高考数学复习考点知识解析与专题练习62---随机事件的概率与古典概型

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具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型：
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
5．古典概型的概率公式
A包含的基本事件的个数
P(A)＝
.
基本事件的总数
概念方法微思考 1．随机事件 A 发生的频率与概率有何区别与联系？ 提示 随机事件 A 发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量 随机试验中，事件 A 发生的频率稳定在事件 A 发生的概率附近． 2．随机事件 A，B 互斥与对立有何区别与联系？ 提示 当随机事件 A，B 互斥时，不一定对立；当随机事件 A，B 对立时，一定互斥．也
件 A＝“取出的两个球同色”，B＝“取出的两个球中至少有一个黄球”，C＝“取出
的两个球中至少有一个白球”，D＝“取出的两个球不同色”，E＝“取出的两个球中
至多有一个白球”．下列判断中正确的序号为____________．
①A 与 D 为对立事件；②B 与 C 是互斥事件；③C 与 E 是对立事件；④P(C∪E)＝1；
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例 2 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验， 每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量 为 200 瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，
A.3 B.2 C.3 D.6
答案 D
解析 从两袋中各随机选取一个球，基本事件总数为 2×3＝6，取出的两球中至少有 1
个红球的对立事件是取出的两球都是黄球，所以利用对立事件概率计算公式得，取出 15
两球中至少有 1 个红球的概率 P＝1－6＝6. 思维升华 (1)判断互斥事件、对立事件一般用定义，不可能同时发生的两个事件为互
2 4 32 A.5 B.15 C.5 D.3 答案 A 解析 从袋中任取一球，有 15 种取法，其中取到白球的取法有 6 种，则所求概率为 P
62 ＝15＝5. 4．同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为________．
5 答案 6 解析 掷两个骰子一次，向上的点数共 6×6＝36(种)可能的结果，其中点数相同的结
⑤P(B)＝P(C)．
答案 ①④
解析 显然 A 与 D 是对立事件，①正确；当取出的两个球为一黄一白时，B 与 C 都发
生，②不正确；当取出的两个球中恰有一个白球时，事件 C 与 E 都发生，③不正确；
4
3
C∪E 为必然事件，P(C∪E)＝1，④正确；P(B)＝5，P(C)＝5，⑤不正确．
命题点 2 随机事件的频率与概率
车所用时间的频数分布情况如下表所示，
所用时间(天数)
10 11 12 13
通过公路 1 的频数 20 40 20 20
通过公路 2 的频数 10 40 40 10
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2．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是( )
A．至多有一次中靶
B．两次都中靶
C．只有一次中靶
D．两次都不中靶
答案 D
解析 “至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”． 3．袋中装有 6 个白球，5 个黄球，4 个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为( )
2＋16＋36 知，最高气温低于 25 的频率为 90 ＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率的估计值为 0.6. (2)当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时， 若最高气温不低于 25，则 Y＝6×450－4×450＝900； 若最高气温位于区间[20,25)，则 Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300； 若最高气温低于 20，则 Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100， 所以，Y 的所有可能值为 900,300，－100.
11 答案 3 3 解析 设平局(用△表示)为事件 A，甲赢(用⊙表示)为事件 B，乙赢(用※表示)为事件 C.容易得到如图．
31 平局含 3 个基本事件(图中的△)，P(A)＝9＝3.
31 甲赢含 3 个基本事件(图中的⊙)，P(B)＝9＝3.
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随机事件
命题点 1 随机事件的关系
例 1 (1)在 5 张电话卡中，有 3 张移动卡和 2 张联通卡，从中任取 2 张，若事件“2 张
A∪B 为必然事件，则称事 P(A∪B)＝ 对立事件
件 A 与事件 B 互为对立事 P(A)＋P(B)
件
＝1
3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率 P(E)＝1. (3)不可能事件的概率 P(F)＝0. (4)概率的加法公式 如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． (5)对立事件的概率 若事件 A 与事件 B 互为对立事件，则 P(A)＝1－P(B)． 4．古典概型
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解析 A 项，此人中靶的频率为 0.7，是一个随机事件，错误；B 项是一个随机事件， 不一定有 3 次“正面向上”，错误；C 项是一个随机事件，中奖或不中奖都有可能， 但事先无法预料，错误；D 正确． (3)有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲 到城市乙只有两条公路，据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的 200 辆汽
A.3 B.2 C.3 D.4 答案 C
111 解析 这两位同学同时参加 1 个社团的概率为 P＝3×3×3＝3，所以这两位同学参加
12 不同社团的概率为 P′＝1－P＝1－3＝3.
(2)(2020·商丘联考)已知甲袋中有 1 个红球和 1 个黄球，乙袋中有 2 个红球和 1 个黄球，
现从两袋中各随机选取一个球，则取出的两球中至少有 1 个红球的概率为( ) 1125
即两事件互斥是对立的必要不充分条件．
题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的．( × ) (2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( √ ) (3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( × ) (4)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等 可能的．( × ) 题组二 教材改编
65 果共有 6 种，所以点数不相同的概率 P＝1－36＝6.
