抛物线的切线问题知识交流

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不愤不启不悱不发——“与抛物线切线有关的问题”课例及点评

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· 22·
中学教研（数学）
2013 年
思考：把 2 条切线的交点作为起始点，再观察切线 QA 与 QB ，它们是对称的，可否从设切线方程入手？解由 Q （ x0 ，－ 1 ），可设切线 QA： y + 1 = k （ x － x0 ），代入得 x2 － 4 kx + 4 kx0 + 4 = 0 ，利用得从而
2 Δ = 16 k － 4 × 4 （ x0 k + 1 ） = 0 ，
在的弦方程为 y =
x0 x － y0 ． 2
k2 － x0 k － 1 = 0 ， k1 ·k2 = － 1 ．点评引导本题时，体现的思想方法是：先借助于图像进行粗略判断，再进一步借助于特殊点进行验证，最后用数学思想方法进行严密证明，从而．，得到结论这种思想方法特别是对开放题会有明显的效果．本题的条件多样，如何更有效整合利用就显得更加重要．这些信息， 3 ． 4 问题导练，及时反馈 2 例 3 已知抛物线 C ： x = 4 y A， B 是抛物线上的 2 的焦点为 F ， → → AF = λ FB （ λ ＞ 0 ）．过点个动点， A， B 分别作抛物线的切线，设其 → → 证明：FQ·AB 为定值．交点为 Q，（学生板演．）图3 解法 1 x + x2 x1 － x2 y1 － y2 → → = FQ·AB = 1 ，－2 · ， 2 2 2
2 2 x2Байду номын сангаасx2 1 － x2 1 － x2 － = 0． 4 4
(
) (
)
解法 2
AB 的方程为 y = k AB =
x0 x + 1，从而 2

直线与抛物线切线问题

直线与抛物线切线问题
1.直线和抛物线的基本概念
直线是两个不在同一直线上的点之间的最短距离的集合，可用y=kx+b表示。

抛物线是平面内，到定点F和定直线L距离相等的点P的轨迹，可用y=ax^2+bx+c表示。

2.切线的基本概念
切线是曲线上某一点处的局部直线，与曲线在该点处相切且方向相同。

对于抛物线，它在顶点处的切线是水平线，因为此时斜率为0。

3.直线和抛物线的切线问题
对于直线和抛物线，它们可能存在交点，也可能没有交点。

若要求它们的切线，需要先求出它们的交点，然后求出在该交点的切线斜率。

具体步骤如下：
①列出方程组，求解交点坐标。

方程组为y=kx+b和
y=ax^2+bx+c，将它们相减得到cx^2+(b-k)x+(c-b)=0。

求解得到交
点坐标后，即可得到在该点的斜率。

②切线斜率的求解。

对于抛物线，它在交点处的切线斜率为导数，在该点导数为2ax+b。

对于直线，它本身的斜率即为切线斜率。

4.实际应用
直线和抛物线的切线问题在物理、工程学或者经济学中经常出现，例如物体的抛射运动、管道的水流分析等等。

5.总结
直线和抛物线的切线问题需要先求解交点坐标，再求解斜率。

它们在实际应用中具有广泛的应用价值。

抛物线双切线定理

抛物线双切线定理抛物线双切线定理抛物线是一种常见的二次函数图像，它具有许多重要的性质。

其中之一是抛物线上每个点都有两条切线，这些切线被称为双切线。

本文将介绍抛物线双切线定理，该定理描述了如何通过给定点和斜率来确定抛物线上的双切线。

一、基本概念1. 抛物线抛物线是一个二次函数的图像，它可以用以下标准方程表示：y = ax² + bx + c其中a、b、c为实数且a≠0。

2. 切线在数学中，切线是与曲面（或曲线）在某一点相接触且与该点处的曲面（或曲线）相切的直线。

在二维平面上，我们可以通过求导来找到曲面（或曲线）在某一点处的斜率，从而得到该点处的切线。

3. 双切线对于任意给定的抛物线上的点P(x0, y0)，都存在两条不同的直线通过该点并且与抛物线相交。

这两条直线被称为双切线。

二、定理陈述对于任意给定的抛物线y = ax² + bx + c上的点P(x0, y0)，它的双切线的方程为：y = 2ax0x - ax0² + y0 - 2ax0x0和y = -2ax0x - ax0² + y0 + 2ax0x0其中a、b、c为抛物线的系数，即y = ax² + bx + c。

