数学分析华东师大定积分
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第九章
第九章 定积分一、填空题 1.=-++-+-∞→_41241141(lim 22222nn n n n _________2.=+⎰⎰→x xt x dtttdtt 0sin 01sin )1(lim__________3.[]=⎰-222,1max dx x __________4.设⎰+=xdt tt x f 02sin 1cos )(,则=+⎰202)(1)('πdx x f x f ___________ 5.设)(x f 在[]4,0上连续,且⎰--=2123)(x x dt t f ,则=)2(f ___________6.=+-⎰→421ln sin limxx tdt xx _________7.=++⎰-dx x xx 2222)cos 1(sin ππ______________ 8.[]⎰-=-++-11)()(22lndx x f x f xx_________,其中)(x f 连续。
10.设0)()(21=-+⎰x x f dx x f ,则=⎰1)(dx x f _______________11.若⎰=+101sinb dx x x,则=+⎰102)1(cos dx x x _________12.设)(x f 连续,则=-⎰x dt t x tf dxd 022)(____________ 13.=⎰022cos xdt t x dx d ______________ 14.=-⎰ππ222cos sin dx x x ____________15.=+-⎰-dx x x 112cos 21sin αα____________16.[]=-⎰π2sin )(cos 'cos )(cos dx x x f x x f ____________17.设)(x f 有一个原函数x xsin ,则=⎰ππ2)('dx x xf ____________18.若1≤y ,则=-⎰-11dx e y x x ___________19.已知2)2(x xex f =,则=⎰-11)(dx x f ________20. 已知)(x f 在),(+∞-∞上连续,且2)0(=f ,且设⎰=2sin )()(x xdt t f x F ,则=')0(F21.设⎪⎩⎪⎨⎧>⋅<--=⎰-x x x x dt t x x x e x f 0322 0 sin 0 31)(则=→)(lim 0x f x 22.函数dt t t t x x⎰+--=2112)(ϕ在区间[]2 0上的最大值为 ,最小值为23.若已知)(x f 满足方程⎰--=xdx x f x x x f 022)(13)(,则=)(x f24.已知函数)1( )1()(1-≥-=⎰-x dt t x f x,则)(x f 与x 轴所围成的面积为25.函数221x x y -=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡23 ,21上的平均值为二、选择填空 1.若xx x f 104)5(2-=-,则积分=+⎰40)12(dx x f ( ) A.0 B.4πC.是发散的广义积分D.是收敛的广义积分 2.若已知5)2(',3)2(,1)0(===f f f ,则=''⎰10)2(dx x f x ______________A.0B.1C.2D.-2 3.设)(x f 是以l 为周期的连续函数,则()⎰+++lk a kla dx x f )1(之值( )A.仅与a 有关B.仅与a 无关C.与a 及k 均无关D.与a 和k 均有关 4.若0→x 时,⎰''-=xdt t f t x x F 022)()()(的导数与2x 进等价无穷小,则必有( )(其中f有二阶连续导数)。
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十章
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十章第十章 定积分的应用一、 填空题 1. 求曲线8,2222=+=y x x y 所围成图形面积A (上半平面部分),则A =2. 曲线xxe y e y -==,及1=x 所围面积A =3. 曲线θθcos 1,cos 3+==r r 所围面积A = 4. 曲线)0(>=λλθae r 从0=θ到αθ=一段弧长S =5. 曲线⎩⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos t t t a y t t t a x 从0=t 到π=t 一段弧长S =6. 均匀摆线)0(cos 1sin π≤≤⎩⎨⎧-=-=t t y tt x ,弧长4=S ,则其重心坐标是 7. 曲线0,0),0(==≤=y x x ey x所围图形绕Ox 轴旋转所得旋转体的体积为 ;而绕Oy 轴旋转所得旋转体的体积为 8. 抛物线)(a x x y -=与直线x y =所围图形的面积为9. 在抛物线24x y =上有一点P ,已知该点的法线与抛物线所围成的弓形面积为最小,则P 点的坐标是 10.设有一内壁形状为抛物面22y xz +=的容器,原来盛有)(83cm π的水,后来又入注)(643cm π的水,设此时水面比原来提高了hcm ,则h =11.由曲线,2,1=+=x x x y 及2=y 所围图形的面积S = 曲线xx xy 223++-=与x 轴所围成的图形的面积A =二、选择填空题1. 曲线)0(ln ,ln b a a y x y <<==与y 轴所围成图形的面积为A ,则A =( ) (A )⎰baxdxln ln ln (B )⎰bae ex dxe (C)⎰b ay dye ln ln(D )⎰b a e e xdxln2.曲线x y x y ==,1,2=x 所围成的图形面积为A ,则A =( ) (A )dx x x)1(21-⎰(B )dx x x )1(21-⎰ (C )⎰⎰-+-2121)2()12(dyy dy y(D )⎰⎰-+-2121)2()12(dxx dx x3.曲线xe y =下方与该曲线过原点的切线左方及y 轴右方所围成的图形面积A =( )(A )dxex ex)(10-⎰(B )dy y y y e )ln (ln 1-⎰(C )dxxe e ex x )(1⎰-(D )dy y y y )ln (ln 10-⎰4.曲线)0(cos 2>=a a r θ所围图形面积A =( ) (A)()θθπd a 220cos 221⎰(B )θθππd a ⎰-2cos 221(C)()θθπd a 220cos 221⎰(D )()θθπd a 220cos 2212⎰5.曲线πθπθθ=-==,,ae r 所围图形面积A =( )(A)⎰πθθ02221d e a(B )⎰πθθ20222d e a (C)⎰-ππθθd e a 22(D )⎰-ππθθd e a 2226.曲线θθ2cos ,sin 22==r r 所围图形面积A =( )(A )()()⎰⎰+-222121212cos 2sin 2θθθθd d(B )()()⎰⎰+46262cos sin 2πππθθθθd d (C )()()⎰⎰+462602cos 21sin 221πππθθθθd d(D )()()⎰⎰+462602cos sin 22πππθθθθd d7.曲线()21ln x y -=上210≤≤x 一段弧长S =( ) (A)dx x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2102111(B )⎰-+212211dx x x(C )dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--+2102121 (D )dxx ⎰-+21022])1[ln(18.摆线)0()cos 1()sin (>⎩⎨⎧-=-=a t a y t t a x 一拱与x 轴所围图形绕x 轴旋转,所得旋转体的体积=V ( ) (A )()⎰-ππ2022cos 1dt t a(B )())]sin ([cos 12202t t a d t a a--⎰ππ(C )()⎰--ππ2022)]sin ([cos 1t t a d t a(D )()⎰-adt t a ππ2022cos 19.星形线⎪⎩⎪⎨⎧==ta y t a x 33sin cos 的全长S =( )(A )⎰-⋅202)sin (cos 3sec 4πdtt t a t(B )⎰-⋅022)sin (cos3sec 4πdtt t a t (C )⎰-⋅π02)sin (cos 3sec 2dtt t a t (D )⎰-⋅02)sin (cos 3sec 2πdtt t a t10.心形线)cos 1(4θ+=r 与直线2,0πθθ==围成图形绕极轴旋转的旋转体体积 =V ( ) (A )⎰+202)cos 1(16πθθπd(B )⎰+2022sin )cos 1(16πθθθπd(C )⎰++2022]cos )cos 1(4[sin )cos 1(16πθθθθπd(D )⎰++0222]cos )cos 1(4[sin )cos 1(16πθθθθπd11.两个半径为a 的直交圆柱体所围的体积为V=( )(A )⎰-adxx a 022)(4 (B )⎰-adx x a 022)(8(C )⎰-a dxx a 022)(16 (D )⎰-adx x a 022)(212.矩形闸门宽a 米,高h 米,垂直放在水中,上沿与水面齐,则闸门压力p =( ) (A )⎰h ahdh 0(B )⎰a ahdh 0(C )⎰hahdh 021(D )⎰h ahdh 0213.横截面为S ,深为h 的水池装满水,把水全部抽到高为H 的水塔上,所作功=W ( )(A )⎰-+h dy y h H S 0)( (B )⎰-+H dy y h H S 0)((C )⎰-h dy y H S 0)( (D )⎰+-+H h dy y h H S 0)(14.半径为a 的半球形容器,每秒灌水b ,水深)0(a h h <<,则水面上升速度是( )(A )⎰hdy y dh d2π (B )⎰--h dy a y a dhd 022])([π(C )⎰h dy y dh d b2π (D )⎰-h dy y ay dhd b02)2(15.设)(),(x g x f 在区间[]b a ,上连续,且m x g x f <<)()((m为常数),则曲线b x a x x f y x g y ====,),(),(所围平面图形绕直线m y =旋转而成的旋转体体积为( )(A )⎰-+-b adx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π(B )⎰---b adx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π(C )⎰-+-b adx x g x f x g x f m )]()()][()([π(D )⎰---b adx x g x f x g x f m )]()()][()([π三、计算题1.求抛物线2x y =与2x 2y -=所围图形的面积。
华东师范大学数学系《数学分析》(上)笔记和课后习题(含真题)详解(定积分的应用)
第10章 定积分的应用10.1 复习笔记一、平面图形的面积由连续曲线()(0)y f x =≥,以及直线,()x a x b a b ==<和x 轴所围曲边梯形的面积为()b baaA f x dx ydx ==⎰⎰如果()f x 在[,]a b 上不都是非负的,则所围图形的面积为()b baaA f x dx y dx ==⎰⎰一般地,由上、下两条连续曲线2()y f x =与1()y f x =以及两条直线,()x a x b a b ==<所围的平面图形(图l0-1),它的面积计算公式为21[()()]baA f x f x dx =⎰-图10-1二、由平行截面面积求体积 1.立体体积的一般计算公式 设为三维空间中的一立体,它夹在垂直于x 轴的两平面x =a 与x =b 之间(a <b ),称为位于[a,b]上的立体,若在任意一点x∈[a,b]处作垂直于x轴的平面,它截得的截面面积是关于x的函数,记为A(x),并称之为的截面面积函数(见图10-2),设A(x)是连续函数.图10-2 图10-3对[a,b]作分割过各个分点作垂直于x轴的平面x=xi,i=1,2,…,n,它们把分割成n个薄片,i=1,2,…,n任取那么每一薄片的体积(见图10-3)于是由定积分的定义和连续函数的可积性,当时,上式右边的极限存在,即为函数A (x)在[a,b]上的定积分,于是立体的体积定义为2.旋转体的体积a b上的连续函数,Ω是由平面图形设f是[,]≤≤≤≤0|||f(x)|,ay x b绕x轴旋转一周所得的旋转体,那么易知截面面积函数为2()[()],[,]A x f x x a b π=∈得到旋转体Ω的体积公式为2=[()]baV f x dxπ⎰三、平面曲线的弧长与曲率 1.平面曲线的弧长 (1)定义①如果存在有限极限ss T T =→0||||lim即任给0ε>,恒存在0δ>,使得对C 的任意分割T ,只要||||T δ<,就有|s |T s ε-<则称曲线C 是可求长的,并把极限s 定义为曲线C 的弧长.②设曲线AB 是一条没有自交点的闭的平面曲线.在AB 上任取点P ,将AB 分成两段非闭曲线,如果AP 和PB 都是可求长的,则称AB 是可求长的,并把AP 的弧长和PB 的弧长的和定义为AB 的弧长.③设曲线C 由参数方程(),(),[,]x x t y y t t αβ==∈给出.如果(t)x 与()y t 在[,]αβ上连续可微,且'()x t 与'()y t 不同时为零,即''()()0x t y t +≠,],[βα∈t ,则称C 为一条光滑曲线.(2)定理设曲线C 是一条没有自交点的非闭的平面曲线,由参数方程(),(),[,]x x t y y t t αβ==∈ (10-1)给出.若()x t 与()y t 在[,]αβ上连续可微,则C 是可求长的,且弧长为'2'2[()][()]s x t y t dt βα=+⎰ (10-2)(3)性质设AB 是一条没有自交点的非闭的可求长的平面曲线.如果D 是AB 上一点,则和AD 和DB 也是可求长的,并且AB 的弧长等于AD 的弧长与DB 的弧长的和.2.曲率 (1)定义如图10-4,设()t α表示曲线在点((),())P x t y t 处切线的倾角,==()()t t t ααα∆+∆-表示动点由P 沿曲线移至))(),((t t y x t x Q ∆+∆+时切线倾角的增量,若PQ 之长为s ∆,则称||K sα-∆=∆为弧段PQ 的平均曲率.如果存在有限极限|||lim ||lim |00dsd s s K s t ααα=∆∆=∆∆=→∆→∆则称此极限K 为曲线C 在点P 处的曲率.图10-4(2)计算公式设曲线C 是一条光滑的平面曲线,由参数方程(10-1)给出,则曲率的计算公式为2322)(||''''''''y x y x y x K +-=若曲线由()y f x =表示,则相应的曲率公式为2''3'2||(1+y )y K =四、旋转曲面的面积1.设平面光滑曲线C 的方程为(),[,]y f x x a b =∈(不妨设()0f x ≥),这段曲线绕x 轴旋转一周得到旋转曲面的面积为2(baS f x π=⎰2.如果光滑曲线C 由参数方程(),(),[,]x x ty y t t αβ==∈给出,且()0y t ≥,那么由弧微分知识推知曲线C 绕x 轴旋转所得旋转曲面的面积为2(S y t βαπ=⎰五、定积分的近似计算 1.梯形法公式121()(...)22bn n ay y b a f x dx y y y n --=+++++⎰2.抛物线法公式(辛普森Simpsom 公式)021*******()[4(...y )2(...)]6bn n n ab af x dx y y y y y y y n---≈+++++++++⎰10.2 课后习题详解§1 平面图形的面积1.求由抛物线y =x 2与y =2-x 2所围图形的面积.解:该平面图形如图10-1所示.两条曲线的交点为(-1,1)和(1,1),所围图形的面积为图10-12.求由曲线与直线所围图形的面积.解:该平面图形如图10-2所示.所围图形的面积为。
§9.2 牛顿-莱布尼茨公式 数学分析课件(华师大 四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件
若质点以速度v =v (t ) 作变速直线运动,()d ()().ba s v t t sb s a ==-⎰注意到路程函数s (t ) 是速度函数v (t ) 的原函数, ()d bas v t t=⎰定义,质点从时该a 到b 所经过的路程为另一方面, 质点从某时刻a 到时刻b 所经过的路于是程记为s (b )-s (a ), 因此把定积分与不定积分联系起来了, 面的牛顿—莱布尼茨公式.由定积分()(),s t v t '=则后退前进目录退出这就是下定理9.1(牛顿-莱布尼茨公式)函数f 在[a , b ] 上满足条件:(i) f 在[a , b ] 上连续,(ii) f 在[a , b ] 上有原函数F ,则(1) f 在[a , b ] 上可积;).()()(d )()2(a F b F x F x x f ba ba-==⎰证因 f 在[a , b ] 上一致连续, ,[,],||,x x a b x x δ''''''∈-<当时.|)()(|ε<''-'x f x f 任取1[,],1,2,,.i i i x x i n ξ-∈= 又F 在],[1i i x x -上满足拉格朗日中值定理条件,],,[1i i i x x -∈∃ηi i i i x F x F x F ∆η)()()(1'=--于是,0>∀ε则,0>∃δ,)(i i x f ∆η=1()Δ(()())ni i i f x F b F a ξ=--∑1()Δ(()())ni i i f x F b F a ξ=--∑,()d ()()().bba af x x F b F a F x =-=⎰因此()()i ni i i x f f ∆ηξ∑=-≤1∑=≤ni i x 1∆ε111()Δ(()())n ni i i i i i f x F x F x ξ-===--∑∑11()Δ()Δnni i i ii i f x f x ξη===-∑∑().a b -=ε注1 以后将证明, 若f 在[a , b ]上连续, 注2 条件(i)不是必要条件, 例2d .bna x x ⎰求解ba n bann x x x 1d 1+=+⎰上必有原函数F (x ). 因此条件(ii) 是多余的.函数f 在[a , b ] 上有间断点, 积.则f 在[a ,b ]以后将举例说明,存在但f 在[a , b ]上仍可).(1111++-+=n n a b n例3.1d 2102⎰-xx求解解用牛顿—莱布尼茨公式还可以求一些和式的极限..38=122d 1xx-⎰06-=π.6π=120arcsin x=例4224d x x-⎰求224d x x -⎰23221(4)3x =--例5111lim .12n n n n n →∞⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭L 求解111lim 12n n n n n →∞⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭易见是函数 11:01,n n T n n -<<<< 分割和介点分别为1[,],1,2,,.i i i ii n n n nξ-=∈= 1()[0,1].1f x x=+在上黎曼和的极限其中111lim 12n n n n n 因此→∞⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭ 10ln(1)ln 2.x =+=101d 1x x=+⎰例6.)1()21)(11(lim 1nn n n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→ 求解令112ln (1)(1)(1)n n n a n n n ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭ 11ln 1,n i i n n ==+∑10lim ln(1)d n n a x x→∞=+⎰则2ln2 1.=-=++-10[(1)ln(1)]x x x 因此112lim (1)(1)(1)nn n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭lim e n n a →∞=12ln 2e -=.e4=。
09数学分析教案_(华东师大版)第九章_定积分微积分学基本定理变限积分和原函数存在性
§5 微积分基本定理.定积分计算(续)教学要求:熟练地掌握换元积分法和分部积分法,并能解决计算问题. 教学重点:熟练地掌握换元积分法和分部积分法,并能解决计算问题. 引入当函数的可积性问题告一段落,并对定积分的性质有了足够的认识之后,接着要来解决一个以前多次提到过的问题—在定积分形式下证明连续函数必定存在原函数.一. 变限积分与原函数的存在性设f(x)在[a,b]上可积,根据定积分的性质4,对任何x ∈[a,b],f(x)在[a,x]上也可积,于是由()()xax f t dt Φ=⎰,x ∈[a,b]定义了一个以积分上限x 为自变量的函数,称为变上限的定积分,类似地又可定义变下限的定积分,()()bxx f t dt ψ=⎰,x ∈[a,b],统称为变限积分。
注意在变限积分中不可再把积分变量写成x ,以免与积分上下限的x 相混淆。
变限积分所定义的函数有着重要性质,由于()()bxxbf t dt f t dt =-⎰⎰,因此只讨论变上限积分的情形。
定理9.9 若f(x)在[a,b]上可积,则()()xax f t dt Φ=⎰,x ∈[a,b]是连续函数。
证明 对[a,b]上任一确定的点x ,只要x+∆x ∈[a,b],则()()()x xx x xaaxf t dt f t dt f t dt +∆+∆∆Φ=-=⎰⎰⎰,因f(x)在[a,b]上有界,可设|f(t)|≤M ,t ∈[a,b],于是当∆x>0时有|||()||()|x xx xxxM f t dt f t dt x +∆+∆∆Φ=∆⎰⎰≤≤,当∆x<0时有||||M x ∆Φ∆≤,由此得到lim 0x ∆→∆Φ=,即证得在点x 处连续。
由x 得任意性,Φ(x)在[a,b]上处处连续。
定理9.10原函数存在定理 若f(x)在[a,b]上连续,则Φ(x)在[a,b]上处处可导,且Φ'(x)=f(x),即()()(),[,]xad x f t dt f x x a b dx 'Φ==∈⎰ 证明 对[a,b]上任一确定的x ,当∆x ≠0且x+∆x ∈[a,b]时,根据积分第一中值定理得,1()(),01x xx f t dt f x x x xθθ+∆∆Φ==+∆∆∆⎰≤≤,由于f(x)在点x 处连续,故有00()lim lim ()()x x x f x x f x x θ∆→∆→∆Φ'Φ==+∆=∆,由于x 在[a,b]上的任意性,证得Φ(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数。
9-4——华东师范大学数学分析课件PPT
0, [a,c]与[c,b]上分割T与T, 使得
T
ixi
2
,
T
ixi
2
.
令 T T T, 它是 [a, b] 的一个分割,
ixi ixi ixi .
T
T
T
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
因此, f 在 [a, b] 上可积.
(必要性) 已知 f 在[a,b]上可积, 则 0, T ,
b
f ( x)dx.
a
a
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
性质2
若 f , g 在 [a, b] 上可积, 则 f g 在 [a, b] 上可积,
且
b
( f ( x) g( x))dx
b
f ( x)dx
b
g( x)dx.
a
a
a
证
记 J1
0,
存在分割T,使if xi T
; 又存在分
2M
割 T ,使
T
ig Δxi
2M
.
令T T T ( T 表示把 T 与 T 的所有分割点合
并而成的新分割 ), 则
数学分析 第九章 定积分
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§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
fg i
sup
f ( x)g( x) f ( x)g( x)
n
f (i )Δ xi J
i 1
. k 1
从而
数学分析 第九章 定积分
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数学分析(华东师大版)上第九章9-4
以 [a,b]为底, f ( ) 为高的矩形面积.而
f ( ) 1
b
f (x)dx
ba a
可理解为 f ( x) 在 [a,b] 上所有函数值的平均值, 这
是有限个数的算术平均值的推广.
