1.2.2组合(二)组合数的两个性质
人教版《组合数的性质》课件(共22张PPT)
性质2：(2)
Cm n1
Cnm
C m1 n
说明：
1.原理：从n+1个不同元素中取出m个元素的组合等于取 到元素a1的组合数与未取到元素a1的组合数之和.
组合数的两个性质
(1)Cnm
C n-m n
(2)Cnm1
Cnm
C m1 n
练习
1.已知 C1x0
C 3x6 10
，则
x
3或4
；
2.若 Cn8 Cn2 ，则 n
10
；
3.计算： C82 C83 C92
120
；
变式： C33 C43 C53 C130 330
4.解不等式： Cmm4
C m6 m1
C6 m1
(4)
有限制条件的组合问题
例1.在一次数学竞赛中，某学校有12人 通过了初试，学校要从中选出5人参加市 级培训.在下列条件下，各有多少种不同 的选法？ (1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有一人参加.
排列
联系
组合
组合是选择的结果； 排列是先选择后再排序的结果
组合的概念 组合数公式 组合数性质
1.组合公式
（1）
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L m!
(n m 1)
（2）
Cnm
n! m!(n m)!
2.组合数的性质
性质1:
Cm n
C nm n
性质2
:
Cm n1
Cm n
C m1 n
人教A版选修2-3 第一章
1.2.2 组合
第二课时 组合数的性质
高中数学选修2-3优质三段式学案1：1.2.2 组合(2)
高中数学选修2-3学案1.2.2组合（2）一、学习目标：1．掌握带有较复杂限制条件的组合问题的处理方法；2．掌握分组分配问题的处理方法．学习重点：带有较复杂限制条件的组合问题的处理方法；分组分配问题的处理方法．二、基本知识：1、组合的定义：2、组合数公式：3、组合与排列的区别：4、组合数的两个计算性质：三、典型例题例1、在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加；(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加；(5)甲、乙、丙三人至少1人参加．例2、(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？四、课堂练习1.从4名男生，2名女生中，选2人参加某项活动，至少有一名女生参加的选法有________种．2.从正方体ABCD－A′B′C′D′的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点，可得到的不同的四面体的个数为________．3．(2013·课标全国卷)从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n＝________.学习笔记高中数学选修2-3学案学习笔记4．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有________．5.“抗震救灾，众志成城”，在我国“四川5·12”抗震救灾中，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴赈灾前线，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？——★参考答案★——例1.解：(1)512C ＝792(种)不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有29C ＝36(种)不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有59C ＝126(种)不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选1人，有13C ＝3(种)选法，再从另外的9人中选4人有49C 种选法，共有1439C C ＝378(种)不同的选法． (5)方法一 (直接法)可分为三类：第一类：甲、乙、丙中有1人参加，共有1439C C 种； 第二类：甲、乙、丙中有2人参加，共有2339C C 种； 第三类：甲、乙、丙3人均参加，共有3239C C 种． 共有1439C C ＋2339C C ＋3239C C ＝666(种)不同的选法． 方法二 (间接法)12人中任意选5人共有512C 种，甲、乙、丙三人不能参加的有59C 种，所以，共有512C －59C ＝666(种)不同的选法．例2.解 (1)以平面内10个点中每2个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有C 210＝10×91×2＝45(条)． (2)由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有A 210＝10×9＝90(条)． 课堂练习1.[[解析]] 法一 分两类， ①一男一女，共有4×2＝8种； ②两女，只有1种，共有8＋1＝9种．法二 间接法C 26－C 24＝15－6＝9种．[[答案]] 92.[[解析]] 从8个顶点中任取4个有C 48种方法，从中去掉6个面和6个对角面，所以有C 48－12＝58个不同的四面体．[[答案]] 583.[[解析]] 由题意知n ＞4，取出的两数之和等于5的有两种情况：1,4和2,3，所以P ＝2C 2n ＝114，即n 2－n －56＝0，解得n ＝－7(舍去)或n ＝8.[[答案]]84.[[解析]]先从12名同学选4个上第一个路口，再从剩下的8名同学选4个上第二个路口，那么剩下的4名同学上第三个路口，则不同的分配方案共有C412C48C44＝34 650种．[[答案]]34 6505.解(1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C24种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C46种选法，所以共有C24·C46＝90(种)抽调方法．(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法．方法一(直接法)按选取的外科专家的人数分类：①选2名外科专家，共有C24·C46种选法；②选3名外科专家，共有C34·C36种选法；③选4名外科专家，共有C44·C26种选法；根据分类加法计数原理，共有C24·C46＋C34·C36＋C44·C26＝185(种)抽调方法．方法二(间接法)不考虑是否有外科专家，共有C610种选法，考虑选取1名外科专家参加，有C14·C56种选法；没有外科专家参加，有C66种选法，所以共有：C610－C14·C56－C66＝185(种)抽调方法．(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，分类解答．①没有外科专家参加，有C66种选法；②有1名外科专家参加，有C14·C56种选法；③有2名外科专家参加，有C24·C46种选法．所以共有C66＋C14·C56＋C24·C46＝115(种)抽调方法．。
高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.2 组合(第2课时)教案 新人教A版选修2-
1.2.2 组合第二课时教学目标知识与技能了解组合数的性质，会利用组合数的性质简化组合数的运算；能把一些计数问题抽象为组合问题解决，会利用组合数公式及其性质求解计数问题．过程与方法通过具体实例，经历把具体事例抽象为组合问题，利用组合数公式求解的过程．情感、态度与价值观能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力．重点难点教学重点：组合数的性质、利用组合数公式和性质求解相关计数问题．教学难点：利用组合数公式和性质求解相关计数问题．教学过程引入新课提出问题1：判断以下问题哪个是排列问题，哪个是组合问题，并回顾排列和组合的区别和联系．(1)从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览；(2)从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．活动设计：教师提问．活动成果：(1)是组合问题，(2)是排列问题．1．组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合与排列的区别和联系：(1)区别：①排列有顺序，组合无顺序．②相同的组合只需选出的元素相同，相同的排列那么需选出的元素相同，并且选出元素的顺序相同．(2)联系：①都是从n个不同的元素中选出m(m≤n)个元素；②排列可以看成先组合再全排列．设计意图：复习组合的概念，检查学生的掌握情况．提出问题2：利用上节课所学组合数公式，完成以下两个练习： 练习1：求证：C m n ＝n m C m －1n －1.(本式也可变形为：mC m n ＝nC m －1n －1)练习2：计算：①C 310和C 710；②C 37－C 26与C 36；③C 411＋C 511. 活动设计：学生板演．活动成果：练习2答案：①120,120 ②20,20 ③792.1．组合数的概念：从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号C mn 表示．2．组合数的公式：C m n＝A mn A m m ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！或C mn ＝n ！m ！(n －m)！(n ，m∈N ，且m≤n)．设计意图：复习组合数公式，为得到组合数的性质打下基础．探索新知提出问题1：由问题2练习中所求的几个组合数，你有没有发现一些规律，能不能总结并证明一下？活动设计：小组交流后请不同的同学总结补充． 活动成果：1．性质：(1)C mn ＝C n －mn ；(2)C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n .2．证明：(1)∵C n －mn ＝n ！(n －m)！[n －(n －m)]！＝n ！m ！(n －m)！，又C mn ＝n ！m ！(n －m)！，∴C m n ＝C n －mn .(2)C m n ＋C m －1n ＝n ！