三、定理证明考虑一条通过抛物线上某点P(x0, y0)的切线。

设该切线的斜率为k，则该切线的方程可以表示为：y - y0 = k(x - x0)我们可以通过求导来求出抛物线在该点处的斜率。

对于抛物线y = ax² + bx + c，它在任意一点处（x,y）的斜率可以表示为：k = dy/dx = 2ax + b将k代入切线方程中，得到：y - y0 = (2ax0 + b)(x - x0)化简得到：y = 2ax₀x - ax₀² + y₀ - 2ax₀x₀这就是通过给定点P(x₀, y₀)和斜率k来确定抛物线上一条切线的方程。

同样地，我们可以通过将斜率取相反数得到另外一条双切线。

中考切线知识点总结

中考切线知识点总结一、定义：在数学上，切线是指曲线上的一点处与曲线相切的一条直线。

切线在几何学和微积分中都有很重要的应用，特别是在研究曲线的性质和方程的求解中。

二、切线的性质：1. 切线的斜率与曲线在该点的导数相等。

2. 切线与曲线在切点处有相同的斜率。

3. 切线是曲线的局部近似。

4. 切线与曲线在切点处有相同的斜率。

5. 切线在曲线上的位置随着切点的位置而变化。

6. 切线与曲线在切点处的切线方向一致。

三、切线的求法：1. 求曲线在某一点的切线，可以先求曲线在该点的导数，然后用该点的导数作为斜率，以该点为切点，画一条直线即为切线。

2. 求曲线的切线方程，可以根据曲线的方程和切点的坐标，利用切线的斜率-截距式或点斜式进行求解。

3. 求曲线上各点的切线方程，可以使用微积分的方法进行求解。

四、切线的应用：1. 在几何学中，切线可以用来求解曲线的局部性质，如拐点、极值等。

2. 在物理学中，切线可以用来描述曲线的运动趋势和速度变化。

3. 在工程学中，切线可以用来求解曲线的斜率和切线方程，从而为工程设计提供参考依据。

4. 在经济学中，切线可以用来描述曲线的增长率和趋势变化，为经济分析提供支持。

五、切线的经典问题：1. 求解曲线在某点的切线方程。

2. 求解曲线的平行于给定直线的切线方程。

3. 求解曲线与切线的交点坐标。

4. 求解经过给定点的曲线切线方程。

5. 求解曲线在某一点处的切线方向。

六、中考考点强化：1. 求解曲线在给定点处的切线方程。

2. 判断曲线在给定点处的切线斜率。

3. 用切线斜率求解曲线与切线的交点坐标。

4. 判断曲线在某点是否存在切线。

5. 求解曲线的切线方程和切点。

八、练习题目：1. 求曲线y=x^2-3x+2在点(2,1)处的切线方程。

2. 求曲线y=2x^3-6x^2+4x-1在点(1,-1)处的切线斜率。

3. 曲线y=3x^2-4x+1与切线y=2x-1在哪些点上相交？4. 曲线y=x^3-3x^2+3x-1是否在点(1,0)处存在切线？5. 求曲线y=x^2-2x+3在点(3,6)处的切线方程。

抛物线外一点做两条切线轨迹方程

抛物线外一点做两条切线轨迹方程1. 概述抛物线是数学中常见的一种曲线，其在物理学、工程学、计算机图形学等领域有着广泛的应用。

抛物线外一点做两条切线是一个经典的问题，其涉及到抛物线的性质和切线的几何关系。

本文将探讨抛物线外一点做两条切线的轨迹方程，希望能够为读者对此问题的理解提供一些帮助。

2. 抛物线的一般方程一般来说，抛物线的一般方程可以表示为：\[y = ax^2 + bx + c \]其中a、b、c为常数且a不为0。

抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。

3. 抛物线外一点做两条切线的条件对于给定的抛物线和一点P(x, y)外，我们希望找到通过点P的两条切线。

根据几何性质，抛物线外一点做两条切线的条件为：点P到抛物线的切线长度相等。

设点P到抛物线的距离为d，则点P到抛物线的两个切点为A和B，过点P作AB的垂线交抛物线于C和D，则PC=PD。

4. 推导轨迹方程我们可以找到切线的一般方程。

设抛物线的方程为y = f(x)，点P的坐标为(x, y)，则点P到抛物线的距离 \[d = \frac{|y - f(x)|}{\sqrt{1 +f'(x)^2}} \] 其中f'(x)为抛物线的导数。