定理9.8 ( 推广的积分第一中值定理)
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n
f (i )Δ xi J1
i 1
,
2
n
g(i )Δ xi J2
i 1
.
2
从而
n
[ f (i ) g(i ) ]Δ xi (J1 J2 )
i 1
n
n
f (i )Δxi J1 g(i )Δxi J2
i 1
当 x ( x0 , x0 ) [a, b] 时,
g(x)
f
(x)
1[ 2
g( x0 )
f
( x0 )
].
由此推得
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b
a [ g( x) f ( x) ] d x
[ x0 g( x) f ( x) ]dx [ x0 g( x) f ( x) ]d x
i 1
.
22
因此,f ± g 在 [ a, b ] 上可积, 且
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b
b
b
a ( f ( x) g( x))dx a f ( x)dx a g( x)dx.
性质3 若 f , g 在 [a, b] 上可积,则 f g 在 [a, b] 上
也可积.
证 因 f , g 在 [a, b] 上可积,故在 [a,b] 上都有界,
1
b
华东师范大学 数学分析 第9章
第九章 定积分§1 定积分的概念(教材上册P204)1. 按定积分定义证明:()bakdx k b a =-⎰知识点窍 定积分的定义. 逻辑推理 按定积分定义证明.解 0ε∀>,对[,]a b 作任意分割T ,并在其上任意选取点集{i ε},因为111(),[,],()()n n ni i i i i i i f x k x a b f x k x k x k b a ε===≡∈∆∆=∆=-∑∑∑任意取定0δ>,当T δ<时 所以k 在[,]a b 上可积,且()bakdx k b a =-⎰.2. 通过对积分区间作等分分割,并取适当的点集,把定积分看作是对应的积分和的极限,求计算下列定积分. (1)130x dx ⎰ (2)1x e dx ⎰(3)bx ae dx ⎰(4)2(0)badxa b x<<⎰知识点窍 定积分的定义.逻辑推理 利用定积分的定义计算定积分,关键是()f x 在区间[,]a b 上是否可积,若可积,则由定积分的定义,()baf x dx ⎰的值就应与区间[,]a b 的分法及点i ξ的取法无关.解 (1)将[0,1]n 等分,分点为,k =0,1,…,n . 在区间1[,]k k n n -上取kn作为k ε 而13311lim()nn k kx dx n n →+∞==⋅∑⎰3411lim nn k kn→+∞==∑224111lim(1)44n n n n →+∞=⋅+=.(2)将[0,1]n 等分,分点为,k =0,1,…,n .在区间1[,]k k n n -上取kn作为k ξ,则 101111lim lim kk nn xnn n n k k e dx e e n n →+∞→+∞===⋅=∑∑⎰ 111(1)lim111[1()](1)1lim 1.111[1()]nn nn e e ne e n n e n n nοο→+∞→+∞-=⋅-++-==--++ (3)将[,]a b n 等分,分点为()ka b a n+-,k =0,1,…,n . 在区间1[(),()]k k a b a a b a n n -+-+-上取()ka b a n+-作为k ξ,则()1lim kna b a bxn a n k b a e dx e n +-→+∞=-=⋅∑⎰()1lim (1)lim 11[1()()](1)lim 11[1()()].k b a n a n n k b ab a na b a n nb a a n b a b a e e n b a e e e ne b a b a e b a n n e b a n b a n ne e οο-→+∞=---→+∞-→+∞-=⋅--=--+-+--=--+-+=-∑ (4)取i ξ后211110111111()()nni i i i ij i n x x x x x x a b -==--=-=-=-∑∑ 将[,]a b n 等分,分点为()ka b a n+-,k =0,1,…,n .在区间1[]k k x x -k ξ则212111lim ()nbk k an k dx x x x a b-→∞==-=-∑⎰. §2 牛顿—莱布尼茨公式(教材上册P206)1. 计算下列定积分.(1)10(23)x dx +⎰ (2)212011x dx x -+⎰ (3)2ln e edxx x⎰(4)102x xe e dx --⎰ (5)23tan xdx π⎰(6)94dx ⎰ (7)4⎰ (8)211(ln )e e x dx x⎰知识点窍 牛顿—莱布尼茨公式. 解(1)1012(23)34x dx xx+=+=⎰.(2)110211220012(1)2arctan 1112x dx dx x x x x π-=-=-=-++⎰⎰.(3)2221(ln )ln ln ln 2ln ln e ee e e e dx d x x x x x===⎰⎰.(4)10110111()12222x x x x e e dx e e e e ----=+=+-⎰. (5)22233322000sin 1cos tan cos cos x x xdx dx dx x xπππ-==⎰⎰⎰30(tan )3x x ππ=-=.(6)9439242144(2)323dx x x =+=⎰. (7)4441)]42ln3==-=-⎰⎰.(8)122311112(ln )(ln )(ln )(ln )33e eee eex dx x d x x x ===⎰⎰. 2. 利用定积分求极限. (1)3341lim(12)n n n→∞+++(2)222111lim (1)(2)()n n n n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥+++⎣⎦(3)2222111lim ()122n n n n n →∞+++++(4)121lim (sin sin sin )n n n n n nπππ→∞-+++知识点窍 定积分求极限.逻辑推理 由定积分的定义知,若()f x 在[,]a b 上可积,则可对[,]a b 用某种特定的分法,并取特殊的点,所得积分和的极限就是()f x 在[,]a b 上的定积分.因此,本题可将和式化为某个可积函数的积分和,然后用定积分求此极限. 解(1)记3()f x x =,则()f x 在[0,1]上连续且可积,取 12{0,,,}n T n nn =,,1,2,,i i i ix i n nε==∈∆=则313111lim ()lim nn i i T n i i i x dx f x n nξ→→∞===∆=∑∑⎰33341lim (123)n n n →∞=++++101144==.(2)记21()(1)f x x =+,[0,1]x ∈,则f 在[0,1]上连续,所以可积,取 12{0,,,,}n T n nn =,,1,2,,i i i ix i n nε==∈∆=.则120021111lim ()lim (1)(1)nn i i T n i i ex f x i x n nξ→→∞===∆=++∑∑⎰ 222111lim [](1)(2)()n n n n n n →∞=++++++10111()(1)122x =-=---=+.(3)记21()1f x x=+,[0,1]x ∈,则f 在[0,1]上连续,所以可积.取 12{0,,,,}n T n n n =,,1,2,,i i i ix i n nε==∈∆=.则120021111lim ()lim 11()n n i i T n i i dx f x i x n nξ→→∞===∆=++∑∑⎰2222111lim ()12nn n n n n n →∞=++++++10arctan 4π==.(4)记()sin f x x =,[0,]x π∈,则f 在[0,]π上连续,所以可积,取2(1){0,,,,,}n T n nn ππππ-=,1(1)i i i i xx nξ--==∈∆,1,2,,.i n =则11(1)sin lim ()limsinni i T n i i n xdx f x nnπππξ→→∞==-=∆=∑∑⎰12(1)lim(sin sin sin)n n n n nnππππ→∞-=+++ 0cos 2.x π=-=12()2lim (sin sin sin).n n n n n nn ππππ→∞-⇒+++= §3 可积条件(教材上册P212)1. 证明:若T '是T 增加若干个分点后所得的分割,则 iiiiT Tw x w x '''∆≤∆∑∑解 设T 的分点为:121,,,n x x x -,且012n a x x x x b =<<<<=设T '比T 只多一个分点x ',且1.k k x x x -'<<设()f x 在1[,],[,]k k x x x x -''和1[,]k k x x -的振幅分别为,kk w w '''与k w ,因为函数在子区间上的振幅总大于其在大区间上的振幅,即有,kk k w w w w '''≤≤ 11()()()()kk k k k k k k w x x w x x w x x w x x --'''''''-+-≤-+- 1()k k k w x x -=-除第k 个区间外,()f x 在这些区间上T 和T '的振幅相等.于是iiiiT Tw x w x '''∆≤∆∑∑若T '比T 多若干个分点,则在T 基础上逐次增加一个的办法,则上述结论也成立. 2. 证明:若f 在[,]a b 上可积,[,][,]a b αβ<,则f 在[,]αβ上也可积.知识点窍 可积准则.解 f 在[,]a b 上可积0ε⇔∀>,总存在相应的某一分割T ,使得i iTw xε∆<∑设T 的分点为012n a x x x x b =<<<<=若1[,](,)t t x x αβ-⊂则取T '0:n x x αβ=<=()()iiitT w x w w βαβαε''''∆=-≤-<∑f 在[,]αβ上可积若11t t s s x x x x αβ--≤<≤<≤ 则取0111:t t s T x x x x x αβ+-''''''=<<<<<<1iikkiiT k t Tw x w x w xε''=-''''∆≤∆<∆<∑∑∑f 在[,]αβ上可积,综上得f 在[,]αβ上可积.3. 设f ,g 均为定义在[,]a b 上的有界函数.证明:若仅在[,]a b 中有限个点处()()f x g x ≠,则当f 在[,]a b 上可积时,g 在[,]a b 上也可积,且()()bbaaf x dxg x dx =⎰⎰知识点窍 可积准则.解 不妨设f 和g 仅在一点0[,]x a b ∈处, ()()f x g x ≠.在给分法T ,()k w f 和()k w g 分别为f 和g 在第k 个区间的振幅,()w f 和()w g 为f 和g 在[,]a b 上振幅,则由f ,g 有界M ⇒∃ ()()k w f w f M ≤< ()()w g w g M ≤<0x 最多属于两个相邻小区间1[,]t t x x -和1[,]t t x x +则111()[()()]()n n nkikkikik k k w g x w g w f x w f x===∆=-∆+∆∑∑∑111[()()][()()]t t t t t t w g w f x w g w f x +++=-∆+-∆+1()nkik w f x=∆∑其中111|[()()][()()]|2(t t t t t t t w g w f x w g w f x M x +++-∆+-∆≤∆+1)0(0)t x T +∆→→1()0(0)nkik w f xT =∆→→∑∴1()0(0)nkik w g xT =∆→→∑∴ g 在[,]a b 上也可积任给[,]a b 分法T ',取特殊0,0,1,,.k x k n ξ≠=则11()()nn kkk k k k f x g x ξξ'==''∆=∆∑∑ 011lim ()lim ()n n k kk k T T k k f x g x ξξ'→→==''∆=∆∑∑ ∴()()bbaaf x dxg x dx =⎰⎰4. 设f 在[,]a b 上有界,{}[,]n a a b <,lim n n a c →∞=,证明:若f 在[,]a b 上只有(1,2,)n a n =为其间断点,则f 在[,]a b 上可积.知识点窍 可积准则.逻辑推理 设lim n n a c a →∞==,取合适的0δ>,使0ωδ>,再利用()f x在[,]a b δ+上可积,存在[,]a b δ+上的分割T '使2i i Tx εω∆<∑,最后将[,]a a δ+与T '合并,得[,]a b 上的分割T ,有i iTxωε∆<∑,即得证f 在[,]a b 上可积.解 不妨设lim n n a c a →∞==,()f x 在[,]a b 上的振幅为ω.0ε∀>,取02εδω<<, 因lim n n a a →∞=,所以存在N ,使当n N >时,[,]n a a a δ∈+,从而()f x在[,]a b δ+上至多只有有限个间断点,由定理9.5知()f x 在[,]a b δ+上可积,再有可积准则知,存在[,]a b δ+上的分割T ',使2i i T x εω'∆<∑.把[,]a a δ+与T '合并,就构成[,]a b 的一个分割T ,设0ω为()f x 在[,]a a δ+上的振幅,则**0.22i ii i i i TT T xx x εεωωδωωδωε∆=+∆≤+∆<+=∑∑∑故由可积准则知,()f x 在[,]a b 上可积. 5. 证明:若f 在区间∆上有界,则知识点窍 确界的定义.逻辑推理 对两个上确界和一个下确界,不便同时处理,可选定两个看作常数,而对第三个用确界定义证明.解 记sup ().inf ()x x A f x B f x ∈∆∈∆==(1) 如果()A B f x A =⇒≡,x ∈∆.上述等式两边为零,成立. (2) 如A B >,则对10()2A B ε∀<<-,及x '∀,x ''∈∆,有 ()()f x f x A B '''-≤-,()()f x f x A B '''-≤-|()()|f x f x A B '''⇒-≤-同时x '∃,x ''∈∆,使()2f x A ε'>-,()2f x B ε''<+|()()|()()().22f x f x A B A B εεε'''⇒->--+=--,sup |()()|sup ()inf ().x x x x f x f x A B f x f x ∈∆'''∈∆∈∆'''⇒-=-=-§4 定积分的性质(教材上册P219)1. 证明:若f 与g 都在[,]a b 上可积,则 01lim()()()()nbi i i aT i f g x f x g x dx ξη→=∆=∑⎰其中i ξ,i η是T 所属小区间i ∆中的任意两点, 1,2,,.i n =知识点窍 定积分的性质. 逻辑推理 设01()()lim ()()nbi i i aT i I f x g x dx f g x εε→===∆∑⎰,则只需证0,0εδ∀>∃>,当T δ→时11||()()|[()()()()]|n ni i i i i i i i i i f g x I f g f g x εηεηεε==∆-≤-∆+∑∑1|()()|niiii f g x I εηε=∆-<∑ 即可.解 f 在[,]a b 上可积,则f 有界,即0M ∃>,有||f M <设1()()()()nbi i i ai I f x g x dx f g x ξη===∆∑⎰11()()()[()()]nniiiiiiii i f g x f g g x ξξξηξ===∆+-∆∑∑f ,g 在[,]a b 上可积()()f x g x ⇒在[,]a b 上可积.1lim()()()()nbi i i aT i f g x f x g x dx ξξ→=∆=∑⎰以k w 表示()g x 在1[,]k k x x -上振幅. 因为g 可积,所以01lim0ni iT i w x→=∆=∑11|()[()()]|0(0)nniiiiii i f g g M w xT ξηξ==-≤∆→→∑∑11lim()()lim ()()()()nnbi i i i i i aT T i i f g x f g x f x g x dx ξηξξ→→==∴∆=∆=∑∑⎰2. 不求出定积分的值,比较下列各对定积分的大小. (1)1xdx ⎰与12x dx ⎰ (2)20xdx π⎰与20sin xdx π⎰知识点窍 积分不等式性. 逻辑推理 根据积分不等式,要比较两个积分区间相同的积分的大小,只要比较在该积分区间上两个被积函数的大小.解 (1)在[0,1]上2x x ≥, 112200xdx x dx ∴≥⎰⎰(2)在[0,]2π上, sin x x ≥, 220sin xdx xdx ππ∴≥⎰⎰3. 证明下列不等式(1)202ππ<<⎰(2)2101x e dx e <<⎰ (3)10sin 12x dx x π<<⎰ (4)46e e <<⎰ 解 (1)原式化为22200011dx πππ<<⎰⎰⎰(0,)2x π∈时, 1>>11∴<<22ππ∴<<⎰ (2) 原式可化为211110x e dx edx e dx <<⎰⎰⎰(0,1)x ∈时, 201x << 2111010x e dx e dx e dx ∴<<⎰⎰⎰211x e dx e ∴<<⎰(3)(0,1]x ∈时, sin x x ≤,sin 1xx≤ 10sin 1xdx x∴≤⎰,原题有误. 此题应改为在(0,)2x π∈上.在此区间上2sin 1xxπ<<,所以有 222002sin 12x dx dx dx x πππππ=<<=⎰⎰⎰(4<44ee ee=<⎰⎰44442ln 2eeee eeeex==-⎰⎰⎰4426e e eex =-=-<46ee∴<<⎰4. 设f 在[,]a b 上连续,且()f x 不恒等于零,证明2(())0baf x dx >⎰知识点窍 函数连续的性质,定积分基础性质中的性质4. 逻辑推理 只要证明2()f x 在[,]a b 上连续即可解 因为f 在[,]a b 是连续2f ⇒在[,]a b 上连续,且2(())0f x ≥, [,]x a b ∈.又因为()f x 不恒等于零,即0[,]x a b ∃∈,使20()0()0f x f x ≠⇒>.可得2(())0baf x dx >⎰5. 设f 与g 都在[,]a b 上可积,证明[,]()max{(),()}x a b M x f x g x ∈=,[,]()min{(),()}x a b m x f x g x ∈=在[,]a b 上也都可积.知识点窍 定积分基本性质中的性质6,性质2. 逻辑推理 借助||min{,}2A B A B A B +--=,||max{,}2A B A B A B ++-=,然后利用定积分性质即可得证.解 [,]1()max{(),()}(||)2x a b M x f x g x f g f g ∈==++-2[,]1()min{(),()}(||)2x a b m x f x g x f g f g ∈==+--由f ,g 在[,]a b 上可积||f g ⇒-在[,]a b 上可积()M x ⇒, ()m x 在[,]a b 上也都可积.6. 试求心形线(1cos )r a θ=+, 02θπ≤≤上各点,极径的平均值. 知识点窍 积分中值定理的几何意义.解 极径的平均值为202011(1cos )(sin )22a d a a ππθθθθππ+=⋅+=⎰.§5 微积分基本定理定积分计算(续)(教材上册P229)1. 设f 为连续函数,u ,v 均为可导函数,且可实行复合f u 与f v ,证明:()()()(())()(())()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx''=-⎰ 知识点窍 原函数存在定理,符合函数求导法则. 逻辑推理 0()()yG y f t dt ∆⎰,由原函数存在定理,()G y 可导,且()()G y f y '=解 由复合函数求导法则()(()){[()]}v x f t dt G v x '=⎰[()]()[()]()G v x v x f v x v x '''==()()()()00()()()v x v x u x u x d d d f t dt f t dt f t dt dx dx dx ∴=-⎰⎰⎰ (())()(())()f v x v x f u x u x ''=- 2. 设f 在[,]a b 上连续, ()()()xaF x f t x t dt =-⎰.证明()()F x f x ''=,[,]x a b ∈.知识点窍 分部积分法. 逻辑推理 积分()()xaf t x t dt -⎰是以t 为积分变量的定积分,在积分过程中x 是常量。
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(上册)(课后习题 定积分)【圣才出品】
