线性代数-矩阵的相似对角化
大学线性代数课程 第二章第三节 矩阵的相似对角化 课件
1
( p1,
p2 ,L
,
pn
)
2
O
P,
n
所以 P 1 AP , 即Ａ与对角矩阵Λ相似．
的列向量必须满足上述条件。满足这个条件的向量称为
特征向量。
反之，若满足条件的向量 p1, p2 ,L , pn，
即 Api i pi (i 1, 2,L , n), 设 P ( p1, p2 ,L , pn ), 则Ｐ
可逆，且 AP ( Ap1, Ap2 ,L , Apn ) (1 p1,2 p2 ,L ,n pn )
若 P p1, p2,L , pn ,
1
有
A
p1 ,
p2 ,L
,
pn
p1 ,
p2 ,L
,
pn
2
O
1 p1,2 p2 ,L ,n pn
n
于是有 Api i pi (i 1, 2,L , n), 因为Ｐ可逆， 故
pi 0(i 1, 2L , n)
若存在可逆矩阵P,使得P-1AP成为对角矩阵，那么，P
（4）Ａ∽Ｂ，则 R A = R B
（5）Ａ∽Ｂ，则 A B （6）Ａ∽Ｂ，且Ａ可逆，则 A1 ∽ B1
B1 P 1 A1P
（7）Ａ∽Ｂ，则 Am ∽ Bm
（8）Ａ∽Ｂ，则Ａ的多项式 A ∽ B
特别 若有可逆矩阵Ｐ使 P 1 AP , 则 Ak P K P 1,
( A) P()P1.
一、定义
定义 设Ａ、Ｂ都是ｎ阶矩阵，若有可逆矩阵Ｐ， 使得 P 1 AP B, 则称Ｂ是Ａ的相似矩阵，或者说矩阵 Ａ与Ｂ相似．
记作： Ａ∽Ｂ． 对Ａ进行运算P 1AP, 称为对Ａ进行相似变换，
可逆矩阵Ｐ称为把Ａ变成Ｂ的相似变换矩阵．
线性代数-矩阵相似对角化
代数重数为 当λ 2 = λ 3 = 2时：(代数重数为 2 ) 解齐次方程组 (λ 2E − A)x = 0
4 − 1 − 1 (2E − A) = 0 0 0 4 − 1 − 1
r
1 − 1 − 1 4 4 0 0 0 0 0 0
的特征值， 的特征向量， 设 λ 为方阵 A 的特征值， α为 A 的属于 λ 的特征向量， E 是单位矩阵
(1) k + λ 是 kE ＋ A 的特征值 ( kE＋ A )α = kα＋ A α = kα ＋ λα = ( k + λ )α ＋ ( 2 )k λ 是 kA 的特征值 (kA )α = kA α = kλα = ( k λ )α ( 3 )λ m 是 A m 的特征值 A m α = A m − 1 A α = A m − 1 λα = λ A m − 1α = λ m α
11
☺特征值的性质 特征值的性质
定理1
设A为n阶方阵，λ1，λ 2， λ n为A的n个特征值，则有： 阶方阵， L 个特征值，则有： (1) λ1 + λ 2 + L + λ n = a11 + a 22 + L + a nn tr ( A) 迹 ( 2) λ1λ 2 Lλ n =| A |
f ( λ ) =| λ E − A | = a n λ n + a n − 1 λ n − 1 + L + a 2 λ 2 + a 1 λ + a 0
1 0 − 1 0 1 0 0 0 0
当λ1 = －1时： 解齐次方程组 (λ 1E − A)x = 0
(－E − A)
r
矩阵相似和对角化
矩阵相似和对角化矩阵的相似和对角化是线性代数中重要的概念和技术。
它们在矩阵理论、线性变换和特征值理论等领域具有广泛的应用。
下面将对矩阵相似和对角化进行详细介绍和相关参考内容的分享。
1. 矩阵的相似性（Matrix Similarity）：矩阵相似性是指两个矩阵具有相同的特征值与特征向量。
具体来说，对于n阶矩阵A和B，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则称矩阵A与B相似。
矩阵相似性的特性包括：(1) 相似矩阵具有相同的特征值，但不一定有相同的特征向量；(2) 相似矩阵具有相同的迹、行列式和秩；(3) 相似矩阵表示相同的线性变换，只是在不同的坐标系下表示。
矩阵的相似性在计算机图形学、信号处理和网络分析等领域有广泛的应用。
下面是几篇相关的参考文献：- "Matrix Similarity and Its Applications"（作者：Yu Zhang）是一篇介绍矩阵相似性及其应用的综述文章。
它详细讨论了相似矩阵的定义、性质和计算方法，并列举了相似矩阵在网络分析和信号处理中的应用案例。
- "On Similarity of Matrices"（作者：Pe tar Rajković et al.）是一篇关于相似矩阵的形式定义和性质研究的论文。
它推导了相似矩阵的充要条件和相似变换的表达式，并给出了相似矩阵的几何解释和应用示例。
- "Graph Similarity and Matching"（作者：Michaël Defferrard et al.）是一本关于图相似性和匹配算法的专著。
它介绍了基于矩阵相似性的图匹配方法，包括谱聚类、图嵌入和子图匹配等技术，对于矩阵相似性的理解和应用具有参考价值。
2. 矩阵的对角化（Matrix Diagonalization）：矩阵的对角化是指将一个可对角化矩阵相似转化成对角矩阵的过程。
线性代数 矩阵相似对角化
0 2
k2X0
上述必须有两个线性无关的解向量，r(-I-A)=1
4 2 2 4 2 2
rk4
0 2
k2rk0
0 0
0k1
k0