根据切线的性质，切线的斜率为f'(x)。

由上式我们得到\[d = \frac{|y - f(x)|}{\sqrt{1 + f'(x)^2}} = \frac{|ax^2 + bx + c -f(x)|}{\sqrt{1 + f'(x)^2}} \]根据点到直线的距离公式，我们知道点P到抛物线的切线的距离为d，于是我们得到抛物线外一点做两条切线的轨迹方程。

5. 结论通过以上推导，我们得到了通过抛物线外一点的两条切线的轨迹方程。

这个问题的解决不仅涉及到抛物线的性质，也考虑到切线的几何特性。

抛物线作为数学中的经典曲线，在这个问题中展现了其独特的魅力。

希望读者通过本文能够对抛物线外一点做两条切线的轨迹方程有一个更清晰的认识。

抛物线中的切线问题(推荐完整)

过 A, B 两点的直线方程。（直线 AB 用 x0、y0 的形
式表示）
. .
变式 3 如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，
M(x0,y0)为 x2 2 py 外任意一点,过 M 引抛物线
的两条切线，切点分别为 A(x1,y1), B(x2,y2)．求
过 A, B 两点的直线方程为: x0 x p( y y0 )

x2
x1x0 x2 x0

p( x12 2p
p( x22 2p

y0 ) y0 )
A、M、B三点的横坐标成等差数列
变式 3 如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，
M(x0,y0)为 x2 2 py 外任意一点,过 M 引抛物线
的两条切线，切点分别为 A(x1,y1), B(x2,y2)．求
抛物线中的切线问题
例题：（山东高考）如图，设抛物线方程为
x2 2 py( p 0) ， M 为直线 y 2 p 上任意一点,过 M 引抛物线的切线，切点分别为 A，B ．求证： A，M，B三点的横坐标成等差数列
变式 1:如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，
xx0 yy0 r2
2. 设P(x0,
y0
)为椭圆
x2 a2

y2 b2
1上的点，则过该点的切线方程为：
xx0 a2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
yy0 b2
1
3. 设P(
x0
,
y0
)为双曲线
x2 a2

y2 b2
1上的点，则过该点的切线方程为：
xx0 yy0 1

抛物线的切线方程和切点弦方程

抛物线的切线方程和切点弦方程
本文将探讨抛物线的切线方程和切点弦方程两个重要的概念。

切线方程的推导
我们知道，抛物线的一般式方程为 y=ax^2+bx+c，对其求导得到 y'=2ax+b， y' 即为切线斜率。

假设某一点的坐标为 (x0, y0)，则该点处的切线斜率为 y'=2ax0+b。

但是仅仅知道切线斜率并不能唯一确定切线方程，我们还需要另一个已知条件。

我们可以利用该点的坐标 (x0, y0) 推导出该点的切线方程。

已知某点坐标为 (x0, y0)，切线斜率为 k，则其切线方程为 y-y0=k(x-x0)。

将 k=y'，即得到切线方程：y-y0=(2ax0+b)(x-x0)。

切点弦方程的推导
切点弦方程也称作法向弦方程，它表示的是过切点且垂直于切线的直线方程。

我们可以通过该点的切线方程推导出该点的切点弦方程。

对于切线方程 y-y0=(2ax0+b)(x-x0)，其中切点坐标为 (x0, y0)，斜率为 k=2ax0+b。

由于切点弦垂直于切线，则其斜率 k' = -1/k。

切点弦过点 (x0, y0)，另一端点为 (x, y)，设切点弦方程为 y = k'(x-x0) + y0。

将 k' 代入得到 y = (-1/(2ax0+b))(x-x0) + y0，整理得到切点弦方程 y+((x-x0)/(2a)(y-y0)) = x/2a + (x0^2)/(2a)+y0。

