河北衡水中学高三名校模拟三模下理科数学
河北省衡水市部分示范性高中2024届高三下学期三模数学试题
河北省衡水市部分示范性高中2024届高三下学期三模数学试题一、单选题1．已知集合{}()11,2,3,4,51lg 12A B x x ⎧⎫==-≤-≤⎨⎬⎩⎭，，则A B =I （ ） A ．11510x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭ B ．{2,3,4} C ．{2,3} D ．11310x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭2．已知函数()()22sin x x f x m x -=+⋅，则“21m =”是“函数()f x 是奇函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知21,e e u r u u r 是单位向量，1212e e ⋅=-u r u u r ，则122e e +u r u u r 与2e u u r 的夹角为（ ） A ．π6 B ．π4 C ．π3 D ．2π34．艳阳高照的夏天，“小神童”是孩子们喜爱的冰淇淋之一．一个“小神童”近似为一个圆锥，若该圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，圆锥的母线长为12cm ，则该圆锥的体积为（ ）A．3cm B ．3124πcm C．3cm D ．3168πcm5．已知数列{}{}n n a b ，均为等差数列，其前n 项和分别为n n S T ，，满足(23)(31)n n n S n T +=-，则789610a a ab b ++=+（ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．66．已知双曲线C ：22221()00a x y a bb >-=>，，圆221:(2)4O x y -+=与圆222:(1)1O x y +-=的公共弦所在的直线是C 的一条渐近线，则C 的离心率为（ ）AB ．2 CD7．已知sin(3)sin()tan(2)tan m n αβαβαβα-=--=，，则m ，n 的关系为（ ） A ．2m n = B ．1m n m += C ．1m n m =- D ．11m n m +=-8．已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为213325，，，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为（ ）A ．13B ．23 C ．813 D ．1013二、多选题9．复数πcos isin 4z θθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其中π02θ<<，设z 在复平面内的对应点为P ，则下列说法正确的是（ ）A ．当π4θ=时，z =B ．当π4θ=时，12z =-- C ．对任意θ，点P 均在第一象限 D ．存在θ，使得点P 在第二象限10．已知函数32()f x x mx =-，2x =是函数()f x 的一个极值点，则下列说法正确的是（ ）A ．3m =B ．函数()f x 在区间(1,2)-上单调递减C ．过点(1,2)-能作两条不同直线与()y f x =相切D ．函数[()]2y f f x =+有5个零点 11．已知在正方体1111ABCD A B C D -中，12AA =，点M 为11A D 的中点，点P 为正方形1111D C B A 内一点（包含边界），且//BP 平面1AB M ，球O 为正方体1111ABCD A B C D -的内切球，下列说法正确的是（ ）A ．球O 的体积为4π3B ．点P 的轨迹长度为C ．异面直线1CC 与BP 所成角的余弦值取值范围为⎣⎦D ．三棱锥11M AA B -外接球与球O 内切三、填空题12．()()7222x y x y +-的展开式中46x y 的系数为（用数字作答）13．已知112x =是函数π()sin(3π)02f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的一条对称轴，()f x 在区间(,)(0)t t t ->内恰好存在3个对称中心，则t 的取值范围为．14．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ，，焦距为6，点(1,1)M ，直线2MF 与C 交于A ，B 两点，且M 为AB 中点，则1AF B △的周长为．四、解答题15．某企业为调研旗下公司职工对加班宵夜的满意度情况，在该企业旗下一个某地子公司进行小范围调研试验，该试验从该小公司随机抽取50名男职工、30名女职工进行调研得到如下22⨯列联表：(1)根据表中数据，依据小概率值0.005α=的独立性检验，分析该子公司职工对加班宵夜的满意度是否与性别有关；(2)若该企业有员工10000人，本次调研情况近似作为企业整体职工情况，频率近似概率．若该企业为加班宵夜满意的员工分发20元的打车补助，给不满意的员工分发30元的打车补助，求企业本次发放总费用X 数学期望． 附：22()n ad bc n a b c d χ-==+++，16．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA B B 是矩形，122BB BC AB ===，1160BCC AC ∠=︒，(1)求证：1B C ⊥平面1ABC ；(2)求平面1AB C 与平面11A BC 所成角的余弦值．17．已知数列{}n a 满足：1212122n n n a a a a a ++==+=,,．(1)请写出324354a a a a a a ---，，的值，给出一个你的猜想，并证明；(2)设213n n b na +=，求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．已知()e x f x x =-．(1)求()f x 的单调区间和最值；(2)定理：若函数()f x 在(,)a b 上可导，在[]a b ，上连续，则存在(,)a b ξ∈，使得()()()f b f a f ξb a-'=-．该定理称为“拉格朗日中值定理”，请利用该定理解决下面问题： 若0m n <<，求证：()2e e 111m n m n m n m ⎛⎫-<+- ⎪⎝⎭． 19．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点为F ，过F 且倾斜角为π6的直线l 与C 交于A ，B 两点．直线1l ，2l 与C 相切，切点分别为A ，B ，1l ，2l 与x 轴的交点分别为D ，E 两点，且||DE =． (1)求C 的方程；(2)若点P 为C 上一动点（与A ，B 及坐标原点均不重合），直线3l 与C 相切，切点为P ，3l 与1l ，2l 的交点分别为G ，H ．记DFG V ，EFH △的面积分别为1S ，2S ． ①请问：以G ，H 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由；②证明：12S S 为定值．。
2016-2017学年河北省衡水中学高三(下)第三次摸底数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年河北省衡水中学高三（下）第三次摸底数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M＝{x|f（x）＝}，N＝{＞1}，则集合M∩N等于（）A．B．（1，+∞）C．D．2．（5分）z∈C，若|z|﹣＝1+2i，则等于（）A．i B．i C．﹣i D．﹣i3．（5分）数列{a n}为正项等比数列，若a3＝3，且a n+1＝2a n+3a n﹣1（n∈N，n≥2），则此数列的前5项和S5等于（）A．B．41C．D．4．（5分）已知F1、F2分别是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，以线段F1F2为边作正三角形F1MF2，如果线段MF1的中点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率e等于（）A．2B．2C．D．25．（5分）在△ABC中，“sin A﹣sin B＝cos B﹣cos A”是“A＝B”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知二次函数f（x）＝x2+bx+c的两个零点分别在区间（﹣2，﹣1）和（﹣1，0）内，则f（3）的取值范围是（）A．（12，20）B．（12，18）C．（18，20）D．（8，18）7．（5分）如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，若该简单几何体的体积是，则其底面周长为（）A．B．C．D．+38．（5分）20世纪30年代，德国数学家洛萨﹣﹣﹣科拉茨提出猜想：任给一个正整数x，如果x是偶数，就将它减半；如果x是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1，这就是著名的“3x+1”猜想．如图是验证“3x+1”猜想的一个程序框图，若输出n的值为8，则输入正整数m的所有可能值的个数为（）A．3B．4C．6D．无法确定9．（5分）（ax﹣+）（x﹣）6的展开式中各项系数的和为16，则展开式中x3项的系数为（）A．974B．C．57D．3310．（5分）数列{a n}为非常数列，满足：a3+a9＝，a5＝，且a1a2+a2a3+…+a n a n+1＝na1a n+1对任何的正整数n都成立，则++…+的值为（）A．1475B．1425C．1325D．127511．（5分）已知向量，，满足||＝1，⊥（﹣2），（﹣）⊥（﹣），若||＝，||的最大值和最小值分别为m，n，则m+n等于（）A．B．2C．D．12．（5分）已知偶函数f（x）满足f（4+x）＝f（4﹣x），且当x∈（0，4]时，f（x）＝，关于x的不等式f2（x）+af（x）＞0在[﹣200，200]上有且只有200个整数解，则实数a 的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上13．（5分）为稳定当前物价，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场商品的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y与价格x之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是＝﹣3.2x+，则＝．14．（5分）将函数f（x）＝sin2x﹣cos2x的图象向右平移m个单位（m＞0），若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是．15．（5分）已知两平行平面α、β间的距离为2，点A、B∈α，点C、D∈β，且AB＝4，CD＝3，若异面直线AB与CD所成角为60°，则四面体ABCD的体积为．16．（5分）已知A、B是过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐标原点，且满足AB＝3FB，S△OAB＝AB，则AB的值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，已知△ABC关于AC边的对称图形为△ADC，延长BC边交AD于点E，且AE＝5，DE＝2，tan∠BAC＝．（1）求BC边的长；（2）求cos∠ACB的值．18．（12分）如图，已知圆锥OO1和圆柱O1O2的组合体（它们的底面重合），圆锥的底面圆O1半径为r＝5，OA为圆锥的母线，AB为圆柱O1O2的母线，D、E为下底面圆O2上的两点，且DE＝6，AB＝6.4，AO＝5，AO⊥AD．（1）求证：平面ABD⊥平面ODE；（2）求二面角B﹣AD﹣O的正弦值．19．（12分）如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为X．（1）求游戏结束时小华在第2个台阶的概率；（2）求X的分布列和数学期望．20．（12分）如图，已知P（，1）为椭圆E：+＝1（a＞b＞0）上的点，且a2+b2＝5，过点P的动直线与圆F：x2+y2＝a2+1相交于A、B两点，过点P作直线AB的垂线与椭圆E相交于点Q．（1）求椭圆E的离心率；（2）若AB＝2，求PQ．21．（12分）已知函数f（x）＝（a∈R），g（x）＝+（b∈R），其中e为自然对数的底数．（参考数据：e2≈7.39，≈1.28，≈1.65）（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a＝1时，函数y＝f（2x）+g（x）有三个零点，分别记为x1、x2、x3（x1＜x2＜x3），证明：﹣2＜4（x1+x2）＜3．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中直线l1的倾斜角为α，且经过点P（1，﹣1），以坐标系xOy的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系Ox，曲线E的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线l1与曲线E相交于A、B两点，过点P的直线l2与曲线E相交于C、D两点，且l1⊥l2．（1）平面直角坐标系中，求直线l1的一般方程和曲线E的标准方程；（2）求证：AB2+CD2为定值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知实数a、b满足a2+b2﹣ab＝3．（1）求a﹣b的取值范围；（2）若ab＞0，求证：++≥．2016-2017学年河北省衡水中学高三（下）第三次摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：∵集合M＝{x|f（x）＝}＝{x|x＞}，N＝{＞1}＝{x|0＜x＜1}，∴集合M∩N＝{x|}＝（，1）．故选：D．2．【解答】解：设z＝a+bi，若|z|﹣＝1+2i，则﹣（a﹣bi）＝1+2i，∴﹣a＝1，b＝2，故a＝，故a＝+2i，故＝＝＝+i，故选：A．3．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a3＝3，且a n+1＝2a n+3a n﹣1（n∈N，n≥2），∴＝3，3＝2a2+3a1＝a1（2q+3），解得a1＝，q＝3．∴此数列的前5项和S5＝＝．故选：A．4．【解答】解：如图，以线段F1F2为边作正△MF1F2，则M在y轴上，不妨看作在y轴正半轴上，可设|F1F2|＝2c，则M（0，c），又F1（﹣c，0），则边MF1的中点为（﹣，c），代入直线y＝，可得，得b＝，两边平方得：b2＝c2﹣a2＝3a2，即c2＝4a2，解得e＝2（e＞1）．故选：D．5．【解答】解：由sin A﹣sin B＝cos B﹣cos A⇒＝sin，∴＝B+或+B+＝π，可得：A＝B或A+B＝．∴在△ABC中，“sin A﹣sin B＝cos B﹣cos A”是“A＝B”的必要不充分条件．故选：B．6．【解答】解：二次函数f（x）＝x2+bx+c的两个零点分别在区间（﹣2，﹣1）和（﹣1，0）内，可得，即，则f（3）＝9+3b+c．把c看成x，b看成y．即，求出f（3）＝x+3y+9的取值范围．由线性图可得：当直线f（3）过A（2，3）时，取得最大值为f（3）max＝9+3×3+2＝20．当直线f（3）过B（0，1）时，取得最小值为f（3）min＝9+3×1+＝12．∴f（3）的取值范围（12，20）故选：A．7．【解答】解：由题意可知，该简单几何体是椎体，可能为三棱锥，四棱锥或圆锥，因为其体积为，高为，所以俯视图的面积为2，所以底面是等腰三角形，两直角边长为2，其周长为2（+2），故选：C．8．【解答】解：模拟程序的运行，可知：a8＝1（第一次出现），则a7一定是2，a6一定是4；a5是8；a4是16，当a4是16时，a3是32或5，a2是64或10，a1是128，21或20，3，则m的所有可能的取值为3、20、21、128．则输入正整数m的所有可能值的个数为4．故选：B．9．【解答】解：（ax﹣+）（x﹣）6中，令x＝1得展开式中各项系数的和为（a﹣）•（1﹣2）6＝16，解得a＝；∴（x﹣+）（x﹣）6，又（x﹣）6的展开式通项公式为T r+1＝•x6﹣r•＝（﹣2）r••x6﹣2r，6﹣2r＝2，解得r＝2，∴（x﹣）6的展开式中含x2的系数为（﹣2）2•＝60；令6﹣2r＝4，解得r＝1，∴（x﹣）6的展开式中含x4的系数为﹣2•＝﹣12；令6﹣2r＝3，解得r＝，不合题意，舍去；∴（x﹣+）（x﹣）6展开式中x3项的系数为•60﹣•（﹣12）＝974．故选：A．10．【解答】解：a1a2+a2a3+…+a n a n+1＝na1a n+1，①a1a2+a2a3+…+a n a n+1+a n+1a n+2＝（n+1）a1a n+2，②①﹣②，得﹣a n+1a n+2＝na1a n+1﹣（n+1）a1a n+2，∴﹣＝﹣，同理可得：﹣＝﹣，∴＝．∴数列是等差数列，∴＝+（n﹣1）d．可得：a n＝．由a3+a9＝，a5＝，∴+＝，＝，d≠0．联立解得a1＝4，d＝1，．∴＝4+n﹣1＝n+3．∴++…+＝＝1425．故选：B．11．【解答】解：向量，，满足||＝1，⊥（﹣2），∴•（﹣2）＝﹣2•＝1﹣2•＝0，∴•＝；把放入平面直角坐标系，使起点与坐标原点重合，方向与x轴正方向一致，则＝（1，0）；设＝（x1，y1），则•＝x1＝，且||＝＝＝，∴y1＝±2，不妨取＝（，2）；设＝（x，y），则﹣＝（1﹣x，﹣y），﹣＝（﹣x，2﹣y），由题意（﹣）•（﹣）＝0，∴（1﹣x）（﹣x）﹣y（2﹣y）＝0，化简得，x2+y2﹣x﹣2y+＝0，即+（y﹣1）2＝，则点（x，y）表示圆心在（，1），半径为的圆上的点，如图所示，则||＝的最大值为m＝|OC|+r＝+＝+，最小值为n＝|OC|﹣r＝﹣＝﹣；∴m+n＝．故选：C．12．【解答】解：当0＜x≤4时，f′（x）＝，令f′（x）＝0得x＝，∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，4）上单调递减，∵f（x）是偶函数，∴f（x+4）＝f（4﹣x）＝f（x﹣4），∴f（x）的周期为8，作出f（x）一个周期内的函数图象如图所示：∵f（x）是偶函数，且不等式f2（x）+af（x）＞0在[﹣200，200]上有且只有200个整数解，∴不等式在（0，200）内有100个整数解，∵f（x）在（0，200）内有25个周期，∴f（x）在一个周期（0，8）内有4个整数解，（1）若a＞0，由f2（x）+af（x）＞0，可得f（x）＞0或f（x）＜﹣a，显然f（x）＞0在一个周期（0，8）内有7个整数解，不符合题意；（2）若a＜0，由f2（x）+af（x）＞0，可得f（x）＜0或f（x）＞﹣a，显然f（x）＜0在区间（0，8）上无解，∴f（x）＞﹣a在（0，8）上有4个整数解，∵f（x）在（0，8）上关于直线x＝4对称，∴f（x）在（0，4）上有2个整数解，∵f（1）＝ln2，f（2）＝＝ln2，f（3）＝，∴f（x）＞﹣a在（0，4）上的整数解为x＝1，x＝2．∴≤﹣a＜ln2，解得﹣ln2＜a≤﹣．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上13．【解答】解：由＝（8.5+9+9.5+10+10.5）＝9.5，＝（12+11+9+7+6）＝9，将（9.5，9）代入方程得：9＝﹣3.2×9.5+，解得：＝39.4，故答案为：39.4．14．【解答】解：将函数f（x）＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣）的图象向右平移m个单位（m＞0），可得y＝2sin（2x﹣2m﹣）的图象，根据所得图象对应的函数为偶函数，可得2m+＝kπ+，k∈Z，即m＝+，则m的最小值为．故答案为：．15．【解答】解：在β内过C作CE∥AB，使得CE＝AB，则四边形CEBA是平行四边形，∵两平行平面α、β间的距离为2，∴B到平面CDE的距离h＝2．∴V D﹣ABC＝V D﹣BCE＝V B﹣CDE＝＝＝6．故答案为：6．16．