3.4基本不等式(教、学案)
3.4 基本不等式(教案)
3．4基本不等式（第一课时）来宾高中数学组：卢红兰教学目标一、知识目标1、探索并了解基本不等式的证明过程；2、了解基本不等式的几何背景；3、会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。
二、能力目标通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法。
三、情感目标通过对基本不等式成立条件的分析，培养分析问题的能力及严谨的数学态度。
教学重、难点重点：1、数形结合的思想理解基本不等式；2、基本不等式成立的条件及应用。
难点：基本不等式成立的条件及应用。
教学过程一、创设情境，引入课题探究一：如图是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会会标，会标是根据我国古代数学家赵爽的“弦图”设计；将右图中的“风车”抽象成下图，比较4个直角三角形的面积与大正方形的面积，你能找到怎样的不等关系？引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
设直角三角形的两条直角边长为a,b 我们考虑4个直角三角形的面积的和是ab S 21=，大正方形的面积为222b a S +=。
由图可知12S S >，即ab b a 222>+．思考一：1、能否取到等号？什么时候取等号？（当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=）2、以上结论能否推广到任意实数a ,b ?总结：重要不等式：一般地，对于任意实数 a 、b ，我们有222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立。
你能给出证明吗？思考二：如果用a ,b 去替换ab b a 222≥+中的a ,b 能得到什么结论？ 引导：为什么可以替换？a ,b 要满足什么条件？结论：a b +≥)0,0(>>b a ，当且仅当b a =时取等号. 你能给出证明吗？二、数形结合，深化认识展示课题内容:重要不等式．．．．．：若,a b R ∈，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立） 基本不等式．．．．．：若,0a b >，则2ba ab +≤（当且仅当b a =时，等号成立）此环节学生提出疑惑，小组解答三、辨析质疑（小组活动）例1. 若0x >，当x 取什么值时，1x x+的值最小？最小值是多少？练1：把36写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？小结1：当ab 为定值P 时，a b +有最什么值？此时a 、b 应满足什么条件？变式1：若0x <，1x x+有最值吗？如果有，请你求出最值. 变式2：你会求1x x +的最值吗？试一试.例2. 若02x <<，当x 取什么值？(2)x x -值最大？最小值是多少？练2：把18写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最小？小结2：当a b + 为定值S 时，ab 有最什么值？此时a 、b 应满足什么条件？四、小结：1、222a b ab +≥当且仅当a b =时“=”成立2、2a b +≥0,0a b >>）当且仅当a b =时“=”成立 思想方法：1、数形结合思想2、换元思想五、作业设计1、基本作业：（1）判断下列推理是否正确：① 函数22(0)y x x x=+>的最小值是（ ）② 函数y =的最大值是5. （ ）③ 函数1sin sin y x x=+的最小值是2. （ ）（2）完成同步课时作业2、拓展作业：到阅览室或网上查找基本不等式的几何解释，整理并相互交流．六、板书设计3．4基本不等式1、重要不等式：若,a b R ∈，则ab b a 222≥+（当且仅当b a =时，等号成立）2、基本不等式：若,0a b >，则2b a ab +≤（当且仅当b a =时，等号成立） 思想方法：1、数形结合思想2、换元思想。
新泰一中优质课学案-----基本不等式
§3.42a b+编写：高振宁 审核：刘守强教师寄语：横看成岭侧成峰，远近高低各不同预习目标：通过预习课本，学会推导基本不等式，能够通过几何图形理解基本不等式，感受数形结合的巨大作用；关键是掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个正数相等； 以及利用基本不等式的应用求最值。
预习重点：应用数形结合的思想，并从不同角度探索和理解基本不等式，学会利用基本不等式。
预习训练：1．已知y x ,都是正数，如果16=xy ，那么和y x +有最 值为 ；当且仅当 时等号成立。
2. 已知y x ,都是正数，如果6=+y x ，那么xy 有最 值为 ；当且仅当 时等号成立。
新课讲述：一、课题导入1、下图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。
问题探索：问题1：在正方形ABCD 中,如图所示,正方形的面积为S = ；问题2：图中四个直角三角形是全等的三角形，它们的面积和是 S ’= ； 问题3：S 与S ’有什么样的关系？ 何时等号成立？二、新课研讨1.基本不等式的得出思考：如果用去替换222a b ab +≥中的a ,b 能得到什么结论？a ,b 要满足那些条件？2.基本不等式的证明：（1）作差法（2）分析法：要证: 0,0)2a ba b +≥>> ①只要证 a b +≥ ②要证②,只要证 a b +- 0≥ ③要证③,只要证 ( - )2 0≥ ④显然, ④是成立的,当且仅当a b =时, ④的等号成立。
知识反思：①、作差法与分析法的区别在那里？②、何种情况最好利用分析法，利用分析法的注意事项？3.基本不等式的几何意义如图所示：AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点，AC =a ,BC =b 。