第9章 定积分§1 定积分概念1.按定积分定义证明:证明:对于[a ,b]的任一分割,任取,f (x )=k 相应的积分和为从而可取δ为任何正数,只要使,就有根据定积分定义有2.通过对积分区间作等分分割,并取适当的点集,把定积分看作是对应的积分和的极限,来计算下列定积分:解:(1)因f (x )=x 3在[0,1]上连续,所以f (x )在[0,1]上可积.对[0,1]进行n 等分,记其分割为,取为区间的右端点,i =1,2,…,n ,得(2)同(1),有(3)由在[a,b]上连续知,f(x)在[a,b]上可积,对[a,b]进行n等分,记其分割为,则,取为区间的右端点,i=1,2,…,n,得(4)同(3),取,得§2 牛顿-莱布尼茨公式1.计算下列定积分:解:(7)先求原函数,再求积分值:2.利用定积分求极限:解:(1)把极限化为某一积分的极限,以便用定积分来计算,为此作如下变形:这是函数在区间[0,1]上的一个积分和的极限.这里所取的是等分分割,,而恒为小区间的右端点,i=1,2,…,n.所以有(2)不难看出,其中的和式是函数在区间[0,1]上的一个积分和.所以有(3)(4)3.证明:若f在[a,b]上可积,F在[a,b]上连续,且除有限个点外有F'(X)=f(x),则有证明:对[a,b]作分割,使其包含等式F'(x)=f(x)不成立的有限个点为部分分点,在每个小区间上对F (x )使用拉格朗日中值定理,则分别存在,使于是因为f 在[a ,b]上可积,所以令,有§3 可积条件1.证明:若T '是T 增加若干个分点后所得的分割,则证明:设T 增加p 个分点得到T ',将p 个新分点同时添加到T ,和逐个添加到T ,都同样得到T ',所以我们只需证p =1的情形.在T 上添加一个新分点,它必落在T 的某一小区间内,而且将分为两个小区间,记作与.但T 的其他小区间(i≠k)仍旧是新分割T 1所属的小区间,因此,比较的各个被加项,它们之间的差别仅仅是前者中的一项换为后者中的两项.又因函数在子区间上的振幅总是小于其在区间上的振幅,即有.故即一般的,对增加一个分点得到,就有这里,故2.证明:若f(x)在[a,b]上可积,[α,β][a,b],则f(x)在[α,β]上也可积.证明:已知f(x)在[a,b]上可积,故任给ε>0,存在对[a,b]的某分割T,使得,在T上增加两个分点α,β,得到一个新的分割T',则由上题结论知分割T'在[α,β]上的部分,构成[α,β]的一个分割,记为T*,则有故由可积准则知,f(x)在[α,β]上可积.3.设f、g均为定义在[a,b]上的有界函数.证明:若仅在[a,b]中有限个点处f(x)≠g(x),则当f在[a,b]上可积时,g在[a,b]上也可积,且证明:设f(x)与g(x)在[a,b]上的值仅在k个点处不同,记,由于f (x )在[a ,b]上可积.存在,使当时,有令,则当时,有当时,,所以上式中至多仅有k项不为0,故这就证明g(x)在[a,b]可积,且。
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十章
第十章 定积分的应用一、填空题1. 求曲线8,2222=+=y x x y 所围成图形面积A (上半平面部分),则A = 2. 曲线x x e y e y -==,及1=x 所围面积A = 3. 曲线θθcos 1,cos 3+==r r 所围面积A = 4. 曲线)0(>=λλθae r 从0=θ到αθ=一段弧长S = 5. 曲线 ⎩⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos t t t a y t t t a x 从0=t 到π=t 一段弧长S =6. 均匀摆线)0(cos 1sin π≤≤⎩⎨⎧-=-=t ty tt x ,弧长4=S ,则其重心坐标是7. 曲线0,0),0(==≤=y x x e y x 所围图形绕Ox 轴旋转所得旋转体的体积为 ;而绕Oy 轴旋转所得旋转体的体积为 8. 抛物线)(a x x y -=与直线x y =所围图形的面积为9. 在抛物线24x y =上有一点P ,已知该点的法线与抛物线所围成的弓形面积为最小,则P 点的坐标是10.设有一内壁形状为抛物面22y x z +=的容器,原来盛有)(83cm π的水,后来又入注)(643cm π的水,设此时水面比原来提高了hcm ,则h = 11.由曲线,2,1=+=x xx y 及2=y 所围图形的面积S = 曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积A = 二、选择填空题1. 曲线)0(ln ,ln b a a y x y <<==与y 轴所围成图形的面积为A ,则A =( ) (A )⎰ba xdx ln ln ln (B )⎰ba e ex dx e(C )⎰baydy e ln ln (D )⎰ba e exdx ln2.曲线x y xy ==,1,2=x 所围成的图形面积为A ,则A =( )(A )dx x x )1(21-⎰(B )dx xx )1(21-⎰(C )⎰⎰-+-2121)2()12(dy y dy y(D )⎰⎰-+-2121)2()12(dx x dx x3.曲线x e y =下方与该曲线过原点的切线左方及y 轴右方所围成的图形面积A =( ) (A )dx ex e x )(10-⎰ (B )dy y y y e)ln (ln 1-⎰(C )dx xe e exx )(1⎰- (D )dy y y y )ln (ln 1-⎰4.曲线)0(cos 2>=a a r θ所围图形面积A =( )(A )()θθπd a 220cos 221⎰ (B )θθππd a ⎰-2cos 221 (C )()θθπd a 220cos 221⎰(D )()θθπd a 220cos 2212⎰ 5.曲线πθπθθ=-==,,ae r 所围图形面积A =( )(A )⎰πθθ02221d e a (B )⎰πθθ20222d e a (C )⎰-ππθθd ea 22 (D )⎰-ππθθd e a 2226.曲线θθ2cos ,sin 22==r r 所围图形面积A =( )(A )()()⎰⎰+-222121212cos 2sin 2θθθθd d(B )()()⎰⎰+462602cos sin 2πππθθθθd d(C )()()⎰⎰+46262cos 21sin 221πππθθθθd d(D )()()⎰⎰+462602cos sin 22πππθθθθd d7.曲线()21ln xy -=上210≤≤x 一段弧长S =( )(A )dx x ⎰⎪⎭⎫⎝⎛-+212111 (B )⎰-+2102211dx x x (C )dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--+2102121 (D )dx x ⎰-+21022])1[ln(1 8.摆线)0()cos 1()sin (>⎩⎨⎧-=-=a t a y t t a x 一拱与x 轴所围图形绕x 轴旋转,所得旋转体的体积=V ( )(A )()⎰-ππ2022cos 1dt t a (B )())]sin ([cos 12202t t a d t a a--⎰ππ(C )()⎰--ππ2022)]sin ([cos 1t t a d t a (D )()⎰-adt t a ππ2022cos 19.星形线⎪⎩⎪⎨⎧==ta y ta x 33sin cos 的全长S =( )(A )⎰-⋅202)sin (cos 3sec 4πdt t t a t(B )⎰-⋅022)sin (cos 3sec 4πdt t t a t(C )⎰-⋅π02)sin (cos 3sec 2dt t t a t(D )⎰-⋅02)sin (cos 3sec 2πdt t t a t10.心形线)cos 1(4θ+=r 与直线2,0πθθ==围成图形绕极轴旋转的旋转体体积=V ( )(A )⎰+202)cos 1(16πθθπd(B )⎰+2022sin )cos 1(16πθθθπd(C )⎰++2022]cos )cos 1(4[sin )cos 1(16πθθθθπd(D )⎰++0222]cos )cos 1(4[sin )cos 1(16πθθθθπd11.两个半径为a 的直交圆柱体所围的体积为V =( )(A )⎰-adx x a 022)(4(B )⎰-adx x a 022)(8(C )⎰-adx x a 022)(16 (D )⎰-adx x a 022)(212.矩形闸门宽a 米,高h 米,垂直放在水中,上沿与水面齐,则闸门压力p =( ) (A )⎰hahdh 0 (B )⎰aahdh 0(C )⎰hahdh 021(D )⎰h ahdh 0213.横截面为S ,深为h 的水池装满水,把水全部抽到高为H 的水塔上,所作功=W ( )(A )⎰-+hdy y h H S 0)( (B )⎰-+Hdy y h H S 0)((C )⎰-hdy y H S 0)( (D )⎰+-+Hh dy y h H S 0)(14.半径为a 的半球形容器,每秒灌水b ,水深)0(a h h <<,则水面上升速度是( )(A )⎰h dy y dh d 02π (B )⎰--h dy a y a dh d 022])([π (C )⎰hdy y dh db2π (D )⎰-hdy y ay dh d b2)2(15.设)(),(x g x f 在区间[]b a ,上连续,且m x g x f <<)()((m 为常数),则曲线b x a x x f y x g y ====,),(),(所围平面图形绕直线m y =旋转而成的旋转体体积为( ) (A )⎰-+-badx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π(B )⎰---badx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π(C )⎰-+-badx x g x f x g x f m )]()()][()([π(D )⎰---badx x g x f x g x f m )]()()][()([π三、计算题1.求抛物线2x y =与2x 2y -=所围图形的面积。
数学分析教案(华东师大版)第十章定积分的应用
第十章定积分的应用教学要求:1.理解微元法的思想,并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分;2.熟练地应用本章给出的公式,计算平面区域的面积、平面曲线的弧长,用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等。
教学重点:熟练地应用本章给出的公式,计算平面区域的面积、平面曲线的弧长,用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等教学时数:10学时§ 1 平面图形的面积( 2 时)教学要求:1.理解微元法的思想,并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分;2.熟练地应用本章给出的公式,计算平面区域的面积。
教学重点:熟练地应用本章给出的公式,计算平面区域的面积一、组织教学:二、讲授新课:(一)直角坐标系下平面图形的面积:1.简单图形:型和型平面图形 .2.简单图形的面积 : 给出型和型平面图形的面积公式.对由曲线和围成的所谓“两线型”图形, 介绍面积计算步骤. 注意利用图形的几何特征简化计算.例1求由曲线围成的平面图形的面积.例2求由抛物线与直线所围平面图形的面积.(二)参数方程下曲边梯形的面积公式:设区间上的曲边梯形的曲边由方程给出 . 又设, 就有↗↗, 于是存在反函数. 由此得曲边的显式方程.,亦即.具体计算时常利用图形的几何特征 .例3求由摆线的一拱与轴所围平面图形的面积.例4 极坐标下平面图形的面积:推导由曲线和射线所围“曲边扇形”的面积公式. (简介微元法,并用微元法推导公式 . 半径为, 顶角为的扇形面积为 . )例5求由双纽线所围平面图形的面积 .解或. ( 可见图形夹在过极点, 倾角为的两条直线之间 ) . 以代方程不变,图形关于轴对称 ; 以代, 方程不变,图形关于轴对称 . 参阅P242 图10-6因此.三、小结:§ 2 由平行截面面积求体积( 2 时)教学要求:熟练地应用本章给出的公式,用截面面积计算体积。
10数学分析教案-(华东师大版)第十章定积分的应用平面曲线的弧长与曲率)
§3 平面曲线的弧长与曲率一 平面曲线的弧长先建立平面曲线弧长的概念,设C=AB 是一条没有自交点的非闭的平面曲线,在C 上从A 到B 依次取分点A=P 0,P 1,P 2,…,P n =B,它们成为对曲线C 的一个分割,记为T ,然后用线段连接T 中每相邻两点,得到C 的n 条弦1(1,2,...,)i i P P i n -=,这n 条弦又成为C 的一条内接折线,记||T||=max|P i-1P i |,11||nT i ii s PP -==∑分别表示最长弦的长度和折线的总长度。
定义1 如果存在有限极限||||0lim s T T s →=,即任给ε>0,恒存在δ>0,使得对于C 的任何分割T ,只要||T||<δ,就有|s T -s|<ε,曲线C 是可求长的,并把s 定义为曲线C 的弧长。
定理10.1 设曲线C 是一条没有自交点的非闭的平面曲线,由参数方程x=x(t),y=y(t),t ∈[α,β]给出,若x(t)、y(t)在[α,β]上连续可微,则C 是可求长的,且弧长为s βα=⎰。
证明 对C 作任一分割T={ P 0,P 1,P 2,…,P n },并设P0与Pn 分别对应t=α和t=β,且P i (x i ,y i )=(x(t i ),y(t i )),i=1,2,…,n -1,于是与T 对应得到区间[α,β]的一个分割T':α=t 0,t 1,t 2,…,t n =β。
现在用反证法先证明||||0lim ||||0T T →'=.假设||||0lim ||||0T T →'≠,则存在ε0>0,对于任何δ>0,都可以找到一个分割T 使得||T||<δ而同时||T'||>ε0,从而可以找到C 上两点Q'和Q'',使得|Q''Q'|<δ,而它们对应的参量t'和t''满足|t't''|≥ε0,依次取δ=1/n,n=1,2,…,则得到两个点列{Q'n }和{Q''n }和它们对应的参量数列{t'n }和{t''n },它们满足|Q n ''Q n '|<1/n, |t'n t''n |≥ε0,由致密性定理,存在子列{}{}k kn n t t '''及,和t*和t**∈[α,β],使得lim *,lim **k knn k k t t t t →∞→∞'''==,显然|t*-t**|≥ε0,即t*≠t**。
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第二十一章(20200511214824)
第十一章重积分§ 1二重积分的概念1•把重积分. .xydxdy作为积分和的极限,计算这个积分值,其中D=l0,1】0,1】,并用直线D「i j网x= ,y= (i,j=1,2,…,n-1)分割这个正方形为许多小正方形,每一小正方形取其右上顶点为n n其界点•2•证明:若函数f在矩形式域上D可积,则f在D上有界•3•证明定理(20.3):若f在矩形区域D上连续,则f在D上可积•4•设D为矩形区域,试证明二重积分性质2、4和7.性质2若f、g都在D上可积,则f+g在D上也可积,且° f g = f °g •性质4若f、g在D上可积,且f _ g ,则岂D g ,性质7(中值定理)若f为闭域D上连续函数,则存在, D,使得D f =f , D5. 设D o、D1和D2均为矩形区域,且D o = D1 D 2, intD j int D j = •一,试证二重积分性质 3.性质3(区域可加性)若D o =D1 D2且int D1int D j —一,则f在D o上可积的充要条件是f在D2上都可积,且6. 设f在可求面积的区域D上连续,证明:(1) 若在D 上f x,y - 0,f x,y - 0则D f 0 ;(2) 若在D内任一子区域D D上都有D f 二0,则在D 上f x,y . = 0。
7・证明:若f在可求面积的有界闭域D上连续,,g在D上可积且不变号,则存在一点, D,使得f x,yg x,y dxdy=f , gx,y dxdy.D D8.应用中值定理估计积分r r dxdy2 2-凶砒o1OO cos x cos y的值§ 2二重积分的计算1.计算下列二重积分:⑴y -2x dxdy,其中D= 3,5】1,2】;D⑵xy2dxdy,其中(i )D= 0,2〕0,3 1( ii )D= 0,3】0,2】;D2.设f(x,y)= f l x f2 y为定义在D= a i, bj ^2, bj上的函数若f l在la i,b」上可积,f2在a2,b21上可积,则f在D上可积,且3. 设f在区域D上连续试将二重积分 f x,y dxdy化为不同顺序的累次积分D(1)D由不等式y-x,y-a,x-b 0-a-b所确的区域⑶!! cosx y dxdy,其中D=D⑷..Dx1 xydxdy,其中D= 0,1 0,11.2 2 2⑵D 由不等式x y _a 与x y <a (a>0)所确定的区域(3)D=如,y )x + y4. 在下列积分中改变累次积分的顺序5. 计算下列二重积分2(1) i ixy dxdy ,其中D 由抛物线y=2px 与直线D⑵ 11 ix 2 y 2 dxdy ,其中 D= :x,y 0 _ x _1, . x 乞 y 乞 2 一 x [D卄 dxdy(3) .. ------------- (a>0),其中D 为图(20— 7)中的阴影部分;D2a -x⑷ I l -xdxdy ,其中 D='x,y x 2 y 2 乞 x jD(5) Il xydxdy ,其中为圆域 x 2 ya 2.D6.写出积分11 f x,y dxdy 在极坐标变换后不同顺序的累次积分d2 2(1)D 由不等式x y 乞1,y^x ,y-0所确定的区域x(1) 0 dx x f (x,y dy ;11 ^x 2⑵ j d ^_1^2fx,y dy ;⑶ 0dy 0 f x,y dy + dxX 专(p >0)所围的区域;3dy .⑵D由不等式a2 _x2• y2 _b2所确定的区域(3)D= :x,y x2y2zy,x _0「7•用极坐标计算二重积分:⑴Il si n x2y2dxdy,其中D= ' x, y 二2乞x2y2<4~2';D(2) x y dxdy,其中D^ x,y x2y2_x y』;曽F rD(3) II「X2• y2dxdy,其中D为圆域x2R2.D8•在下列符号分中引入新变量后,试将它化为累次积分:2 2丄(1) 0 dx f (x, y )dy ,其中u=x+y,v=x-y;(2) i if x,y dxdy ,其中D=,x,y . x y 乞.a , x _ 0 , y _ 0』,若x= U cos4 v ,D4y 二U sin v .(3) i if x,y dxdy,其中D=,x,y x y — a ,x — 0, y — Of,若x+y=u,y=uv.9•求由下列曲面所围立体V的体积:(1) v由坐标平面及x=2,y=3,x+y+Z=4所围的角柱体;2 2 | 一 ,(2) v由z= x * y 和z=x+y围的立体;2 2 2 22 x v x v(3) v由曲面Z 和2Z= 所围的立体•4 9 4 911. 试作适当变换,计算下列积分:(1) 11 [x y sin x - y dxdy ,D= :x.y 0 _ x y _ 二0 _ x - y _ T;Dy(2)I ie x y dxdy ,D= x,y x y 岂1, x _ 0,y _ 0D12. 设f:[a,b] T R为连续函数,应用二重积分性质证明-b I2j b|[f(xdx I 兰(b—a)[f (xdx,其中等号仅在f为常量函数时成立。
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3.求曲线
的全长.
解:将曲线改写成参数方程,并计算微弧:
因此
4.已知抛物叶形线 作 M.求
如图 10-3 所示,其中当 0≤x≤3 时的叶形部分记
(1)M 的面积;
(2)M 的周长;
(3)M 绕 x 轴旋转所得旋转体的体积
(4)M 绕 x 轴旋转所得旋转体的侧面积
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图 10-1 则
的切线,切线与 x 轴交点的横坐标是
即切点的横坐标是
于是切线斜率为
(2)所求的旋转体的体积为
切线方程是
Hale Waihona Puke 2.求圆的渐伸线和连接
两个端点:起点 A(a,0)与终点 B(a,-2πa)的直线段 AB 所围成图形的面积,并求
渐伸线的弧长
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第 10 章 定积分的应用
1.过点(4,0)作曲线
的切线.
(1)求切线的方程;
(2)求由这条切线与该曲线及 x 轴所围成的平面图形(如图 10-1 所示)绕 x 轴旋转
一周所得的旋转体的体积.
解:(1)令 过点(4,0)作曲线
(5)M 的重心.
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解:(1)由对称性,只要求出 果,即
图 10-3 与 x 轴所围成的面积,两倍即得结
(2) 由此即得
(3) (4) (5)由对称性,
5.求抛物体
的重心和绕 z 轴的转动惯量(已知抛物体的密度为 1).