【解答】解：不妨设直线AB的斜率k＞0，过A，B作抛物线准线的垂线，垂足分别为C，D，过B作BE⊥AC于E，由AB＝3FB，∴＝2，丨丨＝2丨丨，即丨AC丨＝2丨BD丨，∴E为AC的中点，即丨AE丨＝丨AB丨，∴丨BE丨＝＝丨AB丨，由S△OAB＝S OAF+S OBF＝丨BE丨•丨OF丨＝p丨AB丨，S△OAB＝丨AB丨，∴丨AB丨＝p丨AB丨，即p＝2，由丨AE丨＝丨AB丨，则直线AB斜率为k AB＝±2，直线AB的方程y＝2（x﹣1），，整理得：2x2﹣5x﹣2＝0，则x1+x2＝，则丨AB丨＝x1+x2+p＝+2＝，故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．【解答】解：（1）因为，△ABC关于AC边的对称图形为△ADC，所以∠BAE＝2∠BAC，即，所以．因为AB＝AD＝AE+DE＝5+2＝7，所以BE2＝AB2+AE2﹣2AB•AE cos∠BAE＝49+25﹣42＝32，所以，又AC是∠BAD的角平分线，∴，可得．（2）由（1）知，所以，所以，因为，所以，所以cos∠ACB＝﹣cos（∠BAC+B）＝．18．【解答】解：（1）依题易知，圆锥的高为，又圆柱的高为AB＝6.4，AO⊥AD，所以OD2＝OA2+AD2，因为AB⊥BD，所以AD2＝AB2+BD2，连接OO1、O1O2、DO2，易知O、O1、O2三点共线，OO2⊥DO2，所以，所以，解得BD＝8，又因为DE＝6，圆O2的直径为10，圆心O2在∠BDE内，所以易知∠BDE＝90°，所以DE⊥BD．因为AB⊥平面BDE，所以DE⊥AB，因为AB∩BD＝B，所以DE⊥平面ABD．又因为DE⊂平面ODE，所以平面ABD⊥平面ODE．（2）如图，以D为原点，DB、DE所在的直线为x、y轴，建立空间直角坐标系．则D（0，0，0），A（8，0，6.4），B（8，0，0），O（4，3，11.4）．所以＝（8，0，6.4），＝（8，0，0），＝（4，3，11.4），设平面DAO的法向理为，所以，，令x＝12，则．可取平面BDA的一个法向量为，所以cos＝＝，所以二面角B﹣AD﹣O的正弦值为．19．【解答】解：（1）设事件“第i（i∈N*）次划拳小华赢”为A i；事件“第i次划拳小华平”为B i；事件“第i次划拳小华输”为∁i，则P（A i）＝P（B i）＝P（∁i）＝．因为游戏结束时小华在第2个台阶，所以这包含两种可能的情况：第一种：小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平；其概率为P1＝P（B1）P（C2）P（B3）+P（C1）P（A2）P（C3）P（B4）＝，第二种：小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输，其概率为P2＝P（B1）P（B2）P（C3）+P（A1）P（B2）P（C3）P（C4）+P（A1）P（C2）P（A3）P（C4）P（C5）＝．所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为P＝＝．（2）依题可知X的可能取值为2、3、4、5，，，P（X＝3）＝2P（A1）P（B2）P（A3）+2P（B1）P（A2）P（A3）+P（B1）P（B2）P（B3）+2P（A1）P（B2）P（B3）+2P（B1）P（A2）P（B3）+2P（B1）P（B2）P（A3）+2P（C1）P（A2）P（A3）＝，，所以X的分布列为：所以X的数学期望为：．20．【解答】解：（1）∵P（，1）为椭圆E：+＝1（a＞b＞0）上的点，且a2+b2＝5，∴依题知，解得a2＝3，b2＝2，∴椭圆E的离心率．（2）∵过点P的动直线与圆F：x2+y2＝a2+1相交于A、B两点，∴依题知圆F的圆心为原点，半径为，∴原点到直线AB的距离为，∵点P坐标为，所以直线AB的斜率存在，设为k．∴直线AB的方程为，即，所以，解得k＝0或．①当k＝0时，此时直线PQ的方程为，所以|PQ|的值为点P纵坐标的两倍，即|PQ|＝2×1＝2；②当时，直线PQ的方程为，将它代入椭圆E的方程，消去y并整理，得，设Q点坐标为（x1，y1），所以，解得，所以．21．【解答】解：（1）因为的定义域为实数R，所以．①当a＝0时，f（x）＝0是常数函数，没有单调性．②当a＜0时，由f'（x）＜0，得x＜1；由f'（x）＞0，得x＞1．所以函数f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．③当a＞0时，由f'（x）＜0得，x＞1；由f'（x）＞0，得x＜1，所以函数f（x）在（1，+∞）上单调递减，在（﹣∞，1）上单调递增．（2）因为a＝1，f（2x）+g（x）＝0，所以，即．令，则有，即t2+（b﹣e）t+1＝0．设方程t2+（b﹣e）t+1＝0的根为t1、t2，则t1•t2＝1，所以x1、x2、x3是方程的根．由（1）知在（﹣∞，1）单调递增，在（1，+∞）上单调递减．且当x→﹣∞时，t→﹣∞，当x→+∞时，t→e，t max＝t（1）＝2+e，如图，依据题意，不妨取e＜t2＜e+2，所以，因为，易知0＜x2＜1，要证﹣2＜4（x1+x2）＜3，即证．所以，又函数y＝t（x）在（﹣∞，1）上单调递增，所以，所以﹣2＜4（x1+x2）＜3．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）因为直线l1的倾斜角为α，且经过点P（1，﹣1），当α＝900时，直线l1垂直于x轴，所以其一般方程为x﹣1＝0，当α≠900时，直线l1的斜率为tanα，所以其方程为y+1＝tanα（x﹣1），即一般方程为（tanα）x﹣y﹣tanα﹣1＝0．因为E的极坐标方程为ρ＝4cosθ，所以ρ2＝4ρcosθ，因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，所以x2+y2＝4x．所以曲线E的标准方程为（x﹣2）2+y2＝4．（2）证明：设直线l1的参数方程为（t为参数），代入曲线E的标准方程为（x﹣2）2+y2＝4，可得（1+t cosα﹣2）2+（﹣1+t sinα）2＝4，即t2﹣2（cosα+sinα）t﹣2＝0，则t1+t2＝2（cosα+sinα），t1t2＝﹣2，所以，同理，所以AB2+CD2＝12+4sin2α+12﹣4sin2α＝24为定值．[选修4-5：不等式选讲]23．【解答】解：（1）因为a2+b2﹣ab＝3，所以a2+b2＝3+ab≥2|ab|．①当ab≥0时，3+ab≥2ab，解得ab≤3，即0≤ab≤3；②当ab＜0时，3+ab≥﹣2ab，解得ab≥﹣1，即﹣1≤ab＜0，所以﹣1≤ab≤3，则0≤3﹣ab≤4，而（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝3+ab﹣2ab＝3﹣ab，所以0≤（a﹣b）2≤4，即﹣2≤a﹣b≤2；（2）由（1）知0＜ab≤3，因为＝＝当且仅当ab＝2时取等号，所以．。
河北省衡水市高考数学三模试卷(理科)
A.
π+1
B. （6+ ）π+1
C.
π+
D. （6+ ）π+
9. 已知某口袋中装有 2 个红球、3 个白球和 1 个蓝球，从中任取 3 个球，则其中恰有
两种颜色的取法种数为（）
A. 7
B. 12
C. 13
D. 16
10. 关于圆周率 π，数学发展史上出现过许多有创意的求法，最著名的属普丰实验和查
理实验受其启发，我们可以设计一个算法框图来估计 π 的值（如图）．若电脑输出
8.【答案】A
【解析】解：由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱拼接而成．
该几何体的表面积 S=
=
．
故选：A． 由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱拼接而成． 本题考查了三视图，空间想象与运算能力，属于简单题．
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9.【答案】C
【解析】解：根据题意，从 6 个球中任取 3 个球，有 C63=20 种取法， 其中有 3 种颜色的取法有 2×3×1=6 种， 有 1 种颜色的取法有 1 种， 则其中恰有两种颜色的取法有 20-6-1=13 种； 故选：C． 根据题意，用间接法分析：先计算从 6 个球中任取 3 个的取法，排除其中有 3 种颜色和 1 种颜色的取法，分析即可得答案． 本题考查排列、组合的应用，注意用间接法分析，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：双曲线 C 的两个焦点 F1，F2 都在 x 轴上，对称中心为原点，离心率为 ． 若点 M 在 C 上，且 MF1⊥MF2，M 到原点的距离为 ，可得 c= ，则 a=1，所以 b= ，
所以双曲线方程为：
．
故选：C． 利用已知条件求出双曲线的半焦距，求出实半轴是出，求出 b，即可得到双曲线方程． 本题考查双曲线的简单性质以及双曲线方程的求法，是基本知识的考查．
河北省衡水中学2020届高三下学期全国第三次联考数学(理)试题 Word版含解析
河北衡水中学2020届全国高三第三次联合考试（Ⅰ）理科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}20M x x x =+>，(){}ln 10N x x =->，则（ ）A. M N ⊇B. M N ⊆C. ()1,M N ⋂=+∞D.()2,M N ⋃=+∞【答案】A 【解析】 【分析】解出集合M 、N ，利用集合的包含关系和交集、并集的定义可判断各选项的正误. 【详解】{}()()20,10,M x x x =+>=-∞-⋃+∞，(){}{}()ln 10112,N x x x x =->=->=+∞,所以，M N ⊇，()2,M N =+∞，()(),10,M N =-∞-+∞.故选：A.【点睛】本题考查集合包含关系的判断，同时也考查了集合的交集和并集运算、二次不等式与对数不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2. 已知复数2(2)z i =+，则z 的虚部为（ ） A. 3 B. 3i C. 4D. 4i【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的代数形式的乘法法则计算即可得解； 【详解】解：2(2)34z i i =+=+，所以z 的虚部为4. 故选：C .【点睛】本题考查复数代数形式的乘法，复数的相关概念，属于基础题. 3. 以下统计表和分布图取自《清华大学2019年毕业生就业质量报告》.本科生硕士生博士生总体毕业去向人数比例人数比例人数比例人数比例深造2282 80.4％231 9.3％489 33.6％3002 44.2％国内1583 55.8％94 3.8％290 19.9％1967 29.0％出国（境）699 24.6％137 5.5％199 13.7％1035 15.3％就业490 17.3％2224 89.2％943 64.8％3657 53.9％签三方就业154 5.4％1656 66.4％864 59.4％2674 39.4％灵活就业336 11.8％568 22.8％79 5.4％983 14.5％未就业64 2.3％39 1.6％23 1.6％126 1.9％合计2836 100.0％2494 100.0％1455 100.0％6785 100.0％清华大学2019年毕业生去向分布情况统计表清华大学2019年毕业生签三方就业单位所在省（区、市）分布图则下列选项错误．．的是（）.A. 清华大学2019年毕业生中，大多数本科生选择继续深造，大多数硕士生选择就业B. 清华大学2019年毕业生中，硕士生的就业率比本科生高C. 清华大学2019年签三方就业的毕业生中，本科生的就业城市比硕士生的就业城市分散D. 清华大学2019年签三方就业毕业生中，留北京人数超过一半【答案】D【解析】 【分析】选项A 在表中找出本科生选择继续深造达80.4％，硕士生选择就业达89.2％，则判断选项A 正确；选项B 在表中找出硕士生的就业率达89.2％，本科生的就业率达17.3％，则判断选项B 正确；选项C 在表中分析出本科生的就业城市主要分散在北京、广东、上海，硕士生的就业城市主要集中在北京，则判断选项C 正确；选项D 在表中分析出留北京人数仅博士生达到了51.2%，本科生与硕士生都没有达到一半，判断选项D 错误即可.【详解】选项A ：清华大学2019年毕业生中，本科生选择继续深造达80.4％，硕士生选择就业达89.2％，故选项A 正确；选项B ：清华大学2019年毕业生中，硕士生的就业率达89.2％，本科生的就业率达17.3％，故选项B 正确；选项C ：清华大学2019年签三方就业的毕业生中，本科生的就业城市主要分散在北京、广东、上海，硕士生的就业城市主要集中在北京，故选项C 正确；选项D ：清华大学2019年签三方就业的毕业生中，留北京人数仅博士生达到了51.2%，本科生与硕士生都没有达到一半，故选项D 错误. 故选：D.【点睛】本题考查统计表与分布图，是基础题.4. 若圆22(2)(1)5x y -+-=关于直线10(0,0)ax by a b +-=>>对称，则21a b+的最小值为（ ）A. 4B.C. 9D.【答案】C 【解析】 【分析】由已知得，若圆关于直线对称，即直线必然经过圆心，故有圆心(2,1)在直线10ax by 上，则21a b +=，然后，利用基本不等式关于“1”的用法即可求解.【详解】由题意知圆心(2,1)在直线10ax by 上，则21a b +=.又因为0,0a b >>，所以212122(2)59b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =时，即13a b ==时取等号，此时，min219a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故选：C【点睛】本题考查基本不等式关于“1”的用法，属于基础题.5. 要使得满足约束条件42y x y x x y ⎧⎪-⎨⎪+⎩，的变量,x y 表示的平面区域为正方形，则可增加的一个约束条件为（ ） A. 4x y +≤ B. 4x y +C. 6x y +D. 6x y +【答案】C 【解析】 【分析】设新增加的约束条件为x y c +，根据正方形两组对边的距离相等，得到方程解得即可； 【详解】解：根据正方形的性质可设新增加的约束条件为x y c +，两组对边的距离相等，故2222d ===，所以6c =或2c =-(舍去). 如图所示故选:C .【点睛】本题考查二元不等式组表示的平面区域，两平行线间的距离公式的应用，属于基础题.6. 若{}n a 是公比为(0)q q ≠的等比数列，记n S 为{}n a 的前n 项和，则下列说法正确的是（ ）A. 若{}n a 是递增数列，则10,0a q <<B. 若{}n a 是递减数列，则10,01a q ><< C 若0q >，则4652S S S +> D. 若1n nb a =，则{}n b 是等比数列 【答案】D 【解析】 【分析】选项A ，B ，C 中，分别取特殊数列满足条件，但得不出相应的结论，说明选项A ，B ，C 都是错误的，选项D 中，利用等比数列的定义可以证明结论正确. 【详解】A 选项中，12,3a q ==，满足{}n a 单调递增，故A 错误； B 选项中，11,2a q =-=，满足{}n a 单调递减，故B 错误； C 选项中，若111,2a q ==，则656554,a a S S S S <-<-，故C 错误； D 选项中，111(0)n n n n b a q b a q++==≠，所以{}n b 是等比数列.故D 正确. 故选：D.【点睛】本题考查了等比数列的定义，考查了数列的单调性，考查了特值排除法，属于基础题.7. 为了得到函数()sin g x x =的图象，需将函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（ ） A. 向左平移6π个单位长度B. 向右平移6π个单位长度 C. 向左平移56π个单位长度 D. 向右平移56π个单位长度【答案】D 【解析】 【分析】先将函数()sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭用诱导公式变形为5()sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，结合三角函数图象的平移变换规律，得到答案. 【详解】5()sin sin sin sin 6666f x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-+=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 由5()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象得到函数()sin g x x =的图象， 向右56π个单位长度即可. 故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数图象的平移变换，要注意三角函数图象的平移变换是在“x ”的基础上进行的，解决此类题还需熟记口诀“左加右减”.8. 设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，1()sin 23f x x x =-.若2tan5a f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，32log cos5b f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，2cos 5c f π⎛⎫=⎪⎝⎭大小关系为（ ） A. a b c << B. b c a <<C. b a c <<D. c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】根据题意当0x 时2()1cos 203f x x '=->，()f x 是定义在R 上的奇函数,则()f x 在定义域上单调递增，2tantan 154ππ>=，20cos 15π<<，32log cos 05π<，由函数的单调性可得出答案.【详解】由题意知由当0x 时,2()1cos 203f x x '=->，所以()f x 在[)0+，∞上单调递增，且()00f =又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()f x 在(]0-∞，上单调递增. 所以()f x 在定义域上单调递增. 又因为28tantan tan 15204πππ=>=，20cos 15π<<，所以32log cos 05π<， 由()f x 在定义域上单调递增，则3222tan cos log cos 555f f f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以b c a <<. 故选：B .【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，利用单调性比较大小，考查三角函数值大小的的比较，对数值大小的比较，属于中档题9. 如图是由等边△AIE 和等边△KGC 构成的六角星，图中的B ，D ，F ，H ，J ，L 均为三等分点，两个等边三角形的中心均为O .若OA mOC nOJ =+，则mn=（ ）A.12B.23C.34D. 1【答案】B 【解析】 【分析】以点O 为坐标原点，OD 为x 轴，OA 为y 轴建立平面直角坐标系，设等边三角形的边长为23，得出点,,A C J 的坐标，由向量的运算可求得,m n 的值，可得答案.【详解】由平行四边形法则，22()23OA OB OJ OC OJ OJ OC OJ =+=++=+，所以2m =，3n =，所以23m n = 以点O 为坐标原点，OD 为x 轴，OA 为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设等边三角形的边长为3()()222333-=，由B ，D ，F ，H ，J ，L 均为三等分点， 则2323OA =⨯=,233OJ =所以())230,23,1，，A J C⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭()0,2OA =,()3,1OC =,23OJ ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭)23233,13,33n OA mOC nOJ mn m m ⎛⎫⎫=+=+-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭所以23302nm m ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得32n m =⎧⎨=⎩所以23 mn=故选：B.