(2)代入k=0, 1,2 1 时，线性无关的特征向量：
1 120 T ,2 102 T
（4）Ａ~Ｂ，则 RA=RB
（5）Ａ~Ｂ，则 A B
（6）Ａ~Ｂ，且Ａ可逆，则 A1~B1
定理
若n阶矩阵A与B相似，则A与B有相同的特征 多项式，从而A与B有相同的特征值．
IAIB
QIBIP1A PP1IPP1A P
P1IAPIA
推论 若n阶矩阵A与对角矩阵
y1
x1
令Y
y2
P1
x2
,
y3
x3
Y
'
y1' y2'
P1
x1' x2'
,
y3'
x3'
故有
5 Y'00
0 3 0
003Yyyy231
推论 如果n阶矩阵Ａ有n个不同的特征值，则矩阵Ａ
可相似对角化．
推论 若n阶矩阵Ａ可相似对角化Ａ的任 t i 重特征值
i 对应 t i 个线性无关的特征向量．
注意 （1）P中的列向量 p1,p2, ,pn的排列顺序要与
1,2, ,n的顺序一致．
（2）因 p i 是 (A E )x0 的基础解系中的解向量，
的λ都是方阵Ａ的特征值．
(1)由 f()EA0求出A的所有特征值 1,2,L,n,
《线性代数》教学课件—矩阵的相似、对角化
若A PB P 1 , 则
k
1
A PB P 1 PB P
PB P 1 PB P 1 P B k P 1 .
A的多项式
( A) a0 An a1 An1 an1 A an E
a 0 P B n P 1 a 1 P B n 1 P 1
判断下列实矩阵能否对角化？
1 2 2
(1) A 2 2 4
2
4
2
解
2 1 2
( 2) A 5 3 3
1 0 2
1
(1)由 E A
2
2
2
2
2 4
4
2
2 7
为对角阵，称矩阵A可对角化或相似于对角阵。
定理（重要结论）n阶方阵A与对角阵相似（即A能对角化)
的充要条件是A 有n个线性无关的特征向量。
1
假设存在可逆阵
P
,
使
P
AP 为对角阵,
定理证明：
把 P 用其列向量表示为 P p1 , p2 ,, pn .
由 P 1 AP , 得AP P ,
1
2
即 A p1 , p2 ,, pn p1 , p2 ,, pn
1 p1 , 2 p2 ,, n pn .
n
A p1 , p2 ,, pn Ap1 , Ap2 ,, Apn 1 p1 , 2 p2 ,
2
线性代数 矩阵的相似对角化(1)
矩阵的相似对角化◼矩阵的相似对角化◼矩阵相似对角化举例矩阵的相似对角化(1)主要内容◼可相似对角化的方阵◼矩阵的相似对角化定义1设A 是数域P 上的n 阶方阵，如果存在数域P 上的可逆阵Q ，使得n Q AQ λλλ−⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭121,则称A 是可相似对角化的方阵，简称A 为()i P i n λ∈=1,2,,,可对角化.⚫可相似对角化的方阵例11101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭取复数域C 上的二阶矩阵则A 在复数域上不能对角化.证a b Q c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭设若不然，则存在可逆矩阵并非所有方阵都可以对角化.Q AQ λλ−⎛⎫= ⎪⎝⎭11200，λ1,λ2∈P .使AQ Q λλ⎛⎫= ⎪⎝⎭120012011001a b ab c d cd λλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即于是比较两边元素有1212a c a a dbc cd d λλλλ+=⎧⎪+=⎪⎨=⎪⎪=⎩由于Q 可逆，再由第一式有c = 0，c ,d 不能同时为0，不妨设c ≠ 0，这导致矛盾.因此，不可能存在可逆矩阵Q 使Q -1AQ 化即A 在复数域C 上不能对角化.则有λ1=1，成对角形，(1)单位矩阵只能同单位矩阵相似.例2(2)数量矩阵也只相似于数量矩阵.因为对单位矩阵E与任何可逆矩阵P,都有P−1EP = E, P−1kEP = kE.问题：给定n阶矩阵A，如何在与A相似的所有方阵中，找出最简单的矩阵是什么？(相似标准形问题)换言之，如何寻找一个可逆矩阵Q，使Q-1AQ=B成为对角阵呢?（这一片不出现）这就是下面要讨论的主要问题.我们知道：1.单位矩阵只能同单位矩阵相似.2.数量矩阵也只相似于数量矩阵.除这两类阵矩外，再简单的矩阵就是对角矩阵.那么任何矩阵A是否都相似于一个对角矩阵呢？如果A 可相似对角化，n Q AQ λλλ−⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭121,则存在可逆阵Q 使也就是说，满足什么条件的矩阵是可以对角化的呢?若此式成立, λi 应满足什么条件呢？n AQ Q λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭12.记α1,α2, …, αn 为Q 的列向量，121212(,,,)(,,,),n n n A λλααααααλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭则有从而有即()()121122,,,,,,n n n A A A αααλαλαλα=从而()i i i A i n αλα==1,2,,且α1, α2, …, αn 线性无关.