函数的周期性的几个常用结论

函数的周期性的几个常用结论

(1) )(x f y =对∈∀x R 时，若)()(a x f a x f -=+或)0)(()2(≠=-a x f a x f 恒成立,则2a 是

)(x f y =的一个周期；若()()x a f x f +=-，1()(0)()f x a a f x +=≠，1()(0)()f x a a f x +=-≠恒成立，则2a 是)(x f y =的一个周期.

(2) 若)(x f y =是偶函数，其图像又关于直线a x =）（0≠a 对称，则)(x f 是以a 2为一

个周期的周期函数；若)(x f y =图像有两条对称轴,()x a x b a b ==≠，则)(x f y =是以2||T a b =-为一个周期的周期函数.

(3) 若)(x f y =奇函数，其图像又关于直线a x =）（0≠a 对称，则)(x f 是以a 4为一个

周期的周期函数；若函数()y f x =的图像有一个对称中心(,0)A a 和一条对称轴()x b a b =≠，则()y f x =是以b a -4为一个周期的周期函数.

(4) 若)(x f y =图像有两个对称中心(,0),(,0)()A a B b a b ≠，则)(x f y =是以2||T a b =-为一个

周期的周期函数.

例1：函数)(x f 对于任意实数x 满足条件=-==+))5((,5)1(,)(1)2(f f f x f x f 。 分析：5)1()5(),()

2(1)4(-===+=

+f f x f x f x f ；51)21(1)1()5())5((-=+-=-=-=f f f f f

例2：定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[3,2]--上是减函数，若,αβ是

锐角三角形的两个内角，则(sin ),(cos )f f αβ的大小关系为 。 （答：(sin )(cos )f f αβ>

)

例3：已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T ，则=-)2(T f 。 （答：0）