过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD 。
尝试利用这个图形得2a b+≤的几何解释。
高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式：ab≤a+b2学案(含解析)新人教A版必修5-新人教A
3．4 基本不等式：ab≤a＋b 2[目标] 1.了解基本不等式的代数式和几何背景；2.会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式；3.会用基本不等式求最值和解决简单的实际问题．[重点] 基本不等式的简单应用．[难点] 基本不等式的理解与应用．知识点一 两个不等式[填一填]1．重要不等式：对于任意实数a ，b ，有a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 2．基本不等式：如果a ，b ∈R ＋，那么ab ≤a ＋b2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．其中a ＋b2为a ，b 的算术平均数，ab 为a ，b 的几何平均数．所以两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．[答一答]1．不等式a 2＋b 2≥2ab 和基本不等式ab ≤a ＋b2成立的条件有什么不同？提示：不等式a 2＋b 2≥2ab对任意实数a ，b 都成立；ab ≤a ＋b2中要求a ，b 都是正实数．知识点二 基本不等式与最值[填一填]已知x ，y 都是正数，(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值．(2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值．[答一答]2．利用基本不等式求最值时，我们应注意哪些问题？提示：(1)在利用基本不等式具体求最值时，必须满足三个条件：①各项均为正数；②含变数的各项的和(或积)必须是常数；③当含变数的各项均相等时取得最值．三个条件可简记为：一正、二定、三相等．这三个条件极易遗漏而导致解题失误，应引起足够的重视．(2)记忆口诀：和定积最大，积定和最小．3．在多次使用基本不等式求最值时，我们应注意什么问题？提示：在连续多次应用基本不等式时，我们要注意各次应用时不等式取等号的条件是否一致，若不能同时取等号，则需换用其他方法求出最值．4．两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？提示：不一定．应用基本不等式求最值时还要求等号能取到．如sin x 与4sin x ，x ∈(0，π2)，两个都是正数，乘积为定值．但是由0<sin x <1，且sin x ＋4sin x 在(0,1)上为减函数，所以sin x ＋4sin x >1＋41＝5，等号不成立，取不到最小值．类型一 利用基本不等式证明不等式[例1] (1)已知a ，b ，c 为不全相等的正实数，求证：a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca . (2)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.[分析] (1)左边是和式，右边是带根号的积式之和，所以用基本不等式，将和变积，并证得不等式．(2)不等式右边数字为8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式，可得三个“2”连乘，又1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a，可由此变形入手．[证明] (1)∵a >0，b >0，c >0，∴a ＋b ≥2ab >0，b ＋c ≥2bc >0，c ＋a ≥2ca >0. ∴2(a ＋b ＋c )≥2(ab ＋bc ＋ca )，即a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca .由于a ，b ，c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a ＋b ＋c >ab ＋bc ＋ca .(2)∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ≥2bc a ， 同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c.由上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1 ≥2bc a ·2ac b ·2ab c＝8.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．1.利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果.2.注意多次运用基本不等式时等号能否取到.3.解题时要注意技巧，当不能直接利用不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式.[变式训练1] 已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明：因为a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1， 所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号． 