以上即为抛物线的切线方程和切点弦方程的推导及表达方式。

抛物线外一点引两条切线,切点连线的方程

抛物线外一点引两条切线,切点连线的方程1. 引言1.1 概述在数学领域，抛物线是一种常见的曲线形状，具有许多重要的性质和应用。

与抛物线相关的一个重要问题是如何确定抛物线外一点引出的两条切线，并找到这两条切线上的切点及其连线方程。

本文将详细探讨该问题。

1.2 研究背景抛物线作为一个具有特殊形状和性质的曲线，在几何学和微积分中都占据着重要地位。

早在古希腊时期，古代数学家就开始研究抛物线，并发现了许多与之相关的定理和性质。

随着数学研究的不断深入，人们对于抛物线的认识也越来越深刻。

在这个过程中，人们逐渐发现了如何确定抛物线外一点引出的两条切线，并求解切点及其连线方程这个问题。

1.3 目的本文旨在介绍抛物线与切线之间的关系，并详细推导出抛物线外一点引两条切线所涉及的数学方法。

通过典型例题的分析和解答，将帮助读者理解并掌握如何确定抛物线外一点引出的两条切线，并求解切点及其连线方程的步骤。

此外，本文还将探讨这个问题在实际应用中的价值，并对研究尚未解决的相关问题进行展望。

以上是“1. 引言”部分的详细内容，通过介绍本文的概述、研究背景和目的，读者可以初步了解文章所要讨论的问题和内容。

接下来，“2. 抛物线与切线关系”部分将详细介绍抛物线及切线的定义及性质。

2. 抛物线与切线关系2.1 抛物线定义及性质抛物线是一种平面曲线，由所有与一个固定点（焦点）和一条直线（准线）的距离相等的点组成。

其标准方程可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b和c 为常数，且a不等于0。

抛物线具有以下性质：- 对称性：抛物线关于其顶点对称。

- 面积：抛物线所夹的面积相等于焦点到准线的距离乘以基本边长。

- 焦距：抛物线中焦点到顶点的距离等于焦半径。

2.2 切线定义及性质切线是指曲线上某一点处与该点处切给曲线只有一个公共交点的直线。

切线与曲线相切于该点，并且在该点处具有相同的斜率。

切线具有以下性质：- 斜率：切线与曲线在交点处具有相同的斜率。

【高中数学】秒杀秘诀MS11抛物线切线

29.已知抛物线 C：y=x2，直线 l：x﹣2y﹣2=0，点 P 是直线 l 上任意一点，过点 P 作抛物线 C 的切线 PM，PN，切点分别为 M，N，直线 PM，PN 斜率分别为 k1，k2，如图所示（1）若 P（4，1），求证：k1+k2=16；（2）若 MN 过抛物线的焦点，求点 P 的坐标．
26.已知抛物线 x2 4 y 的焦点为 F ,过焦点 F 且不平行于 x 轴的动直线 l 交抛物线于 A , B 两点,抛物线在 A 、 B 两
点处的切线交于点 M .(Ⅰ)求证: A , M , B 三点的横坐标成等差数列;(Ⅱ)设直线 MF 交该抛物线于 C , D 两点,求四边形 ACBD 面积的最小值.
(1)求抛物线 P 的方程;(2)设抛物线 P 的准线与 y 轴的交点为 E,过 E 作抛物线 P 的切线,求此切线方程;
解：（1）
MF
yM
p 2
2
p 2
3
p 2 ，故抛物线的方程为 x2
4y
；
（2）E
点坐标为
0， 1
，设抛物线的切点为
Q
x0 ,
y0
，求导得
y
2x 4
x 2
，故切线方程为
y
y0
y
y0
x0 p
x
x0 即
py
py0
xx0
x0 2
xx0
py
y0
同理，在抛物线 y2 2 px 上任意一点 Ax0 , y0 的切线方程为： yy0 px x0
证明：点
Ax0 , y0 在抛物线上
y02
2 px0 ；又
y2
2 px
x
y2 2p

高中数学讲义：函数的切线问题

函数的切线问题一、基础知识：（一）与切线相关的定义1、切线的定义：在曲线的某点A 附近取点B，并使B 沿曲线不断接近A。

这样直线AB 的极限位置就是曲线在点A 的切线。

（1）此为切线的确切定义，一方面在图像上可定性的理解为直线刚好与曲线相碰，另一方面也可理解为一个动态的过程，让切点A 附近的点向A 不断接近，当与A 距离非常小时，观察直线AB 是否稳定在一个位置上（2）判断一条直线是否为曲线的切线，不再能用公共点的个数来判定。

例如函数3y x =在()1,1--处的切线，与曲线有两个公共点。

（3）在定义中，点B 不断接近A 包含两个方向，A 点右边的点向左接近，左边的点向右接近，只有无论从哪个方向接近，直线AB 的极限位置唯一时，这个极限位置才能够成为在点A 处的切线。

