高中数学空间点线面之间的位置关系讲义之欧阳数创编

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高考数学复习考点知识专题讲解课件34---空间点、线、面之间的位置关系

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新高考大一轮复习 · 数学
解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则 AB，CD，EF 和 GH 在原正方体中，显然 AB 与 CD，EF 与 GH，AB 与 GH 都是异面直线，而 AB 与 EF 相交，CD 与 GH 相交，CD 与 EF 平行．故互为异面的直线有且只有 3 对．答案：3
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新高考大一轮复习 · 数学
题型分类深度剖析
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新高考大一轮复习 · 数学题型一平面基本性质的应用例 1 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB 和 AA1 的中点．求证： (1)E，C，D1，F 四点共面； (2)CE，D1F，DA 三线共点．
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新高考大一轮复习 · 数学
解析：因为点 A 在平面 CDD1C1 外，点 M 在平面 CDD1C1 内，直线 CC1 在平面 CDD1C1 内，CC1 不过点 M，所以 AM 与 CC1 是异面直线，故①错；取 DD1 中点 E，连接 AE，则 BN∥AE，但 AE 与 AM 相交，故②错；因为 B1 与 BN 都在平面 BCC1B1 内，M 在平面 BCC1B1 外，BN 不过点 B1，所以 BN 与 MB1 是异面直线，故③正确；同理④正确，故填③④. 答案：③④
答案：D
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新高考大一轮复习 · 数学 5．如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且 C∉l，直线 AB∩l＝M，过 A，B，C 三点的平面记作 γ，则 γ 与 β 的交线必通过( ) A．点 A B．点 B C．点 C 但不过点 M D．点 C 和点 M
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新高考大一轮复习 · 数学
跟踪训练 2 (1)已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 α，β 内，则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 α 和平面 β 相交”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

§8.2 空间点、线、面的位置关系(讲解部分) 高考数学(课标版,文科)复习课件

例2 (2020届皖南八校第一次联考,15)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BC=CC1=1,
∠AD1B=
π 3
,则直线AB1与BC1所成角的余弦值为
.
解析如图,∵ABCD-A1B1C1D1为长方体,
∴BC1∥AD1,∴∠D1AB1(或其补角)为异面直线AB1与BC1所成的角.
∵AB⊥平面ADD1A1,AD1⊂平面ADD1A1,∴AB⊥AD1,
例1 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD= P,A1C1∩EF=Q. 求证:(1)D,B,F,E四点共面; (2)若A1C交平面DBFE于R点,则P,Q,R三点共线.
证明如图.
(1)连接B1D1, 由已知得EF是△D1B1C1的中位线, ∴EF∥B1D1.在正方体AC1中,B1D1∥BD,∴EF∥BD. ∴EF,BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面. (2)正方体AC1中,设平面A1ACC1确定的平面为α,平面BDEF确定的平面为β.
方法技巧
方法1 证明点共线、线共点及点线共面的方法
1.证明点线共面问题的两种方法:(1)归一法:首先由所给条件中的部分线 (或点)确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;(2)重合法:将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合. 2.证明点共线问题的两种方法:(1)先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;(2)直接证明这些点都在同一条特定直线上. 3.证明线共点问题的常用方法:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.
是棱BD的中点,则异面直线AB与CM所成角的余弦值为
.
解析取AD的中点N,连接MN,CN,又因为M是BD的中点,所以MN∥AB,故

高中数学必修2第二章-空间点、直线、平面之间的位置关系PPT

a
A
记为：a=A
33
直线与平面
平行直线: 同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
21
平行直线
公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行.
如果a//b，b//c，那么a//c
空间中的平行线具有传递性
D
C
F
D
AC
F
B
E
A
三条平行线共面
B
E
三条平行线不共面
22
平行直线
问题
已知三条直线两两平行，任取两条直线能确定一个平面，问这三条直线能确定几个平面？
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
1
2.1 点、直线、平面之间的位置关系
2
主要内容
2.1.1 平面 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系 2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系
3
2.1.1 平面
4
构成图形的基本元素
D′ A′
D
A
C′ B′
C
B
点、线、面
点无大小线无粗细面无厚薄
D
C
F
D
AC
F
B
E
A
三条平行线共面
B
E
三条平行线不共面
23
等角定理
定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
A /A C /C ,•A /A /B B
C
C
A
B
A
B
C
A
B
C
B
A
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行且方向相同，那么这两个角相等.

