实变函数知识点总结
实变函数期末总结高中
实变函数期末总结高中一、实变函数的定义及基本性质1. 实变函数的定义实变函数是指定义域和值域都是实数的函数。
一般情况下，实变函数可以用解析式表示，例如：y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量。
关于实变函数的定义，我们需要注意以下几点：（1）实变函数的定义域是指函数自变量能取到的所有实数的集合。
（2）实变函数的值域是指函数因变量能取到的所有实数的集合。
（3）在实变函数中，自变量和因变量之间存在着一种确定的对应关系。
2. 实变函数的性质（1）有界性：实变函数的定义域上，函数值是否有上界或下界。
（2）单调性：实变函数的增减趋势是递增还是递减。
（3）奇偶性：实变函数的奇偶性是指函数的图像关于y轴对称，或者具有某种周期性。
（4）周期性：实变函数在某一区间上是否有重复的特点。
（5）连续性：实变函数在定义域上是否连续。
（6）可导性：实变函数在某一点处是否存在导数。
二、实变函数的常见类型及特点1. 基本初等函数（1）常数函数：f(x) = c，其中c为常数。
常数函数的图像是一条水平直线。
（2）幂函数：f(x) = x^n，其中n为正整数。
当n为偶数时，函数图像关于y轴对称；当n为奇数时，函数图像关于原点对称，同时具有单调增或单调减的特点。
（3）指数函数：f(x) = a^x，其中a>0且a≠1。
指数函数的图像呈现出递增或递减的特点。
（4）对数函数：f(x) = loga(x)，其中a>0且a≠1。
对数函数的图像关于y=x对称，并且图像从左下到右上递增。
（5）三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们的图像具有周期性。
2. 变量变换实变函数的研究常常需要通过变量变换来简化表达式或改变函数的性质。
（1）平移变换：对于函数y=f(x)，平移变换的一般形式为y=f(x-h)+k，其中h表示x轴上的平移量，k表示y轴上的平移量。
平移变换可以改变函数图像的位置。
（2）伸缩变换：对于函数y=f(x)，伸缩变换的一般形式为y=af(bx)+c，其中a表示y轴上的伸缩因子，b表示x轴上的伸缩因子，c表示y轴上的平移量。
实变函数知识点总结免费
实变函数知识点总结免费1. 函数的概念与性质函数是数学中一个非常基础的概念，它描述了两个集合之间的对应关系。
在实变函数中，函数通常表示为f: A→B，其中A和B分别是定义域和值域。
函数的性质包括单调性、有界性、周期性等，这些性质在后续的分析中都将扮演重要的角色。
2. 极限与连续性极限是实变函数理论中极为重要的概念之一。
它描述了函数在某一点附近的趋势，是理解函数性质的基础。
极限的定义、性质和计算是实变函数学习的重点内容，包括无穷极限、级数与收敛性等相关内容。
连续性是指函数在某一点的连续性，它与极限息息相关，是实变函数理论中另一个重要的概念。
3. 可导性与微分可导性描述的是函数在某一点的导数存在性，微分则是对函数的导数进行研究的一部分。
在实变函数中，可导性的概念包括了导数的存在与连续性、高阶导数及其性质等。
微分则包括了微分中值定理、泰勒公式、泰勒展开等重要内容。
4. 积分与微积分基本定理积分是实变函数理论中的另一个核心内容，包括定积分和不定积分。
微积分基本定理是积分理论的基础，它描述了积分与导数之间的关系，是理解积分性质的重要定理。
在实变函数中，积分的性质、计算方法以及应用都是学习的重点。
5. 序列与级数序列与级数是实变函数理论中的另一个重要概念，它描述了函数在无穷情况下的性质。
序列的极限、级数的收敛性和性质是实变函数学习的重点内容，也是分析理论的基础之一。
6. 函数空间与泛函分析函数空间与泛函分析是实变函数理论的高级内容，它描述了函数集合的结构和性质。
在这一部分中，将研究函数的收敛性、完备性、紧性等概念，探讨函数空间的结构和代数性质，这是实变函数理论的深入内容，也是数学分析的重要分支。
以上是实变函数理论的主要知识点总结，实变函数理论涉及范围广泛，内容丰富，需要学生在学习过程中多多练习和实践，加深对概念和理论的理解，提高数学建模和问题解决能力。
实变函数知识点简要总结
实变函数知识点简要总结实变函数是数学中的重要概念，它在微积分、实分析等领域中有着广泛的应用。
本文将对实变函数的相关知识点进行简要总结，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、实变函数的定义与性质1. 实变函数的定义：实变函数是定义在实数集上的函数，即自变量和函数值都是实数。
2. 实变函数的性质：实变函数可以进行加法、乘法、求和、求积等运算，并具有可加性、可乘性、可积性等性质。
二、实变函数的连续性1. 实变函数的连续性：一个实变函数在某点连续，意味着当自变量趋近于该点时，函数值也趋近于该点的函数值。
2. 实变函数的间断点：如果一个实变函数在某点不连续，那么该点就是函数的间断点。
常见的间断点类型包括可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点。
三、实变函数的导数与微分1. 实变函数的导数：实变函数的导数描述了函数在某一点的变化率。
导数的定义是函数在该点的极限值。
2. 实变函数的微分：实变函数的微分是函数在某一点附近的近似线性变化。
微分可以用来估计函数值的变化。
四、实变函数的极限1. 实变函数的极限：实变函数的极限描述了函数在自变量趋近于某一点时的趋势。
常见的极限类型包括左极限、右极限和无穷极限。
2. 实变函数的无穷大与无穷小：当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于无穷大或无穷小，可以用来描述函数在该点的特性。
五、实变函数的积分1. 实变函数的不定积分：实变函数的不定积分描述了函数在某一区间内的累积变化量。
不定积分可以用来求解定积分和求函数的原函数。
2. 实变函数的定积分：实变函数的定积分描述了函数在某一区间上的平均值或累积值。
定积分可以用来计算曲线下的面积或求解物理、经济等问题。
六、实变函数的应用实变函数在自然科学、工程技术、经济管理等领域中有着广泛的应用。
例如，在物理学中，实变函数可以描述质点的运动轨迹；在经济学中，实变函数可以描述市场需求函数；在工程学中，实变函数可以描述电路中电流和电压之间的关系。