对于一个函数，并不能保证在每一个点处均有切线。

例如y x =在()0,0处，通过观察图像可知，当0x =左边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =-，而当0x =右边的点向其无限接近时，割线的极限位置为y x =，两个不同的方向极限位置不相同，故y x =在()0,0处不含切线（4）由于点B 沿函数曲线不断向A 接近，所以若()f x 在A 处有切线，那么必须在A 点及其附近有定义（包括左边与右边）2、切线与导数：设函数()y f x =上点()()00,,A x f x ()f x 在A 附近有定义且附近的点()()00,B x x f x x +D +D ，则割线AB 斜率为：()()()()()000000AB f x x f x f x x f x k x x x x +D -+D -==+D -D 当B 无限接近A 时，即x D 接近于零，\直线AB 到达极限位置时的斜率表示为：()()000limx f x x f x k xD ®+D -=D ,即切线斜率，由导数定义可知：()()()'0000limx f x x f x k f x xD ®+D -==D 。

抛物线中的切线问题(学生版)

抛物线中的切线问题一、考情分析对于抛物线特别是抛物线x 2=2py p ≠0 ,可以化为函数y =x 22p,从而可以借组导数研究求性质,这种关联使得可以把抛物线与导数的几何意义交汇,这是圆锥曲线中的一大亮点,也是圆锥曲线解答题的一个热点.二、解题秘籍(一)利用判别式求解抛物线中的切线问题求解直线抛物线相切问题,可以把直线方程与抛物线方程联立整理成一个一元二次方程,然后利用Δ=0求解. 1.(2023届河南省新未来高三上学期联考)已知抛物线C ：y 2=2px p >0 ,直线l 1,l 2都经过点P -p 2,0 ．当两条直线与抛物线相切时,两切点间的距离为4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)若直线l 1,l 2分别与抛物线C 依次交于点E ,F 和G ,H ,直线EH ,FG 与抛物线准线分别交于点A ,B ,证明：PA =PB ．(二)利用导数几何意义求解抛物线中的切线问题求解抛物线x2=2py在其上一点P x1,y1处的切线方程,可先把x2=2py化为y=x22p,则y =xp,则抛物线x2=2py在点P x1,y1处的切线斜率为x1p,切线方程为y-y1=x1px-x1.2.(2023届湖南省三湘名校教育联盟高三上学期联考)在直角坐标系xoy中,已知抛物线C:x2=2py p>0,P为直线y=x-1上的动点,过点P作抛物线C的两条切线,切点分别为A,B,当P在y轴上时,OA⊥OB.(1)求抛物线C的方程；(2)求点O到直线AB距离的最大值.(三)抛物线中与切线有关的性质过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,则(1)切线交点在准线上(2)切线交点与弦中点连线平行于对称轴(3)切线交点与焦点弦的两端点连线垂直(4)切线交点与焦点连线与焦点弦垂直(5)弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时,切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．反之：(1)过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点,该点与焦点连线垂直于过两切点的弦(2)过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径．3.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,过F的直线l与C相交于A,B两点,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点．当AB∥x轴时,|AB|=2．(1)求抛物线C的方程；(2)证明：|PF|2=|AF|⋅|FB|．4.已知直线l过原点O,且与圆A交于M,N两点,MN=4,圆A与直线y=-2相切,OA与直线l垂直,记圆心A的轨迹为曲线C．(1)求C的方程；(2)过直线y=-1上任一点P作C的两条切线,切点分别为Q1,Q2,证明：①直线Q1Q2过定点；②PQ1⊥PQ2．三、跟踪检测1.(2023届云南省名校高三上学期月考)已知抛物线E :x 2=2py p >0 的焦点为F ,斜率为k k ≠0 的直线l 与E 相切于点A .(1)当k =2,AF =5时,求E 的方程；(2)若直线l 与l 平行,l 与E 交于B ,C 两点,且∠BAC =π2,设点F 到l 的距离为d 1,到l 的距离为d 2,试问：d 1d 2是否为定值？若是,求出定值；若不是,说明理由. 2.(2023届河南省北大公学禹州国际学校高三上学期月考)已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点在y 轴的正半轴上,直线l ：mx +y -1=0经过抛物线C 的焦点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线C 的切线,两条切线相交于点P ,求△ABP 面积的最小值．3.(2022届浙江省绍兴市高三上学期12月选考)已知抛物线C的焦点是0,1 4,如图,过点D22,t(t≤0)作抛物线C的两条切线,切点分别是A和B,线段AB的中点为M．(1)求抛物线C的标准方程；(2)求证：直线MD⎳y轴；(3)以线段MD为直径作圆,交直线AB于MN,求|AB|-|MN||AB|+|MN|的取值范围．4.(2022届山东省济宁市高三上学期期末)已知抛物线E：y2=2px(p>0)上一点C1,y0到其焦点F的距离为2．(1)求实数p的值；(2)若过焦点F的动直线l与抛物线交于A、B两点,过A、B分别作抛物线的切线l1、l2,且l1、l2的交点为Q,l1、l2与y轴的交点分别为M、N．