【点睛】本题考查向量的线性运算，建立直角坐标系是解决本题的关键，也是解决的向量问题的常用方法，属于中档题.10. 区块链是数据存储､传输､加密算法等计算机技术的新型应用模式，图论是区块链技术的一个主要的数学模型,在一张图中有若干点，有的点与点之间有边相连，有的没有边相连，边可以是直线段，也可以是曲线段，我们规定图中无重边(即两个点之间最多只有一条边)且无孤立点(即对于每个点，都至少存在另外一个点与之相连)，现有A，B，C，D四个点，若图中恰有3条边，则满足上述条件的图的个数为（）A. 4B. 8C. 12D. 16【答案】D【解析】【分析】先求出A，B，C，D四点最可确定6条边，再由题得到满足条件的图的个数.【详解】如图，A，B，C，D四点最可确定AB，AC，AD，BC，BD，CD共6条边.由题意知恰有3条边且无孤立点，所以满足条件的图有36416C-=(个).故选：D.【点睛】本题主要考查组合的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11. 地球的公转轨道可以看作是以太阳为一个焦点的椭圆，根据开普勒行星运动第二定律，可知太阳和地球的连线在相等的时间内扫过相等的面积，某同学结合物理和地理知识得到以下结论：①地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中A点和B点；②已知地球公转轨道的长半轴长约为149600000千米，短半轴长约为149580000千米，则该椭圆的离心率约为1.因此该椭圆近似于圆形：③已知我国每逢春分（3月21日前后）和秋分（9月23日前后），地球会分别运行至图中C点和D点，则由此可知我国每年的夏半年（春分至秋分）比冬半年（当年秋分至次年春分）要少几天.以上结论正确的是（ ）A. ①B. ①②C. ②③D. ①③【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质可判断命题①的正误；利用椭圆的离心率公式可判断命题②的正误；根据开普勒行星运动第二定律可判断命题③的正误.综合可得出结论.【详解】由椭圆的几何性质可知，当地球到太阳的距离取得最小值和最大值时，地球分别位于图中A 点和B 点，命题①正确；1495800001149600000b a =≈，则该椭圆的离心率222210c a b b e a a a -⎛⎫===-≈ ⎪⎝⎭，命题②错误； 根据开普勒行星运动第二定律，地球从D 点到C 点运行的速度较快，因此经历的时间较短，因此夏半年比冬半年多几天，命题③错误. 故选：A.【点睛】本题考查与椭圆性质相关的命题真假的判断，涉及椭圆焦半径、离心率的应用，考查推理能力，属于中等题.12. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，在A ，B ，C ，D ，1C ，1D 这六个顶点中.选择两个点与1A ，1B 构成正三棱锥P ，在剩下的四个顶点中选择两个点与1A ，1B 构成正三棱锥Q ，M 表示P 与Q 的公共部分，则M 的体积为（ ）A.13B.24C.23D. 1【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设平面11A BC 与平面11AB D 的交线为EF ，则M 为四面体11A B EF ，取11A B 的中点O ，连EO 接，可得EO ⊥平面11A B F ，然后，分别求出EO 与11A B F S △ 即可求出M 的体积1113A B F V EO S =⋅⋅△ 【详解】如图，由题意知，P 和Q 分别为三棱锥111B A BC -和三棱锥111A AB D -，设平面11A BC 与平面11AB D 的交线为EF ，则M 为四面体11A B EF ，取11A B 的中点O ，连接EO ，可得1EO =， 1112112A B F S =⨯⨯=△， 可得EO ⊥平面11A B F ，则M 的体积为1111111333A B F V EO S =⋅⋅=⨯⨯=△故选：A【点睛】本题考查空间几何体的体积问题，属于简单题.二、填空题：13. 62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中2x 的系数为_________.(用数字作答)【答案】60 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项6216(2)rr rr T C x -+=-，再令622r -=即得解.【详解】由题得()6162166(2)(2)r r rr r r rr T C x x C x ---+=⋅-⋅=-.令622r -=，解得2r，所以2x 的系数为226(2)60C ⋅-=.故答案为：60【点睛】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.14. 记n S 为正项等差数列{}n a 的前n 项和，若13471,a a a S =⋅=，则n S =_________. 【答案】23122n n - 【解析】 【分析】设等差数列的公差为d ，根据已知求出3d =，再利用等差数列求和公式求解. 【详解】设等差数列的公差为d ， 由题得173474772a a a a S a +⋅==⨯=， 所以37,a =所以1+27,3d d =∴=.所以2(1)313222n n n S n n n -=+⨯=-. 故答案为：23122n n -.【点睛】本题主要考查等差数列的基本量计算，考查等差中项的应用和求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15. 若抛物线()220y px p =>的焦点到双曲线22222y x p -=则p 的值为_________.【答案】2 【解析】 【分析】求出双曲线的焦点坐标以及抛物线的焦点坐标，利用两点间的距离公式可得出关于p 的等式，由此可解得p 的值.【详解】抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，双曲线的方程可化为222212y x p p -=，所以223c p =，所以其一个焦点化为()1F ，所以1FF p ===2p =.故答案为：2.【点睛】本题考查利用双曲线和抛物线的焦点坐标求参数，考查计算能力，属于基础题. 16. 已知函数()()21xf x kx k e x =+--，若()0f x <的解集中恰有三个整数，则实数k 的取值范围为______. 【答案】3243,54e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】把()0f x <转化为()12xx k x e ++<，设1()x x g x e +=，()()2h x k x =+，则若()0f x <的解集中恰有三个整数解等价于()g x 的图像在()h x 的图像上方所对应的x 的取值范围中恰好有三个整数解，利用数形结合找到满足题意的不等式，解不等式即可求得实数k 的取值范围. 【详解】解：()0f x <等价于()210xkx k e x +--<，即()12xx k x e ++<， 设1()x x g x e+=，()()2h x k x =+，则上面不等式转化为()()h x g x <， 直线()()2h x k x =+横过定点()2,0-，要使()0f x <的解集中恰有三个整数，只需()g x 的图像在()h x 的图像上方所对应的x 的取值范围中恰好有三个整数解. 因为()()2(1)1x xx x e x e g x e e -+⋅-'==,所以(),0x ∈-∞时，0g x ，()g x 单调递增；()0,x ∈+∞时，0g x ，()g x 单调递减；所以1x =时，()()max 01g x g ==，且()10g -=，x →-∞时，()g x →-∞；x →+∞时，()0g x →， 根据根据上述画出()g x 的图像图下图所示：当0k ≤时，画出()(),g x h x 的图像如图所示：从图中可以看出，[)1,x ∈-+∞时，()g x 的图像横在()h x 的图像上方，所以()()h x g x <所以的x 的取值范围中，整数解有无穷多个，不符合题意； 当0k >时，画出()(),g x h x 的图像如图所示：从图像可得：要使()g x 的图像在()h x 的图像上方所对应的x 的取值范围中恰好有三个整数解，只需满足：()()()()22{33g h g h >≤，所以233445k e ke ⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得：324354k e e ≤<. 综上，324354k e e ≤<. 故答案为：3243,54e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题主要考查不等式的解的问题，考查数形结合，利用导数求函数单调性和最值，属于难题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17. 在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos c B b C =，BC 边上的高12AD =，4sin 5BAC ∠=. （1）求BC的长：（2）过点A 作AE AB ⊥，垂足为A ，且CAE ∠为锐角，AE =sin ACE ∠. 【答案】（1）12BC =（2）sin 5ACE ∠= 【解析】 【分析】(1)根据正弦定理、两角和的正弦公式化简已知的式子，得到B C =，根据等腰三角形的性质，得2BAC BAD ∠=∠，利用二倍角公式求出BAD ∠的正弦、余弦，进而求出BAD ∠的正切值，即可出BC 的长(2)利用43cos cos sin ,sin 255EAC BAC BAC EAC π⎛⎫∠=-∠=∠=∠= ⎪⎝⎭，求出AC AB ===【详解】解：（1）由cos cos c B b C =及正弦定理得sinCcos sin cos B B C = 即sin()0B C -=. 因为,22B C ππ⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，所以.B C =因为ABC 为锐角三角形，且4sin 5BAC ∠=， 所以3cos 5BAC ∠=. 又因为根据等腰三角形的性质， 可得，2BAC BAD ∠=∠， 所以232cos 15BAD ∠-=则25cos 5BAD ∠=所以51sin ,tan 2BAD BAD ∠=∠= 所以6BD =，所以12BC = （2）由题意得43cos cos sin ,sin 255EAC BAC BAC EAC π⎛⎫∠=-∠=∠=∠=⎪⎝⎭2265AC AB AD BD ==+=在ACE △，因为222cos 2AE AC CE CAE AE AC+-∠=⋅所以9CE =. 由sin sin CE AECAE ACE=∠∠得5sin 5ACE ∠=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、两角和的正弦公式以及二倍角公式，属于中档题. 18. 如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，E 为棱AC 上的一点，且BE ⊥平面ACD .（1）证明：BC CD ⊥；（2）设1BC CD ==.BC 与平面ACD 所成的角为45︒.求二面角B AD C --的大小. 【答案】（1）见解析（2）60︒. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直性质，以及线面垂直的判定定理，先得到CD ⊥平面.ABE ，进而可得BC CD ⊥；（2）先由题意，得到45BCE BCA ︒∠=∠=，求得1BC AB ==，以C 为坐标原点，CD 方向为x 轴正方向，CB 方向为y 轴正方向，建立空间直角坐标系C xyz -，求出两平面ACD 和ABD 的法向量，根据向量夹角公式，即可求出结果.【详解】（1）证明：因为BE ⊥平面ACD ，CD ⊂平面ACD ， 所以BE CD ⊥.因为AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 所以AB CD ⊥. 因为ABBE B =，所以CD ⊥平面.ABE因为BC ⊂平面ABE ，所以BC CD ⊥.（2）解：因为BE ⊥平面ACD ，BCE ∠即为BC 与平面ACD 所成的角， 所以45BCE BCA ︒∠=∠=，所以1BC AB ==，以C 为坐标原点，CD 方向为x 轴正方向，CB 方向为y 轴正方向，建立空间直角坐标系C xyz -则(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,1,1)C D B A(1,0,0),(0,1,1),(1,1,0),(0,0,1)CD CA BD BA ===-=设平面ACD的一个法向量为()111,,n x y z=，平面ABD的一个法向量为()222,,m x y z=则CD nCA n⎧⋅=⎨⋅=⎩，BD mBA m⎧⋅=⎨⋅=⎩即111xy z=⎧⎨+=⎩，222x yz-=⎧⎨=⎩，令121,1y x==可得(0,1,1),(1,1,0)n m=-=所以1cos,2n mn mn m⋅<>==由图知，二面角B AD C--的平面角为锐角，所以二面角B AD C--的大小为60︒.【点睛】本题主要考查证明线线垂直，以及求二面角的大小，熟记线面垂直的判定定理及性质，灵活运用空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型.19. 2020年1月10日，中国工程院院士黄旭华和中国科学院院士曾庆存荣获2019年度国家最高科学技术奖.曾庆存院士是国际数值天气预报奠基人之一，他的算法是世界数值天气预报核心技术的基础，在气象预报中，过往的统计数据至关重要，如图是根据甲地过去50年的气象记录所绘制的每年高温天数(若某天气温达到35 ℃及以上，则称之为高温天)的频率分布直方图.若某年的高温天达到15天及以上，则称该年为高温年，假设每年是否为高温年相互独立，以这50年中每年高温天数的频率作为今后每年是否为高温年的概率.（1）求今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率.（2）某同学在位于甲地的大学里勤工俭学，成为了校内奶茶店(消费区在户外)的店长，为了减少高温年带来的损失，该同学现在有两种方案选择：方案一：不购买遮阳伞，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会减少6000元；方案二：购买一些遮阳伞，费用为5000元，可使用4年，一旦某年为高温年，则预计当年的收入会增加1000元.以4年为期，试分析该同学是否应该购买遮阳伞？【答案】（1）0.0272（2）应该购买遮阳伞 【解析】 【分析】（1）先求出某年为高温年的概率为0.2，再根据~(4,0.2)X B ，求出今后4年中，甲地至少有3年为高温年的概率；（2）求出两种方案损失的收入的期望，再决定是否应该购买遮阳伞. 【详解】解：（1）由题意知，某年为高温年的概率为(0.030.01)50.2+⨯=， 设今后4年中高温年出现X 年，则~(4,0.2)X B 故44()0.20.8,0,1,2,3,4kkkP X k C k -===3314(3)0.20.80.0256P X C ===， 4404(4)0.20.80.0016P X C ==⋅=，(3)(3)(4)0.02560.00160.0272P X P X P X ==+==+=.（2）若选择方案一，不购买遮阳伞，设今后4年共损失1Y 元， 则()1460000.24800E Y =⨯⨯=若选择方案二，购买遮阳伞，设今后4年共损失2Y 元， 则()25000410000.24200E Y =-⨯⨯=(元) 则()()12E Y E Y >，故该同学应该购买遮阳伞.【点睛】本题主要考查互斥事件的概率和独立重复试验的概率的求法，考查二项分布的期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，且12F F =过椭圆的右焦点2F 作长轴的垂线与椭圆，在第一象限交于点P ，且满足127PF PF =.（1）求椭圆的标准方程；（2）若矩形ABCD 的四条边均与椭圆相切，求该矩形面积的取值范围.【答案】（1）2214x y +=（2）[]8,10【解析】 【分析】 （1）易知c =设2PF x =，17PF x =，根据勾股定理计算得到2a =，得到椭圆方程.（2）考虑矩形边与坐标轴平行和不平行两种情况，联立方程组根据0∆=得到,m n 和k 的关系，计算边长得到面积表达式，根据均值不等式计算得到答案. 【详解】（1）由12F F =c =，设2PF x =，因为127PF PF =，所以17PF x =，在Rt △12PF F 中，2221212PF PF F F =+，即224912x x =+，所以12x =， 所以284a x ==，解得2222,1a b a c ==-=，所以椭圆的标准方程为2214x y +=.（2）记矩形面积为S ，当矩形一边与坐标轴平行时，易知8S =.当矩形的边与坐标轴不平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为y kx m =+， 则对边所在直线方程为y kx m =-， 另一边所在的直线方程为1y xn k =-+，则对边所在直线方程为1y x n k=--， 联立2244x y y kx m⎧+=⎨=+⎩，得()()222148410k x kmx m +++-=，由题意知()()222264161140k m m k∆=--+=，整理得2241km +=，矩形的一边长为1d =，同理2241n k+=，矩形的另一边长为2d =， 122|4|1mnk S d d k =⋅==+44==44==因为0k ≠，所以20k >，所以2212k k+≥(当且仅当21k =时等号成立)， 所以22990,142k k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦++52,2⎛⎤⎥⎝⎦，所以(8,10]S ∈. 综上所述，该矩形面积的取值范围为[]8,10.【点睛】本题考查了求椭圆方程，椭圆外接矩形的面积范围，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21. 已知函数()2,()ln x f x e x g x x x =+-=+，若1x 是函数()f x 的零点，2x 是函数()g x 的零点.（1）比较1x 与2x 的大小； （2）证明：()()210f x g x +<.【答案】（1）12x x <，见解析（2）见解析 【解析】 【分析】方法一：利用()20=+-=xf x e x ，利用2=-x e x 对不等式进行放缩，可得()111111ln 2ln 12ln 10x x e x x x x -+-++=-+≤，进而利用()g x 单调递增，且()10g x <和()20g x =，即可比较1x 与2x 的大小方法二：设()11111ln ln 2xH x x x x e =+=-+，令函数()ln 2,0tH t t e t =-+>，从而判断出函数()g x 的单调性，即可利用函数的单调性即可比较1x 与2x 的大小 (2) 令函数()()()h x f x g x =-，则()()()()1122,h x g x h x f x =-=，要证()()210f x g x +<，即证()()21f x g x <-，只要证：()()21h x h x <，最后通过证明函数()h x 在区间[]12,x x 上的单调性进行证明即可. 【详解】（1）解:()11120xf x e x =+-=()11111ln ln 2x g x x x x e =+=-+方法一：()111111ln 2ln 12ln 10xx e x x x x -+-++=-+≤因为11x ≠，所以11ln 10x x -+<，所以()10g x <. 