大学物理学课件

L m0
EK = mc − m0 c
2
2
与经典动能形式完全不同
1 2 E K = m0 v 2
E k = m0 c (
2
1
2 2
1− v c 2 4 3 = m 0 c 2 (1 + v 2 + v 4 + − 1) 2c 8c
− 1)
v<< c
相对论总能量
mc = E k + m0 c
2
2
v0 > 0, 下半圆，π < ϕ < 2π或 − π < ϕ < 0 v0 = 0, x0 = A, ϕ = 0; x0 = − A, ϕ = π
ω
−A
O
x0
A
X
【例题】 一简谐振动的振幅为A，角频率为ω，以下列 各种情况为起始时刻，分别写出简谐振动的表达式： ①物体过平衡位置向X轴正方向运动； ②物体被压缩到最大位移处； ③过 ④过
A 2
处向X轴负方向运动； 处向X轴正方向运动。
② ③
3 A 2
解：先写出简谐振动的标准表达式， 并画旋转矢量图
ω = 2πν = 6π rad/s x0 = xm cos ϕ = 0.2 ; v0 = −ωxm sin ϕ = 4.0
∴ xm = x + (
2 0 −1
v0
ω
) 2 = 0.29m
v0 = −ωxm sin ϕ > 0, ∴ sin ϕ < 0. ∴ϕ = −46.7° ∴ x = 0.29 cos(6πt − 46.7°) (SI)
a= −ω A cos(ω t + φ0 ) =am cos(ω t + φ0 + π )
速度的相位比位移的相位超前 π 2 ，加速度与位 移的“振动”反相。
简谐振动的速度与加速度位相：
dx v m = ωA v= = −ωAsin(ωt + ϕ ), dt dv a == am= ω 2 A = −ω 2 Acos(ωt + ϕ ), dt
ω2
ϕ的确定：
v0 x0 v0 或sinϕ = − ); 或cosϕ = ； tgϕ = ( − A ωx0 ωA ⇒ [0,2π )内有两个ϕ , 再由v0的正负确定其中的一个
例：一个简谐振动， ν=3Hz. 当 t=0, x0=0.2m, v0=4.0m/s. 求振动表达式。 或者考虑 cos ϕ > 0, ϕ在一、四象限
能量-动量关系
E =E +p c
2 2 0
2 2
大学物理（丙）
第九讲
机械振动I
机械振动和机械波
振动与波涉及到物理学的各个领域，是 一种重要的物质运动形式。 力学：机械振动与机械波 电学：电磁振荡和电磁波
Q:最简单的振动是什么？
简谐振动（Simple Harmonic Motion）
物体运动时，离开平衡位置的位移 ( 或角 位移)按余弦(或正弦)规律随时间变化。
∆x′ = 0 (同一地点) ∆t ′ = τ 0 （原时） ∆t = τ
τ =
τ0
u 1− 2 c
2
τ > τ 0 即原时最短！
“动尺变短”（同时测量尺子两端位置，尺子放在K’系）
由洛仑兹逆变换
∆x' = ∆x − u∆t u2 1− 2 c
∆t = t 2 − t1 = 0,
∆x' =
∆x u2 1− 2 c
v0 ) = −46.7° or 133.3° ϕ = tan ( − ωx0
简谐振动的振幅、周期、频率和相位
相位和初相位 相位 (ωt + φ 0 ) ：决定简谐运动状态的物理量。 初相位
φ 0 ：t =0 时的相位。
相位可比较两个谐振动之间在步调上的差异。 设有两个同频率的谐振动：
= x1 A1 cos(ω t + φ10 )
u ( x2 − x1 ) (t 2 − t1 ) − 2 c ′ − t1 ′= t2 1 − u 2 /c 2 ′ − t1 ′≠0 当x2 − x1 ≠ 0时，若t 2 − t1 = 0, 则t 2
“动钟变慢”(同一地点的时间间隔)：
由洛仑兹逆变换
u ∆t ′ + 2 ∆x′ c ∆t = 2 u 1− 2 c
爱因斯坦的两个基本假设
