高中数学 1.3.1 三角函数的周期性教案苏教版必修4

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高中数学教案：三角函数的周期性

高中数学教案：三角函数的周期性教案名称：三角函数的周期性教案目标：1. 了解三角函数的定义和性质；2. 掌握正弦函数、余弦函数和正切函数的周期性；3. 能够应用周期性解决相关问题。

教学重点：1. 三角函数的周期性；2. 正弦函数、余弦函数和正切函数的周期性；3. 周期性的应用。

教学难点：1. 正弦函数、余弦函数和正切函数的周期性的理解；2. 周期性的应用和解题过程。

教学准备：1. 教师准备黑板、白板或投影仪等教学工具；2. 备好三角函数的定义和性质的PPT或教材；3. 准备相关练习题。

教学过程：Step 1：引入教师用一个实际例子，如画家在画河流的起伏曲线时，引出周期性的概念，以引发学生对周期性的思考。

Step 2：三角函数的定义和性质回顾教师通过PPT或教材的方式回顾正弦函数、余弦函数和正切函数的定义和性质，可以给出具体的函数图像以及函数值的变化规律。

Step 3：正弦函数、余弦函数和正切函数的周期性教师解释正弦函数、余弦函数和正切函数的周期性概念，并给出周期的定义。

然后，详细介绍正弦函数、余弦函数和正切函数的周期。

可以通过演示函数图像的变化来帮助学生理解。

Step 4：例题演练教师给出一些具体的例题，让学生通过观察函数图像或计算函数值等方法来判断函数的周期，并解答相应的问题。

教师可以给予提示和指导，引导学生理解和应用周期的概念。

Step 5：练习和讨论教师布置一些相关的练习题，让学生自主练习，并进行讨论和解答。

教师可以随机让学生上台解答问题，帮助学生巩固和深化对周期性的理解。

Step 6：小结和拓展教师对本节课的内容进行小结，并引导学生总结和归纳三角函数的周期性的特点和应用方法。

教师还可以拓展讲解正割函数、余割函数和余切函数的周期性。

Step 7：作业布置教师布置相关的练习题作为课后作业，巩固学生对周期性的理解和应用。

教学延伸：教师可以引导学生进行更多的实际问题应用，如舞蹈中的动作变化规律、物理中的周期性振动等，加深学生对周期性的认识和理解。

高中数学第一章第十一课时三角函数的周期性学案苏教版必修4

第十一课时三角函数的周期性教学目标：掌握函数的周期性，会求简单函数的最小正周期，掌握正弦函数、余弦函数的周期及求法；渗透数形结合思想，培养辩证唯物主义观点.教学重点：正、余弦函数的周期教学难点：函数的周期性教学过程：周期函数的定义：根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.以后如果不加特别说明，函数的周期一般都是指最小正周期正切函数是周期函数，且周期T ＝π课本P 25例1、例2一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)及y ＝A cos(ωx ＋ϕ)（其中A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0）的周期T ＝2πω ，函数y ＝A tan (ωx ＋ϕ)的周期T ＝πω周期函数应注意以下几点：1.式子f (x ＋T )＝f (x )对定义域中的每一个值都成立.即定义域内任何x ，式子都成立.而不能是“一个x ”或 “某些个x ”，另一方面，判断一个函数不是周期函数，只需举一个反例就行了.例如：由于sin(π12 ＋5π6 )＝sin π12 ，即sin(x ＋5π6 )＝sin x .该式中x 取π12时等式成立，能否断定5π6 是sin x 的周期呢?不能，因对于其他一些x 值该式不一定成立.如x ＝π6时，sin(x ＋5π6)≠sin x . ［例］函数y ＝cos x (x ≠0)是周期函数吗?2.式子f (x ＋T )＝f (T )是对“x ”而言.例如，由cos( x 3 ＋2k π)＝cos x 3 (k ∈Z )，是否可以说cos x 3 的周期为2k π呢?3.一个函数是周期函数，但它不一定有最小正周期.例如，f(x)＝a(常数)，显然任何一个正数T都是f(x)的周期，由于正数中不存在最小的数，所以周期函数f(x)＝a无最小正周期.4.设T是f(x)(x∈R)的周期，那么kT(k∈Z，且k≠0)也一定是f(x)的周期，定义规定了T为一个实常数，而不是一个变数；同时也规定了T的取值范围，只要求不为零，不要误认为T一定是π的倍数.有许多周期函数的周期中是不含“π”的，如下面几例：［例1］函数y＝sinπx的周期是［例2］［例2］函数y＝tan2πx的周期是 .［例3］若对于函数y＝f(x)定义域内的任何x的值，都有f(x＋1)＝f(x)成立，则由周期函数的定义可知，函数y＝f(x)是周期函数，且T＝1是其周期.［例4］设f(x)定义在R上，并且对任意的x，有f(x＋2)＝f(x＋3)－f(x＋4).求证：f(x)是周期函数，并找出它的一个周期.5.周期函数必须是函数，但一定要克服思维定势，认为周期性是三角函数所独有的，实质上我们学过的非周期函数f(x)(如y＝log2x，y＝｜x｜，y＝2x，y＝x2等等)将其定义域内限制在一个半开半闭区间上，经左右平移，可以延拓变为周期函数，例如将非周期函数y＝x2(x∈R)在其定义域R内限制在(－1，1］，然后将y＝x2(－1＜x≤1)的图象左、右平移，可以延拓为最小正周期为2的周期函数f(x)＝(x－2k)2(2k－1＜x≤2k＋1)，k∈Z，如图：［例］已知f(x)＝｜x｜，x∈(－1，1］，求定义在R上的一个周期为2的函数g(x)，使x∈(－1，1］时，g(x)＝f(x).评述：(1)要判定f(x)是周期函数，自变量x必须取遍定义域内的每一个值.(2)周期函数是高考中的热点，只有深层次的理解周期函数的意义，才能臻化入境，运用自如.课堂练习：课本P27练习1～4课时小结：课后作业：课本P45 习题 1。

高中苏教版数学必修4 第1章 1.3 1.3.1 三角函数的周期性课件PPT

苏教版高中数学教材必修4第1章三角函数

例8 求y＝Asin(ωx＋φ)的周期．(其中 A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0， x∈R)
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(五)课堂练习求下列三角函数的周期： (1) y＝sin(x＋3)； (2) y＝cos2x； x (3) y＝3sin(2＋5)．
a b | a || b | cos
规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 a 0 0．
（ 1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定；
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2.4向量的数量积
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一、问题情景
一个物体在力F 的作用下产生的位移 s，且F与s的夹角为θ ,那么力F 所做的功应当怎样计算？ F θ s
θ为钝角时， | b | cosθ＜0
θ为直角时， | b | cosθ=0
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数学理论
平面向量的数量积的定义已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为，我们把数量 | a || b | cos 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a ·b ，即
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（四）数学应用例1 课本P26

高中数学 1.3.1 三角函数的周期性互动课堂学案苏教版必修4(2021年整理)

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高中数学 1。

3.1 三角函数的周期性互动课堂学案苏教版必修4 疏导引导关于周期函数的概念，也可以叙述为:如果某函数对于自变量的一切值，每增加或减少一个定值（这样的值可以有很多个）,函数值就重复出现,那么这个函数就叫做周期函数.例如： sin(α+2kπ)=sinα（k∈Z ）这表明，正弦函数在定义域内,自变量每增加(k ＞0时）或减少（k ＜0时)一个定值2|k ｜π，它的函数值就重复出现，所以正弦函数是周期函数。

理解周期函数的概念要注意以下三点：①存在一个常数T≠0;②对其定义域内的每一个x 值，x+T 也属于定义域；③当x 取定义域内每一个值时，f(x+T)=f （x ）恒成立。

在理解周期函数定义时，首先要特别注意函数f(x+T)=f （x)恒成立是对f(x ）的定义域中的每一个x 值都成立,例如y=sinx （x∈R ）对于x=3π,T=3π,显然有sin(3π+3π）=sin 3π，但T=3π不是它的周期.其次应注意，周期性不是三角函数的专有性质。

利用周期函数的定义,可以推得周期函数的一个必要不充分条件：它的定义域至少一方无界.例如y=sinx,x∈［—4π，10π］就不是周期函数，而y=sinx ，x∈［2π,+∞)是只有正周期的周期函数.对于每一个周期函数f （x ），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。