实变函数是数学中的重要概念，它在微积分、实分析等领域中有着广泛的应用。
实变函数知识点总结
实变函数知识点总结
实变函数是数学中的一个重要概念，它是指定义在实数集上的函数。
以下是实变函数的一些重要知识点总结：
1. 定义域和值域
实变函数的定义域是实数集，即函数可以接受任何实数作为自变量。
而函数的值域则是函数在定义域内所有可能的输出值的集合。
2. 极限
极限是实变函数中的一个重要概念，它描述了函数在某一点附近的行为。
当自变量趋近于某一点时，函数的输出值也会趋近于一个特定的值，这个值就是函数在该点的极限。
3. 连续性
连续性是实变函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域内的连续程度。
如果函数在某一点处的极限等于该点的函数值，那么该函数在该点处是连续的。
4. 导数
导数是实变函数中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
导数可以用来求函数的最大值、最小值以及函数的凸凹性等。
5. 积分
积分是实变函数中的一个重要概念，它描述了函数在某一区间内的面积或体积。
积分可以用来求函数的平均值、总和以及函数的变化趋势等。
6. 奇偶性
奇偶性是实变函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域内的对称性。
如果函数满足f(-x)=-f(x)，那么该函数是奇函数；如果函数满足f(-x)=f(x)，那么该函数是偶函数。
7. 周期性
周期性是实变函数的一个重要性质，它描述了函数在定义域内的重复性。
如果函数满足f(x+T)=f(x)，那么该函数是周期函数，其中T 为函数的周期。
以上是实变函数的一些重要知识点总结，掌握这些知识点可以帮助我们更好地理解和应用实变函数。
实变函数知识归纳总结
定理 6 若Ａ为无限集，Ｂ是至多可数集，则 A ∪ B ～ A 由证明归纳出两种证明对等的方法： （１）建立一一映射； 设 B = {b1 , b2 ,
} 为可数集， A ∩ B = ∅ ，由性质１知，Ａ存在可数子集
A1 = {a1 , a 2 ,
} ，作映射 f : A ∪ B → A
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
α ∈Λ
∩ ζ α 是 X 上的环（或代数） 。
, 有 ∩ En ∈ ζ ； n =1
, 有 lim En ∈ζ , lim En ∈ζ ； n→∞
n→∞
∞
(α ∈ Λ ) 为 X 上 σ
环（ σ 代数） ，则 ∩ ζα 是 X 上 σ 环（ σ
α∈Λ
代数） 。
定理 8 设 A 是由 X 的某些子集构成的集类， 则存在唯一的环 （或代数，
−1
( ∩ B )= ∩T
α∈Λ α α∈Λ
−1 c
−1
( Bα )( Bα ⊂ Y,α ∈Λ) ;
c
−1
( B ) = (T ( B ) )
由此看出原像集的性质保持比像集的性质保持要好 注解：①、 （3）中如：一个映射 f 把 X 全部映射成一个值，就可以造成左边为
空集即可； ②、 一般T -1 (T ( A) ) ⊃ A，当T为单射时,有T -1 (T ( A) ) = A ③、 一般T T −1 ( B ) ⊂ B，当T为满射时,有T T −1 ( B ) = B 定义 2 复合映射概念（舍）见教材 P10 二、集合的势 定义 3 设 A 和 B 为两集合， 若存在从 A 到 B 的一一映射， 则称集合 A 与Ｂ对等， 记为 A~B 注解：①、对等关系是等价关系 ②、设 {
α∈Λ α∈Λ
实变函数知识点
实变函数知识点实变函数是一种常见的数学函数类型，它在数学分析中有着非常重要的地位。
在这篇文章中，我们将详细探讨实变函数的知识点，包括什么是实变函数、实变函数的定义、实变函数的性质、实变函数的极限和导数、实变函数的应用等内容。
一、什么是实变函数实变函数是指$f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$的函数，即定义域为实数集$\mathbb{R}$的函数，也称为一元实函数。
它以实数为自变量，实数为函数值。
实变函数主要研究实数集上的性质和变化规律。
二、实变函数的定义实变函数的定义有多种方式，常用的有以下几种：1. 函数图像法根据函数的图像来定义实变函数，即$f(x)$的定义域为实数集$\mathbb{R}$，函数值为其图像上对应点的纵坐标。
2. 显式函数法显式函数是通过代数式直接给出函数的定义，如$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$。
3. 隐式函数法隐式函数一般是指如下形式的方程：$F(x,y)=0$，其中$x$和$y$都是实数变量。
如果存在实数集上解析的函数$f(x)$，使得$y=f(x)$是$F(x,y)=0$的解，那么就称$y=f(x)$为隐式函数。
4. 参数方程法将$x$表示为参数$t$的函数$x(t)$，将$y$表示为参数$t$的函数$y(t)$，则$f(x)=f(x(t))=f(t)$为参数方程法。
五种定义方式中，显式函数和隐式函数是最常用的方法。
三、实变函数的性质实变函数具有多种性质，下面介绍一些重要的性质：1. 奇偶性若$\forall x\in \mathbb{R},f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数；若$\forall x\in \mathbb{R},f(-x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函数；若既不是奇函数也不是偶函数，则称$f(x)$为一般实变函数。
2. 周期性若存在正实数$T$，使得$\forall x\in \mathbb{R},f(x+T)=f(x)$，则称$f(x)$为以$T$为周期的周期函数。
实变函数内容、方法与技巧
实变函数内容、方法与技巧实变函数是数学中一个重要的概念，在实分析中被广泛研究和应用。
本文将介绍实变函数的内容、方法与技巧。
1.实变函数的定义：实变函数是指定义在实数集上的函数，其自变量和因变量都是实数。
常见的实变函数有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
2.实变函数的基本性质：实变函数有一些基本的性质。