求△QMN面积的取值范围．5.(2022届百校联盟高三上学期12月联考)已知曲线C上任意一点到F1(-1,0),F2(1,0)距离之和为43,抛物线E：y2=2px的焦点是点F2.3(1)求曲线C和抛物线E的方程；(2)点Q x0,y0是曲线C上的任意一点,过点Q分别作抛物线E的两条切线,切点分别为M, x0<0N,求△QMN的面积的取值范围．6.(2022届四川省达州高三上学期诊断)过定点0,1的动圆始终与直线l：y=-1相切.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)动点A在直线l上,过点A作曲线C的两条切线分别交x轴于B,D两点,当△ABD的面积是32时,求点A坐标.7.(2022届四川省成都市高三上学期考试)已知抛物线C:x2=2py p>0的焦点为F.且F与圆M: x2+y+42=1上点的距离的最小值为4.(1)求抛物线的方程；(2)若点P在圆M上,PA,PB是C的两条切线.A,B是切点,求△PAB面积的最大值.8.(2022届山西省怀仁市高三上学期期中)已知抛物线C：y2=2px p>0的焦点为F,准线与x轴交于D点,过点F的直线与抛物线C交于A,B两点,且FA.+FB⋅FB=FA(1)求抛物线C的方程；(2)设P,Q是抛物线C上的不同两点,且PF⊥x轴,直线PQ与x轴交于G点,再在x轴上截取线段GE=GD,且点G介于点E点D之间,连接PE,过点Q作直线PE的平行线l,证明l是抛物线C的切线.9.已知抛物线C:x2=2py,点M-4,4在抛物线C上,过点M作抛物线C的切线,交x轴于点P,点O为坐标原点．(1)求P点的坐标；(2)点E的坐标为-2,-1,经过点P的直线交抛物线于A,B两点,交线段OM于点Q,记EA,EB, EQ的斜率分别为k1,k2,k3,是否存在常数λ使得k1+k2=λk3．若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由．10.如图,已知A x1,y1为二次函数y=ax2(a>0)的图像上异于顶点的两个点,曲线y ､B x2,y2=ax2在点A x1,y1.､B x2,y2处的切线相交于点P x0,y0(1)利用抛物线的定义证明：曲线y=ax2上的每一个点都在一条抛物线上,并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：x1､x0､x2成等差数列,y1､y0､y2成等比数列；(3)设抛物线y=ax2焦点为F,过P作PH垂直准线l,垂足为H,求证：∠BPH=∠APF.11.已知抛物线x 2=2py (p >0)上的任意一点到P (0,1)的距离比到x 轴的距离大1．(1)求抛物线的方程；(2)若过点(0,2)的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线的切线,两条切线交于点Q ,求△QAB 重心G 的轨迹方程．12.已知抛物线C :x 2=2py p >0 的焦点为F ,点P -2,y 0 为抛物线上一点,抛物线C 在点P 处的切线与y 轴相交于点Q ,且△FPQ 的面积为2．(1)求抛物线的方程．(2)若斜率不为0的直线l 过焦点F ,且交抛物线C 于A ,B 两点,线段AB 的中垂线与y 轴交于点M ,证明：MF AB为定值．13.(2022届新未来4月联考)已知直线l:x-ky+k-1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,过A,B两点且与抛物线C相切的两条直线相交于点D,当直线l⊥x轴时,|AB|=4．(1)求抛物线C的标准方程；(2)求|OD|的最小值．14.过原点O的直线与拋物线C：y2=2px(p>0)交于点A,线段OA的中点为M,又点P3p,0, PM⊥OA．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处,并解答下列问题：①OA=23；③△POM的面积为62．=46,②PM(1),求拋物线C的方程；(2)在(1)的条件下,过y轴上的动点B作拋物线C的切线,切点为Q(不与原点O重合),过点B作直线l与OQ垂直,求证：直线l过定点．注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．15.已知抛物线x2=2py(y>0),其焦点为F,抛物线上有相异两点A x1,y1．,B x2,y2(1)若AF⎳x轴,且经过点A的抛物线的切线经过点(1,0),求抛物线方程；(2)若p=2,且|AF|+|BF|=4,线段AB的中垂线交x轴于点C,求△ABC面积的最大值．16.设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F,点P m,2=3．(m>0)在抛物线C上,且满足PF(1)求抛物线C的标准方程；(2)过点G0,4的直线l与抛物线C交于A,B两点,分别以A,B为切点的抛物线C的两条切线交于点Q,求三角形PQG周长的最小值．17.已知圆C :x 2+y -2 2=1与定直线l :y =-1,且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切.(1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；(2)已知点P 是直线l 1:y =-2上一个动点,过点P 作轨迹E 的两条切线,切点分别为A 、B .①求证：直线AB 过定点；②求证：∠PCA =∠PCB .18.设抛物线C ：x 2=2py p >0 ,其焦点为F ,准线为l ,点P 为C 上的一点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为M ,且MF =FP ,FM ⋅FP =2.(1)求抛物线C 的方程；(2)设点Q 为C 外的一点且Q 点不在坐标轴上,过点Q 作抛物线C 的两条切线,切点分别为A ,B ,过点Q 作y 轴的垂线,垂足为S ,连接AS ,BS ,证明：直线AS 与直线BS 关于y 轴对称.。