人教高中数学必修第二册8.4空间点线面之间的位置关系知识点

一、直线与平面的位置关系
位置关系
交点个数图形Βιβλιοθήκη 言符号语言直线在平面内
无数个
直线在平面外
直线与平面相交
只有一个
直线与平面平行
没有
2、直线和平面平行
1.定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线与这个平面平行．
2.判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．
(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．
(3)异面直线所成角的范围是．
2.求异面直线所成角的步骤
（1）恰当选点，由平移构造出一个交角；
（2）证平行关系成立；
（3）把角放入三角形或其它平面图形中求出；
（4）作结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是所求异面直线所成的角．
七、直线、平面的位置关系
5．直线与平面垂直的性质
(1)性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．
符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b，
如图：
(2)一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．
符号语言：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b，
如图：
6．设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影
(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB中点．

高考数学二轮复习 6.1 空间点、线、面的位置关系课件理

线与线的平行．
★互动变式 2
的交点，求证：
考点二
平行与垂直关系
命题规律本考点主要内容：空间直线、平面，直线与
平面平行、平面与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直．突出“空间”、“立体”，即把线线、线面、面面的位置关系考查置于某几何体的情景中；位置关系以判断或证明垂直为重点，突出三垂线定理和逆定理的灵活运用．客观题主要考查：利用线线平行与垂直、线与面平行与垂直、平面与平面平行与垂直的性质及判定定理判断线面的位置关系；解答题主要以多面体为载体考查线面关系的证明，知识不多但题目创新性较强． ●例2 正方体ABCD－A1B1C1D1中． (1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C； (2) 若 E 、 F 分别是 AA1 ， CC1 的中点，求证：平面 EB1D1∥平面FBD．
(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．
取BB1中点G，∴AE∥B1G．从而得B1E∥AG，同理GF∥AD． ∴AG∥DF． ∴B1E∥DF． ∴DF∥平面EB1D1． ∴平面EB1D1∥平面FBD．
【点评】要证“面面平面”只要证“线面平面”，要证
“线面平行”，只要证“线线平面”，故问题最终转化为证
②直角 AOB在平面 α 内的射影为 ∠ A′OB′， ∠ A′OB′为锐角，如图2，因此②正确； ③显然 ∠ AOB 所在的平面与平面 α 平行时， ∠ AOB 在平面α内的射影一定为直角，因此③正确；
④直角 AOB 在平面 α 内的射影为 ∠ AO′B ， ∠ AO′B 为钝角，如图3，因此④正确；
第6专题立体几何
知识网络
第 1讲
空间点、线、面的位置关系
重点知识回顾一、平面的基本性质(三个公理与三个推论) 二、线面平行与面面平行 1．线面平行的判定与性质：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行．如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 2．面面平行的判定与性质如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．

立体几何与空间向量之空间点、直线、平面之间的位置关系课件-2025届高三数学一轮复习

(3) DE ， BF ， CC 1三线交于一点. [解析] 因为 EF ∥ BD 且 EF ＜ BD ，所以 DE 与 BF 相交，设交点为 M ，则由 M ∈ DE ， DE ⊂平面 D 1 DCC 1，得 M ∈平面 D 1 DCC 1，同理， M ∈平面 B 1 BCC 1. 又平面 D 1 DCC 1∩平面 B 1 BCC 1＝ CC 1，所以 M ∈ CC 1. 所以 DE ， BF ， CC 1三线交于一点.
(2)若 A 1 C 交平面 DBFE 于点 R ，则 P ， Q ， R 三点共线. [解析] 记 A 1， C ， C 1三点确定的平面为平面α，平面 BDEF 为平面β.因为 Q ∈ A 1 C 1，所以 Q ∈α.又 Q ∈ EF ，所以 Q ∈β，所以 Q 是α与β的公共点.同理， P 是α与β的公共点，所以α∩β＝ PQ . 又 A 1 C ∩β＝ R ，所以 R ∈ A 1 C ， R ∈α，且 R ∈β，则 R ∈ PQ ，故 P ， Q ， R 三点共线.
B. AC
C. AD1
D. B1C
[解析] 对于A，如图1，当点 P 为 A 1 C 1的中点时，连接 B 1 D 1， BD ，则 P 在 B 1 D 1 上， BP ⊂平面 BDD 1 B 1，又 DD 1⊂平面 BDD 1 B 1，所以 BP 与 DD 1共面，故A错误；
图1
对于B，如图2，连接 AC ，易知 AC ⊂平面 ACC 1 A 1， BP ⊄平面 ACC 1 A 1，且 BP ∩ 平面 ACC 1 A 1＝ P ， P 不在 AC 上，所以 BP 与 AC 为异面直线，故B正确；当点 P 与点 C 1重合时，连接 AD 1， B 1 C (图略)，由正方体的性质，易知 BP ∥ AD 1， BP 与 B 1 C 相交，故C，D错误.故选B.