苏教版数学高一苏教版必修4学案1.3.1三角函数的周期性

课堂导学三点剖析1.周期函数与周期的意义【例1】求下列三角函数的周期.（1）y=sin(x+3π);（2）y=3sin(2x +5π). 思路分析：运用周期函数的定义即可.解：（1）令z=x+3π,而sin(2π+z)=sinz, 即f(2π+z)=f(z),f ［(2π+x)+ 3π］=f(x+3π). ∴周期T=2π.(2)令z=2x +5π, 则f(x)=3sinz=3sin(z+2π) =3sin(2x +5π+2π) =3sin(524ππ++x ) =f(x+4π).∴T=4π.温馨提示理解好周期函数与周期的意义.对定义中的任意一个x 满足f(x+T)=f(x),而非某一个x 值.也可用公式T=ωπ2求周期.2.判断函数是否具有周期性和求周期【例2】求证：（1）y=cos2x+sin2x 的周期为π;(2)y=|sinx|+|cosx|的周期为2π. 思路分析：观察特征，运用定义.证明：（1）f(x+π)=cos2(x+π)+sin2(x+π)=cos(2π+2x)+sin(2π+2x)=cos2x+sin2x=f(x), ∴y=cos2x+sin2x 的周期是π. (2)f(x+2π)=|sin(x+2π)|+|cos(x+2π)|=|cosx|+|-sinx|=|sinx|+|cosx|=f(x), ∴y=|sinx|+|cosx|的周期是2π. 温馨提示“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立.可以用上式验证一个量是否是一个函数的周期.3.判断函数是否具有周期性【例3】证明y=sin|x|不是周期函数.思路分析：运用定义进行证明.证明：假设y=sin|x|是周期函数，且周期为T ，则sin|x+T|=sin|x|(x ∈R ).(1)当T≥2π时，令x=2π,得sin|2π+T| =sin|2π|⇒sin(2π+T)=sin 2π⇒cosT=1; 令x=-2π,得sin|-2π+T|=sin|-2π| ⇒sin(-2π+T)=sin 2π ⇒-cosT=1⇒cosT=-1.由此得1=-1,这一矛盾说明T≥2π不可能. (2)当T≤-2π时, 令x=x′-T 得,sin|x′-T+T|=sin|x′-T|⇒sin|x′-T|=sin|x′|,即-T 是函数的周期.但-T≥2π,由(1)知这是不可能的.(3)当-2π＜T ＜2π时, 令x=0得,sin|T|=sin|0|⇒sinT=0⇒T=0(周期不为零).由此可知原函数无周期,故y=sin|x|不是周期函数.温馨提示进一步理解定义,①存在一个常数T≠0;②当x 取定义域内每一个值时(而不是某一个),都有f(x+T)=f(x)恒成立.各个击破类题演练1求下列函数的最小正周期.（1）f(x)=3sinx;(2)f(x)=sin2x; (3)f(x)=2sin(421π+x ). 解：（1）f(x)=3sinx=3sin(x+2π)=f(x+2π),函数的最小正周期为2π.(2)f(x)=sin2x=sin(2x+2π)=sin2(x+π)=f(x+π),函数的最小正周期为π. (3)f(x)=2sin(421π+x )=2sin(421π+x +2π)＝2sin ［21(x+4π)+4π］=f(x+4π),函数的最小正周期为4π.变式提升1定义在R 上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x ∈［0,2π］时,f(x)=sinx,则f(35π)的值为（）A.21-B.21 C.23- D.23 解析：由题意:f(35π)=f(-35π)=f(-35π+2π)=f(3π)=sin 3π=23. 答案：D类题演练2设f(x)是定义在R 上以2为周期的周期函数，且f(x)是偶函数，在区间［2，3］上，f(x)=-2(x-3)2+4，求x ∈［1,2］时，f(x)的解析表达式.解：当x ∈［-3,-2］时，-x ∈［２，3］.∵f(x)是偶函数，∴f(x)=f(-x)=-2(-x-3)2+4=-2(x+3)2+4.又∵f(x)是以2为周期的周期函数，当x ∈［1,2］时，-3≤x -4≤-2,∴f(x)=f(x-4)=-2［（x-4）+3］2+4=-2(x-1)2+4.∴f(x)=-2(x-1)2+4(1≤x≤2).变式提升2定义在R 上的偶函数f(x)，其图象关于直线x=2对称，当x ∈(-2,2)时，f(x)=x 2+1，则x ∈(-6,-2)时，f(x)=__________________.解析：∵偶函数f(x)其图象关于直线x=2对称，∴f(x+4)=f(x)，f(x)是周期函数，且4是它的一个周期. 当x ∈(-6,-2),x+4∈(-2,2).∴f(x)=f(x+4)=(x+4)2+1=x 2+8x+17.答案：x 2+8x+17类题演练3证明下列函数不是周期函数.（1）y=x 3;(2)y=sinx 2.证明：（1）因为y=x 3在x ∈R 上单调，设y 取到值a,方程x 3=a 不可能有两个不同的根，因此y=x 3不是周期函数.（2）设函数y=sinx 2是周期函数，周期为T ，那么对所有的x ∈R ，sin(x+T)2=sinx 2.由x 的任意性，T=0，所以函数y 不可能是周期函数.变式提升3(1)证明f （x)=1(x ∈R )是周期函数，但没有最小正周期.证明：因为对于任意实数T≠0，都有f(x+T)=f(x)=1，所以此函数是周期函数，其周期为任意非零实数.但所有正实数中没有最小值存在,故此函数没有最小正周期.(2)偶函数f(x)的定义域为R,若f(x-1)=f(x+1)对一切x ∈R 恒成立,又当0≤x≤1时,f(x)=-x 2+4. ①求证f(x)是周期函数,并确定它的周期;②求当1≤x≤2时,f(x)的解析式.①证明：∵f(x)定义域为R 且f(x-1)=f(x+1),∴f(x+2)=f(x+1+1)=f(x+1-1)=f(x).则f(x)的一个周期为2,且2n(n ∈Z ,n≠0)都是y=f(x)的周期.②解：设1≤x≤2,则-2≤-x≤-1，因此，0≤2-x≤1,由已知有：f(2-x)=-(2-x)2+4,∵f(x)的周期为2，且为偶函数，∴f(2-x)=f(-x)=f(x).∴当1≤x≤2时，f(x)=-(2-x)2+4.。

高中数学 1.3.1 三角函数的周期性教案苏教版必修4(1)

