佛山科学技术学院 20022003学年第一学期概率与数理统计试卷(a卷)
概率论与数理统计试题及评分标准11
的上侧分位数 0.025 1.96 ， 2 2
4.484 4.55
0.108
9
1.8333 ...........................................................8
8
共 3页
第1页
二、 （10 分）解：从 10 个不同数码中，任取 3 个的结果与顺序无关，所以基本事件 总数
3 n C10
10 9 8 120 。........................................ 2 3 2 1
A 事件中不能有 1 和 5，所以只能从其余 8 个数码中任取 3 个，所以 A 中的基本事件
arcsin x
1 2
1 2
1 ............................................................................10 3
六
E( X )
1 2 xf ( x)dx = x 2 xdx = ， 0 3
2
1 2 1 而 D( X ) = E ( X ) [ E ( X )] = = . 2 3 18
2
.....................................10
七、解
7
X 近似服从正态分布 N（100，50）
P 80 X 120 .................................................................2 P X 100 20...........................................................6
12-13(本部)《概率统计》试卷A
河北科技大学2012—2013学年第一学期《概率论与数理统计》期末考试试卷（A ）学院 班级 姓名 学号一、选择题（每小题3分，共3分×10=30分,把正确选项前的字母写在括号内） 1. 设事件A 与B 满足()1P B A =，则（ ）(A) A 是必然事件; (B) ()0P B A =); (C) A B ⊃; (D) ()0P AB =.2．设事件A 与事件B 互不相容，则( ).（A ）()0P A B =； （B ）()()()P AB P A P B =⋅； （C ）()()1P A P B =-； （D ）()1P A B =U .3. 设A B 、相互独立，且)(B A P Y =0.7，P (A )=0.6, 则P (B )=( ) （A ）0.5 ; （B ）0.3 ; （C ）0.25 ; （D ）0.75.4. 假设()F x 是随机变量X 的分布函数，则下列结论不正确的是( ).（A ）如果()0F a =，则对任意x a ≤有()0F x = （B ）如果()1F a =，则对任意x a ≥有()1F x =（C ）如果()12F a =，则{}12P X a ≤= （D ）如果()12F a =，则{}12P X a ≥=.5. 设随机变量X 、Y 不相关, 且X ~b (100, 0.1), Y ~π(2)，则(23)D X Y -＝（ ）． (A) 54； (B) 18； (C) 24； (D) 12.6. 设n X 表示将一枚均匀的硬币随意投掷n 次“正面”出现的次数，则( )()A lim }()n P x x →∞≤=Φ； ()B lim }()n P x x →∞≤=Φ；()C lim }()n P x x →∞≤=Φ； ()D lim }().n P x x →∞≤=Φ7. 设随机变量序列12,,,,n X X X L L 相互独立，根据辛钦大数定律 ，当n →∞时11ni i X n =∑依概率收敛于其数学期望，只要,1n X n ≥满足( ) ()A 有相同的数学期望； ()B 服从同一离散型分布； ()C 服从同一泊松分布； ()D 服从同一连续型分布.8. 1234,,,X X X X 是来自正态总体2(1,)N σ的一组样本，则统计量1234|2|X X X X -+-的分布（ ）（A ） (1)t ; （B ） F （1,1）; (C) (0,1)N ; (D) 2(1)χ. 9. 设随机变量X 和Y 都服从正态分布，且它们不相关，则( ). （A ）X 与Y 一定独立； （B ）(,)X Y 服从二维正态分布； （C ）X 与Y 未必独立； （D ）X Y +服从一维正态分布． 10．设随机变量,X Y 独立且都服从区间（0,1）上的均匀分布，则22(1)P X Y +≤=（ ）(A)14 ； (B) 8π； （C ）21； （D ）4π .二．填空题（每小题3分，共3×10=30分,将正确答案写在题中横线上）1．设,,A B C 是随机事件，,A C 互不相容， 1()2P AB =, 1()3P C =，则(|)P AB C = .2. 设事件,A B 和A B ⋃的概率分别为0.2,0.3和0.4，则()P AB = .3．设12,,,n X X X L 是来自正态总体()2,N μσ的简单随机样本，统计量211n i i T X n ==∑，则ET = .4．设X 服从参数为λ的泊松分布，{}{}12P X P X ===，则概率{}203P X <<= . 5．设总体X 服从()2,N μσ分布，其中σ未知，1,,n X X L 是取自总体X 的简单随机样本，均值为X ，方差为2S ，则μ的置信度为0.9的置信区间是 . 6. 设随机变量1,n X X L 相互独立同分布，,8,(1,2,,),i i EX DX i n μ===L 应用切比雪夫不等式有{44}P X μμ-<<+≥ ，其中11.ni i X X n ==∑.7. 设连续型随机变量X 的分布函数为,0,()0,0.x A Be x F x x λ-⎧+>=⎨≤⎩ 其中0λ>，则A = ，B = .8. 已知总体X 服从参数为λ的泊松分布，1,,n X X L 是取自总体X 的简单随机样本，其均值为X ，方差为2S ，如果2ˆ(23)aX a S λ=+-是λ的无偏估计，则a = . 9. 设随机变量X 和Y 的相关系数为0.5，0EX EY ==，222EX EY ==，则()D X Y += .10．设X , Y 独立，且1(1)(1)3P X P Y ====，2(1)(1)3P X P Y =-==-=， 则P (X Y ≠)= .三．计算题（本题10分）三个箱子中，第一箱装有2个黑球3个白球，第二箱装有2个黑球4个白球，第三箱装有4个黑球6个白球.现先任取一箱，再从该箱中任取一球，试求：（1） 取出的球是白球的概率；（2） 若取出的为白球，则该球属于第二箱的概率.四．计算题（本题10分）设随机变量12,,,n X X X L 独立同分布，概率密度为)0(.,0,,2)()(2>⎩⎨⎧≤>=--θθθθx x e x f x ，求()12min ,,,n Z X X X =L 的分布函数()Z F z 和密度函数()Z f z .五．计算题（本题12分）设(,)X Y 的概率密度为,01,01,(,)0.cxy x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩，其它 求（1）?c =； （2）X 的边缘分布密度； （3）条件分布密度()Y X f y x .六．计算题（本题8分）设总体X 的概率密度为2,0;()0,x xe x f x λλ->⎧=⎨⎩其他. 其中参数λ未知，n 21,,,X X X K 是来自总体X 的简单随机样本。
佛山科学技术学院 概率统计试题
命题方式：自主命题
佛山科学技术学院2009—2010学年第二学期
《概率与数理统计》课程期末考试试题(A)
专业、班级姓名：学号：
共6页第1页
13,)X 取自正态总体
)=____ ____
是非题（4分，每题．在古典概型的随机试验中，．抽样分布就是指样本,)n X 的函数,)n X 的分布．在假设检验中，显著性水平α是指)0为假H P ．小概率事件在一次试验中绝对不会发生 分）某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，产量各占并且在各自的产品里，不合格品各占4%5%，现从待出厂的产品中任取一只恰是不合格品，求这批产品中各车间的次品率是多少？这件产品由哪个车间生产的可能性大？ 共 6页第2页
共6页第3页
共6页第4页
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共6页第6页。