m ！(n －m)！＋n ！(m －1)！[n －(m －1)]！＝n ！(n －m ＋1)＋n ！m m ！(n －m ＋1)！＝(n －m ＋1＋m)n ！m ！(n －m ＋1)！＝(n ＋1)！m ！(n －m ＋1)！＝C mn ＋1，∴C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n .设计意图：引导学生自己推导出组合数的两个性质．运用新知类型一：组合数的性质 1(1)计算：C 37＋C 47＋C 58＋C 69； (2)求证：C nm ＋2＝C nm ＋2C n －1m ＋C n －2m .(1)解：原式＝C 48＋C 58＋C 69＝C 59＋C 69＝C 610＝C 410＝210；(2)证明：右边＝(C nm ＋C n －1m )＋(C n －1m ＋C n －2m )＝C nm ＋1＋C n －1m ＋1＝C nm ＋2＝左边． [巩固练习]求证：C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋nC nn ＝n2n －1.证明：左边＝C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋nC nn ＝C 11C 1n ＋C 12C 2n ＋C 13C 3n ＋…＋C 1n C nn ，其中C 1i C in 可表示先在n 个元素里选i 个，再从i 个元素里选一个的组合数．设某班有n 个同学，选出假设干人(至少1人)组成兴趣小组，并指定一人为组长．把这种选法按取到的人数i 分类(i ＝1,2，…，n)，那么选法总数即为原式左边．现换一种选法，先选组长，有n 种选法，再决定剩下的n －1人是否参加，每人都有两种可能，所以组员的选法有2n －1种，所以选法总数为n2n －1种．显然，两种选法是一致的，故左边＝右边，等式成立．[变练演编]求证：C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋n 2C nn ＝n(n ＋1)2n －2.证明：由于i 2C in ＝C 1i C 1i C in 可表示先在n 个元素里选i 个，再从i 个元素里选两个(可重复)的组合数，所以原式左端可看成在上题中指定一人为组长的基础上，再指定一人为副组长(可兼职)的组合数．对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况．假设组长和副组长是同一个人，那么有n2n －1种选法；假设组长和副组长不是同一个人，那么有n(n－1)2n －2种选法．∴共有n2n －1＋n(n －1)2n －2＝n(n ＋1)2n －2种选法．显然，两种选法是一致的，故左边＝右边，等式成立．类型二：有约束条件的组合问题2在100件产品中，有98件合格品，2件次品．从这100件产品中任意抽出3件． (1)有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？ (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？解：(1)所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有 C 3100＝100×99×981×2×3＝161 700种．(2)从2件次品中抽出1件次品的抽法有C 12种，从98件合格品中抽出2件合格品的抽法有C 298种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有C 12×C 298＝9 506种．(3)解法1 从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况．在第(2)小题中已求得其中1件是次品的抽法有C 12×C 298种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有C 12×C 298＋C 22×C 198＝9 604种．解法2抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即C 3100－C 398＝161 700－152 096＝9 604种．点评：“至少〞“至多〞的问题，通常用分类法或间接法求解． [巩固练习]1．4名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？解法一：(直接法)小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有C 34，C 24×C 16，C 14×C 26种方法，所以，一共有C 34＋C 24×C 16＋C 14×C 26＝100种方法． 解法二：(间接法)C 310－C 36＝100.2．按以下条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？ (1)甲、乙、丙三人必须当选； (2)甲、乙、丙三人不能当选； (3)甲必须当选，乙、丙不能当选； (4)甲、乙、丙三人只有一人当选； (5)甲、乙、丙三人至多2人当选；(6)甲、乙、丙三人至少1人当选；解：(1)C 33C 29＝36；(2)C 03C 59＝126；(3)C 11C 49＝126；(4)C 13C 49＝378； (5)方法一：(直接法)C 03C 59＋C 13C 49＋C 23C 39＝756， 方法二：(间接法)C 512－C 33C 29＝756；(6)方法一：(直接法)C 13C 49＋C 23C 39＋C 33C 29＝666， 方法二：(间接法)C 512－C 03C 59＝666. [变练演编]有翻译人员11名，其中5名精通英语、4名精通法语，还有2名英、法语皆通．现欲从中选出8名，其中4名译英语，另外4名译法语，一共可列多少X 不同的？解：分三类：第一类：2名英、法语皆通的均不选，有C 45C 44＝5种；第二类：2名英、法语皆通的选一名，有C 12C 35C 44＋C 12C 45C 34＝60种； 第三类：2名英、法语皆通的均选，有A 22C 35C 34＋C 25C 44＋C 45C 24＝120种． 根据分类加法计数原理，共有5＋60＋120＝185种不同的． [达标检测]1．计算：(1)C 399＋C 299；(2)2C 38－C 39＋C 28.2．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求X 、王两人中至多有一个人参加，那么有不同的选法种数为________．3．从7人中选出3人参加活动，那么甲、乙两人不都入选的不同选法共有______种． 答案：课堂小结1．知识收获：组合数的性质，用组合数公式解决简单的计数问题． 2．方法收获：化归的思想方法． 3．思维收获：化归的思想方法．补充练习[基础练习]1．求证：(1)C mn ＋1＝C m －1n ＋C mn －1＋C m －1n －1；(2)C m ＋1n ＋C m －1n ＋2C mn ＝C m ＋1n ＋2.2．某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，可以熄灭的方法共有______．3．100件产品中有合格品90件，次品10件，现从中抽取4件检查．(1)都不是次品的取法有多少种？(2)至少有1件次品的取法有多少种？(3)不都是次品的取法有多少种？4．从编号为1,2,3，…，10,11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，那么一共有多少种不同的取法？38＝56；3．解：(1)C490＝2 555 190；(2)C4100－C490＝C110C390＋C210C290＋C310C190＋C410＝1 366 035；(3)C4100－C410＝C190C310＋C290C210＋C390C110＋C490＝3 921 015.4．解：分为三类：1奇4偶有C16C45；3奇2偶有C36C25；5奇有C56，所以一共有C16C45＋C36C25＋C56＝236种不同的取法．[拓展练习]现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)，现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，那么有多少种不同的选法？解：我们可以分为三类：①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有C24C23；②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有C34C13；③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有C34C23.所以一共有C24C23＋C34C13＋C34C23＝42种方法．设计说明本节课是组合的第二课时，本节课的主要目标有两个，一个是学生在教师的问题驱动下自主探究组合数的性质，并在老师的带领下，体会组合数公式的应用；另一个是体会把具体计数问题化归为组合问题的过程．本节课的设计特点是：教师的问题是主线，学生的探究活动是主体，师生合作，共同完成知识和方法的总结．备课资料相同元素分组分配问题解决方法：档板法．(1)参加联赛的10个名额要分配到高三年级的8个班级中，那么每个班级至少一个名额的分配方法有______种；(2)10个相同的小球全部放入编号为1、2、3的盒子中，那么使每个盒子中球的个数不小于盒子的编号数的方法有______种．解析：利用档板法．(1)相当于在排成一排的10个“1〞所形成的9个空隙中，选出7个插入7块档板的方法，每一种插板方法对应一种名额分配方法，有C79种方法；(2)可以首先在2、3号盒子中先分别放入1、2个球，然后在剩余的7个球排成一排形成的6个空隙中选出2个空隙各插入一块板，有C26种方法．注：档板法的使用比较灵活，且对数学思想方法要求较高，现利用档板法证明一个不定方程的自然数解的组数的结论：方程x1＋x2＋…＋x m＝n(m，n∈N，m，n≥2)的自然数解有C m－1n＋m－1组．简证：转化为正整数解的组数，利用档板模型有：作代换y i＝x i＋1(i＝1,2，…，m)，那么方程x1＋x2＋…＋x m＝n的自然数解的组数，即y1＋y2＋…＋y m＝n＋m的正整数解的组数，相当于把n＋m个球分成m份，每份至少1个的方法数，即在n＋m－1个球的间隙中放置m－1个档板的方法种数，即C m－1n＋m－1.。