高三数学空间点线面之间的位置关系

课堂互动讲练
【名师点评】题中是先说明D1、 E、F确定一平面，再说明B在所确定的平面内，也可证明D1E∥BF，从而说明四点共面．
课堂互动讲练
考点四异面直线的判定
证明两直线为异面直线的方法： 1．定义法(不易操作)． 2．反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．
A．A∈l，A∈α，B∈l， B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α， B∈β⇒a∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A 答案：C
三基能力强化
4.如图所示，在正方体ABCD-
A1B1C1D1中，异面直线AC与B1C1
所成的角为
.
答案：45°
5．三条直线两两相交，可以确定3进一步反映了平面的延展性．其作用是：(1)判定两平面相交；(2) 作两平面相交的交线(当知道两个平面的两个公共点时，这两点的连线就是交线)；(3)证明多点共线(如果几个点都是某两个平面的公共点，则这几个点都在这两个平面的交线上)．
随堂即时巩固
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课时活页训练
PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延
长线交于N，RP、DC的延长线交于K.求
证：M、N、K三点共线．
课堂互动讲练
【思路点拨】要证明M、N、K 三点共线，由公理3可知，只要证明M、 N、K都在平面BCD与平面PQR的交线上即可．
课堂互动讲练
【证明】
PQ∩CB＝M
RQ∩DB＝N⇒
RP∩DC＝K
课堂互动讲练
解：选取平面BCF，该平面有以下两个特点：①该平面包含直线CF；②该平面与DE相交于点E.在平面BCF 中，过点E作CF的平行线交 BF于点N，连结ND，可以看出：EN与ED所成的角即为异面直线FC与ED所成的角. 10分

高中数学高考第3节空间点、直线、平面之间的位置关系课件

主
回顾
c∥b，从而a∥b，这与a与b是异面直线矛盾，故①正确．
课后
对于②，a与b可能异面垂直，故②错误．
限时
集
课堂
对于③，由a∥b可知a∥β，又α∩β＝c，从而a∥c，故③正
训
考
点确．
探
究
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41
课
前
自
主回
(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M 课
顾
∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG(图略)，
探
究 _有__且__只__有__一__条___过该点的公共直线．
返首页
5
课
前自
(4)公理2的三个推论
主
回顾
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平课后
面．
限时
集
课堂
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
训
考
点
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
探
究
返首页
后限
些点都是这两个平面的公共点，再根据基本公理3证明这些点都在
时集
课
训
堂考
交线上；②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点
点
探也在该直线上．
究
返首页
25
课前
(2)证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直
自
主线经过该点．
回
课
顾
(3)证明点、直线共面问题：①纳入平面法：先确定一个平面，
探
究
返首页
43
1.下列结论中正确的是 ( )