因为()20g x =，且()g x 单调递增，所以12x x < 方法二：设()11111ln ln 2xH x x x x e =+=-+，令函数()ln 2,0tH t t e t =-+>则1()tH t e t'=-，则()00010t H t e t '=-= 则函数()H t 在区间()00,t 上单调递增，()H t 在区间()0,t +∞上单调递减，所以()0max 00001()ln 220tH t H t t e t t ==-+=--+< 所以()10g x '<因为()20g x =，且()g x 单调递增，所以12x x < （2）证明：令函数()()()h x f x g x =-， 则()()()()1122,h x g x h x f x =-=.要证()()210f x g x +<，即证()()21f x g x <- 只要证：()()21h x h x <，只要证：函数()h x 在区间[]12,x x 上单调递减. 由题意得()()()ln 2xh x f x g x e x =-=--()22211(),x x h x e h x e x x ''=-=-因为()222ln 0g x x x =+= 所以2221ln lnx x x =-= 所以()2222211,0x x eh x e x x '==-=因为()h x '单调递增，所以在区间[]12,x x 上，()0h x '所以()h x 在区间[]12,x x 上单调递减. 所以原命题得证.【点睛】本题考查利用构造函数比较大小，主要通过求导判断函数的单调性进行判断大小，属于难题.22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222x t y t t=-⎧⎨=-⎩(t 为参数)，曲线C 上异于原点的两点M ，N 所对应的参数分别为12,t t .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为2sin a ρθ=.（1）当121,3t t ==时，直线MN 平分曲线D ，求a 的值；（2）当1a =时，若122t t +=MN 被曲线D，求直线MN 的方程.【答案】（1）1a =（2）y =或2y =+【解析】 【分析】（1）求出直线MN 的方程和曲线D 的直角坐标方程，然后利用直线MN 过点()0,a 求出答案； （2）由122t t +=MN k =MN的方程为y m =+，然后根据直线MN 被曲线D. 【详解】（1）因为121,3t t ==，所以(1,1),(1,3)M N --. 所以直线MN 的方程为21y x =+. 曲线D 的方程可化为222()x y a a +-=因为直线MN 平分曲线D ，所以直线MN 过点()0,a ， 所以1a =.（2）由题意可知()()()()()()22112212121212121222222MNt t t t t t t t y y k x x t t t t ----+--====-----曲线D 的方程为22(1)1y x +-= 设直线MN的方程为y m =+，圆心D 到直线MN 的距离为.d因为22212d ⎛+= ⎝⎭，所以221122m ⎛-⎛⎫+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 所以0m =或2m =，所以直线MN的方程为y =或2y =+【点睛】设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，弦长为AB ，则有2222AB r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.23. 已知函数()|1|2|3|,()|1|f x x x g x a x =++-=-. （1）求()8f x 的解集；（2）当[1,3]x ∈-时，()()f x g x 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1313xx ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∣（2）(,2]-∞ 【解析】 【分析】（1）利用分类讨论法解绝对值不等式得解； （2）对x 分三种情况1x =、[1,1)x 、(1,3]x ∈讨论，分别求出每一种情况下的实数a 的取值范围，最后综合即得解. 【详解】解：（1）由题意得35,1()|1|2|3|7,1335,3x x f x x x x x x x -+<-⎧⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪->⎩当1x <-时，()8f x 得1x ≥-，所以此时无解；当13x -时，由()8f x ，即78x -+≤，解得13x -； 当3x >时，由()8f x ，即358x -≤，解得1333x< 综上，解集1313x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∣.（2）①当1x =时，()()f x g x 显然恒成立. ②当[1,1)x时，()7,()(1)f x x g x a x =-=-因为()()f x g x 恒成立， 所以7(1)x a x --，即76111x ax x-=+--恒成立. 令6()1,[1,1)1F x x x=+∈--则min ()a F x 显然()F x 在区间[1,1)-上为增函数， 所以min ()(1)4F x F =-=，所以4a .③当(1,3]x ∈时，()7,()(1)f x x g x a x =-=-. 因为()()f x g x 恒成立， 所以7(1)x a x --，即76111x a x x -=-+--恒成立. 令6()1,(1,3]1G x x x =-+∈-，则min ()a G x 显然()G x 在区间(1,3]上为减函数， 所以min ()(3)2G x G ==， 所以2a .综上所述，实数a 的取值范围为(,2]-∞.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的恒成立问题，考查函数的单调性求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
河北省衡水中学2017届高三下学期第三次摸底考试数学(理)试题
河北衡水中学2016-2017学年度 高三下学期数学第三次摸底考试（理科）必考部分一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合()13lg 21|,|1x M x f x N x x -⎧⎫-⎧⎫===>⎨⎨⎬⎩⎩⎭，则集合M N 等于（ ）A ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．()1,+∞ C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭2. z C ∈，若12z z i -=+，则1zi+等于（ ） A ．7144i + B ．7144i - C ．1144i -- D ．1144i -+3.数列{}n a 为正项等比数列，若33a =，且()1123,2n n n a a a n N n +-=+∈≥，则此数列的前5项和5S 等于 （ ） A ．1213B ．41C ．1193D ．24194. 已知1F 、2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，以线段12F F 为边作正三角形12F MF ，如果线段1MF 的中点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率e 等于（ ）A ．．．25.在ABC ∆中，“sin sin cos cos A B B A -=- ”是“A B =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.已知二次函数()2f x x bx c =++的两个零点分别在区间()2,1--和()1,0-内，则()3f 的取值范围是 （ ）A ．()12,20B ．()12,18 C. ()18,20 D ．()8,187.如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，若该简单几何体的）A．)21 B．)21C. )22 D38.20世纪30年代，德国数学家洛萨---科拉茨提出猜想：任给一个正整数x ，如果x 是偶数，就将它减半；如果x 是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1，这就是著名的“31x +”猜想.如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图，若输出n 的值为8，则输入正整数m 的所有可能值的个数为（ ）A ．3B ． 4 C. 6 D ．无法确定9.632243ax x x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为16，则展开式中3x 项的系数为（ ）A ．1172 B ． 632C. 57 D ．33 10. 数列{}n a 为非常数列，满足：39511,48a a a +==，且1223111n n n a a aa aa n a a +++++=对任何的正整数n 都成立，则1250111a a a ++ 的值为（ ） A ．1475 B ．1425 C. 1325 D ．127511.已知向量,,αβγ 满足()()()1,2,αααβαγβγ=⊥--⊥- ，若β= ，γ 的最大值和最小值分别为,m n ，则m n +等于（ ）A ．32 B ．2 C. 52 D 12.已知偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，且当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，关于x 的不等式()()20f x af x +>在[]200,200-上有且只有200个整数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1ln 6,ln 23⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1ln 2,ln 63⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C. 1ln 2,ln 63⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．1ln 6,ln 23⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上13.为稳定当前物价，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场商品的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是ˆˆ3.2yx a =-+，则ˆa = ．14.将函数()2cos 2f x x x =-的图象向右平移m 个单位（0m >），若所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是 ．15.已知两平行平面αβ、间的距离为A B α∈、，点C D β∈、，且4,3AB CD ==，若异面直线AB 与CD 所成角为60°，则四面体ABCD 的体积为 ．16.已知A B 、是过抛物线()220y px p =>焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足3,3OAB AB FB S AB ∆==，则AB 的值为 ． 三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如图，已知ABC ∆关于AC 边的对称图形为ADC ∆，延长BC 边交AD 于点E ，且5,2AE DE ==， 1tan 2BAC ∠=.（1）求BC 边的长； （2）求cos ACB ∠的值.18.如图，已知圆锥1OO 和圆柱12O O 的组合体（它们的底面重合），圆锥的底面圆1O 半径为5r =，OA 为圆锥的母线，AB 为圆柱12O O 的母线，D E 、为下底面圆2O 上的两点，且6, 6.4DE AB ==，AO =AO AD ⊥.（1）求证：平面ABD ⊥平面ODE ； （2）求二面角B AD O --的正弦值．19.如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为X ．（1）求游戏结束时小华在第2个台阶的概率； （2）求X 的分布列和数学期望．20.如图，已知P ⎫⎪⎪⎝⎭为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>上的点，且225a b +=，过点P 的动直线与圆222:1F x y a +=+相交于A B 、两点，过点P 作直线AB 的垂线与椭圆E 相交于点Q ．（1）求椭圆E 的离心率；（2）若AB =PQ ．21. 已知函数()()()()11,2x x xax b e f x a R g x b R e e x e --=∈=+∈+，其中e 为自然对数的底数．（参考数据：112427.39 1.28, 1.65e e e ≈≈≈， ） （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1a =时，函数()()2y f x g x =+有三个零点，分别记为()123123x x x x x x <<、、，证明：()12243x x -<+<．选考部分请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中直线1l 的倾斜角为α，且经过点()1,1P -，以坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系Ox ，曲线E 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线1l 与曲线E 相交于A B 、两点，过点P 的直线2l 与曲线E 相交于C D 、两点，且12l l ⊥． （1）平面直角坐标系中，求直线1l 的一般方程和曲线E 的标准方程； （2）求证：22AB CD +为定值． 23.选修4-5：不等式选讲已知实数a b 、满足223a b ab +-=． （1）求a b -的取值范围； （2）若0ab >，求证：2211344a b ab++≥．试卷答案一、选择题1-5:DAADB 6-10: ACBAB 11、12：CC二、填空题13. 39.4 14.6π 15. 6 16. 92三、解答题17.解：（1）因为1tan 2BAC ∠=，所以22tan 4tan 1tan 3BAC BAE BAC ∠∠==-∠，所以3cos 5BAE ∠=． 因为527AB AD AE DE ==+=+=，所以2222cos 49254232BE AB AE AB AE BAE =+-∠=+-= ，所以BE =75BC AB CE AE ==，所以3BC =．（2）由（1）知BE =所以222cos2AB BE AE B AB BE +-===，所以sin 2B =，因为1tan 2BAC ∠=，所以sin BAC BAC ∠=∠=所以()cos cos ACB BAC B ∠=-∠+sin sin cos cos 252510B BAC B BAC =∠-∠=-=-．18.解：（1）依题易知，圆锥的高为5h =，又圆柱的高为6.4,AB AO AD =⊥，所以222OD OA AD =+，因为AB BD ⊥，所以222AD AB BD =+，连接1122OO O O DO 、、，易知12O O O 、、三点共线，22OO DO ⊥，所以22222OD OO O D =+，所以()(22222222222 6.455 6.464BD OO O D AO AB =+--=++--=，解得8BD =，又因为6DE =，圆2O 的直径为10，圆心2O 在BDE ∠内，所以易知090BDE ∠=，所以DE BD ⊥．因为AB ⊥平面BDE ，所以DE AB ⊥，因为AB BD B = ，所以DE ⊥平面ABD ． 又因为DE ⊂平面ODE ，所以平面ABD ⊥平面ODE ．（2）如图，以D 为原点，DB 、DE 所在的直线为x y 、轴，建立空间直角坐标系．则()()()()0,0,0,8,0,6.4,8,0,0,4,3,11.4D A B O ． 所以()()()8,0,6.4,8,0,0,4,3,11.4DA DB DO ===， 设平面DAO 的法向理为(),,u x y z =，所以8 6.40,4311.40DA u x z DO u x y z =+==++=，令12x =，则()12,41,15u =- ．可取平面BDA 的一个法向量为()0,1,0v =，所以cos ,u v u v u v ===所以二面角B AD O --的正弦值为10． 19.解：（1）易知对于每次划拳比赛基本事件共有339⨯=个，其中小华赢（或输）包含三个基本事件上，他们平局也为三个基本事件，不妨设事件“第()*i i N ∈次划拳小华赢”为i A ；事件“第i 次划拳小华平”为i B ；事件“第i 次划拳小华输”为i C ，所以()()()3193i i i P A P B P C ====． 因为游戏结束时小华在第2个台阶，所以这包含两种可能的情况：第一种：小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平； 其概率为()()()()()()212122124781p A P B P C P B P C P A P B =+=， 第二种：小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输， 其概率为()()()()()()()()()()()()3221233123421234529243p P B P B P C A P A P B P C P C A P A P C P A P C P C =++=所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为127295081243243p p p =+=+=． （2）依题可知X 的可能取值为2、3、4、5，()()()()()4123412522381P X P A P C P A P C ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭，()()()2121222239P X P A P A ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭，()()()()()()()()()()123123123322P X P A P B P A P B P A P A P B P B P B ==++ ()()()()()()()()()()()()12312312312322213227P A P B P B P B P A P B P B P B P A P C P A P A ++++=()()()()224152381P X P X P X P X ==-=-=-==， 所以X 的分布列为：所以X 的数学期望为：()2132222512345927818181E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．20.解：（1）依题知2222611,5,04ab a b a b+=+=>>，解得223,2a b ==，所以椭圆E的离心率e ===； （2）依题知圆F的圆心为原点，半径为2,r AB ==所以原点到直线AB的距离为1d ==， 因为点P 坐标为2⎛⎫⎪⎪⎝⎭，所以直线AB 的斜率存在，设为k ． 所以直线AB 的方程为1y k x ⎛-=- ⎝⎭，即10kx y -+=，所以1d ==，解得0k =或k =①当0k =时，此时直线PQ 的方程为x =， 所以PQ 的值为点P 纵坐标的两倍，即212PQ =⨯=；②当k =PQ 的方程为12y x ⎛-=-⎭， 将它代入椭圆E 的方程2132x y 2+=，消去y 并整理，得234210x --=，设Q 点坐标为()11,x y1x +=1x =，所以13017PQ ==． 