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华东师范大学数学系《数学分析》讲义定积分【圣才出品】
第9章定积分9.1本章要点详解本章要点■定积分的概念■牛顿-莱布尼茨公式■可积条件■定积分的性质■微积分基本定理/定积分计算重难点导学一、定积分概念1.问题提出背景类似计算曲边梯形面积的几何问题和求变力做功的力学问题,求解的思想方法可以用“分割,近似求和,取极限”来概括,这也是产生定积分概念的背景.2.定积分的相关定义(1)设闭区间[,]a b 上有1n +个点,依次为0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ,它们把[,]a b 分成n 个小区间1[,],1,2,,i i i x x i n -∆==L ,这些分点或这些闭子区间构成对[,]a b 的一个分割,记为{}01,,,n T x x x =L 或{}12,,,n ∆∆∆L小区间i ∆的长度为1i i i x x x -∆=-并记1||||max{}i i nT x ≤≤=∆称为分割T 的模.(2)设f 是定义在[,]a b 上的一个函数,对于的[,]a b 一个分割12{,,,}n T =∆∆∆L ,任取点,1,2,,i i i n ξ∈∆=L ,并作和式1()n i i i f x ξ=∆∑,称此和式为函数f 在[,]a b 上的一个积分和,又称黎曼和.(3)设f 是定义在[,]a b 上的一个函数,J 是一个确定的实数,若对任给的正数ε,总存在某一正数δ,使得对[,]a b 的任何分割T ,以及在其上任意选取的点集{}i ξ,只要||||T δ<,就有1|()|ni i i f x J ξε=∆-<∑,则称函数f 在区间[,]a b 上可积或黎曼可积.数J 称为f 在[,]a b 的定积分或黎曼积分,记作()d ba J f x x =⎰其中f 称为被积函数,x 称为积分变量,[,]ab 称为积分区间,,a b 分别称为这个定积分的下限和上限.二、牛顿-莱布尼茨公式若函数f 在[,]a b 上连续,且存在原函数,即()(),[,]F x f x x a b '=∈,则f 在[,]a b 上可积,且()d =()()ba f x x Fb F a -⎰上式称为牛顿-莱布尼茨公式.它也常写成()d =()b ba a f x x F x ⎰三、可积条件1.可积的必要条件若函数f 在[,]a b 上可积,则f 在上[,]a b 必定有界.2.可积的充要条件(1)可积准则函数f 在[,]a b 上可积的充要条件是:任给0ε>,总存在相应的一个分割T ,使得()(T)S T s ε-<(2)可积准则的改述函数f 在[,]a b 上可积的充要条件是:任给0ε>,总存在相应的某一分割T ,使得i i T xωε∆<∑3.可积的充分条件(1)若f 为[,]a b 上的连续函数,则f 在[,]a b 上可积.(2)若是f 区间[,]a b 上只有有限个间断点的有界函数,则f 在[,]a b 上可积.(3)若f 是[,]a b 上的单调函数,则f 在[,]a b 上可积.四、定积分的性质1.定积分的基本性质(1)若f 在[,]a b 上可积,k 为常数,则kf 在[,]a b 上也可积,且()()d d b b a a kf x x k f x x =⎰⎰(2)若f ,g 都在[,]a b 上可积,则f g ±在[,]a b 也可积,且()()[()()]d d d b b ba a a f x g x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰(3)若,f g 都在[,]ab 上可积,则f ·g 在[a ,b ]上也可积.(4)f 在[,]a b 上可积的充要条件是:任给(,)c a b ∈,f 在[,]a c 与[,]c b 上都可积,此时又有等式()()()d d d b c ba a c f x x f x x f x x =+⎰⎰⎰(5)设f 为[,]a b 上的可积函数,若()0,[,]f x x a b ≥∈,则()d 0ba f x x ≥⎰推论:积分保不等式性若f 与g 为[,]a b ]上的两个可积函数,且()g(x),[,]f x x a b ≤∈,则有()()d d b ba a f x x g x x ≤⎰⎰(6)若f 在[,]ab 上可积,则||f 在[,]a b 上也可积,且()()d d b b a a f x x f x x≤⎰⎰2.积分中值定理(1)积分第一中值定理若f 在[,]a b 连续,则至少存在一点[,]a b ξ∈,使得()d =()()b a f x x f b a ξ-⎰(2)推广的积分第一中值定理若f 与g 都在[,]a b 上连续,且()g x 在[,]a b 上不变号,则至少存在一点[,]a b ξ∈,使得()()g()d =()d bba a f x x x f g x x ξ⎰⎰五、微积分学基本定理·定积分计算1.变限积分与原函数的存在性(1)定义设f 在[a ,b ]上可积,根据定积分的性质,对任何x ∈[a ,b ],f 在[a ,x ]上也可积.于是,由(9-1)定义了一个以积分上限x为自变量的函数,称为变上限的定积分.类似地,又可定义变下限的定积分Φ与ψ统称为变限积分.(2)变限积分的性质①若f在[a,b]上可积,则由式(9-1)所定义的函数φ在[a,b]上连续.②原函数存在定理(微积分学基本定理)若f在[a,b]上连续,则由式(9-1)所定义的函数函在[a,b]上处处可导,且(3)重要定理①积分第二中值定理设函数f在[a,b]上可积,则:a.若函数g在[a,b]上减,且g(x)≥0,则存在ξ∈[a,b],使得b.若函数g在[a,b]上增,且g(x)≥0,则存在η∈[a,b],使得②推论设函数f在[a,b]上可积.若g为单调函数,则存在ξ∈[a,b],使得2.换元积分法与分部积分法(1)定积分换元积分法若函数f在[a,b]上连续,φ在[α,β]上可积,且满足则有定积分换元公式(2)定积分分部积分法若u(x),ν(z)为[a,b]上的可微函数,且u′(x)和ν′(x)都在[a,b]上可积,则有定积分分部积分公式3.泰勒公式的积分型余项设函数f在点x0的某邻域U(x0)上有n+1阶连续导函数.令x∈U(x0),则(1)积分型余项(2)拉格朗日型余项。
定积分教案华东师范大学
课时:2课时教学目标:1. 理解定积分的概念,掌握定积分的计算方法。
2. 能够运用定积分解决实际问题,提高数学应用能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。
教学重点:1. 定积分的概念2. 定积分的计算方法教学难点:1. 定积分的几何意义2. 定积分的实际应用教学准备:1. 多媒体课件2. 练习题3. 小组合作讨论教学过程:第一课时一、导入1. 通过回顾微积分的基本概念,引出定积分的定义。
2. 提问:什么是微积分?微积分有什么作用?二、新课讲授1. 定积分的概念- 通过对连续函数在一个区间上的积分,引入定积分的概念。
- 强调定积分是微积分中一个重要的基本概念,具有广泛的实际应用。
2. 定积分的几何意义- 利用图形直观地展示定积分的几何意义。
- 举例说明定积分表示的是曲线与x轴围成的面积。
3. 定积分的计算方法- 介绍定积分的计算方法,包括牛顿-莱布尼茨公式。
- 通过实例讲解定积分的计算过程。
三、课堂练习1. 学生独立完成练习题,巩固所学知识。
2. 教师巡视指导,解答学生疑问。
四、课堂小结1. 总结本节课所学内容,强调定积分的概念、几何意义和计算方法。
2. 引导学生思考定积分在实际问题中的应用。
第二课时一、复习导入1. 复习上一节课所学内容,提问学生定积分的概念和计算方法。
2. 引导学生回顾定积分的几何意义。
二、新课讲授1. 定积分的实际应用- 举例说明定积分在物理学、经济学、工程学等领域的应用。
- 通过实例讲解定积分在实际问题中的求解过程。
2. 定积分与不定积分的关系- 介绍定积分与不定积分的关系,强调不定积分是定积分的逆运算。
- 通过实例讲解不定积分的计算方法。
三、课堂练习1. 学生独立完成练习题,巩固所学知识。
2. 教师巡视指导,解答学生疑问。
四、课堂小结1. 总结本节课所学内容,强调定积分的实际应用和与不定积分的关系。
2. 鼓励学生在日常生活中发现数学问题,运用所学知识解决实际问题。
数学分析(华东师大版)上第八章
05
不定积分
不定积分的定义
总结词
不定积分是微分的逆运算,其定义基于原函数的概念。
详细描述
不定积分是求一个函数的原函数或反导数的过程。给定一个函数f(x),其不定积分是所有原函数F(x)的集合,即 ∫f(x)dx=F(x)+C,其中C是积分常数。
不定积分的性质
总结词
不定积分具有线性性质、可加性、可乘性等基本性质。
微积分基本定理
定积分的值可以通过被积 函数在积分上下限处的值 与积分区间的长度乘积的 差值来计算。
分部积分法
对于某些难以直接计算的 定积分,可以通过分部积 分法将其转化为易于计算 的定积分。
换元法
通过适当的变量替换,将 复杂的定积分转化为易于 计算的定积分。
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详细描述
不定积分具有线性性质,即对于两个函数的和或差的不定积分,可以分别对每个函数进行不定积分后再求 和或求差;不定积分也具有可加性,即对于函数f(x)在两个区间上的不定积分,其和等于函数在整体区间 上的不定积分;此外,不定积分还具有可乘性,即对于任意常数k,有∫kf(x)dx=k∫f(x)dx。
积分的方法
总结词
不定积分的计算方法包括直接积分法、换元 积分法、分部积分法等。
详细描述
直接积分法是最基本的积分方法,它基于不 定积分的定义和性质,通过简单的代数运算 求得积分结果;换元积分法是通过引入新的 变量替换原变量,将复杂函数的不定积分转 化为简单函数的不定积分;分部积分法是通 过将两个函数的乘积进行不定积分,将问题
柯西中值定理
如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)上可导,且g'(x)≠0,那么 在开区间(a, b)内至少存在一点ξ,使得(f'(ξ)/g'(ξ))=(f(g(b)-f(g(a))/(g(b)-g(a))。
数学分析(华东师大)第十章定积分的应用
∫ ∫ ∫∫∫第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积在上一章开头讨论过由连续曲线y = f ( x) (≥0) , 以及直线x = a, x = b( a <b) 和 x 轴所围曲边梯形的面积为b bA =∫ f ( x ) d x =∫y d x .aa如果 f ( x)在[ a , b]上不都是非负的, 则所围图形的面积为b b A=f (x)d x =aay d x .一般地,由上、下两条连续曲线y = f 2 ( x )与y = f 1 ( x )以及两条直线x = a与 x = b( a <b) 所围的平面图形 ( 图 10 - 1) , 它的面积计算公式为bA=[ f 2( x) - f 1 ( x) ] d x. (1)a图 10 -1图 10 - 2例 1 求由抛物线 y 2= x 与直线 x - 2 y - 3 = 0 所围平面图形的面积 A . 解 该平面图形如图 10 - 2 所示 .先求出抛物线与直线的交点 P(1 , - 1 ) 与Q(9 , 3 ) .用 x = 1 把图形分为左、右两部分, 应用公式(1 ) 分别求得它们的面积 为1A 1 =x -- xd x =∫2x d x = 4 , 39 A 2 =1x - x - 32d x = 28 .31 01 ∫ ∫ ∫ ∫∫3240第十章 定积分的应用所以 A = A 1 + A 2 = 32.3本题也可把抛物线方程和直线方程改写成x = y 2= g ( y) , x = 2 y + 3 = g 2 ( y) , y ∈ [ - 1 , 3].并改取积分变量为y , 便得3A=[ g 2(y)-g 1 ( y)] d y - 1=(2 y +3 -y 2) d y = 32.-13设曲线 C 由参数方程x = x ( t ) , y = y( t) , t ∈ [α,β] (2)给出,在[α,β]上y(t)连续,x(t)连续可微且x ′(t)≠0(对于y(t)连续可微且 y ′( t )≠0的情形可类似地讨论) .记a = x(α), b = x(β)(a <b 或b <a),则由 曲线 C 及直线 x = a , x = b 和 x 轴所围的图形 ,其面积计算公式为βA=y( t) x ′( t )d t. (3)α例 2 求由摆线 x = a( t - sin t ) , y = a( 1 - cos t ) ( a > 0 ) 的一 拱与 x 轴所 围平面图形( 图10 - 3 ) 的面积 .图 10 - 3解 摆线的一拱可取 t ∈[ 0 , 2π] .所求面积为2πA=a(1 - co s t )[a( t - s in t)]′d t 0 = a∫22π( 1 - cos t ) 2d t = 3πa2.如果由参数方程(2 ) 所表示的曲线是封闭的, 即有x(α) = x (β) , y(α) = y(β),且在(α, β) 内曲线自身不再相交, 那么由曲线自身所围图形的面积为βA=y( t ) x ′( t ) d t α●∫∫∫§1 平面图形的面积241β或x ( t ) y ′( t)d t . (4)α此公式可由公式(1)和(3)推出,绝对值内的积分,其正、负由曲线(2)的旋转方向 所确定.2 2 例3 求椭圆 x+ y = 1 所围的面积 .a 2b 2解 化椭圆为参数方程x = a cos t , y = b sin t , t ∈ [0 , 2π] .由公式(4 ) , 求得椭圆所围面积为2πA=b s in t (a co s t)′d t 0 = a ∫b2πsin2t d t = πab .显然, 当 a =b = r 时, 这就等于圆面积πr 2.设曲线 C 由极坐标方程r= r(θ),θ∈[α,β]给出, 其中 r(θ) 在[α, β] 上连续, β- α≤2π.由曲线 C 与两条射线θ= α, θ= β所围成的平面图形, 通常也称为扇形( 图 10 -4).此扇形的面积计算公式为βA = 1 2 αr 2 (θ)d θ. (5)图 10 -4图 10 - 5这仍可由定积分的基本思想而得 .如图 10- 5 所示, 对区间[α, β] 作任意分 割T :α= θ0 <θ1 <<θn-1 <θn = β,射线θ=θi (i =1,2, , n -1)把扇形分成n 个小扇形.由于r (θ)是连续的,因 此当‖T ‖很小时,在每一个Δi =[θi - 1 ,θi ]上r (θ)的值变化也很小.任取ξi ∈ Δi ,便有r(θ) ≈r (ξi ),θ∈Δi , i = 1,2,, n .这时, 第 i 个小扇形的面积242第十章 定积分的应用Δ A i ≈12于是r 2 (ξi )Δθi ,nA ≈ ∑1 r 2(ξ)Δθ .i ii = 1由定积分的定义和连续函数的可积性, 当‖T ‖→0 时, 上式右边的极限即为公 式(5 ) 中的定积分 .例 4 求双纽线 r 2= a 2cos 2θ所围平面图形的面积. 解 如图10 - 6所示,因为r 2≥0,所以θ的取值范围是 -π,π与 4 43π 5π 4,4 .由图形的对称性及公式(5),得 到π A =4·1 4 a 2cos2θd θ 2∫π = a 2 sin 2θ 4 0= a 2 .图 10 - 6习 题1 . 求由抛物线 y = x 2与 y = 2 - x 2所围图形的面积 .2 . 求由曲线 y = | ln x | 与直线 x = 1, x = 10 , y = 0 所围图形的面积.10 3 . 抛物线 y 2= 2 x 把圆 x 2+ y 2≤8 分成两部分 , 求这两部分面积之比. 4 . 求内摆线 x = a cos 3 t , y = a sin 3 t ( a > 0 ) 所 围图 形的 面积( 图 10 - 7).5 . 求心形线 r = a( 1 + cos θ) ( a > 0) 所围图形的面积 .6 . 求三叶形曲线 r = a sin 3θ( a >0) 所围图形的面积.7.求由曲线x a+ y b= 1 ( a 、b > 0 ) 与坐标轴所围 图形的面积 .8 . 求由曲线 x = t - t 3, y = 1 - t 4所围图形的面积.9 . 求二曲线 r = sin θ与 r = 3 cos θ所围公共部分的面图 10 - 7积 .2 2 2 2 10 . 求两椭圆x + y = 1 与 x+ y = 1( a > 0 , b > 0 )所围公共部分的面积.a2b 2b2a 22§2 由平行截面面积求体积243§2 由平行截面面积求体积设Ω为三维空间中的一立体,它夹在垂直于x 轴的两平面x =a 与x =b 之间(a <b).为方便起见称Ω为位于[a,b]上的立体.若在任意一点x ∈[a,b] 处作垂直于x 轴的平面,它截得Ω的截面面积显然是x 的函数,记为A(x),x∈[a,b] ,并称之为Ω的截面面积函数(见图10-8).本节将导出由截面面积函 数求立体体积的一般计算公式和旋转体的体积公式.图 10 - 8设截面面积函数A(x)是[a,b]上的一个连续函数.对[a,b]作分割 T :a=x 0 < x 1 << x n = b.过各个分点作垂直于 x 轴的平面 x = x i , i = 1 , 2 ,, n , 它们把 Ω 切割成 n 个薄 片.设A( x )在每个小区间Δi =[x i - 1 , x i ]上的最大、小值分别为M i 与m i ,那么 每一薄片的体积ΔV i 满足m i Δx i ≤ΔV i ≤M i Δx i ①.n于是, Ω的体积 V = ∑ΔV i 满足i = 1n∑ i = 1nm iΔ xi≤ V ≤ ∑M i Δx i .i = 1因为 A ( x)为连续函数, 从而在[ a, b] 上可积, 所以当‖T ‖足够小时, 能使nn∑ωiΔx i=∑(Mi- m i )Δ x i <ε,i=1i =1其中ε为任意小的正数 .由此知道① 严格地说, 这里对 Ω的形状需作如下假设: 把 Ω的上述平行截面正投影到某一垂直于 x 轴的平 面上, 它们永远是一个含在另一个的里面( 这时能保证此处的不等式成立) .一般还可推广到 Ω由满足这 种假设的若干个立体相加或相减而得的情形.∫0 2 2 a2 244第十章 定积分的应用nnV=lim ∑M i Δx i或 lim ∑ m i Δx i‖ T ‖ →0 i =1‖ T ‖ →0 i = 1n= lim ∑A(ξi )Δx i ,‖ T ‖ →0 i = 1其中A(ξi )= M i (或m i ),所以有bV=A ( x )d x. (1)a 例 1 求由两个圆柱面 x 2 + y 2 = a 2 与 z 2 + x 2= a 2所围立体的体积 .解图10-9所示为该立体在第一卦限部 分的图象(占整体的八分之一).对任一x 0∈ [0 , a] , 平面 x = x 0 与这部分立体的截面是一个 边长为 a 2- x 2的正方形,所以A(x)= a 2- x 2,x ∈[0 , a].由公式( 1) 便得aV =∫8 (a 2 - x 2) d x = 16 a 3 . 0 3例2 求由椭球面 x a 2 y 2+ 2 b + z c 2= 1 所围立图 10 - 9体( 椭球) 的体积 .解 以平面 x =x 0 ( |x 0 | ≤a) 截椭球面, 得椭圆( 它在 yOz 平面上的正投影):y2z22+ 2= 1 .b 21 - x 0a 2所以截面面积函数为(根据§1例3): c 2 1 - x 0a22于是求得椭球体积A( x ) = πbc 1 - xa2 , x ∈[-a , a] .V =∫πbc 1- x d x = 4πabc.- a a 23 显然, 当 a =b =c = r 时, 这就等于球的体积4πr 3 .3设ΩA ,ΩB 为位于同一区间[a,b]上的两个立体,其体积分别为V A , V B .若 在[a,b]上它们的截面面积函数A(x)与B(x)皆连续,且A(x)=B(x),则由 公式(1)推知V A = V B .这个关于截面面积相等则体积也相等的原理,早已为我国齐梁时代的数学家祖¹3(祖冲之(429—500)之子,生卒年代约在公元5世纪末∫§2 由平行截面面积求体积245至6 世纪初) 在计算球的体积时所发现 .在 《九章算术》一书中所记载的祖¹3原理是“: 夫 叠絔成立积,缘幂势既同则积不容异”,其中 幂就是截面面积,势就是高.这就是说,等高 处的截面面积既然相等,则两立体的体积不 可能不等(图10-10).17世纪意大利数学家 卡伐列利(Cavalieri)也提出了类似的原理,但 要比祖¹3晚一千一百多年.下面讨论旋转体的体积 .设 f 是[ a,b] 上的连续函数, Ω是由平 面图形图 10 - 100≤ y ≤ f (x) , a ≤ x ≤b绕 x 轴旋转一周所得的旋转体 .那么易知截面面积函数为 A ( x ) = π[ f ( x ) ] 2, x ∈ [ a , b] .由公式(1 ) , 得到旋转体Ω的体积公式为bV =∫π [ f ( x) ]2d x. (2)a例3 试用公式( 2) 导出圆锥体的体积公式 .解 设正圆锥的高为 h , 底圆半径为 r .如图 10- 11 所示, 这圆锥体可由平面图形0≤| y | ≤ rx ,x ∈[ 0 , h]绕 x 轴旋转一周而得 .所以其体积为 hV = π0 r x h d x = 1πr 2 h, 3这个结果读者在中学课程里便已熟知了 .又因同底同高的两个圆锥, 在相同高程 处的截面为相同的圆, 即截面面积函数相同, 所以任一高为 h , 底半径为 r 的圆锥( 正或斜) , 其体积恒为1 πr 2h .3例 4 求由圆 x 2+ ( y - R) 2≤ r 2(0 <r <R ) 绕 x 轴旋转一周所得环状立体 的体积 .解如图10- 12所示,圆x 2+(y - R )2= r 2 的上、下半圆分别为y= f 2 ( x ) = R+ r 2- x 2, x ≤ r.y= f 1 ( x ) = R -r 2- x 2,故圆环体的截面面积函数是A ( x) =π[ f 2 ( x ) ] 2 - π[ f 1 ( x ) ] 2=4πRr 2- x 2, x ∈ [ - r , R].h 22∫∫246第十章 定积分的应用图 10 -11 图 10 - 12由此得到圆环体的体积为V = 8πRr 2 - x 2d x = 2π2 r 2 R .