2023-2024学年第一学期概率统计期中测试卷
2023-2024第一学期概率论与数理统计期中测试题班级：学号：姓名：第一部分：选择题，每小题3分，共10小题，共30分.1.设B A ⊂,且0)(>A P ,则以下错误的是().A.)()(B P B A P =⋃B.)()(A P AB P =C.1)|(=A B PD.)()()(B P A P B A P -=-2.设)2,1(~-N X ,则X 的密度函数为().A.4)1(221--x eπB.2)1(221+-x eπC.2)1(2221+-x e πD.4)1(221+-x eπ3.设连续型随机变量的概率密度函数与分布函数为，与)()(x F x f 则正确的是().A.1)(0≤≤x f B.)(}{x F x X P == C.)(}{x F x X P =≤ D.)(}{x f x X P ==4.设X 是一随机变量，则下列各式中正确的是().A.)(4)25(X D X D =-B.)(25)25(X D X D -=-C.)(25)25(X D X D +=- D.)(4)25(X D X D -=-5.已知(X,Y)的概率密度为),(y x f ,则关于Y 的边缘密度为().A.⎰+∞∞-dyy x f ),( B.⎰+∞∞-dxy x f ),( C.⎰+∞∞-dxy x xf ),( D.⎰+∞∞-dyy x yf ),(6.已知随机变量X 与Y 相互独立，且),2,0(~),1,0(~U Y U X 则=<}{Y X P ().A.41B.83 C.43 D.857.下列式子中成立的是().A.)()()(Y E X E Y X E +=+B.)()()(Y D X D Y X D +=+C.)()()(Y D X D XY D = D.)()()(Y E X E XY E =8.设随机变量X 的概率密度)(x f 满足)1()1(x f x f -=+,且⎰=206.0)(dx x f ,则}0{<X P 为().A.53 B.32 C.51 D.549.)1,1(~N X ,概率密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ，则().A.5.0)0()0(=≥=≤X P X PB.),(),()(+∞-∞∈-=x x F x FC.5.0)2()2(=>=<X P X P D.5.0)1()1(=>=≤X P X P 10.设随机变量12200,,,X X X 相互独立且服从同一分布，()3,()5E X D X ==，令12200Y X X X =+++ ,由中心极限定理知Y 近似服从（）（A ）(600,25)N （B ）(3,5)N （C ）(600,1000)N （D ）(1000,600)N 第二部分：填空题，每小题6分，共3小题，共18分.1.甲乙两人独立射击，击中目标的概率分别为0.8，0.7，现在两人同时射击同一个目标，则目标被击中的概率为.2.随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则==))((X D X P .3.设随机变量X 的分布律为，...2,1,0,!)(2===-k e k c k X P 则=c .4.已知随机变量X 只取-1，0，1，2四个数值，对应的概率为cc c c 162,85,43,21，则c=.5.设二维随机变量) , (Y X 的联合分布律为则(2)E X Y +=6.设随机变量~(0.5)X b 10,，则2(2)E X =第三部分：计算题，每小题7分，共4小题，共28分.1.设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他， ,0.10 )(x x A x f 试求：（1）A 的值；（2）X 的分布函数；（3）)41161(<<X P .YX -10100.10.20.110.30.10.22.已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤+=其他,0,0,10),(2),(y x y y x y x f 试求：（1）X 与Y 的边缘概率密度，并判定X 与Y 是否独立；（2）}1{≥+Y X P .3.设随机变量X 在区间(1,2)上服从均匀分布，（1）写出X 的概率密度函数；（2）求XeY 3=的概率密度函数)(y f Y .4.设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为,0,(,)0,,y xe x y f x y -⎧<<=⎨⎩其它求随机变量Z X Y =+的概率密度.四、综合应用题（共3个小题，每个小题8分，共24分）1.某地区居民的肝癌发病率为0.0004，先用甲胎蛋白法进行普查.医学研究表明，化验结果是存有错误的.已知患有肝癌的人其化验结果99%呈阳性（有病），而没患肝癌的人其化验结果99.9%呈阴性（无病）.现某人的检查结果呈阳性，问他真的患肝癌的概率是多少？2.对于一名学生来说，来参加家长会的家长人数是一个随机变量.设一名学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05、0.8、0.15.若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布.求有一名家长来参加会议的学生数不多于336的概率.（已知9772.0)2(=Φ）3.一工厂生产的某种设备的寿命X （以年计）服从以14为参数的指数分布，工厂规定，出售的设备若在一年之内损坏可予以调换，若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元，求该厂出售一台设备净赢利的数学期望。
期末考试概率论与数理统计C...
，
（或 ）
故(X,Y)的概率分布为
Y
X0 1
0 -------------------------------------------------------4分
1
(2)X,Y的概率分布分别为
X0 1Y0 1
则 ， ， , ,----------------------------------------------6分
标准答案和评分标准
﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉﹉
一、选 择 题（10×3分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
D
D
B
B
A
C
C
A
二、填 空 题（10×3分）
1、0.62、 3、 4、 ，0.45、 6、
7、18、有效性， 9、稳定10、t，2
三、 计 算 题（5×8分）
1、解：
(1)由全概率公式，得 ------------------------------------------ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ------------------5分
(2) -------------------------------------------------------------8分
2、解：(1) ,解得 ----------------------------------------------------------------2分
（2）因 ，
故 -------------------------------------------------------------------------8分
11 12学年第一学期概率统计试题(多概)A卷答案
11 12学年第一学期概率统计试题（多概）A卷答案11-12学年第一学期概率统计试题（多概）a卷答案天津科技大学2022-2022学年第一学期概率论与数理统计（比较笼统）期末考试试题（a卷）参考答案及评分标准一、填空（共21分，每个子问题3分）1.设a、b是两个随机事件，若p(a)?0.5、p(a?b)?0.2，则p(ab)?0.7.2.若随机变量x服从泊松分布p(2)，则概率p(x?1)?1?3e?2?0.5940.十、1.4.3.如果随机变量x的概率密度为？4e，x？0，那么p（4×8）呢？？十、0，e？1.E2.0.2325．4.若随机变量x的概率分布列为则e(x)?37/12．25.如果随机变量X和y满足D（X）？d（y）？1，以及相关系数R（x，y）？？1，然后是2D（3x？2Y）？7___. （x1？2x2？X3？X4）是6的总体平均值，假设x1，X2，X3，X4是来自群体x的样本，如果？价值那么，对……的无偏估计？？1/5.7.在假设检验中，当原假设h0为真时拒绝h0，这类错误称为第一类错误（或弃真错误）.二、单选题（共15分，每个子题3分）1.设每次试验成功的概率都为p(0?p?1)，现在独立地进行10次这样的试验，记x为试验成功的次数，则p(x?4)?（c）.（a） p（1？p）（b）p（1？p）44(c)c10p4(1?p)6(d)c10p6(1?p)44664? 辛克斯，辛克斯？[0，a]，2。