高中数学抛物线中的切线问题

3
变式 1:如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，
M 为抛物线外任意一点,过 M 引抛物线的切线，切
点分别为 A，B ．设 A(x1,y1).试用 x1,y1 表示过 A
的切线方程
解: x2 2 py 得 y x2 ，得 y x
2p
p
y'
x x1
x p
x x1
x1 p
过A( x1 ,
的两条切线，切点分别为 A(x1,y1), B(x2,y2)．求过 A, B 两点的直线方程。
.
10
.
变式 3 如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，
M(x0,y0)为 x2 2 py 外任意一点,过 M 引抛物线
的两条切线，切点分别为 A(x1,y1), B(x2,y2)．求
过 A, B 两点的直线方程为: x0 x p( y y0 )
11
结论2:
1.P(x0 , y0 )是抛物线x2 =2py外一点,过P点作抛物线的两条切线,切点分别为A(x1, y1), B(x2 , y2 ),则
直线AB的方程为: x0 x=p(y+y0 )
12
变式4:设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，若 M(x0, p )是抛物线准线l上任意一点,焦点为F,
y1)的切线方程为:y-y1
x1 p
(x
x1 )
即: py py1 x1x x12 x1x 2 py1
4
变式 1:如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ， M(x0,y0)为抛物线外任意一点,过 M 引抛物线的切线，切点分别为 A，B ．设 A(x1,y1).试用 x1,y1 表
6

【圆锥曲线】12抛物线切线2(含经典题型+答案)

抛物线切线的性质2 秒杀秘籍：切点弦性质定理1：设过点P 与抛物线对称轴平行的直线交抛物线于M ，交切点弦于点Q ，则Q 点平分切点弦AB 。

（无论点P 在曲线的什么位置，上述结论均成立）。

且M 处的切线平行于抛物线的切点弦。

（图1,3）定理2：直线:l y kx m =+上一动点Q 引抛物线两切线,QA QB ，则过两切点的直线AB 必过定点G （图2,4）如图1，点()00,y x P 为抛物线py x 22=外任意一点，过点P 作抛物线两条切线分别切于A 、B 两点，AB 的中点为Q ，直线PQ 交抛物线于点M ，求证：（1）()轴上的截距在为直线，y AB m m y x x G -==00；且直线AB 方程为()00y y p xx +=；（2）设点M 处的切线l ，求证AB //l 。