1．3.1 三角函数的周期性(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)了解周期现象在现实中是广泛存在的；(2)理解周期函数的概念；(3)能熟练地求正、余弦函数的周期；(4)能利用周期函数定义进行简单运用．2．过程与方法通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义；发现并归纳出正弦函数、余弦函数的周期性及求法；根据周期性的定义，再在实践中加以应用．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，使学生对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，树立学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物．●重点难点重点：求函数的周期、利用周期求函数值．难点：对定义的理解及定义的简单应用．(教师用书独具)●教学建议1．教材通过对正弦线变化规律的分析以及诱导公式(一)反映的函数值关系，给出周期函数的定义，并通过具体函数——正弦函数说明周期不止一个，且给出了正弦函数、余弦函数的最小正周期；通过“探究与发现”，引导学生推导出函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的周期公式．2．关于周期函数定义的导入的教学建议教师在教学过程中多举些具有周期变化规律的实例，提高学生的学习兴趣，增强数学的应用意识．关于周期函数定义的教学，建议教师在教学过程中，讲清：(1)T为不为零的常数．(2)f(x＋T)＝f(x)是关于x的恒等式．(3)不是所有的周期函数都有最小正周期．3．关于函数y＝sin(ωx＋φ)和y＝cos(ωx＋φ)的周期的教学建议教师在教学中重视公式T＝2π|ω|的推导过程，及时训练，加强学生对公式的理解和记忆．●教学流程创设问题情境，引入周期函数的定义，并探究如何用周期性定义证明一个函数是周期函数的方法.⇒引导学生探究正、余弦函数的周期性，理解函数y＝A sinωx＋φ和函数y ＝A cosωx＋φ的周期求法.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握求三角函数周期的方法.⇒通过例2及其互动探究，归纳总结解决判断证明函数是周期函数的方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握关于函数周期性综合应用问题的解决方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.理解周期函数的定义．(难点)2．知道正弦函数、余弦函数的最小正周期．3．会求函数y ＝sin(ωx ＋φ)和y ＝cos(ωx ＋φ)的周期．(重点)周期函数的定义【问题导思】单摆运动、时钟的圆周运动、四季变化等，都具有周期性变化的规律，对于正、余弦函数是否也具有周期性？请说明你的理由．【提示】由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象．每当角增加(或减少)2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同．即有sin(2π＋x )＝sin x ，cos(2π＋x )＝cos x ．故正弦函数和余弦函数也具有周期性．(1)周期函数的定义一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零的常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期． (2)最小正周期对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f (x )的最小正周期.正、余弦函数的周期【问题导思】4π是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期吗？【提示】是的．由sin(4π＋x )＝sin x 恒成立，根据周期函数的定义，可知4π是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期．(1)正弦函数、余弦函数的周期正弦函数和余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π.(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ，ω，φ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T ＝2πω.求三角函数的周期求下列函数的周期：(1)y ＝3sin(π2x ＋π6)；(2)y ＝2cos(－x 2＋π4)；(3)y ＝|sin x |. 【思路探究】利用公式法或定义法求解即可．若ω＜0，则先用诱导公式转化为正值，再用公式求周期．【自主解答】 (1)T ＝2πω＝2ππ2＝4.(2)y ＝2cos(－x 2＋π4)＝2cos(x 2－π4)，∴T ＝2π12＝4π.(3)由y ＝sin x 的周期为2π，可猜想y ＝|sin x |的周期应为π.验证：∵|sin(x ＋π)|＝|－sin x |＝|sin x |，∴由周期函数的定义知y ＝|sin x |的周期是π.求三角函数的周期，通常有三种方法： (1)定义法．(2)公式法．对y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω≠0)，有T ＝2π|ω|.(3)观察法(图象法)．求下列函数的周期：(1)y ＝3cos(12x －π6)；(2)y ＝2cos(2x －π6)＋sin(2x ＋π4)．【解】 (1)y ＝3cos(12x －π6)中ω＝12，故T ＝4π.(2)y 1＝2cos(2x －π6)中，ω＝2，故周期T ＝π，y 2＝sin(2x ＋π4)中，ω＝2，故周期T＝π，故y ＝2cos(2x －π6)＋sin(2x ＋π4)的周期为π.函数周期性的判断设函数y ＝f (x )，x ∈R ，若函数y ＝f (x )为偶函数并且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，求证：函数y ＝f (x )为周期函数．【思路探究】要证函数y ＝f (x )是周期函数，就是要找到一个常数T (T ≠0)，使得对于任意实数x ，都有f (x ＋T )＝f (x )，可根据y ＝f (x )的奇偶性与对称性推导证明．【自主解答】由y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称得f (2a －x )＝f (x )，∴f (2a ＋x )＝f (－x )．∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， ∴f (2a ＋x )＝f (x )，∴f (x )是以2a 为周期的函数．1．判定或证明一个函数是周期函数，就是找出一个具体的非零常数T 满足f (x ＋T )＝f (x )对定义域中一切x 都成立．2．若函数f (x )对定义域内的一切实数x 满足f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f x或f (x ＋a )＝－1f x，则f (x )都是周期函数，且2a 为它的一个周期，这里a 为非零常数．将本例中的条件改为“若函数y ＝f (x )为奇函数并且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称”，求证：f (x )为周期函数．【证明】若f (x )为奇函数，则图象关于原点对称， ∴f (－x )＝－f (x )．由图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称得 f (2a －x )＝f (x )，∴f (2a ＋x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴f (4a ＋x )＝－f (2a ＋x )＝f (x )， ∴函数f (x )是以4a 为周期的函数．函数周期性的综合应用设f (x )是以1为一个周期的函数，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋1，求f (72)的值．【思路探究】 T ＝1→f 72＝f 72－1×4＝f －12→－12∈－1，0及fx ＝2x ＋1→f72＝f －12＝0 【自主解答】 f (x )是以1为一个周期的函数， ∴k ∈Z (k ≠0)也是f (x )的周期．∴f (x －k )＝f (x )，故f (72)＝f (72－4)，从而f (72)＝f (－12)．又当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋1，所以 f (72)＝f (－12)＝2×(－12)＋1＝0.1．解答此类题目的关键是利用化归的思想，借助周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解便可．2．如果一个函数是周期函数，倘若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数一个周期上的特征，再加以推广便可以得到函数在定义域内的有关性质．设函数f (x )(x ∈R )是以2为周期的函数，且x ∈[0,2]时，f (x )＝(x －1)2. (1)求f (3)；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式.【解】 (1)∵函数f (x )(x ∈R )是以2为周期的函数，且x ∈[ 0,2]时，f (x )＝(x －1)2，∴f (3)＝f (3－2)＝f (1)＝(1－1)2＝0. (2)∵f (x )的周期为2，∴当x ∈[2,4]时有f (x )＝f (x －2)，又∵x －2∈[0,2]，∴f (x －2)＝(x －2－1)2＝(x －3)2，∴f (x )＝(x －3)2.即x ∈[2,4]时，f (x )＝(x －3)2.函数周期性概念理解不透彻致误判断函数y ＝cos 4x ，x ∈[－π，π]是否为最小正周期为π2的周期函数，若不是，请说明理由．【错解】记f (x )＝cos 4x ，设T 为f (x )的周期，则f (x ＋T )＝f (x )，即cos 4x ＝cos 4(x ＋T )对任意实数x 都成立，也就是cos(μ＋4T )＝cos μ对任意实数μ都成立，其中μ＝4x ，由于y ＝cos μ的最小正周期为2π，令4T ＝2π，得T ＝π2，故函数y ＝cos 4x ，x ∈[－π，π]是最小正周期为π2的周期函数．【错因分析】导致错误的原因在于没有注意条件x ∈[－π，π]的限制，∵x ＝π时，x ＋T ∉[－π，π]，不符合周期函数的定义，即忽略了f (x )＝f (x ＋T )对任意x 都成立．【防范措施】要判断一个函数是否为周期函数，①要看定义域I ，对任意x ∈I ，有x ＋T ∈I ；②对任意x ∈I ，有f (x )＝f (x ＋T )．要说明一个函数不是周期函数或者不是以T 为周期的周期函数，只需要举一反例即可．【正解】由周期函数的定义可知，对定义域内的每一个x 值，有f (x ＋T )＝f (x )，故x ＋T 也应在定义域内，但是当x ＝π时，x ＋π2＝3π2∉[－π，π]，故函数y ＝cos 4x ，x∈[－π，π]不是周期函数．1．函数周期性的理解：(1)对于“f (x ＋T )＝f (x )”是定义域内的恒等式，即对定义域内任意一个x ，x ＋T 仍在定义域内且等式成立．(2)周期函数的周期不是惟一的，如果T 是函数f (x )的周期，那么kT (k ∈Z ，k ≠0)也一定是函数的周期．(3)并不是所有周期函数都有最小正周期．如常数函数f (x )＝C 没有最小正周期． 2．求三角函数的周期，通常有三种方法． (1)定义法；(2)公式法，对y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，且A ≠0，ω≠0)，T ＝2π|ω|；(3)观察法(图象法)．三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当方法求解，为了避免出现错误，求周期之前要尽可能将函数化为同名同角的三角函数，且函数的次数为1.1．下列说法中，正确的是________①因为sin(π－x )＝sin x ，所以π是函数y ＝sin x 的一个周期； ②因为tan(2π＋x )＝tan x ，所以2π是函数y ＝tan x 的最小正周期；③因为当x ＝π4时，等式sin(π2＋x )＝sin x 成立，所以π2是函数y ＝sin x 的一个周期；④因为cos(x ＋π3)≠cos x ，所以π3不是函数y ＝cos x 的一个周期．【解析】根据周期函数的定义容易知道①③均是错误的，同时④是正确的；对于②，我们只能得出2π是函数y ＝tan x 的一个周期，但不是最小正周期．【答案】 ④2．函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(ω＞0)的周期为π4，则ω＝________.【解析】由2πω＝π4，得ω＝8.【答案】 8 3．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且当2＜x ≤6时，f (x )＝3－x ，则f (1)＝________.【解析】 ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (1)＝f (1＋4)＝f (5)，又当2＜x ≤6时，f (x )＝3－x ，∴f (5)＝3－5＝－2，∴f (1)＝－2.【答案】－24．求下列函数的最小正周期：(1)y ＝－2cos(－12x －1)；(2)y ＝3sin(π6＋3x )；(3)y ＝4sin(ax ＋π6)(a ≠0)．【解】 (1)原函数可化为y ＝－2cos(12x ＋1)．∵ω＝12，∴T ＝2π12＝4π.(2)∵ω＝3，∴T ＝2π3.(3)当a >0时，T ＝2πa，当a <0时，y ＝－4sin(－ax －π6)，T ＝2π－a .综上可知T ＝2π|a |.一、填空题1．函数y ＝3sin(π6－32x )的周期是________．【解析】 T ＝2π|－32|＝4π3.【答案】 4π32．下列各图形是定义在R 上的四个函数的图象的一部分，其中是周期函数的有________．(填序号)图1－3－1【解析】根据周期函数图象特征可知图①②③都是周期函数；图④为一个偶函数图象，不是周期函数．【答案】 ①②③3．函数y ＝2cos(π3－ωx )(ω＜0)的最小正周期为4π，则ω＝________.【解析】由周期公式可知4π＝2π|ω|⇒|ω|＝12，由ω＜0，可知ω＝－12.【答案】－124．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈[0，π2]时，f (x )＝sin x ，则f (5π3)的值为________．【解析】 f (5π3)＝f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝32.【答案】325．已知定义在R 上的函数f (x )是以2为周期的奇函数，则方程f (x )＝0在[－2,2]上至少有________个实数根．【解析】 ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，又∵函数f (x )以2为周期， ∴f (2)＝f (－2)＝f (0)＝0，且{ f －1＝－f 1f －1＝f 1，解得f (－1)＝f (1)＝0，故方程f (x )＝0在[－2,2]上至少有5个实数根．【答案】 56．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x ＋2)＝1f x，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x ，则f (7.5)＝________.【解析】 ∵f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1fx ＋2＝f (x )， ∴T ＝4，∴f (7.5)＝f (4×2－0.5) ＝f (－0.5)＝f (0.5)＝1.【答案】 17．已知函数f (x )＝2sin(kx ＋π6)的最小正周期T ∈(1,3)，则正整数k 的取值集合是________．【解析】由题意得1＜2πk ＜3⇒⎩⎨⎧ 2πk ＞1，2πk ＜3⇒⎩⎨⎧k ＜2π，k ＞2π3，即2π3＜k ＜2π. ∵k ∈N *，∴k ＝3,4,5,6. 【答案】 {3,4,5,6}8．设函数f (x )(x ∈R )是以π为最小正周期的周期函数，且当x ∈[0，π2]时，f (x )＝sin x ；当x ∈[π2，π)时，f (x )＝cos x ，则f (113π)＝________.【解析】 ∵T ＝π，x ∈[π2，π)时，f (x )＝cos x .∴f (113π)＝f (3π＋2π3)＝f (2π3)＝cos 2π3＝cos(π－π3)＝－cos π3＝－12.【答案】－12二、解答题9．已知函数y ＝5sin(k 3x ＋π3)．(1)若函数的周期为3π，求k 的值；(2)若函数的周期不大于1，求自然数k 的最小值．【解】 (1)∵函数y ＝5sin(k 3x ＋π3)的周期T ＝2π|k3|＝3π，∴|k |＝2，∴k ＝±2.(2)∵T ≤1，∴2π|k 3|≤1，即|k |≥6π≈18.85，又k 为自然数， ∴k 的最小值为19.10．已知f (x )是周期为T (T ＞0)的周期函数，则f (2x ＋1)是否为周期函数，若是，请求出其周期．【解】 ∵f (x )＝f (x ＋T )，∴f (2x ＋1)＝f (2x ＋1＋T )＝f [2(x ＋T2)＋1]．∴周期为T2，∴f (2x ＋1)是周期为T2的周期函数．11．设f (x )是定义在R 上以6为周期的函数，f (x )在[0,3]内单调递增，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝3对称，试比较f (1.5)，f (3.5)，f (6.5)的大小．【解】如图，∵f (x )是定义在R 上以6为周期的函数，∴f (6.5)＝f (0.5)，又∵y ＝f (x )的图象关于直线x ＝3对称，∴f (3.5)＝f (2.5)，利用f (x )在[0,3]内单调递增可知，f (0.5)＜f (1.5)＜f (2.5)，即f (6.5)＜f (1.5)＜f (3.5)．(教师用书独具)若函数f (n )＝sinn π6(n ∈Z )，求f (97)＋f(98)＋f (99)＋…＋f(102)的值．【思路探究】直接求和较难，可以判断f (n )的周期性，利用周期函数在一个周期内函数值的变化情况求解．【自主解答】由题意得sin n π6＝sin(n π6＋2π)＝sin[n ＋12π6](n ∈Z )，∴f (n )＝f (n ＋12)，∵97＝12×8＋1,98＝12×8＋2，…，102＝12×8＋6， ∴f (97)＋f (98)＋f (99)＋…＋f (102) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (6)＝sin π6＋sin 2π6＋sin 3π6＋sin 4π6＋sin 5π6＋sin 6π6＝12＋32＋1＋32＋12＋0＝2＋ 3.当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究函数在一个周期内的函数值的变化情况，再给予推广求值．已知f (n )＝sin n π4，n ∈N *，则f (1)＋f (2)＋…＋f (100)的值为________．【解析】 ∵f (n )＝sin n π4，n ∈N *，∴T ＝2ππ4＝8，又f (1)＋f (2)＋…＋f (8)＝sin π4＋sin π2＋…＋sin 2π＝0，且100＝12×8＋4，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (100)＝12[f (1)＋f (2)＋…＋f (8)]＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝sin π4＋sin π2＋sin 3π4＋sin π＝2＋1.【答案】2＋1。