如果随机变量x的概率密度为f（x）？？然后是a？（b）。
x?[0，a]，?0，(a)?/4(b)?/2(c)（d） 3？/二3．若随机变量x的分布函数为f(x)，则随机变量y?3x?1的分布函数为（a）.Y1）（b）f（3y？1）311（c）3f（y）？1（d）f（y）？33(a)f(4．若随机变量x的概率密度为f(x)?（b）.（a）12? E（x？3）24，则服从标准正态分布的随机变量为x?3x?3x?3x?3（b）（c）（d）222225．设随机变量x~t(n)，则随机变量y?x~（d）.（a） ?？2（n）（b）f（n，n）（c）f（n，1）（d）f（1，n）三、某灯泡厂有甲、乙两条生产线，它们各自出产的灯泡中寿命大于2500小时的分别占有80%和90%，从每个灯泡中随机选择一个，（1）找出两个灯泡的使用寿命超过2500小时的概率；（2）找出两个灯泡中至少有一个的使用寿命大于2500小时的可能性（本问题中有8点）解决方案：分别使用a和B表示从a和B两条装配线上的产品中提取的灯泡的使用寿命大于2500小时，然后它们彼此独立。
中国科大概率论与数理统计试卷(全)
（1）取得红笔的概率；
（2）在已知取得红笔的条件下，问笔从哪个盒子中取出的概
率最大？
五、某工厂生产线甲根据专利生产灯泡，生产线乙根据本厂原有技术生产。现分别在生
产线甲和乙两条生产线各抽取 8 个灯泡，测得其寿命分别为（千小时）
：
对生产线甲：10，9，3，11，5，7，9，11；
一、判断和填空：
（1） 设 P(A)=0，则 A 为不可能事件。
（2） 设(X,Y)服从二元正态，Cov(X,Y)=0,则 X、Y 相互独立。
（3） 设 X、Y 相互独立，则 X、Y 的联合分布可以由 X 和 Y 的边缘分布唯一确
定。
（4） 设 1 , ⋯ , 为 从 同 一 个 总 体 中 抽 取 的 一 个 样 本 ， 则 (1 , ⋯ , ) −
(1 , ⋯ , )+3 是统计量。
（5） 设θ > 0，X 的概率分布函数为：
() = �
−
�
, ≥
, <
1 − �−
0
则随机变量 X 的密度函数为（）
。
2
2
（6） 设 X、Y 服从单位圆 + ≤ 1上的均匀分布，则在给定 Y=0.5 条件下的
性和相关性。
三、在一家保险公司里有 10000 个人参加保险，每人每年付 12 元保险费，在一年内一
个人死亡的概率为 0.006，死亡时其家属可向保险公司领取 1000 元的保险金，问：
(1) 保险公司亏本的概率多大？
(2) 保险公司一年的利润不少于 40000 元、60000 元的概率各多大？
四、设 ( X 1 , X 2 , , X n ) 是从总体 X 中抽取的一个简单随机样本，已知 X 的概率密度函
中国科学技术大学概率论与数理统计试卷及答案
（1） 是否可以认为������������12 = ������������22？（������������ = 0.05） （2） 钢铁工人平均工资是否低于电厂工人平均工资？（������������ = 0.05）
中国科学技术大学
2003—2004 学年第二学期考试试卷
考试科目：概率论与数理统计
������������(������������;
������������)
=
1 2
������������ , −������������−2������������
(������������
>
������������;
������������
∈
������������)
（1） 试求������������的矩估计�������������和极大似然估计������������∗； （2） 验证�������������和������������∗是否为������������的无偏估计，若不是无偏估计，试将其分别修正为无偏估
二、某种商品一周的需求量是个随机变量，其概率密度为：
������������(������������)
=
����0���������������,������
−������������
,
������������ ������������
> ≤
0 0
各周的需求量相互独立，试求：
（1） 两周需求量的概率密度；
（2） 三周需求量的概率密度。
三、利用中心极限定理求解： （1）设计算机在进行加法运算时，每次取整的误差相互独立，且服从[-0.5,0.5]上的均
匀分布，若要保证误差总和的绝对值不超过 20 的概率大于或者等于 0.95，问至多只 能进行多少次加法运算？
佛山科学技术学院线性代数07-08试题+答案
佛山科学技术学院2007 — 2008学年第一学期（A卷）2007-2008学年第一学期《线性代数(B)》期末考试试题(A卷)一、单项选择题：1~5：CBBCD二、填空题：1. 2，4，32. 03. 3，354. ≠45. x2+3y2+4xy-10yz三、计算n阶行列式：[x+2(n-1)](x-2) n-1类似课本27页8题（2）四、解线性方程组：课本79页14（1）五、课本56页15题六、类似于课本93页例11把A化为行阶梯矩阵，R（A）＝4；再化为行最简形，得最大无关组（a1，a2，a4）；……a5＝2a1+3a2－3a3七、类似于课本114页例2（1）b1＝(1，1，1)T b2＝(－1，0，1)T b3＝(1/3，－2/3，1/3)T （2）r1＝(1/√3)(1，1，1)T r2＝(1/√2)(－1，0，1)T r3＝(1/√6)(1，－2，1) T八、课本119页例7九、AA T=E，AA-1=E A-1= A TA-1 (A-1 ) T = A T (A T) T =A T A=E A-1 是正交阵|A+E|=|A+ AA T |=|(E+A T)A |=|A+E||A ||A+E||A-E|=O|A+E|=O或|A-E|=O |A|=-1或1十、课本108页10题2007-2008学年第一学期《线性代数(B)》期末考试试题(B卷)一、单项选择题：1~5：CBBDD二、填空题：1. 2，52. 2k4，1/2 ，83. A－E4. 15. 2 1 01 0 -1/20 -1/2 0三、计算n阶行列式：课本27页8题（1）四、解线性方程组：同A卷五、(A－E)X=B X=(A－E)-1 B ……类似课本65页例3六、类似于课本108页11（1）把A化为行阶梯矩阵，R（A）＝2；再化为行最简形，得最大无关组（a1，a2）；七、课本114页例2八、课本118页例6九、(B T AB)T=(AB)T(B T)T=B T AB十、同A卷。
佛山科学技术学院 2010-2011学年第二学期《 概率论与数理统计》(B卷)
Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999
六、(8分)某超市为增加销售，对营销方式、管理人员等进行了一系列调整，调整后随机抽查了9天的日销售额（单位：万元），经计算知 。据统计调整前的日平均销售额为 万元，假定日销售额服从正态分布。试问调整措施的效果是否显著？（ ）
附表： 。
七、（8分）设 的概率密度为
求（1）边缘概率密度 ；问 是否独立？
A.2B.3
C.4D.5
9.设x1，x2，…，x5是来自正态总体N（ ）的样本，其样本均值和样本方差分别为 和 ，则 服从（ ）
A.t(4)B.t(5)
C. D.
10.设总体X~N（ ）， 未知，x1，x2，…，xn为样本， ，检验假设H0∶ = 时采用的统计量是（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（每小空2分，共12分）
八、（12分）设随机变量服从几何分布，其分布列为
，
求 与
九、（8分）在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为 的泊松分布，而进入
超市的每一个人购买 种商品的概率为 ，若顾客购买商品是相互独立的，
求一天中恰有 个顾客购买 种商品的概率。
十、（8分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求 .