21.解：（1）因为()1x x ax x f x ae e e -⎛⎫== ⎪⎝⎭的定义域为实数R ， 所以()1x x f x ae e -⎛⎫'= ⎪⎝⎭． ①当0a =时，()0f x =是常数函数，没有单调性．②当0a <时，由()0f x '<，得1x <；由()0f x '>，得1x >．所以函数()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增．③当0a >时，由()0f x '<得，1x >； 由()0f x '>，得1x <，所以函数()f x 在()1,+∞上单调递减，在(),1-∞上单调递增．（2）因为()()1,20a f x g x =+=， 所以121202x x xx b e e e x e --++=+，即1111221022x x x x x x x e x b b x e e x e e e ----++=++=++． 令12x x t e e -=+，则有10t e b t-++=，即()210t b e t +-+=． 设方程()210t b e t +-+=的根为12t t 、，则121t t = ，所以123x x x 、、是方程()()121122*,**x x x x t e t e e e --=+=+ 的根． 由（1）知12x x t e e-=+在(),1-∞单调递增，在()1,+∞上单调递减． 且当x →-∞时，t →-∞，当x →+∞时，()max ,12t e t t e →==+，如图，依据题意，不妨取22e t e <<+，所以121112t e t e<=<+， 因为315122244111110,112422t e e e e t e e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+<-=-+=-+> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 易知201x <<，要证()12243x x -<+<，即证11124x -<<-． 所以()1111024t t x t e ⎛⎫⎛⎫-<<<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又函数()y t x =在(),1-∞上单调递增， 所以11124x -<<-，所以()12243x x -<+<． 22.解：（1）因为直线1l 的倾斜角为α，且经过点()1,1P -，当090α=时，直线1l 垂直于x 轴，所以其一般方程为10x -=，当090α≠时，直线1l 的斜率为tan α，所以其方程为()1tan 1y x α+=-， 即一般方程为()tan tan 10x y αα---=．因为E 的极坐标方程为4cos ρθ=，所以24cos ρρθ=，因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以224x y x +=．所以曲线E 的标准方程为()2224x y -+=． （2）设直线1l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）， 代入曲线E 的标准方程为()2224x y -+=，可得()()221cos 21sin 4t t αα+-+-+=，即()22cos sin 20t t αα-+-=， 则()12122cos sin ,2t t t t αα+=+=-，所以()()()222212121244cos sin 8124sin AB t t t t t t ααα=-=+-=++=+2， 同理2124sin 2124sin 22CD παα⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭， 所以22124sin 2124sin 224AB CD αα+=++-=为定值．23.解：（1）因为223a b ab +-=，所以2232a b ab ab +=+≥． ①当0ab ≥时，32ab ab +≥，解得3ab ≤，即03ab ≤≤；②当0ab <时，32ab ab +≥-，解得 1ab ≥-，即10ab -≤<， 所以13ab -≤≤，则034ab ≤-≤，而()2222323a b a b ab ab ab ab -=+-=+-=-， 所以()204a b ≤-≤，即22a b -≤-≤；（2）由（1）知03ab <≤， 因为2222224113444344a b a b ab a b ab +++-=-+ 2222222343333111113304442ab a b ab a b ab a b ab ab +⎛⎫⎛⎫=-+=-+=-+=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当2ab =时取等号，所以 2211344a b ab++≥ ．。
河北省衡水中学高三高考模拟测试题——理科数学试题及参考答案
河北衡水中学高考模拟测试卷理科数试试题第Ⅰ卷一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1、设集合2{|60,}A x x x x Z =--<∈，{|||,,}B z z x y x A y A ==-∈∈，则集合A B =（ ） A 、{0,1} B 、{0,1,2} C 、{0,1,2,3} D 、{1,0,1,2}-2、设复数z 满足121z i i +=-+，则1||z=（ ）A 、15 C 、5 D 、253、若1cos()43πα+=，(0,)2πα∈，则sin α的值为（ ）A 、46B 、46+C 、718D 、3 4、已知直角坐标原点O 为椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的中心，1F ，2F 为左、右焦点，在区间(0,2)任取一个数e ，则事件“以e 为离心率的椭圆C 与圆O ：2222x y a b +=-没有交点”的概率为（ ）A 、4B 、44C 、2D 、22- 5、定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90︒的正角、已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>，当其离心率2]e ∈时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为（ ） A 、[0,]6π B 、[,]63ππ C 、[,]43ππ D 、[,]32ππ6、某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为32π+，则它的表面积是（ ）A 、(3)22π++B 、3()242π+C 、2 D 、4+ 7、函数sin ln ||y x x =+在区间[3,3]-的图象大致为（ ）A 、B 、C 、D 、8、二项式1()(0,0)n ax a b bx+>>的展开式中只有第6项的二项式系数最大，且展开式中的第3项的系数是第4项的系数的3倍，则ab 的值为（ ）A 、4B 、8C 、12D 、169、执行下图的程序框图，若输入的0x =，1y =，1n =，则输出的p 的值为（ ）A 、81B 、812C 、814D 、81810、已知数列11a =，22a =，且222(1)n n n a a +-=--，*n N ∈，则2017S 的值为（ ）A 、201610101⨯-B 、10092017⨯C 、201710101⨯-D 、10092016⨯11、已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,||)2A πωϕ>><的图象如图所示，令()()'()g x f x f x =+，则下列关于函数()g x 的说法中不正确的是（ ）A 、 函数()g x 图象的对称轴方程为()12x k k Z ππ=-∈ B 、函数()g x的最大值为C 、 函数()g x 的图象上存在点P ，使得在P 点处的切线与直线:31l y x =-平行D 、方程()2g x =的两个不同的解分别为1x ，2x ，则12||x x -最小值为2π 12、已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在三个零点，则a 的取值范围是（ ）A 、(,2)-∞-B 、(2,2)-C 、(2,)+∞D 、(2,0)(0,2)-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答、第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13、向量(,)a m n =，(1,2)b =-，若向量a ，b 共线，且||2||a b =，则mn 的值为 、14、设点M 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的点，以点M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于不同的两点P 、Q ，若PMQ ∆为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为 、15、设x ，y 满足约束条件230,220,220,x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩则y x 的取值范围为 、16、在平面五边形ABCDE 中，已知120A ∠=︒，90B ∠=︒，120C ∠=︒，90E ∠=︒，3AB =，3AE =，当五边形ABCDE的面积S ∈时，则BC 的取值范围为 、三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、17、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，121n n S S -=+*(2,)n n N ≥∈、 （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记12log n n b a =*()n N ∈求11{}n n b b +的前n 项和n T18、如图所示的几何体ABCDEF 中，底面ABCD 为菱形，2AB a =，120ABC ∠=︒，AC 与BD 相交于O 点，四边形BDEF 为直角梯形，//DE BF ，BD DE ⊥，2DE BF ==，平面BDEF ⊥底面ABCD 、（1）证明：平面AEF ⊥平面AFC ；（2）求二面角E AC F --的余弦值19、某校为缓解高三学生的高考压力，经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级800名学生中随机抽取100名学生进行测试，并将其成绩分为A、B、C、D、E五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率），根据以上抽样调查数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B的人数；（2）若等级A、B、C、D、E分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求平均分达90分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从A、B两种级别中，用分层抽样的方法抽取11个学生样本，再从中任意选取3个学生样本分析，求这3个样本为A级的个数 的分布列与数学期望20、 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为2，且过点22P ，动直线l ：y kx m -+交椭圆C 于不同的两点A ，B ，且0OA OB ⋅=（O 为坐标原点）（1）求椭圆C 的方程、（2）讨论2232m k -是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由21、 设函数22()ln f x a x x ax =-+-()a R ∈、（1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）设2()2()ln x x a a x ϕ=+-，记()()()h x f x x ϕ=+，当0a >时，若方程()()h x m m R =∈有两个不相等的实根1x ，2x ，证明12'()02x x h +>请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号22、选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：3cos ,2sin x t y tαα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0a >），在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：4sin ρθ=、（1）试将曲线1C 与2C 化为直角坐标系xOy 中的普通方程，并指出两曲线有公共点时a 的取值范围；（2）当3a =时，两曲线相交于A ，B 两点，求||AB23、 选修4-5：不等式选讲已知函数()|21||1|f x x x =-++（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数()y f x =的图象，并由图象找出满足不等式()3f x ≤的解集；（2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设,a b R ∈，且有22a b m +=，试证明：221418117a b +≥++参考答案一、选择题1-5:BCAAD 6-10:AABCC 11、12：CD二、填空题13、-8 14e << 15、27[,]5416、 三、解答题17、解：（1）当2n =时，由121n n S S -=+及112a =， 得2121S S =+，即121221a a a +=+，解得214a =、 又由121n n S S -=+，①可知121n n S S +=+，②②-①得12n n a a +=，即11(2)2n n a n a +=≥、 且1n =时，2112a a =适合上式，因此数列{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列，故12n n a =*()n N ∈ （2）由（1）及12log n n b a =*()n N ∈， 可知121log ()2nn b n ==， 所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++， 故2231111n n n n T b b b b b b +=+++=11111[(1)()()]2231n n -+-++-=+1111n n n -=++、 18、解：（1）因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，又平面BDEF ⊥底面ABCD ，平面BDEF平面ABCD BD =，因此AC ⊥平面BDEF ，从而AC EF ⊥、又BD DE ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ，由2AB a =，2DE BF ==，120ABC ∠=︒，可知AF =，2BD a =，EF ==，AE ==，从而222AF FE AE +=，故EF AF ⊥、又AF AC A =，所以EF ⊥平面AFC 、又EF ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面AFC 、（2）取EF 中点G ，由题可知//OG DE ，所以OG ⊥平面ABCD ，又在菱形ABCD 中，OA OB ⊥，所以分别以OA ，OB ，OG 的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系O xyz -（如图示）， 则(0,0,0)O，,0,0)A，(,0,0)C，(0,,)E a -，(0,)F a ，所以(0,,),0,0)AE a =--=(,,)a -，(,0,0),0,0)AC=--=(,0,0)-，(0,)(0,,)EFa a =--(0,2,)a =、由（1）可知EF ⊥平面AFC ，所以平面AFC 的法向量可取为(0,2,)EF a =、 设平面AEC 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,0,y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩即,0,y x⎧=⎪⎨=⎪⎩令z =，得4y =， 所以(0,4,2)n =、从而cos ,n EF <>=||||63n EF n EF⋅==⋅、 故所求的二面角E AC F --的余弦值为3、19、解：（1）从条形图中可知这100人中，有56名学生成绩等级为B ，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B 的概率为561410025=， 则该校高三年级学生获得成绩为B 的人数约有1480044825⨯=、 （2）这100名学生成绩的平均分为1(321005690780370260)100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯91.3=， 因为91.390>，所以该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关、（3）由题可知用分层抽样的方法抽取11个学生样本，其中A 级4个，B 级7个，从而任意选取3个，这3个为A 级的个数ξ的可能值为0，1，2，3、 则03473117(0)33C C P C ξ===，124731128(1)55C C P C ξ===， 214731114(2)55C C P C ξ===，30473114(3)165C C P C ξ===、 因此可得ξ的分布列为：则728144()0123335555165E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯1211=、 20、解：（1）由题意可知2c a =，所以222222()a c a b ==-，即222a b =，①又点22P 在椭圆上，所以有2223144a b+=，② 由①②联立，解得21b =，22a =， 故所求的椭圆方程为2212x y +=、 （2）设1122(,),(,)A x y B x y ，由0OA OB ⋅=，可知12120x x y y +=、 联立方程组22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 化简整理得222(12)4220k x kmx m +++-=，由2222168(1)(12)0k m m k ∆=--+>，得2212k m +>，所以122412km x x k +=-+，21222212m x x k -=+，③ 又由题知12120x x y y +=，即1212()()0x x kx m kx m +++=，整理为221212(1)()0k x x km x x m ++++=、 将③代入上式，得22222224(1)01212m km k km m k k -+-⋅+=++、 化简整理得222322012m k k--=+，从而得到22322m k -=、 21、 解：（1）由22()ln f x a x x ax =-+-，可知2'()2a f x x a x =-+-=222(2)()x ax a x a x a x x --+-=、 因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以，①若0a >时，当(0,)x a ∈时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当(,)x a ∈+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增；②若0a =时，当'()20f x x =>在(0,)x ∈+∞内恒成立，函数()f x 单调递增；③若0a <时，当(0,)2a x ∈-时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当(,)2a x ∈-+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增、（2）证明：由题可知()()()h x f x x ϕ=+=2(2)ln x a x a x +--(0)x >， 所以'()2(2)a h x x a x=+--=22(2)(2)(1)x a x a x a x x x +---+=、 所以当(0,)2a x ∈时，'()0h x <；当(,)2a x ∈+∞时，'()0h x >；当2a x =时，'()02a h =、 欲证12'()02x x h +>，只需证12'()'()22x x a h h +>，又2''()20a h x x=+>，即'()h x 单调递增，故只需证明1222x x a +>、 设1x ，2x 是方程()h x m =的两个不相等的实根，不妨设为120x x <<，则21112222(2)ln ,(2)ln ,x a x a x m x a x a x m ⎧+--=⎨+--=⎩ 两式相减并整理得1212(ln ln )a x x x x -+-=22121222x x x x -+-， 从而221212121222ln ln x x x x a x x x x -+-=-+-， 故只需证明2212121212122222(ln ln )x x x x x x x x x x +-+->-+-， 即22121212121222ln ln x x x x x x x x x x -+-+=-+-、 因为1212ln ln 0x x x x -+-<，所以（*）式可化为12121222ln ln x x x x x x --<+， 即11212222ln 1x x x x x x -<+、 因为120x x <<，所以1201x x <<， 不妨令12x t x =，所以得到22ln 1t t t -<+，(0,1)t ∈、 记22()ln 1t R t t t -=-+，(0,1)t ∈，所以22214(1)'()0(1)(1)t R t t t t t -=-=≥++，当且仅当1t =时，等号成立，因此()R t 在(0,1)单调递增、又(1)0R =，因此()0R t <，(0,1)t ∈， 故22ln 1t t t -<+，(0,1)t ∈得证， 从而12'()02x x h +>得证、22、解：（1）曲线1C ：3cos ,2sin ,x t y t αα=+⎧⎨=+⎩消去参数t 可得普通方程为222(3)(2)x y a -+-=、 曲线2C ：4sin ρθ=，两边同乘ρ、可得普通方程为22(2)4x y +-=、把22(2)4y x -=-代入曲线1C 的普通方程得：222(3)4136a x x x =-+-=-， 而对2C 有222(2)4x x y ≤+-=，即22x -≤≤，所以2125a ≤≤故当两曲线有公共点时，a 的取值范围为[1,5]、（2）当3a =时，曲线1C ：22(3)(2)9x y -+-=， 两曲线交点A ，B 所在直线方程为23x =、 曲线22(2)4x y +-=的圆心到直线23x =的距离为23d =，所以||3AB ==、 23、 解：（1）因为()|21||1|f x x x =-++=3,1,12,1,213,.2x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩ 所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式()3f x ≤的解集为[1,1]-、（2）证明：由图可知函数()y f x =的最小值为32，即32m =、 所以2232a b +=，从而227112a b +++=， 从而221411a b +=++2222214[(1)(1)]()71a b a a b ++++=++2222214(1)[5()]711b a a b ++++≥++218[577+=、 当且仅当222214(1)11b a a b ++=++时，等号成立， 即216a =，243b =时，有最小值， 所以221418117a b +≥++得证。
河北省衡水市高考数学三模试卷(理科)
河北省衡水市高考数学三模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合则等于（）A . {0,1}B . {1}C . {-1,1}D . {-1,0,1}2. （2分）(2017·鄂尔多斯模拟) 设i为虚数单位，（﹣3+4i）2=a+bi（a，b∈R），则下列判断正确的是（）A . |a+bi|=5B . a+b=1C . a﹣b=﹣17D . ab=1683. （2分）已知是数列{}的前n项和，，那么数列{}是（）A . 等比数列B . 当p≠0时为等比数列C . 当p≠0，p≠1时为等比数列D . 不可能为等比数列4. （2分）若实数，则函数的图象的一条对称轴方程为（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高二上·潮阳期末) 执行如图的程序框图，则输出S的值为（）A . 2B . ﹣3C . ﹣D .6. （2分）(2017·沈阳模拟) 某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A . 4B . 8C .D .7. （2分） (2016高一上·宁波期中) 已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）单调递减，则满足的实数x的取值范围是（）A . （，）B . [ ，）C . （，）D . [ ，）8. （2分） (2017高二下·莆田期末) 某班周四上午有4节课，下午有2节课，安排语文、数学、英语、物理、体育、音乐6门课，若要求体育不排在上午第一、二节，并且体育课与音乐课不相邻，（上午第四节与下午第一节理解为相邻），则不同的排法总数为（）A . 312B . 288C . 480D . 4569. （2分） (2015高三下·湖北期中) 已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为（）A .B . 2C .D .10. （2分） (2016高二下·市北期中) 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin（2x+ ）的图象，则只需将f（x）的图象（）A . 向右平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向左平移个单位长度11. （2分）已知正三棱锥P-ABC的主视图和俯视图如图所示,则此三棱锥的外接球的表面积为（）A . 4πB . 12πC .D .12. （2分） (2017高二下·红桥期末) 已知函数f（x）= sin2x﹣cos2x+1，下列结论中错误的是（）A . f（x）的图象关于（，1）中心对称B . f（x）在（，）上单调递减C . f（x）的图象关于x= 对称D . f（x）的最大值为3二、填空题 (共4题；共5分)13. （2分） (2018高三上·嘉兴期末) 直角中，，为边上的点，且，则 ________；若，则 ________．14. （1分）(2017·福建模拟) 设不等式，表示的平面区域为M，若直线y=k（x+2）上存在M内的点，则实数k的最大值是________．15. （1分）在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“有99%以上的把握认为吸烟与患肺癌有关”．对以下说法：（1）在100个吸烟者中至少有99人患有肺癌；（2）某个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌；（3）在100个吸烟者中一定有患肺癌的人；（4）在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有．其中正确的是________ ．（填上所有正确的序号）16. （1分） (2016高二上·浦东期中) 在数列{an}中，Sn是其前n项和，若Sn=n2+1，n∈N* ，则an=________．三、解答题 (共5题；共50分)17. （10分） (2017高一下·宿州期中) 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边且asinB= bcosA（1）求A.（2）若a=3，b=2c，求△ABC的面积．18. （5分）(2017·芜湖模拟) 如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，BC=2AD=2DC，四边形ABEF 是正方形．将正方形ABEF沿AB折起到四边形ABE1F1的位置，使平面ABE1F1⊥平面ABCD，M为AF1的中点，如图2．（I）求证：AC⊥BM；（Ⅱ）求平面CE1M与平面ABE1F1所成锐二面角的余弦值．19. （10分） (2017高二下·启东期末) 在校运动会上，甲、乙、丙三位同学每人均从跳远，跳高，铅球，标枪四个项目中随机选一项参加比赛，假设三人选项目时互不影响，且每人选每一个项目时都是等可能的（1）求仅有两人所选项目相同的概率；（2）设X为甲、乙、丙三位同学中选跳远项目的人数，求X的分布列和数学期望E（X）20. （10分）已知过点A(1，0)且斜率为k的直线l与圆C：(x-2)2+(y-3)2=1交于M ， N两点.（1）求k的取值范围；（2）=12，其中O为坐标原点，求|MN|.21. （15分） (2019高三上·城关期中) 设函数 .（1）求过点的切线方程；（2）若方程有3个不同的实根，求的取值范围。
2020届河北省衡水中学高三第三次模拟考试数学(理)试卷及解析
2020届河北省衡水中学高三第三次模拟考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设i 为虚数单位,复数z 满足()12i z i -⋅=,则z =（ ）A. 1D. 2 【答案】B【解析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算,再由复数模的计算公式求解．【详解】由z （1﹣i ）＝2i ,得z ()()2121111)i i i i i i i +===-+--+, ∴|z|=故选B ．2.已知集合{}1A x x =≤,B x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩,则A B =（ ） A. (]2,1-B. []2,1-C. (),2-∞-D. (],2-∞-【答案】A【解析】 化简集合B,根据交集的定义求解即可. 【详解】由题意知{}22B x x =-<<,则{}21A B x x ⋂=-<≤.故选A.3.已知直线l ：y x m =+和圆O ：221x y +=,则“m =”是“直线l 与圆O 相切”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题首先可以根据圆的方程确定圆心与半径,然后通过证明当m =时直线l 与圆O 相切即可得出“m =”是“直线l 与圆O 相切”的充分条件,最后通过求解当直线l 与圆O 相切时m的值即可得出“m =l 与圆O 相切”的必要条件,即可得出结果.【详解】因为圆O ：221x y +=,所以圆心()0,0O ,半径1r =,因为当m =,圆心O 到直线l 的距离为1d ==,所以直线l 与圆O 相切,“m =”是“直线l 与圆O 相切”的充分条件,因为当直线l 与圆O 相切时,圆心O 到直线l 的距离为1d ==,解得m =,所以“m =l 与圆O 相切”的必要条件,故“m =l 与圆O 相切”的充分不必要条件,故选：A.4.某公司某型号无人机以其小巧轻便、高效机动、影像清晰、智能化、用途广等突出特点,得到广大用户的青睐,该型号无人机近5年销售量数据统计如下表所示.根据表中数据用最小二乘法求得y 关于x 的线性回归方程为ˆ 6.5yx t =+,则可以预测2020年该型号无人机的销量大约为（ ）A. 40万件B. 41.5万件C. 45万件D. 48万件 【答案】B【解析】先根据题中所给的数据,计算得出样本中心点()2,22,代入求得9t =,再将5x =代入方程求得。
精品解析：河北省衡水中学高三下学期第三次摸底考试数学(理)试题(解析版)
河北衡水中学2021-2021学年度高三下学期数学第三次摸底考试〔理科〕必考局部一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 集合，那么集合等于〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】,选D.2. 假设，那么等于〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】设,那么,选A.点睛：此题重点考察复数的根本运算和复数的概念，属于基此题.首先对于复数的四那么运算，要实在掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关根本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3. 数列为正项等比数列，假设，且，那么此数列的前5项和等于〔〕A. B. 41 C. D.【答案】A【解析】因为，所以选A. 4. 、分别是双曲线的左、右焦点，以线段为边作正三角形，假如线段的中点在双曲线的渐近线上，那么该双曲线的离心率等于〔〕A. B. C. D. 2【答案】D【解析】由题意得渐近线斜率为即选D.5. 在中，“〞是“〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】时，，所以必要性成立；时，，所以充分性不成立，选B.6. 二次函数的两个零点分别在区间和内，那么的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】A学|科|网...【解析】由题意得可行域如三角形内部〔不包括三角形边界，其中三角形三顶点为〕：，而所以直线过C取最大值过B点取最小值的取值范围是，选A.点睛：线性规划的本质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目的函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进展比拟，防止出错；三，一般情况下，目的函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上获得.7. 如，一个简单几何体的正视和侧视都是边长为2的等边三角形，假设该简单几何体的体积是，那么其底面周长为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意，几何体为锥体，高为正三角形的高因此底面积为即底面为等腰直角三角形，直角边长为2，周长为选C.8. 20世纪30年代，德国数学家洛萨---科拉茨提出猜测：任给一个正整数假如是偶数，就将它减半；假如是奇数，那么将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1，这就是著名的“〞猜测.如是验证“〞猜测的一个程序框，假设输出的值为8，那么输入正整数的所有可能值的个数为〔〕A. 3B. 4C. 6D. 无法确定【答案】B【解析】由题意得；，因此输入正整数的所有可能值的个数为4，选B.9. 的展开式中各项系数的和为16，那么展开式中项的系数为〔〕A. B. C. 57 D. 33【答案】A【解析】由题意得,所以展开式中项的系数为 ,选A. 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略项，再由特定项的特点求出值即可.(2)展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.10. 数列为非常数列，满足：，且对任何的正整数都成立，那么的值为〔〕A. 1475B. 1425C. 1325D. 1275【答案】B【解析】因为，所以，即，所以,叠加得,，,即从第三项起成等差数列，设公差为因为，所以解得，即所以满足选B.11. 向量满足，假设，的最大值和最小值分别为，那么等于〔〕A. B. 2 C. D.【答案】C【解析】因为所以；因为，所以学|科|网...的最大值与最小值之和为，选C.12. 偶函数满足，且当时，，关于的不等式在上有且只有200个整数解，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】因为偶函数满足，所以因为关于的不等式在上有且只有200个整数解，所以关于的不等式在上有且只有2个整数解，因为所以在上单调递增，且，在上单调递减，且，因此，只需在上有且只有2个整数解，因为所以选C.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草确定其中参数范围．从象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从象的对称性，分析函数的奇偶性；从象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在答题纸上13. 为稳定当前物价，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进展调查，5家商场商品的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：价格9 10销售量12 11 9 7 6由散点可知，销售量与价格之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，那么__________．【答案】【解析】点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.假如线性相关，那么直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.14. 将函数的象向右平移个单位〔〕，假设所得象对应的函数为偶函数，那么的最小值是__________．【答案】【解析】向右平移个单位得为偶函数，所以，因为，所以学|科|网...点睛：三角函数的象变换，提倡“先平移，后伸缩〞，但“先伸缩，后平移〞也常出如今题目中，所以也必须纯熟掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言. 函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.15. 两平行平面间的间隔为，点，点，且，假设异面直线与所成角为60°，那么四面体的体积为__________．【答案】6【解析】设平面ABC与平面交线为CE，取,那么16. 是过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，是坐标原点，且满足，那么的值为__________．【答案】【解析】因为，所以因此，所以因为所以，因此三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如，关于边的对称形为，延长边交于点，且，.〔1〕求边的长；〔2〕求的值.【答案】〔1〕〔2〕【解析】试题分析：〔1〕先由同角三角函数关系及二倍角公式求出．再由余弦定理求出，最后根据角平分线性质定理得边的长；〔2〕先由余弦定理求出，再根据三角形内角关系及两角和余弦公式求的值.试题解析：解：〔1〕因为，所以，所以．因为，所以，所以，又，所以．〔2〕由〔1〕知，所以，所以，因为，所以，所以．学|科|网...18. 如，圆锥和圆柱的组合体〔它们的底面重合〕，圆锥的底面圆半径为，为圆锥的母线，为圆柱的母线，为下底面圆上的两点，且，，.〔1〕求证：平面平面；〔2〕求二面角的正弦值．