(新课程)高中数学第十一课时三角函数的周期性教案苏教版必修4

第十一课时三角函数的周期性教学目标：掌握函数的周期性，会求简单函数的最小正周期，掌握正弦函数、余弦函数的周期及求法；渗透数形结合思想，培养辩证唯物主义观点.教学重点：正、余弦函数的周期教学难点：函数的周期性教学过程：由单位圆中的三角函数线可知，正、余弦函数值的变化呈现出周期现象，每当角增加（或减少）2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正、余弦函数值也分别相同.即有： sin （2π＋x ）＝sin x ，cos （2π＋x ）＝cos x ，正弦函数和余弦函数所具有的这种性质称为周期性.一般地，对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期. 由此可知，2π，4π，…，－2π，－4π，…2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是这两个函数的周期.对于一个周期函数f (x )，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期.根据上述定义，可知：正弦函数、余弦函数都是周期函数,2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.以后如果不加特别说明，函数的周期一般都是指最小正周期正切函数是周期函数，且周期T ＝π课本P 26例1、例2一般地，函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)及y ＝A cos(ωx ＋ϕ)（其中A 、ω、ϕ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T ＝2πω ，函数y ＝A tan (ωx ＋ϕ)的周期T ＝πω周期函数应注意以下几点：1.式子f (x ＋T )＝f (x )对定义域中的每一个值都成立.即定义域内任何x ，式子都成立.而不能是“一个x ”或“某些个x ”，另一方面，判断一个函数不是周期函数，只需举一个反例就行了.例如：由于sin(π12 ＋5π6 )＝sin π12 ，即sin(x ＋5π6 )＝sin x .该式中x 取π12时等式成立，能否断定5π6 是sin x 的周期呢?不能，因对于其他一些x 值该式不一定成立.如x ＝π6时，sin(x ＋5π6)≠sin x . ［例］函数y ＝cos x (x ≠0)是周期函数吗?解：不是，举反例，当T ＝2π时，令x ＝－2π，则有cos(x ＋2π)＝cos(－2π＋2π)＝cos0＝1，但x ＝0，不属于题设的定义域，则x 不能取－2π，故y ＝cos x (x ≠0)不是周期函数.2.式子f (x ＋T )＝f (T )是对“x ”而言.例如，由cos( x 3 ＋2k π)＝cos x 3 (k ∈Z )，是否可以说cos x 3的周期为2k π呢?不能!因为cos( x 3 ＋2k π)＝cos x ＋6k π3 ，即cos x ＋6k π3 ＝cos x 3 (k ∈Z )，所以cos x 3 的周期是6k π，而不是2k π(k ∈Z ).3.一个函数是周期函数，但它不一定有最小正周期.例如，f (x )＝a (常数)，显然任何一个正数T 都是f (x )的周期，由于正数中不存在最小的数，所以周期函数f (x )＝a 无最小正周期.4.设T 是f (x )(x ∈R )的周期，那么kT (k ∈Z ，且k ≠0)也一定是f (x )的周期，定义规定了T 为一个实常数，而不是一个变数；同时也规定了T 的取值范围，只要求不为零，不要误认为T 一定是π的倍数.有许多周期函数的周期中是不含“π”的，如下面几例：［例1］函数y ＝sin πx 的周期是T ＝2ππ＝2. ［例2］函数y ＝tan2πx 的周期是T ＝π2π ＝12. ［例3］若对于函数y ＝f (x )定义域内的任何x 的值，都有f (x ＋1)＝f (x )成立，则由周期函数的定义可知，函数y ＝f (x )是周期函数，且T ＝1是其周期.［例4］设f (x )定义在R 上，并且对任意的x ，有f (x ＋2)＝f (x ＋3)－f (x ＋4). 求证：f (x )是周期函数，并找出它的一个周期.证明：∵f (x ＋2)＝f (x ＋3)－f (x ＋4) ①∴f (x ＋3)＝f (x ＋4)－f (x ＋5) ②①＋②得：f (x ＋2)＝－f (x ＋5) ③由③得：f (x ＋5)＝－f (x ＋8) ④∴f (x ＋2)＝f (x ＋8)即f (x )＝f (x ＋6)∴f (x )为周期函数，一个周期为6.5.周期函数必须是函数，但一定要克服思维定势，认为周期性是三角函数所独有的，实质上我们学过的非周期函数f (x )(如y ＝log 2x ，y ＝｜x ｜，y ＝2x ，y ＝x 2等等)将其定义域内限制在一个半开半闭区间上，经左右平移，可以延拓变为周期函数，例如将非周期函数y ＝x 2(x ∈R )在其定义域R 内限制在(－1，1］，然后将y ＝x 2(－1＜x ≤1)的图象左、右平移，可以延拓为最小正周期为2的周期函数f (x )＝(x －2k )2(2k －1＜x ≤2k ＋1)，k ∈Z ，如图：［例］已知f (x )＝｜x ｜，x ∈(－1，1］，求定义在R 上的一个周期为2的函数g(x )，使x ∈(－1，1］时，g(x )＝f (x ).解：由g (x )的周期性可画出g(x )的图象.如图：对于任意的x ∈R ，x 一定在周期为2的区间(2n －1，2n ＋1］内，则x －2n ∈(－1，1］. ∴g (x )＝g (x －2n )＝f (x －2n )＝｜x －2n ｜，即g (x )＝⎩⎨⎧≤<-+-+≤<-nx n n x n x n n x 212,2122,2评述：(1)要判定f (x )是周期函数，自变量x 必须取遍定义域内的每一个值.(2)周期函数是高考中的热点，只有深层次的理解周期函数的意义，才能臻化入境，运用自如.课堂练习：课本P 27 练习1～4课时小结：要初步掌握三角函数的周期性.课后作业：课本P 45 习题 1。