A. B.
C. D.
4.设随机变量X的概率分布为（ ）
X
0
1
2
3
P
0.2
0.3
k
0.1
则k=
A.0.1B.0.2
C.0.3D.0.4
5.设随机变量X的概率密度为f(x)，且f(-x)=f(x),F(x)是X的分布函数，则对任意的实数a，有（ ）
《概率论与数理统计》试卷(2学分 A)1
4. 设X ，Y 相互独立，都服从参数为2的指数分布，则=<}{Y X P .)(A 0； )(B 1/4； )(C 1/2； )(D 1.5. 设X则可能正确的是 。
（A ）a - b = 1； （B ）EX = 1； （C ）a + b < 1/4； （D ）EX < 1/4.二、 填空题（18分，每题3分）1．设X,Y 为随机变量且P{X ≥0,Y ≥0}=73, P{X ≥0}=P{Y ≥0}=74,则P{max(X,Y)≥0}=______________。
.2. 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Z=3X-2, 则E(Z)= .3. 随机变量,X Y 相互独立且服从同一分布，3/)1()()(+====k k Y P k X P ，1,0=k ，则()P X Y ==.4. 随机变量);4,0;1,0(~),(ρN Y X ，已知(2)1D X Y -=，则ρ=.5. 如果 ,A B A = 且 A B = A ， 则事件 A 与 B 满足的关系是 _________.6. 设连续型随机变量 ξ 的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧>-≤=-0211021)(x e x e x F xx， 则{}=<-325ξP _______。
三（10分）有10盒种子，其中1盒发芽率为90％，其他9盒为20％.随机选取其中1盒，从中取出1粒种子，该种子能发芽的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的1盒的概率是多少？四（10分）. 设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数⎩⎨⎧<<<=他其,010,6),(y x x y x f ， 求（1）,X Y 的边缘密度函数； （2）(1)P X Y +≤； （3）),cov(Y X五（10分） 设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数22,0,0(,)0,x y e x y f x y --⎧>>=⎨⎩其他, 求 max{,}Z X Y =的密度函数.六（10分）某厂生产某产品1000件，其价格为2000P =元/件，其使用寿命X （单位：天）的分布密度为120000(365)120000365()0365x e x f x x --⎧≥⎪=⎨<⎪⎩现由某保险公司为其质量进行保险：厂方向保险公司交保费0P 元/件，若每件产品若寿命小于1095天（3年），则由保险公司按原价赔偿2000元/件. 试利用中心极限定理计算 (1) 若保费0100P =元/件, 保险公司亏本的概率？ (2) 试确定保费0P ，使保险公司亏本的概率不超过1%.)99.0)33.2(,946.0)61.1(,926.0)45.1(,96.0(0365.0=Φ=Φ=Φ≈-e）七（12分）随机变量(X ，Y)服从在区域{0<x <2，0<y <1}上均匀分布。
(完整版)大学概率统计试题及答案.docx
__ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯注意：以下是本次考试可能用到的分位点以及标准正态分布的分布函数值：⋯t0.025(15)t 0.05 (15)t0. 025 (24)t0.05 (24)(2)(0.8)(1)⋯⋯ 2.1315 1.7531 2.0639 1.71090.97720.78810.8413⋯⋯⋯一、选择填空题（共 80 分 , 其中第 1-25 小题每题 2 分 ,第 26-35⋯小题每题 3 分）得分:⋯业⋯ 1. A 、B 是两个随机事件， P( A ) = 0.3，P( B ) = 0.4，且 A 与 B 相互独立，则专⋯P( AU B) = B;级⋯年⋯(A) 0.7(B) 0.58(C) 0.82(D) 0.12⋯⋯⋯ 2. A 、B 是两个随机事件， P( A ) = 0.3 ，P( B ) = 0.4 ，且 A 与 B 互不相容 ,则⋯P( A U B)D;⋯⋯⋯(A) 0(B)0.42(C)0.88(D)1⋯:⋯ 3.已知 B,C 是两个随机事件 ,P( B | C ) = 0.5，P( BC ) = 0.4,则 P( C ) = C ;别)⋯系封(A) 0.4(B)0.5(C)0.8(D)0.9⋯答⋯ 4.袋中有 6 只白球 ,4 只红球 ,从中抽取两只 ,如果作不放回抽样 ,则抽得的两个球不⋯颜色不同的概率为 : A;内⋯⋯⋯84126封⋯(A) 15(B)15(C)25(D)25密⋯(⋯⋯ 5. 袋中有 6 只白球 ,4 只红球 ,从中抽取两只 ,如果作放回抽样 ,则抽得的两个球颜:⋯色不同的概率为 :C;⋯号⋯学84126⋯(C)(D)⋯(A)(B)15152525⋯⋯1⋯的概率为C;则这两个数之和小于密6.在区间 [0,1] 上任取两个数 ,2⋯:⋯(A) 1/ 2(B) 1/ 4(C)1/ 8(D)1/16⋯名⋯姓7.在一次事故中，有一矿工被困井下，他可以等可能地选择三个通道之一逃生.⋯⋯假设矿工通过第一个通道逃生成功的可能性为1/2，通过第二个通道逃生成功的⋯⋯可能性为 1/3，通过第三个通道逃生成功的可能性为1/6.请问：该矿工能成功逃⋯生的可能性是C.(A) 1(B) 1/ 2(C) 1/ 3(D) 1/ 68.已知某对夫妇有四个小孩，但不知道他们的具体性别。
广东省佛山市2023-2024学年高二上学期开学考试 数学含解析
佛山市2023~2024学年第一学期开学考试高二数学试题（答案在最后）第I 卷（选择题，共60分）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1.若1i 1i z=-+，则复数z 的共轭复数为（）A.0B.1C.2D.－22.圆锥的表面积为12π，母线长为4，则该圆锥的底面半径为（）A.2B.3C.1D.3.已知6a =，向量e 为单位向量，π,3a e <>=，则向量a 在向量e方向上的投影向量为（）A.3B.3eC.3e -D.4.某中学共有学生2500人，其中男生1500人，为了解该校学生参加体育锻炼的时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为50的样本，则样本中女生的人数为（）A.10B.15C.20D.305.已知m ，n 为两条不同的直线，α和β是两个不同的平面，下列为真命题的是（）A.,//m n m n αα⊥⇒⊥B.//,n n ββαα⊥⇒⊥C.//,m n m n ββ⊥⇒⊥ D.//,//m n m nαα⊂⇒6.如图，在下列四个正方体中，A ，B ，C ，D 分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A ，B ，C ，D 四点共面的是（）．A. B.C. D.7.直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB 、AD 分别交于E 、F ，且交其对角线AC 于K ，若2AB AE =，3AD AF = ，AC AK λ=uuu r uuu r（R λ∈），则λ=（）A.2B.52C.3D.58.如图，在平面四边形ABCD 中，△BCD 是边长为7的等边三角形，3120AD BAD ∠== ，，则△ABC 的面积为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若向量()0,1a = ，()2,1b =-r ，()1,1c =，则（）A.()//a b c- B.()a b c-⊥ C.()a b c -⋅> D.2a b c-= 10.将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列结论中正确的是（）A.()g x 的最小正周期为πB.直线6x π=是()g x 图象的一条对称轴C.()g x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D.()g x 图像关于原点对称11.