信号分析与处理 杨西侠 第2章习题答案

2-1 画出下列各时间函数的波形图，注意它们的区别1）x 1(t) = sin Ω t ·u(t )2）x 2(t) = sin[ Ω ( t – t 0 ) ]·u(t )3）x 3(t) = sin Ω t ·u ( t – t 0 )-14）x2(t) = sin[ ( t – t0) ]·u( t – t0)2-2 已知波形图如图2-76所示，试画出经下列各种运算后的波形图（1）x ( t-2 )（2）x ( t+2 )（3）x (2t)（4）x ( t/2 )（5）x (-t)（6）x (-t-2)（7）x ( -t/2-2 )（8）dx/dt2-3 应用脉冲函数的抽样特性，求下列表达式的函数值(1)⎰+∞∞--)(0t t x δ(t) dt = x(-t 0) (2)⎰+∞∞--)(0t t x δ(t) dt = x(t 0) (3)⎰+∞∞--)(0t t δ u(t -20t ) dt = u(2t )(4)⎰+∞∞--)(0t t δ u(t – 2t 0) dt = u(-t 0) (5)()⎰+∞∞--+t etδ(t+2) dt = e 2-2(6)()⎰+∞∞-+t t sin δ(t-6π) dt =6π+21(7) ()()[]⎰+∞∞-Ω---dt t t t e tj 0δδ=()⎰+∞∞-Ω-dt t etj δ–⎰+∞∞-Ω--dt t t e t j )(0δ= 1-0t j eΩ- = 1 – cos Ωt 0 + jsin Ωt 02-4 求下列各函数x 1(t)与x 2(t) 之卷积，x 1(t)* x 2(t) (1) x 1(t) = u(t), x 2(t) = e -at · u(t) ( a>0 ) x 1(t)* x 2(t) =⎰+∞∞---ττττd t ue u a )()( =⎰-ta d e 0ττ = )1(1ate a--x 1(t)* x 2(t) =ττδτδτπd t t u t )]1()1([)]()4[cos(---+-+Ω⎰+∞∞-= cos[Ω(t+1)+4π]u(t+1) – cos[Ω(t-1)+4π]u(t-1)(3) x 1(t) = u(t) – u(t-1) , x 2(t) = u(t) – u(t-2) x 1(t)* x 2(t) =⎰+∞∞-+-----τττττd t u t u u u )]1()()][2()([当 t <0时，x 1(t)* x 2(t) = 0 当 0<t <1时，x 1(t)* x 2(t) =0td τ⎰ = t 当 1<t <2时，x 1(t)* x 2(t) =21d τ⎰= 1当 2<t<3时，x 1(t)* x 2(t) = 12t d τ-⎰=3-t 当 3<t 时，x 1(t)* x 2(t) = 0(4) x 1(t) = u(t-1) , x 2(t) = sin t · u(t) x 1(t)* x 2(t) =⎰+∞∞---ττττd t u u )1( )( )sin(=⎰⎰∞==01-t 01-t 0| cos - d sin 1)d --u(t sin ττττττ= 1- cos(t-1)2-5 已知周期函数x(t)前1/4周期的波形如图2-77所示，根据下列各种情况的要求画出x(t)在一个周期( 0<t<T )的波形(1) x(t)是偶函数，只含有偶次谐波分量f(t) = f(-t), f(t) = f(t ±T/2)(2) x(t)是偶函数，只含有奇次谐波分量 f(t) = f(-t), f(t) = -f(t ±T/2)(3) x(t)是偶函数，含有偶次和奇次谐波分量f(t) = f(-t)(4) x(t)是奇函数，只含有奇次谐波分量f(t) = -f(-t), f(t) = -f(t±T/2)(5) x(t)是奇函数，只含有偶次谐波分量f(t) = -f(-t), f(t) = f(t±T/2)(6) x(t)是奇函数，含有偶次和奇次谐波分量f(t) = -f(-t)2-6 利用信号x(t)的对称性，定性判断图2-78所示各周期信号的傅里叶级数中所含有的频率分量(a)这是一个非奇、非偶、非奇偶谐波函数，且正负半波不对称，所以含有直流、正弦等所有谐波分量，因为去除直流后为奇函数。