类型二 利用基本不等式求最值[例2] (1)若x >0，求f (x )＝4x ＋9x 的最小值；(2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值；(4)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．[分析] 利用基本不等式求最值，当积或和不是定值时，通过变形使其和或积为定值，再利用基本不等式求解．[解] (1)∵x >0，∴由基本不等式得 f (x )＝4x ＋9x≥24x ·9x＝236＝12， 当且仅当4x ＝9x，即x ＝32时，f (x )＝4x ＋9x 取最小值12.(2)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )] ≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(3－2x )22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取“＝”．∴y 的最大值为92.(3)∵x >2，∴x －2>0，∴x ＋4x －2＝(x －2)＋4x －2＋2≥2(x －2)·4x －2＋2＝6.当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，x ＋4x －2取最小值6.(4)∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y ≥10＋29＝16.当且仅当y x ＝9x y 且1x ＋9y ＝1时等号成立．即x ＝4，y ＝12时等号成立．∴当x ＝4，y ＝12时，x ＋y 有最小值16.求最值问题第一步就是“找”定值，观察、分析、构造定值是问题的突破口.找到定值后还要看“＝”是否成立，不管题目是否要求写出符号成立的条件，都要验证“＝”是否成立.[变式训练2] (1)已知lg a ＋lg b ＝2，求a ＋b 的最小值； (2)已知x >0，y >0，且2x ＋3y ＝6，求xy 的最大值． 解：(1)由lg a ＋lg b ＝2可得lg ab ＝2， 即ab ＝100，且a >0，b >0，因此由基本不等式可得a ＋b ≥2ab ＝2100＝20， 当且仅当a ＝b ＝10时，a ＋b 取到最小值20.(2)∵x >0，y >0,2x ＋3y ＝6， ∴xy ＝16(2x ·3y )≤16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16·⎝⎛⎭⎫622＝32， 当且仅当2x ＝3y ，且2x ＋3y ＝6时等号成立， 即x ＝32，y ＝1时，xy 取到最大值32.类型三 基本不等式的实际应用[例3] 特殊运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按规定限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升6元，而送货卡车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x2360升，司机的工资是每小时140元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式．(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． [解] (1)设所用时间为t ＝130x(小时)，y ＝130x ×6×⎝⎛⎭⎫2＋x 2360＋140×130x，x ∈[50,100]．所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×152x ＋13x 6，x ∈[50,100]．(2)y ＝130×152x ＋13x 6≥525703，当且仅当130×152x ＝13x6，即x ＝4570∈[50,100]时，等号成立．故当x ＝4570千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为525703元．解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出答案.[变式训练3] 要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是160(单位：元)．解析：设该长方体容器的长为x m ，则宽为4x m ．又设该容器的总造价为y 元，则y ＝20×4＋2⎝⎛⎭⎫x ＋4x ×10，即y ＝80＋20⎝⎛⎭⎫x ＋4x (x >0)．因为x ＋4x≥2x ·4x＝4⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时取“＝”，所以y min ＝80＋20×4＝160(元)．1．给出下列条件：①ab >0；②ab <0；③a >0，b >0；④a <0，b <0，其中能使b a ＋ab ≥2成立的条件有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：当b a ，a b 均为正数时，b a ＋ab ≥2，故只须a 、b 同号即可．所以①、③、④均可以．2．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( D ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C ．1a ＋1b >2abD ．b a ＋ab≥2解析：∵a ，b ∈R ，且ab >0， ∴b a >0，ab>0，∴b a ＋a b ≥2b a ×a b＝2. 当且仅当b a ＝ab，即a ＝b 时取等号．3．设a ，b 为实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值为( B ) A ．6 B ．4 2 C ．2 2 D ．8解析：2a ＋2b ≥22a ＋b ＝223＝4 2.4．