⚫矩阵相似变换下化为对角形定理1证明(⇐)若A 有n 个线性无关的分别属于特征值n 阶矩阵A 与对角矩阵相似⇔A 有n 个线性无关的特征向量.λ1, λ2, …, λn 的特征向量α1, α2, …, αn , 以α1, α2, …, αn 为列向量作矩阵Q =(α1, α2, …, αn ),显然Q 满秩. 且12(,,,)nAQ A A A ααα=1122(,,,)n n λαλαλα=()1212n n λλαααλ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭n Q λλλ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭12即n Q AQ λλλ−⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭121.(⇒)必要性由充分性逆推可得.注：证明中λ, λ2, …, λn的顺序与α1, α2, …, αn1对应.不管顺序如何，对角矩阵的主对角线元素总是A的n 个特征值.因此在不考虑顺序时，与矩阵A相似的对角阵唯一.定理1表明：一个n阶方阵A是否可以相似对角化，关键在于它是否有n个线性无关的特征向量.我们从例1可以看到，并非任何方阵都可相似对角化.问题是否任一n 阶矩阵都有n 个线性无关的特征向量呢?征值的特征向量是彼此线性无关的，有n 个线性无关的特征向量，如果A 的特征值都是单根，因为属于不同特这时A 从而A 可以对角化.推论：证若A 是复数域上的n 阶矩阵，且A 在复数域上的特征根都是单根，在复数域上可相似对角化.由于复数域上的n 次多项式必有n 个根，如果都是单根，则这n 个根互不相同.必有分别属于它们的特征向量于是，则A α1, α2, …, αn .α1, α2, …, αn 线性无关，由定理可知:A 可相似对角化. 从而该推论给出了方阵相似于对角形矩阵的一个充分条件，但不是必要条件.问题是否任一n阶矩阵都有n个线性无关的特征向量呢?如果A有重根，注意到属于A 的不同特征值的线性无关的特征向量组成的向量组是线性那么只有属于它的每个重根的线性无关的，无关的特征向量个数和该特征值的重数相等它才有n个线性无关的特征向量，这时时，A才可以对角化.补充定理在复数范围内，n阶矩阵相似于对角形矩阵的充分必要条件:每个特征值的线性无关特征向量的个数等于它的重根的次数.。
矩阵的相似与对角化
矩阵的相似与对角化在线性代数中，矩阵是一种重要的数学工具，与线性变换和向量空间的理论密切相关。
矩阵的相似与对角化是矩阵理论中的两个重要概念，它们在解决特征值问题、矩阵的可对角化性和矩阵的特殊性质等方面发挥着重要作用。
一、矩阵的相似矩阵的相似是指具有相同特征值的矩阵之间存在一种关系。
设A和B是两个n阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得PAP⁻¹=B成立，那么就称矩阵A与B相似，记作A∼B。
相似关系是一种等价关系，它具有自反性、对称性和传递性。
相似矩阵有以下几个重要性质：1. 相似矩阵具有相同的特征值。
设A与B相似，那么它们的特征多项式和特征值都相同。
2. 相似矩阵具有相同的迹。
矩阵的迹是指主对角线上元素的和。
如果A与B相似，那么它们的迹也相等。
3. 相似矩阵具有相同的秩。
矩阵的秩是指矩阵的列空间的维度。
如果A与B相似，那么它们的秩也相等。
二、矩阵的对角化对角化矩阵是一种特殊的相似矩阵，使得矩阵在某一种特殊的变换下能够变为对角矩阵。
设A是一个n阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得PAP⁻¹=D成立，其中D是一个对角矩阵，那么就称矩阵A可对角化。
对角化的充要条件是矩阵A有n个线性无关的特征向量，即A的特征向量组成一个线性无关的向量组。
此时，矩阵A经过适当的变换后，可以将其对角化。
对角化的优点是简化了矩阵的计算和处理。
对角矩阵的运算更加方便，可以更直观地观察矩阵的性质，同时在求解线性方程组和矩阵的幂等问题时，也能够更加高效地进行计算。
三、矩阵相似与对角化的关系矩阵的相似与对角化之间存在一定的联系。
设A是一个n阶矩阵，如果A与对角矩阵D相似，那么A可对角化。
具体地说，如果存在一个可逆矩阵P，使得PAP⁻¹=D成立，那么矩阵A可对角化。
对角化的好处在于可以将矩阵的运算和计算简化为对角矩阵的运算。
同时，对角化也能够更好地揭示矩阵的特殊性质，如特征值、特征向量和秩等。
计算矩阵的相似和对角化是解决线性代数问题的重要方法。
线性代数 矩阵的对角化
−1
则有
−1 1 1 −2 0 P −1 AP = 0 1 0 0
−2 0 1 0 , 0 1 0 0 . 1
则有
即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应． ． 要相互对应
故
Ak = Pdiag(λ1k ,⋯ , λnk ) P −1
λ1k = P P −1 (6(6-11′) ⋱ k λn
λ2k
λ −4 λI − A = 3
3
−6 λ +5 6
0 0
= (λ − 1) (λ + 2)
2
λ −1
所以A的全部特征值为 λ1 = λ2 = 1, λ3 = −2.