(b)这是一个奇函数。

也是一个奇谐波函数，所以只含有基波、奇次正弦谐波分量。

(c)除去直流分量后是奇函数，又f(t) = f(t±T/2)，是偶谐波函数，所以含有直流、偶次正弦谐波。

(d)正负半波对称，偶函数，奇谐波函数，所以只含有基波、奇次余弦分量。

(e)奇函数、正负半波对称，所以只含有正弦分量（基、谐）(f)正负半波对称、奇函数、奇谐波函数，所以只含有基波和奇次正弦谐波。

2-7 试画出x(t) = 3cos Ω1t + 5sin2Ω1t 的复数谱图（幅度谱和相位谱） 解：a 0 = 0, a 1 = 3, b 2 = 5, c 1 = 3, c 2 = 5 |x 1| = |21(a 1-jb 1)| =23, |x 2| = 21c 2 = 25φ1 = arctan (-30) = 0, φ-1= 0φ2 = arctan (-05) = -2π, φ-2= 2π112-8 求图2-8所示对称周期矩形信号的傅里叶级数解：这是一个正负半波对称的奇函数，奇谐函数，所以只含有基波和奇次正弦谐波。

b n =⎰ΩTt x Tdt t n sin )(2=⎰Ω20dt t n sin 22T ET –⎰ΩTTET 2dt t n sin 22 =⎰ΩΩ20]dt )2T-(t n sin -t n sin [T TE = 202T0|)]2([n cos 2n E |t n cos 2TT t n E -Ω+Ω-ππ= )n cos -(1 cos 2n E1)- n (cos 2ππππ+-n Eπn E2 ，n 为奇数，n = 1，3，5 ……= 1)- n (cos =-ππn E0 ，n 为偶数，n = 2，4，6 ……∴ x(t) = ] t 5sin 51t 3 sin 31 t sin [ 2⋅⋅⋅+Ω+Ω+ΩπE指数形式的傅里叶级数0 , n = 0, ±2, ±4 …… X n =21(a n -jb n ) = πn jE-, n = ±1, ±3, ±5 …… ∴ x(t) = a 0 + ∑∞=Ω-Ω+0)(n tjn nt jn n e X e X 2-9 求图2-9所示周期信号的傅里叶级数解：此函数是一个偶函数 x(t) = x(-t) ∴ 其傅里叶级数含有直流分量和余弦分量a o = ⎰40 4 1Tdt t T E T = 8E + ⎰434 E 1T T dt T + ⎰T T dt T 43 )T t -4E(1 1 =8E + 2E + E –)169(2222T T TE -= 46E –43E = 43Ea n = ⎰ΩTdt t T 0 n cos x(t) 2= ⎰ΩΩ+T dt T0t jn -t jn )e (e x(t) 1 =T 1 = )2cos 1()(42ππn n E --, n = 1, 2, …∴ x(t) = 43E – ]... t 3 cos 91 t cos241 t cos [42+Ω+Ω+ΩπE2-10 若已知F [x(t)] = X(Ω)利用傅里叶变换的性质确定下列信号的傅里叶变换(1) x(2t –5) (2) x(1–t) (3) x(t) · cos t解：(1) 由时移特性和尺度变换特性可得F [x( 2t - 5)] =ΩΩ25j -e )2( X 21(2) 由时移特性和尺度变换特性F [x(at)] =)a( X ||1ΩaF [x(t-t 0)] = 0t-j e )( X ΩΩF [x(1–t)] = ΩΩ-j e )(- X(3) 由欧拉公式和频移特性cos t = )e e ( 21jt -j +t F [tj 0e (t)x Ω±] = X(Ω Ω0)Ω0 = 1F [x(t) · cos t] =21[ X(Ω–1) + X(Ω+1)] 2-11已知升余弦脉冲x(t) = ) 2cos 1 (2t E π+)( ττ<<-t 求其傅里叶变换 解：x(t) = ) 2cos 1 (2tE π+[ u( t +τ)–u( t –τ)]求微分)(t x ' = )]-u(t - ) u(t [ tsin 2τττπτπ+-E)(t x '' = )]-u(t - ) u(t [ t cos 222τττπτπ+-E)(t x '''= )]-u(t - ) u(t [ t sin 233τττπτπ+E + )]-(t - ) (t [ 222τδτδτπ+E= (t) 22x 'τπ+ )]-(t - ) (t [ 222τδτδτπ+E 由微分特性可得：( j Ω)3 X(Ω) = 22)](2E )X( )[-(j τπττΩ-Ω-+ΩΩj j e e∴ X(Ω) = )(2sin 22222Ω-ΩΩτπτπE 2-12已知一信号如图2-81所示，求其傅里叶变换解：(1) 由卷积定理求x(t) = )(2t G τ * )(2t G τ)(2t G τ =)]4()4([2τττ--+t u t u E)(2ΩτG =)4(22τττΩSa E 由时域卷积定理X(Ω) = )(2ΩτG )(2ΩτG =)4(22ττΩSa E(2) 由微分特性求2τE，–2τ< t < 0)(t x ' = – 2τE，0 < t < 2τ0 ，| t | > 2τ)(t x '' =2τE[δ( t +2τ) +δ( t –2τ)–2δ(t)] 由微分特性 ( j Ω)2X(Ω) = )22cos 2(2)2(2E22-Ω=--Ω-ΩτττττEeej jX(Ω) = )4(22ττΩSa E 2-13已知矩形脉冲的傅里叶变换，利用时移特性求图2-82所示信号的傅里叶变换，并大致画出幅度谱解：)(t G τ = E [ u( t + 2τ)–u( t –2τ)] )(ΩτG = )2( ττΩSa Ex(t) = τG ( t +2τ)–τG ( t –2τ)由时移特性和线性性X(Ω) = )2( ττΩSa E τ2Ωj e –)2( ττΩSa E τ2Ω-j e= )2( ττΩSa E je e jj 222Ω-Ω-τ·2j = 2j )2(ττΩSa E 2sin τΩ2-14已知三角脉冲x 1(t)的傅里叶变换为X 1(Ω) = )4(22ττΩSa E 试利用有关性质和定理求x 2(t) = x 1(t –2τ) cos Ω0t 的傅里叶变换解：由时移性质和频域卷积定理可解得此题 由时移性质F [x 1 (t –2τ)] = 2j -1e )( X τΩΩ由频移特性和频域卷积定理可知： F [x(t )cos Ω0t]=21[X(Ω–Ω0)+ X(Ω+Ω0)]X 2 (Ω) = F [x 1 (t –2)cos Ω0t ]= 21[ X 1 (Ω–Ω0) τ20Ω-Ω-j e + X(Ω+Ω0) τ20Ω+Ω-j e ]= 4τE [Sa2ττ2004)(Ω-Ω-Ω-Ωj e + Sa2ττ2004)(Ω+Ω-Ω+Ωje ]2-15求图2-82所示X(Ω)的傅里叶逆变换x(t)解：a) X(Ω) = | X(Ω)| )(Ω-ϕj e=0)(2t j eG ΩΩΩ由定义：x(t) =⎰+∞∞-ΩΩΩd e X t j )(21π= ⎰ΩΩ-ΩΩΩ0021d e Ae t j t j π= ⎰ΩΩ-+ΩΩ00)(2d e A t t j π= 000|)(2)(0ΩΩ-+Ω+t t j e t t j π=)](sin[)(000t t t t A+Ω+π=)]([000t t Sa A +ΩΩπb) ⎰+∞∞-ΩΩΩ=d e