新高考数学A版讲义：空间几何初步第2节空间点线面之间的位置关系

第2节空间点、直线、平面之间的位置关系要点一：平面及其性质知识点一平面1.平面的概念几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等，这样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周无限延展的.2.平面的画法我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图①.如果一个平面的一部分被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来，如图②.3.平面的表示法图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.思考几何中的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？答案没有平行四边形知识点二点、线、面之间的位置关系1.直线在平面内的概念如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l. 2.一些文字语言与符号语言的对应关系：知识点三平面的基本性质及作用1.基本事实2.利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论：推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.一图形语言、文字语言、符号语言的相互转换例1(1)若点A在直线b上，b在平面β内，则点A，直线b，平面β之间的关系用符号可以记作________________.答案A∈b，b⊂β，A∈β(2)用符号表示下列语句，并画出图形.①点A在平面α内但在平面β外；②直线a经过平面α内一点A，α外一点B；③直线a在平面α内，也在平面β内.解①A∈α，A∉β.(如图①)②A∈a，B∈a，A∈α，B∉α，a⊄α.(如图②)③α∩β＝a.(如图③)反思感悟三种语言转换方法：用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面，几条直线及相互之间的位置关系，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.跟踪训练1用符号表示下列语句，并画出图形.(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B.(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上.解(1)用符号表示α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图.(2)用符号表示A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图.二、点、线共面问题例2如图，已知a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α.证明因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β，所以直线a⊂β，点P∈β.因为P∈b，b⊂α，所以P∈α.又因为a⊂α，P∉a，所以α与β重合，所以PQ⊂α.反思感悟证明点、线共面问题的常用方法(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”.(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”.跟踪训练2如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.证明方法一(纳入法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内.方法二(同一法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.证明点共线、线共点问题典例(1)如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD ⊂β.求证：AB，CD，l共点.证明∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB与CD必交于一点，设AB交CD于M.则M∈AB，M∈CD，又∵AB⊂α，CD⊂β，∴M∈α，M∈β，又∵α∩β＝l，∴M∈l，∴AB，CD，l共点.(2)如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线.证明∵AB∥CD，∴AB，CD确定一个平面β，∵AB∩α＝E，E∈AB，E∈α，∴E∈β，∴E在α与β的交线l上.同理，F，G，H也在α与β的交线l上，∴E，F，G，H四点必定共线.[素养提升]点共线与线共点的证明方法(1)点共线：证明多点共线通常用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性.通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.要点二：空间直线、平面的位置关系知识点一空间两直线的位置关系 1.异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线. (2)异面直线的画法(衬托平面法)如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.(3)判断两直线为异面直线的方法：①定义法；②两直线既不平行也不相交. 2.空间两条直线的三种位置关系⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点平行直线：在同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点知识点二直线与平面的位置关系知识点三平面与平面的位置关系思考平面平行有传递性吗？答案有若α，β，γ为三个不重合的平面，且α∥β，β∥γ，则α∥γ.一、两直线位置关系的判定例1如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________.答案(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面解析(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C.(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内.反思感悟判断空间两条直线位置关系的决窍(1)建立空间观念全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线.(2)重视长方体、正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系.跟踪训练1若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()A.平行B.异面C.相交D.平行、相交或异面答案D解析可借助长方体来判断.如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或异面.二、直线与平面的位置关系例2(1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是()A.直线上所有的点都在平面外B.直线上有无数多个点都在平面外C.直线上有无数多个点都在平面内D.直线上至少有一个点在平面内(2)下列命题中正确的个数是()①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α.A.0B.1C.2D.3答案(1)B(2)B解析(1)直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外. (2)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即命题③正确.故选B.反思感悟在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，便于作出正确判断，避免凭空臆断.跟踪训练2下列说法：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线.其中正确的个数为()A.0B.1C.2D.3答案B解析对于①，∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于α，①错误；对于②，∵直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交，∴a和α不一定平行，②错误；对于③，∵a∥b，b⊂α，那么a⊂α或a∥α，a与平面α内的无数条直线平行，③正确.三、平面与平面的位置关系例3在以下三个命题中，正确的命题是()①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；③在平面α，β内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面平行或相交.A.①②B.②③C.③D.