− 2 ξ1 = 1 , 0
0 ξ2 = 0 . 1
将 λ3 = −2代入 (λI − A ) x = 0, 得方程组的基础 解系
例3 试将矩阵
解 特征多项式为
k (λ ) = 3− λ 2 2
3 − 1 − 2 对角化. A= 2 0 − 2 2 − 1 − 1
故特征方程 有根
λ (λ − 1) 2 = 0
λ1 = 0, λ 2 = λ3 = 1
为
对于λ1=0, (6(6-1′)
−1 −2 3− λ 1 2 −λ −2 = 2 2 λ −1 −1− λ 2 1 1+ λ
ρλ = mλ
（证略） 证略）
例５ 考察矩阵 A =
1 1 是否可对角化. 0 1
可求出对应于特征值λ=1的特征向量. 由于方程组的 系数矩阵之秩为1，故对应的特征子空间是1维的， 维的， 即
线性代数3.2 相似矩阵与矩阵可对角化的条件
2 1 2 ， 1 1 1 。 A 0 2 3 0 0 1 8
属于2的特征向量为 属于1的线性无关特征向量为 T 1 (1, 0, 0)T 3 (1, 1, 0) 根据定理4.1知该矩阵不可对角化。
特征值 1 2 （二重） 1
1 1 1 1 1 1 1 1 31 31 2 1 0 32 2 3 2 62 94 62 2 0 1 32 2 2 11 62 62 30
有 A 1 ~ B 1 。 定理3.7 设 A ~ B ， 则矩阵 A, B具有相同的特征多项式， 具有相同的特征值。 证明： A ~ B P 1 AP B 从而具有相同的特征值。 det(E B) det(E P 1 AP ) det( P 1 (E A) P) det( P 1 ) det(E A) det P det(E A) 这表明矩阵 A, B 具有相同的特征多项式，
所以 A ~ B 。
附注1： 对于可逆矩阵 Q 4 1 ， 5 1 可以有
4 1 3 4 4 1 2 0 Q AQ C 5 1 5 2 5 1 0 7
1
1
于是 A ~ C 。 附注2： 1）与矩阵A相似的矩阵不是唯一的， 也不都全 是对角矩阵； 2）可以构造许多矩阵与A相似，哪些可以得到
1
1 3 2 5 10 1 6 1
1
4 1 1 2 1 3 4 1 1 2 1 2 1 1 5 2 1 2 1 1 9 B 2 2 4
线性代数-矩阵的相似对角化
5.6 应的线性无关的特征向量的个数必须恰好等于该特征
值的重数。
P146 推论2
推论 如果 n 阶矩阵 A 有 n 个不同的特征值，则矩阵 A 可以 P145 相似对角化。
推论1
10
§5.2 矩阵的相似对角化
第 三、矩阵相似对角化的方法步骤
五 章
步骤
(1) 求 n 阶方阵 A 的特征值 1, 2 , , r ,
似 矩 阵
P
1 A
P
a1
a2
Λ,
A P Λ P 1,
a3
由矩阵 A 与 L 相似，故它们有相同的特征值，即得
a1 a2 a3 a ,
Λ a I , A P(a I )P 1 a I , 矛盾！
故矩阵 A 不能相似对角化。7源自§5.2 矩阵的相似对角化
第 二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
4
§5.2 矩阵的相似对角化
第 二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
五 章
定义
对于 n 阶矩阵 A，若存在可逆的 n 阶方阵 P， 使得
P145
相 定义 似 5.3 矩
记为
Λ.