【答案】〔1〕见解析〔2〕【解析】试题分析：〔1〕先根据平几知识计算得,再根据圆柱性质得平面，即有，最后根据线面垂直断定定理得平面,即得平面平面；〔2〕求二面角，一般利用空间向量进展求解，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，利用向量数量积求法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间关系求解试题解析：解：〔1〕依题易知，圆锥的高为，又圆柱的高为，所以，因为，所以，连接，易知三点共线，，所以，所以，解得，又因为，圆的直径为10，圆心在内，所以易知，所以．因为平面，所以，因为，所以平面．又因为平面，所以平面平面．〔2〕如，以为原点，、所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．那么．所以，设平面的法向理为，所以，令，那么．可取平面的一个法向量为，所以，所以二面角的正弦值为．19. 如，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳〔剪刀、石头、布〕比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开场，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，假如一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏完毕，记此时两个小伙伴划拳的次数为．〔1〕求游戏完毕时小华在第2个台阶的概率；〔2〕求的分布列和数学期望．【答案】〔1〕〔2〕学|科|网...【解析】试题分析：〔1〕根据等可能性知每次赢、平、输的概率皆为．再分两种情况分别计数：一种是小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平；另一种是小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输，逆推确定事件数及对应划拳的次数，最后利用互斥事件概率加法公式求概率，〔2〕先确定随机变量取法,再分别利用组合求对应概率,列表可得分布列,最后根据数学期望公式求期望.试题解析：解：〔1〕易知对于每次划拳比赛根本领件共有个，其中小华赢〔或输〕包含三个根本领件上，他们平局也为三个根本领件，不妨设事件“第次划拳小华赢〞为；事件“第次划拳小华平〞为；事件“第次划拳小华输〞为，所以．因为游戏完毕时小华在第2个台阶，所以这包含两种可能的情况：第一种：小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平；其概率为，第二种：小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输，其概率为所以游戏完毕时小华在第2个台阶的概率为．〔2〕依题可知的可能取值为2、3、4、5，，，，所以的分布列为：2 3 4 5所以的数学期望为：．20. 如，为椭圆上的点，且，过点的动直线与圆相交于两点，过点作直线的垂线与椭圆相交于点．〔1〕求椭圆的离心率；〔2〕假设，求．【答案】〔1〕〔2〕【解析】试题分析：〔1〕根据题意列方程组：，解方程组可得，，再根据离心率定义求椭圆的离心率；〔2〕先根据垂径定理求圆心到直线的间隔 ,再根据点到直线间隔公式求直线AB的斜率,根据垂直关系可得直线PQ的斜率,最后联立直线PQ与椭圆方程,利用韦达定理及弦长公式求．试题解析：解：〔1〕依题知，解得，所以椭圆的离心率；〔2〕依题知圆的圆心为原点，半径为，所以原点到直线的间隔为，因为点坐标为，所以直线的斜率存在，设为．所以直线的方程为，即，所以，解得或．①当时，此时直线的方程为，所以的值为点纵坐标的两倍，即；②当时，直线的方程为，将它代入椭圆的方程，消去并整理，得，设点坐标为，所以，解得，所以．点睛：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中，应纯熟地利用根与系数关系，设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.涉及中点弦问题往往利用点差法.21. 函数，其中为自然对数的底数．〔参考数据：〕〔1〕讨论函数的单调性；〔2〕假设时，函数有三个零点，分别记为，证明：．【答案】〔1〕见解析〔2〕见解析【解析】试题分析：〔1〕先求函数导数,根据参数a讨论：当时，是常数函数，没有单调性．当时，先减后增；当时，先增后减；〔2〕先化简方程，整体设元转化为一元二次方程：．其中，再利用导数研究函数的像，根据像确定根的取值范围，进而可证不等式.试题解析：解：〔1〕因为的定义域为实数，所以．①当时，是常数函数，没有单调性．②当时，由，得；由，得．所以函数在上单调递减，在上单调递增．③当时，由得，；由，得，学|科|网...所以函数在上单调递减，在上单调递增．〔2〕因为，所以，即．令，那么有，即．设方程的根为，那么，所以是方程的根．由〔1〕知在单调递增，在上单调递减．且当时，，当时，，如，根据题意，不妨取，所以，因为，易知，要证，即证．所以，又函数在上单调递增，所以，所以．选考局部请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，那么按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中直线的倾斜角为，且经过点，以坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线相交于两点，过点的直线与曲线相交于两点，且．〔1〕平面直角坐标系中，求直线的一般方程和曲线的标准方程；〔2〕求证：为定值．【答案】〔1〕,〔2〕【解析】试题分析：〔1〕根据点斜式可得直线的一般方程，注意讨论斜率不存在的情形；根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，配方化为标准方程.〔2〕利用直线参数方程几何意义求弦长：先列出直线参数方程，代入圆方程，根据及韦达定理可得，类似可得，相加即得结论.试题解析：解：〔1〕因为直线的倾斜角为，且经过点，当时，直线垂直于轴，所以其一般方程为，当时，直线的斜率为，所以其方程为，即一般方程为．因为的极坐标方程为，所以，因为，所以．所以曲线的标准方程为．〔2〕设直线的参数方程为〔为参数〕，学|科|网...代入曲线的标准方程为，可得，即，那么，所以，同理，所以．23. 选修4-5：不等式选讲实数满足．〔1〕求的取值范围；〔2〕假设，求证：．【答案】〔1〕〔2〕见解析【解析】试题分析：〔1〕因为，所以，又，即得的取值范围；〔2〕因为，而，即证.试题解析：解：〔1〕因为，所以．①当时，，解得，即；②当时，，解得即，所以，那么，而，所以，即；〔2〕由〔1〕知，因为当且仅当时取等号，所以．。
河北省衡水市高三数学第三次模拟考试试题理
注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间 120 分钟。
2．答题前请认真阅读答题卡（纸）上的“注意事项”，依据“注意事项”的规定答题。
3．选择题答案涂在答题卡上，非选择题答案写在答题卡上相应地点，在试卷和底稿纸上作答无效。
第Ⅰ卷选择题（共60 分）一．选择题：此题共12 小题，每题 5 分，共60 分，在每题给出的四个选项中，有且只有一项切合题目要求, 将正确答案填涂在答题卡上。
1. 已知会合A x | x1 , B x | e x1，则( )A.A B x | x 1 B.A B x | x eC.A (C R B) RD.(C R A) B x | 0 x 12. 已知 i 为虚数单位，若 1 a bi( a,b R) ，则 a b （）1+iA.1B. 2C.2D.2 23. 向量 a, b, c 在正方形网格中的地点如下图. 若向量 a b 与c共线, 则实数（）A. 2 B. 1 C. 1 D. 24. 函数 1sin( x ) cos(x 的最大值为（） A.1 B.1 C. 3 D. 6f ( x) )5 5 55 3 65. 七巧板是我国古代办感人民的发明之一，被誉为“东方模板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板构成的．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概9 5 3 7率为（）A．32 B．16 C ．8 D．166. 已知 a 0 ，f ( x) log a( 6 ax ) ，则“1 a 3 ”“是 f (x) 在 (1,2) 上单一递减”的（）A 充足不用要条件B 必需不充足条件C 充要条件D 既不充足也不用要条件7. 一给定函数y f ( x) 的图象在以下四个选项中，而且对随意a1(0,1)，由关系式a n 1f (a n ) 获得的数列 a n 知足 a n 1 a n . 则该函数的图象可能是 ( )A. B. C. D.8. 某几何体的三视图如下图，此中主视图，左视图均是由高为2 三角形构成，俯视图由半径为 3 的圆与其内接正三角形构成，则该几何体的体积为( )A. B. C. D. .9. 设双曲线 C :x 2y 2 1(a 0,b 0) 的左、右焦点分别为 F 1 , F 2 ， F 1F 22c，过 F 2 作 xa 2b 2轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A ，已知 Qc,3a， F 2 Q F 2A ，点 P 是双曲线 C2右支上的动点，且 PF 1PQ 3F 1F 2 恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（）2A.10 , B.1,7C.7 , 10D.1, 10266 2210. 已知实数 、 知足 4x2y 41 x22 y，若yk( x 1)1 恒成立，那么 k 的取值范围x 2 y 4 03xy 3是()A ．1B ．4 C．[3, )D ．( 1[ ,3](, ], ]23211. 已知三棱锥 A BCD 中， AB AC BD CD2, BC 2 AD ，直线 AD 与底面 BCD所成角为，则此时三棱锥外接球的表面积为（）A.8B.6C.9D.3512. 已知函数是定义在 R 上的奇函数，当时，2|x 1| 1,0 x 则函数2,f (x)1f ( x 2), x 2,2g(x) xf (x)1在[ 7,) 上的全部零点之和为 ()A ． 7 B ．8 C．9 D ．10第Ⅱ卷 非选择题（共90 分）二．填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，将答案填在答题卡上相应地点。
河北省衡水中学高三下学期第三次摸底考试理数试题
河北衡水中学2021-2021学年度 高三下学期数学第三次摸底考试〔理科〕必考局部一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.集合()13lg 21|,|1x M x f x N x x -⎧⎫-⎧⎫===>⎨⎨⎬⎩⎩⎭，那么集合MN 等于〔 〕A ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．()1,+∞ C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭2. z C ∈假设12z z i -=+，那么1zi+等于〔 〕 A ．7144i + B ．7144i - C ．1144i -- D ．1144i -+3.数列{}n a 为正项等比数列，假设33a =，且()1123,2n n n a a a n N n +-=+∈≥，那么此数列的前5项和5S 等于 〔 〕 A ．1213 B ．41 C ．1193 D ．24194. 1F 、2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，以线段12F F 为边作正三角形12F MF ，假如线段1MF 的中点在双曲线的渐近线上，那么该双曲线的离心率e 等于〔 〕A ．．．25.在ABC ∆中，“sin sin cos cos A B B A -=- 〞是“A B =〞的〔 〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6.二次函数()2f x x bx c =++的两个零点分别在区间()2,1--和()1,0-内，那么()3f 的取值范围是〔 〕A ．()12,20B ．()12,18 C. ()18,20 D ．()8,187.如，一个简单几何体的正视和侧视都是边长为2，那么其底面周长为〔 〕A ．()231+ B ．()251+ C. ()222+ D ．53+8.20世纪30年代，德国数学家洛萨---科拉茨提出猜测：任给一个正整数x 假如x 是偶数，就将它减半；假如x 是奇数，那么将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1，这就是著名的“31x +〞“31x +〞猜测的一个程序框，假设输出n 的值为8，那么输入正整数m 的所有可能值的个数为〔 〕A ．3B ． 4 C. 6 D ．无法确定9.632243ax x x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为16，那么展开式中3x 项的系数为〔 〕A ．1172 B ． 632C. 57 D ．33 10. 数列{}n a 为非常数列，满足：39511,48a a a +==，且1223111n n n a a a a a a na a +++++=对任何的正整数n 都成立，那么1250111a a a ++的值为〔 〕 A ．1475 B ．1425 C. 1325 D ．127511.向量,,αβγ 满足()()()1,2,αααβαγβγ=⊥--⊥-，假设172β=，γ的最大值和最小值分别为,m n ，那么m n +等于〔 〕A ．32 B ．2 C. 52 D 12.偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，且当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，关于x 的不等式()()20f x af x +>在[]200,200-上有且只有200个整数解，那么实数a 的取值范围是〔 〕A ．1ln 6,ln 23⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1ln 2,ln 63⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C. 1ln 2,ln 63⎛⎤-- ⎥⎝⎦ D ．1ln 6,ln 23⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在答题纸上13.为稳定当前物价，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进展调查，5家商场商品的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：由散点可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是ˆˆ3.2y x a =-+，那么ˆa= ．14.将函数()2cos2f x x x =-的象向右平移m 个单位〔0m >〕，假设所得象对应的函数为偶函数，那么m 的最小值是 ．15.两平行平面αβ、间的间隔 为A B α∈、，点C D β∈、，且4,3AB CD ==，假设异面直线AB 与CD 所成角为60°，那么四面体ABCD 的体积为 ．16.A B 、是过抛物线()220y px p =>焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足3,3OAB AB FB S AB ∆==，那么AB 的值为 ． 三、解答题 ：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如，ABC ∆关于AC 边的对称形为ADC ∆，延长BC 边交AD 于点E ，且5,2AE DE ==，1tan 2BAC ∠=.〔1〕求BC 边的长； 〔2〕求cos ACB ∠的值.18.如，圆锥1OO 和圆柱12O O 的组合体〔它们的底面重合〕，圆锥的底面圆1O 半径为5r =，OA 为圆锥的母线，AB 为圆柱12O O 的母线，D E 、为下底面圆2O 上的两点，且6, 6.4DE AB ==，52AO =，AO AD ⊥.〔1〕求证：平面ABD ⊥平面ODE ； 〔2〕求二面角B AD O --的正弦值．19.如，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳〔剪刀、石头、布〕比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开场，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，假如一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏完毕，记此时两个小伙伴划拳的次数为X ．〔1〕求游戏完毕时小华在第2个台阶的概率； 〔2〕求X 的分布列和数学期望．20.如，62P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>上的点，且225a b +=，过点P 的动直线与圆222:1F x y a +=+相交于A B 、两点，过点P 作直线AB 的垂线与椭圆E 相交于点Q ．〔1〕求椭圆E 的离心率； 〔2〕假设23AB =PQ ．21. 函数()()()()11,2x x xax b e f x a R g x b R e e x e --=∈=+∈+，其中e 为自然对数的底数．〔参考数据：112427.39 1.28, 1.65e e e ≈≈≈， 〕〔1〕讨论函数()f x 的单调性；〔2〕假设1a =时，函数()()2y f x g x =+有三个零点，分别记为()123123x x x x x x <<、、，证明：()12243x x -<+<．选考局部请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，那么按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中直线1l 的倾斜角为α，且经过点()1,1P -，以坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系Ox ，曲线E 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线1l 与曲线E 相交于A B 、两点，过点P 的直线2l 与曲线E 相交于C D 、两点，且12l l ⊥． 〔1〕平面直角坐标系中，求直线1l 的一般方程和曲线E 的标准方程； 〔2〕求证：22AB CD +为定值． 23.选修4-5：不等式选讲 实数a b 、满足223a b ab +-=． 〔1〕求a b -的取值范围； 〔2〕假设0ab >，求证：2211344a b ab++≥．试卷答案一、选择题1-5:DAADB 6-10: ACBAB 11、12：CC二、填空题13. 14.6π 15. 6 16. 92三、解答题17.解：〔1〕因为1tan 2BAC ∠=，所以22tan 4tan 1tan 3BAC BAE BAC ∠∠==-∠，所以3cos 5BAE ∠=． 因为527AB AD AE DE ==+=+=，所以2222cos 49254232BE AB AE AB AE BAE =+-∠=+-=，所以BE =75BC AB CE AE ==，所以3BC =〔2〕由〔1〕知BE =所以222cos22AB BE AE B AB BE +-===，所以sin B =，因为1tan 2BAC ∠=，所以sin BAC BAC ∠=∠=所以()cos cos ACB BAC B ∠=-∠+sin sin cos cos B BAC B BAC =∠-∠==18.