1.2.2组合
课堂练习：
1、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人， 若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分 9 法有 种。 2、从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中 9 至多有一个人参加，则有不同的选法种数为 。 3、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果 其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数 为（ C ） 3 2 3 3 2 3 A.(C8 C7 )(C7 C82 ) B.(C8 C7 ) (C7 C82 )
解: (1) C C C C 3150 2 2 C C6 C4 C 18900 (2)
6 10 6 10 1 2 4 6 1 2 1 1 2 2
二、不相邻问题插空法
例4、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节 省用电而不影响正常的照明，可以熄灭其中三盏 灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两 盏灯，可以熄灭的方法共有（ ） 3 3 3 3 A C8 种（B） 8 种 （C） 9 种 （D） 11 种 C （A） C
组合和排列有什么共同和不同点？
共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素”
不同点:
排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关.
判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有 多少个? 组合问题 (2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种 车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合是选择的结果，排列 组合问题
法共有多少种?
解法一：先组队后分校（先分堆后分配）
C C A
2 2 6 4
3 3
540
解法二：依次确定到第一、第二、第三所学校去的医生和护士.
导学案组合数的两个性质(日照实验高中导学案)
日照实验高中2007级导学案——计数原理1.2.2.2组合数的两个性质学习目标：深刻理解排列与组合的区别和联系，熟练掌握组合数的计算公式；掌握组合数的两个性质，并且能够运用它解决一些简单的应用问题．学习重点难点：组合数公式的掌握。
自主学习:一．课堂引入：1．复习排列和组合的有关内容： 定 义 特 点 联系 公 式 排 列 组 合 强调：排列——次序性；组合——无序性． 2．练习一： 练习1：求证：11--=m n m n C m n C ． （本式也可变形为：11--=m n m n nC mC ）练习2：计算：① 310C 和710C ； ② 2637C C -与36C ；③ 511411C C + 答案：① 120，120 ② 20，20 ③ 792 （此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础．） 3．练习二： ⑴ 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？ ⑵ 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？ 答案：⑴45210=C （组合问题） ⑵90210=A （排列问题）二．新课探究1．组合数的 性质1：mn n m n C C -=．理解： 一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n - m 个元素．因 为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下的n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：mn n m n C C -=．在这里，我们主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想．证明：∵)!(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=---=- 又 )!(!!m n m n C mn -= ∴m n n m n C C -=教师备课 学习笔记注：1︒ 我们规定 10=n C2︒ 等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标．3︒ 此性质作用：当2n m >时，计算m n C 可变为计算mn n C -，能够使运算简化．例如：20012002C ＝200120022002-C ＝12002C =2002．2. 组合数的 性质2：m n C 1+＝m n C +1-m nC ． 证明： )]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C C m n m n )!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n )!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n )!1(!)!1(+-+=m n m n m n C 1+=∴ m n C 1+＝m n C +1-m nC ． 注：1︒ 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与高的相同的一个组合数．2︒ 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．3︒ y n xn C C =y x =⇒或n y x =+三．例题解析：例1． ⑴ 计算：69584737C C C C +++⑵ 求证：n m C 2+＝n m C +12-n m C +2-n m C⑶ 解方程：3213113-+=x x C C教师备课学习笔记⑷ 解方程：333222101+-+-+=+x x x x x A C C⑸ 计算：4434241404C C C C C ++++和554535251505C C C C C C +++++推广：________1210=+++++-nn n n n n n C C C C C 例2 求证： ⑴ 11321++---=+++++k nk k k k k n k n k n C C C C C C⑵ 1121++++++=++++k k n k n k k k k k k k C C C C C⑶ )(23210321nn n n n n n n n C C C n nC C C C +++=++++课堂巩固： 教师备课 学习笔记计算：（1）()2973100100101C C A +÷； （2）3333410C C C +++（3）11m n m n n m n m n nC C C C -++--归纳反思：合作探究：解方程432(1)140;x x A A =112311(2)n n n n n n n nC C C C +--+-+=++教师备课 学习笔记。
18-19版：1.2.2 第1课时 组合及组合数公式（步步高）
1.2.2组合第1课时组合及组合数公式学习目标 1.理解组合及组合数的概念.2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合问题．知识点一组合的定义思考①从3,5,7,11中任取两个数相除；②从3,5,7,11中任取两个数相乘．以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同特点？答案①是排列，①中选取的两个数是有顺序的，②中选取的两个数无需排列．梳理组合的概念一般地，从n个不同的元素中，任意取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合．知识点二组合数与组合数公式从3,5,7,11中任取两个数相除，思考1可以得到多少个不同的商？答案A24＝4×3＝12.思考2如何用分步乘法计数原理求商的个数？答案第1步，从这四个数中任取两个数，有C24种方法；第2步，将每个组合中的两个数排列，有A22种排法．由分步乘法计数原理，可得商的个数为C24A22＝12.思考3你能得出C24的计算公式吗？答案因为A24＝C24A22，所以C24＝A24A22＝6.梳理(1)组合数的概念从n个不同元素中任意取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，任意取出m个元素的组合数，用符号C m n表示．(2)组合数公式及其性质组合数公式C m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！＝n！m！(n－m)！性质①C m n＝C n－mn；②C m n＋C m－1n＝C m n＋1；③C0n＝11．从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是C23.(×)2．从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C24个积．(√)3．C35＝5×4×3＝60.(×)4．C2 0162 017＝C12 017＝2 017.(√)类型一组合的有关概念例1给出下列问题：(1)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成一件工作，有多少种不同的安排方法？(2)从a，b，c，d四名学生中选两名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的安排方法？(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？