分析力学.

§1-4哈密顿函数
哈密顿方程
一、广义动量
将动能T对速度分量求偏导数,即可得动量的分量。
一个质量为m的质点的动能为(2221231
2
T m q q q =++ 111T
mq p q
∂==∂ 222T
mq
p q
∂==∂ 333T
mq
p q
∂==∂ 2
1
12s i i T m q ==∑推广到具有s个自由度的系统,则其动能为
p q
∂=∂ (
d 01,2,,d i i L L
i s t q
q ⎛⎞∂∂−
==⋅⋅⋅⎜⎟∂∂⎝⎠ d d i i
L p t q ∂⇒=∂根据拉格朗日方程
1、哈密顿函数i i
L p
q ∂⇒=∂ 11d d d s
s i i i i i i L L
L q q q q
==∂∂∴=+∂∂∑∑ (,i i L L q q
,,x y z ,,x y z ,,r θϕ,,r θϕ
§1-2拉格朗日方程
力是力学系统的核心,求解运动方程需要知道物体的受力情况(大小和方向。
牛顿力学的运动微分方程:2
2d d r
m F
t
=拉格朗日方程的特点是避开矢量力,而利用标量动能和势能来描述运动。
从牛顿方程出发推导拉格朗日方程
1、单个质点不受约束需三个独立坐标描述其位置,即有三个自由度。直角坐标系中位置矢量:
四大力学：1、理论力学2、量子力学3、电动力学4、热力学统计物理
理论力学——分析力学基础部分牛顿力学回顾一、研究对象物体的机械运动即物体的空间位置随时间变化。r = r (t二、牛顿的时空观（狭义相对论的时空观）时间、空间、质量三个基本物理量是绝对的，它们与运动无关且彼此独立，“同时性”和力学规律也是绝对的，而物体的坐标和速度是相对的。
例如：一质点M限制在球面的上半部运动，球心坐标为（a，b，c），则约束方程( x − a2 + ( y − b2 + ( z − c2 = R 2 z =c+ R 2 − ( x − a2 − ( y − b2故该质点在空间的位置由x、y就可确定，其自由度数为2。一般讲，一个由N个质点组成的质点系，每个质点不受约束，系统的确定需要3N个孤立坐标，则系统的自由度为3N。若受到k个约束作用，则其在空间的位置可由3N－k个坐标完全确定下来。系统的自由度为3N－k。
⎛⎞
∂==⎜⎟∂⎝⎠
上式再对时间求微分得:
动能对求偏导i q
d d i i T F t q
⎛⎞
∂=⎜⎟∂⎝⎠
i i U F q ∂=−∂由
和二式相减得:
d 0d i i
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U
t q
q ⎛⎞∂∂+=⎜⎟∂∂⎝⎠ 4、引入拉格朗日函数L L T U
=−动能T仅是速度的函数,势能U仅是坐标的函数,因此
i q
得到:0mx
kx +=例题:写出有心力场中质点的拉格朗日方程。(d d d d sin d r r r re re r e r e θϕθθϕ==++上式两边除以d t ,得到速度:
sin r r re
r e r e θϕθθϕ=++解:体系有三个自由度,选球坐标系为广义坐标。,,r θϕr r re =位置矢量在球坐标系的表达式为:位置矢量在球坐标系的微分表达式为:
123,,q q q 12,s q q q ⋅⋅⋅(
d 01,2,,d i i L L
i s t q
q ⎛⎞∂∂−
==⋅⋅⋅⎜⎟∂∂⎝⎠ (i i i
U T U L
q q q ∂−∂∂==−∂∂∂说明:
1、拉格朗日方程是力学系统的基本运动方程,运动方
程在牛顿力学中是牛顿第二定律,在分析力学中是拉格朗日方程。
(
(2222221sin 2L T U m r r r U r θθϕ=−=++− (222sin L L mr mr mr U r r
r θθϕ∂∂′==+−∂∂ 222sin cos L L mr mr θθθϕθθ
∂∂==∂∂求偏导:22sin 0L L mr θϕϕϕ
∂∂==∂∂
d 0d d 0d d 0d L L t r r L L t L L t θθ
ϕ
ϕ⎧∂∂⎛⎞−=⎪⎜⎟∂∂⎝⎠⎪⎪∂∂⎪⎛⎞−=⎨⎜⎟∂∂⎝⎠⎪⎪⎛⎞∂∂−=⎪⎜⎟∂∂⎪⎝⎠⎩将以上结果代入拉格朗日方程(d 01,2,,d i i L L i s t q q ⎛⎞∂∂−==⋅⋅⋅⎜⎟∂∂⎝⎠得到:
((222d sin d mr mr mr U r t
θθϕ′=+− (
222d sin cos d mr mr t θθθϕ= (22d sin 0d mr t θϕ=
r xi yj zk
=++
U U U U F U i j k
r x y z
∂∂∂∂=−∇=−=−−−∂∂∂∂
2、若单个质点在保守力场中运动:
——势能函数(U r
分量形式:x y z U
mx F x U my
F y U mz
F z ⎧∂==−⎪∂⎪
∂⎪
==−⎨∂⎪
⎪∂==−⎪∂⎩
若记x ,y ,z为q 1,q 2,q 3,
据具体情况而定。
•若,即势能仅是质点到力心距离的函数(有心力场,此时适宜于选取球坐标系。
(U U r =
3、直角坐标系中质点的动能为:
1
22i i i T m q
mq q
∂=×=∂ ((3222222
21231
111222i i T m x y z m q q q m q ==++=++=∑ d d i i i T mq F t q
212T mr =动能:
sin r r re
r e r e θϕθθϕ=++ ((
(2222221sin sin 2
1sin 2r r m re r e r e re r e r e m r r r θϕθϕθθϕθθϕθθϕ=++⋅++=++有心力势能仅是质点到力心距离的函数(U U r =所以拉格朗日函数为:
问题：力学规律是否只有牛顿形式？力学规律的其它表述形式：拉格朗日形式、哈密顿形式。分析力学的主要内容经典力学：牛顿力学＋分析力学第一章拉格朗日方程与哈密顿方程§1-1自由度和广义坐标一个自由质点在空间的位置可以用三个独立坐标来确定，我们说该自由质点有3个自由度。一般质点运动会受到约束限制，则其自由度数会减少。若有一个约束方程，确定其位置用两个独立坐标即可，则质点的自由度减少为2个。
= ∵
又对L进行勒让德变换,目的:i i i L
q p q
∂→=∂因此,变换后的函数为1
s
i i i L p q
=−∑勒让德变换=原函数-
原变量乘以变换量
∑11d d s s
i i i i i i p q p q ===+∑∑
将所得函数换号(乘以-1后定义为哈密顿函数H
1s
i i i H p q
L ==−∑ 1111111
上式又写为:
111U
mq
F q ∂==−∂ 222
U
mq
F q ∂==−∂ 333
U
mq
F q ∂==−∂ ,结合牛顿第二定律22d d r F m mr t == U F r
∂=−∂由上式合写为:(
1,2,3i i i
U
mq F i q ∂==−=∂说明:
•以上选取的是直角坐标系,但坐标系的选取要根
利用拉格朗日方程求解题目步骤:
1.分析约束,确定力学体系的自由度;
2.按自由度的数目,选取适当的广义坐标;
3.写出由广义坐标表示的动能、势能和拉格朗日函数;
4.建立拉格朗日方程组;
5.解方程并讨论。
例题:试用拉格朗日方程求质量m ,弹性系数为k的自由谐振子的运动微分方程。
解:体系只有一个自由度,选振子运动方向x为广义坐标。
对完整系统,系统的自由度数等于系统在空间中位置的独立坐标数目。
我们把这些描述质点系在空间中位置的独立坐标,称为广义坐标,用来表示。广
义坐标对时间的微商称为广义速度,用来表示。123i N k q q q q −……、、d d i q
t
123i N k q
q q q − ……、、描述质点系在空间中位置时,广义坐标的选取并不是唯一的。例如自由质点的位置可以用确定,则就是其一组广义坐标,如果利用球坐标,自由质点的位置也可以用确定,则也是其一组广义坐标。
212T mx =动能:212
U kx =势能:拉格朗日函数:221122
L T U mx kx =−=−
221122mx kx L mx x x
⎛⎞∂−⎜⎟∂⎝⎠==∂∂ 221122mx kx L kx x x ⎛⎞∂−⎜⎟∂⎝⎠==−∂∂ d 0d L L t x x
∂∂⎛⎞−=⎜⎟∂∂⎝⎠将以上结果代入拉格朗日方程
1
d d d d d d d d d d s s i i i i i i s s s s
i i i i i i i i i i i i s s
i i i i i i H p q L p q L p q