首先，实变函数可以进行运算，包括加法、减法、乘法和除法。
其次，实变函数具有定义域和值域，即函数的自变量和因变量的取值范围。
此外，实变函数还有奇偶性、周期性等特点。
3.实变函数的连续性：连续性是实变函数研究中的一个重要概念。
一个函数在某一点处连续，意味着函数在该点的极限存在，并且与函数在该点的值相等。
实变函数在定义域上连续，可以用极限的性质来描述。
4.实变函数的一致连续性：一致连续性是连续性的更强形式。
一个实变函数在整个定义域上一致连续，意味着对于任意给定的正数ε，存在一个正数δ，当自变量的取值在某个区间内时，函数值的变化小于ε。
一致连续性是实变函数相对于局部连续性更一般的性质。
5.实变函数的可导性：可导性是实变函数中的另一个重要概念。
一个函数在某一点处可导，意味着函数在该点的导数存在。
实变函数可导与实变函数在该点处连续是不同的概念。
可导函数具有一些重要的性质，如导数的线性性、链式法则、微分中值定理等。
6.实变函数的积分：积分是实变函数研究中的一个重点内容。
实变函数的积分有两种形式：定积分和不定积分。
定积分是指对函数在一个区间上的积分，可以用来计算函数在该区间上的面积、弧长、体积等。
不定积分是指求函数的原函数，可以用来求解微分方程、计算复合函数的积分等。
7.实变函数的级数展开：级数展开是实变函数研究中的另一个重要内容。
一个实变函数可以用其在某个点处的泰勒级数来近似表示，通过截断级数可以得到函数的近似值。
级数展开在计算、物理学等领域有广泛的应用。
8.实变函数的图像与性质：实变函数的图像可以用来观察函数的性质。
实变函数复习要点
实变函数复习要点实变函数是指定义域为实数集，值域为实数集的函数。
在复习实变函数的要点时，我们可以从以下几个方面入手：1.函数的定义与表示：回顾函数的基本定义，即一个变量映射到唯一的函数值。
再回顾函数的表示方法，如函数图像、表达式、数列等。
2.函数的性质与分类：函数常具有有界性、单调性、奇偶性、周期性等基本性质。
了解这些性质的定义，并学会根据给定条件判断函数的性质。
另外，实变函数可分为初等函数和非初等函数，初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等。
3.基本运算：复习函数的基本运算法则，包括函数的加减乘除、复合函数和反函数等。
了解这些运算方法可以帮助我们进行函数的简化与分析。
4.函数的极限：函数的极限是函数理论中的重要概念。
复习函数的极限定义与相关定理，如极限的唯一性、有界性、保序性、四则运算法则等。
还要学会计算函数的极限，并理解极限的几何和物理意义。
5.函数的导数与微分：复习导数的定义与性质，包括导数的存在性、可导性与连续性之间的关系，以及导数的基本运算法则。
进一步学习高阶导数、隐函数与参数方程的导数，并应用导数进行函数的近似与最值计算。
6.函数的积分与不定积分：再次回顾函数积分的定义与常见的积分法则，如分部积分法、换元积分法等。
学习计算函数的不定积分和定积分，并理解积分的几何和物理意义。
7.函数的级数表示与展开：了解函数级数的定义与相关定理，如函数级数的收敛性、绝对收敛性、一致收敛性等。
学习级数展开及其应用，如泰勒级数、傅里叶级数等。
8.函数的图像与应用：绘制函数的图像，了解函数在不同区间的特点和行为。
掌握函数在各种应用问题中的求解方法，如函数的最值、极值与拐点、函数的增减性与凹凸性、函数的模型建立与优化等。
9.常见函数的特殊性质与应用：通过实例了解部分特殊函数的性质与应用，如阶乘函数、取整函数、莫比乌斯函数等。
10.综合应用与思考：通过解答真实问题和综合应用题，巩固所学的实变函数的知识，培养动手实践能力和思考能力。
数学的实变函数
数学的实变函数实变函数是数学中一个重要的概念，它在分析学、微积分和数学分析等领域具有广泛的应用。
本文将介绍实变函数的基本概念、性质以及与其他数学概念的关系。
一、实变函数的定义实变函数是指定义在实数集上的函数，即其定义域为实数集，值域可以是实数集或实数集的子集。
一般用符号y=f(x)表示，其中x为自变量，y为因变量。
二、实变函数的基本性质1. 连续性：实变函数可以分为连续函数和不连续函数两种情况。
连续函数在其定义域上处处连续，即函数图像没有突变或跳跃的现象；不连续函数在其定义域上存在断点，函数图像存在间断。
2. 导数：对于实变函数，我们可以定义其导数。
导数描述了函数在某一点处的变化率，是刻画函数局部性质的一个重要指标。
导数的存在与函数的连续性密切相关。
3. 积分：实变函数的积分是对函数曲线下某一区间上的面积进行求解。
积分与导数是密切联系的，通过积分我们可以求得导函数，反之亦然。
积分对于实变函数的研究具有重要意义。
4. 极限：实变函数的极限是指函数在某一点处的趋近值。
极限是函数性质研究的基础，通过对极限的探讨，我们可以研究函数在无穷远处的行为以及函数的收敛性。
三、实变函数与其他数学概念的关系1. 实数与实变函数：实数是实变函数的定义域，实变函数的取值是实数。
实数与实变函数密切相关，在数学分析中一个重要的研究方向就是实数与实变函数的关系。
2. 多元函数与实变函数：实变函数是多元函数的一种特殊情况，多元函数是指定义在多元实数空间上的函数。
实变函数可以看作是只有一个自变量的多元函数。
3. 函数的极限与实变函数：实变函数的极限是刻画函数局部行为的重要概念。
函数的极限是不仅限于实变函数，也适用于其他类型的函数。
四、实变函数的应用实变函数的应用广泛，涉及到物理学、工程学、经济学等多个领域。
例如，在物理学中，实变函数可以用来描述物体的运动轨迹；在经济学中，实变函数可以用来分析市场需求与供给的关系。
总结：实变函数作为数学中的一个重要概念，具有广泛的应用价值。
实变函数(全)总结
limAn limAn A
n
n
则称集列{An} 收敛，称其共同的极限为集
列 {An} 的极限集，记为：lim An A n
单调增集列极限
若集列{An}满足An An1(n N ), 则称{An}为单调增加 ; 若集列{An}满足An An1(n N ), 则称{An}为单调减少 ;
定理 9 ：单调集列是收敛的
从而A1, A2 , A3在f 下的象B1, B2 , B3也两两不交，
Bernstein定理的证明
从而A1, A2 , A3,两两不交, B1, B2 , B3,也两两不交
f
f
而且An ~ Bn (n 1,2,),所以 An ~ Bn