如果把上述结果改写成 V = 2πR ·πr 2, 读者不难看出这相当于一个圆柱体 的体积 .习 题1. 如图10 - 13 所示, 直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截, 试求截得楔形体的 体积 .2. 求下列平面曲线绕轴旋转所围成立体的体 积:( 1) y = sin x , 0≤ x ≤π, 绕 x 轴;(2 ) x = a ( t - sin t ) , y = a ( 1 - cos t ) ( a > 0) , 0≤ t ≤2π, 绕 x 轴;( 3) r = a(1 + cos θ) ( a > 0 ) , 绕极轴;2 2( 4) x + y= 1 , 绕 y 轴.ab2图 10 - 13 3 . 已知球半径为 r , 验证高为 h 的球缺体积V =πh 2r - h3( h ≤ r ) .4 . 求曲线 x = a cos 3 t , y = a sin 3t 所围平面图形 ( 图 10 - 7 )绕 x 轴旋转所得立体的体积 . 5. 导出曲边梯形0≤y ≤ f ( x) , a ≤x ≤b 绕 y 轴旋转所得立体的体积公式为bV =2πx f ( x) d x. a6 . 求 0≤ y ≤sin x , 0≤ x ≤π所示平面图形绕 y 轴旋转所得立体的体积.r∫§3 平面曲线的弧长与曲率247§3 平面曲线的弧长与曲率一 平面曲线的弧长 先建立曲线弧长的概念 .设平面曲线 C = AB .如图 10 - 14 所 示 , 在 C 上从 A 到 B 依次取分点:A = P 0 , P 1 ,P 2,, P n - 1 , P n = B,它们成为对曲线 C 的一个分割, 记为 T .然后用线 段联结 T 中每相邻两点, 得到 C 的 n 条弦P i - 1 P i ( i = 1 , 2 , ,n) , 这 n 条弦又成为 C 的一条内接折 线 .记n图 10 - 14‖ T ‖ = max 1 ≤ i ≤ nP i -1 P i, s T =∑ i = 1P i -1 P i,分别表示最长弦的长度和折线的总长度 .定义 1 对于曲线 C 的无论怎样的分割T , 如果存在有限极限lim ‖ T ‖→ 0s T = s ,则称曲线 C 是可求长的, 并把极限 s 定义作为曲线C 的弧长 .定义 2 设平面曲线 C 由参数方程x = x ( t ) , y = y( t) , t ∈ [α,β](1)给出.如果x (t)与y (t)在[α,β]上连续可微,且x ′( t)与y ′( t)不同时为零(即 x ′2( t)+ y ′2(t)≠0, t ∈[α,β]),则称C 为一条光滑曲线.定理10.1 设曲线 C 由参数方程( 1 ) 给出 .若 C 为一光滑曲线① , 则 C 是 可求长的, 且弧长为βs =x ′2 (t) + y ′2 (t)d t .(2)α证 如前所述 , 对 C 作任意分割 T = { P 0 ,P 1 , , P n } , 并设 P 0 与 P n 分别对应 t = α与t = β, 且P i ( x i , y i ) = ( x( t i ) , y( t i ) ) , i = 1 ,2,, n - 1. 于是, 与 T 对应地得到区间[α, β] 的一个分割T ′:α= t 0 <t 1 <t 2 < < t n-1 <t n = β.在T ′所属的每个小区间Δi =[t i - 1 , t i ]上,由微分中值定理得①这是曲线可求长的一个充分条件,而连续曲线不一定是可求长的.i i i248第十章 定积分的应用Δx i = x(t i ) -x(t i-1 ) = x ′(ξi )Δt i ,ξi ∈Δi ;Δy i = y (t i ) - y ( t i-1 ) = y ′(ηi )Δt i ,ηi ∈Δi .从而曲线 C 的内接折线总长为n2 2s T =∑ i = 1 Δx i + Δy in= ∑x ′2(ξ) + y ′2(η)Δt .iiii = 1又因 C 为光滑曲线, 当 x ′( t ) ≠0 时, 在 t 的某邻域内 x =x ( t ) 有连续的反 函数, 故当Δx →0 时Δt →0; 类似地, 当 y ′( t ) ≠0 时, 亦能由Δy →0 推知Δt → 0 .所以当 | P i - 1 P i |=Δx 2 +Δy 2→0时,必有Δt i→0.反之, 当Δt i →0 时, 显然有|P i - 1 P i |→0 .由此知道:当C 为光滑曲线时,‖T ‖→0与‖T ′‖→0是等价 的.由于 x ′2( t ) + y ′2(t)在[α,β]上连续从而可积,因此根据定义1,只需证明:nlim s T =lim∑x ′(ξi ) + y ′(ξi )Δt i ,(3)‖ T ‖ →022‖T ′‖→0 i= 1而后者即为(2 ) 式右边的定积分 .为此记2 22 2ζi =x ′(ξi ) + y ′(ηi ) -x ′(ξi ) + y ′(ξi ),则有ns T = ∑i = 1x ′2 (ξi ) + y ′2(ξi ) +ζi Δt i .利用三角形不等式易证ζi ≤ | y ′(ηi ) |-| y ′(ξi ) |≤ y ′(ηi ) -y ′(ξi ) ,i = 1 ,2, , n.由y ′(t)在[α,β]上连续,从而一致连续,故对任给的ε>0,存在δ>0,当‖T ′‖<δ时,只要ξi 、ηi ∈Δi ,就有ζ <ε , i = 1 , 2, , n. β - α因此有n22ii in∑ζΔti = 1n≤∑ i = 1ζi Δt i <ε.iii = 1即(3 ) 式得证, 亦即公式(2 ) 成立 .∫2∫∫∫2π ∫π ∫§3 平面曲线的弧长与曲率249若曲线 C 由直角坐标方程y= f ( x ) , x ∈ [ a ,b]表示, 把它看作参数方程时, 即为x = x ,y= f ( x ) , x ∈ [ a , b].所以当 f ( x)在[ a , b]上连续可微时, 此曲线即为一光滑曲线 .这时弧长公式为bs=1 + f ′( x ) d x.(4)a又若曲线 C 由极坐标方程r= r(θ),θ∈[α,β]表示, 把它化为参数方程, 则为 x = r (θ) cos θ,y= r(θ) sin θ, θ∈ [α, β].由于x ′(θ) = r ′(θ)co s θ- r (θ)s in θ, y ′(θ)= r ′(θ)s in θ+ r (θ)co s θ, x ′2(θ) + y ′2 (θ) = r 2 (θ) + r ′2 (θ),因此当r ′(θ)在[α,β]上连续,且r (θ)与r ′(θ)不同时为零时,此极坐标曲线为 一光滑曲线.这时弧长公式为βs =r 2 (θ) + r ′2(θ)d θ.(5)α例1 求摆线 x = a(t - sin t ) ,y = a(1- cos t ) ( a > 0 ) 一拱的弧长( 见图 10 - 3) .解x ′(t)= a(1- co s t),y ′(t)= a s in t,由公式(2)得2π2πs =x ′2 (t) + y ′2( t )d t=2 a 2( 1 - cos t ) d t = 2∫as in td t = 8a .2x - x例 2 求悬链线 y =e+e从 x = 0 到 x = a > 0 那一段的弧长.2x- x x- x 2解y ′=e- e ,1+ y ′2 =(e +e ),由公式(4)得24 aax- xa - as =∫ 1+ y ′2d x =∫e +ed x =e-e .22例 3 求心形线 r = a( 1 + cos θ) ( a > 0 ) 的周长 .解 由公式 (5 ) 得2ππs =r 2 + r ′2d θ= 2 02 a 2 ( 1 + cos θ) d θ= 4∫a co s θθ= 8a . 0 2d∫250第十章 定积分的应用注意 若把公式(2)中的积分上限改为t,就得到曲线(1)由端点P 0 到动点 P( x ( t ) ,y( t ) ) 的弧长, 即ts( t )=αx ′2(η) + y ′2(η)d η.由于被积函数是连续的, 因此d sd t =d x 2d t+d y 2d t ,d s= d x 2+ d y 2. (6)特别称 s( t ) 的微分 d s 为弧微分 .如图 10-15 所示, PR 为曲线在点 P 处的切 线, 在直角三角形 PQR 中, PQ 为d x ,QR 为d y , PR 则为 d s .这个三角形称为 微分三角形 .图 10 -15图 10 - 16二 曲率曲线上各点处的弯曲程度是描述曲线局部性态的又一重要标志 .考察图10-16中由参数方程(1)给出的光滑曲线 C.我们看到弧段PQ 与QR 的长度相差 不多而其弯曲程度却很不一样.这反映为当动点沿曲线C 从点P 移至Q 时,切线转过的角度 Δα比动点从Q 移至R 时切线转过的角度Δβ要大得多.设α( t)表示曲线在点P(x(t),y(t))处切线的倾角,Δα=α( t +Δt) -α( t)表示动点由 P 沿曲线移至 Q( x( t + Δx) , y( t + Δt) ) 时切线倾角的增量 .若PQ 之长为Δs, 则称珡K =为弧段PQ 的平均曲率 .如果存在有限极限 K= lim ΔΔt →0 Δ则称此极限 K 为曲线 C 在点 P 处的曲率.由于假设 C 为光滑曲线, 故总有y ′( t )=lim ΔαΔs →0 Δsα( t) = arctanx ′(t) 或 α(t) = a r ccot x ′(t) . y ′(t )又若 x ( t) 与 y( t )二阶可导, 则由弧微分(6) 可得=§3 平面曲线的弧长与曲率251所以曲率计算公式为d α d s = α′(t ) s ′(t) = x ′( t )y ″( t ) - x ″( t )y ′( t ) [x ′2 (t) + y ′2 (t)]362/ .K=(x ′2+ y ′2 )362/. (7)若曲线由 y = f ( x) 表示, 则相应的曲率公式为K=(1+ y ′2 )362/ . (8)例 4 求椭圆 x = a cos t , y = b sin t , 0≤ t ≤2π上曲率最大和最小的点 .解 由于 x ′= - a sin t , x ″= - a cos t , y ′= b cos t , y ″= - b sin t , 因此按 公式 (7 ) 得椭圆 上任意点处的曲率为K= ab =( a 2sin 2t + b 2cos 2 t )362/ ab[ ( a 2 - b 2 ) sin 2 t + b 2 ]362/ .3π 当 a >b >0 时,在t =0,π(长轴端点)处曲率最大,而在t =π、 ( 短轴端点) 处曲率最小, 且K max = a b2 , K min = 2 2 ba 2. 若在例 4 中 a = b = R , 椭圆成为圆时, 显然有K = 1 ,R即在圆上各点处的曲率相同, 其值为半径的倒数 .容易知道, 直线上处处曲率为零 .设曲线 C 在其上一点P 处的曲率 K ≠0 .若过点 P 作一个半径为ρ=1的圆, 使它在点 KP 处与曲线C 有相同的切线, 并在点 P 近旁与曲线位于切线的同侧(图 10 - 17).我们把这个圆称为曲线 C 在点 P 处的曲率圆或密切圆 .曲率圆的半径 ρ= 1 K和圆心( P 0) 称为曲线 C在点 P 处的曲率半径和曲率中心 .由曲率圆的定义可以知道, 曲线在点 P 与曲率圆既有相同 的切线, 又有相同的曲率和凸性 .例5 (铁路弯道分析) 如图10 - 18 所示, 火车轨道从直道进入到半径为 R 的圆弧形 弯道时, 为了行车安全, 必须经过一段缓冲轨道(用虚线表示者) , 使得曲率由零连续地增加到 1 R,以保证火车的向心加速度 a =v 2ρ 不发生跳跃性的突变.图 10 -17 图 10 - 18y ″3 0 0 252第十章 定积分的应用图中 x 轴( x ≤0) 表示直线轨道, AB 是半径为 R 的圆弧形轨道( 点 Q 为其圆心) , OA 为 缓冲轨道 .我国一般采用的缓冲曲线是三次曲线其中 l 是OA 的弧长 .对曲线(9)应用曲率公式(8),求得y = x,(9)6 R l2 2K= 8 R l x .(4 R 2 l 2 + x 4 )362/ 当 x 从 0 变为 x 0 时 , 曲率 K 从0 连续地变为K 0 = 8 R 2 l 2 x 0 (4 R 2 l 2 + x 4 )362/1 = R· 8 l 2 x 0 x 44 l 2362/ . R2x 0 1 1当 x 0 ≈l , 且 缓冲作用 .R 很小时, K 0 ≈ R .因此曲线段OA 的曲率从0 逐渐增加到接近于 R, 从而起了习 题1 . 求下列曲线的弧长: (1) y = x 362/,0≤x ≤4; (2)x +y =1;( 3) x = a cos 3t , y = a sin 3t ( a >0) , 0≤t ≤2π;( 4) x = a( cos t + t sin t ) , y = a( sin t - t cos t ) ( a >0) , 0≤t ≤2π;( 5) r = a sin 3 θ( a > 0) , 0≤θ≤3π;3( 6) r = a θ( a >0) , 0≤θ≤2π.2 . 求下列各曲线在指定点处的曲率: (1) xy = 4 , 在点( 2 , 2) ; (2) y = ln x , 在点( 1 , 0 ) ;(3) x = a( t - sin t ) , y = a(1 - cos t ) ( a >0) , 在 t = π的点; 2(4) x = a cos 3 t , y = a sin 3 t ( a >0) , 在 t =π 的点.43 . 求 a 、b 的值 , 使椭圆 x = a cos t , y = b sin t 的周长等 于正弦曲线 y = sin x 在 0≤x ≤ 2π上一段的长 .4 . 设曲线由极坐标方程 r = r(θ) 给出, 且二阶可导, 证明它在点( r, θ)处的曲率为22K =r + 2 r ′ - rr ″.(r 2 + r ′2)362/ *5.用上题公式,求心形线r = a(1+co s θ)(a >0)在θ=0处的曲率、曲率半径和曲率圆.**∫∫∫§4 旋转曲面的面积253* 6 . 证明抛物线 y = ax 2 + bx + c 在顶点处的曲率为最大 . *7 . 求曲线 y = e x 上曲率最大的点 .§4 旋转曲面的面积定积分的所有应用问题,一般总可按“分割,近似求和,取极限”三个步骤导 出所求量的积分形式.但为简便实用起见,也常采用下面介绍的“微元法”.本节 和下一节将采用此法来处理.一 微元法x在上一章我们已经熟知,若令Φ(x) =f(t)d t,则当f 为连续函数时, aΦ′( x ) = f ( x) , 或d Φ= f ( x) d x ,且bΦ( a) = 0 , Φ(b)=f ( x) d x. a现在恰好要把问题倒过来:如果所求量Φ是分布在某区间[a,x]上的,或 者说它是该区间端点x 的函数,即 Φ=Φ(x),x ∈[a,b],而且当x =b 时, Φ( b) 适为最终所求的值.在任意小区间[ x ,x + Δx ] Ì[ a , b]上, 若能把 Φ的微小增量ΔΦ近似表示 为Δx 的线性形式ΔΦ≈f(x)Δx,(1) 其中 f 为某一连续函数, 而且当Δx →0 时,ΔΦ- f ( x )Δx =o(Δx) , 亦即d Φ= f ( x) d x, (2)b那么只要把定积分 f(x)d x 计算出来,就是该问题所求的结果.a上述方法通常称为微元法 .在采用微元法时, 必须注意如下两点: 1) 所求量 Φ 关于分布区间必须是代数可加的.2)微元法的关键是正确给出ΔΦ的近似表达式(1 ) .在一般情况下, 要严格 检验ΔΦ-f ( x)Δx 是否为Δx 的高阶无穷小量往往不是一件容易的事 .因此对 (1 ) 式的合理性需特别小心.对于前三节所求的平面图形面积、立体体积和曲线弧长, 改用微元法来处 理, 所求量的微元表达式分别为ΔA ≈ y Δx , 并有 d A=y d x; Δ V ≈ A( x )Δx , 并有 d V = A ( x) d x ;Δs ≈1 + y ′2Δx,并有d s =1+ y ′2d x .§2 导出体积公式(1) 和 §3 导出弧长公式(2) 的过程, 实际上就是在验证 ΔΦ-∫222 1 2 2∫254第十章 定积分的应用bf(x)Δx= o(Δx).如果把弧长增量的近似表达式改取为Δs ≈Δx,将导致s=d x a= b - a 的明显错误 .其根本原因就在于Δs - Δx 并非是Δx 的高阶无穷小量 .二 旋转曲面的面积①设平面光滑曲线 C 的方程为y= f ( x ) , x ∈ [ a , b] ( 不妨设 f ( x) ≥ 0 ).这段曲线绕 x 轴旋转一周得到旋转曲面( 图10 - 19).下面用微元法导出它的面 积公式 .通过 x 轴上点 x 与 x + Δx 分别作垂直于 x 轴的平面, 它们在旋转曲面上截下一条狭带 .当 Δx 很小时, 此狭带的面积近似于一圆台的侧面 积, 即 ΔS ≈π[ f(x)+ f(x+Δx)]Δx 2 + Δy 2= π[ 2 f ( x )+Δy]1+Δy 2 Δx, Δx图 10 - 19其中 Δy = f ( x + Δx ) - f ( x ) .由于lim Δy = 0,lim1+Δy 2= 1 + f ′( x),Δx →0Δx →0Δx因此由 f ′( x )的连续性可以保证π[2 f ( x)+Δy]1+所以得到Δy 2ΔxΔx - 2πf(x)1 + f ′( x)Δx = o(Δx ).d S = 2πf(x) 1 + f ′( x ) d x, bS =2π af(x)1 + f ′( x ) d x .(3)如果光滑曲线 C 由参数方程x = x ( t ) , y = y( t) , t ∈ [ α,β]给出, 且 y( t ) ≥0 , 那么由弧微分知识推知曲线 C 绕 x 轴旋转所得旋转曲面的 面积为S = 2∫π βy ( t) x ′2(t) + y ′2( t)d t .(4)α例 1 计算圆 x 2+ y 2= R 2在 [ x , x ] Ì [ - R , R] 上的弧段 绕 x 轴旋转所①关于曲面面积的严格定义和一般计算公式要在下册重积分章节里给出.2 ∫ ∫§5 定积分在物理中的某些应用255得球带的面积 .解 对曲线y =R 2 - x 2 在区间 [ x 1 , x 2 ] 上应用公式(3 ) , 得到S=2π2 x1R 2 - x21+xd xR 2 - x2= 2π∫Rx 2d x = 2πR ( x2- x 1 ) .x1特别当 x 1 = - R , x 2 = R 时 , 则得球的表面积 S 球 = 4πR .例 2 计算由内摆线 x = a cos 3t , y = a sin 3t ( 见 图 10 - 7 ) 绕 x 轴旋 转所得 旋转曲面的面积 .解 由曲线关于 y 轴的对称性及公式(4 ) , 得π S = 4π 2 0a sin 3 t( - 3 a cos 2 t sin t )2 + (3 a sin 2 t cos t ) 2d t = 12πa ∫2π sin4t cos t d t=12 a 2.π 05习 题1 . 求下列平面曲线绕指定轴旋转所得旋转曲面的面积:( 1) y = sin x , 0≤ x ≤π, 绕 x 轴;( 2) x = a( t - sin t ) , y = a(1 - cos t ) ( a > 0) , 0≤ t ≤2π, 绕 x 轴 ;2 2 ( 3) x + y= 1 , 绕 y 轴;a 2 b2( 4) x 2 + ( y - a) 2 = r 2 ( r <a) , 绕 x 轴.2 . 设平面光滑曲线由极坐标方程r = r(θ) ,α≤ θ≤ β ( [α, β] Ì [0 ,π] , r(θ) ≥0)给出, 试求它绕极轴旋转所得旋转曲面的面积计算公式 .3 . 试求下列极坐标曲线绕极轴旋转所得旋转曲面的面积:( 1) 心形线 r = a(1 + cos θ) ( a >0) ; ( 2) 双纽线 r 2 = 2 a 2 cos 2θ( a > 0) .§5 定积分在物理中的某些应用定积分在物理中有着广泛的应用, 这里介绍几个较有代表性的例子 . 一 液体静压力例1 如图10 - 20所示为一管道的圆形闸门( 半径为 3 米).问水平面齐及x 2∫2 = ∫ ∫ 256第十章 定积分的应用直径时, 闸门所受到的水的静压力为多大?解 为方便起见, 取 x 轴和y 轴如图, 此时圆的方 程为x 2+ y 2= 9 .由于在相同深度处水的静压强相同,其值等于水 的比重(ν)与深度(x)的乘积,故当Δx 很小时,闸门上 从深度 x到 x + Δx 这一狭条ΔA 上所受的静压力为 ΔP ≈ d P=2νx9 - x 2d x .从而闸门上所受的总压力为图 10 - 203P=2νx9 - x 2 d x= 18ν.二 引力例2 一根长为 l 的均匀细杆, 质量为 M , 在其中垂线上相距细杆为 a 处 有一质量为 m 的质点 .试求细杆对质点的万有引力. 解 如图10 - 21 所示, 细杆位于 x 轴上的 l l 2,2,质点位于y 轴上的点a.任取[x, x +Δx ]Ì - l2 , l 2 , 当Δx 很小时可把这一小段细杆看作一质点 , 其质量为 d M = Md x .于l是它对质点 m 的引力为图 10 - 21d F = km d M r km a 2 + x 2 · Ml d x.由于细杆上各点对质点 m 的引力方向各不相同, 因此不能直接对 d F 进行积分 ( 不符合代数可加的条件) .为此, 将d F 分解到x 轴和y 轴两个方向上, 得d F x = d F · sin θ, d F y = - d F ·cos θ.由于质点 m 位于细杆的中垂线上, 必使水平合力为零, 即l 62/F x =- 6l 2/ d Fx= 0.