题组三 易错自纠 5．(多选)若干个人站成排，其中不是互斥事件的是( ) A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙不站排尾” C．“甲站排头”与“乙站排尾” D．“甲不站排头”与“乙不站排尾” 答案 BCD
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解析 排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥，而 B，C，D 中，甲、 乙站位不一定在同一位置，可以同时发生，因此它们都不互斥．故选 BCD. 6．安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲 参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为( )
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则称此事件为事件 A 与事 件 B 的并事件(或和事件)
若某事件发生当且仅当事
交事件 件 A 发生且事件 B 发生， A∩B
(积事件) 则称此事件为事件 A 与事 (或 AB)
件 B 的交事件(或积事件)
A∩B 为不可能事件，则称 互斥事件
事件 A 与事件 B 互斥
A∩B＝∅
若 A∩B 为不可能事件， A∩B＝∅且
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Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20，由表格数据知，最高气温不低于 20 的频率为
36＋25＋7＋4
90
＝0.8.
因此 Y 大于零的概率的估计值为 0.8.
命题点 3 互斥事件与对立事件的概率
例 3 (1)某中学有 3 个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，甲、乙两位同学
均参加其中 1 个社团，则这两位同学参加不同社团的概率为( ) 1123
1 111 A.15 B.5 C.4 D.2 答案 B 解析 由题意可得，甲连续三天参加活动的所有情况为：第 1～3 天，第 2～4 天，第 3～ 5 天，第 4～6 天，共四种情况，∴所求概率 P＝C436··AA3333＝15.故选 B. 7．甲、乙两人做出拳(锤子、剪刀、布)游戏，则平局的概率为________；甲赢的概率 为________．
斥事件；若两个事件中有且仅有一个发生，则这两个事件互为对立事件．对立事件一
定是互斥事件．
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(2)概率与频率的关系：频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率随着试验次数 的增加越来越接近概率，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的 可能性的大小，有时也用频率作为随机事件概率的估计值． (3)求复杂互斥事件的概率的两种方法：①将所求事件转化成几个彼此互斥事件的和事 件，利用互斥事件概率的加法公式求解概率．②若将一个较复杂的事件转化为几个彼 此互斥事件的和事件时分类太多，而其对立面的分类较少，可考虑先求其对立事件的 概率，即运用“正难则反”的思想．常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率． 跟踪训练 1 (1)袋中装有 3 个白球和 4 个黑球，从中任取 3 个球，给出下列四组事件： ①“恰有 1 个白球”和“全是白球”；②“至少有 1 个白球”和“全是黑球”；③“至 少有 1 个白球”和“至少有 2 个白球”；④“至少有 1 个白球”和“至少有 1 个黑 球”．在上述每组事件中，互为对立事件的是( ) A．① B．② C．②③ D．①④ 答案 B 解析 ①互斥但不对立；②互为对立事件，③不是互斥事件，④不是互斥事件． (2)下列说法正确的是( ) A．某人打靶，射击 10 次，中靶 7 次，则此人中靶的概率为 0.7 B．一位同学做抛硬币试验，抛 6 次，一定有 3 次“正面朝上” C．某地发行一种彩票，回报率为 47%，若有人花了 100 元钱买此种彩票，则一定会有 47 元的回报 D．用某种药物对患有胃溃疡的 500 名病人进行治疗，结果有 380 人有明显的疗效，现 在胃溃疡病人服用此药，则可估计有明显疗效的概率约为 0.76 答案 D
3
7
全是移动卡”的概率是10，那么概率是10的事件是( )
A．至多有一张移动卡
B．恰有一张移动卡
C．都不是移动卡
D．至少有一张移动卡
答案 A 3
解析 由题意知“2 张全是移动卡”的对立事件是“至多有一张移动卡”，又 1－10＝
7
7
10，故“至多有一张移动卡”的概率是10.
(2)口袋里装有 1 红，2 白，3 黄共 6 个除颜色外完全相同的小球，从中取出两个球，事
得下面的频数分布表：
最高 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40]
气温
天数 2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量 为 450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率． 解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶，当且仅当最高气温低于 25，由表格数据
高考数学复习考点知识解析与专题练习
随机事件的概率与古典概型
1．概率和频率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数，称事件 A 出现的比例 fn(A)＝nnA为事件 A 出现的频
率． (2)对于给定的随机事件 A，由于事件 A 发生的频率 fn(A)随着试验次数的增加稳定于概 率 P(A)，因此可以用频率 fn(A)来估计概率 P(A)． 2．事件的关系与运算
定义
符号表示ห้องสมุดไป่ตู้
若事件 A 发生，事件 B 一
定发生，则称事件 B 包含 包含关系
事件 A(或称事件 A 包含于
B⊇A (或 A⊆B)
事件 B)
若 B⊇A 且 A⊇B，则称事 相等关系
件 A 与事件 B 相等
A＝B
并事件 若某事件发生当且仅当事 A∪B
(和事件) 件 A 发生或事件 B 发生， (或 A＋B)