①③答案C解析如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对于①，平面AA1D1D中，AD∥平面A1B1C1D1，分别取AA1，DD1的中点E，F，连接EF，则EF∥平面A1B1C1D1，但平面AA1D1D 与平面A1B1C1D1是相交的，交线为A1D1，故命题①错；对于②，平面AA1D1D中，与平面A1B1C1D1平行的直线有无数条，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行，而是相交于直线A1D1，故命题②错.命题③是正确的.反思感悟利用正方体(或长方体)这个“百宝箱”能有效地判断与两个平面的位置关系有关命题的真假，另外先假设所给定的结论成立，看是否能推出矛盾，也是一种判断两平面位置关系的有效方法.跟踪训练3已知两平面α，β平行，且a⊂α，下列四个命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4答案B解析①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条直线平行，有一些是异面，故①错误；②正确；③中直线a与β内的无数条直线垂直，故③错误；④根据定义a与β无公共点，故④正确.1.(多选)下列命题中错误的是()A.空间三点可以确定一个平面B.三角形一定是平面图形C.若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合D.四条边都相等的四边形是平面图形答案ACD解析共线的三点不能确定一个平面，故A错误；当A，B，C，D四点共线时，这两个平面可以是相交的，故C错误；四边都相等的四边形可以是空间四边形，故D错误.2.A，B，C为空间三点，经过这三点的平面有________个.解析当A，B，C不共线时，有一个平面经过三点；当A，B，C共线时，有无数个平面经过这三点.3.空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面.解析可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面.4.在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取点E，F，G，H，若EF与HG交于点M，则()A.M一定在直线AC上B.M一定在直线BD上C.M可能在直线AC上，也可能在直线BD上D.M不在直线AC上，也不在直线BD上答案 A 解析由题意得EF在平面ABC内，HG在平面ACD内，EF与HG交于点M，∴M一定落在平面ABC与平面ACD的交线AC上.5.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()A.共面B.平行C.异面D.平行或异面答案 D 解析若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线.6.与同一平面平行的两条直线()A.平行B.相交C.异面D.平行、相交或异面答案 D 解析与同一平面平行的两条直线的位置关系有三种情况：平行、相交或异面.7.(多选)以下四个命题中正确的有()A.三个平面最多可以把空间分成八部分B.若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价C.若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈lD.若n条直线中任意两条共面，则它们共面答案AC 解析对于A，正确；对于B，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b，故B错误；对于C，正确；对于D，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故D错误.所以正确的是AC.8.若点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的位置关系是________.答案相交解析∵点A∈α，B∉α，C∉α，∴平面ABC与平面α有公共点，且不重合，∴平面ABC与平面α的位置关系是相交.9.如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号).①不可能只有两条交线；②必相交于一点；③必相交于一条直线；④必相交于三条平行线.答案①解析空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点.10.在下列图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号)答案②④解析题图①中，GH∥MN；题图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，所以GH与MN异面；题图③中，连接GM，则GM∥HN，所以GH与MN共面；题图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，所以GH与MN异面.11.如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b，a与β的位置关系并证明你的结论.解a∥b，a∥β.证明如下：由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a，b无公共点.又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α与β无公共点.又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.12.三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是()A.相交B.平行C.直线在平面内D.平行或直线在平面内答案 A 解析延长各侧棱可恢复成棱锥的形状，所以三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交.13.若平面α与β的公共点多于两个，则()A.α，β可能只有三个公共点B.α，β可能有无数个公共点，但这无数个公共点不在一条直线上C.α，β一定有无数个公共点D.以上均不正确答案 C 解析若平面α与β的公共点多于两个，则平面α与β相交或重合，故C项正确.14.在四棱锥P－ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对.答案8 解析以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱所在直线组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线.15.已知下列说法：①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面；④若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交.其中正确的序号是____________.答案③解析①错，a与b也可能异面；②错，a与b也可能平行；③正确，∵α∥β，∴α与β无公共点，又∵a⊂α，b⊂β，∴a与b无公共点，那么a∥b或a与b异面；④错，a与β也可能平行16.若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，求证：O，C，D三点共线.证明∵AC∥BD，∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.∵l∩α＝O，∴O∈α.又∵O∈AB，AB⊂β，∴O∈β，∴O∈直线CD，∴O，C，D三点共线.17.已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C. 求证：a，b，c和l共面.证明如图，∵a∥b，∴a与b确定一个平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α.∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l⊂β.∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，由推论知：经过两条相交直线有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合，∴a，b，c和l共面.18.如图，已知平面α和β相交于直线l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，C∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论.解平面ABC与平面β的交线与l相交.证明如下：∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，∴AB与l是相交直线.设AB∩l＝P，则点P∈AB，点P∈l.又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC且P∈平面β，即点P是平面ABC与平面β的一个公共点，而点C也是平面ABC与平面β的一个公共点，又∵P，C不重合，∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线，即平面ABC∩平面β＝直线PC，而直线PC∩l＝P，∴平面ABC与平面β的交线与l相交.。