小赵于2021年10月1日投资了一款理财产品，2021年10月1日至14日每日收益（单位：元）如折线图所示，则下列说法正确的是（）A.10月6日与10月9日的收益相等B.10月2日至10月5日的每日收益递增C.10月1日至10月14日每日收益的中位数为103.5元D.与前一日相比，10月5日的收益增加最多12.如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 是边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE （点A 1不落在底面BCDE 内），连接A 1B 、A 1C ．若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 的翻折过程中，以下结论正确的是（）A.BM ∥平面A 1DE 恒成立B.1A A DE V -：1A BCDE V -=1：3C.存在某个位置，使DE ⊥A 1CD.线段BM 的长为定值第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a 与b的夹角为120°，且4a b == ，那么()3b a b ⋅+ 的值为______.14.正三棱台上下底面棱长分别为3和6，侧棱长为2，则正三棱台的体积为______.15.一半径为4m 的水车，水车圆心O 距离水面2m ，已知水车每分钟转动（按逆时针方向）3圈，当水车上P 点从水中浮现时开始计时，即从图中0P 点开始计算时间，当10t =秒时，点P 离水面的高度是______m.16.在ABC 中，60,2,6BAC AB BC ∠=︒==，BAC ∠的角平分线交BC 于D ，则AD =_________．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知C 是平面ABD 上一点，AB AD ⊥，1CB CD ==．（1）若3AB AC = ，求AB CD ⋅的值；（2）若AP AB AD =+，求AP 的最大值．18.已知ABC 内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()()()sin sin sin sin .a c A C b A B +-=-（1）求角C ；（2）若ABC 为锐角三角形，且4b =，求ABC 面积的取值范围.19.设向量)3sin ,sin a x x =，()cos ,sin b x x = ，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（1）若a b =，求x 的值；（2）设函数()f x a b =⋅，求()f x 的最大值．20.如图，在三棱锥S —ABC 中，SA ＝SB ，AC ＝BC ，O 为AB 的中点，SO ⊥平面ABC ，AB ＝4，OC ＝2，N 是SA 的中点，CN 与SO 所成的角为α，且tanα＝2.(1)证明：OC ⊥ON ；(2)求三棱锥S —ABC 的体积．21.2021年3月24日，某些国际服装企业因抵制新疆棉花声明在中国互联网上引发热议.对此，中国外交部发言人25日表示，中国光明磊落，中国人民友善开放，但中国民意不可欺､不可违.某记者随机采访了100名群众，调查群众对此事件的看法，根据统计，抽取的100名群众的年龄统计如下表：年龄[)25,35[)35,45[)45,55[)55,65[)65,75[)75,85人数510a35b 15频率0.050.100.150.35c0.15（1）求,,a b c 的值，并作出调查群众年龄的频率分布直方图；（2）求这100名受访群众年龄的平均数x 和中位数(同一组数据用该区间的中点值代替)；（3）该记者为了感谢参与调查的群众，根据不同年龄阶段的人群发放不同的礼品，其中对年龄大于m 岁的人奖励紫砂杯，为了使30%的群众得到该奖励，试求m 的值.22.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB BC ==，AC =E ，F 为线段1BB ，1AC 的中点．（1）证明：EF ⊥平面11A ACC ；（2）若直线EA 与平面ABC 所成的角大小为6π，求点C 到平面1AEC 的距离．佛山市2023~2024学年第一学期开学考试高二数学试题第I 卷（选择题，共60分）一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1.若1i 1i z=-+，则复数z 的共轭复数为（）A.0B.1C.2D.－2【答案】C 【解析】【分析】利用复数的乘法运算求出复数z ，再求出其共轭复数作答.【详解】依题意，(1i)(1i)=2z =-+，所以复数z 的共轭复数为2.故选：C2.圆锥的表面积为12π，母线长为4，则该圆锥的底面半径为（）A.2B.3C.1D.【答案】A 【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r ，根据圆锥的表面积为12π，母线长为4，由212S r rl πππ=+=求解.【详解】设圆锥的底面半径为r ，因为圆锥的表面积为12π，母线长为4，所以212S r rl πππ=+=，即24120r r +-=，解得2r =或6r =-（舍去）故选：A3.已知6a =，向量e 为单位向量，π,3a e <>=，则向量a 在向量e方向上的投影向量为（）A.3B.3eC.3e -D.【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由投影向量的定义，代入计算，即可得到结果.【详解】因为6a = ，向量e为单位向量，π,3a e <>= ，则π1cos 61332a e a e ⋅=⋅=⨯⨯= ，则向量a 在向量e方向上的投影向量为3a e e e e⋅⋅=.故选：B4.某中学共有学生2500人，其中男生1500人，为了解该校学生参加体育锻炼的时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为50的样本，则样本中女生的人数为（）A.10 B.15C.20D.30【答案】C 【解析】【分析】先求得中学中的女生人数，然后根据样本容量，按照比例求解.【详解】因为共有学生2500人，其中男生1500人，所以女生有1000人，所以样本中女生的人数为100050202500⨯=人故选：C【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，属于基础题.5.已知m ，n 为两条不同的直线，α和β是两个不同的平面，下列为真命题的是（）A.,//m n m n αα⊥⇒⊥B.//,n n ββαα⊥⇒⊥C.//,m n m n ββ⊥⇒⊥D.//,//m n m nαα⊂⇒【答案】C 【解析】【分析】ABD 项均可举出反例，C 项可用线面垂直的判定定理说明【详解】A.,//m n m α⊥，则n 也可在平面α内，故选项A 不正确.B.//,n ββα⊥，则n 也可在平面α内,故选项B 不正确.C.//,m n m n ββ⊥⇒⊥成立两平行线,m n ，m ⊥平面β，m 必垂直于β内的两条相交直线，则n 必定垂直于β内那两条相交直线，故n β⊥,故C 正确.D.//,m n αα⊂，则,m n 也可是异面直线的关系.故选项D 不正确.故选：C6.如图，在下列四个正方体中，A ，B ，C ，D 分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A ，B ，C ，D 四点共面的是（）．A. B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据正方体的性质判断点是否共面，并应用平面的性质画出截面即可判断.【详解】由正方体性质，选项A ，B ，C 中，A ，B ，C ，D 四点显然不共面．对于D 选项，如下图取E ，F 为正方体所在棱的中点，依次连接ADCEBF ，易知ADCEBF 为平面正六边形，所以A ，B ，C ，D 四点共面．故选：D7.直线l 与平行四边形ABCD 中的两边AB 、AD 分别交于E 、F ，且交其对角线AC 于K ，若2AB AE =，3AD AF = ，AC AK λ=uuu r uuu r（R λ∈），则λ=（）A.2 B.52C.3D.5【答案】D 【解析】【分析】根据题意将AK用,AE AF表示出来，然后结合三点共线定理，即可求得结果.