§5-8-LTI系统的信号流图表示

z 1
aN

Y ( z)
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§5-8 LTI系统的信号流图表示
3、 系统的级联与并联模拟框图
根据系统函数可以分解表示为一阶分式相乘或相加，于是高阶 系统可以分别表示为一阶系统的级联或并联。
H (s)
b s
r 0 N 1 k 0 r
or
Ak (1 pk z 1 )
H pk ( z )
Bk (1 pk z 1 )
X ( z)
∑
z 1
zk
∑
Y ( z)
பைடு நூலகம்Ak
pk
X ( z)
∑
Y ( z)
z 1
pk
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§5-8 LTI系统的信号流图表示
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§5-8 LTI系统的信号流图表示
例如：已知系统函数如下，试分别用一阶系统的级联与并联模拟实 现系统。
s3 H (s) 2 s 3s 2
1 0.5 z 1 H ( z) 1 0.3z 1 0.02z 2
解：将系统函数分子分母分别因式分解。于是
s3 1 s3 s3 H (s) 2 s 3s 2 ( s 1)(s 2) ( s 1) ( s 2)
于是系统的级联模拟如下：
∑
z 1
0 .2
0 .5
∑
Y ( z)
X ( z)
∑
z 1
0 .1
或者：
Y ( z) X ( z)
∑
z 1
0 .1
0 .5
∑
∑
z 1
0 .2
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系统的并联模拟如下：
b1
b1s b0 b1 b0 s 1 系统函数： H ( s) s a 1 as1
模拟框图：
X (s)
∑
S -1
b0
∑
Y ( s)
-a
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离散时间系统：
简单方程： y(n) ay(n 1) x(n)
于是系统可以用一阶系统的级联形式实现：
X ( z)
H s1 ( z )
H s 2 ( z)
H sN ( z)
Y ( z)
或用一阶系统的并联形式实现：
H p1 ( z )
X ( z)
H p 2 ( z)

Y ( z)
H pN ( z)
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X (s)
∑
S -1
Y ( s)
-a
dy (t ) dx (t ) ay ( t ) b b0 x(t ) 1 一般方程： dt dt
dq(t ) aq(t ) x(t ) dt dq(t ) y ( t ) b b q ( t ) 1 0 dt
x1 ()

y() x1 () x2 ()
t
x()
a
D
y() ax()
x2 ()
x(t )

y(t )

x( )d
x ( n)
y(n) x(n 1)
X (s)
s
1
Y ( s) X ( s) / s
X ( z)
z 1
Y ( z) z 1 X ( z)
y(n) x(n) ay(n 1)
y ( n)
y(n 1)
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其信号流图为：
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x ( n)
z 1
y ( n)
a
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2、 信号流图中的术语 ⑴ 与节点有关的： 源节点：只有输出支路的节点，表示输入变量。 阱节点：只有输入支路的节点，表示输出变量。任何节点变量 均可引出一条增益为1的输出支路指向一阱节点，使其
练习2：已知离散时间系统方程如下，试作出不同形式的模拟框图。
y ( n) 5 1 1 y (n 1) y (n 2) x(n) x(n 1) 6 6 4
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二、 LTI系统的信号流图表示
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§5-8 LTI系统的信号流图表示
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一、 LTI系统的模拟框图表示
第一章曾介绍过，将微分方程或差分方程用模拟框图表示。由 于方程中涉及的运算只有三种：加法、数乘和微分（或差分），因 此，模拟框图中的运算器件也只有三种：加法器、数乘器和积分器 （或单位延时器）。
bM
H (s) 系统函数：
b s
r 0 N 1 k 0 r
M
r
s N ak s k
Y ( s)

b s
r 0 N 1 k 0 r
M
rN
1 ak s k N
b1
模拟框图： X ( s)

s 1
aN 1
s 1
aN 2
s 1
a0
b0

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3
∑
Y ( s)
2
1
并联实现如下图
2
∑
∑
S -1
X (s)
1 1
X (s)
∑
S -1
2
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§5-8 LTI系统的信号流图表示
离散时间系统的实现，也是先将分子母多项式分解因式
1 0.5z 1 4 3 1 0.5 z 1 H ( z) 1 1 1 0.3z 1 0.02z 2 (1 0.1z )(1 0.2 z ) 1 0.1z 1 1 0.2 z 1
H s 2 ( s)
H sN ( s)
Y ( s)
也可以用一阶系统的并联形式实现：
H p1 (s)
X (s)
H p 2 ( s)