n1
n1
g
另外由Bk ~ Ak 1(k 1, 2,
g
), 可知 Bk ~ Ak 1
{x : lim n
fn (x)
f
(x)}
{x :|
fn (x)
f
(x) |
1 k
}
k 1 N 1n N
lim
n
fn (x)
f
(x)
:
1 k
1, N
1,n
N,有|
fn (x)
f
(x) |
1 k
A {x : ,有x A }
A {x : ,使x A }
例2
i 1
3.集合的运算性质
De Morgan公式
( A )c Ac
( A )c Ac
注：通过取余集，使A与Ac，∪与∩互相转换
4.上、下极限集
设A1, A2 ,, An ,是一个集合序列
上极限集
limAn (或lim supAn )
实变函数复习要点
3
可测函数的收敛性 知道“几乎处处”是如何表述，以及各种情形下的“几乎处处” 。明确：我们所学 习的对象，都是“几乎处处有限的可测函数（列） ” 掌握“处处收敛” 、 “一致收敛” 、 “几乎处处收敛” ， “依测度收敛”的概念 掌握上述各种收敛之间的关系（掌握结论，无需会证明） 一致收敛 处处收敛 几乎处处收敛 (当 mE < ¥ 时)依测度收敛 几乎处处收敛与一致收敛的关系：Egroff 定理（注意，也有 mE < ¥ ）
第一章 集合 集合的运算 子交并补，可数交，可数并，任意交，任意并。集合运算的运算律，De Morgan 法 则。会证明两集合相等 单调集列的极限集，一般集列的上极限集、下极限集。会求简单的单调集列的极限 集。 集合的基数 明确集合基数的概念，理解基数与“个数”的区别与联系 会在一些简单的集合间建立一一对应，比如建立 (a, b) 到 [a, b ] 的一一对应 能识别常见的可数集与不可数集，知道“没有最大基数”
第二章 n 中的点集 基本概念 掌握“内点，外点，边界点，内部，外部，边界，聚点，导集，闭包，孤立点” ， 给定一个集合，会求前述点集 开集、闭集、完备集 理解开集、 闭集、 自密集、 完备集的概念， 能分辨一个集合属于哪一类。 了解 Cantor 集的构造方式， 并要掌握其特性： 完备集； 不可数集； 测度为零； 内部是空集。 Cantor 集用来构造反例，打破我们的常规直观感觉。 知道 n 与 1 中开集的构造方式，特别是 1 中的 了解Gd 型集， Fs 型集，Borel 集的定义，知道这些抽象概念因何而出场 掌握：对于连续函数 f ， E[ f > a ] 是开集
2
依测度收敛与几乎处处收敛的关系 几乎处处收敛 (当 mE < ¥ 时)依测度收敛 依测度收敛 必有子列几乎处处收敛：Riesz 定理 Lusin 定理 掌握可测函数与连续函数的关系：Lusin 定理
实变函数知识点总结
引言：实变函数是数学分析中的重要概念，是研究函数性质的基础。
在这篇文章中，我们将总结实变函数的相关知识点，为读者提供一个全面且详细的了解实变函数的资料。
本文将从函数的极限、连续性、导数、积分和级数等五个大点进行阐述，每个大点都包含5-9个小点的详细内容。
概述：实变函数是实数集到实数集的映射，研究实变函数的性质时，我们主要关注函数的极限、连续性、导数、积分和级数。
下面将详细介绍这些知识点。
正文：一、函数的极限1. 函数的极限概念：介绍函数极限的定义和图形解释。
2. 极限的性质：极限的唯一性、界限定理和保号性等。
3. 极限运算法则：介绍极限的四则运算法则和复合函数的极限。
4. 无穷大与无穷小：定义无穷大和无穷小，并介绍无穷大与极限的关系。
5. 函数极限存在的条件：介绍连续函数、单调有界函数和有界变差函数等存在极限的条件。
二、函数的连续性1. 连续函数的定义：介绍连续函数的定义和连续函数的图像特征。
2. 连续函数的性质：介绍连续函数的保号性、介值性和有界性。
3. 连续函数的运算法则：介绍连续函数的四则运算法则和复合函数的连续性。
4. 列举函数的连续与不连续性：介绍一些特殊函数的连续性，如分段函数和有间断点的函数。
5. 连续函数的特例：介绍单调函数、递增函数和递减函数的连续性。
三、函数的导数1. 导数的定义：介绍导数的定义和导数的图形解释。
2. 导数的性质：介绍导数的可加性、可乘性和零点定理等。
3. 常见函数的导数：介绍常数函数、幂函数、指数函数和对数函数的导数。
4. 高阶导数与导数的递推关系：介绍高阶导数的定义和与导数的递推关系。
5. 隐函数与参数方程的导数：介绍隐函数和参数方程的导数计算方法和相关性质。
四、函数的积分1. 定积分的定义：介绍定积分的定义和定积分的几何意义。
2. 定积分的计算方法：介绍定积分的基本计算方法和积分的运算法则。
3. 牛顿-莱布尼茨公式：介绍牛顿-莱布尼茨公式的定义和应用。
4. 微积分基本定理：介绍微积分基本定理的两种形式和相关性质。
实变函数知识点
实变函数知识点实变函数知识点协议关键信息项：1、集合论基础集合的定义与表示集合的运算可数集与不可数集2、点集开集与闭集内点、外点与边界点完备集3、测度论勒贝格测度的定义与性质可测集的判定测度的可加性与可数可加性4、可测函数可测函数的定义与性质可测函数的运算依测度收敛5、勒贝格积分勒贝格积分的定义与性质勒贝格积分的计算勒贝格控制收敛定理11 集合论基础111 集合的定义与表示集合是具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇集成的一个整体。
集合可以用列举法、描述法等方式进行表示。
112 集合的运算集合的运算包括并集、交集、差集等。
并集是将两个集合中的所有元素合并在一起组成的新集合；交集是两个集合中共同拥有的元素组成的集合；差集是从一个集合中去掉另一个集合中的元素所剩下的元素组成的集合。
113 可数集与不可数集可数集是指能够与自然数集建立一一对应的集合；不可数集则是不能与自然数集建立一一对应的集合。
例如，有理数集是可数集，而实数集是不可数集。
12 点集121 开集与闭集开集是指集合中的每一个点都是内点的集合；闭集是指包含其所有边界点的集合。
122 内点、外点与边界点内点是指存在一个以该点为中心的邻域完全包含在集合内；外点是指存在一个以该点为中心的邻域完全不在集合内；边界点则是既不是内点也不是外点的点。
123 完备集完备集是没有孤立点的闭集。
13 测度论131 勒贝格测度的定义与性质勒贝格测度是对集合的一种度量方式，具有非负性、单调性、可列可加性等性质。