高考数学大一轮复习 8.2 空间点、线、面的位置关系课

3.线共点问题的证明方法证明空间三线共点,先证两条直线交于一点,再证第三条直线经过这点, 将问题转化为证明点在直线上. 4.点线共面问题的证明方法 (1)纳入平面法:先确定一个平面,再证有关点、线在此平面内; (2)辅助平面法:先证有关点、线确定平面α,再证其余点、线确定平面β, 最后证明平面α,β重合.
考向基础
考点清单
考点空间点、线、面的位置关系
1.平面的基本性质
(1)公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.
符号表示:A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α.
作用:可用来判断直线是否在平面内.
(2)公理2:过① 不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.
符号表示:A,B,C三点不共线⇒有且只有一个平面α,使A∈α,B∈α,C∈α.
作用:判断空间两条直线平行. (3)等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角

④ 相等或互补 . (4)异面直线 (i)定义:所谓异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.其含义是不存在这样的平面,能同时经过这两条直线.符号表示:不存在平面α, 使得a⊂α且b⊂α.当然也可以这样理解:a∩b=⌀且a∥\ b. (ii)性质:两条异面直线既不相交又不平行. (5)异面直线所成的角过空间任意一点分别引两条异面直线的平行直线,那么这两条相交直线所成的锐(或直)角叫做这两条异面直线所成的角.若记这个角为θ,则θ的
由题意知SM为△SAB的中线,且SG1= 23 SM,SN为△SAC的中线,且SG2= 23
SN,
∴在△SMN中, SG1
SM
= SG2
SN
,∴G1G2∥MN.
易知MN是△ABC的中位线,∴MN∥BC,

人教高中数学必修第二册8.4空间点线面之间的位置关系知识点

空间点线面之间的位置关系一、平面1.平面的概念：平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．立体几何里所说的的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的．常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象．平面是理想的、绝对的平且无大小，无厚度，不可度量． 2.平面的表示方法：(1)一个平面：当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45o，横边画成邻边的2倍长，如右图． (2)两个相交平面：画两个相交平面时，通常要化出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如下图）3. 运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此还可借用集合中的符号语言来表示点、线、面的基本位置关系如下表所示：αBA βαABαβαβBAAβαBA a ∉ 点A 不在直线a 上A α∈ 点A 在平面α内A α∉点A 不在平面α内b a Aa b A =I直线a 、b 交于A 点a α⊂直线a 在平面α内a α=∅I 直线a 与平面α无公共点a A α=I 直线a 与平面α交于点Al αβ=I 平面α、β相交于直线l二、平面的基本性质1. 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭．如图示：或者：∵,A B αα∈∈，∴AB α⊂ 公理1的作用：①判定直线是否在平面内；②判定点是否在平面内； ③检验面是否是平面．2. 公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；BA αA αAαA aaαaαa Aα推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 2. 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点,有且只有一条过该点的公共直线推理模式：A A l A ααββ∈⎫⇒∈=⎬∈⎭I 如图示：或者：∵,A A αβ∈∈，∴,l A l αβ=∈I 公理3的作用：(1)判断两个平面是否相交及交线位置； (2)判断点是否在线上 1、证明空间三点共线问题通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出某两点在两个平面的交线上，再证明第三点既在第一个平面内，又在第二个平面内。

高中数学(人教B版)必修第四册：空间中点、线、面的位置关系【精品课件】

AA₁=2
例已知ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是长方体，
且AB=4，AD=3，AA₁=2.
（3）求平面ADD₁A₁与平面BCC₁B₁
之间的距离.
两平面平行，则平面ADD₁A₁与
平面BCC₁B₁ 之间的距离即为
AB=4.
小结
点在线上
点与线
共面
两条直线
点不在线上
异面
平行
相交
小结
点在面上
点与面
相交
1.点与直线
2.两条直线
3.点与平面
4.直线与平面
5.两个平面
空间中的直线可看成这条直线上所有点组成的集合.
位置关系
符号表示
图形表示
位置关系
符号表示
a // l
图形表示
空间中的两条直线既不平行也不相交，则称这
两条直线异面.
两条直线异面，则它们不同
在任何一个平面内.
用平面衬托的方法表示
两直线异面.
α//β, ∀A∈ α, 过A作AB⊥ β于B,
则线段AB的长为与的距离.
例已知ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是长方体，
且AB=4，AD=3，AA₁=2.
（1）求点A到平面BCC₁B₁的距
离；
（2）求直线AB到平面A₁B₁C₁D₁的
距离；
（3）求平面ADD₁A₁与平面BCC₁B₁
之间的距离.
例已知ABCD-A₁B₁C₁D₁ 是长方体，
反例：
)
例判断下列命题的正误：
(2)若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直
线都平行.
反例：
(
×
)
例判断下列命题的正误：
(3)若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直