高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修4 1.3.1 三角函数的周期性》3

三角函数的周期性三角函数知多少正弦函数作代表赣榆区赣马高级中学李春利一、教学目标及分析1知识与技能1、了解周期函数的概念2、会判断一些简单、常见的函数的周期3、会求一些简单三角函数的周期2过程与方法1、通过组织学生从生活实际周期现象出发，逐步抽象出函数周期性的定义，不断增强学生分析问题、解决问题的能力2、通过本节的学习，归纳正弦函数、余弦函数的最小正周期，使学生进一步体会观察、比拟、归纳、分析等一般科学方法的运用3、通过对例2的学习，使学生进一步理解周期函数的定义和正弦函数、余弦函数的最小正周期，通过观察、归纳、类比方法的运用得出一般情况：3情感、态度与价值观1 通过生活实例，使学生感受周期现象的广泛存在，让学生体会数学律，体会从感性到理性的思维过程，2 在教学过程中，通过学生的相互交流，来加深对三角函数周期性的理解，让学生在亲身经历数学研究的过程中，增强学生数学交流能力，培养学生倾听、接受别人意见的优良品质。

二、学情分析三角函数是必修4整本教材的核心内容，虽然初中学生已对三角函数有了一定的了解，但那只局限在直角三角形中，对三角函数的特征还很茫然。

进入高中后学生学习了三角函数的定义，诱导公式，让学生具备了有一定能力去进行深入的研究，而周期性是三角函数的重要性质之一，在高中数学课程编排中是以三角函数为载体引出周期性这一概念的，理解三角函数周期性的本质对于函数周期性的后续学习起到至关重要的作用。

正弦、余弦函数作为最重要的两类三角函数，对其周期性的学习对后面它们的图像和性质的探究和学习起到了非常关键的作用。

因此本节课的学习至关重要。

三、教学重点和难点，教学方法分析重点：1、周期函数的概念2、求一些简单三角函数的周期难点：周期函数的概念的理解教学方法：引导发现法、观察归纳法，合作讨论法依据：为了把发现创造的时机还给学生,把成功的体验让给学生,为了立足于学生思维开展,着力于知识建构,就必须让学生有观察、动手、表达、交流、表现的时机;为了激发学生学习的积极性和创造性,分享到探索知识的方法和乐趣,使数学教学成为再发现,再创造的过程．四、教学过程〔一〕、问题情境问题1: 年复一年，日复一日，潮汐潮落、、、、、、，这些事物呈现一种什么现象？你能再举一些这样的例子吗？设计意图：是从简单的问题出发，可以让学生立即进入上课的状态。

高中数学1.3.1三角函数的周期性教案苏教版必修4

使学生对周期现象有一个初教学重周期函数定义的理解，深化研究函数性质的思想方法教学过程备课札记函数是如何刻画周期现象的呢？．在图形上让学生观察正弦线“周而复始”的变化规律，在代数式上让学生函数解析式的特点的描述，四、数学运用之间的函数关系如图1)sR上，精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

[精品教案]重点高中数学教学案必修4第09课时(三角函数的周期性)(苏教版)

1、问题：（1）今天是星期_____，则过了七天是星期______？过了十四天呢？…… （2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？2、用三角函数线研究正弦、余弦函数值：每当角增加（或减少）π2，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同，即有： _________________________；__________________________。

这种性质我们就称之为周期性。

若记x x f sin )(=，则对于任意R x ∈，都有______________。

若记x x f cos )(=，则对于任意R x ∈，都有______________。

3、周期函数的概念：一般地，对于函数)(x f ，如果存在一个非零的常数T ，使得定义域内的每一个值x ，都满足_______________________，那么函数就叫做______________，非零常数叫做这个函数的_____________________。

说明：（1）T 必须是常数，且不为零；（2）对周期函数来说()()f x T f x +=必须对定义域内的任意x 都成立。

4、最小正周期的概念：5、)cos(),sin(ϕωϕω+=+=x A y x A y 的周期：一般地，函数)sin(ϕω+=x A y 及)cos(ϕω+=x A y （其中ϕω,,A 为常数，且0,0>≠ωA ）的周期=T __________。

说明：（1）我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指的最小正周期； 6、课前练习：（1）一个周期函数的周期有_________个。

（2）试举出没有最小正周期的周期函数：__________________________________________。

（3）函数sin y x =有2sin()sin 636πππ+=，则23π______它的周期（填“是”或“不是”）（4）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，若是，周期是_____________________。

三角函数的周期性(说课)

三角函数的周期性（说课稿）江苏省常州高级中学周洁使用教材：普通高中课程标准实验教科书数学4（必修）第1章《三角函数》1.3.1 三角函数的周期性一、教材分析(一)教材内容及地位分析三角函数是描述客观世界中周期性变化规律的重要数学模型，有着广泛的实践意义和理论价值，它是学生在高中阶段学习的又一类重要的基本初等函数。

《三角函数的周期性》位于本章的第三节，通过此前两节的学习，学生对任意角、弧度以及任意角的三角函数有了基本的认识，本节开始研究三角函数的图象和性质，周期性是其中第一个研究点。

本节的主要内容包括周期函数的定义，正弦、余弦、正切函数的周期性，经过复合的三角函数的周期并形成结论。

老教材以及现行的人教版、湘教版教材关于三角函数的性质以并列的形式呈现，但事实上对于学生而言，各条性质的学习在难易程度上是有很大区别的。

必修1中学习的基本初等函数都不具备周期性，使学生没有任何经验可供类比，加之周期函数的概念比较抽象，是一个学习难点。

而对三角函数周期性的理解，又关系到后续的单调性等性质的学习。

因此，苏教版教材的编排顺序突出了三角函数周期性的地位，更符合学生的认知规律。

另一方面，在整个高中数学的学习中，周期性与单调性、奇偶性相比，无论是出现的频率还是知识的综合程度，要求都不高，因此，从课本内容的编排来看，并没有过多地纠缠于周期函数这一抽象的概念，而是偏重于对具体的三角函数周期性的认识，并且形成了相应的结论，今后只需直接用结论即可，因此，在教学中，教师应注意教学重心的把握。

