高二数学 抛物线的定义-标准方程及几何性质(文) 人教实验B版

高二数学抛物线的定义；标准方程及几何性质（文）人教实验B版【本讲教育信息】

一. 教学内容：

抛物线的定义；标准方程及几何性质

二. 本周学习目标

掌握抛物线的定义，标准方程，能根据条件利用待定系数法求抛物线的方程，掌握抛物线的几何性质。了解抛物线的参数方程，能根据方程讨论曲线的性质，掌握直线与抛物线的位置关系的判断方法，能够正确熟练地解决有关直线和抛物线的位置关系的一些问题。

三. 考点分析

（一）抛物线的定义：

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。

（二）

2. 抛物线标准方程中p的几何意义是：焦点到准线的距离，故p＞0

3. 抛物线的标准方程中，一次项的变量决定对称轴，一次项的符号决定开口方向。

4. 弦长公式：（1）过焦点F （

2

p

,0）的弦长：x 1，x 2分别为弦AB 的端点的横坐标，y 1,y 2分别为弦AB 的端点的纵坐标，弦|AB|＝x 1+x 2+p ，

p

BF AF 211=+，y 1y 2＝－p 2 （2）一般的弦长公式：类似于椭圆，x 1，x 2分别为弦PQ 的横坐标，y 1,y 2分别为弦PQ 的纵坐标，弦PQ 所在的直线方程为y=kx+b,代入抛物线方程整理得Ax 2+Bx+C=0,则

PQ ＝A

AC

B k

x x k 21122

212-+=-+，若y 1,y 2分别为弦PQ 的纵坐标，则PQ ＝2121

1y y k

-+

5. 斜率为k 的弦的中点的轨迹方程是：y=

k

p

,一条平行于x 轴且不包括端点在抛物线内部的射线。

6. 与焦点弦有关的一些几何图形的性质： （1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切

（2）设AB 为焦点弦，端点在准线上的射影为A 1，B 1，M 为准线与x 轴的交点，则∠AMF ＝∠BMF

（3）若P 为A 1B 1的中点，则PA ⊥PB

（4）若AO 的延长线交准线于C ，则BC 平行于x 轴，反之，若过B 点平行于x 轴的直线交准线于C 点，则A ，O ，C 三点共线。

7. 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。

【典型例题】

例1. 指出抛物线的焦点坐标、准线方程． （1）

（2）

分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中的哪一种，求出p ，再写出焦点坐标和准线方程。

（2）先把方程化为标准方程形式，再对a 进行讨论，确定是哪一种后，求p 及焦点坐标与准线方程．

解：（1）

，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：

（2）原抛物线方程为： ，

①当

时，

，抛物线开口向右，

∴焦点坐标是 ，准线方程是：

．

②当

时，

，抛物线开口向左，

∴焦点坐标是 ，准线方程是： ．

综合上述，当

时，抛物线

的焦点坐标为

，准线方程是：

．

例2. 分别求满足下列条件的抛物线的方程。 过点B （-3,2）； 焦点在直线240x y --=上

解：（1）依题意，设所求抛物线的方程为2

2

22(0)y px x py p =-=>或 ∵抛物线过点B （-3,2），代入2

2y px =-得2

3

p = 代入2

2x py =得94

p =

∴所求抛物线的方程为2

24932

y x x y =-

=或 （2）令02x y ==-得， 令04y ==得x ∴抛物线的焦点坐标为（0，-2）或（4，0）

当焦点坐标为（0，-2）时，抛物线的方程为2

8x y =- 当焦点坐标为（4，0）时，抛物线的方程为216y x =

反思：抛物线的开口方向有四种，相应的标准方程的形式也就有四种，因此，在解题时

要利用图形全面分析，防止遗漏符合题设条件的某个开口方向，从而防止遗漏符合题设条件的抛物线的标准方程。

例 3. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为

轴，抛物线上的点

到焦点的距

离等于5，求抛物线的方程和

的值。

解法一：设抛物线方程为

，则焦点为

，

由题设可得：

解得

或

故抛物线方程为

的值为

解法二：设抛物线方程为

，则焦点为

，准线方程为

.

根据抛物线定义， 到焦点的距离等于5，也就是 到准线的距离等于5，

则

因此抛物线方程为28y x =-.

又点

在抛物线上，于是

点评：解法二利用抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，既快捷又方便，要善于转化。

例4. 斜率为1的直线经过抛物线x 4y 2=的焦点，与抛物线相交于两点A 、B ，求线段。AB 的长。

由抛物线的标准方程可知，焦点为，准线方程为.

由题设，直线

的方程为：

.

代入抛物线方程

，整理得：

.

解法一：解上述方程得： ，

分别代入直线方程得：

即

坐标分别为

、

.

解法二：设

，

，则：