Y ( s)
H pN (s)
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离散时间系统也有类似模拟表示。因为
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1、 一阶系统的模拟框图
连续时间系统： 简单方程：
dy (t ) ay (t ) x(t ) dt
系统函数：
1 s 1 H ( s) s a 1 as1
模拟框图：
自环：只有一条支路的闭环。
不接触环：环路之间，无公共节点的一类环。 前向通路：由源节点至阱节点的一条通路。
a2
z 1
aN
y(n) ak y(n k ) br x(n r ) 系统函数： 一般方程：
k 1 r 0
N
M
H ( z)
b z
r 0 N r k 1
M
r
1 ak z k
b0
模拟框图：
X ( z)

b1 bM
z 1
a1
z 1
a2
4
∑
z 1
0 .1
∑
Y ( z)
X ( z)
∑
3
z 1
0 .2
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§5-8 LTI系统的信号流图表示
练习1：已知连续时间系统函数如下，试作出不同形式的模拟框图。
s 2 9s 20 H (s) 3 s 6s 2 11s 6
H (s) 系统函数： 1 s ak s
N k 0 N 1 k

sN 1 ak s k N
k 0 N 1
模拟框图： X ( s)

s 1
aN 1
s 1
aN 2
s 1
a0
Y ( s)
d N y(t ) N 1 d k y(t ) M d r x(t ) 一般方程： N ak k br r dt dt dt k 0 r 0
S -1
zk
∑
Y ( s)
pk
H pk ( s)
Bk ( s pk )
X (s)
∑
S -1
Ak
Y ( s)
pk
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于是系统可以用一阶系统的级联形式实现：
X (s)
H s1 (s)
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离散时间系统：
简单方程：
y(n) ak y(n k ) x(n)
k 1 N
H ( z) 系统函数：
Y ( z)
1 1 ak z k
k 1 N
模拟框图： X ( z )

z 1
a1
z 1
系统函数： H ( z )
Y ( z)
1 1 az 1
模拟框图：
X ( z)
∑
z 1
-a
y(n) ay(n 1) b0 x(n) b1 x(n 1) 一般方程：
q (n) aq (n 1) x(n) y (n) b q (n) b q (n 1) 0 1
H ( z)
b z
r 0 N r k 1
M
r
1 ak z k

(1 z z
r r 1 N k k 1
M
1
) )
(1 p z
1
H sk ( z ) H pk ( z )
k 1 k 1
N
N
上式中
(1 zk z 1 ) H sk ( z ) (1 pk z 1 )
1、 信号流图及其基本元素 有一个线性方程组 ，可以用以下的图形表示：
x2 x1 x3 x4 x3 x2 x3 x4 x4 x2 x3
x1
1
x2
1
1
x4
1
x0
x3
1
设
x0 x4
以上的图形就是表示以上方程组的信号流图。 信号流图是由表示信号（变量）的节点和与节点相连的有向线 段，及标示在线段旁的增益组成。 ⑴ 节点：表示变量（信号），是指向该节点所有支路之和。
系统函数：
b0 b1 z 1 H ( z) 1 az1
b0
模拟框图：
X ( z)
∑
z 1
b1
∑
Y ( z)
a
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2、 高阶系统的模拟框图
连续时间系统：
d N y(t ) N 1 d k y(t ) 简单方程： dt N ak dtk x(t ) k 0
拉氏变换后： sY (s) X (s) aY (s) 设：
Q(s) sY (s) Q(s) X (s) aY (s)
Y (s) s 1Q(s)
以上关系，可用以下信号流图表示：
X (s)
Q( s) s 1 Y ( s) Y ( s)
a
例如：一阶差分方程： y(n) ay(n 1) x(n)
M
r
s N ak s k

(s z )
r
M
( s pk )
k 1
r 1 N
H sk ( s ) H pk ( s )
k 1 k 1
N
N
上式中
H sk ( s) ( s zk ) ( s pk ) or Ak ( s pk )
X (s)
∑
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§5-8 LTI系统的信号流图表示
⑵ 支路：表示信号流动的方向，是连接两节点的有向线段。 ⑶ 支路增益：表示所连接的两节点变量的传输比。
dy (t ) ay (t ) x(t ) 例如：一阶微分方程： dt dy (t ) x(t ) ay (t ) dt
2 1 s 1 s 2
or
s3 1 ( s 1) ( s 2)
于是级联实现
X (s)
∑
S -1
∑
S -1
3
∑
Y ( s)
1
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2
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或者
X (s)
∑
S -1
∑
S -1
成为输出变量。
混合节点：既有输入，又有输出支路的节点。 ⑵ 与支路有关的： 输出、输入支路：流出、流入节点的支路。 通路：沿支路方向，所经各节点只一次的路径。
环（路）：起点与终点为同一点的通路，又称闭环。
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