考点组合的概念题点组合的判断解(1)两名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题．(2)两名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．反思与感悟区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无“顺序”，有顺序就是排列问题，无顺序就是组合问题，要判定它是否有顺序的方法是先将元素取出来，看交换元素的顺序对结果有无影响，有影响就是“有序”，也就是排列问题；没有影响就是“无序”，也就是组合问题．跟踪训练1判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的结果．(1)集合{0,1,2,3,4}的含三个元素的子集的个数是多少？(2)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一个，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？考点组合的概念题点 组合的判断解 (1)由于集合中的元素是不讲次序的，一个含三个元素的集合就是一个从0,1,2,3,4中取出3个数组成的集合．这是一个组合问题，组合的个数是C 35＝10.(2)选正、副班长时要考虑次序，所以是排列问题，排列数是A 29＝9×8＝72，所以选正、副班长共有72种选法；选代表参加会议是不用考虑次序的，所以是组合问题，所以不同的选法有C 29＝36(种)． 类型二 组合数公式与性质的应用命题角度1 有关组合数的计算与证明例2 (1)计算：C 410－C 37·A 33； (2)求C 38－n 3n ＋C 3n 21＋n 的值；(3)证明：m C m n ＝n C m －1n －1. 考点 组合数性质题点 用组合数的性质计算与证明(1)解 原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5 ＝210－210＝0.(2)解 ∵⎩⎪⎨⎪⎧38－n ≤3n ，3n ≤21＋n ，∴9.5≤n ≤10.5， ∵n ∈N ，∴n ＝10，∴C 38－n 3n ＋C 3n 21＋n ＝C 2830＋C 3031 ＝30！28！·2！＋31！30！·1！＝466. (3)证明 m C m n ＝m ·n ！m ！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n C m －1n －1. 反思与感悟 (1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！计算． (2)涉及字母的可以用阶乘式C m n ＝n ！m ！(n －m )！计算． (3)计算时应注意利用组合数的两个性质：①C m n ＝C n －m n ；②C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n .跟踪训练2 (1)计算C 98100＋C 199200＝________. (2)计算C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 015的值为( )A ．C 42 015B ．C 52 015 C ．C 42 016－1D ．C 52 015－1考点 组合数性质题点 用组合数的性质计算与证明答案 (1)5 150 (2)C解析 (1)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200 ＝100×992＋200＝5 150. (2)C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 015＝C 44＋C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 015－C 44＝C 45＋C 35＋…＋C 32 015－1＝…＝C 42 015＋C 32 015－1＝C 42 016－1.命题角度2 含组合数的方程或不等式例3 (1)已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求C m 8＋C 5－m 8； (2)解不等式：C 4n >C 6n .考点 组合数性质题点 含组合数的方程或不等式问题解 (1)∵1C m 5－1C m 6＝710C m 7， ∴m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7×(7－m )！m ！10×7！， 即m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )(5－m )！6×5！ ＝7×m ！(7－m )(6－m )(5－m )！10×7×6×5！. ∴1－6－m 6＝(7－m )(6－m )60， 即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或21.∵0≤m ≤5，∴m ＝2，∴C m 8＋C 5－m 8＝C 28＋C 38＝C 39＝84. (2)由C 4n >C 6n ，得⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧ n 2－9n －10<0，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6， 又n ∈N ＋，∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．反思与感悟 (1)解题过程中应避免忽略根的检验而产生增根的错误，注意不要忽略n ∈N ＋.(2)与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C m n 中的m ∈N ＋，n ∈N ＋，且n ≥m 确定m ，n 的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．跟踪训练3 解方程3C x －7x －3＝5A 2x －4. 考点 组合数性质题点 含有组合数的方程或不等式的问题解 原式可变形为3C 4x －3＝5A 2x －4， 即3(x －3)(x －4)(x －5)(x －6)4×3×2×1＝5(x －4)(x －5)，所以(x －3)(x －6)＝5×4×2＝8×5.所以x ＝11或x ＝－2(舍去)．经检验符合题意，所以方程的解为x ＝11.1．给出下列问题：①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？ ②有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法？③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？ 其中组合问题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3考点 组合的概念题点 组合的判断答案 C解析 ①与顺序有关，是排列问题，②③均与顺序无关，是组合问题，故选C.2．集合M ＝{x |x ＝C n 4，n ≥0且n ∈N }，集合Q ＝{1,2,3,4}，则下列结论正确的是( )A ．M ∪Q ＝{0,1,2,3,4}B ．Q ⊆MC ．M ⊆QD ．M ∩Q ＝{1,4}考点 组合数公式题点 组合数公式的应用答案 D解析 由C n 4知，n ＝0,1,2,3,4，因为C 04＝1，C 14＝4，C 24＝4×32＝6，C 34＝C 14＝4，C 44＝1，所以M ＝{1,4,6}．故M ∩Q ＝{1,4}．3．若C 2n ＝21，则n ！3！(n －3)！的值为( ) A ．6 B ．7 C ．35 D ．70考点 组合数公式题点 组合数公式的应用答案 C解析 ∵C 2n ＝21，∴n (n －1)2＝21， 解得n ＝7或n ＝－6(舍去)，∴n ！3！(n －3)！＝7！3！×4！＝7×6×53×2×1＝35，故选C. 4．不等式C 2n －n <5的解集为________．考点 组合数性质题点 含组合数的方程或不等式问题答案 {2,3,4}解析 由C 2n －n <5，得n (n －1)2－n <5， 即n 2－3n －10<0，解得－2<n <5，由题设条件知n ≥2，且n ∈N ＋，则n ＝2,3,4，故原不等式的解集为{2,3,4}．5．从1,2,3,6,9中任取两个不同的数相乘．(1)列出所有的取法，并分别指出乘积为偶数与奇数的取法；(2)不同的乘积结果有多少个？考点 组合数公式题点 组合数公式的应用解 (1)由于乘法满足交换律，所以本题与次序无关，是组合问题，现规定用数对(a ，b )表示每一种取法，并且(a ，b )与(b ，a )是同一种取法．从1,2,3,6,9中任取两个不同的数，不同的取法有(1,2)，(1,3)，(1,6)，(1,9)，(2,3)，(2,6)，(2,9)，(3,6)，(3,9)，(6,9)．其中乘积为偶数的取法有(1,2)，(1,6)，(2,3)，(2,6)，(2,9)，(3,6)，(6,9)，乘积为奇数的取法有(1,3)，(1,9)，(3,9)．(2)1×2＝2,1×3＝3,1×6＝2×3＝6,1×9＝9,2×6＝12,2×9＝3×6＝18,3×9＝27,6×9＝54，所以不同的乘积结果有8个．1．排列与组合的联系与区别(1)联系：二者都是从n个不同的元素中取m(m≤n)个元素．(2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序．2．巧用组合数公式解题(1)涉及具体数字的可以直接用nn－mC m n－1＝nn－m·(n－1)！m！(n－1－m)！＝n！m！(n－m)！＝C m n进行计算．(2)涉及字母的可以用C m n＝n！m！(n－m)！计算．(3)计算时应注意利用组合数的性质C m n＝C n－mn简化运算.。
组合数的两个性质
即： C10 = C10 ( = C10 )
C
5 100
=C
95 又如何？上述情况加以推广可得组合数怎样的性 又如何？ 100
组合数性质1： C
m n
=C
m n
n−m n
n! 证明：由组合数公式有 C = 证明： m! ( n − m )! n! n! n− m Cn = = ( n − m )![n − ( n − m )]! m ! ( n − m )!