(二)教学目标了解周期函数的概念，会判断一些简单的、常见的函数的周期性，并会求一些简单三角函数的周期。

根据学生的生活经验创设情境，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，从具体到抽象建立周期函数的概念，研究三角函数的周期，体会数形结合和化归转化的数学思想方法。

使学生感受到数学与生活的密切了解，体会从感性到理性的思维过程，培养学生勇于探索、勤于思考的科学素养。

高中数学苏教版必修4教案：第一章三角函数第9课时 1.3.1三角函数的周期性

第九课时 §1.3.1 三角函数的周期性【教学目标】一、知识与技能：1.理解周期函数、最小正周期的定义；2.会求正、余弦函数的最小正周期。

二、过程与方法通过对周期的定义的理解，对熟悉正余弦函数的有关图象与性质有着重要作用三、情感态度价值观：通过周期定义的理解，使学生认识到事物之间的相互联系关系。

教学重点难点：函数的周期性、最小正周期的定义【教学过程】一、创设情景，提出问题1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：正弦函数()sin f x x =性质如下：––π2π 2π-2π5ππ-2π-5π- O x y1 1-文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；符号语言：当x 增加2k π（k Z ∈）时，总有(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==．也即：（1）当自变量x 增加2k π时，正弦函数的值又重复出现；（2）对于定义域内的任意x ，sin(2)sin x k x π+=恒成立。

余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。

二、新课讲解： 1．周期函数的定义：对于函数()f x ，如果存在一个非零常数．．．．T ，使得当x 取定义域内的每一个值．．．．时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

说明：（1）T 必须是常数，且不为零；（2）对周期函数来说()()f x T f x +=必须对定义域内的任意x 都成立。

【思考】（1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin()sin 636πππ+=，能否说23π是它的周期？（2）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k π，k Z ∈且0k ≠）（3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ，*k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？（是，其原因为：()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+）2．最小正周期的定义：对于一个周期函数()f x ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的最小正周期。

高中数学：1.3.1 三角函数的周期性教案(苏教版必修4)

第8 课时： 1.3.1 三角函数的周期性【三维目标】：一、知识与技能1.了解周期函数的概念，会判断一些简单的、常见的函数的周期性，并会求一些简单三角函数的周期。

2.了解周期现象在现实中广泛存在；感受周期现象对实际工作的意义；3．培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力。

二、过程与方法1.从自然界中的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景（现实原型）的分析、概括与抽象、建立周期函数的概念，再运用数学方法研究三角函数的性质，最后运用三角函数的性质去解决问题。

2.通过创设情境：单摆运动、时钟的圆周运动、潮汐、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；从数学的角度分析这种现象，就可以得到周期函数的定义；根据周期性的定义，再在实践中加以应用。

三、情感、态度与价值观1. 培养数学来源于生活的思维方式，体会从感性到理性的思维过程，理解未知转化为已知的数学方法。

2.通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物。

【教学重点、难点与关键】：重点：周期函数的定义和正弦、余弦、正切函数的周期性难点：周期函数的概念的理解关键：通过实例分析来认识周期和周期函数【学法与教学用具】：1.学法：数学来源于生活，又指导于生活。

在大千世界有很多的现象，通过具体现象让学生通过观察、类比、思考、交流、讨论，感知周期现象的存在。

并在此基础上学习周期性的定义，再应用于实践。

2.教学用具：实物、图片、投影仪【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1. 每年都有春、夏、秋、冬，每星期都是从星期一到星期日，地球每天都绕着太阳自转，海水会发生潮汐现象，大约在每一昼夜的时间里，潮水会涨落两次，公共汽车沿着固定线路一趟又一趟地往返……，这一些都给我们循环、重复的感觉，可以用“周而复始”来描述，这就叫周期现象。