q p p q p q q
p p q ========⎛⎞⎛⎞
=−=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠
⎛⎞⎛⎞
=+−+⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠
x y
∂∂=+=+∂∂将函数换成以P和Q为变量的形式
(,f f x y =
(d d d Qy y Q Q y
=+∵(d d d f Qy P x y Q
−=−1、若要将变量y变为Q
变换后的函数:g f Qy
=−称为函数f的勒让德变换
(
,g f Qy g x Q =−=((d ,d ,d f P x y x Q x y y =+与上式相减得:
2、若要将变量x变为P
(d d d Px x P P x
=+∵两式相减得:(d d d f Px Q y x P −=−(
,g f Px g y P =−=变换后的函数:g f Px
=−称为函数f的勒让德变换
((d ,d ,d f P x y x Q x y y =+与式
相减得:
3、——三个变量(可推广到N个变量
2、在分析力学中特征函数为拉格朗日函数(标量函
数,在牛顿力学中特征函数是力(矢量。
2
2d d r m F t
= d 0d i i L L
t q
q ⎛⎞∂∂−
=⎜⎟∂∂⎝⎠
3、由可以看出,拉格朗日函数是广义坐标和广义速度的函数。
(((,i i i i L T q
U q L q q =−= 4、不再限于直角坐标,在此为广义坐标。
将动能T对速度分量求偏导数,可得动量的分量。
i i i T
mq p q
∂==∂
由于势能函数只与广义坐标有关,与广义速度无关,因此
(i i i i T U T L
p q q q
∂−∂∂===∂∂∂称为广义动量i L
q
∂∂二、勒让德变换设有函数(
,f f x y =((d d d ,d ,d f f
f x y P x y x Q x y y
i q (
d 01,2,,d i i L L i s t q q ⎛⎞∂∂−==⋅⋅⋅⎜⎟∂∂⎝⎠ 5、描述具有s个自由度的系统,有s个广义坐标,需列出s个拉格朗日方程。在很多情况下,由拉格朗日方程得到的关于广义坐标的运动微分方程是二阶非线
性的,求解它们还需知道和的初始值。i q i q
(
d 01,2,,d i i L L i s t q q ⎛⎞∂∂−==⋅⋅⋅⎜⎟∂∂⎝⎠
d d d d f P x Q y R z =++(d d d d f Qy Rz P x y Q z R
⇒−−=−−((
,,g f Qy Rz g x Q R =−+=变换后的函数:
(g f Qy Rz =−+称为函数f的勒让德变换勒让德变换后的函数=原函数-
原变量乘以变换量
∑归纳
三、哈密顿函数与哈密顿方程广义动量i i L
(,,f f x y z =(((d d d d ,,d ,,d ,,d f f f f x y z
x y z
P x y z x Q x y z y R x y z z
∂∂∂=++∂∂∂=++(d d d d d Qy Rz y Q Q y z R R z
+=+++要将,采用与前面一样的方法,有:
,,,,x y z x Q R →与式相减得:
i q (d d d d d d i i i T U T L t q
t q t q
∂−⎛⎞⎛⎞⎛⎞
∂∂==⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎝⎠
d 0d i i L L
t q
q ⎛⎞∂∂−
=⎜⎟∂∂⎝⎠此式即为用拉格朗日函数表示牛顿运动定律的拉
格朗日方程。
可以证明,将换成广义坐标,即可得到用广义坐标表示的具有s个自由度的系统的一般形式的拉格朗日方程。
三、力学状态的确定同时给定物体的坐标和速度（量子力学与此不同）四、力学规律的表达形式力学系统的运动微分方程（牛顿第二定律）：d2r m 2 =F dt力是力学系统的核心。五、伽利略相对性原理（爱因斯坦相对性原理）力学规律在所有惯性系中都是等价的，不存在特殊的惯性系。六、牛顿力学的适用范围低速（v运动。3 × 108 m/s）、宏观物体（l 10−10 m）的