组合定义： 个不同的元素中取出m 组合定义： n个不同的元素中取出m （m≤n) 从
个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中取 个元素并成一组，叫做从n 出m个元素的一个组合． 个元素的一个组合．
组合数定义： 组合数定义：
从n个不同的元素中取出m （m≤n) 个不同的元素中取出m 个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元 个元素的所有组合的个数，叫做从n 素中取出m个元素的组合数.用符号 C nm 表示． 素中取出m个元素的组合数. 表示．
3 8 2 7 3 7
问题２：对上面的发现(等式)作怎样解释？ 问题２ 作怎样解释？
一般地，从 a1 , a 2 , L , a n +1这n + 1个不同的元素中取 一般地，
m 出m 个元素的组合数是 C n +1，
这些组合可分成两类： 这些组合可分成两类：
一类含有 a 1，一类不含有 a 1，
)
=C
=C
所以原式得证
m n +1
m +1 n+2
+C
m +1 n +1
组合数性质1： C 组合数性质2： C
m n
=C
n−m n
1.2.2组合(第二课时)
说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类 法或间接法求解。
变式练习
按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？
（1）甲、乙、丙三人必须当选；
C33C92 36
（（（（2345））））甲甲甲甲、 必 、 、乙 须 乙乙、 当 、、丙 选 丙丙三 ， 三三人乙人人不、只至能丙有多2当不一人选能人当；当当选选选；C；；30CC319C5 941C2311C76984 126
排列——先取 再排 组合——只取 不排
2. 排列与组合的联系:
组合是排列的一个步骤之一;
排列的本质是先组合后排列(全排列).
3. 排列数与组合数公式:
Anm
Ann A( n m )
( n m )
n! (n m)!
C
m n
Anm Amm
n! m!(n m)!
例1.在产品检验中，常从产品中抽出一部分 进行检查.现有100件产品，其中3件次品，97件 正品.要抽出5件进行检查，根据下列各种要求， 各有多少种不同的抽法？
Anm Amm
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
我们规定：Cn0 1.
C C 定理 1:
m
nm
n
n
c c c m m m1
n1
n
n
注:1 公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数 之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标
较大的相同的一个组合数．
种方法； ②“1、2、3型” 的分配情况，有 C61C52C33 A33 360 种方法；
③“1、1、4型”，有C64 A33 90种方法，
1.2.2组合(2)
练习 2. 已知：C
C
x7 25
，求x 的值.
x 6或7
6 [普通高中课程数学选修2-3] 1.2 排列与组合
探究二：
一个口袋内装有大小相同的 7 个白球和 1 个黑球． 3 2 ⑴从口袋内取出 3 个球，共有多少种取法？ 8 7 ⑵从口袋内取出 3 个球，使其中含有 1 个黑球，有多少种取法？ ⑶从口袋内取出 3 个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 3 7 3 2 3 从上可以发现一个结论： 8 7 7
17 17
C C 136136.
11 17 1 11
第二问有没有第二种方法 ⑵法二:C1
1 7
C
1 0 1 6
9 [普通高中课程数学选修2-3] 1.2 排列与组合
例2（1）平面内有10个点，以其中每两个为端点 的线段共有多少条? （2）平面内有10个点，以其中每两个为端点 的有向线段共有多少条?
1 [普通高中课程数学选修2-3] 1.2 排列与组合
1.2.2
组合(2)
2 [普通高中课程数学选修2-3] 1.2 排列与组合
复习巩固：
1、组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成 一组，叫做从n个不同元素中取出m个n）个元素的所有组合的个 数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 m C n 表示. 3、组合数公式:
n 1 n n
7 [普通高中课程数学选修2-3] 1.2 排列与组合
C 组合数性质2：
C 证明： C
m n m 1 n
n! n! m !(n m )! (m 1)! n (m 1)! n !(n m 1) n ! m (n m 1 m )n ! m !(n m 1)! m !(n 1 m )! (n 1)! m C n 1 m !(n 1) m !
数学：1.2.2《组合》PPT课件(新人教A版-选修2-3)
小结：至多至少问题常用分类的或排除法. 小结：至多至少问题常用分类的或排除法.
从数字1,2,5,7中任选两个 例2 从数字 中任选两个 (1) 可以得到多少个不同的和 6个 可以得到多少个不同的和? (2)可以得到多少个不同的差 12个 可以得到多少个不同的差? 可以得到多少个不同的差 有不同的英文书5本 不同的中文书 不同的中文书7本 练习 有不同的英文书 本,不同的中文书 本, 从中选出两本书. 从中选出两本书 (1)若其中一本为中文书 一本为英文书 若其中一本为中文书,一本为英文书 若其中一本为中文书 一本为英文书. 问共有多少种选法? 问共有多少种选法 35种 (2)若不限条件 问共有多少种选法 若不限条件,问共有多少种选法 若不限条件 问共有多少种选法? 66种
练一练
1.写出从 写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有 写出从 组合
c a b b c c d d d
abc ， abd ， acd ，bcd .
组合 abc abd acd bcd abc acb abd adb
排列 bac bca bad bda cad cda cbd cdb cab cba dab dba dac dca dbc dcb
3 4 3
4
3
43 34 33
3
概念讲解
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系． 排列与组合是有区别的，但它们又有联系． 一般地，求从n个不同元素中取出 个不同元素中取出m个元素的 一般地，求从 个不同元素中取出 个元素的 排列数，可以分为以下2步 排列数，可以分为以下 步： 先求出从这n个不同元素中取出 个不同元素中取出m个 第1步，先求出从这 个不同元素中取出 个 m 元素的组合数 C． n 2步 求每一个组合中m个元素的全排列数 第2步，求每一个组合中m个元素的全排列数 An ． m m m An = Cn ⋅ Am 根据分步计数原理，得到： 根据分步计数原理，得到：
课件6：1.2.2 第1课时 组合与组合数公式
(2)可按 AB→AC→AD→BC→BD→CD 顺序写出，如图:
由此可以写出所有的组合：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE， BCD，BCE，BDE，CDE.
方法二(树形图法)： (1)画出树形图，如图所示:
由此可以写出所有的组合：ab，ac，ad，bc，bd，cd.