高中数学第1章三角函数 1.3.1 三角函数的周期性教学

1．3.1 三角函数的周期性整体设计教学分析三角函数的周期性是在学习了三角函数的概念之后研究的，教材中，为学习三角函数的图象和性质提供了问题背景，因此，教学时要充分运用这些问题背景以突出本章“建立刻画周期性现象的数学模型”这一主题．周期函数的定义是教学中的一个难点．在教学中，可以从“周而复始的重复出现”出发，一步步地使语言精确化，通过“每隔一定时间出现”“自变量每增加或减少一个值，函数值就重复出现”等，逐步抽象出函数周期性的定义．教学中可以引导学生通过对三角函数实例的具体分析，帮助认识周期以及周期函数．因为在本节中，我们讨论的主题是三角函数的周期性，这一点更重要，在教学中不要对一般的周期函数作过多的讨论．三角函数的最小正周期是指三角函数所有周期中的最小正数．对于正弦函数、余弦函数的最小正周期是2π的结论，可以组织学生通过观察三角函数线的变化进行验证，进而通过本节“链接”中的内容了解其证明过程．不论是周期，还是最小正周期，都是对自变量x 而言的，是自变量x 的改变量．这一点正是解决例2的根据．教学时根据学生的实际，可以组织学生仿照例2推导出函数y ＝Asin(ωx＋φ)的周期为2πω这一结论．三维目标1．通过创设情境，如单摆运动、波浪、四季变化等，让学生感知周期现象；理解周期函数的概念；能熟练地求出简单三角函数的周期，并能根据周期函数的定义进行简单的拓展运用．2．通过本节的学习，使同学们对周期现象有一个初步的认识，感受生活中处处有数学，从而激发学生的学习积极性，培养学生学好数学的信心，学会运用联系的观点认识事物，并通过本节的学习，使学生进一步了解从特殊到一般的认识世界的科学方法，提高认识世界的能力和思维层次，为今后认识世界和探索世界打下坚实的基础．重点难点教学重点：周期函数定义的理解，深化研究函数性质的思想方法．教学难点：周期函数概念的理解，最小正周期的意义及简单的应用．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.人的情绪、体力、智力都有周期性的变化现象，在日常生活和工作中，人们常常有这样的自我感觉，有的时候体力充沛，心情愉快，思维敏捷；有的时候却疲倦乏力，心灰意冷，反应迟钝；也有的时候思绪不稳，喜怒无常，烦躁不安，糊涂健忘，这些感觉呈周期性发生，贯穿人的一生，这种有规律性的重复，我们称之为周期性现象．请同学们举出生活中存在周期现象的例子，在学生热烈的争论中引入新课．思路2.取出一个钟表，实际操作，我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这是一种周期现象．我们这节课要研究的主要内容就是周期现象与周期函数．那么我们怎样从数学的角度研究周期现象呢？在图形上让学生观察正弦线“周而复始”的变化规律，在代数式上让学生思考诱导公式：sin(x＋2kπ)＝sinx又是怎样反映函数值的“周而复始”的变化规律的．要求学生用日常语言叙述这个公式，通过对图象、函数解析式的特点的描述，使学生在理解周期性的基础上，进而理解“周而复始”变化的代数刻画，由此引出周期函数的概念．推进新课新知探究周期函数的定义由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象．每当角增加(或减少)2π时，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同．即有sin(2π＋x)＝sinx，cos(2π＋x)＝cosx.正弦函数和余弦函数所具有的这种性质称为周期性．若记f(x)＝sinx，则对于任意x∈R，都有f(x＋2π)＝f(x)．这又启发我们思考：如何用数学语言刻画函数的周期性？教师在引入正式定义之前，可以引导学生先从不同角度进行描述．例如：对于函数f(x)，自变量每增加或减少一个定值(这样的定值可以有很多个)，函数值就重复出现，那么这个函数就叫做周期函数．教师可以引导点拨学生从诱导公式进行描述．例如：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cosα，k∈Z.这表明，正弦函数、余弦函数在定义域内自变量每增加(k>0时)或减少(k<0时)一个定值2kπ，它的函数值就重复出现，所以正弦函数、余弦函数都是周期函数．还可以通过类比奇函数、偶函数、周期函数的研究方法来加深理解周期性概念．如果函数f(x)对于其定义域内的每一个值，都有：f(－x)＝－f(x)，那么f(x)叫做奇函数；f(－x)＝f(x)，那么f(x)叫做偶函数；f(x ＋T)＝f(x)，其中T 是非零常数，那么函数f(x)叫做周期函数．从上述定义可以看到，函数的性质是对函数的一种整体考查结果，反映了同一类函数的共同特点，它们可以从代数角度得到统一刻画．定义：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z 且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.由诱导公式易知，2π是正弦函数的一个周期，下面用反证法证明2π是它的最小正周期．假设0<T<2π，且T 是正弦函数的周期，则对任意实数x ，都有sin(x ＋T)＝sinx 成立．令x ＝0，得sinT ＝0，又0<T<2π，故T ＝π，从而对任意实数x ，都有sin(x ＋π)＝sinx 成立，与sin(π2＋π)≠sin π2矛盾，故正弦函数没有比2π小的正周期．由此可知，2π是正弦函数的最小正周期．学生一时可能难于理解周期的代数刻画．教师在引导学生阅读、讨论、思考问题时可多举一些具体例子，以使抽象概念具体化．如常数函数f(x)＝c(c 为常数，x∈R )是周期函数，所有非零实数T 都是它的周期．同时应特别强调：(1)对周期函数与周期定义中的“当x 取定义域内每一个值时”这句话，要特别注意“每一个值”的要求．如果只是对某些x 有f(x＋T)＝f(x)，那么T 就不是f(x)的周期．例如，分别取x 1＝2kπ＋π4(k∈Z )，x 2＝π6，则由sin(2kπ＋π4＋π2)＝sin(2kπ＋π4)，sin(π6＋π2)≠sin π6，可知π2不是正弦函数的周期．又如sin(30°＋120°)＝sin30°，但不是对所有x 都有f(x ＋120°)＝f(x)，所以120°不是f(x)的周期．(2)从上述定义还可以看到周期函数的周期不惟一，例如2π，4π，6π，8π，…都是它的周期，有无穷多个，即2kπ(k∈Z ，k≠0)都是正弦函数的周期．这一点可以从周期函数的图象上得到反映，也可以从代数上给以证明：设T 是函数f(x)的周期，那么对于任意的k∈Z ，k≠0，kT 也是函数f(x)的周期．(3)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期．但周期函数不一定存在最小正周期，例如，对于常数函数f(x)＝c(c为常数，x∈R)，所有非零实数T都是它的周期，由于T可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小值，即最小正数是不存在的，所以常数函数没有最小正周期．(4)正弦函数中，正周期无穷多，2π是最小的一个，在我们学习的三角函数中，如果不加特别说明，教科书提到的周期，一般都是指最小正周期．对问题②，教师要指导学生紧扣定义，可先出一些简单的求周期的例子，如：若T是f(x)的周期，那么2T、3T、…呢？怎样求？实际上，由于T是f(x)的周期，那么2T、3T、…也是它的周期．因为f(x＋2T)＝f(x＋T＋T)＝f(x＋T)＝f(x)．这样学生就会明白，数学中的周期函数，其实就是在独立变量上加上一个确定的周期之后数值重复出现的函数．示例应用例1见课本本节例1.例2判断函数f(x)＝2sin2x＋|cosx|，x∈R的周期性．如果是周期函数，最小正周期是多少？活动：本例的难度较大，教师可引导学生从定义出发，结合诱导公式，寻求使f(x＋T)＝f(x)成立的T的值．学生可能会很容易找出4π、2π，这的确是原函数的周期，但是不是最小正周期呢？教师引导学生选其他几个值试试．如果学生很快求出，教师给予表扬鼓励；如果学生做不出，教师点拨学生的探究思路，充分让学生自己讨论解决．解：因为f(x＋π)＝2sin2(x＋π)＋|cos(x＋π)|＝2sin2x＋|cosx|＝f(x)，所以原函数是周期函数，最小正周期是π.点评：本题能很容易判断是周期函数，但要求的是“最小正周期”，那就要多加小心了．虽然将4π，2π带入公式后也符合要求，但还必须进一步变形，即f(x)中的x以x＋π代替后看看函数值变不变．为此需将π，π2等都代入试一试．实际上，f(x)＝2sin 2x ＋|cosx|，x∈R 中，学生应看到平方与绝对值的作用是一样的，与负号没有关系．因而π肯定是原函数的一个周期．知能训练课本本节练习1～4.作业1．课本习题1.3 1.2．预习正弦函数、余弦函数的图象．设计感想1．本节课的设计思想是：在学生的探究活动中突破正弦、余弦函数的周期性这个教学难点．如果学生一开始没有很好的理解，那么以后有些题不管怎么做都难受．通过探究让学生找出周期这个规律性的东西，并明确知识依附于问题而存在，方法为解决问题的需要而产生．将周期性概念的形成过程自然地贯彻到教学活动中去，由此把学生的思维推到更高的广度．2．本节设计的特点是从形(单位圆)到数、由特殊到一般、由易到难，这符合学生的认知规律；让学生在探究中积累知识，发展能力，对形成科学的探究未知世界的严谨作风有着良好的启导．但由于学生知识水平的限制，本节不能扩展太多，建议让学有余力的学生继续探讨函数的周期性的规律及一般三角函数的周期的求法．3．根据本节课的特点可考虑分层推进、照顾全体．对优等生，重在引导他们进行一题多解，多题合一，变式思考的训练，培养他们求同思维、求异思维能力，以及思维的灵活性、深刻性与创造性，鼓励他们独立思考，勇于探索，敢于创新，对正确的要予以肯定，对暴露出来的问题要及时引导、剖析纠正，使课堂学习成为再发现再创造的过程．备课资料一、关于周期函数与函数的周期周期性是函数的一条特殊而有趣的性质，在高中数学中仅三角函数与周期数列的通项公式中涉及到周期函数，对一般的周期函数未作重点讨论．下面对周期函数的定义、性质、周期函数和非周期函数的判定，进行一些简单的扩展说明，以吸引有兴趣的学生对周期函数作进一步的探讨．1．性质：(1)若T(T≠0)是函数f(x)的周期，则－T 也是f(x)的周期．〔因f[x ＋(T －T)]＝f[x ＋(－T)]＝f(x)〕因而周期函数必定有正周期．(2)若T(T≠0)是f(x)的周期，则nT(n 为任意非零整数)也是f(x)的周期．(3)若T 1与T 2都是f(x)的周期，则T 1±T 2也是f(x)的周期．〔因f[x ＋(T 1±T 2)]＝f(x ＋T 1)＝f(x)〕(4)如果f(x)有最小正周期T*，那么f(x)的任何正周期T 一定是T*的正整数倍．(5)周期函数f(x)的定义域M 必定是双方无界的集合，但M 并非必定是(－∞，＋∞)．2．周期函数的判定(1)若f(x)是在数集M 上以T*为最小正周期的周期函数，则kf(x)＋c(k≠0)和1f x分别是数集M 和数集{x|f(x)≠0}上的以T*为最小正周期的周期函数．(2)设f(u)是定义在数集M 上的函数，u ＝g(x)是数集M 1上的周期函数，且当x∈M 1时，g(x)∈M，则复合函数f[g(x)]是M 1上的周期函数．(3)设f 1(x)、f 2(x)都是集合M 上的周期函数，T 1、T 2分别是它们的周期，若T 1T 2∈Q ，则它们的和、差与积也是M 上的周期函数，T 1与T 2的公倍数为它们的周期．例如：f(x)＝sinx －2cos2x ＋sin4x 是以2π、π、π2的最小公倍数2π为周期的周期函数．3．非周期函数的判定(1)若f(x)的定义域有界，则f(x)不是周期函数．例如：f(x)＝cosx(x≤10)不是周期函数．(2)一般用反证法证明．例如：可证f(x)＝sinx 2是非周期函数；f(x)＝ax ＋b(a≠0)是非周期函数．(3)根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T 在关系式f(x ＋T)＝f(x)中是与x 无关的，故讨论时可通过解关于T 的方程f(x ＋T)－f(x)＝0，若能解出与x 无关的非零常数T ，便可断定函数f(x)是周期函数，若这样的T 不存在，则f(x)为非周期函数．4．求周期函数的周期关于求三角函数最小正周期的问题，是三角函数的重点和难点，教科书和各种教参中虽有讲解，但其涉及到的题目类型及解决方法并不多，学生遇到较为复杂一点的问题时，往往不知从何入手．本节涉及的求周期的方法可概括为定义法、公式法，其他还有转化法、最小公倍数法、图象法等．二、备用习题1．求下列函数的周期：①y＝cos2x ；②y＝sin 23x ；③y＝12sin(14x －π3)；④y＝|sin 12x|. 2．已知函数y ＝2cos(π3－ωx)的周期是4π，求ω. 3．已知函数f(x)＝3sin(kx 5＋3)(k≠0)的最小正周期不大于1，则最小正整数k 的值为( )A ．33B ．32C ．31D ．304．下列函数中不是周期函数的是( )A ．y ＝－8π B．y ＝|cosx|C ．y ＝1|sinx|D ．y ＝sin|x| 5．求证：y ＝cos2x ＋sin2x 的周期为π.6．求函数y ＝|sinx|＋|cosx|的最小正周期．参考答案：1.①π；②3π；③8π；④2π.2．ω＝±12. 3.B 4.D 5．证明：f(x ＋π)＝cos2(x ＋π)＋sin2(x ＋π)＝cos(2π＋2x)＋sin(2π＋2x)＝cos2x ＋sin2x ＝f(x)，∴y＝cos2x ＋sin2x 的周期是π.(一般不要求证明是最小正周期)6．解：函数y ＝|sinx|＋|cosx|的图象如图1所示，由图可知：函数的最小正周期为T ＝π2.图1。