又由cos θ=a ,得垂直方向合力为a 2+ x 2l 62/F y =- 6l 2/d Fy= -∫2l 2 km Ma ( a 2+ x 2 ) - 362/d x 0l-∫§5 定积分在物理中的某些应用257= -2kmMa 1 6l 2/xl·a2 · =- 2kmM,a 4 a 2+ l2负号表示合力方向与 y 轴方向相反 .a 2 + x 2例3设有一半径为 r 的圆弧形导线, 均匀带电, 电荷密度为δ, 在圆心正 上方距圆弧所在平面为 a 的地方有一电量为q 的点电荷 .试求圆弧形导线与点 电荷之间作用力( 引力或斥力) 的大小 .解 如图10 - 22 所示, 把点电荷置于原点,z 轴 垂直向下 , 圆弧形导线置于水平平面 z = a 上.根据库仑定律, 电量为 q 1 , q 2 的两个点电荷之间 的作用力( 引力或斥力) 的大小为kq 1 q 2F = ρ2, 其中ρ是两点电荷之间的距离,k 是库仑常数.图 10 - 22 把中心角为d θ的一小段导线圆弧看作一点电荷, 其电量为 d Q = δd s = δr d θ .它对点电荷 q 的作用力为d F = k · q d Q = ρ2k δrq a2 +r 2 d θ.把 d F 分解为 z 轴方向的垂直分力d F z 和水平方向的分力d F t .由于点电荷 位于圆弧导线的对称轴 Oz 上, 且导线上的电荷密度恒为常数, 因此水平分力 d F t 各向抵消.而d F z = d F ·cos θ =d F ·aa 2 + r 2= k δraq(a 2 + r 2 ) - 362/ d θ,于是垂直方向的合力为2πF z =d F z= 02πk δraq.( a 2+ r 2)362/这就是圆弧形导线与点电荷之间作用力的大小 .三 功与平均功率例4一圆锥形水池, 池口直径30 米, 深10 米, 池中盛满了水 .试求将全部 池水抽出池外需作的功 .解 为方便起见, 取坐标轴如图 10-23 所示 .由于抽出相同深度处单位体 积的水需作相同的功( 等于水的比重×深度) , 因此首先考虑将池中深度为 x 到V2V ∫2258第十章 定积分的应用x + Δx 的一薄层水ΔΩ抽至池口需作的功ΔW.当Δx 很小时, 把这一薄层水的 深度都看作 x , 并取ΔΩ的体积这时有Δ V ≈π 15 1 - x102Δx ,2Δ W ≈d W =πνx 15 1 - x10d x .从而将全部池水抽出池外需作的功为1 0 W = 225πν 0x 1 -x d x 10= 1 875πν.例5 在纯电阻电路( 图10 - 24) 中, 已知交流电压为V = V m sin ωt.图 10 -23图 10 - 24求在一个周期[0,T] T =2πω内消耗在电阻 R 上的能量W , 并求与之相当的直 流电压 .解 在直流电压 ( V = V 0 ) 下 , 功率 P =0 T2R, 那么在时间 T 内所作的功为W= PT = R.现在 V 为交流电压, 瞬时功率为V 2m 2P( t) = Rsin ωt .这相当于: 在任意一小段时间区间[ t ,t +Δt]Ì[ 0 ,T ] 上, 当Δt 很小时, 可把 V 近似看作恒为 V m sin ωt 的情形 .于是取功的微元为d W = P( t ) d t .并由此求得T 2π 22 W =∫ P (t)d t =∫ωVmπVmsin 2ωt d t =.0 RR ω而平均功率则为πV V m∫m *§6 定积分的近似计算259P = 1 2P( t )d t= ω· mT 0 2π R ω2( V 6/2)2= 2R = R. 上述结果的最末形式 , 表示交流电压 V = V m sin ωt 在一个周期上的平均功率与V m 直流电压珡V =的功率是相等的.故称珡V 为该交流电压的有效值.通常所说的2220 伏交流电 , 其实是V =220 2 sin ωt 的有效值.习 题1 .有一等腰梯形闸门,它的上、下两条底边各长为10米和6米,高为20米.计算当水面 与上底边相齐时闸门一侧所受的静压力.2 .边长为 a 和b 的矩形薄板,与液面成α(0<α<90°)角斜沉于液体中.设 a >b,长边平 行于液面,上沿位于深h 处,液体的比重为ν.试求薄板每侧所受的静压力.3. 直径为 6 米的一球浸入水中, 其球心在水平面下10 米处, 求球面上所受静压力 .4. 设在坐标轴的原点有一质量为 m 的质点, 在区间[ a , a +l] ( a > 0 ) 上有一质量为 M 的均匀细杆 .试求质点与细杆之间的万有引力 .5. 设有两条各长为 l 的均匀细杆在同一直线上, 中间离开距离 c, 每根细杆的质量为 M .试求它们之间的万有引力 .( 提示: 在第4 题的基础上再作一次积分 .)6. 设有半径为 r 的半圆形导线, 均匀带电, 电荷密度为δ, 在圆心处有一单位正电荷 .试 求它们之间作用力的大小 .7. 一个半球形( 直径为 20 米) 的容器内盛满了水 .试问把水抽尽需作多少功?8. 长10 米的铁索下垂于矿井中, 已知铁索每米的质量为 8 千克, 问将此铁索提出地面 需作多少功?9. 一物体在某介质中按 x =ct 3作直线运动, 介质的阻力与速度d x的平方成正比 .计算d t物体由 x = 0 移至 x = a 时克服介质阻力所作的功 .10 . 半径为 r 的球体沉入水中, 其比重与水相同 .试问将球体从水中捞出需作多少功?*§6 定积分的近似计算利用牛顿—莱布尼茨公式虽然可以精确地计算定积分的值,但它仅适用于 被积函数的原函数能够求得的情形 .如果这点办不到或者不容易办到, 这就要考 虑近似计算的方法 .在定积分的很多应用问题中, 被积函数甚至没有解析表达式 (只是一条实验记录曲线,或者是一组离散的采样值),这时只能采用近似方法去Tb260第十章 定积分的应用计算相应的定积分 .其实, 根据定积分的定义, 每一个积分和都可看做是定积分的一个近似值, 例如bnn∫f(x)d x ≈∑f(x i)Δxi或∑ f ( x i - 1)Δx i. (1)ai = 1i = 1在几何意义上,这是用一系列小矩形面积来近似小曲边梯形面积的结果.所以把这个近似算法称为矩形法.不过,只有当积分区间被分割得很细很细时,矩形法 才有一定的精确度.如果在分割的每个小区间上采用一次或二次多项式来近似替代被积函数, 那么可以期望获得比矩形法效果好得多的近似计算公式.下面的梯形法和抛物 线法就是这一想法的产物.一 梯形法将积分区间[ a , b] 作 n 等分, 分点依次为a= x 0 < x 1 < x 2 << x n = b,Δ x i =b - a.n相应的被积函数值记为y 0 , y 1 ,y 2, , y n (y i = f ( x i ) , i = 0 , 1 ,2, , n ). 并记曲线 y = f ( x ) 上相应的点为P 0 , P 1 ,P 2 ,, P n ( P i ( x i , y i ) , i = 0 , 1 ,2,, n ).将曲线上每一段弧 P i - 1 P i 用弦 P i - 1 P i 来替代, 这使得每个小区间[ x i - 1 , x i ] 上的曲边梯形换成了真正的梯形( 图 10 - 25) , 其面积为y i - 1 + y i2Δ x i , i = 1 ,2, , n. 于是, 各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值, 即bn∫f ( x) d x ≈∑ y i - 1 + y i Δx i , a i=12 亦即∫f ( x) d x ≈b- a y 0 + y + y + + y y n+ . (2)a n 2 1 2 n-1 2称此近似式为定积分的梯形法公式 .二 抛物线法由梯形法求定积分的近似值, 当 y = f (x) 为凸曲线时偏大, 为凹曲线时偏 小 .如果每段曲线改用与它的凸性相接近的抛物线来近似时, 就可减少上述缺●2∫∫( x ) d x =∫(α 122 ∫∫1 *§6 定积分的近似计算261点 .下面介绍抛物线法 .图 10 -25图 10 - 26将积分区间[ a , b] 作2 n 等分( 图10- 26 ) , 分点依次为a= x 0 < x 1 < x 2 << x 2 n = b,Δ x i =b- a.2 n对应的被积函数值为y 0 , y 1 ,y 2,, y 2 n (y i =f ( x i ) , i = 0 , 1 ,2,, 2 n ). 曲线 y = f ( x ) 上的相应点为P 0 , P 1 ,P 2, , P 2 n ( P i ( x i , y i ) , i = 0 , 1 ,2,, n).现把区间[ x 0 , x 2 ] 上的曲线 y = f ( x ) 用通过三点P 0 ( x 0 , y 0 ) , P 1 ( x 1 , y 1 ) , P 2 ( x 2 , y 2 )的抛物线p 1( x ) =α1 x +β1 x +γ1 来近似替代,便有xx x2f ( x)d x ≈2p2xxx0 0x 2+ β x+γ1 )d x α1 33β122= 3 (x 2 - x 0 ) + 2 (x 2 - x 0 ) + γ1 (x 2 -x 0)x 2 - x 0 22=6[(α1 x 0 +β1 x 0 +γ1) + (α1 x 2 +β1 x 2 +γ1 ) +α1( x 0 + x 2) +2β1( x 0 + x 2) +4γ1 ] x 2 -x 0= 6 ( y 0 + y 2 + 4 y 1 ) = b - a 6n( y 0 + 4 y 1 + y 2 ) .最末第二步的得来是利用了 x 0 + x 2 = 2 x 1 .同样地,在[x 2i - 2 , x 2i ]上用p i ( x)=αi x +βi x +γi 替代曲线y = f( x),将得到x2 ix2 i - 2xf ( x ) d x ≈ 2ix 2 i - 2p i ( x ) d x = b - a( y 2 i -2 6 n + 4 y 2 i - 1 + y 2 i ) . 最后,按i =1,2,, n 把这些近似式相加 ,得到 b n x n∫f( x )d x = ∑∫2i f(x)d x ≈b - a ∑(y 2 i - 2+ 4 y 2 i - 1 + y 2 i ) ,a i =1 即x 2 i -26n i =1 1b1111262第十章 定积分的应用∫f ( x ) d x ≈b- a[ y 0 + y 2 n + 4( y 1 + y 3 ++ y 2 n - 1 ) + a6n2( y 2 + y 4 ++ y 2 n - 2 )].(3)这就是抛物线法公式, 也称为辛普森( Simpson) 公式 .1 作为例子,我们计算定积分∫d x的近似值.0 1 + x 2将区间[0 , 1 ] 十等分, 各分点上被积函数的值列表如下( 取七位小数) :1)用矩形法公式(1 ) 去计算: ( 取四位小数)∫d x11 + x2≈ 10 ( y 0 + y 1 + + y 9 ) = 0 .809 9( 或110 ( y 1 + y 2 ++ y 1 0 ) = 0 .760 0).2)用梯形法公式(2 ) 去计算: ( 取四位小数)∫d x1 y 0y 1 01 + x2≈10 2 + y 1 +y 2 + + y 9 + 2= 0 .785 0.3)用抛物线法公式(3 ) 去计算: ( 取七位小数)∫d x11 + x2≈ 30 [ y 0 + y 1 0 + 4( y 1 + y 3 ++ y 9 ) + 2 ( y 2 + y 4 ++ y 8 )]= 0 .785 398 2 .用准确值①∫d xπ1 + x2= arctg 1= 4 = 0 .785 39816与上述近似值相比较,矩形法的结果只有一位有效数字是准确的,梯形法的结果 有三位有效数字是准确的,抛物线法的结果则有六位有效数字是准确的.可见公式(3)明显地优于公式(2),更优于公式(1).关于定积分近似计算的误差估计, 在《数值分析》一类课程中必有详述, 这里 不再讨论 .①这里用一个很容易求得准确值的定积分作为近似计算的例子,主要的理由就是有准确值可以与近似值相比较.实际使用中不会有这样的事.212∑12∑i* §6 定积分的近似计算263 习题1 .分别用梯形法和抛物线法近似计算∫d x(将积分区间十等分) .1 xπ2 .用抛物线法近似计算∫s in x d x(分别将积分区间二等分、四等分、六等分) .0x3 . 图10 - 27 所示为河道某一截面图.试由测得数据用抛物线法求截面面积.图10 - 274 . 下表所列为夏季某一天每隔两小时测得的气温:(1) 按积分平均1b f ( t ) d t 求这一天的平均气温, 其中定积分值由三种近似法分别计算; b -∫a a12 12( 2) 若按算术平均1i= 1 C i - 1 或1 Ci= 1求得平均气温, 那么它们与矩形法积分平均和梯形法积分平均各有什么联系?简述理由.。
数学分析PPT课件第四版华东师大研制--第10章-定积分的应用(1)可编辑全文
围立体的体积.
z
a
x
a x0
O
a
y
解 先求出立体在第一卦限的体积V1. x0 [0,a] ,
x x0 与立体的截面是边长为 a2 x02 的正方形,
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所以 A( x) a2 x2 , x [0,a]. 于是求得
V
8V1 8
9 0
a2 x2
dx 16 a3. 3
以下讨论旋转体的体积.
4
S( A2 ) 1 x ( x 2) dx
2 3
x3
2
x2 2
4
2x
1
14 3
3 2
.
则
S(
A)
S(
A1 )
S(
A2
)
4 3
14 3
3 2
9 2
.
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若把 A 看作为 y 型区域,则
g1( y) y2 (1 y 2), g2( y) y 2 (1 y 2).
体积公式.
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§3 平面曲线的弧长与曲率
本节定义光滑曲线的弧长,并用定积分给出弧长计 算公式.
一、平面曲线的弧长
定义1 设平面曲线 C 由以下参数方程表示:
x x(t), y y(t), t [, ].
如果 x(t)与 y(t)在[ , ]上连续可微, 且 x(t)与 y(t)
•(4, 2)
A
x y2
O
4x
• (1, 1)
若把 A 看作 x 型区域, 则
f1(
x)
x
x 2
,0 ,1
x x
1 4
,
f2x x ,0 x 4.
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第九章定积分§1 定积分概念一问题提出不定积分和定积分是积分学中的两大基本问题.求不定积分是求导数的逆运算, 定积分则是某种特殊和式的极限,它们之间既有区别又有联系.现在先从两个例子来看定积分概念是怎样提出来的.1 . 曲边梯形的面积设 f 为闭区间[a , b] 上的连续函数, 且 f ( x ) ≥0 . 由曲线y = f ( x ) , 直线x = a , x = b 以及x 轴所围成的平面图形( 图9 - 1) , 称为曲边梯形.下面讨论曲边梯形的面积( 这是求任何曲线边界图形面积的基础) .图9 - 1 图9 - 2在初等数学里,圆面积是用一系列边数无限增多的内接(或外切)正多边形面积的极限来定义的.现在我们仍用类似的办法来定义曲边梯形的面积.在区间[ a , b] 内任取n - 1 个分点, 它们依次为a = x0 < x1 < x2 < < x n - 1 < x n = b,这些点把[ a , b] 分割成n 个小区间[ x i - 1 , x i ] , i = 1 , 2 ,, n .再用直线x =x i , i = 1 , 2, , n - 1把曲边梯形分割成n 个小曲边梯形( 图9 - 2 ) .在每个小区间[x i - 1 , x i ]上任取一点ξi ,作以 f (ξi ) 为高, [x i - 1 , x i ]为底的小矩形.当分割[ a , b] 的分点较多, 又分割得较细密时, 由于 f 为连续函数, 它在每个小区间上的值变化不大, 从而可用这些小矩形的面积近似替代相应小曲边§1 定积分概念201梯形的面积.于是,这n 个小矩形面积之和就可作为该曲边梯形面积S 的近似值,即nf (ξi )Δx i (Δx i = x i - x i - 1 ) . ( 1)S ≈ ∑i = 1注意到(1 ) 式右边的和式既依赖于对区间[ a , b]的分割, 又与所有中间点ξi ( i = 1 , 2 , , n ) 的取法有关.可以想象, 当分点无限增多, 且对[ a , b] 无限细分时, 如果此和式与某一常数无限接近, 而且与分点x i 和中间点ξi 的选取无关, 则就把此常数定义作为曲边梯形的面积S .2 . 变力所作的功设质点受力F 的作用沿x 轴由点a 移动到点b, 并设 F 处处平行于x 轴( 图9 - 3 ) .如果F 为常力, 则它对质点所作的功为W = F( b - a) .现在的问题是, 图9 - 3F 为变力, 它连续依赖于质点所在位置的坐标x , 即F = F( x) , x ∈[ a , b] 为一连续函数, 此时 F 对质点所作的功W 又该如何计算?由假设F( x ) 为一连续函数, 故在很小的一段位移区间上F( x ) 可以近似地看作一常量.类似于求曲边梯形面积那样, 把[ a , b] 细分为n 个小区间[ x i - 1 , x i ] ,Δx i = x i - x i - 1 , i = 1 ,2 , , n ; 并在每个小区间上任取一点ξi , 就有F( x) ≈F(ξi ) , x ∈[ x i - 1 , x i ] , i = 1 ,2 ,, n .于是, 质点从x i - 1 位移到x i 时, 力 F 所作的功就近似等于F(ξi )Δx i , 从而nW ≈∑F(ξi )Δx i . ( 2)i = 1同样地, 对[ a , b] 作无限细分时, 若(2 ) 式右边的和式与某一常数无限接近, 则就把此常数定义作为变力所作的功W .上面两个例子,一个是计算曲边梯形面积的几何问题,另一个是求变力作功的力学问题,它们最终都归结为一个特定形式的和式逼近.在科学技术中还有许多同样类型的数学问题, 解决这类问题的思想方法概括说来就是“分割,近似求和, 取极限”.这就是产生定积分概念的背景.二定积分的定义定义1 设闭区间[ a, b] 内有n - 1 个点, 依次为a = x0 < x1 < x2 < < x n - 1 < x n = b,它们把[ a , b] 分成n 个小区间Δi = [ x i - 1 , x i ] , i = 1 , 2 ,, n .这些分点或这些闭子区间构成对[ a ,b] 的一个分割, 记为T = { x0 , x1 , , x n } 或{Δ1 ,Δ2 , ,Δn } .小区间Δi 的长度为Δx i = x i - x i - 1 , 并记∫∫202 第九章 定 积 分称为分割 T 的模 . ‖ T ‖ = max {Δ x i } ,1 ≤ i ≤ n注 由于 Δ x i ≤‖ T ‖ , i = 1 , 2 , , n , 因此 ‖ T ‖可 用来 反映 [ a , b] 被 分 割的细密程度 .另外 , 分割 T 一旦给出 , ‖ T ‖就随之而确定 ; 但是 , 具有同 一细 度‖ T ‖的分割 T 却有无限多个 .定义 2 设 f 是定义在 [ a , b] 上的 一个 函数 .对于 [ a , b] 的一 个 分割 T = {Δ1 , Δ2 ,,Δn } , 任取点 ξi ∈Δi ,i = 1 , 2 , , n , 并作和式n∑ i = 1f (ξi )Δ x i .称此和式为函数 f 在 [ a , b] 上的一个积分和 , 也称黎曼和 .显然 , 积分和既与分割 T 有关 , 又与所选取的点集 {ξi }有关 . 定义 3 设 f 是定义在 [ a , b] 上的 一个 函数 , J 是一 个确 定的实 数 .若对 任 给的正数 ε, 总存在某一正数 δ, 使得对 [ a , b] 的任何分割 T , 以及在其上任意选 取的点集 {ξi}, 只要‖ T ‖ < δ, 就有n∑i = 1f (ξi )Δx i - J< ε,则称函数 f 在区间 [ a , b] 上可积 或黎 曼可 积 ; 数 J 称为 f 在 [ a , b] 上 的 定积 分或黎曼积分 , 记作bJ =f ( x) d x . ( 3)a其中 , f 称为被积函数 , x 称为积分变量 , [ a , b] 称为积分 区间 , a 、b 分别 称为 这 个定积分的下限和上限 .以上定义 1 至定义 3 是定积分抽象 概念 的完 整叙述 .下 面是 与定积 分概 念 有关的几点补充注释 .注 1 把定积分定 义的 ε- δ说法和 函数极限 的ε- δ说法相 对照 , 便会 发 现两者有相似的陈述方式 , 因此我们也常用极限符号来表达定积分 , 即把它写作J =lim‖ T ‖ → 0n∑i = 1bf (ξi )Δx i =f ( x )d x . ( 4)a然而 , 积 分 和 的 极 限 与 函 数 的 极 限 之 间 其 实 有 着 很 大 的 区 别 : 在 函 数 极 限lim x → af ( x) 中, 对每一个极限变量 x 来说 , f ( x ) 的值是唯 一确定 的 ; 而 对于积分 和的极限而言 , 每一个‖ T ‖并不唯一对应积分和的一个值 .这使得积 分和的极 限 要比通常的函数极限复杂得多 .注 2 可积性是函数的又一分析性质 .稍后 ( 定理 9 .3) 就会知道连续函数是 可积的 , 于是本节开头两个实例都可用定积分记号来表示 :1) 连 续 曲 线 y = f ( x) ≥ 0 在 [ a , b] 上 形 成 的 曲 边 梯 形 面 积 为∫∫∫i i §1 定积分概念203bS =f ( x ) d x ; a2) 在 连 续 变 力 F ( x ) 作 用 下 , 质 点 从 a 位 移 到 b 所 作 的 功 为 W = bF( x )d x . a 注 3 ( 定积 分的几 何意 义 ) 由 上 述 1) 看到 , 对 于 [ a , b] 上 的 连 续 函 数 f , 当 f ( x) ≥0 , x ∈ [ a , b] 时 , 定积 分 (3 ) 的几 何 意义就是该曲边梯形的面积 ; 当 f ( x ) ≤0 , bx ∈ [ a , b] 时 , 这 时 J = -[ - f ( x) ] d xa 是位 于 x 轴 下 方 的 曲 边 梯形面积的 相 反图 9 - 4数 , 不妨称之为“ 负面积”; 对于一般非定号的 f ( x ) 而 言 ( 图 9 - 4 ) , 定积 分 J 的值则是曲线 y = f ( x ) 在 x 轴 上方 部分所 有曲 边梯 形的 正面 积与 下 方部 分所 有 曲边梯形的负面积的代数和 .