阵
则称 A 可相似对角化 ；
▲
5
§5.2 矩阵的相似对角化
第 二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
五 章
好处
若存在可逆矩阵 P 使 P 1 AP B , 则 A PBP1,
相
其重数分别为 s1, s2 , , sr ;
似 矩
(2) 对每一个特征值 i , 求矩阵 A 特征向量，
阵
并找出其中线性无关的特征向量，其最大个数为 ti ;
(3) 若 ti si , 则 A 不能相似对角化；
相似矩阵及对角化
相似矩阵及对角化
相似对角化的条件是：n阶方阵存在n个线性无关的特征向量；如果这个n阶方阵有n个不同的特征值，那么矩阵必然存在相似矩阵；如果阶n方阵存在重复的特征值，每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重复次数。
相似对角化是指设m为元素取自交换体k中的n阶方阵，将m对角化，就是确定一个对角矩阵d及一个可逆方阵p，使m=pdp-1。
设f为典范对应于m的kn的自同态，将m对角化，就是确定kn的一个基，使在该基中对应f的矩阵是对角矩阵。
相近对角化就是线性代数中最重要的知识点之一。
如果一个方阵a相近于对角矩阵，也就是说存有一个对称矩阵p，使就是对角矩阵，则就被称作可以相近对角化的。
可对角化矩阵是线性代数和矩阵论中重要的一类矩阵。
如果一个方块矩阵a相似于对角矩阵，也就是说，如果存在一个可逆矩阵p对角矩阵，则它就被称为可对角化的。
如果v是有限维度的向量空间，则线性映射t存在v→v被称为可对角化的，如果存在v的一个基，t关于它可被表示为对角矩阵。
对角化是找到可对角化矩阵或映射的相应对角矩阵的过程。
准确对角化法本身的物理概念极为直观，若是只须要获得极小尺寸的结果，在程式编写方面也很难，然而减少系统尺寸时，随着所需的内存激增，程式设计显得非常困难。
精确对角化法本身的物理概念极为简单，若是只需要得到极小尺寸的结果，在程式撰写方面也很容易，然而增加系统尺寸时，随着所需的内存暴增，程式设计变得非常困难。
主要困难之处在于如何有效运用有限的内存，以及提升程式运作的效率。
线性代数 5-2矩阵相似对角化
数学科学学院 陈建华
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4.2 矩阵相似对角化
• 相似矩阵 • 矩阵可对角化条件 • 矩阵对角化的应用 • 实对称矩阵特征值和特征向量的性质 • 实对称矩阵的对角化
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一、相似矩阵
引例
⎛ 1 −1 ⎞ ⎛ 2 1⎞ ⎛ 1 1⎞ ,A = ⎜ , B =⎜ , 设 P =⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎝ −1 2 ⎠ ⎝ −1 0 ⎠ ⎝ 0 1⎠
| AB + A − B − E |=| ( A − E )( B + E ) |=| A − E || B + E | =| A − E || A + E |=| A2 − E |=| E |= 1
例2 设n阶矩阵A,B ,则下列结论正确的是（ ） (A) 矩阵A,B有相同的特征值，则它们相似 (B) 矩阵A的非零特征值个数与它的秩相等 (C) 若矩阵A,B相似，则它们与同一个对角形矩阵相似 (D) 若A 可对角化，且A,B相似，则它们与同一个对角形矩阵相似
⎛ λ1 ⎜ λ2 ⎜ = ( α 1 , α 2 ,⋯ , α n ) ⎜ ⎜ ⎝
PΛ
AP = P Λ ⇒ P −1 AP = Λ
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⇒
P AP = Λ ⇒ AP = P Λ
⎛ λ1 ⎜ ⎜ α , α , , α ⋯ ( ) n = 1 2 ⎜ ⎜ ⎝
−1
P = (α1 , α 2 ,⋯ , α n )
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α1 , α 2 分别是矩阵A 的属 例3.已知A是 3 阶方阵， -1 和1的特征向量，Aα 3 = α 2 + α 3 证明： 于特征值 于特征值-1 -1和
相似对角化的必要条件
相似对角化的必要条件相似对角化是线性代数中一个重要的概念，它在矩阵的理论和应用中都有广泛的应用。
在实际问题中，我们经常遇到需要对矩阵进行相似对角化的情况，因此了解相似对角化的必要条件对于解决这类问题非常重要。
相似对角化的必要条件是矩阵可对角化。
什么是可对角化呢？一个n阶方阵A可对角化，意味着存在一个可逆矩阵P，使得P的逆矩阵P^{-1}与A相乘的结果是一个对角矩阵D，即P^{-1}AP=D。
其中，D是一个对角矩阵，对角线上的元素是A的特征值。
那么，相似对角化的必要条件是什么呢？我们可以通过以下几个步骤来推导。
假设矩阵A可对角化，即存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP=D。
那么我们可以将这个等式两边同时左乘P，得到P(P^{-1}AP)=PD，即AP=PD。
接着，我们将矩阵A写成特征值和特征向量的形式，A=X\Lambda X^{-1}，其中X是由A的n个线性无关的特征向量组成的矩阵，\Lambda是一个对角矩阵，对角线上的元素是A的特征值。
将AP=PD代入等式，得到X\Lambda X^{-1}P=PDX\Lambda X^{-1}。