(2)画出树形图，如图所示．
(2)在学习组合数公式时，要注意与排列数公式进行对比．组合
数公式
C
m n
＝Байду номын сангаас
nn－1n－2…n－m＋1 m！
一
般
用
于
求
值
计
算
；
C
m n
＝
m！nn！－m！一般用于化简与证明．
组合的有关概念 判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次？ (2)10名同学分成人数相同的两个学习小组，共有多少种分法？
1．判断下列问题是组合问题还是排列问题．并用组合数或排列数表 示出来． (1)8人相互发一个电子邮件，共写了多少个邮件？ (2)10支球队以单循环制进行比赛，共需要进行多少场比赛？ (3)10支球队主客场制进行比赛，共需要进行多少场比赛？ (4)有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，不同的选法种数是多少？
3．计算：(1)C212＝________； (2)C338n－n＋C32n1＋n＝________. 【解析】 (1)C212＝122××111＝66.
(2)由00≤≤338n－≤2n1≤＋3nn
129≤n≤38 ，即0≤n≤221
，
∴129≤n≤221，又 n∈N*，∴n＝10， ∴C338n－n＋C321n＋n＝C3208＋C3301＝C230＋C131＝30×229＋31＝466.
1.2.2组合第一课时组合的概念及组合数公式
有多少种取法?
栏目 导引
题型二 有关组合数的计算与证明
第一章 计数原理
例2 计算下列各式的值.
(1)3C38－2C25;
【解】(1) 3C83－2C25＝3×83× ×72× ×61－2×25××14＝148.
((23))CC193708＋0＋CC47＋129090C; 58＋C((2369;))C原19式080＋＝CC124890＋90＝CC58＋2100C＋69＝C12C0095＝＋1C02069×＝×1C99610＋＝2C04100＝＝5211500. .
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第一章 计数原理
【名师点评】 区分排列与组合问题,关键是 利用排列与组合的定义,组合是“只选不排、 并成一组,与顺序无关”.只要两个组合中的 元素完全相同,则不论元素的顺序如何,都是相 同的组合.只有当两个组合中的元素不完全相 同时,才是不同的组合.
栏目 导下列问题是排列问题,还是组合问题.
(5)5个人相互各写一封信,共写了多少封信?
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第一章 计数原理
解:(1)当取出3个数字后,如果改变三个数字的 顺(3)序2名,会学得生到完不成同的的是三同位一数件,此工问作题,没不有但顺与序取,出是 元组素合问有题关.,而且与元素的安排顺序有关,是排列 问(4)题甲.与乙通一次电话,也就是乙与甲通一次电 (2)取出3个数字之后,无论怎样改变这三个数 字话之,无间顺的序顺区序别,其,为和组均合不问变题,此. 问题只与取出元 素(5)有发关信,人而与收元信素人的是安有排区顺别序的无,关是,排是列组问合题问.题 .
栏目 导引
第一章 计数原理
答案:D 做一做
1.有下列实际问题:①三人互相握手的次数;②
三人抬水,每两人抬一次的不同抬法;③三点
高二数学人教A版选修2-3课件：1.2.2 组合
=
C������������ =左边,
故原式成立.
迁移应用
一 二三四
知识精要
典题例解
迁移应用
三、简单组合问题 解简单的组合应用题时,要先判断它是不是组合问题,取出元素只是组成一组,与顺序无关则是组合问题;取出 元素排成一列,与顺序有关则是排列问题.只有当该问题能构成组合模型时,才能运用组合数公式求出其种数. 在解题时还应注意两个计数原理的运用,在分类和分步时,注意有无重复或遗漏.
种,从4名C女62教师中选2名的选法有 种,根据分步乘法计数C原42理,共有选法
C62
×
C42
=
6×5 ×
2×1
42××31=90(种).
一 二三四
知识精要
典题例解
迁移应用
1.若从1,2,3,…,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有( )
A.60种
B.63种
C.65种
D.66种
同时参加,则他们发言时不能相邻,那么不同的发言顺序的种数为( )
A.360
B.520
C.600
D.720
答案:C
解析:分两类:第1类,甲、乙中只有一人参加,则有
=2×10×24=480(种)选法.
C21 × C53 × A44
一 二三四
知识精要
典题例解
【例1】 判断下列问题是排列问题还是组合问题,并分别求出对应的方法数.
迁移应用
(1)把当日动物园的4张门票分给5个人,每人至多分一张,而且票必须分完,有多少种分配方法?
(2)从2,3,5,7,11这5个质数中,每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数,共能构成多少个不同的分数?
答)
1.2.2组合(第2课时——组合数的性质)
2 注重公式的顺用、逆用、变形用。顺用是将一个
组合数拆成两个；逆用则是“合二为一”；变形为
C m1 n
Cm n1
Cnm
使用，为某些项前后互相
抵消提供了方便。
性质应用：
１、计算：
C C ( 1 )
3 2;
99
99
C1300 100 99 98 161700
3 21
2C C C ( 2)
C7参加清扫校园劳动，
都有35种不同的选法
思考：为什么上面两个不同的组合数其结果相同？ 这一结果的组合的意义是什么？
从7位同学中 选出3位同学 构成一个组合
对应
剩下的4位 同学构成一 个组合
从7位同学中 选出3位同学
的组合数 C73
即：C73 C74
3 18
120 66 816
2、已知：C225x C2x57，求x 6或7
3、已知：Ct14 Ct4，求C2t0 190
问题情境2：
一个口袋内装有大小相同的带有不同编号的7个白球和 1个黑球．
⑴ 从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ ⑵ 从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少 种取法？
计算
C nm n
.
n 2
时，通常将计算
Cnm 改为
C 例如： 2019 2020
C1 2020
2020
2、当n m时，Cnn Cn0 1.
3、Cnx Cny x y或x y n.
性质应用：
1、计算：
C C170
3 10
C C10 12
2 12
C C15 18
课件7： 1.2.2 第一课时 组合与组合数公式及组合数的两个性质
第一课时 组合与组合数公式及组合数的两个性质
知识点一 组合与组合数 从1,3,5,7中任取两个数相除或相乘．
问题1：所得商和积的个数相同吗？ 答：不相同． 问题2：它们是排列吗？ 答：从1,3,5,7中任取两个数相除是排列，而相乘不是排列．
新知自解 1.组合
[思路点拨] 要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元 素是否与顺序有关．
解: (1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先 谁后，没有顺序的区别．
(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、 乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的．
(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别． (4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序 区别的．
解：(1)从 10 名教师中选出 2 名去参加会议的选法数就是从 10 个不同的元素 中取出 2 个元素的组合数，即 C210＝120××19＝45 种． (2)从 6 名男教师中选 2 名，有 C26种选法，从 4 名女教师中选 2 名，有 C24种 选法．根据分步乘法计数原理可知，共有不同的选法 C26C24＝90 种．
问题 3：你能得出计算 C24的公式吗？ 答：能．因为 A24＝C24A22，所以 C42＝AA2422.
问题4：试用列举法求从1,3,5,7中任取两个元素的组合数． 答：1、3,1、5,1、7,3、5,3、7,5、7，共6种．
问题5：你能把问题3的结论推广到一般吗？
答：可以，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数可由以下两个步骤得到： 第一步，从这 n 个不同元素中取出 m 个元素，共有 Cmn 种不同的取法； 第二步，将取出的 m 个元素全排列，共有 Amm种不同的排法． 由分步乘法计数原理知，Amn ＝Cmn ·Amm，故 Cmn ＝AAmnmm.