相对性原理：物理规律在所有惯性系中数学形式相同。 光速不变原理：所有惯性系中的真空中光速都相等。 第一条假设推广了力学的相对性原理，否定了“绝对 参照系”的存在。 第一条假设保证了第二条假设的正确性；第二条假设 可找到一个新的坐标变换，来满足第一条假定。
洛仑兹坐标变换式
x′ = x − ut u2 1− 2 c
助教2：阿布都外力（email: double2@zju.edu.cn）
辅导中心网址：
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大学物理答疑相关信息： 3月29日开始，
每周日（教师答疑）：8:30-11:30， 东1A-210 周一至周五（助教答疑）：11:00-13:30， 东1B-301
2
∆x = l ∆x' = l0 (静长)
u l = l0 1 − 2 c
静止的杆长度最长； 运动的杆长度收缩（在运动方向上！）
讨论
《The New World of Mr Tompkins》
(伽莫夫著)插图
相对效应 纵向效应 同时性的相对性的直接结果
相对论质速关系:
m ——静止质量
几种常见的简谐振动
竖直的弹簧振子:
F = −kx + mg
kx0 = mg ( F = 0), mg ∴ x0 = k
O x x0 O´ x´ m
所以新的平衡位置下移了x0
d2 x kx − mg k mg k d 2 x′ = − = − (x − − x′ = )= 2 dt m m k m dt 2
ωt + ϕ
ϕ
−A
t =0 ω
A X
O
p
源自文库
x P = Acos(ωt + ϕ )
~ r = A exp[i (ωt + φ )]
~ xP = Re r = A cos(ωt + φ )
x0 cosϕ = ⇒ 两个ϕ , 再由v0的正负确定其中的一个 A
旋转矢量法确定ϕ： 先在X轴上找到相应x0，有两个旋转矢量， 由v的正负来确定其中的一个 dx v= = − Aω sin(ωt + φ ) dt 0 <ϕ <π v0 < 0, 上半圆，
相对论复习总结
（狭义）相对性原理 洛仑兹变换 狭义相对论时空观 质速关系 质能关系 动量和能量关系
《大学物理（丙）》supporting information
主讲教师：曹光旱 (email: ghcao@zju.edu.cn ) 助教1：孙云蕾（email: sunyunlei@zju.edu.cn）
dv d x a= = 2 = − Aω 2 cos(ωt + φ ) dt dt
验算一下简谐振动微分方程式
2
加速度
简谐振动的几个特性参量：
x = Acos(ωt + ϕ )
振幅A：物体离开平衡位置的最大位移； 周期T：完成一次全振动所需的时间； 频率ν：单位时间内完成全振动的次数；
1 =ν T
ωt+ϕ：相位 ϕ：初相 ω：角频率或圆频率
弹簧振子模型
O
X
F
X
O
F
O
X
弹簧振子：连接在一起的一个忽略了质量的弹簧和 一个不发生形变的物体系统。
x = A cos(ωt + φ )
它是如何得到的？
回复力：作简谐运动的质点所受的沿位移方向的合 外力, 该力与位移成正比且反向。 简谐振动的动力学特征:
F = − kx
ω=
k m
kx 据牛顿第二定律，得 a = − m
爱因斯坦名言—方法论
成功=艰苦的劳动+正确的方法+少谈空话。 耐心和恒心总会得到报酬的。 在天才和勤奋之间，我毫不迟疑地选择勤奋，它几
乎是世界上一切成就的催产婆。 兴趣是最好的老师。 想像力比知识更重要，…提出一个问题往往比解决 一个更重要。
爱因斯坦名言—人生观
世间最美好的东西，莫过于有几个头脑和心地都很正
超前时间： ∆t = ∆φ / ω
讨论II: 已知振动方程：， = x A cos(ω t + φ0 )
问该方程与它的速度、加速度的相位关系 ?