我们可以将上式两边同时右乘X，得到X\Lambda=X\Lambda X^{-1}PDX\Lambda X^{-1}。
由于X是可逆矩阵，所以可以从等式两边同时左乘X^{-1}，得到\Lambda=X^{-1}PDX。
我们可以看到，如果矩阵A可对角化，那么PDX=\Lambda，即矩阵PDX与对角矩阵\Lambda相等。
由于\Lambda是对角矩阵，所以PDX也必须是对角矩阵。
我们可以得出相似对角化的必要条件为：矩阵A可对角化，即存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP=D。
其中，D是一个对角矩阵，对角线上的元素是A的特征值。
这个条件可以进一步转化为矩阵PDX=\Lambda，即矩阵PDX与对角矩阵\Lambda相等。
需要注意的是，相似对角化的必要条件并不意味着矩阵A一定可对角化。
线性代数课件4-2相似矩阵和矩阵对角化
A ~ B, B ~ C A ~ C （3）传递性：
证明 假设存在可逆矩阵 P ，使得 P 1 AP D
为对角阵 D diag (1, 2 , , n ) ， 设 P ( p1 , p2 , , pn ) ，则由 P 1 AP D
AP PD
即
A ( p1 , p2 ,
, pn ) ( p1 , p2 ,
例3 设
4 3 A 2 1
（1）问 A 可否对角化？若能，求出相应的 1 P ，使得 P AP 为对角阵。 n （2）求 A 。 解 由
f ( ) E A
4
2
3
1
2 3 2 ( 1)( 2)
显然 A 由两个不同的特征值1，2，所以 A 可以对角化。 当 1 1 时，解方程组 (1E A) X 0
定理4不仅给出了一个方阵可对角化的充要条 件，而且也给出了求解相似变换阵的方法。
定理5 如果矩阵 A 的特征值 i j ，则与它们 对应的特征向量 pi 和 p j 线性无关。 推论 若 n 阶方阵 A 有 n个互异的特征值 , ,..., 1 2 n 则 可对角化，且 A diag (1, 2 ,..., n ) A
1 解得其基础解系为 p1 1
例题
例1 设
2 0 0 A 1 2 1 1 0 1
试问 A 可否对角
矩阵的对角化与相似矩阵
矩阵的对角化与相似矩阵矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在各种数学和应用领域都有广泛的应用。
在矩阵的理论中，对角化是一个重要的概念，它与相似矩阵密切相关。
本文将介绍矩阵的对角化以及相似矩阵的概念与性质。
一、矩阵的对角化矩阵的对角化是指将一个矩阵通过相似变换转化为对角矩阵的过程。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP为对角矩阵D，即P^{-1}AP = D其中D是一个对角矩阵，那么我们说矩阵A是可对角化的，且P是对A的对角化矩阵。
对角化的一个重要性质是对角矩阵的特殊性，对角矩阵的非零元素位于主对角线上，其余元素均为0。
对于一个可对角化的矩阵A，我们可以通过矩阵的特征值与特征向量来进行对角化。
特征值与特征向量是矩阵理论中的另外两个重要概念，特征值表示线性变换后特征向量方向上的缩放比例。
设矩阵A的特征值为λ_1, λ_2, ..., λ_n，对应的特征向量为v_1,v_2, ..., v_n，那么我们可以将这些特征向量按列排成一个矩阵P，即P = [v_1, v_2, ..., v_n]根据特征值与特征向量的定义，我们有AP = PD其中D是一个对角矩阵，其主对角线上的元素为矩阵A的特征值，其余元素为0。
由此可得到可逆矩阵P和对角矩阵D的关系P^{-1}AP = D因此，如果我们找到了矩阵A的特征向量和特征值，就可以通过特征向量构成的矩阵P来实现矩阵的对角化。
二、相似矩阵在矩阵的理论中，还有一个与对角化相关的概念是相似矩阵。
如果存在一个可逆矩阵P，使得矩阵A和B之间存在如下关系B = P^{-1}AP那么我们称矩阵A和B是相似的，且P是从矩阵A到矩阵B的相似变换矩阵。
相似矩阵具有许多重要的性质。
首先，相似矩阵具有相同的特征值，也就是说，如果A和B是相似矩阵，那么它们的特征值是相同的。
其次，相似矩阵具有相似的行列式、迹等性质。
此外，相似变换不改变矩阵的秩和行列式的性质。
相似矩阵在线性代数中有着广泛的应用。
线性代数矩阵的相似对角化与特征值分解
线性代数矩阵的相似对角化与特征值分解线性代数是现代数学的一个重要分支，研究向量空间、线性变换和矩阵等代数结构及其相互关系。
在线性代数中，矩阵是一种重要的数学工具，而矩阵的相似对角化与特征值分解是矩阵理论中的两个重要概念。
一、矩阵的相似对角化在线性代数中，给定一个方阵A，如果存在一个非奇异矩阵P，使得P的逆矩阵存在且AP=PD，其中D为对角矩阵，那么称矩阵A与对角矩阵D相似，并称P为可逆矩阵P的逆变形式。
相似对角化的概念其实是在矩阵的变相似的基础上提出的，即可以通过改变坐标系，将一个矩阵转化为对角矩阵。
这种转化有助于简化矩阵的运算和分析，使得问题变得更加清晰和易于解决。
在相似对角化的过程中，对角矩阵D的对角元素就是矩阵A的特征值。
通过矩阵的特征值和特征向量可以得到矩阵的相似对角化形式。
相似对角化的好处之一是可以在一定程度上简化矩阵的计算，比如求矩阵的幂等运算、矩阵的矢量和等。
二、特征值分解特征值分解是矩阵理论中的另一个重要概念。
给定一个方阵A，如果存在一个对角矩阵D和一个可逆矩阵P，使得P的逆矩阵存在且A=PDP^-1，那么称矩阵A存在特征值分解。
特征值分解的概念可以看作是相似对角化的一种特殊情况，即P也是矩阵A的特征向量构成的矩阵。
因此，特征值分解可以理解为一种将矩阵A分解为特征值和特征向量的表达方式。