证明：（1）点()11,y x A ()22,y x B 在抛物线上∴2221212;2py x py x ==求导得px p x y =='22；在点()11,y x A ()22,y x B 的切线方程为：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-222111x x p x y y x x p x y y 即()()()()⎩⎨⎧+=+=212211y y p xx y y p xx ()()12-得：()1212)(y y p x x x -=-，即222)(12212212x x x p x p x p x x x +=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∴Q x x x x =+=2120 将点Q ),2(012y x x +代入切线方程得：()0211011222py x x y y p x x x =⇒+=+令AB 方程为y kx m =+，代入22x py =得：0222=--pm pkx x 02122py pm x x =-=∴所以直线AB 过定点（0，0y -）；故AB方程为()()0000x y x y xx p y y p=+-⇒=+ （2）p x k pk x x x pm pkx x 012022022=⇒=+=⇒=--，M 点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛p x x 2,200，以M 点为切点的切线斜率为px p x y 0022=='，故AB //l 。

有关切线的一类问题

1. 已知点P 是函数x e y x 2+=图像上任意一点，则点P 到直线073=--y x 的最小距离为___________解析：主要利用数形结合思想，相切时取最值.令32'=+=x e y 则0=x ，所以切点为（0，1）.计算点到直线距离得到5104=d 2. 已知抛物线x y C 4:2=的焦点为F ，)1,2(N 为抛物线C 上位于第一象限的一点，且点M 的横坐标小于2，则三角形FMN ∆的面积（）A 有最大值3/2B 有最小值3/2C 有最大值1D 有最小值1解析：主要利用数形结合思想，相切时取最值.FN 斜率为1，直线方程1-=x y .根据图像可以看出相切时取最大值，设直线b x y +=直线带入抛物线，令0=∆得出1=b .两平行线11+=-=x y x y ，计算距离2=d ，带入面积公式即可.因为)2,0(∈x 开区间，所以无最小值.3. 已知椭圆C 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴，y 轴，则过)23,1(),0,2(B A -两点.若P 为C 上不同于B A ,的一点，则三角形PAB ∆面积的最大值为( ) A 5512 B 29 C 16 D18 解析：主要利用数形结合思想，相切时取最值.椭圆设为122=+ny mx ，带入两个点，得出方程13422=+y xAB 斜率21且直线方程是022=+-y x ，设切线方程02=+-b y x ，切线带入椭圆中，令0=∆得出切线方程。

两平行线计算距离可得4±=b 数形结合，可知4-=b 代入平行线距离公式得距离为56=d ,所以面积最大值295625321=⋅⋅=S .方法二：还可以用椭圆的参数方程进行求解，有兴趣的同学可以尝试，当然切线方程方法比较简单.。

关于抛物线切线的若干结论

关于抛物线切线的若干结论切线方程：抛物线y2=2px上一点（x0，y0）处的切线方程为：。

抛物线y2=2px上过焦点斜率为k的方程为：y=k（x-p/2）。

抛物线各类方程式的共同点：1、原点在抛物线上，离心率e均为1；2、对称轴为坐标轴；3、准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4抛物线各类方程式的不同点：1、对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2；对称轴为y 轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x^2；2、开口方向与x轴（或y轴）的正半轴相同时，焦点在x轴（y轴）的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x（或y轴）的负半轴相同时，焦点在x轴（或y轴）的负半轴上，方程的右端取负号。

抛物线的相关结论：当A（x1，y1），B（x2，y2），A，B在抛物线y2=2px上，则有：1、直线AB过焦点时，x1x2 = p²/4 ，y1y2 = -p²；（当A，B在抛物线x²=2py上时，则有x1x2 = -p²，y1y2 = p²/4 ，要在直线过焦点时才能成立）2、焦点弦长：|AB| = x1+x2+P = 2P/[（sinθ）2]=（x1+x2）/2+P；3、（1/|FA|）+（1/|FB|）= 2/P；（其中长的一条长度为P/（1-cosθ），短的一条长度为P/（1+cosθ））4、若OA垂直OB则AB过定点M（2P，0）；5、焦半径：|FP|=x+p/2 （抛物线上一点P到焦点F的距离等于P到准线L的距离）；6、弦长公式：AB=√（1+k2）*│x1-x2│；7、△=b2-4ac；△=b2-4ac>0有两个实数根；△=b2-4ac=0有两个一样的实数根；△=b2-4ac<0没实数根；8、由抛物线焦点到其切线的垂线的距离是焦点到切点的距离与到顶点距离的比例中项；9、标准形式的抛物线在（x0，y0 ）点的切线是：yy0=p（x+x0），（注:圆锥曲线切线方程中x²=x*x0 ， y² =y*y0 ， x=（x+x0）/2 ，y=（y+y0）/2 ）。