解：〔1〕依题易知，圆锥的高为5h ==，又圆柱的高为 6.4,AB AO AD =⊥，所以222OD OA AD =+，因为AB BD ⊥，所以222AD AB BD =+，连接1122OO O O DO 、、，易知12O O O 、、三点共线，22OO DO ⊥，所以22222OD OO O D =+，所以()(22222222222 6.455 6.464BD OO O D AO AB =+--=++--=，解得8BD =，又因为6DE =，圆2O 的直径为10，圆心2O 在BDE ∠内，所以易知090BDE ∠=，所以DE BD ⊥．因为AB ⊥平面BDE ，所以DE AB ⊥，因为AB BD B =，所以DE ⊥平面ABD ．又因为DE ⊂平面ODE ，所以平面ABD ⊥平面ODE ．〔2〕如，以D 为原点，DB 、DE 所在的直线为x y 、轴，建立空间直角坐标系．那么()()()()0,0,0,8,0,6.4,8,0,0,4,3,11.4D A B O ． 所以()()()8,0,6.4,8,0,0,4,3,11.4DA DB DO ===， 设平面DAO 的法向理为(),,u x y z =，所以8 6.40,4311.40DA u x z DO u x y z =+==++=，令12x =，那么()12,41,15u =-． 可取平面BDA 的一个法向量为()0,1,0v =， 所以4182cos ,582u v u v u v=== 所以二面角B AD O --的正弦值为3210． 19.解：〔1〕易知对于每次划拳比赛根本领件共有339⨯=个，其中小华赢〔或输〕包含三个根本领件上，他们平局也为三个根本领件，不妨设事件“第()*i i N ∈次划拳小华赢〞为i A ；事件“第i 次划拳小华平〞为i B ；事件“第i 次划拳小华输〞为i C ，所以()()()3193i i i P A P B P C ====． 因为游戏完毕时小华在第2个台阶，所以这包含两种可能的情况：第一种：小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平； 其概率为()()()()()()212122124781p A P B P C P B P C P A P B =+=， 第二种：小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输， 其概率为()()()()()()()()()()()()3221233123421234529243p P B P B P C A P A P B P C P C A P A P C P A P C P C =++=所以游戏完毕时小华在第2个台阶的概率为127295081243243p p p =+=+=． 〔2〕依题可知X 的可能取值为2、3、4、5，()()()()()4123412522381P X P A P C P A P C ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭，()()()2121222239P X P A P A ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭，()()()()()()()()()()123123123322P X P A P B P A P B P A P A P B P B P B ==++ ()()()()()()()()()()()()12312312312322213227P A P B P B P B P A P B P B P B P A P C P A P A ++++=()()()()224152381P X P X P X P X ==-=-=-==， 所以X 的分布列为：所以X 的数学期望为：()2132222512345927818181E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．20.解：〔1〕依题知2222611,5,04ab a b a b+=+=>>，解得223,2a b ==，所以椭圆E的离心率e ===； 〔2〕依题知圆F 的圆心为原点，半径为2,r AB ==，所以原点到直线AB 的间隔为1d ===， 因为点P 坐标为⎫⎪⎪⎝⎭，所以直线AB 的斜率存在，设为k ． 所以直线AB 的方程为12y k x ⎛-=-⎝⎭，即102kx y k --+=，所以1d ==，解得0k =或k =①当0k =时，此时直线PQ的方程为2x =， 所以PQ 的值为点P 纵坐标的两倍，即212PQ =⨯=；②当k =PQ的方程为12y x ⎛-=-⎭， 将它代入椭圆E 的方程2132x y 2+=，消去y并整理，得234210x --=， 设Q 点坐标为()11,x y1x +=1x =，所以13017PQ =-=．21.解：〔1〕因为()1x x ax x f x ae e e -⎛⎫== ⎪⎝⎭的定义域为实数R ， 所以()1x x f x ae e -⎛⎫'=⎪⎝⎭． ①当0a =时，()0f x =是常数函数，没有单调性．②当0a <时，由()0f x '<，得1x <；由()0f x '>，得1x >． 所以函数()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增． ③当0a >时，由()0f x '<得，1x >； 由()0f x '>，得1x <， 所以函数()f x 在()1,+∞上单调递减，在(),1-∞上单调递增． 〔2〕因为()()1,20a f x g x =+=，所以121202x x xx b e e e x e --++=+，即1111221022x x x x x x x e x b b x e e x e e e ----++=++=++．令12x x t e e -=+，那么有10t e b t -++=，即()210t b e t +-+=． 设方程()210t b e t +-+=的根为12t t 、，那么121t t =，所以123x x x 、、是方程()()121122*,**x x x x t e t e e e --=+=+的根． 由〔1〕知12x x t e e-=+在(),1-∞单调递增，在()1,+∞上单调递减． 且当x →-∞时，t →-∞，当x →+∞时，()max ,12t e t t e →==+，如，根据题意，不妨取22e t e <<+，所以121112t e t e<=<+， 因为315122244111110,112422t e e e e t e e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+<-=-+=-+> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 易知201x <<，要证()12243x x -<+<，即证11124x -<<-． 所以()1111024t t x t e ⎛⎫⎛⎫-<<<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又函数()y t x =在(),1-∞上单调递增， 所以11124x -<<-，所以()12243x x -<+<． 22.解：〔1〕因为直线1l 的倾斜角为α，且经过点()1,1P -，当090α=时，直线1l 垂直于x 轴，所以其一般方程为10x -=，当090α≠时，直线1l 的斜率为tan α，所以其方程为()1tan 1y x α+=-， 即一般方程为()tan tan 10x y αα---=．因为E 的极坐标方程为4cos ρθ=，所以24cos ρρθ=，因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以224x y x +=．所以曲线E 的标准方程为()2224x y -+=．〔2〕设直线1l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩〔t 为参数〕，代入曲线E 的标准方程为()2224x y -+=，可得()()221cos 21sin 4t t αα+-+-+=，即()22cos sin 20t t αα-+-=， 那么()12122cos sin ,2t t t t αα+=+=-，所以()()()222212121244cos sin 8124sin AB t t t t t t ααα=-=+-=++=+2， 同理2124sin 2124sin 22CD παα⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭， 所以22124sin 2124sin 224AB CD αα+=++-=为定值．23.解：〔1〕因为223a b ab +-=，所以2232a b ab ab +=+≥． ①当0ab ≥时，32ab ab +≥，解得3ab ≤，即03ab ≤≤；②当0ab <时，32ab ab +≥-，解得 1ab ≥-即10ab -≤<，所以13ab -≤≤，那么034ab ≤-≤，而()2222323a b a b ab ab ab ab -=+-=+-=-， 所以()204a b ≤-≤，即22a b -≤-≤；〔2〕由〔1〕知03ab <≤， 因为2222224113444344a b a b ab a b ab +++-=-+ 2222222343333111113304442ab a b ab a b ab a b ab ab +⎛⎫⎛⎫=-+=-+=-+=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2ab =时取等号，所以 2211344a b ab++≥ ．。
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年－-－河北－－-衡水中学－-－高三-－－名校模拟(三模下)-－-理科-－-数学————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:ﻩ试卷类型:A衡水中学2012届高三下学期第三次模拟 高三理科数学第Ⅰ卷(选择题 共60分)2.选择题(每小题5分，共6０分。
下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号填涂在答题卡上） １．复数i34ia z +=∈+R ，则实数a 的值是( ）． A.43-B ．43C ．34 D ．34- 2．在等差数列{}n a 中,()()3456814164336a a a a a a a ++++++=,那么该数列的前1４项和为（ )．A ．20B ．2１C ．42D ．84 3．为调查衡水市高中三年级男生的身高情况，选取了5000人作为样本,右图是此次调查中的某一项流程图,若其输出的结果是3800,则身高在cm 170以下的频率为( )Ａ．24.0 B ．38.0 C ．62.0 D.76.0 4.给出下列命题①若直线l 与平面α内的一条直线平行，则l ∥α； ②若平面α⊥平面β,且l αβ=,则过α内一点P 与l 垂直的直线垂直于平面β;③00(3,),(2,)x x ∃∈+∞∉+∞;④已知a R ∈,则“2a <”是“22a a <”的必要不充分条件．其中正确命题的个数是( ） A.4ﻩ B.３ﻩﻩ C.2ﻩ ﻩD.1５. 在9)1(xx -的展开式中，常数项为（ ) Ａ. -３6B. ３6 ﻩＣ． －84ﻩﻩD. 846.下图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为( ）A ． 23π+6 B.23+4π Ｃ. 33π+6D ．334π+37．设m,n 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有５的条件下，方程20x mx n ++=有实根的概率为（ ）A ．1136 ﻩB.736C ．711Ｄ.7108．若双曲线222(0)x y a a -=>的左、右顶点分别为Ａ、Ｂ,点P 是第一象限内双曲线上的点。
若直线PA 、ＰB 的倾斜角分别为α，β,且(1)m m βα=>，那么α的值是( )A.21m π-ﻩＢ.2mπ C ．21m π+ﻩＤ.22m π+９.定义：()00>>=y ,x y)y ,x (F x,已知数列{}n a 满足：()()n ,F ,n F a n22=()n *∈N ，若对任意正整数n ，都有k n a a ≥()k *∈N 成立,则k a 的值为（ ）Ａ．12ﻩB.2 Ｃ.89 ﻩＤ．9810.如图,正方体1111D C B A ABCD -的棱长为3,以顶点A 为球心,2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于( ） A. 65π B. 32π C. π D. 67π1１. 已知12)(-=xx f ，21)(x x g -=,规定：当)(|)(|x g x f ≥时,|)(|)(x f x h =;当)(|)(|x g x f <时， )()(x g x h -=,则)(x h ( )A . 有最小值1-,最大值1B . 有最大值1，无最小值 Ｃ． 有最小值1-，无最大值 D . 有最大值1-,无最小值12.已知两点A (１,2), B (３,1) 到直线Ｌ的距离分别是25,2-，则满足条件的直线L 共有（ ）条 A.1 B.2 C.3 D.4Ⅱ卷(主观题 共９0分)二、填空题(每题5分，共20分，注意将答案写在答题纸上) １３. 由直线x ＝0,3,3==-y x ππ与曲线ｙ=ｃos ｘ所围成的封闭图形的面积为14. 设变量x ，y 满足约束条件1121x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数2x y z x y -=+的最大值为 .１5．已知O 是△AＢC 的外心，ＡB=2，AC=3,x+2y ＝1，若,AC y AB x AO +=)0(≠xy 则=∠BAC cos16．已知函数()f x 的定义域为[-1,５], 部分对应值如下表,()f x 的导函数/()y f x =的图像如图所示。
下列关于()f x 的命题:①函数()f x 的极大值点为0, 4； ②函数()f x 在［0，2]上是减函数;③如果当[1,]x t ∈-时,()f x 的最大值为2，那么ｔ的最大值为4; ④当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点； ⑤函数()y f x a =-的零点个数可能为0、1、２、3、4个. 其中正确命题的序号_＿____＿_＿___.(写出所有正确命题的序号)三、解答题(本大题共6个小题,共７0分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。
17.（本题满分1０分)在ABC ∆中，角A 、Ｂ、C 的对边分别为,,a b c ,且满足(2).a c BA BC cCB CA -⋅=⋅ (1）求角B 的大小；(2)若||6BA BC -=，求ABC ∆面积的最大值.1８.（本题满分１2分）如图,矩形AMND 所在的平面与直角梯形MBCN 所在的平面互相垂直，MB ∥NC ,MN MB ⊥，且MC CB ⊥，2BC =,4MB =，3DN =．(Ⅰ）求证：//AB 平面DNC ；(Ⅱ)求二面角D BC N --的余弦值.1９. （本题满分12分）某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长势情况,从两块地各随机抽取了10株树苗，分别测出它们的高度如下（单位:cm)甲:19 2０ 21 23 25 29 3２ 3３ 3７ 41 乙:１0 2６ 3０ ３0 3４ 3７ 44 4６ 46 4７（1）用茎叶图表示上述两组数据,并分别求两块地抽取树苗的高度的平均数和中位数;(２）绿化部门分配这20株树苗的栽种任务，小王在株高大于35cm 的７株树苗中随机的选种2株，则小王选择时至少有一株来自甲苗圃的概率是多少?(3)现苗圃基地将甲、乙两块地的树苗合在一起,按高度分成一、二两个等级，每个等级按不同的价格出售.某市绿化部门下属的2个单位计划购买甲、乙两地种植的树苗.已知每个单位购买每个等级树苗所需费用均为5万元,且每个单位对每个等级树苗买和不买的可能性各占一半．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，求该市绿化部门此次采购所需资金总额X 的分布列及数学期望值()E X2０.（本小题满分12分)如图，设抛物线方程为)0(22>=p py x ，M 为直线p y l 2:-=上任意一点，过M 引抛物线的切线,切点分别为Ａ、B ．（１）设抛物线上一点Ｐ到直线l 的距离为d ，F 为焦点，当23=-PF d 时，求抛物线方程和线段AB 的长；(2)求Ｍ到直线ＡB 的距离的最小值.２1. (本题满分12分）AMBx yO l设函数f （ｘ)＝14x 4＋b ｘ２+ｃx ＋d ，当x ＝t １时，f (ｘ）有极小值． (1)若ｂ＝-6时，函数f （ｘ)有极大值,求实数c 的取值范围；(2）在（１）的条件下，若存在实数c ，使函数f (x )在闭区间[m -2,m +2]上单调递增，求实数m 的取值范围; （3）若函数ｆ（x ）只有一个极值点，且存在t 2∈（t １,t 1+1），使f ′(t 2)=０,证明：函数g (ｘ）＝ｆ(ｘ）－12x 2+t １x 在区间（ｔ1，t 2）内最多有一个零点.22.（本小题满分1０分)选修4-1：几何证明选讲自圆O 外一点P 引圆的一条切线，切点为A ，M 为PA 的中点，过M 引圆的一条割线交圆于,B C 两点,且0100BMP ∠=，040BPC ∠=,试求MPB ∠的大小。
.２３．(本小题满分10分）极坐标与参数方程 ﻩ已知直线/经过点1(,1)2P ,倾斜角6πα=,圆Ｃ的极坐标方程为2cos()4πρθ=-ﻩ（I)写出直线／的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程；（ＩI)设ｌ与圆Ｃ相交于两点A 、B,求点P 到Ａ、B 两点的距离之积.２4.（本小题满分１0分）不等式选讲已知2()1,,f x x a b =+≠求证：()()f a f b a b -<-．x y z ADBM CN理科三模数学测试题参考答案17. 解:（1）条件可化为：(2)cos cos a c B b C -=．根据正弦定理有(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=. ∴2sin cos sin()A B C B =+,由基本不等式可知226222(22)a c ac ac ac ac =+-≥-=-. 即3(22)ac ≤+, 故△ＡBC 的面积123(21)sin 242S ac B ac +==≤． 即当a =c=236+时,△AB Ｃ的面积的最大值为2)12(3+． ……12分 1８.解析:（Ⅰ）证明:因为MB /／NC ,MB ⊄平面DNC ,NC ⊂平面DNC ，所以MB //平面DNC ． ……………2分 因为AMND 为矩形,所以MA //DN .又MA ⊄平面DNC ，DN ⊂平面DNC ,所以MA ／/平面DNC . ……………４分又MAMB M =,且MA ，MB ⊂平面AMB ，所以平面AMB ／/平面DNC ． ……………5分又AB ⊂平面AMB ，所以//AB 平面DNC ． ……………６分 (Ⅱ)解:由已知平面AMND ⊥平面MBCN ,且平面AMND 平面MBCN MN =,DN MN ⊥，所以DN ⊥平面MBCN ，又MN NC ⊥,故以点N 为坐标原点,建立空间直角坐标系N xyz -. ……………7分 由已知得23,30MC MCN =∠=,易得3MN =,3NC =．则(0,0,3)D ，(0,3,0)C ，(3,4,0)B ．(0,3,3)DC =-,(3,1,0)CB =． ……………8分设平面DBC 的法向量1(,,)x y z =n ,…则110,0.DC CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即330,30.y z x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1x =-,则3y =，3z =．所以1(1,3,3)=-n ． ……………10分又2n (0,0,1)=是平面NBC 的一个法向量, 所以122112321cos ,77⋅===n n n n n n . 故所求二面角D BC N --的余弦值为217． ……………12分 19.解：画出茎叶图如下：……………2分①甲地树苗高度的平均数为28cm ,乙地树苗高度的平均数为35cm ,……2分 ②甲地树苗高度的中位数为27cm ,乙地树苗高度的中位数为35.5 cm 。