中考数学专题测试卷:特殊四边形相关的折叠问题
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2021年江西省中考数学专题测试卷:特殊四边形相关的折叠问题
一、选择题
1. 如图,将▱ABCD 沿对角线AC 折叠,使点B 落在B ′处,若∠1=∠2=44°,则∠B 为( )
A .66°
B .104°
C .114°
D .124°
2.如图,在矩形ABCD 中,AB=3,BC=5,点E 在边CD 上,连接BE ,将△BCE 沿BE 折叠,若点C 恰好落在AD 边上的点F 处,则CE 的长为( )
A. 53
B. 35
C. 43
D.3
4
3.如图,正方形ABCD 的边长为9,将正方形折叠,使顶点D 落在BC 边上的点E 处,折痕为GH .若BE :EC=2:1,则线段CH 的长是( )
A.3
B. 4
C. 5
D.6
二、填空题
4. 如图,折叠矩形纸片ABCD ,得折痕BD ,再折叠使AD 边与对角线BD 重合,得折痕DF .若AB=4,BC=2,则AF= _________.
5. 如图,长方形ABCD 中,AB=3cm ,AD=9cm ,将此长方形折叠,使点B 与点D 重合,折痕为EF ,则△ABE 的面积为________ cm 2.
6.如图,正方形ABCD的边长为4,E为BC上的一点,BE=1,F 为AB上的一点,AF=2,P为AC上一个动点,则PF+PE的最小值为_______.
三、解答题
7.在平行四边形ABCD中,将△BCD沿BD翻折,使点C落在点E处,BE和AD相交于点O.
求证:OA=OE
8.如图,将□ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点
'D处,折痕l交CD边于点E,连接BE (1)求证:四边形'
BCED是平行四边形
(2)若BE平分∠ABC,求证:2
2
2BE
AE
AB+
=
A
B C
D
E
O
9.如图,AC为矩形ABCD的对角线,将边AB沿AE折叠,使点B落在AC上的点M处,将边CD沿CF折叠,使点D落在AC上的点N处。
(1)求证:四边形AECF是平行四边形;
(2)若AB=6,AC=10,求四边形AECF的面积。
10.将矩形ABCD折叠使A,C重合,折痕交BC于E,交AD于F,
(1)求证:四边形AECF为菱形;
(2)若AB=4,BC=8,
①求菱形的边长;
②求折痕EF的长.
参考答案
1. C .【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴AB ∥CD ,∴∠ACD=∠BAC ,
由折叠的性质得:∠BAC=∠B ′AC ,∴∠BAC=∠ACD=∠B ′AC=∠1=22°,
∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-44°-22°=114°.
2.B 【解析】设CE=x .
∵四边形ABCD 是矩形,
∴AD=BC=5,CD=AB=3,∠A=∠D=90°.
∵将△BCE 沿BE 折叠,使点C 恰好落在AD 边上的点F 处,
∴BF=BC=5,EF=CE=x ,DE=CD-CE=3-x .
在Rt △ABF 中,由勾股定理得:
AF 2=52-32=16,
∴AF=4,DF=5-4=1.
在Rt △DEF 中,由勾股定理得:
EF 2=DE 2+DF 2,
即x 2=(3-x )2+12,
解得x=3
5. 3.B[解析]由题意设CH=xcm ,则DH=EH=(9-x )cm ,
∵BE :EC=2:1,∴CE=BC=3cm
∴在Rt △ECH 中,EH 2=EC 2+CH 2,
即(9-x )2=32+x 2,
解得x=4,即CH=4cm .
4.-1
5. 6【解析】∵将此长方形折叠,使点B 与点D 重合,
∴BE=ED .
∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE .
∴BE=9-AE ,
根据勾股定理可知:AB 2+AE 2=BE 2.
∴32+AE 2=(9-AE )2.
解得AE=4cm .∴△ABE 的面积为×3×4=6(cm2).
17E 关于直线AC 的对称点E ′,连接E ′F ,则E ′F 即为所求,
过F 作FG ⊥CD 于G ,
在Rt △E ′FG 中,GE ′=CD-BE-BF=4-1-2=1,GF=4,
7.证明:∵四边形ABCD 为平行四边形,∴AD ∥BC ,且AD=BC ,∴∠ADB=∠CBD ,由折叠可知∠EBD=∠CBD ,BE=BC ,∴∠EBD=∠ADB ,∴BO=DO ,∵AD= BE ,∴AD - DO = BE- BO ,即OA=OE.
8.证明:(1)∵将▱ABCD 沿过点A 的直线l 折叠,使点D 落到AB 边上的点D ′处,
∴∠DAE=∠D ′AE ,∠DEA=∠D ′EA ,∠D=∠AD ′E ,
∵DE ∥AD ′,
∴∠DEA=∠EAD ′,
∴∠DAE=∠EAD ′=∠DEA=∠D ′EA ,
∴∠DAD ′=∠DED ′,
∴四边形DAD ′E 是平行四边形,
∴DE=AD ′,
∵四边形ABCD 是平行四边形,
∴四边形BCED ′是平行四边形;
(2)∵BE 平分∠ABC ,
∴∠CBE=∠EBA ,
∵AD ∥BC ,
∴∠DAB+∠CBA=180°,
∵∠DAE=∠BAE ,
∴∠EAB+∠EBA=90°,
∴∠AEB=90°,
∴AB2=AE2+BE2.
9.解:(1)证明:因为四边形ABCD 是矩形,那么AD ∥BC ,AB ∥CD ,所以∠FAC=∠ACE ,∠BAC=∠DCA 。
由折叠可得∠BAE=∠EAC=21∠BAC ,∠DCF=∠NCF=21
∠DCA ,所以∠EAC=∠FCA 。又因为AC=CA ,所以△CAE △ACF ,所以CE=AF 。即四边形AECF 是平行四边形。
(2)因为AB=6,AC=10,由勾股定理,得BC=8.设EM=x ,那么BE=EM=x ,所以CE=BC-BE=8-x ,CM=AC-AM=AC-AB=10-6=4.在Rt △CEM 中,由勾股定理,得EM2+CM2=CE2,所以x2+42=(8-x)2,解得x=3。
所以四边形AECF 的面积=2△ACE 的面积=2×21
AC ×EM=30.