1.3.三角函数的周期性-苏教版必修4教案

1.3.三角函数的周期性-苏教版必修4教案一、教学目标1.理解三角函数的周期性概念，掌握正弦函数、余弦函数的基本周期的计算方法；2.了解正切函数、余切函数的周期性特点，掌握其图像变化规律；3.能够运用三角函数的周期性解决实际问题。

二、教学重点1.正弦函数、余弦函数的基本周期的计算方法；2.正切函数、余切函数的周期性特点和图像变化规律。

三、教学难点1.运用三角函数的周期性解决实际问题。

四、教学过程1. 概念讲解1.周期性概念：定义正弦函数和余弦函数的周期的概念，引导学生从函数图像出发，自行寻找规律，并介绍周期函数的相关定义；2.基本周期：给出正弦函数、余弦函数的基本周期的计算方法，并通过具体例题演示如何计算。

2. 特点与规律1.正切函数和余切函数的周期性特点：给出正切函数和余切函数的周期性特点，并通过具体例题演示如何计算；2.图像变化规律：根据函数的周期性特点，讲解正切函数和余切函数的图像变化规律，并通过绘制函数图像加深学生的理解。

3. 运用解题1.运用三角函数的周期性解决实际问题：通过实际问题的分析，引导学生发现问题中的周期性特点，并通过运用三角函数的周期性进行解决。

五、讲评及作业布置1.讲评：对教学过程中的重点知识点进行讲解和梳理，确保学生对知识点的掌握情况；2.作业布置：布置相关的课后作业和习题。

六、教学反思通过本节课的教学，学生对三角函数的周期性有了更深刻的理解，能够更好地掌握正弦函数和余弦函数的基本周期的计算方法，也了解了正切函数、余切函数的周期性特点和图像变化规律。

在教学中，我采用了讲解、演示和练习的方式，不断加深学生的理解和掌握程度。

但是，教学中也存在一些问题，需要在今后的教学中予以改进，如布置的作业量过多，学生完成较为困难。

「精品」苏教版高中数学必修四课件1.3.1三角函数的周期性-精品资料

高中数学必修4
Zxxk
姓名：史记祥单位：姜堰市第二中学
一、问题情境
1．情境：取出一个钟表，实际操作，我们发现钟表上的时针、分针和秒针每经过一周就会重复，这是一种周期现象.你能举出现实生活中还有哪些现象也具有周期性?
2.问题：三角函数是如何刻画周期现象的呢？
二、学生活动
1．在图形上让学生观察正弦线“周而复始”的变化规律，在代数式上让学生思考诱导公式又是怎样反映函数值的“周而复始”的变化规律的.
(4)设f (x)是定义在R上，以2为周期的函数当x (1,1)时，f (x) x2 （1）求x (1,3)时,f (x)的表达式；（2）求f (3.5)及f (3.5)的值．
精心制作，敬请观赏
五、课堂小结
本节课学习了以下内容： 1．周期函数的概念，最小正周期； 2．三角函数的周期公式.
h/mmLeabharlann 605550 50
45
40
35
30
25
20 20
15
10 10
5
o
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
2
3
t/s
四、数学运用
Zxxk
(1) f (x) cos 2x
(2) f (x) 2sin(1 x )
26
2．练习.
(1)第25页练习1，判断说法正误． (2)第26页练习2，求函数的周期． (3)第26页练习3，三角函数周期性的简单应用．
3．函数y＝Asin(ωx＋φ）及y＝Acos(ωx＋φ）(A,ω,φ为常数，且A≠0）的周期（掌握公式）．
4．2π是正弦函数的最小正周期的简单证明介绍．

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1.3.1 三角函数的周期性
一、课题：三角函数的周期性
二、教学目标：1.理解周期函数、最小正周期的定义；
2.会求正、余弦函数的最小正周期。

三、教学重、难点：函数的周期性、最小正周期的定义。

四、教学过程：（一）引入：
1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……
（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？
2自变量x 2π- 32π-
π- 2
π- 0 2π
π 32
π
2π 函数值sin x
0 1 0 1- 0
1
1- 0
正弦函数()sin f x x =性质如下：
文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；
符号语言：当x 增加2k π（k Z ∈）时，总有(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==．也即：（1）当自变量x 增加2k π时，正弦函数的值又重复出现；（2）对于定义域内的任意x ，sin(2)sin x k x π+=恒成立。

余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。

（二）新课讲解： 1．周期函数的定义
对于函数()f x ，如果存在一个非零常数．．．．T ，使得当x 取定义域内的每一个值．．．．时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

说明：（1）T 必须是常数，且不为零；
（2）对周期函数来说()()f x T f x +=必须对定义域内的任意x 都成立。

【思考】
（1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin(
)sin 636π
ππ+
=，能否说23
π是它的周期？
（2）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k π，k Z ∈且
0k ≠）
（3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ，*
k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？（是，其原因为：()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+L ）
2．最小正周期的定义
对于一个周期函数()f x ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小
的正数就叫做()f x 的最小正周期。

– –
π 2
π 2π- 2π 5 π- 2π- π-
O x y 1 1-
说明：（1）我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指的最小正周期；
（2）从图象上可以看出sin y x =，x R ∈；cos y x =，x R ∈的最小正周期为2π；（3）【判断】：是不是所有的周期函数都有最小正周期？（()f x c =没有最小正周期）
3．例题分析：
例1：求下列函数周期：
（1）3cos y x =，x R ∈；
（2）sin 2y x =，x R ∈；
（3）12sin()26
y x π
=-
，x R ∈．
解：（1）∵3cos(2)3cos x x π+=， ∴自变量x 只要并且至少要增加到2x π+，函数3cos y x =，x R ∈的值才能重复出现，所以，函数3cos y x =，x R ∈的周期是2π．（2）∵sin(22)sin 2()sin 2x x x ππ+=+=，
∴自变量x 只要并且至少要增加到x π+，函数sin 2y x =，x R ∈的值才能重复出现，所以，函数sin 2y x =，x R ∈的周期是π．
（3）∵1112sin(2)2sin[()]2sin()262626
x x x πππ
ππ-+=+-=-，
∴自变量x 只要并且至少要增加到x π+，函数sin 2y x =，x R ∈的值才能重复出现，所以，函数sin 2y x =，x R ∈的周期是π．说明：（1）一般结论：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R
∈（其中,,A ωϕ 为常数，且0A ≠，0ω>）的周期2T π
ω
=；
（2）若0ω<，例如：①3cos()y x =-，x R ∈；②sin(2)y x =-，x R ∈；
③12sin()2
6
y x π
=--，x R ∈．
则这三个函数的周期又是什么？
一般结论：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈的周期2||
T πω=．例2：求下列函数的周期：
（1）sin(
)32y x π
π
=-
；（2）33cos
cos sin sin 2222
x x x x y =+；
（3）sin cos y x x =+；（4）22cos sin 22
x x y =-；（5）2cos y x =．
解：（1）24||2T π
π==-，∴周期为4；
（2）333cos cos sin sin cos()cos 222222
x x x x x x
y x =+=-=，∴周期为2π；（3
）cos sin sin()4
y x x x π
=-=- ∴周期为2π；
（4）2
2sin
cos cos 22
x x
y x =-=-，∴周期为2π；（5）2
111cos (1cos 2)cos 2222
y x x x ==-=-+，∴周期为π．
说明：求函数周期的一般方法是：先将函数转化为sin()y A x ωϕ=+的形式，再利用公式
2T π
ω
=
进行求解。

五、课堂练习：求下列函数的周期：
（1）sin3y x =，x R ∈；（2）cos
3x y =，x R ∈；（3）3sin 4
x
y =，x R ∈；
（4）sin()10y x π=+，x R ∈；（5）cos(2)3y x π=+，x R ∈；（6）1sin()24
y x π=-，
x R ∈．
六、小结：1.周期函数、最小正周期的定义 2. sin()y A x ωϕ=+型函数的周期的求法。