06组合(2课时)
A =C ⋅ A
m n m n
m m
组合数公式: 组合数公式:
A n(n − 1)(n − 2)L (n − m + 1) C = = A m!
m n m n m m
n! 0 C = 我 规 ： n =1 们定C . m !(n − m)!
m n
组合数性质一
C =C
m n
nm − n
组合数性质二
C =C +C
的边OM上有 个异于 点的点 上有5个异于 点的点, 例4 在∠MON的边 的边 上有 个异于O点的点 ON上有 个异于 点的点 以这十个点 含O)为 上有4个异于 点的点,以这十个点 上有 个异于O点的点 以这十个点(含 为 顶点,可以得到多少个三角形 可以得到多少个三角形? 顶点 可以得到多少个三角形 N
例1．（1）平面内有10个点，以其中每2个点为端点 ．（1 平面内有10个点，以其中每2 10个点 的线段共有多少条？ 的线段共有多少条？ 平面内有10个点，以其中每2 10个点 （2）平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向 线段共有多少条？ 线段共有多少条？
C =4 5
练习
2 1 0
A =9 0
例8．有10个参加数学竞赛的名额，要分给7所学校， 10个参加数学竞赛的名额，要分给7所学校， 个参加数学竞赛的名额 每校至少一个名额，有多少种不同的名额分配方法？ 每校至少一个名额，有多少种不同的名额分配方法？
练习
1.某人决定投资于8种股票和4种债券，经纪人向他推荐了12种 1.某人决定投资于8种股票和4种债券，经纪人向他推荐了12种 某人决定投资于 12 股票和7种债券． 此人有多少种不同的投资方式？ 股票和7种债券．问：此人有多少种不同的投资方式？ C128·C74＝17 325 抗震救灾， 众志成城” 在我国甘肃舟曲的抗震救灾中， 2.“ 抗震救灾 ， 众志成城 ” ， 在我国甘肃舟曲的抗震救灾中 ， 某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴某灾区救灾，其中这10 10名医疗专家中抽调 某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴某灾区救灾，其中这10 名医疗专家中有4名是外科专家． 名医疗专家中有4名是外科专家．问： 抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？ (1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？ 至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？ (2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？ 至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？ (3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
1.2.2 组合的概念及组合数公式
判断下列问题是排列问题，还是组合 问题． (1)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，组成 一个三位数，这样的三位数共有多少个？ (2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后 把这三个数字相加得到一个和，这样的和共 有多少个？
例1
(3)从a，b，c，d四名学生中选2名去完成同 一件工作，有多少种不同的选法？
例3
计算下列各式的值．
2 (1)3C3 － 2C 8 5； 199 (2)C98 ＋ C 100 200； 4 5 6 (3)C3 ＋ C ＋ C ＋ C 7 7 8 9；
－n 3n (4)C38 ＋ C 3n 21＋n.
【思路点拨】 利用组合数公式和 组合数的性质解决．
【解】
8×7×6 3 2 (1)3C 8 － 2C 5 ＝ 3× － 3×2×1
例2
【解】 所示：
(1)可按a→b→c→d顺序写出，如下
∴所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd.
(2)可按AB→AC→AD→BC→BD→CD顺序 写出，如下所示：
∴所有的组合为ABC，ABD，ABE，ACD， ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE. 【思维总结】 组合要求n个元素是不同的 ，被取出的m个元素也是不同的，即从n个 不同的元素中进行m次不放回地抽取．组合 的特性是：元素的无序性，即取出的m个元 素不讲究顺序，亦即元素没有位置的要求．
2．能利用计数原理推导组合数公式，并会
应用公式求值．
3．了解组合数的两个性质并能用性质进行
求值、化简和证明有关问题．
课前自主学案
第一课时
课堂互动讲练
知能优化训练
课前自主学案
温故夯基
1．从 n 个不同元素中任取 m 个元素，按一
1.2.2组合(教案)(可编辑修改word版)
n n n教学目标：1． 2．2 组 合知识与技能：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。
明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。
过程与方法：了解组合数的意义，理解排列数 A m 与组合数 C m 之间的联系，掌握组合数公nn式，能运用组合数公式进行计算。
情感、态度与价值观：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。
教学重点：组合的概念和组合数公式教学难点：组合的概念和组合数公式授课类型：新授课教 具：多媒体、实物投影仪第一课时一、复习引入：1 分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有 m 1种不同的方法，在第二类办法中有 m 2 种不同的方法，……，在第 n 类办法中有 m n 种不同的方法那么完成这件事共有 N = m 1 + m 2 + + m n 种不同的方法2. 分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成 n 个步骤，做第一步有 m 1 种不同的方法，做第二步有 m 2 种不同的方法，……，做第 n 步有 m n 种不同的方法，那么完成这 件事有 N = m 1 ⨯ m 2 ⨯ ⨯ m n 种不同的方法3. 排列的概念：从 n 个不同元素中，任取 m （ m ≤ n ）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 4. 排列数的定义：从 n 个不同元素中，任取 m （ m ≤ n ）个元素的所有排列的个数叫做从 n 个元素中取出 m 元素的排列数，用符号 A m 表示5．排列数公式： A m= n (n -1)(n - 2) (n - m +1) （m , n ∈ N *, m ≤ n ） 6 阶乘： n !表示正整数 1 到 n 的连乘积，叫做 n 的阶乘规定0! = 1．7. 排列数的另一个计算公式： A m= n !(n - m )!8. 提出问题：示例 1：从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天的一项活动，其中 1 名同学参加上午的活动，1 名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？示例 2：从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 引导观察：示例 1 中不但要求选出 2 名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而示例 2n 10 10= 只要求选出 2 名同学，是与顺序无关的引出课题：组合． 二、讲解新课：1 组合的概念：一般地，从 n 个不同元素中取出 m (m ≤ n ) 个元素并成一组，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个组合说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同例 1．判断下列问题是组合还是排列（1）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？（2） 高中部 11 个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？（3） 从全班 23 人中选出 3 人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？选出三人参加某项劳动，有多少种不同的选法？ （4）10 个人互相通信一次，共写了多少封信？ （5）10 个人互通电话一次，共多少个电话？问题：（1）1、2、3 和 3、1、2 是相同的组合吗？ （2）什么样的两个组合就叫相同的组合2. 组合数的概念：从 n 个不同元素中取出 m (m ≤ n ) 个元素的所有组合的个数，叫做从 n个不同元素中取出 m 个元素的组合数．用符号C m表示．例 2．用计算器计算C 7．解：由计算器可得例 3．计算：（1） C 4 ； （2） C 7 ；（1）解： 747 ⨯ 6 ⨯ 5⨯ 474!10＝35；（2）解法 1： C 7= 10 ⨯ 9 ⨯ 8⨯ 7 ⨯ 6 ⨯ 5⨯ 4 7!＝120．710! 10 ⨯ 9 ⨯ 8 解法 2： C 10 = 7!3! =＝120． 3! C444A n n A n n n m 第二课时3. 组合数公式的推导：（1） 从 4 个不同元素 a , b , c , d 中取出 3 个元素的组合数C 3 是多少呢？ 