注 4 定积分作为积分和的极限 , 它的值只与被积函数 f 和积分区间 [ a, b]有关 , 而与积分变量所用的符号无关 , 即b b b∫f ( x ) d x =∫f ( t ) d t =∫f (θ) d θ =.aaa 例 1 求 在 区 间 [ 0 , 1 ] 上 , 以抛 物 线 y = x 2为 曲 边 的 曲 边 三 角 形 的 面 积 ( 图 9 - 5) .解 由注 3 , 因 y = x 2在 [ 0 , 1] 上连 续 , 故所 求面积为1 S =∫x 2d x =limn∑ξ2Δx .0‖ T ‖ → 0 i = 1为求得此极限 , 在定 积 分 存 在的 前 提 下 , 允 许 选 择某种特殊的分割 T 和特殊的点集 {ξi } .在此只 需取等分分割 :T = { 0 , 1 , 2 , , n - 1 , 1} , ‖ T ‖ = 1;n i - 1 n n i - 1 in 图 9 - 5并取 ξi =n ∈ n , n , i = 1 , 2 , , n .则有nS = lim ∑ i - 1 ·1 = lim 1n ( i - 1) 2n → ∞i = 1n n n → ∞ 3 ∑ i = 1= limn → ∞( n - 1) n (2 n - 1 )1 6 n3= 3 .2n∫∫∫204 第九章定积分习题1 . 按定积分定义证明∫: b k d x = k( b - a) .a2 . 通过对积分区间作等分分割, 并取适当的点集{ξi } , 把定积分看作是对应的积分和的极限, 来计算下列定积分:( 1∫)nx3 d x; 提示: ∑i3 = 1 n2 ( n + 1 )20 i= 1 41 b( 2∫)e x d x; (3 ) 0be x d x; a( 4∫) d x (0 < a < b) .(提示: 取ξ= x x )a x2 i i - 1 i§2 牛顿—莱布尼茨公式从上节例题和习题看到,通过求积分和的极限来计算定积分一般是很困难的.下面要介绍的牛顿—莱布尼茨公式不仅为定积分计算提供了一个有效的方法,而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来.定理9 .1若函数 f 在[ a , b]上连续, 且存在原函数 F , 即F′( x ) = f ( x ) , x ∈[ a , b] , 则 f 在[ a , b] 上可积, 且bf ( x ) d x = F( b) - F( a) . ( 1)a这称为牛顿—莱布尼茨公式,它也常写成b bf ( x ) d x = F( x) .a a证由定积分定义, 任给ε> 0 , 要证存在δ> 0 , 当‖T‖< δ时, 有n∑i = 1f (ξi )Δx i - [ F( b) - F( a) ]< ε.下面证明满足如此要求的δ确实是存在的.事实上, 对于[ a , b] 的任一分割T = { a = x0 , x1 , , x n = b} , 在每个小区间[ x i - 1 , x i ]上对F( x) 使用拉格朗日中值定理, 则分别存在ηi ∈( x i - 1 , x i ) , i = 1 , 2 , , n , 使得nF( b) - F( a) = ∑[ F( x i ) - F( x i - 1 ) ]i = 1n= ∑i = 1nF′(ηi )Δx i = ∑i = 1f (ηi )Δx i . ( 2)因为 f 在[ a , b]上连续, 从而一致连续, 所以对上述ε> 0 , 存在δ> 0 , 当x′、1∫x∫ ∫ §2 牛顿—莱布尼茨公式205x ″∈ [ a , b ] 且 | x ′- x ″| < δ时 , 有f ( x ′) - f ( x ″) <ε.b - a 于是 , 当 Δx i ≤‖ T ‖ < δ时 , 任取 ξi ∈ [ x i - 1 , x i ] , 便有 |ξi - ηi | < δ, 这就证得n∑i = 1f (ξi )Δx i - [ F ( b) - F ( a) ]n=∑[ f (ξi) - f (ηi ) ]Δx ii = 1n≤ ∑ i = 1f (ξi ) - f (ηi ) Δx i<εn Δx = ε .·∑ i i = 1所以 f 在 [ a , b] 上可积 , 且有公式 (1 ) 成立 . 注 1 在应用牛顿—莱布尼茨公式时 , F( x ) 可由积分法求得 . 注2 定理条件尚可适当减弱 , 例如 : 1) 对 F 的要 求可 减 弱为 : 在 [ a , b] 上连 续 , 在 ( a , b) 内 可导 , 且 F ′( x ) = f ( x) , x ∈ ( a , b) .这不影响定理的证明 .2) 对 f 的要 求可 减 弱为 : 在 [ a, b] 上可 积 ( 不 一定 连 续 ) .这 时 ( 2 ) 式 仍 成 b立 , 且由 f 在 [ a , b] 上可积 , (2 ) 式右 边当 ‖ T ‖→ 0 时的 极限 就是f ( x ) d x , a而左边恒为一常数 .( 更一般的情形参见本节习题第 3 题 .)注 3 至§5 证得连续函数 必有 原函 数之 后 , 本 定理 的条 件中 对 F 的假 设 便是多余的了 .例 1 利用牛顿—莱布尼茨公式计算下列定积分 :b1∫)2∫) x n d x( n 为正整数 ) ;ae x d x; 3 ) a πd x(0 < a < b) ;a x224∫) sin x d x;5 ) 0x 4 - x 2d x . 0解 其中 1 ) — 3) 即为 §1 中 的例题和 习题 , 现在 用牛顿—莱布 尼茨公式 来 计算就十分方便 :1∫) b n + 1x n d x = a n + 1bb= 1 ( b n + 1 - a n + 1 ) .an + 12∫) e x d x = exa b= e b- e a.ab3∫)d x1 ax2= -x11a=a-b.b b - bb2∫1 22∫206 第九章 定 积 分4∫)π sin x d x = - cos xπ = 2 .( 这是图 9 - 6 所 示 正 弦 曲 线一 拱 下 的 面 积 , 其余各题也可作此联想 .)5 ) 先 用 不 定 积 分 法 求 出 f ( x ) = x 4 - x 2 的任一原函 数 , 然 后完 成定 积分 计算 :图 9 - 6∫x4 - x 2d x = - 12 4 - x 2 d (4 - x 2) = - 132 (4 - x 2 ) 3+ C,∫x 4 - x 2d x = - 1(4 - x 2 )3= 8 .33 例 2 利用定积分求极限 :lim n → ∞1n + 1 +1n + 2 ++ 1 2 n= J . 解 把此极限式化为某个积分和的极限式 , 并转化为计算定积分 .为此作如 下变形 :nJ = lim ∑1 · 1 .n → ∞ i = 11 + in n 不难看出 , 其中的和式是函数 f ( x ) = 1在区间 [ 0 , 1 ] 上 的一 个积分 和 ( 这 里 1 + x所取的是等分分割 ,Δx i =1 , ξi = i ∈ i - 1 , i, i = 1 , 2 , , n ) .所以 n n n n J =∫d x 0 1 + x= ln ( 1 + x ) = ln 2 .当然 , 也可把 J 看作 f ( x) = 1在 [1 , 2 ] 上的定积分 , 同样有x3 J =∫ d x d x 1 x =∫2 x - 1= = ln 2 .习 题1 . 计算下列定积分 :112( 1∫) ( 2 x + 3) d x; ( 2) 01 - x d x ;0 1 + x2e 21x- x( 3∫) d x ; ( 4) ex ln xπ e - e d x;0 29( 5∫)3tan x d x; ( 6)4x +1 xd x;1π ∫ xe§3 可 积 条 件207( 7∫)4d xe1 2; ( 8)( ln x) d x .01 + x12 . 利用定积分求极限 :( 1) lim 1 (1 + 23 + + n 3) ;n → ∞ n 4( 2) limn 1 + 1 + + 1;n → ∞ ( n + 1) 2 ( n + 2) 2 ( n + n )2( 3) lim n 1 + 1 + + 1 ;n → ∞ n + 1 n + 2 2 n2( 4) lim 1 sin π + sin 2π+ + sin n - 1.n → ∞ n n n n3 . 证明 : 若 f 在 [ a , b ] 上可积 , F 在 [ a , b ] 上连续 , 且除有限个 点外有 F ′( x ) = f ( x ) , 则 有bf ( x )d x = F( b) - F( a) .a§3 可 积 条 件从定理 9 .1 及其后 注 中看 到 , 要 判 别一 个 函数 是 否 可积 , 必须 研 究可 积 条件 .一 可积的必要条件定理 9 .2 若函数 f 在 [ a , b] 上可积 , 则 f 在 [ a , b] 上必定有界 . 证 用反证法 .若 f 在 [ a , b] 上 无界 , 则对 于 [ a , b] 的 任一 分割 T , 必存 在 属于 T 的某个小区间Δk , f 在 Δk 上无界 .在 i ≠ k 的各个小区间 Δi 上任意取定 ξi , 并记G =∑f (ξi)Δx i.i ≠ k现对任意大的正数 M , 由于 f 在 Δk 上无界 , 故存在 ξk ∈Δk , 使得于是有f (ξk ) > M + G Δx kn∑ i = 1f (ξi)Δ xi≥ f (ξk )Δx k - ∑f (ξi)Δ x ii ≠ k> M + G ·Δ x k -G = M .Δx k由此可见 , 对于无论多小的‖ T ‖ , 按上 述 方法 选取 点集 {ξi } 时 , 总 能使 积分 和 的绝对值大于任何预先给出的正数 , 这与 f 在 [ a, b] 上可积相矛盾 ..208 第九章 定 积 分这个定理指出 , 任何可积函数一 定是 有界的 ; 但要注 意 , 有界 函数却 不一 定 可积 .例 1 证明狄利克雷函数在 [0 , 1 ] 上有界但不可积 .D( x) =1 , x 为有理数 , 0 , x 为无理数证 显然 | D( x ) | ≤1 , x ∈ [0 , 1 ] . 对于 [0 , 1 ] 的任一分割 T , 由有理数和无 理数在 实数中的 稠密性 , 在属 于 Tnn的任一小区间 Δi 上 , 当取 ξi 全为有理数时 , ∑ D(ξi )Δx i = ∑Δ x i = 1 ; 当 取i = 1ni = 1ξi 全为无理数时 , ∑ D(ξi )Δ x i = 0 .所以不论 ‖ T ‖ 多 么小 , 只要点集 {ξi } 取i = 1法不同 ( 全取有理数或全取无理数 ) , 积分和有不同 极限 , 即 D( x) 在 [ 0 , 1] 上 不 可积 .由此例可见 , 有界是可积的必要 条件 .所 以在 以后讨 论函 数的可 积性 时 , 总 是首先假设函数是有界的 , 今后不再一一申明 .二 可积的充要条件要判断一个函数是否可积 , 固然可以根据定义 , 直接考察积分和是否能无限 接近某一常数 , 但由于积分和的复杂性和那个常数不易预知 , 因此这是极其困难 的 .下面即将给出的可积准则只与被积函数本身有关 , 而不涉及定积分的值 .设 T = {Δi | i = 1 , 2 , , n} 为对 [ a , b] 的任一分割 .由 f 在 [ a , b] 上有界 , 它 在每个 Δi 上存在上、下确界 :M i = sup f ( x) , m i =inf f ( x ) , i = 1 , 2 ,, n .x ∈ Δi作和x ∈ΔinS( T ) = ∑ i = 1nM i Δ x i , s( T) = ∑ i = 1m i Δx i ,分别称为 f 关于 分 割 T 的 上 和 与 下 和 ( 或 称 达 布 上 和 与 达 布 下 和 , 统 称 达 布和 ) .任给 ξi ∈Δi , i = 1 , 2 , , n , 显然有ns( T ) ≤ ∑i = 1f (ξi )Δ x i ≤ S ( T ) . ( 1)与积分和相比较 , 达布和只与分割 T 有关 , 而与点 集 {ξi } 无关 .由不等 式 ( 1 ) , 就 能通过讨论上和与下和当‖ T ‖→0 时的极限来揭示 f 在 [ a , b] 上是否可积 .所 以 , 可积性理论总是从讨论上和与下和的性质入手的 .定理 9 .3 ( 可积准则 ) 函数 f 在 [ a , b] 上可积的充要条件是 : 任给 ε> 0 ,i i i ii §3 可 积 条 件209总存在相应的一个分割 T , 使得S( T ) - s( T) < ε .( 2)本定理的证明依赖对上和与下和性质的详尽讨论 , 这里从略 ( 完整证明补述 于§6) .设 ω = M - m , 称为 f 在 Δ 上的振幅 , 有必要时也记为 ωf.由于 nS( T ) - s( T ) = ∑ωi Δx i ( 或记为∑ωi Δx i ) ,因此可积准则又可改述如下 :i = 1T定理 9 .3′ 函数 f 在 [ a , b] 上 可 积的 充要 条件 是 : 任 给 ε> 0 , 总存 在相 应的某一分割 T , 使得∑ωiΔx i< ε . ( 2′)T不等式 (2 ) 或 ( 2′) 的几 何意 义 是 : 若 f 在[ a , b] 上 可 积 , 则 图 9 - 7 中 包 围 曲 线 y = f ( x) 的一系列小矩形面积之和可以达到 任意 小 , 只要分割充分地细 ; 反之亦然 .三可积函数类根据可 积 的 充 要 条 件 , 我 们 证 明 下 面 一 些类 型 的 函 数 是 可 积 的 ( 即 可 积 的 充 分 条 件 ) .图 9 - 7定理 9 .4 若 f 为 [ a , b] 上的连续函数 , 则 f 在 [ a , b] 上可积 .证 由于 f 在闭区间 [ a , b] 上 连续 , 因 此在 [ a , b] 上 一致 连续 .这就 是说 , 任给 ε> 0 , 存在 δ> 0 , 对 [ a, b ] 中任意两点 x ′、x ″, 只要 | x ′- x ″| < δ, 便有f ( x ′) - f ( x ″) < ε.b - a 所以只要对 [ a , b] 所 作 的分 割 T 满足 ‖ T ‖ < δ, 在 T 所 属 的任 一 小区 间 Δi 上 , 就能使 f 的振幅满足从而导致ωi = M i - m i =sup x ′, x ″∈ Δi| f ( x ′) - f ( x ″) | ①εεb - a,∑ωiΔxi≤ b - a ∑Δ x i = ε . T T由定理 9 .2′证得 f 在 [ a , b ] 上可积 .①此 等式成 立的 证明留 作本节 习题 ( 第 5 题 ) .≤2210 第九章 定 积 分读者应该注意到 , 一致连续性在本定理证明中所起的重要作用 .定理 9 .5 若 f 是区间 [ a, b]上只有有限个间断点的有界函数 , 则 f 在 [ a, b]上可积 .证 不失一般性 , 这里只证明 f 在 [ a , b] 上仅有一个间断点的情形 , 并假 设 该间断点即为端点 b .任给 ε> 0 , 取 δ′满足 0 < δ′<ε2 ( M - m) < b - a , 其中 M 与 m 分别为 f 在[ a , b] 上的上确界与下确界 ( 设 m < M , 否则 f 为常量函数 , 显然 可积 ) .记 f 在 小区间 Δ′= [ b - δ′, b ] 上的振幅为 ω′, 则ω′δ′< ( M - m) · ε 2 ( M - m) = ε.2因为 f 在 [ a , b - δ′] 上连续 , 由 定理 9 .3 知 f 在 [ a , b - δ′] 上 可积 .再 由定 理 9 .2′( 必要性 ) , 存在对 [ a , b - δ′] 的某个分割 T ′= {Δ1 ,Δ2 ,,Δn - 1 } , 使得 ε∑ωiΔx i<.T ′令Δn =Δ′, 则 T = {Δ1 ,Δ2 ,, Δn - 1 ,Δn } 是对 [ a , b ] 的一个分割 , 对于 T , 有∑ωi Δx i = ∑ωi Δ x i + ω′δ′< ε ε2 + 2 = ε .T T ′根据定理 9 .2′( 充分性 ) , 证得 f 在 [ a , b ] 上可积 .定理 9 .6 若 f 是 [ a , b] 上的单调函数 , 则 f 在 [ a , b] 上可积 . 证 设 f 为增函数 , 且 f ( a ) < f ( b) ( 若 f ( a ) = f ( b) , 则 f 为常量 函数 , 显 然可积 ) .对 [ a , b] 的任一分割 T , 由 f 的增 性 , f 在 T 所属的 每个 小区 间 Δi 上 的振幅为ωi = f ( x i ) - f ( x i - 1 ) ,于是有n∑ωiΔx i≤ ∑[ f ( x i) - f ( x i - 1 ) ] ‖ T ‖Ti = 1= [ f ( b) -f ( a) ] ‖ T ‖ .由此可见 , 任给 ε> 0 , 只要‖ T ‖ <ε, 这时就有f ( b) - f ( a ) ∑ωiΔx i< ε,T所以 f 在 [ a , b] 上可积 .注意 , 单调函数即使有无限多个间断点 , 仍不失其可积性 .例 2 试用两种方法证明函数0 ,x = 0 ,f ( x) =1 n, 1n + 1 < x ≤ 1n, n = 1 , 2 ,∫ε2§3 可 积 条 件211在区间 [0 , 1 ] 上可积 .证 [ 证法一 ] 由 于 f 是 一增函数 ( 图 9 - 8) ,虽然它在 [0 , 1 ] 上有无限多个间断点 x n = 1, n = 2 ,n3 , , 但由定理 9 .5 , 仍保证它在 [0 , 1] 上可积 .[ 证法二 ] ( 仅利用定理 9 .2′和定理 9 .4 ) 任给ε> 0 , 由于 lim 1= 0 , 因此当 n 充分大时 1 < ε, 这n → ∞nn 2说明 f 在ε, 1 上 只 有 有 限 个 间 断 点 .利 用 定 理 29 .4 和定理 9 .2′推知 f 在ε, 1 上可 积 , 且存 在对2图 9 - 8ε2, 1 的某一分割 T ′, 使得∑ωi Δx i < . T ′再把小区间 0 , ε2与 T ′合并 , 成为对 [ 0 , 1 ] 的一 个分 割 T .由于 f 在 0 ,ε上2的振幅 ω0 < 1 , 因此得到εεε∑ωiΔx i= ω0 · 2 + ∑ωi Δx i < 2 + 2= ε .TT ′所以 f 在 [0 , 1 ] 上可积 .事实上 , 例 2 的第二种证法并不限于该例中的具体函数 , 更一般的命题见本 节习题第 4 题 .下面例 3 的证明思想与它可谓异曲同工 .例 3 证明黎曼函数f ( x ) = 1 q ,x = pq, p 、q 互素 , q > p ,在区间 [0 , 1 ] 上可积 , 且0 ,x = 0 , 1 以及 (0 , 1 ) 内的无理数1f ( x) d x = 0 . 0 分析 已 知 黎曼 函 数 在 x = 0 , 1 以 及一切无理 点处 连续 , 而 在 ( 0 , 1 ) 内 的 一 切有理点处 间断 .证 明它 在 [ 0 , 1 ] 上 可 积 的直观构思如下 : 如图 9-9所示,在黎曼函数的图象中画一条水平直线 y = ε.在2图 9 - 9此直线上方只有函数图象中有限个点 , 这些点所对应的自变量可被含于属于分割 T 的有限 个小区间 中 , 当‖ T ‖足够 小T于ε 1ε2212 第九章 定 积 分时 , 这有限个小区间的总长 可为任 意小 ; 而 T 中 其余 小区间 上函 数 的振 幅不 大2 , 把这两部分相合 , 便可证得 ∑ωi Δx i < ε .下面写出这个证明 . 证 任给 ε> 0 , 在 [0 , 1 ] 内 使得 1 > ε的有 理 点 p只 有有 限个 , 设它 们 为q2qεr 1 , , r k .现对 [ 0 , 1] 作分割 T = {Δ1 ,Δ2 , ,Δn } , 使‖ T ‖ < 2 k, 并把 T 中所有小区间分为 {Δ′i | i = 1 , 2 , , m } 和 {Δ″i | i = 1 , 2 , , n - m } 两 类 .其中 {Δ′i } 为 含有 { r i | i = 1 , 2 , , k} 中点的 所有小区 间 , 这类小 区间的个 数 m ≤ 2 k( 当所 有 r i 恰好都是 T 的分割点时才有 m = 2 k ) ; 而 {Δ″i } 为 T 中所有其余不 含 { r i } 中 点的小区间 .由于 f 在 Δ′i 上的振幅 ω′i ≤ 12 , 于是m∑ω′i Δ x ′i ≤ 1 m Δ x ′i ≤ 1 ·2 k ‖ T ‖ < ;i = 1∑i = 1ε而 f 在 Δ″i 上的振幅 ω″i ≤ 2 , 于是n - mn - mε ε∑ω″iΔ x ″i≤ i = 1把这两部分合起来 , 便证得∑Δ x ″i< .i = 1nmn - m∑ωiΔxi= ∑ω′i Δx ′i + ∑ω″i Δx ″i <ε,i = 1即 f 在 [0 , 1 ] 上可积 .i = 1i = 1因为已经证得 f 在 [0 , 1 ] 上可积 , 所 以当取 ξi 全为无 理点时 , 使 f (ξi ) = 0, 从而n∫f ( x ) d x = lim ∑ f (ξi )Δx i = 0 . 0‖ T ‖ → 0 i = 1习 题1 . 证明: 若 T ′是 T 增加若干个分点后所得的分割 , 则 ∑ω′i Δx ′i ≤ ∑ωi Δx i . T ′T2 . 证明: 若 f 在 [ a , b]上可积 , [α,β] ì [ a , b] , 则 f 在[α,β]上也可积 .3 . 设 f 、g 均为定义在[ a, b]上的有界函数 .证明:若仅在[ a, b]中有限个点处 f ( x)≠ g( x) , b b则当 f 在[ a , b ] 上可积时 , g 在[ a , b ] 上也可积 , 且∫f ( x ) d x =∫g( x )d x .aa4 . 