高中数学理科基础知识讲解《83空间点、直线、平面之间的位置关系》教学课件

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考点3
思考如何借助空间图形确定线面位置关系?解题心得解决这类问题的关键就是熟悉直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系及相应的公理定理,归纳整理平面几何中成立但立体几何中不成立的命题,并在解题过程中注意避免掉入由此设下的陷阱.判断时可由易到难进行,一般是作图分析,构造出符合题设条件的图形或反例来判断.
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考点2
空间两条直线的位置关系(多考向)考向1 两直线位置关系的判定例2(2019安徽合肥市一模,7)平面α外有两条直线a,b,它们在平面α内的射影分别是直线m,n,则下列命题正确的是( )A.若a⊥b,则m⊥nB.若m⊥n,则a⊥bC.若m∥n,则a∥bD.若m和n相交,则a和b相交或异面思考如何比较直观地判断两直线的位置关系?
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考点3
对点训练3(2019四川成都二模,7)已知a,b是两条异面直线,直线c与a,b都垂直,则下列说法正确的是 ( )A.若c⊂平面α,则a⊥αB.若c⊥平面α,则a∥α,b∥αC.存在平面α,使得c⊥α,a⊂α,b∥αD.存在平面α,使得c∥α,a⊥α,b⊥α
C
解析:由a,b是两条异面直线,直线c与a,b都垂直,知:在A中,若c⊂平面α,则a与α相交、平行或a⊂α,故A错误;在B中,若c⊥平面α,则a,b与平面α平行或a,b在平面α内,故B错误;在C中,存在平面α,使得c⊥α,a⊂α,b∥α,故C正确;在D中,若存在平面α,使得c∥α,a⊥α,b⊥α,则a∥b,与已知a,b是两条异面直线矛盾,故D错误.故选C.
平行四边形
C,D,E,F
点O在直线C1M上
--
考点1
解析: (1)①∵G,H分别为FA,FD的中点,
所以四边形BEFG为平行四边形,所以EF∥BG.由①知BG∥CH,所以EF∥CH,所以EF与CH共面.又D∈FH,所以C,D,E为A1C⊂平面A1ACC1,O∈A1C,所以O∈平面A1ACC1,而O是平面BDC1与直线A1C的交点,所以O∈平面BDC1,所以点O在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上.因为AC∩BD=M,所以M∈平面BDC1.又M∈平面A1ACC1,所以平面BDC1∩平面A1ACC1=C1M,所以O∈C1M.

高中数学经典资料第42课--空间点、线、面的位置关系

有 B1E ^ 面 ABHF ，此时 B1E
32 +( 3 )2 3 5 .
2
2
6. 如图，在四棱锥 E ABCD 中，平面 EAB ⊥平面 ABCD ，四边形 ABCD 为矩形， EA ⊥ EB ， M , N 分别为 AE,CD 的中点.
求证：（1）直线 MN ∥平面 EBC ；（2）直线 EA ⊥平面 EBC . 答案：（1）见解析；（2）见解析解析：（1）取 BE 中点 F，连结 CF，MF，
故选 C.
4. 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB BC 1 ， AA1 3 ，则异面直线 AD1 与 DB1 所成角的余弦值为（）.
A. 1 5
答案：C
B. 5 6
C. 5 5
D. 2 2
解析：以 D 为坐标原点， DA, DC, DD1 为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系，则
则 ANG 或其补角为异面直线 AN,CM 所成的角，显然 NG 1 MC 2
2, AN 2 2 ，∵ AB BD ，∴ BM AD ，
在直角 AMG 中，AG
AM 2 MG 2
3
，在
ANG
中，cos ANG
8 22
23 2
2
7 8
，即异面直线
AN , CM
所成的角的余弦值为
7 8
D0,0,0, A1,0,0, B1 1,1, 3 , D1 0,0, 3 ，所以 AD1 1,0, 3 , DB1 1,1, 3 ，
因为 cos
AD1, DB1
AD1 DB1 1 3
AD1 DB1 2 5
5 5
，所以异面直线

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2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
①柱体的体积 V S底 h
②锥体的体积
V
1 3 S底
h
③台体的体积
V 13（S上上 S S下下 S ) h
④球体的体积V 4 R3 3
1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点（3）直线在平面平行 —— 没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a
画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
β
P
α ·L
3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。
共面直平行直线：同一平面内，没有公共点；
4.斜二测法：在坐标系 x 'o ' y ' 中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于 x
的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面 AC、平面 ABCD 等。
（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.
3 三个公理：
旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直（1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
（1）若 A1B2 A2B1 0 ，两直线相交；
（2）若 A1B2 A2B1 0 ，两直线平行或重合；
（3）若 A1A2 B1B2 0 ，若两直线垂直。
10.点 (x1, y1)和(的x2中, y点2 ) 坐标是