132 可测集的判定通过一系列的条件和定理来判定一个集合是否为可测集。
133 测度的可加性与可数可加性可加性指有限个互不相交的可测集的并集的测度等于各集合测度之和；可数可加性指可数个互不相交的可测集的并集的测度等于各集合测度之和。
14 可测函数141 可测函数的定义与性质可测函数是指定义域上的可测集到实数集的函数，满足一定的条件。
具有可加性、单调性等性质。
142 可测函数的运算可测函数的和、差、积、商（分母不为零）仍然是可测函数。
实变函数知识点简要总结
实变函数知识点简要总结实变函数是数学分析中的一个重要概念。
它是指定义在实数集上的函数，其定义域和值域都是实数集。
实变函数在数学科学中有着广泛的应用，并且在实际问题中也扮演着重要的角色。
本文将从实变函数的定义、性质和应用等方面进行阐述。
实变函数的定义是指定义在实数集上的函数。
在数学中，函数是一种特殊的关系，它将一个自变量映射到一个因变量上。
实变函数的自变量和因变量都是实数，而不是其他类型的数值。
实变函数通常用符号表示，比如f(x)，其中x是自变量，f(x)是因变量。
实变函数具有一些特性和性质。
首先是定义域和值域。
实变函数的定义域是所有自变量的取值范围，而值域是所有因变量的取值范围。
其次是奇偶性。
实变函数可以是奇函数、偶函数或者既不是奇函数也不是偶函数。
奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。
再次是单调性。
实变函数可以是递增函数或递减函数，也可以是常数函数。
最后是极限和连续性。
实变函数可以有极限和连续性，这是分析实变函数性质的重要工具。
实变函数在数学科学中有着广泛的应用。
首先是在微积分中的应用。
微积分是研究变化的数学分支，实变函数是微积分研究的基础。
微分学研究实变函数的导数和微分，积分学研究实变函数的积分。
实变函数的微分和积分是求解实际问题中的关键步骤。
其次是在概率论和统计学中的应用。
概率论和统计学是研究随机现象的数学分支，实变函数在概率论和统计学中起到了重要的作用。
实变函数的分布函数、概率密度函数和特征函数等在概率论和统计学中有着广泛的应用。
此外，实变函数还应用于物理学、工程学、经济学等领域。
实变函数是数学分析中的一个重要概念。
它是定义在实数集上的函数，具有一些特性和性质。
实变函数在数学科学中有着广泛的应用，并且在实际问题中也扮演着重要的角色。
通过对实变函数的研究和应用，我们可以更好地理解和分析数学和自然界中的现象。
实变函数知识点简要总结
实变函数知识点简要总结一、实变函数的定义实变函数是指自变量和函数值都是实数的函数。
它的定义域和值域都是实数集。
二、实变函数的分类1. 一元实变函数：自变量只有一个，函数的形式为y = f(x)。
例如：y = x²，y = sin(x)等。
2. 多元实变函数：自变量有多个，函数的形式为z = f(x₁, x₂, ..., xₙ)。
例如：z = x₁² + x₂²，z = sin(x₁) + cos(x₂)等。
三、实变函数的性质1. 定义域和值域：实变函数的定义域是指自变量的取值范围，值域是指函数的所有可能的输出值。
2. 连续性：实变函数在定义域内的每个点都有定义，并且在这些点上具有极限。
连续性可以用极限的概念来描述。
3. 导数和微分：实变函数的导数表示了函数曲线在某一点的切线斜率。
微分则是导数的微小变化。
4. 极值和最值：实变函数在某些点上可能达到极大值或极小值，称为极值点，并且有可能在整个定义域上取得最大值或最小值。
5. 函数的图像：实变函数的图像是函数曲线在坐标系中的表示，可以通过画出函数的图像来对函数进行可视化。
6. 函数的变换：对实变函数进行平移、伸缩、翻转等操作，可以得到新的函数，这些操作可以改变函数的图像和性质。
四、实变函数的应用实变函数在数学和物理等领域有广泛的应用，例如：1. 数学分析：实变函数是数学分析的基础，通过研究实变函数的性质和性质，可以推导出许多数学定理和结论。
2. 物理学：实变函数可以用来描述物理量之间的关系，例如速度和时间的关系、力和位移的关系等。
3. 经济学：实变函数可以用来描述经济模型中的供求关系、成本和收益关系等。
4. 工程学：实变函数可以用来描述工程设计中的参数关系、系统响应等。
总结：实变函数是数学中重要的概念，它可以描述自变量和函数值之间的关系。
通过研究实变函数的性质和应用，可以深入理解数学和其他学科中的相关知识。
了解实变函数的定义、分类、性质和应用，有助于提高数学思维能力和问题解决能力。
(完整版)实变函数论主要知识点
实变函数论主要知识点第一章 集 合1、 集合的并、交、差运算；余集和De Morgan 公式；上极限和下极限；练习： ①证明()()A B C A BC --=-； ②证明11[][]n E f a E f a n∞=>=≥+；2、 对等与基数的定义及性质；练习： ①证明(0,1)； ②证明(0,1)[0,1]；3、 可数集的定义与常见的例；性质“有限个可数集合的直积是可数集合”与应用；可数集合的基数；练习： ①证明直线上增函数的不连续点最多只有可数多个；②证明平面上坐标为有理数的点的全体所成的集合为一可数集； ③Q = ；④[0,1]中有理数集E 的相关结论；4、 不可数集合、连续基数的定义及性质；练习： ①(0,1)= ； ②P = （P 为Cantor 集）；第二章点集1、度量空间，n维欧氏空间中有关概念度量空间(Metric Space)，在数学中是指一个集合，并且该集合中的任意元素之间的距离是可定义的。
n维欧氏空间: 设V是实数域R上的线性空间（或称为向量空间），若V上定义着正定对称双线性型g（g称为内积），则V称为（对于g的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间）。
具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系：（1）g(x,y)=g(y,x)；（2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；（3）g(kx,y)=kg(x,y)；（4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。
这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数。