设 f 在[ a , b] 上有界 , { a n } ì [ a , b] , lim a n = c .证明 :若 f 在 [ a , b] 上只有 a n ( n = 1 , n → ∞2 ,) 为其间断点 , 则 f 在 [ a , b] 上可积 . 5 . 证明: 若 f 在区间 Δ上有界 , 则sup x ∈Δf ( x ) - inf x ∈Δf ( x ) =sup x ′, x ″∈Δ| f ( x ′) - f ( x ″) | .2 222∫∫∫aa∫§4 定积分的性质213§4 定积分的性质一定积分的基本性质性质1 若 f 在[ a , b] 上可积, k 为常数, 则k f 在[ a , b] 上也可积, 且bk f (x ) d x = ka证当k = 0 时结论显然成立.当k≠0 时, 由于n bf ( x) d x . ( 1) an∑k f (ξi )Δx i - kJ = | k |·∑f (ξi )Δx i - J ,i = 1bi = 1其中J = f (x ) d x , 因此当 f 在[ a ,b] 上可积时, 由定义, 任给ε>0 ,存在δ> a0 , 当‖T‖< δ时,n∑i = 1 从而f (ξi )Δx i - J <ε| k |,即k f 在[ a , b] 上可积, 且bn∑i = 1kf (ξi )Δx i - kJ < ε.b∫k f ( x ) d x = kJ = ∫k f ( x) d x .a性质2 若 f 、g都在[ a , b] 上可积, 则 f ±g 在[ a , b] 上也可积, 且b b b∫[f ( x ) ±g( x ) ]d x =∫f ( x) d x ±∫g( x ) d x . ( 2)a a a证明与性质1类同,留给读者.性质1与性质2是定积分的线性性质,合起来即为b∫[αf ( x ) + βg ( x ) ]d x = ∫α其中α、β为常数. bf ( x) d x + βabg( x )d x ,a性质3 若 f 、g都在[ a , b] 上可积, 则f·g 在[ a, b] 上也可积. 证由f 、g都在[ a , b] 上可积, 从而都有界, 设A = supx ∈ [ a , b] f ( x ) , B = supx ∈ [ a , b]g( x) ,且 A > 0 , B > 0 ( 否则 f 、g中至少有一个恒为零值函数, 于是f·g 亦为零值函数, 结论显然成立) .任给ε> 0 ,由 f 、g 可积, 必分别存在分割T′、T″, 使得i ii i 2 ∑ ∑ 214第九章 定 积 分∑ωfε εi Δ x i <T ′ , ωgΔx i 2 B T ″< 2 A .令 T = T ′+ T ″( 表示把 T ′、T ″的所有分割点合并而成的一个新的分割 T ) .对于[ a , b] 上 T 所属的每一个 Δi , 有ωf · g i = sup x ′, x ″∈Δi≤supx ′, x ″∈Δ if ( x ′) g( x ′) - f ( x ″) g( x ″)[ g( x ′) · f ( x ′) - f ( x ″) +f ( x ″) · g( x ′) - g( x ″) ]≤ B ωf+ A ωg.利用§3 习题第 1 题 , 可知∑ωf ·g fgiΔx i ≤ B ∑ωi Δ x i + A ∑ωi Δx iTTT∑ωgΔx T ′T ″< B · ε 2 B + A · ε2 A= ε,这就证得 f ·g 在 [ a , b] 上可积 .b b b注意 , 在一般情形下∫f ( x ) g( x ) d x ≠∫f ( x ) d x ·∫g( x ) d x .aaa性质 4 f 在 [ a , b] 上可 积 的充 要 条件 是 : 任给 c ∈ ( a , b ) , f 在 [ a , c] 与 [ c, b] 上都可积 .此时又有等式bcb∫ f ( x ) d x =∫f ( x ) d x +∫f ( x ) d x . ( 3)aac证 [ 充分性 ] 由于 f 在 [ a , c] 与 [ c, b] 上都可积 , 故任 给 ε> 0 , 分别存 在 对 [ a , c ] 与 [ c, b ] 的分割 T ′与 T ″, 使得∑ω′i Δx ′i < T ′ ε ε , ω″i Δx ″i < . T ″2现令 T = T ′+ T ″, 它是对 [ a , b ] 的一个分割 , 且有∑ωiΔx i= ∑ω′i Δ x ′i + ∑ω″i Δx ″i <ε . TT ′T ″由此证得 f 在 [ a , b] 上可积 .[ 必要性 ] 已知 f 在 [ a , b] 上可积 , 故任给 ε > 0 , 存在对 [ a , b] 的某分割T , 使得∑ωi Δx i < ε.在 T 上再增加一个分点 c, 得到一个新的分割 T .由 §3T习题第 1 题 , 又有iΔ x i ≤ ∑ωi Δx i < ε . T *T分割 T *在 [ a, c] 和 [ c, b] 上的部分 , 分别 构成对 [ a , c] 和 [ c, b] 的分 割 , 记 为 T ′和 T ″, 则有iii*∑ω′iΔx′i ≤∑ω∑ω″iΔx″i ≤∑ω∫∫∫∫b i i i i§4 定积分的性质215*Δx * < ε,T′T **Δx * < ε.T″T *这就证得 f 在[ a , b] 与[ b, c] 上都可积.在证得上面结果的基础上最后来证明等式( 3 ) .为此对[ a , b] 作分割T , 恒使点 c 为其中的一个分点, 这时T 在[ a , c] 与[ c, b] 上的部分各自构成对[a , c] 与[ c, b]的分割, 分别记为T′与T″.由于∑f (ξi )Δx i = ∑f (ξ′i )Δx′i + ∑f (ξ″i )Δx″i ,T T′T″因此当‖T‖→0( 同时有‖T′‖→0 ,‖T″‖→0) 时, 对上式取极限, 就得到( 3) 式成立.性质4 及公式( 3 ) 称为关于积分区间的可加性.当 f ( x ) ≥0 时, (3 ) 式的几何意义就是曲边梯形面积的可加性.如图9 - 10 所示,曲边梯形AabB 的面积等于曲边梯形AacC的面积与CcbB 的面积之和.b按定积分的定义, 记号 f ( x )d x 只有当aa <b 时才有意义, 而当 a = b 或a > b 时本来是没有意义的.但为了运用上的方便, 对它作如下规定:a规定 1 当 a = b 时,令 f ( x ) d x = 0;a图9 - 10b a规定2 当 a > b 时, 令∫f ( x ) d x = -∫f ( x )d x .a b有了这个规定之后, 等式( 3) 对于a、b、c 的任何大小顺序都能成立.例如, 当 a < b < c 时, 只要 f 在[ a, c] 上可积, 则有c b b c c∫f ( x ) d x +∫f ( x) d x = ∫f ( x ) d x +∫f ( x )d x -∫f ( x) d xa c ab bb= f ( x ) d x .a性质5 设 f 为[ a , b] 上的可积函数.若f ( x) ≥0 , x ∈[ a , b] , 则bf ( x ) d x ≥0 . ( 4)a证由于在[ a , b] 上f ( x) ≥0 , 因此 f 的任一积分和都为非负.由f 在[ a , b] 上可积, 则有∫f ( x) d x = lim n ∑f (ξi )Δx i ≥0 .a ‖ T ‖ →0 i = 1i ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ 216 第九章 定 积 分推论( 积分不等式性 ) 若 f 与 g 为[ a, b]上的两个可积函数 , 且 f ( x) ≤ g( x) , x ∈ [ a , b] , 则有bb∫ f ( x ) d x ≤∫g( x ) d x .( 5)aa证 令 F( x ) = g ( x ) - f ( x ) ≥0 , x ∈ [ a , b] , 由性质 2 知道 F 在 [ a , b] 上 可积 , 且由性质 5 推得b b b 0 ≤∫F ( x ) d x =∫g( x ) d x ∫- f ( x ) d x ,aaa不等式 (5 ) 得证 .性质 6 若 f 在 [ a , b] 上可积 , 则 | f | 在 [ a , b] 上也可积 , 且bb∫ f ( x ) d x ≤∫ f ( x )d x . ( 6)aa证 由于 f 在 [ a, b ]上可积 , 故任给 ε> 0 , 存在某分割 T , 使得 ∑ωf Δx < ε.由绝对值不等式Tf ( x ′) - f ( x ″)≤ f ( x ′) - f ( x ″) ,可得 ω| f |fi ≤ωi , 于是有∑ω| f | fiΔx i ≤ ∑ωi Δ x i < ε .TT从而证得 | f | 在 [ a, b] 上可积 .再由不等式 - | f ( x ) | ≤ f ( x) ≤ | f ( x ) | , 应用 性质 5 ( 推论 ) , 即 证得不等式 (6 ) 成立 .注意 这个性质的逆命题一般不成立 , 例如1 , x 为有理数 ,f ( x ) =- 1 ,x 为无理数在 [0 , 1 ] 上不可积 ( 类似于狄利克雷函数 ) ; 但 | f ( x ) | ≡1 , 它在 [0 , 1 ] 上可积 .1例 1 求- 1f ( x) d x , 其中 f ( x) =2 x - 1 , - 1 ≤ x < 0 , e - x,0 ≤ x ≤ 1 .解 对于分段函数的定积分 , 通常利用积分区间可加性来计算 , 即1 0f ( x ) d x = - 1- 11 f ( x) d x + f ( x )d x 00 1 = (2 x - 1) d x + e - xd x- 1= ( x 2- x )0 1 + ( - e - x)- 1i∫ ∫ ∫ ∫∫∫∫∫§4 定积分的性质217= - 2 - e - 1 + 1 = - ( e - 1+ 1 ) .注 1 上述解法中取- 1f ( x ) d x =- 1(2 x - 1 ) d x , 其中被积函数在 x = 0处 的值已由原来的 f (0 ) = e - xx = 0 = 1 改为 (2 x - 1 )x = 0 = - 1 , 由 §3 习题第3 题知道这一改动并不影响 f 在 [ - 1 , 0 ] 上的可积性和定积分的值 .注 2 如 果 要 求 直 接 在 [ - 1 , 1 ] 上 使 用 牛 顿—莱 布 尼 茨 公 式 来 计 算1f ( x) d x = F(1 ) - F( - 1) , 这时 F( x) 应取怎样的函数 ? 读者可对照§ 2 习- 1题第 3 题来回答 .例 2 证明 : 若 f 在 [ a, b ] 上连续 , 且 f ( x ) ≥0∫, x ∈ [ a , b] .b f ( x) d x = 0 , 则 f ( x ) ≡0 ,a证 用反证法 .倘若有某 x 0 ∈ [ a , b] , 使 f ( x 0 ) > 0 , 则由连续函数的局部保 号性 , 存在 x 0 的某邻域 ( x 0 - δ, x 0 + δ) ( 当 x 0 = a 或 x 0 = b 时 , 则 为右 邻域 或f( x 0 )左邻域 ) , 使在其中 f ( x) ≥ 2 > 0 .由性质 4 和性质 5 推知b x - δ x + δ b∫f ( x ) d x =∫0 f ( x ) d x +∫f ( x ) d x +∫f ( x ) d xaax - δx + δx + δ≥ 0 +0 x - δf( x 0 ) 2d x + 0 =f ( x 0 )δ > 0 ,b这与假设 f ( x ) d x = 0 相矛盾 .所以 f ( x ) ≡ 0 , x ∈ [ a , b] .a注 从此例证明中看到 , 即使 f 为一非负可积函数 , 只要它在某一点 x 0 处 b连续 , 且 f ( x 0 ) > 0 , 则必有f ( x) d x > 0 . ( 至于可积函数必有连续点 , 这是一 a 个较难证明的命题 , 读者可参阅§6 习题第 7 题 .)二 积分中值定理定理 9 .7 ( 积分第 一中 值定 理 ) 若 f 在 [ a , b] 上连 续 , 则至 少 存在 一 点 ξ∈ [ a , b] , 使得bf ( x ) d x = f (ξ) ( b - a) . ( 7)a 证 由于 f 在 [ a , b] 上连续 , 因此存在最大值 M 和最小值 m .由m ≤ f ( x) ≤ M , x ∈ [ a, b] ,使用积分不等式性质得到bm ( b - a) ≤ f ( x) d x ≤ M ( b - a) ,aπ∫∫∫∫∫218 第九章 定 积 分或m ≤1bf ( x ) d x ≤ M .b - ∫a a再由连续函数的介值性 , 至少存在一点 ξ∈ [ a , b] , 使得 bf (ξ) = 1 f ( x ) d x ,( 7′)这就证得 (7 ) 式成立 .b - ∫a a积分第一中值定理的几何意 义如图 9 - 11 所示 , 若 f 在 [ a , b] 上 非 负连 续 , 则 y = f ( x ) 在 [ a , b ] 上的曲边梯形面 积等 于以 ( 7′) 所示 的 f ( ξ) 为 高 , [ a , b ] 为 底 的 矩 形 面 积 . 而 1bb - ∫af ( x) d x 则可 理 解为 f ( x ) 在 区 间 [ a, a图 9 - 11b] 上所有函数值 的平 均值 .这是 通常 有限个 数 的算术平均值的推广 .例 3 试求 f ( x) = sin x 在 [0 ,π] 上的平均值 .解 所求平均值为f (ξ) =1 sin x d x = - 1cos x = 2.π∫ππ定理 9 .8 ( 推广 的 积 分 第 一 中 值 定 理 ) 若 f 与 g 都 在 [ a , b] 上 连 续 , 且 g( x) 在 [ a , b] 上不变号 , 则至少存在一点 ξ∈ [ a , b] , 使得bf ( x) g( x) d x = f (ξ) a ( 当 g( x ) ≡1 时 , 即为定理 9 .6 .)证 不妨设 g( x) ≥ 0 , x ∈ [ a , b] .这时有bg( x) d x .( 8)amg( x ) ≤ f ( x) g( x) ≤ Mg( x) , x ∈ [ a , b] ,其中 M 、m 分别为 f 在 [ a , b ] 上的最大、最小值 .由定积分的不等式性质 , 得到 bbb∫m g( x ) d x ≤∫f ( x ) g( x ) d x ≤ M ∫g( x ) d x . aaabb若∫g( x ) d x = 0 , 则由上式知∫f ( x )g ( x ) d x = 0 , 从而对任何 ξ∈ [ a, b ] , ( 8) aab式都成立 .若 g( x) d x > 0 , 则得abf ( x) g( x) d x am ≤b g( x ) d x a≤ M .π∫∫∫∫∫∫ ∫∫§4 定积分的性质219由连续函数的介值性 , 必至少有一点 ξ∈ [ a , b] , 使得bf ( x) g( x) d x a这就证得 (8 ) 式成立 .f (ξ) = b ,g( x ) d x a 注 事实上 , 定理 9 .7 和定 理 9 .8 中的 中值 点 ξ必能在 开区 间 ( a, b) 内 取得 ( 证明留作习题 ) .积分第二中值定理将在下一节里给出 . 习 题1 . 证明: 若 f 与 g 都在 [ a , b] 上可积 , 则nblim ∑ f (ξi ) g(ηi )Δ x i =∫f ( x ) g( x )d x ,‖ T ‖ →0 i= 1a其中 ξi , ηi 是 T 所属小区间Δi 中的任意两点 , i = 1 , 2 , , n .2 . 不求出定积分的值 , 比较下列各对定积分的大小 :( 1∫) ( 2∫)11x d x 与 x 2d x; 0ππ 2 x d x 与 2sin x d x . 03 . 证明下列不等式 :π( 1)π2 <2d x 01 - 1 sin 2x212< π; 2( 2) 1 <e x1 d x < e ;( 3) 1 <∫sin xd x < π ; 0x 24 e ( 4) 3 e <eln xd x < 6 . x b4 . 设 f 在[ a , b] 上连续 , 且 f ( x) 不恒等于零 , 证明 ( f ( x) )2d x > 0 .a5 . 设 f 与 g 都在 [ a , b]上可积 , 证明M( x ) =max x ∈ [ a, b]{ f ( x) , g( x ) } , m( x ) =min x ∈ [ a, b]{ f ( x) , g( x ) }在[ a , b] 上也都可积 .6 . 试求心形线 r = a( 1 + cos θ) , 0≤θ≤2π上各点极径的平均值 .7 . 设 f 在[ a , b] 上可积 , 且在 [ a , b]上满足 | f ( x) | ≥ m > 0 .证明 1在 [ a , b]上也可积 .f8 . 进一步证明积分第一中值定理( 包括定理 9 .7 和定理 9 .8) 中的中值点 ξ∈( a , b) .∫∫∫∫9 . 证明: 若 f 与 g 都在 [ a , b] 上可积 , 且 g( x) 在 [ a , b] 上不变号 , M 、m 分别为 f ( x) 在 [ a , b ] 上的上、下确界 , 则必存在某实数 μ( m ≤μ≤ M ) , 使得b b∫f ( x ) g( x ) d x = μ∫g( x ) d x . aa bb10 . 证明 :若 f 在 [ a , b ] 上连续 , 且∫f ( x ) d x =∫x f ( x ) d x = 0 , 则在( a , b) 内至少存在aab两点 x 1 、x 2 , 使 f ( x 1 ) = f ( x 2 ) = 0 .又若 x 2 f ( x ) d x = 0 , 这时 f 在 ( a , b) 内是否至少有三a个零点 ?11 . 设 f 在 [ a , b ]上二阶可导 , 且 f ″( x ) > 0 .证明 :(1 ) f a + b ≤ 1bf ( x) d x;2 b - ∫a a(2 ) 又若 f ( x )≤0 , x ∈ [ a , b] , 则又有f ( x) ≥ 2b f ( x) d x , x ∈ [ a , b] .12 . 证明 : b - ∫a a(1 ) ln (1 + n) < 1 +1++ 1< 1 + ln n ;21 + 1 ++ 1 (2 ) lim2 nn = 1 .n →∞ln n§5 微积分学基本定理·定积分计算 ( 续 )当函数的可积性问题告一段落 , 并对定积分的性质有了足够的认识之后 , 接 着要来解决一个以前多次提到过的问题———在定积分形式下证明连续函数必定 存在原函数 . 一 变限积分与原函数的存在性设 f 在 [ a , b] 上可积 , 根据定积分的性质 4 , 对任何 x ∈ [ a , b] , f 在 [ a , x] 上也可积 .于是 , 由xΦ( x ) =f ( t ) d t , x ∈ [ a , b] ( 1)a 定义了一个以积分上限 x 为自变量的函数 , 称为变 上限的 定积分 .类似 地 , 又 可 定义变下限的定积分 :bΨ( x ) =f ( t )d t , x ∈ [ a , b] . ( 2)xΦ 与 Ψ 统称为变限积分 .注意 , 在变限积分 ( 1) 与 (2 ) 中 , 不可再把积 分变量写 成 xx ( 例如f ( x ) d x ) , 以免与积分上、下限的 x 相混淆 . a●∫ ∫∫∫ ∫∫∫ 变限积分所定义的函数有着重要的性质 .由于b f ( t ) d t = - x因此下面只讨论变上限积分的情形 .xf ( t ) d t ,b定理 9 .9 若 f 在 [ a , b] 上可积 , 则由 ( 1) 式所定 义的函 数 Φ 在 [ a , b] 上 连 续 .证 对 [ a , b] 上任一确定的点 x , 只要 x + Δx ∈ [ a , b] , 按定义式 ( 1) 有x +Δ xx x +Δ xΔΦ =∫f ( t ) d t -∫f ( t ) d t =∫ f ( t ) d t .a ax因 f 在 [ a , b] 上有界 , 可设 | f ( t ) | ≤ M , t ∈ [ a , b] .于是 , 当 Δx > 0 时有x +Δ x| ΔΦ | =xx +Δ xf ( t ) d t ≤x| f ( t) | d t ≤ M Δ x;当 Δ x < 0 时则有 |ΔΦ| ≤ M |Δx | .由此得到lim ΔΦ = 0 ,Δ x → 0即证得 Φ 在点 x 连续 .由 x 的任意性 , f 在 [ a , b] 上处处连续 .定理 9 .10 ( 原函数 存在 定理 ) 若 f 在 [ a , b] 上连 续 , 则由 ( 1) 式 所定 义 的函数 Φ 在 [ a, b] 上处处可导 , 且xΦ′( x ) = dd x f ( t ) d t =f ( x) , x ∈ [ a , b] . ( 3)a证 对 [ a , b] 上任 一确 定的 x , 当 Δx ≠ 0 且 x + Δ x ∈ [ a , b] 时 , 按 定义 式(1 ) 和积分第一中值定理 , 有ΔΦ1Δ x =Δxx +Δ xf ( t )d tx= f ( x + θΔ x ) , 0 ≤ θ≤ 1 .由于 f 在点 x 连续 , 故有Φ′( x ) = limΔΦ= lim f ( x + θΔ x ) = f ( x ) .Δ x → 0 ΔxΔ x → 0由 x 在 [ a , b] 上的任意性 , 证得 Φ 是 f 在 [ a , b] 上的一个原函数 .本定理沟通了导数 和定积分这两个 从表面看去似不相 干的概念之间 的内在 联系 ; 同时也证明了“连续函数必有原函数”这一基本结论 , 并以积分形式 ( 1) 给出 了 f 的一个原函数 .正因为定理 9 .10 的重要作用而被誉为微积分学基本定理 .此外 , 又因 f 的任意两 个 原函 数只 能相 差一 个 常数 , 所 以当 f 为连 续函 数时 , 它的任一原函数 F 必满足xF( x) =f ( t ) d t + C . a 若在此式中令 x = a , 得到 C = F( a) , 从而有。