特征值分解不仅可以用来描述矩阵的性质和特点，而且在很多实际问题中有广泛的应用。
比如在机器学习中，特征值分解可以用来降维和特征提取。
在信号处理中，特征值分解可以用于频谱分析和滤波器设计。
三、线性代数矩阵的应用线性代数矩阵的相似对角化和特征值分解在实际应用中有着广泛的应用。
以下是其中几个常见的应用领域：1. 图像处理和计算机视觉：在图像处理和计算机视觉中，矩阵的相似对角化和特征值分解可以用于图像压缩、图像去噪、图像恢复等方面。
通过对图像矩阵进行相似对角化和特征值分解，可以提取图像的主要特征，从而实现对图像的处理和分析。
相似对角化的矩阵
相似对角化的矩阵在线性代数中，相似对角化是一种非常重要的矩阵变换方法。
它可以将一个复杂的矩阵转化为一个更简单的对角矩阵，从而方便我们进行矩阵运算和求解问题。
相似矩阵的定义我们需要了解相似矩阵的定义。
如果存在一个可逆矩阵P，使得两个矩阵A和B满足以下关系：B = P^-1AP那么我们就称B是A的相似矩阵。
这个定义看起来比较抽象，但是实际上它非常有用。
因为相似矩阵具有很多相同的性质，比如它们的特征值和特征向量是相同的。
相似对角化的定义接下来，我们来看相似对角化的定义。
如果一个矩阵A可以被一个可逆矩阵P相似对角化，那么我们就可以将A表示为以下形式：A = PDP^-1其中，D是一个对角矩阵，它的对角线上的元素就是A的特征值。
这个式子看起来比较复杂，但是实际上它非常有用。
因为对角矩阵非常容易进行矩阵运算，我们可以利用它来简化问题的求解。
相似对角化的步骤现在，我们来看相似对角化的具体步骤。
假设我们要将一个矩阵A 相似对角化，那么我们需要按照以下步骤进行：1. 求出A的特征值和特征向量。
2. 将特征向量组成一个矩阵P。
3. 求出P的逆矩阵P^-1。
4. 将A表示为A = PDP^-1的形式，其中D是一个对角矩阵，它的对角线上的元素就是A的特征值。
相似对角化的应用相似对角化在实际应用中非常广泛。
比如，在量子力学中，我们需要求解一个复杂的哈密顿矩阵，这个矩阵通常是一个非对角矩阵。
但是，我们可以利用相似对角化的方法，将这个矩阵转化为一个对角矩阵，从而方便我们进行求解。
在机器学习中，我们也经常需要对一个矩阵进行相似对角化。
比如，在主成分分析中，我们需要将一个协方差矩阵进行相似对角化，从而得到它的特征值和特征向量，进而进行降维处理。
总结相似对角化是一种非常重要的矩阵变换方法，它可以将一个复杂的矩阵转化为一个更简单的对角矩阵，从而方便我们进行矩阵运算和求解问题。
相似对角化的步骤包括求出特征值和特征向量、组成可逆矩阵P、求出P的逆矩阵、将矩阵表示为A = PDP^-1的形式。
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即 y1 0.9 z1 0.1
0.2 0.8
y0 z0
,
矩 阵
第 k 年末城乡人口为
yk zk
0.9 0.1
0.2 0.8
yk 1 zk 1
,
即
yk zk
0.9 0.1
0.2 0.8
k
y0 z0
,
记 A 0.9 0.1
0.2 , 0.8
则有
yk zk
Ak
y0 z0
,
相
其重数分别为 s1, s2 , , sr ;
似 矩
(2) 对每一个特征值 i , 求矩阵 A 特征向量，
阵
并找出其中线性无关的特征向量，其最大个数为 ti ;
(3) 若 ti si , 则 A 不能相似对角化；
(4) 若 ti si (i 1, 2, , r), 则以这些特征向量作为列向量构成矩阵 P， 从而有 P 1 AP Λ;
有
y0 z0
a
X1
b
X
2
,
X2
1 3
1 , 1
(线性无关)
故第 k 年末城乡人口为
yk zk
Ak
y0 z0
a Ak X1 b Ak X2
ak1 X1 bk2 X2 a X1 b(0.7)k X 2 ,
y z
a
X
1
1 2a , 3a
y : z 2 :1.
25
§5.2 矩阵的相似对角化
13
§5.2 矩阵的相似对角化
第 五
例
试将矩阵
A
a
a
1
相似对角化。
章
a
相 解 令 | I A| 0 , 得 A 的特征值为 1 a , (三重根)
似 矩
由 ( 1 I A)X 0, 得 A 的特征向量为
阵
1 0
X k1 0 k2 1 ,
(k12
k
2 2
0) ,
0 0
显然，最多能找到两个线性无关的特征向量，
§5.2 矩阵的相似对角化
第 五
§5.2 矩阵的相似对角化
章
一、相似矩阵的基本概念与性质
相 似
二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
矩 阵
三、矩阵相似对角化的方法步骤
四、矩阵相似对角化的应用
1
§5.2 矩阵的相似对角化
第 一、相似矩阵的基本概念与性质
五 章
1. 相似矩阵的概念
定义 对于 n 阶矩阵 A 和 B ，若存在可逆的 n 阶方阵 P 使得
(之一)
相
Ak
P
BP1
PBP
1
PBP1
PBk P 1.
似
k
矩 阵
特别地，若
a1 B Λ
a2
, an
a1k 则 Ak P Λk P 1 P
a2k
P 1.
ank
6
§5.2 矩阵的相似对角化
第 五
例
证明矩阵
A
a
1 a
1
不能相似对角化。
章
a
相 证 (反证法) 假设存在可逆矩阵 P ，使得
4
§5.2 矩阵的相似对角化
第 二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
五 章
定义
对于 n 阶矩阵 A，若存在可逆的 n 阶方阵 P， 使得
P145
相 定义 似 5.3 矩
记为
Λ.