2、，聚点、界点、内点的概念、性质及判定（求法）；开核，导集，闭包的概念、性质及判定（求法）；聚点:有点集E，若在复平面上的一点z的任意邻域都有E的无穷多个点，则称z为E的聚点。
内点:如果存在点P的某个邻域U(P)∈E，则称P为E的内点。
3、开集、闭集、完备集的概念、性质；直线上开集的构造；4、Cantor集的构造和性质；5、练习：①P =，P'=，P=；②111,,,,2n'⎧⎫⎨⎬⎩⎭= ；第三章测度论1、外测度的定义和基本性质（非负性，单调性，次可数可加性）；2、可测集的定义与性质（可测集类关于可数并，可数交，差，余集，单调集列的极限运算封闭）；可数可加性（注意条件）；3、零测度集的例子和性质；4、可测集的例子和性质；练习：①mQ=，mP=；②零测度集的任何子集仍为零测度集；③有限或可数个零测度集之和仍为零测度集；④[0,1]中有理数集E的相关结论；5、存在不可测集合；第四章可测函数1、可测函数的定义，不可测函数的例子；练习：①第四章习题3；2、可测函数与简单函数的关系；可测函数与连续函数的关系（鲁津定理）；3、叶果洛夫定理及其逆定理；练习：①第四章习题7；4、依测度收敛的定义、简单的证明；5、具体函数列依测度收敛的验证；6、依测度收敛与几乎处处收敛的关系，两者互不包含的例子；第五章 积 分 论1、非负简单函数L 积分的定义；练习： ①Direchlet 函数在1上的L 积分2、可测函数L 积分的定义（积分确定；可积）；基本性质（§5.4 定理1和定理2诸条）；3、Lebesgue 控制收敛定理的内容和简单应用；4、L 积分的绝对连续性和可数可加性（了解）；5、Riemann 可积的充要条件；练习： ①[0,1]上的Direchlet 函数不是R-可积的；6、Lebesgue 可积的充要条件：若f 是可测集合E 上的有界函数，则f 在E 上L-可积⇔f 在E 上可测；练习： ①[0,1]上的Direchlet 函数是L-可积的；②设3,()10,x x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩为无理数为有理数，则()f x 在[]0,1上是否R -可积，是否L -可积，若可积，求出积分值。
实变函数积分学习要点总结
实变函数积分学是数学分析的重要内容之一，也是进一步研究微积分的基础。
通过学习实变函数积分，我们能够更深入地理解函数的性质和变化规律，为后续的数学研究打下坚实的基础。
下面我将总结一些实变函数积分学的学习要点。
1.积分的概念：积分是函数求和的推广，可以将其看作是函数在某个区间上的平均值。
通过对函数进行分段、取极限等操作，可以得到不同类型的积分，如定积分、不定积分等。
2.定积分的性质：定积分具有线性性质、保号性、保序性等特点。
线性性质意味着积分运算可以与常数的乘除运算交换位置；保号性指积分结果同函数值的正负一致；保序性指定积分与函数值的大小关系一致。
3.定积分的计算方法：定积分计算的方法有很多种，如换元法、分部积分法、凑微分法等。
学习时要灵活运用这些方法，选择适当的方法来计算。
4.牛顿—莱布尼茨公式：牛顿—莱布尼茨公式将不定积分和定积分联系起来，是实变函数积分学的重要定理之一。
通过该公式，可以在一定条件下，通过求不定积分来计算定积分。
5.定积分的几何应用：定积分除了具有数学性质外，还有重要的几何应用。
通常可以利用定积分来计算曲线的弧长、曲线与直线围成的面积、旋转体的体积等。
这些几何应用可以更加直观地理解积分的意义。
6.积分中的基本定理：积分中的基本定理有平均值定理、绝对值不等式、积分中值定理等。
掌握这些定理有助于深入理解积分的性质。
7.实变函数的不连续性与可积性：实变函数在某些点可能存在不连续的情况，但并不影响其可积性，即仍然可以计算定积分。
例如，分段连续的函数在分段点上也是可以积分的。
8.积分的应用：学习积分的目的不仅是为了解决数学问题，还是为了能够应用于实际生活中。
积分在物理、工程、经济等领域有广泛的应用，如计算质心、面积、体积、功率等。
在学习实变函数积分过程中，我们需要注重理解其基本概念和性质，并通过大量的习题来加深对积分的理解和运用能力。
同时，要注重分析问题的本质，挖掘数学背后的物理图像和几何意义，以便更好地理解和应用积分。
实变函数总结
实变函数总结实变函数是指函数的自变量和函数的值都是实数的函数。
实变函数是数学分析的一个重要内容，它在数学和应用数学中都有广泛的应用。
在该总结中，我将介绍实变函数的基本概念、性质和常见的实变函数。
实变函数的基本概念：1.自变量和函数值都是实数：实变函数的自变量属于实数集，函数的值也属于实数集。
2.定义域和值域：实变函数的定义域是自变量的取值范围，值域是函数值的范围。
实变函数的性质：1.连续性：实变函数可以是连续的或间断的。
连续函数是指在其定义域内，函数值随着自变量的变化而连续变化，没有跳跃或断裂。
间断点是指函数在其中一点上不连续的点。
2.单调性：函数在其定义域内的增减性质。
单调递增意味着函数随着自变量的增大而增大，单调递减意味着函数随着自变量的增大而减小。
3.有界性：实变函数可以是有界的或无界的。
有界函数是指函数在定义域内上下有限的函数，无界函数是指函数在定义域内上下无限的函数。
4.奇偶性：函数关于原点对称。
奇函数是指函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数是指函数满足f(-x)=f(x)。
5.可导性：实变函数可以是可导或不可导的。
可导函数是指函数在其定义域内具有切线的概念，导数是切线斜率的极限值。
不可导函数是指函数在一些点上没有切线。
常见的实变函数：1. 多项式函数：形式为f(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0的函数，其中an、an-1、..、a0是常数，n是非负整数。
2. 指数函数：形式为f(x)=ax的函数，其中a是正数且不等于13. 对数函数：形式为f(x)=logax的函数，其中a是正数且不等于14.三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，表达周期性变化的函数。
5.反三角函数：包括反正弦函数、反余弦函数、反正切函数等，表达三角函数的反函数。
6.绝对值函数：形式为f(x)=，x，的函数，表示自变量x的绝对值。
7. 双曲线函数：形式为f(x)=sinh(x)、cosh(x)、tanh(x)等，是与三角函数类似的函数。