dx = v = ?, dt
2
dv d 2 x ? = a = = 2 dt dt
= v= −ω A sin(ω t + φ0 ) vm cos(ω t + φ0 + π / 2)
0
m 0 m = 2 2 1− v c
相对论动量： p = mv =
m0 1− v c
2 2
m ——运动质量
v
相对论力学基本方程:
dP d m0 = ( dt dt 1 − 2 v
c
2
v) = F
F = ma 错误！！
m 2 E K = ∫ F ⋅ dr = ∫ c dm
直的朋友。 现在，大家都为了电冰箱、汽车、房子而奔波，追逐， 竞争。这是我们这个时代的特征。但是也还有不少人， 他们不追求这些物质的东西，他们追求理想和真理， 得到了内心的自由和安宁。 我从来不把安逸和快乐看作是生活目的的本身——这 种伦理基础，我叫它猪栏的理想。 人只有献身于社会，才能找出那短暂而有风险的生命 的意义。
2π = 2πν ω= T
简谐振动表达式的确定
先写出标准式
x = Acos(ωt + ϕ )
然后确定三个特征量：ω、A、ϕ
k 2π ω= 或ω = = 2πν m T
已知ω，由初始条件v0、x0来确定A、ϕ x0 = Acosϕ v0 = −ωAsinϕ A=
2 x0 + 2 v0
x = Acos(ωt + ϕ )
L ∴T = = 2π . ω g 2π
旧式钟摆？？
复摆 (物理摆)*：
M = − mgd sin θ ≈ − mgd ⋅ θ d 2θ β J 2 = J= dt 2 d θ mgd 0 θ= + 2 dt J
mgd ω = J
2
J T = 2π mgd
旋转矢量法(看录像)
逆时针旋转的矢量端 点在X轴上的投影点P 的运动是SHM
d 2 x′ 2 + = x′ 0 ω 2 dt = ω k m
方程的形式一样, 只是平 衡位置不同。
单摆*：
L T = 2π ? g
Fx = −mg sin θ ≈ −mg ⋅ θ d 2θ = mat = mβL = mL 2 dt d 2θ g g 2 + = 0 θ ω = dt 2 L L
爱因斯坦名言—思考
发展独立思考和独立判断的一般能力，应当始终放在
首位，而不应当把获得专业知识放在首位。如果一个 人掌握了他的学科的基础理论，并且学会了独立地思 考和工作，他必定会找到他自己的道路，而且比起那 种主要以获得细节知识为其培训内容的人来，他一定 会更好地适应进步和变化。 学习知识要善于思考，思考，再思考，我就是靠这个 方法成为科学家的。 学校的目标应当培养有独立行动和独立思考的个人， 不过他们要把为社会服务看作是自已人生的最高目的。
E = mc
2
E = Ek + E0
相对论的动量能量关系式
E
E =E +p c
2 2 0
2 2
E0
pc
狭义相对论动力学公式小结
质速关系 相对论动量
m= m0 1 − v 2 /c 2
p = mv =
E = mc 2 E0 = m0c 2
m0 v 1 − v /c
2 2
质能关系
E k = mc 2 − m0 c 2
d 2x 2 + ω x=0 2 dt
简谐振动微分方程式
d 2x 2 +ω x = 0 2 dt
x = A exp[i (ωt + φ )]
x = A cos(ωt + φ )
简谐振动的运动学特征:物体的加速度与位移成 正比而方向相反，物体的位移随时间按余弦规律变 化。 速度
dx v= = − Aω sin(ωt + φ ) dt
x′ + ut ′ x = 2 u 1− 2 c ux′ 2 ′ t + c t = 2 u 1− 2 c
正变换
y′ = y z′ = z u t− 2 x c t′ = u2 1− 2 c
狭义相对论时空观
“EINSTEIN火车” 同时的相对性： 事件的同时性因参照系的选择而异。在一个惯性参照系中 同时发生的两个事件在另一个惯性参照系中看是不同时的。
相位差：
= x2 A2 cos(ω t + φ20 )
∆ω = (ω t + φ20 ) − (ω t + φ10 ) = φ20 − φ10
讨论I: (a)当 ∆φ (b)当 ∆φ
= 2kπ 时,
两个振动同相；
= (2k + 1)π 时,两个振动反相； ∆φ
(c)当 π > ∆φ > 0 时,称第二个振动超前第一个振动 ∆φ (d)当 − π < ∆φ < 0 时,称第二个振动落后 理解教材 P89,图5.2,5.3