数学分析华东师大定积分

第九章定积分

§1 定积分概念

一问题提出

不定积分和定积分是积分学中的两大基本问题.求不定积分是求导数的逆运算, 定积分则是某种特殊和式的极限,它们之间既有区别又有联系.现在先从两个例子来看定积分概念是怎样提出来的.

1 . 曲边梯形的面积设 f 为闭区间[a , b] 上的连续函数, 且 f ( x ) ≥0 . 由曲线y = f ( x ) , 直线x = a , x = b 以及x 轴所围成的平面图形( 图9 - 1) , 称为曲边梯形.下面讨论曲边梯形的面积( 这是求任何曲线边界图形面积的基

础) .

图9 - 1 图9 - 2

在初等数学里,圆面积是用一系列边数无限增多的内接(或外切)正多边形面积的极限来定义的.现在我们仍用类似的办法来定义曲边梯形的面积.

在区间[ a , b] 内任取n - 1 个分点, 它们依次为

a = x0 < x1 < x2 < < x n - 1 < x n = b,

这些点把[ a , b] 分割成n 个小区间[ x i - 1 , x i ] , i = 1 , 2 ,, n .再用直线x =

x i , i = 1 , 2, , n - 1把曲边梯形分割成n 个小曲边梯形( 图9 - 2 ) .

在每个小区间[x i - 1 , x i ]上任取一点ξi ,作以 f (ξi ) 为高, [x i - 1 , x i ]为底的小矩形.当分割[ a , b] 的分点较多, 又分割得较细密时, 由于 f 为连续函数, 它在每个小区间上的值变化不大, 从而可用这些小矩形的面积近似替代相应小曲边

§1 定积分概念201

梯形的面积.于是,这n 个小矩形面积之和就可作为该曲边梯形面积S 的近似值,即

n

f (ξi )Δx i (Δx i = x i - x i - 1 ) . ( 1)

S ≈ ∑

i = 1

注意到(1 ) 式右边的和式既依赖于对区间[ a , b]的分割, 又与所有中间点ξi ( i = 1 , 2 , , n ) 的取法有关.可以想象, 当分点无限增多, 且对[ a , b] 无限细分时, 如果此和式与某一常数无限接近, 而且与分点x i 和中间点ξi 的选取无关, 则就把此常数定义作为曲边梯形的面积S .

2 . 变力所作的功设质点受力F 的作

用沿x 轴由点a 移动到点b, 并设 F 处处平行

于x 轴( 图9 - 3 ) .如果F 为常力, 则它对质

点所作的功为W = F( b - a) .现在的问题是, 图9 - 3

F 为变力, 它连续依赖于质点所在位置的坐标x , 即F = F( x) , x ∈[ a , b] 为一连续函数, 此时 F 对质点所作的功W 又该如何计算?

由假设F( x ) 为一连续函数, 故在很小的一段位移区间上F( x ) 可以近似地看作一常量.类似于求曲边梯形面积那样, 把[ a , b] 细分为n 个小区间[ x i - 1 , x i ] ,Δx i = x i - x i - 1 , i = 1 ,2 , , n ; 并在每个小区间上任取一点ξi , 就有

F( x) ≈F(ξi ) , x ∈[ x i - 1 , x i ] , i = 1 ,2 ,, n .

于是, 质点从x i - 1 位移到x i 时, 力 F 所作的功就近似等于F(ξi )Δx i , 从而

n

W ≈∑F(ξi )Δx i . ( 2)

i = 1

同样地, 对[ a , b] 作无限细分时, 若(2 ) 式右边的和式与某一常数无限接近, 则就把此常数定义作为变力所作的功W .

上面两个例子,一个是计算曲边梯形面积的几何问题,另一个是求变力作功的力学问题,它们最终都归结为一个特定形式的和式逼近.在科学技术中还有许多同样类型的数学问题, 解决这类问题的思想方法概括说来就是“分割,近似求和, 取极限”.这就是产生定积分概念的背景.

二定积分的定义

定义1 设闭区间[ a, b] 内有n - 1 个点, 依次为

a = x0 < x1 < x2 < < x n - 1 < x n = b,

它们把[ a , b] 分成n 个小区间Δi = [ x i - 1 , x i ] , i = 1 , 2 ,, n .这些分点或这些闭子区间构成对[ a ,b] 的一个分割, 记为

T = { x0 , x1 , , x n } 或{Δ1 ,Δ2 , ,Δn } .

小区间Δi 的长度为Δx i = x i - x i - 1 , 并记

∫

∫

202 第九章 定 积 分

称为分割 T 的模 . ‖ T ‖ = max {Δ x i } ,

1 ≤ i ≤ n

注 由于 Δ x i ≤‖ T ‖ , i = 1 , 2 , , n , 因此 ‖ T ‖可 用来 反映 [ a , b] 被 分 割的细密程度 .另外 , 分割 T 一旦给出 , ‖ T ‖就随之而确定 ; 但是 , 具有同 一细 度‖ T ‖的分割 T 却有无限多个 .

定义 2 设 f 是定义在 [ a , b] 上的 一个 函数 .对于 [ a , b] 的一 个 分割 T = {Δ1 , Δ2 ,

,Δn } , 任取点 ξi ∈Δi ,

i = 1 , 2 , , n , 并作和式n

∑ i = 1

f (ξi )Δ x i .称此和式为函数 f 在 [ a , b] 上的一个积分和 , 也称黎曼和 .

显然 , 积分和既与分割 T 有关 , 又与所选取的点集 {ξi }

有关 . 定义 3 设 f 是定义在 [ a , b] 上的 一个 函数 , J 是一 个确 定的实 数 .若对 任 给的正数 ε, 总存在某一正数 δ, 使得对 [ a , b] 的任何分割 T , 以及在其上任意选 取的点集 {ξ

i

}

, 只要‖ T ‖ < δ, 就有

n

∑

i = 1

f (ξi )Δx i - J

< ε,则称函数 f 在区间 [ a , b] 上可积 或黎 曼可 积 ; 数 J 称为 f 在 [ a , b] 上 的 定积 分

或黎曼积分 , 记作

b

J =

f ( x) d x . ( 3)

a

其中 , f 称为被积函数 , x 称为积分变量 , [ a , b] 称为积分 区间 , a 、b 分别 称为 这 个定积分的下限和上限 .

以上定义 1 至定义 3 是定积分抽象 概念 的完 整叙述 .下 面是 与定积 分概 念 有关的几点补充注释 .

注 1 把定积分定 义的 ε- δ说法和 函数极限 的ε- δ说法相 对照 , 便会 发 现两者有相似的陈述方式 , 因此我们也常用极限符号来表达定积分 , 即把它写作

J =

lim

‖ T ‖ → 0

n

∑

i = 1

b

f (ξi )Δx i =

f ( x )d x . ( 4)

a

然而 , 积 分 和 的 极 限 与 函 数 的 极 限 之 间 其 实 有 着 很 大 的 区 别 : 在 函 数 极 限

lim x → a

f ( x) 中

, 对每一个极限变量 x 来说 , f ( x ) 的值是唯 一确定 的 ; 而 对于积分 和的极限而言 , 每一个‖ T ‖并不唯一对应积分和的一个值 .这使得积 分和的极 限 要比通常的函数极限复杂得多 .

注 2 可积性是函数的又一分析性质 .稍后 ( 定理 9 .3) 就会知道连续函数是 可积的 , 于是本节开头两个实例都可用定积分记号来表示 :

1) 连 续 曲 线 y = f ( x) ≥ 0 在 [ a , b] 上 形 成 的 曲 边 梯 形 面 积 为