出f ′(x )，根据已知结合导函数得出f (x )的单调性，求出函数的最小值.根据已知列出关系式−4a 2ln2a ≤ln2a ，求解即可得出答案. 【详解】