【详解】∵2AB AE = ，3AD AF =，AC AK λ=uuu r uuu r ∴11123()(23)AK AC AB AD AE AF AE AF λλλλλ==+=+=+uuu r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r ，由E ，F ，K 三点共线可得231λλ+=,∴5λ=.故选:D8.如图，在平面四边形ABCD 中，△BCD 是边长为7的等边三角形，3120AD BAD ∠== ，，则△ABC 的面积为（）A.B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】先利用余弦定理求得AB 的长度，再去求sin ABC ∠的值，进而可求得△ABC 的面积.【详解】由2222cos120BD AD AB AD AB =+-⋅ ，可得222733AB AB =++，解之得5AB =或8AB =-（舍）则22257313cos 25714ABD +-∠==⨯⨯，又()0,πABD ∠∈，则sin ABD ∠=则π113sin sin 31421427ABC ABD ⎛⎫∠=∠+=⨯+⨯= ⎪⎝⎭则△ABC 的面积为157sin 2ABC ⨯⨯∠=故选：C二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若向量()0,1a = ，()2,1b =-r ，()1,1c =，则（）A.()//a b c- B.()a b c-⊥ C.()a b c -⋅> D.2a b c-= 【答案】BD 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示，数量积和向量的模的坐标，逐项判定，即可求解.【详解】由题向量()()()2,0,1,1,1,1a b c -===，可得()2,2a b -=-，可得21210-⨯+⨯=，所以()a b c -⊥ ，所以AC 错误，B 正确；又由a b -= ，2c = 2a b c -=，所以D 正确.故选：BD.10.将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列结论中正确的是（）A.()g x 的最小正周期为πB.直线6x π=是()g x 图象的一条对称轴C.()g x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D.()g x 图像关于原点对称【答案】ACD 【解析】【分析】利用三角函数图象变换规律得出()sin 2g x x =，利用正弦型函数的周期公式可判断A 选项；计算6g π⎛⎫⎪⎝⎭的值可判断B 选项；由()sin 2g x x =，在352,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的单调性可判断C 选项；利用奇函数的定义可判断D 选项.【详解】将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度，可得到函数()sin 2sin 263g x x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象.对于A 选项，函数()sin 2g x x =的最小正周期为22T ππ==，A 选项正确；对于B 选项，3sin 1632g ππ⎛⎫==≠ ⎪⎝⎭，B 选项错误；对于C 选项，35,44x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则352,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()sin 2g x x =，在352,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，C 选项正确；对于D 选项，函数()sin 2g x x =的定义域为R ，()()()sin 2sin 2g x x x g x -=-=-=-，所以，函数()sin 2g x x =为奇函数，D 选项正确.故选：ACD.11.小赵于2021年10月1日投资了一款理财产品，2021年10月1日至14日每日收益（单位：元）如折线图所示，则下列说法正确的是（）A.10月6日与10月9日的收益相等B.10月2日至10月5日的每日收益递增C.10月1日至10月14日每日收益的中位数为103.5元D.与前一日相比，10月5日的收益增加最多【答案】ABC【解析】【分析】根据折线图上的数据可直接得到AB 是正确的，10月1日至10月14日每日收益的中位数为86121103.52+=故C 也正确，10月8日和前一日比较收益增加最多，故D 错误.【详解】由题中折线图可知，10月6日与10月9日的收益均为160元，故A 正确；由题中折线图可以看出，10月2日至10月5日的每日收益递增，故B 正确；10月1日至10月14日每日收益的中位数为86121103.52+=（元），故C 正确；10月8日比前一日收益增加21740177-=（元），而10月5日比前一日收益增加22014377-=（元），10月8日和前一日比较收益增加177元，故D 错误．故选：ABC ．12.如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 是边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE （点A 1不落在底面BCDE 内），连接A 1B 、A 1C ．若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 的翻折过程中，以下结论正确的是（）A.BM ∥平面A 1DE 恒成立B.1A A DE V -：1A BCDE V -=1：3C.存在某个位置，使DE ⊥A 1CD.线段BM 的长为定值【答案】ABD【解析】【分析】对A ，取CD 中点F ，连接MF ，BF ，即可证明；对B ，分别计算1A A DE V -，1A BCDE V -证明即可；对C ，由A 1C 在平面ABCD 中的射影在AC 上，再判断即可；对D ，在MFB 中利用余弦定理证明即可【详解】解：取CD 中点F ，连接MF ，BF ，如图所示，则MF ∥A 1D ，FB ∥DE ，则可得平面MBF ∥平面A 1DE ，∵BM ⊂平面MBF ，BM ⊄平面A 1DE ，∴BM ∥A 1DE ，故A 选项正确，设A 1到平面EBCD 的距离为h ，D 到AB 的距离为h '，则1111××33A A DE A BCDE ADE EBCD V V S h S h --⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭四边形：：1'2ADE EBCD S S AE h ==⨯⨯ 四边形：：()1×+×'132CD BE h ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦：，故B 选项正确，A 1C 在平面ABCD 中的射影在AC 上，∵AC 与DE 不垂直，∴DE 与A 1C 不垂直，故C 选项错误，∵∠MFB ＝∠A 1DE ＝45°，又∵由余弦定理，可得MB 2＝MF 2+FB 2﹣2MF •FB •cos ∠MFB ，且MF ，FB 为定值，∴MB 为定值．故选：ABD ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量a 与b 的夹角为120°，且4a b == ，那么()3b a b ⋅+ 的值为______.【答案】－8【解析】【分析】先根据数量积的分配律将所求式子展开，再由平面向量数量积的运算法则即可得解.【详解】解：()2233344cos12048b a b a b b ⋅+=⋅+=⨯⨯⨯︒+=- .故答案为：-8.【点睛】本题考查数量积的计算，此类问题一般利用数量积的运算律和定义来处理，本题属于基础题.14.正三棱台上下底面棱长分别为3和6，侧棱长为2，则正三棱台的体积为______.【答案】2134【解析】【分析】将正三棱台补全为三棱锥，有正三棱台的体积P A B C P ABC V V V '''--=-，即可求体积.【详解】如下图，正三棱台ABC A B C '''-，将其补全为三棱锥P A B C '''-，PO 为其高，∴正三棱台的体积P A B C P ABC V V V '''--=-，由题设易知4,33,7PC A D PD ''===，∴设PO x =2271633x x -+-=，即三棱锥P A B C '''-的高2PO =，故-P ABC 的高为1，∴1111213266sin 60133sin 6032324V =⨯⨯⨯⨯⨯︒-⨯⨯⨯⨯⨯︒=.