阵
则称 A 可相似对角化 ；
▲
5
§5.2 矩阵的相似对角化
第 二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
五 章
好处
若存在可逆矩阵 P 使 P 1 AP B , 则 A PBP1,
22
§5.2 矩阵的相似对角化
第
(2) 由 | I A| 0 , 求得 A 的特征值为 1 1, 2 0.7 ,
五 章
它们对应的特征向量分别为
相 似
X1
1 3
2 , 1
X2
1 3
1 , 1
矩 阵
令 P 1 2 1 , 则 P 1 1 1 ,
3 1 1
1 2
且 P 1 A P 1 0 , A P 1 0 P 1 ,
阵
证明 因 A 与 B 相似，即存在可逆的矩阵 P 使得 P 1 AP B ,
故 | B I | | P 1 AP I | | P 1 AP P 1 I P |
| P1( A I )P || P1 | | A I | | P |
| A I |.
即 A 与 B 有相同的特征多项式。
11
§5.2 矩阵的相似对角化
第 三、矩阵相似对角化的方法步骤
五 章
步骤
(4) 若 ti si (i 1, 2, , r),
则以这些特征向量作为列向量构成矩阵 P，
相
似
从而有 P 1 AP Λ;
矩
阵
s1个
其中
Λ
s2
个
sr 个
12
§5.2 矩阵的相似对角化
第 三、矩阵相似对角化的方法步骤
似 矩 阵
P
1 A
P
a1
a2
Λ,
A P Λ P 1,
a3
由矩阵 A 与 相似，故它们有相同的特征值，即得
a1 a2 a3 a ,
Λ a I , A P(a I )P 1 a I , 矛盾！
故矩阵 A 不能相似对角化。
7
§5.2 矩阵的相似对角化
第 二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
第 四、矩阵相似对角化的应用
五 章
1. 人口流动问题
2. 微分方程组求解问题
相
似 例 求解常系数线性常微分方程组
矩
阵
其中， xi xi (t),
xi
dxi (t) dt
.
设想: 假如微分方程组为
x1 x2
1
x1 ,
2
x2
,
x3
3 x3,
则它们是三个独立 的齐次型微分方程, 其解非常容易得到.
0 0.7
0 0.7
因而有
Ak
P
1k 0
0 0.7k
P
1
.
23
§5.2 矩阵的相似对角化
第
(3) 第 k 年末城乡人口为
五
章 相
yk zk
Ak
y0 z0
P
1k 0
0 0.7k
P
1
y0 z0
似 矩
当 k 时，0.7k 0 , 故
阵
y 1 2 z 3 1
1 1 1 0
0 1 01
五 章
证明 A 为数量阵。
证 (1) 由题意可知：
相
似
n 维基本向量 e1, e2 , , en 是 A 的特征向量，
矩
阵
令 P (e1, e2 , , en ) I , 则存在 1, 2 , , n 使得
1
P 1 AP
2
,
n
1
即 A
2
,
n
19
§5.2 矩阵的相似对角化
相 P144 似 定义
P 1 A P B ,
矩 5.2 则称 A 与 B 相似，或者称 A 相似于 B，记为 A~ B .
阵
称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵。
称对 A 所进行的运算 P 1 AP 为对 A 进行相似变换。
注 矩阵相似是矩阵等价的一种特殊情况。
2
§5.2 矩阵的相似对角化
( A p1, A p2 , , A pn ) (a1 p1, a2 p2 , , an pn ) ,
于是有 A pi ai pi (i 1,2, , n), 又因为 P 可逆，故 pi 0 , 且 p1, p2 , , pn 线性无关， 因此 p1, p2 , , pn 是 A 的 n 个线性无关的特征向量 . 即
P 的列向量由 A 的线性无关的特征向量构成。
9
§5.2 矩阵的相似对角化
第 二、矩阵相似对角化的概念与问题分析
五 章
1. 问题分析
2. 矩阵可相似对角化的条件
相 似 定理 n 阶矩阵 A 能够相似于对角矩阵 Λ 的充分必要条件是
矩 阵
P145 定理
A 有 n 个线性无关的特征向量， 即 A 每个特征值所对
1 2 0
2
令
P
1
1
0,
则
P 1 A P
Λ
1 .
1 0 1
1
15
§5.2 矩阵的相似对角化
第 五 例 将矩阵 章
相似对角化，并求 A100 .
相 似
解
(2)由 P 1 A P Λ, 有 A P ΛP 1 ,
矩 阵
A100 P Λ100 P 1
1 1
2 1
0 2100 0
因此矩阵 A 不能相似对角化。
14
§5.2 矩阵的相似对角化
第 五 例 将矩阵 章
相似对角化，并求 A100 .
相 似
解
(1)由 | I A| 0 , 得 A 的特征值为 1 2 , 2 1,
矩
(单根) (重根)
阵
对 1 2 , 取特征向量 X1 (1, 1, 1)T ,
对 2 1, 取特征向量 X 2 (2, 1, 0)T , X 3 (0, 0, 1)T ,
0
1 0 1
1 1 1 2
3
4
1 2
1 2 1
3 2 1
1 0 1
似
矩 阵
1 2
9 3 2
7 1 2
3 3; 8