考研实变函数知识点梳理
考研实变函数知识点梳理实变函数是数学分析中的重要内容，考研数学中也是一个必考的知识点。
掌握实变函数的理论和应用对于考研数学的学习至关重要。
本文将对考研实变函数的主要知识点进行梳理，以便考生系统学习和复习。
一、实变函数的定义和基本性质实变函数是指定义域为实数集，值域也为实数集的函数。
在考研数学中，我们通常会遇到实变函数的定义和基本性质的考查。
1. 实变函数的定义：实变函数f是一个以实数集为定义域、实数集为值域的映射，即f: R→R。
2. 实变函数的有界性：若存在常数M>0，对于定义域上的任意一个x，都有|f(x)| ≤ M，则称实变函数f在定义域上有界。
3. 实变函数的单调性：若对于定义域上的任意两个实数x1和x2，若x1 < x2，则有f(x1) ≤ f(x2)，则称实变函数f在定义域上是递增的；若f(x1) ≥ f(x2)，则称实变函数f在定义域上是递减的。
4. 实变函数的奇偶性：若对于定义域上的任意一个x，有f(-x) = -f(x)，则称实变函数f在定义域上是奇函数；若f(-x) = f(x)，则称实变函数f在定义域上是偶函数。
二、实变函数的极限和连续性实变函数的极限与连续性是实变函数理论的核心，也是考研数学中的重点内容。
在考研数学中，经常会考查实变函数的极限和连续性的相关概念和定理。
1. 实变函数的极限：对于实变函数f，若存在常数L，对任意给定的ε>0，存在着常数δ>0，当0 < |x - x0| < δ时，有|f(x) - L| < ε成立，则称实变函数在x0处的极限为L，记作lim┬(x→x0)〖f(x)=L〗。
2. 实变函数的连续性：若对于实变函数f在定义域上的任意一点x0，都有lim┬(x→x0)〖f(x)=f(x0)〗成立，则称实变函数f在定义域上连续。
三、实变函数的导数实变函数的导数是实变函数理论中的重要内容，也是高等数学中的重点内容。
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第一章 集 合1 集合的运算一、集合的概念定义1 设有两个集合A，B。
若x A ∈，必有x B ∈，则称A 是B 的子集或B 包含A，记为A B B A ⊂⊃或。
若A B ⊂，且存在x B ∈满足x A ∉，则称A 是B 的真子集。
若A B B A ⊂⊂且，则称A 与B 相等或相同。
定义2 设Λ是一个非空集合，对于每个α∈Λ，指定一个集合A α，于是得到许多集合，它们的总体称为集合族，记为{}|A αα∈Λ或{}A αα∈Λ。
二、集合的运算定义3 设A，B 是两个集合。
（1） 称集合{}|A B x x A x B ∪=∈∈或为A 与B 的并集，即由A 与B 的全部元素构成的集合；（2） 称集合{}|A B x x A x B ∩=∈∈且为A 与B 的交集，即由A 与B 的公共元素构成的集合；定理1（1）交换律 A B B A ∪=∪，A B B A ∩=∩；（2）结合律 ()()A B C A B C ∩∩=∩∩,()()A B C A B C ∩∩=∩∩; （3）分配律()()()A B C A B A C ∩∪=∩∪∩()()()A B C A B A C ∪∩=∪∩∪。
更一般地有 （4）()()A B A B αααα∈Λ∈Λ∪∩=∩∪；（5）()()A B A B αααα∈Λ∈Λ∩∪=∪∩；（6）设{}n A 和{}n B 为两集列，有()111n n n n n n n A B A B ∞∞∞===⎛⎞⎛⎞∪∪=∪∪∪⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠。
定义4 设A，B 是两个集合，称集合{}\|A B x x A x B =∈∉且是A 和B 的差集，即在集合中而不在集合B 中的一切元素构成的集合。
如果B A ⊂，则称\A B 为B 相对于A 的补集或余集。
定理2 （1）(),,,,cccc c c A A X A A AA X X ∪=∩=∅==∅∅=；（1）A ζ⊂；（2）任何包含A 的环（或代数，或σ环或σ代数）*ζ，必有*ζζ⊂。
定义9 定理8中的环（或代数，或σ环或σ代数）ζ称为由集类A 所张成的环（或代数，或σ环或σ代数），并用()A ζ（或()A ℜ或()A σζ或()A σℜ）来表示。
例题：设X 为一非空集合，A 为X 的单点集全体所成的集类，则由① 集类A 所张成的环()A ζ={}|B B 是X的有限子集若X 为有限集，()A ζ也是代数、σ环、σ代数② 若{}|n X a n N =∈，则()A ζ={}|B B 是X的有限子集()A σζ=()A σℜ=2A={}|B B X ⊂ 2 集合的势一、映射定义1 有关映射的一些概念（舍）见教材P9。
定理1 设:TX Y →为映射，则（1）()()1212;A A X A T A ⊂⊂⊂当时，有T （2）()()(),;T A T A A X αααααα∈Λ∈Λ∪=∪⊂∈Λ（3）()()(),;TA T A A X αααααα∈Λ∈Λ∩⊂∩⊂∈Λ（4）()()11212;B B Y B T B −⊂⊂⊂-1当时，有T（5）()()()11,;T B T B B Y αααααα−−∈Λ∈Λ∪=∪⊂∈Λ（6）()()()11,;T B TB B Y αααααα−−∈Λ∈Λ∩=∩⊂∈Λ（7）()()()11cc TB T B −−=由此看出原像集的性质保持比像集的性质保持要好注解：①、（3）中如：一个映射f 把X 全部映射成一个值，就可以造成左边为性质2集合A 是无限集的充要条件是A 与其某一真子集对等； （定理4） 性质3（至多可数集的性质） （定理5） （1）可数集A 的任一子集B 为至多可数集； （2）设12,,,n A A A 为至多可数集，则1ni i A =∪仍为至多可数集，如果12,,,n A A A 中至少有一个可数集，则1ni i A =∪为可数集；（3）设12,,,,n A A A 为至多可数集，则1i i A ∞=∪仍为至多可数集，如果12,,,,n A A A 中至少有一个可数集，则1i i A ∞=∪为可数集；（4）设12,,,n A A A 为可数集，则12n A A A ××× 为可数集。
（5）若集合{}12,,,|,1,,n a a a i i i A x a A A i n =∈= 为可数集，，则A 为可数集。