故答案为：213415.一半径为4m 的水车，水车圆心O 距离水面2m ，已知水车每分钟转动（按逆时针方向）3圈，当水车上P 点从水中浮现时开始计时，即从图中0P 点开始计算时间，当10t =秒时，点P 离水面的高度是______m.【答案】4【解析】【分析】根据匀速圆周运动的数学模型进行求解.【详解】因为0OP =4，圆心O 到水面的距离为2，所以0P 到x 轴的距离为2，所以x 轴与0OP 所成角为6π，由题知水车转动的角速度为6= /6010rad s ππ因为水车的半径为4，设P 点到水面的距离为y ，根据匀速圆周运动的数学模型有：4sin()2106y t ππ=-+当t =10秒时，y =4，所以点P 离水面的高度是4m .故答案为：4.16.在ABC中，60,2,BAC AB BC ∠=︒==，BAC ∠的角平分线交BC 于D ，则AD =_________．【答案】2【解析】【分析】方法一：利用余弦定理求出AC ，再根据等面积法求出AD ；方法二：利用余弦定理求出AC ，再根据正弦定理求出,B C ，即可根据三角形的特征求出．【详解】如图所示：记,,AB c AC b BC a ===，方法一：由余弦定理可得，22222cos 606b b +-⨯⨯⨯= ，因为0b >，解得：1b =+由ABC ABD ACD S S S =+ 可得，1112sin 602sin 30sin 30222b AD AD b ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ，解得：1212AD b +==+．故答案为：2．方法二：由余弦定理可得，22222cos 606b b +-⨯⨯⨯= ，因为0b >，解得：1b=+由正弦定理可得，2sin 60sin sin b B C==，解得：sin 4B =，sin 2C=，因为1+>>45C = ，180604575B =--= ，又30BAD ∠=o ，所以75ADB ∠= ，即2AD AB ==．故答案为：2．【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知C 是平面ABD 上一点，AB AD ⊥，1CB CD ==．（1）若3AB AC = ，求AB CD ⋅ 的值；（2）若AP AB AD =+ ，求AP 的最大值．【答案】（1）34-（2）2【解析】【分析】（1）根据向量的几何意义做出图形，然后根据向量的线性运算及数量积运算法则进行计算即可；（2）令N 为BD 的中点，则2,AP AB AD AN =+= 结合当,,B C D 三点共线时，DB 最大，即可求解.【小问1详解】如图①，因为3AB AC = ，所以12AC CB = ，且1CB =，则1122AC CB == ，332AB AC == ，又AB AD ⊥，则0AB AD ⋅=uu u r uuu r ，又因为()AB CD AB AD AC ⋅=⋅- =AB AD AB AC⋅-⋅ 0|cos 0AB AC =-⋅ 313;224=-⨯=-【小问2详解】如图②，令N 为BD 的中点，则2,AP AB AD AN =+=所以,,A N P 三点共线，若,,B C D 形成三角形，则有CD CB BD +>,故2,DB <所以当,,B C D 三点共线时，DB 最大，为2，此时1AN =,故AP 的最大值为2 2.AN = 18.已知ABC 内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()()()sin sin sin sin .a c A C b A B +-=-（1）求角C ；（2）若ABC 为锐角三角形，且4b =，求ABC 面积的取值范围.【答案】（1）3π；（2）(.【解析】【分析】（1）由正弦定理和题设条件，化简得222a b c ab +-=，利用余弦定理，求得1cos 2C =，即可求解；（2）由（1）得3C π=，根据ABC 为锐角三角形，求得62B ππ<<，利用正弦定理和面积公式，以及三角恒等变换的公式化简得到6tan S B =+，进而求得面积的取值范围.【详解】（1）因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-，由正弦定理，可得()()()a c a c b a b +-=-，整理得222a b c ab +-=，所以2221cos 222a b c C ab a ab b +-===，又因为(0,)C π∈，所以3C π=.（2）由（1）知：3C π=，所以23A B π+=，因为ABC 为锐角三角形，所以022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62B ππ<<，又由正弦定理知sin sin b c B C =，可得23sin c B =，所以ABC的面积为112sin 4sin()22sin 3S bc A B B π==⨯⨯⨯-2sin()3sin B Bπ-=1cos sin 6cos 6222sin sin tan B B B B B B B++===+因为62B ππ<<，所以tan 3B >，可得60tan B <<，所以6tan B <+<，即S <<，所以ABC的面积的取值范围是(.【点睛】对于解三角形问题的常见解题策略：对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，同时注意三角形内角和定理，三角形面积公式在解题中的应用.19.设向量),sin a x x = ，()cos ,sin b x x = ，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（1）若a b = ，求x 的值；（2）设函数()f x a b =⋅ ，求()f x 的最大值．【答案】（1）π6（2）32【解析】【分析】（1）由向量模长的坐标表示，结合同角平方关系即可求解.（2）由数量积的坐标表示，及三角恒等变换即可求解.【小问1详解】∵a b =，),sin a x x = ，()cos ,sin b x x = ，∴22a b = ，即22223sin sin cos sin x x x x +=+，得21sin 4x =，又∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则sin 0x >，∴1sin 2x =，解得π6x =.【小问2详解】()2cos sin f x a b x x x=⋅=+31sin 2(1cos 2)22x x =+-11sin 2cos 2222x x =-+π1sin 262x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ5π2,666x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴()max 32f x =20.如图，在三棱锥S —ABC 中，SA ＝SB ，AC ＝BC ，O 为AB 的中点，SO ⊥平面ABC ，AB ＝4，OC ＝2，N 是SA 的中点，CN 与SO 所成的角为α，且tanα＝2.(1)证明：OC ⊥ON ；(2)求三棱锥S —ABC 的体积．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质得OC ⊥AB ，再根据线面垂直性质得OC ⊥SO ，最后根据线面垂直判定定理得OC ⊥平面SAB ，即得结果，（2）先确定线面角，解得高SO ，再根据锥体体积公式求结果.【详解】(1)证明∵AC ＝BC ，O 为AB 的中点，∴OC ⊥AB ，又SO ⊥平面ABC ，OC ⊂平面ABC ，∴OC ⊥SO ，又AB ∩SO ＝O ，AB ，SO ⊂平面SAB ，∴OC ⊥平面SAB ，又∵ON ⊂平面SAB ，∴OC ⊥ON .(2)解设OA 的中点为M ，连接MN ，MC ，则MN ∥SO ，故∠CNM 即为CN 与SO 所成的角α，又MC ⊥MN 且tanα＝2，∴MC ＝2MN ＝SO ，又MC ＝即SO ∴三棱锥S —ABC 的体积V ＝13Sh ＝13⨯12⨯2⨯4⨯＝453.【点睛】本题考查线面垂直判定与性质以及锥体体积公式，考查基本分析论证求解能力，属中档题.21.2021年3月24日，某些国际服装企业因抵制新疆棉花声明在中国互联网上引发热议.