X t x t j )(21)(π=⎰Ω-Ω-Ω02021d eAe tj jππ+⎰ΩΩΩ0221d e Ae t j jππ=⎰Ω--ΩΩ0)2(02d eA t j ππ+⎰Ω+ΩΩ0)2(2d eAt j ππ=0)2(0|2Ω--ΩΩππt j e j A +00)2(|2Ω+ΩΩππt j e j A=)2(020)2(2ππππ+Ω-+Ω-t j e t j Aj A–)2(020)2(2ππππ+Ω+Ω+t j e t j Aj A=)]2sin[()2(00πππ+Ω+Ωt t A=]2[0ππ+Ωt Sa A2-16确定下列信号的最低抽样频率与抽样间隔(1) Sa(100t) (2) Sa 2(100t)(3) Sa(100t)+ Sa 2(100t) 解：(1)由对偶性质可知：Sa(100t)的频谱是个矩形脉冲，其脉宽为[-100,100] 即Ωm = 100 =2πf m ∴ f m =π50由抽样定理 f s ≥ 2f m ∴ f s ≥ 2×π50=π100T s ≤100π(2) 由对偶性质可知Sa(100t)的频谱是个矩形脉冲，其脉宽为[-100,100] 又由频域卷积定理可知Sa 2(100t)的频谱是脉宽为[–200,–200]的三角形脉冲 即Ωm = 200 =2πf m∴ f m =π100由抽样定理 f s ≥ 2f m ∴ f s ≥ 2×π100=π200T s ≤200π (3) 由线性性质可知Sa(100t)+ Sa 2(100t) 的频谱是Sa(100t)和Sa 2(100t)之和 ∴其Ωm =2πf m = 200 即 f m =π100则f s ≥ 2f m = π200T s ≤200π2-17已知人的脑电波频率范围为0～45Hz ，对其作数字处理时，可以使用的最大抽样周期T 是多少？若以T = 5ms 抽样，要使抽样信号通过一理想低通滤波器后，能不是真的回复原信号，问理想低通滤波器的截至频率f c 应满足什么条件？解：由已知条件，可知f m = 45Hz 由抽样定理f s ≥ 2f m = 90Hz ∴ T ≤901T = 0.005 ∴ f s = T 1 = 51000= 200由抽样定理和低通滤波可知 45 ≤ f c ≤ 200-45 = 155 即45 ≤ f c ≤ 1552-18若F [a(t)] = X(Ω), 如图2-85所示，当抽样脉冲p(t)为下列信号时，试分别求抽样后的抽样信号的频谱X s (Ω), 并画出相应的频谱图(1) p(t) = cos t(2) p(t) = cos2 t (3) p(t) = ∑+∞-∞=-n n t )2(πδ (4) p(t) =∑+∞-∞=-n n t )(πδ图 2-85解：由抽样特性可知 x s = x(t) p(t) 由频域卷积定理可知X s (Ω) = )(*)(21ΩΩP X π(1) P(Ω) = [δ(Ω+1)+δ(Ω-1)] ∴ X s (Ω) = )(*)(21ΩΩP X π= )]1()1([21-Ω++ΩX X(2) P(Ω) = [δ(Ω+2)+δ(Ω-2)] ∴ X s (Ω) =)(*)(21ΩΩP X π= )]2()2([21-Ω++ΩX X(3) P(Ω) =∑+∞-∞=-Ωn n )(22δππ=∑+∞-∞=-Ωn n )(δ∴ X s (Ω) = )(*)(21ΩΩP X π=∑+∞-∞=-Ωn n X )(21π(4) P(Ω) = ∑+∞-∞=-Ωn n )2(2δππ= ∑+∞-∞=-Ωn n )2(2δ∴ X s (Ω) =)(*)(21ΩΩP X π=∑+∞-∞=-Ωn n X )2(1πX p (1) = 2, X p (2) = 0, X p (3) = 2。