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①直线在平面内——无数个公共点
②直线与平面相交——一个公共点 ③直线与平面平行——没有公共点
直线在平面外
5.两个平面之间的位置关系(两种): ①两个平面平行——没有公共点 ②两个平面相交——有一条公共直线
高中数学人教A版（必修20第19二）册必空修间（点第、二直册线）、第平八面章之8 间. 4的.2位空置间关点系课、件直线、平面之间的位置关系课件（共11 张PPT）
例2 如下图，AB∩α=B, A∉α，a α，B∉a.
A
直线AB与a具有怎样的位置关系?为什么?
解：直线AB与a是异面直线. 理由如下：
B
若直线AB与直线a不是异面直线， α a
则它们相交或平行.
设它们确定的平面为β，则B∈β，
a β.
由于经过点B与直线a有且仅有一个平面α，因此平面α与β重合.
从而AB α，进而A∈α，这与A∉α矛盾.所以直线AB与a是异面直线.
能再举出一些表示这些位置关系的其他实例吗?
1.空间点与直线的位置关系(两种):
D'
C'
①点在直线上 ②点在直线外
A'
B'
2.空间点与平面的位置关系(两种): ①点在平面内 ②点在平面外
D A
C B
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三、空间中直线与直线、平面的位置关系高中数学人教A版必修第二册空间点、直线、平面之间的位置关系课件
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高中空间点线面之间位置关系知识点总结第一章空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。

其中，这条定直线称为旋转体的轴。

（2）柱，锥，台，球的结构特征1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。

3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台.3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.（二）空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。

平行投影分为正投影和斜投影。

2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。

4.斜二测法：在坐标系中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x '''x o y 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半。

重点记忆：直观图面积=原图形面积42(三)空间几何体的表面积与体积1、空间几何体的表面积①棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和②圆柱的表面积 ③圆锥的表面积2S rl r ππ=+④圆台的表面积 ⑤球的表面积22Srl r Rl R ππππ=+++24S R π=⑥扇形的面积公式（其中表示弧长，表示半径）213602n R S lr π==扇形l r 2、空间几何体的体积①柱体的体积 ②锥体的体积V S h =⨯底13V S h =⨯底③台体的体积 ④球体的体积1)3V S S h =++⨯上上（343V R π=第二章直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

高中数学空间点线面之间的位置关系讲义之欧阳法创编

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系一、平面 1 平面含义：2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

二、三个公理：DC B Aα三、空间直线、平面之间的位置关系四、等角定理：五、异面直线所成的角1.定义：2.范围：3.图形表示4.垂直：六、典型例题1．下面推理过程，错误的是（）（A ） αα∉⇒∈A l A l ,// （B ） ααα⊂⇒∈∈∈l B A l A ,,（C ）ABB B A A =⋂⇒∈∈∈∈βαβαβα,,,（D ）βαβα=⇒∈∈不共线并且C B A C B A C B A ,,,,,,,,2．一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是（）（A ）1个或3个（B ）1个或4个（C ）3个或4个（D ）1个、3个或4个3．以下命题正确的有（）（1）若a∥b，b∥c，则直线a ，b ，c 共面；（2）若a ∥α，则a 平行于平面α内的所有直线；（3）若平面α内的无数条直线都与β平行，则α∥β；（4）分别和两条异面直线都相交的两条直线必定异面。

（A ） 1个（B ） 2个（C ） 3个（D ）4个4．正方体的一条体对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是（）（A ） 2 （B ） 3 （C ） 6 （D ） 125．以下命题中为真命题的个数是（）（1）若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α；（2）若直线a 在平面α外，则a ∥α；（3）若直线a∥b，α⊂b ，则a ∥α；（4）若直线a∥b，α⊂b ，则a 平行于平面α内的无数条直线。

（A ） 1个（B ） 2个（C ） 3个（D ）4个6．若三个平面两两相交，则它们的交线条数是（）（A ） 1条（B ） 2条（C ） 3条（D ）1条或3条7．若直线l 与平面α相交于点O ，l B A ∈,，α∈D C ,，且BD AC //，则O,C,D 三点的位置关系是。

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