启发：由于排列是先组合再排列，而从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数 A 3 可以求得，故我们可以考察一下C 3 和 A 3 的关系，如下： 4 4组 合排列abc → abc , bac , cab , acb , bca , cba abd → abd , bad , dab , adb , bda , dbaacd→ acd , cad , dac , adc , cda , dca bcd→bcd , cbd , dbc , bdc , cdb , dcb由此可知,每一个组合都对应着 6 个不同的排列，因此，求从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数 A 3 ，可以分如下两步：① 考虑从 4 个不同元素中取出 3 个元素的组合，共有 C 3 个；② 对每一个组合的 3 个不同元素进行全排列，各有 A 3 种方法．由分步计数原理得：43A 3A 3 ＝ C 3 ⋅ A 3 ，所以， C 3 = 4 ． 4 4 3 4 33（2） 推广：一般地，求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 A m ，可以分如下两步：① 先求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数C m；② 求每一个组合中 m 个元素全排列数 A m ，根据分步计数原理得： A m ＝ C m ⋅ A m ．m（3） 组合数的公式：nnmA m C m = n = n (n -1)(n - 2) (n - m +1)nmm !或C m= n !m !(n - m )!(n , m ∈ N * ,且m ≤ n )规定: C 0 = 1.三、讲解范例：mm + 1m +1例 4．求证： C n =n - m⋅C n ．证明：∵ C m= n !m !(n - m )!x+1 ⎩ m +1 ⋅ C m +1 = m +1 ⋅ n !n - m n n - m (m +1)!(n - m -1)!m +1n !＝⋅(m +1)! (n - m )(n - m -1)!n !＝m !(n - m )! m m +1m +1 ∴ C n = n - m⋅C n 例 5．设 x ∈ N + ,x -1 2 x -3+ C 2 x -3 的值解：由题意可得： ⎧2x - 3 ≥ x - 1 ⎨x + 1 ≥ 2x - 3 ，解得2 ≤ x ≤ 4 ，∵ x ∈ N + ，∴ x = 2 或 x = 3 或 x = 4 ，当 x = 2 时原式值为 7；当 x = 3 时原式值为 7；当 x = 4 时原式值为 11．∴所求值为 4 或 7 或 11．求C17 11 17 11 10 2 98第三课时例 6． 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是 11 人．问：(l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出 11 名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？分析：对于（1)，根据题意，17 名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个 从 17 个不同元素中选出 11 个元素的组合问题；对于（ 2 ) ，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．解： (1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有 C ｝手＝ 12 376 （种） .(2）教练员可以分两步完成这件事情：第 1 步，从 17 名学员中选出 n 人组成上场小组，共有C 11种选法；第 2 步，从选出的 n 人中选出 1 名守门员，共有C 1 种选法．所以教练员做这件事情的方法数有C 11⨯C 1 =136136（种）.例 7．（1）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的线段共有多少条？ (2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？ 解：(1）以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就是从 10 个不同的元素中取出 2 个元素的组合数，即线段共有C 2 = 10 ⨯ 9 = 45 （条）. 101⨯ 2(2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数，就是从 10 个不同元素中取出 2 个元素的排列数，即有向线段共有A 2 = 10 ⨯ 9 = 90 （条）.例 8．在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品．从这 100 件产品中任意抽出 3 件 . (1）有多少种不同的抽法？(2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？解：(1）所求的不同抽法的种数，就是从 100 件产品中取出 3 件的组合数，所以共有C3= 100 ⨯ 99 ⨯ 98 = 161700 （种）. 100 1⨯ 2 ⨯ 3(2）从 2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有C 1 种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有C 2 种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有C 1⋅C 2 =9506(种).2985 4 5 4 5 4 610 6 (3）解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有 1 件次品和有 2 件次品两种情况．在第（2）小题中已求得其中 1 件是次品的抽法有C 1⋅C 2 种，因此根据分类加法计数原理，抽出的 3 件中至少有一件是次品的抽法有2 98C 1⋅C 2 + C 2⋅C 1 =9 604 （种） .298298解法 2 抽出的 3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，也就是从 100 件中抽出 3 件的抽法种数减去 3 件中都是合格品的抽法的种数，即C 3 -C 3 =161 700-152 096 = 9 604 （种）.10098说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。
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∴原不等式化为C21n-4<C21n-2<C21n-1
∴原不等式化为:
21! (n-4)!(21-n+4)!
<
21! (n-2)!(21-n+2)!
<
21! (n-1)!(21-n+1)!
∴ (24-n)(25-n)>(n-3)(n-2) 23-n>n-1
n<12 又 n-5≥0
∴不等式的解集为{5，6，7，8，9，10，11}
组合数应用
例4、一个口袋内装有大小不同的7个白球和 1个黑球，
①从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
②从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球， 有多少种取法？
③从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有 多少种取法？
例5 在100件产品中，有98件合格品，2件 次品。从这100件产品中任意抽出3件。
（1） 一共有多少种不同的抽法？ （2） 抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有
多少种？ （3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有
多少种？
例6：某医院有内科医生12名，外科医生8名，现 选派5名参加赈灾医疗队，其中：
(1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有
多少种不同的选法？ C138
(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？ C158
（2）求证：
Cmm Cmm1 Cmm2 Cnm3 Cnm2 Cnm1 Cnm1
例3： (1)若
C x2 x 16
C5x5 16
，求x.
先考虑条件，相当于先考虑函数的定义域。
（2）解不等式：C20n-5+C20n-4<C21n-2<C20n-1+C20n-2
C
m n
C m1 n
例1：计算(1)
C 198 200
(2) C939 C929
(3)
C 95 97
C 96 97
C 97 98
C 98 99
(4)C22 C32 C42
C2 100
(5)C31 C42 C53
C197 199
例2(1)证明:Cn0+C1n+1+C2n+2+…+Cm-1n+m-1=Cn+mm-1
(3)甲、乙二人至少有一人参加，有多少种选法？
C
C1 4
2 18
C 22 C138
(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有
多少种选法？ 错解：C112C81C138
C112C84 C122C83 C132C82 C142C81
C
5 20
(C85
C152
)
[课堂小结]
1．
组合数的性质：
C
m n
C
n n
m
C
m n1
C
m n
C
m1 n
2．用途，求值及化简证明
3．注意公式左、右、上、下标字母特征。
[布置作业] 《作业本》P12-13+成才
1.2.2 组合(二)
一、复习回顾
1、组合数与排列数的区别？
2、组合数
C
m n
与排列数
Anm
的关系？
3、组合数公式
Cnm
n(n 1)(n 2)(n m 1) m!
C
m n
n! m!(n m)!
组合数性质：
性质1：C
m n
C
n n
m
(规定：Cn0 1 )
性质2:
Cm n1