常用结论：①有理数集Q 是可数集，n R 中有理点集nQ 为可数集。
②1R中互不相交的开区间族是至多可数集。
定理6若Ａ为无限集，Ｂ是至多可数集，则A B ∪～A由证明归纳出两种证明对等的方法： （１）建立一一映射；设{}12,,B b b = 为可数集，A B ∩=∅，由性质１知，Ａ存在可数子集{}112,,A a a = ，作映射:f A B A ∪→()212,,1,2,,,1,2,,,,1,2,k k k k k k a x a k x f x a x b k x x a b k −==⎧⎫⎪⎪===⎨⎬⎪⎪≠=⎩⎭（2）要证A 与B 对等，可将A 和B 都分解为不交并，即1212,A A A B B B =∪=∪再分别证明1A ~1B ，2A ~2B()()()1111\,\\A A A A A B A A A B A =∪∪=∪∪⎡⎤⎣⎦注解：①、()\E F E F =∪②、以上两个定理表明，只要有了全部的G δ和F σ和全部的零测集，一切可测集都可以通过G δ型集与一零测集的差集或F σ型集与一零测集的并集获得。
定理7设A、B 分别为pR 和qR 中的可测集，若E A B =×，则E 为p qR+中的可测集，且mE mA mB =• 注解：定理证明中所用到的结论：① n R 开集的构造：n R ()2n ≥中非空开集G 是可数个互不相交的半开半闭区间的并集；② E 是可测集，则存在一列单调递减的开集列{}n G ，使得n E G ⊂，且1\0n n m G E ∞=⎛⎞∩=⎜⎟⎝⎠；或存在一列单调递增的闭集列{}n F ，使得n F E ⊂，且1\0n n m E F ∞=⎛⎞∪=⎜⎟⎝⎠。
（见教材P64课后习题20、21题）③ 当可测集A、B 无界时，A、B 分别都可以表示成一列互不相交的有界可测集的并集，即11,i j i j A A B B ∞∞===∪=∪，其中,i j A B 都是有界可测集。
④ 思路：由定理5（3）存在G δ集12,G G ，使121,,A G B G mA mG ⊂⊂=且()()212,\0,\0mB mG m G A m G B ===**12\,\A G A B G B ==记()()()()****12\\\E A B G G A B A B A B =×=××××第三章 可测函数1 可测函数的定义及简单性质一、可测函数的定义及等价定义 1、简单函数③几何意义为下方图形测度，即()(),Ex dx mG E ϕϕ=∫。
性质1设()(),x x ϕψ是可测集E 上非负简单函数，如果()()()x x x E ϕψ=∈，则 ()()()EEx dx x dx x E ϕψ=∈∫∫。
注解：上述定理说明非负简单函数的Lebesgue 积分与简单函数的表示形式无关。
性质2设()(),x x ϕψ是可测集E 上非负简单函数，则 （1）对任何非负实数c，有()()EEc x dx c x dx ϕϕ=∫∫；（2）()()()()E E E x x dx x dx x dx ϕψϕψ+=+⎡⎤⎣⎦∫∫∫； （3）若()()()x x x E ϕψ≤∈，则()()EEx dx x dx ϕψ≤∫∫，特别的，()()max Ex dx x mE ϕϕ≤⋅∫（经常用）；（4）若A，B 是E 的两个不交子集，则()()()A BABx dx x dx x dx ϕϕϕ=+∫∫∫∪。
证明要点：（2）()()()()1111,,,0,i j n mnmi A j B i j i j i j i j x a x x b x a b E A B ϕχψχ======≥==∑∑∪∪，且{}i A 与{}j B 均互不相交，则()()()()11i j n mi j A B i j x x a b x ϕψχ==+=+∑∑∩。
注解：设()x ϕ是可测集E 上非负简单函数，A 是E 的可测子集，则 ()()()A AEx dx x x dx ϕϕχ=∫∫。
设E 的有限不交分解为1n k k E E ==∪，则()1nk k E E A ==∪∩为A 的有限不交分解。
2 非负可测函数的Lebesgue 积分定理1设(){}(){},n n x x ϕψ是E 上单调增的非负简单函数列，如果 ()()lim lim n n n n x x ϕψ→∞→∞=，那么()()lim lim n n EEn n x dx x dx ϕψ→∞→∞=∫∫。
证明：令()()()lim lim n n n n x x f x ϕψ→∞→∞==，则()0f x ≥且在E 上可测。
由于(){}n x ϕ(){}nx ψ是E 上单调增，()()()11,,,n n n n G E f G E G E ϕψ∞∞====∪∪。
下证(),n G E ϕ，是单增集合列，()(),,n x y G E ϕ∀∈，有1,0n n x E y ϕϕ+∈≤≤≤ 从而()()1,,n x y G E ϕ+∈。
再用集合间互相包含证明()()1,,n n G E f G E ϕ∞==∪。
所以()(),lim ,lim n n En n mG E f mG E dx ϕϕ→∞→∞==∫。
定义1设f（x）是可测集E 上的非负可测函数，(){}n x ϕ是E 上的单调增且收敛 于f（x）的非负简单函数列，记()()lim n EEn f x dx x dx ϕ→∞=∫∫，称()Ef x dx ∫为f（x）在E 上的Lebesgue 积分。
注解：如果()Ef x dx <+∞∫，则称f（x）在E 上Lebesgue 可积。
由定理1有非负可测函数的Lebesgue 积分值与非负简单函数列(){}n x ϕ的选取无关。
性质 设f（x），g（x）是E 上的非负可测函数，则 （1）对任何非负实数c，有()()EEc x dx c x dx ϕϕ=∫∫；（2）()()()()E E E x x dx x dx x dx ϕψϕψ+=+⎡⎤⎣⎦∫∫∫； （3）若()()()f x g x x E ≤∈，则()()EEf x dxg x dx ≤∫∫；（4）若A，B 是E 的两不交可测子集，则()()()A BABf x dx f x dx f x dx =+∫∫∫∪；（5）若()(),..f x g x a e E =于，则()()EEf x dxg x dx =∫∫；（6）若A，B 是E 的可测子集，且A B ⊆，则()()ABf x dx f x dx ≤∫∫。