2020版高中数学 第三章 变化率与导数 阶段训练四(含解析)北师大版选修1 -1

阶段训练四

(范围：§1～§4)

一、选择题

1．某物体的运动方程为s ＝3＋t 2，则在t ∈[2,2.1]内，该物体的平均速度为( ) A ．4.11B ．4.01C ．4.0D ．4.1 考点 题点 答案 D

解析 根据题意可得平均速度 v ＝Δs Δt ＝3＋2.12－3＋220.1

＝4.1.

2．已知函数y ＝x 2＋1的图像上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则Δy

Δx 等于( )

A ．2

B ．2＋Δx

C ．2＋(Δx )2

D ．2x

考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 B 解析 Δy Δx

＝

[1＋Δx 2＋1]－2

Δx

＝2＋Δx .

3．已知f (x )＝ln x

x

，则f ′(x )等于( )

A.1x

2

B.1x

－1

C ．1－ln x

D.1－ln x x

2

考点 导数的运算法则 题点 导数除法法则及运算 答案 D

解析 f ′(x )＝ln x

′·x －ln x ·x ′x 2

＝1

x

·x －ln x

x 2

＝

1－ln x

x

2

，故选D. 4．已知函数f (x )在R 上可导，其部分图像如图所示，设f 2－f 1

2－1

＝a ，则下列不等式正

确的是( )

A ．f ′(1)

B ．f ′(1)

C ．f ′(2)

D ．a

考点 导数的几何意义 题点 导数几何意义的理解 答案 B

解析 由图像可知，函数的增长越来越快，故函数在该点的斜率越来越大．∵f 2－f 1

2－1

＝a ，

∴f ′(1)

5．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于( ) A ．4B ．－4C ．5D ．－5 答案 A

解析 ∵f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4， ∴a ＝4.

6．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N ＋)在点(1,1)处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n 等于( ) A.1

n

B.1

n ＋1

C.

n

n ＋1

D ．1

考点 基本初等函数的导数公式 题点 常数、幂函数的导数

答案 B

解析 由y ＝x n ＋1得y ′＝(n ＋1)x n ， ∴在x ＝1处，函数y ＝x n ＋1的导数是n ＋1.

∴曲线在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)． 令y ＝0，有x ＝

n

n ＋1

，

∴x 1·x 2·…·x n ＝12×23×34×…×n n ＋1＝1

n ＋1

.

7．过点(1，－1)且与曲线y ＝x 3－2x 相切的直线方程为( ) A ．x －y －2＝0或5x ＋4y －1＝0 B ．x －y －2＝0 C ．x －y ＋2＝0

D ．x －y －2＝0或4x ＋5y ＋1＝0 考点 切线方程的求解及应用 题点 求曲线的切线方程 答案 A

解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，则y 0＝x 30－2x 0，曲线在(x 0，y 0)处的切线斜率为k ＝3x 2

0－2.当x 0＝1时，斜率为1，切线方程为x －y －2＝0；当x 0≠1时，过(1，－1)点的切线的斜率为

x 3

0－2x 0＋1

x 0－1

＝x 2

＋x 0－1＝3x 20

－2，解得x 0＝－12，斜率为－5

4

，切线方程为5x ＋4y －1＝0.故选A.

8．点P 0(x 0，y 0)是曲线y ＝3ln x ＋x ＋k (k ∈R )上一个定点，且曲线在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则实数k 的值为( ) A ．2B ．－2C ．－1D ．－4 考点 切线方程的求解及应用 题点 根据切点或切线斜率求值 答案 A

解析 y ′＝3x ＋1，令3

x 0

＋1＝4，得x 0＝1，代入切线方程得y 0＝3，代入y ＝3ln x ＋x ＋k ，得k

＝2. 二、填空题

9．函数y ＝

x －cos x

x ＋sin x

在x ＝2处的导数是________．

考点 导数的运算法则 题点 导数除法法则及运算 答案 3sin2－cos2＋12＋sin22

解析 y ′＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x －cos x x ＋sin x ′

＝

1＋sin x

x ＋sin x －1＋cos x

x －cos x

x ＋sin x 2

＝

x ＋1sin x ＋1－x cos x ＋1

x ＋sin x 2

，

所以在x ＝2处，函数y ＝x －cos x x ＋sin x 的导数为3sin2－cos2＋1

2＋sin22

.

10．已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程为y ＝1

2x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.

考点 导数的几何意义 题点 导数几何意义的理解 答案 3

解析 f (1)＝12×1＋2＝52，f ′(1)＝1

2，

故f (1)＋f ′(1)＝3.

11.如图，函数g (x )＝f (x )＋1

5x 2的图像在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝

________.

考点 题点 答案 －5

解析 因为g (5)＝f (5)＋5＝3，所以f (5)＝－2.