概率论与数理统计第四章课后习题及参考答案

E( X 2 ) 700E( X ) 3502 122686 ． 10． A ，B 两台机床同时加工零件，每生产一批较大的产品时，出次品的概率如
下表所示：
3
A 机床
次品数 X
0
1
2
3
概率 P
0.7
0.2
0.06
0.04
B 机床
次品数 X
0
1
2
3
概率 P
0.8
0.06
0.04
0.10
问哪一台机床加工质量较好．
5．设离散型随机变量 X
的分布列为 P( X
(1)k
2k ) k!
1 2k
，k
1,2,，
问 X 是否有数学期望．
解：因为 (1)k
k 1
2k k
1 2k
1 发散， k 1 k
所以 X 的数学期望不存在． 6．设随机变量 X 具有密度函数
f
(x)
2
cos2
x, 2
x
2
,
0, 其他．
空测量的误差随机变量 X 的分布列为
X (m) 30
20
10
0
10
20
30
P
0.05 0.08 0.16 0.42 0.16 0.08 0.05
而场地边长随机变量Y 等于边长的数学期望与测量误差之和，即Y 350 X ，
求场地面积的数学期望．
解：设场地面积为 S ，则 S Y 2 ，
E( X ) 30 0.05 (20) 0.08 (10) 0.16 0 0.42 10 0.16
12 2
7．设随机变量 X 具有密度函数 x, 0 x 1,
f (x) 2 x, 1 x 2, 0, 其他．
求 E(X ) 及 D(X ) ．
解： E(X )
xf (x)d x
1x2dx
2 x(2 x)dx 1，
0
1
E( X 2 ) x2 f (x)d x 1 x3d x 2 x2 (2 x)d x 7 ，
概率论与数理统计第四章课后习题及参考答案
1．在下列句子中随机地取一个单词，以 X 表示取到的单词包含的字母的个数，
试写出 X 的分布律，并求 E( X ) ．
Have a good time
解：本题的随机试验属于古典概型．所给句子共 4 个单词，其中有一个单词含一
个字母，有 3 个单词含 4 个字母，则 X 的所有可能取值为 1，4，有
出厂价．
解：设产品的出厂价为 X (元)，则 X 的所有可能取值为 6， 4.8 ，4，2，由题设 可知 X 的分布律为
X
6
4.8
4
2
P
0.6
0.2
0.1
0.1
则 E( X ) 6 0.6 4.8 0.2 4 0.1 2 0.1 5.16 (元)．
4．设随机变量 X 具有分布： P( X k) 1 ， k 1,2,3,4,5 ， 5
sin xf (x)d x
2 1
sin
x
1d
x
0
，
2
E(Y 2 ) E[sin2 (X )]
sin
2
xf
(x)d
x
1
2 1
sin
2
2
x 1d x
1 2
，
D(Y ) E(Y 2 ) [E(Y )]2 1 ． 2
9．某正方形场地，按照航空测量的数据，它的边长的数学期望为 350m，又知航
20 0.08 30 0.05 0 ， E( X 2 ) (30)2 0.05 (20)2 0.08 (10)2 0.16 02 0.42 102 0.16
202 0.08 302 0.05 186 ，
故 E(S ) E(Y 2 ) E[(350 X )2 ] E( X 2 700 X 3502 )
求 E( X ) ， E( X 2 ) 及 E( X 2)2 ． 解： E( X ) 1 (1 2 3 4 5) 3 ，
5
1
E( X 2 ) 1 (12 22 32 42 52 ) 11 ， 5
E( X 2)2 E( X 2 4 X 4) E( X 2 ) 4E( X ) 4 27 ．
E(Y 2 ) 02 0.8 12 0.06 22 0.04 32 0.10 1.12 ，
D(Y ) E(Y 2 ) [E(Y )]2 0.9264 ，
E( X ) E(Y ) ，但 D( X ) D(Y ) ，
故 A 机床加工质量较好． 11．设随机变量 X 与Y 相互独立，且方差存在，试证：
解： E( X ) 0 0.7 1 0.2 2 0.06 3 0.04 0.44 ，
E( X 2 ) 02 0.7 12 0.2 22 0.06 32 0.04 0.8 ，
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 0.6064 ，
E(Y ) 0 0.8 1 0.06 2 0.04 3 0.10 0.44 ，
13 个字母组成，即共有 13 个样本点，则
从而
P(Y 1) 1 ， P(Y 4) 12 ，
13
13
E(Y ) 1 1 4 12 49 ． 13 13 13
3．一批产品有一、二、三等品及废品 4 种，所占比例分别为 60%，20%，10%
和 10%，各级产品的出厂价分别为 6 元、4.8 元、4 元和 2 元，求产品的平均
从而
P( X 1) 1 ， P( X 4) 3 ，
4
4
E( X ) 1 1 4 3 13 ． 4 44
2．在上述句子的 13 个字母中随机地取一个字母，以Y 表示取到的字母所在的单
词所含的字母数，写出Y 的分布律，并求 E(Y ) ．
解：本题的随机试验属于古典概型．Y 的所有可能取值为 1，4，样本空间 由
0
1
6
2
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 1 ． 6
8．设随机变量 X 在 ( 1 , 1 ) 上服从均匀分布，求Y sin( X ) 的数学期望与方差． 22
解：由题可知 X 的密度函数为f(x)源自1, 1 2x
1 2
,
0, 其他．
1
则 E(Y ) E[sin(X )]
求 E(X ) 及 D(X ) ．
解：因为
x cos2
x 在[
,
] 上为奇函数，
22
所以
E(X )
xf (x)d x
2 2
x
2
cos2
xd x
0
，
E( X 2 )
x2 f (x)d x
2 2
x2
2
cos2
xd x
2 12
1 2
，
故
D( X ) E( X 2 ) [E( X )]2 2 1 ．