对此，中国外交部发言人25日表示，中国光明磊落，中国人民友善开放，但中国民意不可欺､不可违.某记者随机采访了100名群众，调查群众对此事件的看法，根据统计，抽取的100名群众的年龄统计如下表：年龄[)25,35[)35,45[)45,55[)55,65[)65,75[)75,85人数510a 35b 15频率0.050.100.150.35c 0.15（1）求,,a b c 的值，并作出调查群众年龄的频率分布直方图；（2）求这100名受访群众年龄的平均数x 和中位数(同一组数据用该区间的中点值代替)；（3）该记者为了感谢参与调查的群众，根据不同年龄阶段的人群发放不同的礼品，其中对年龄大于m 岁的人奖励紫砂杯，为了使30%的群众得到该奖励，试求m 的值.【答案】（1）15,20,0.2a b c ===，图见解析；（2）平均数为60，中位数为60.714；（3）67.5m =.【解析】【分析】（1）根据频率分布表中的数据求得a ，b ，c ，再作出频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图，利用平均数和中位数公式求解；（3）根据年龄在[65,85]的频率为0.350.3>，由(75)0.020.150.3m -⨯+=求解.【详解】（1）由题可知，0.15100a =，所以15a =，10051015351520b =-----=，从而200.2100c ==.作出频率直方图如下：（2）平均数300.05400.1500.15600.35700.20800.1560x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，中位数=0.50.050.10.155560.7140.035---+≈.（3）由题意知，年龄在[65,85]的频率为0.350.3>，所以(75)0.020.150.3m -⨯+=，解得67.5m =.22.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB BC ==，AC =E ，F 为线段1BB ，1AC 的中点．（1）证明：EF ⊥平面11A ACC ；（2）若直线EA 与平面ABC 所成的角大小为6π，求点C 到平面1AEC 的距离．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取BC 的中点M ，连结,FM BM ，可得EF BM ∥，通过证明BM ⊥平面11A ACC 可得；（2）利用等体积关系11E ACC C AEC V V --=可得.【小问1详解】证明：取BC 的中点M ，连结,FM BM ，∵在1ACC △中，F 、M 分别为1AC 、AC 的中点，∴112FM CC =且1FM CC ∥，又在直三棱柱111ABC A B C -中，E 是1BB 的中心，∴112BE CC =且1BE CC ∥，∴BE FM =且BE FM ∥，∴四边形BEFM 为平行四边形，∴EF BM ∥，∵在ABC 中，M 为AC 的中点，且1,AB BC AC ===，∴BM AC ⊥，且2BM =，∵1CC ⊥平面ABC ，BM ⊂平面ABC ，∴1CC BM ⊥，又1CC AC C =I ，∴BM ⊥平面11A ACC ，∴EF ⊥平面11A ACC ；【小问2详解】由（1）知，2EF BM ==，1EF AC ⊥，因为直线EA 与平面ABC 所成的角大小为π6，π6EAB ∠=∴，因为R t EAB 中，1AB =，tan 3BE AB EAB =⋅∠=∴，113CC BB ==∴，13AC ==∴，111111,2623EAC ACC S EF AC S AC CC =⋅==⋅= ∴，设点C 到平面1AEC 的距离为d ，11E ACC C AEC V V --= ，111133ACC AEC S EF S d ⋅=⋅ ∴，即11=33236d ⋅⋅⋅⋅，解得5d =.。
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佛山科学技术学院
2002-2003学年第一学期期末考试试题
课程： 概率论与数理统计( A 卷)
专业、班级： 姓名： 学号：
一、单选题：把所选答案前面的字母填在括号内（每小题2分，共10分）
1、若,1)()(>+B P A P 则事件A 与B 必定（）
A 互斥
B 相容
C 对立
D 独立
2、已知随机变量ξ的方差为D ξ，若a ,b 为常数，则b a +ξ的方差为（）
AD ξB a 2D ξC(a D ξ)2D0
3、若随机变量ξ与η相互独立，则它们的相关系数等于（）
A1B-1C ±1D 0
4、设产品的废品率为0.03,用切贝谢夫不等式估计1000个产品中废品多于20个且少于40个的概率为（）
A0.802B0.786C0.709D0.813
5、从一副去掉大小王的52张扑克牌中任意抽5张，其中没有K 字牌的概率为（）
A 5248
B 552548
C C C 554852C
D 555248 二、填空题：（1、2、3小题各2分，4，5小题各3分，6,8小题各4分，7小题6分,共26分）
1、设[][]⎪⎩⎪⎨⎧∉∈+=1,0
01,0 1)(2x x x c x φ为随机变量ξ的概率密度,则常数
c =_____________.
2、假设检验是由部分来推断整体，它不可能绝对准确，而可能犯的错误有
和
3、设相互独立的随机变量ξ，η的方差分别为0.1,0.09,则=-)(ηξD .
4、已知)(A P =0.3,P (B )=0.4,(P A ∣B )=0.32,则=)(B A P _________.
5、评价估计量优劣的标准有 , , .
6、设连续型随机变量ξ具有分布函数⎩⎨⎧≤>-=-0
00 1)(x x e x F x λ,
则==ξξD E _,_________________________.
7、设),,,(21n x x x 为总体ξ中取出的一组样本观察值,若
⎩
⎨⎧><<=-其它当 00)( 10 )(1θθφθx x x ,则用最大似然法估计ξ的概率密度)(x φ中的未知参数θ时，得到似然函数为 ，
似然方程为 估计量=θ
ˆ 8、已知灯泡寿命的标准差σ=50小时，抽出25个灯泡检验，得平均寿命500
=x 小时，试以95%的可靠性对灯泡的平均寿命进行区间估计，则置信区间为 （假设灯泡寿命服从正态分布）。
(给定u 0.05=1.96,t 0.05(24)=2.064,供选用).
三、应用题：（64分）
1、某厂有4条流水线生产同一批产品，产量分别占总产量15%，20%，30%和35%，
且这4条流水线的不合格品率依次为0.05,0.04,0.03及0.02。
现从这批产品中任取
一件，问：（1）取到不合格品的概率是多少？（2）发现是不合格品，它是第1条
流水线产品的概率是多少？（12分）
2、某型号电子管，其寿命（以小时计）为一随机变量，概率密度
⎪⎩⎪⎨⎧≥=其它
0100 100)(2x x x φ，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，求电子管使用150小时都不需要更换的概率。
（8分）
3、由佛山科技学院到佛山火车站，途中有4个交通岗。
假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的并且概率都是1/3，设ξ为途中遇到红灯的次数，求随机变量ξ的分布律、分布函数及期望值。
（12分）
4、袋装茶叶用机器装袋，每袋的净重为随机变量，其期望值为100g，标准差为10g，一大盒内装200袋，求一盒茶叶净重大于20.5kg的概率。
(给定Ф0(3.54)=0.9998,供选用)(8分)
5、某批产品长度ξ~N（50，0.252）。
(1)求产品长度在49.5cm和50.5cm之间的概率;
(2)求ξ的离差的绝对值小于1的概率。
(给定Φ0(2)=0.97725,Φ0(3)=0.99865,Φ0(4)=0.946833，供选用)(10分)
6、某电工器材厂生产一种云母带，其平均厚度经常保持为0.13毫米。
某日开工后检查了10处，发现平均厚度为0.146毫米，标准差为0.015毫米，问该日云母带质量与平时相比有无显著不同（α=0.05）?(给定u0.05=1.96,t0.05(9)=2.262,供选用)
(8分)
7、设口袋中有5个球，分别标有号码1，2，3，4，5。
现从这口袋中任取3个球，ξ，η分别表示取出的球的最大标号和最小标号。
求二维随机变量（ξ，η）的概率分布。
（6分）。