已知0<x <1，则当x ＝12时，x (3－3x )取最大值为34.解析：3x (1－x )≤3(x ＋1－x 2)2＝34，当且仅当x ＝1－x 即x ＝12时等号成立．5．已知a >0，b >0，c >0，求证： (1)b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋b c ≥6；(2)b ＋c a ·c ＋a b ·a ＋b c≥8.证明：(1)b ＋c a ＋a ＋c b ＋a ＋b c ＝b a ＋c a ＋c b ＋a b ＋a c ＋b c ＝(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c )≥2＋2＋2＝6(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)．(2)b ＋c a ·c ＋a b ·a ＋b c ≥2bc a ·2ac b ·2abc＝8abc abc＝8(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)．——本课须掌握的两大问题1．基本不等式成立的条件：a >0且b >0；其中等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号，即若a ≠b 时，则ab ≠a ＋b 2，即只能有ab <a ＋b2. 2．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即(1)一正：符合基本不等式a ＋b2≥ab 成立的前提条件，a >0，b >0；(2)二定：化不等式的一边为定值；(3)三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立． 以上三点缺一不可．若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式．。
基本不等式学案
3.4 基本不等式学案预习案（限时20分钟） 学习目标：1.探索、理解不等式的证明过程，会应用不等式求某些函数的最值；2.应用不等式解决一些简单的实际问题. 学习重点，难点： 利用基本不等式求最值.预习指导：预习课本P87-911. 重要不等式：对于任意实数,a b ，有22____2a b a b +，当且仅当________时，等号成立.2. 基本不等式：设0,0a b >>，则_____2a ba b +，当且仅当____时，不等式取等号.3. 小组合作学习：（1）两个结论的形成过程；（2）对于基本不等式，还可以变形为哪些形式？ 预习检测1.已知x ＞0，则y ＝x +16x 的最小值为（ ） A ．4 B ．16 C ．8 D ．102.已知0x >，当81x x +取值最小时x 为（ ） A ． 81 B ． 9 C ． 3 D ．163.若log 2x +log 2y ＝1，则2x +y 的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．2 D ．44.已知x ≠0，当x =_____时，x 2＋281x 的值最小，最小值是 .5.已知3x >，当x =_____时，1()3f x x x =+-的最小值为 _______ .6.已知x ＞0，y ＞0，且2x +3y ＝1，则11x y +的最小值为 ．巩固练习1.若mn ＝1，其中m ＞0，则m +3n 的最小值等于（） A ．22 B ．2 C ．3 D ．522.当x ＞4时，不等式x +44x -≥m 恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≤8 B ．m ＜8 C ．m ≥8 D ．m ＞83．若a ，b 都是正数，且a +b ＝1，则（a +1）（b +1）的最大值为（ ） A ．32 B ．2 C ．94 D ．44..若0x <，则9()4f x x x =+的最_____值为__________.5.已知实数x ＞0，y ＞0，且x +2y ＝xy ，则x +y 的最小值是 ．6.已知直线mx+ny﹣3＝0经过函数g（x）＝log a x+1（a＞0且a≠1）的定点，其中mn＞0，则11m n+的最小值为．7.已知x，y∈R*，且231 x y+=．（1）求xy的最小值；（2）求4x+6y的最小值．8.如图，要设计一张矩形广告牌，该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为45m2，四周空白的宽度为0.5m，两栏之间的中缝空白的宽度为0.25m，设广告牌的高为xm．（1）求广告牌的面积关于x的函数S（x）；（2）求广告牌的面积的最小值．。
3.4 基本不等式ab≤a+b2 (二)
利用基本不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，
这三个前提条件概括为“一正、二定、三相等”．
3．下列函数中，最小值为4的函数是()
A．y＝x＋B．y＝sinx＋(0<x<π)
C．y＝ex＋4e－xD．y＝log3x＋logx81
4．已知t>0，则函数y＝的最小值为________．
鸡西市第十九中学学案
2015年（）月（）日班级姓名
3.4基本不等式≤(二)
学习
目标
1．熟练掌握基本不等式及变形的应用．
2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．
重点
难点
1．要善于活用基本不等式，也就是不仅要善于“正用”、“逆用”，更要善于“变形用”．
2．利用基本不等式求函ห้องสมุดไป่ตู้的最大值或最小值的基本技巧是“拼凑”，即要求和的最小值，必须拼凑两个正数，使它们的积为定值；要求积的最大值，必须拼凑两个正数，使它们的和为定值．
【归纳】
1．设x，y为正实数
(1)若x＋y＝s(和s为定值)，则当时，积xy有最值为.
(2)若xy＝p(积p为定值)，则当时，和x＋y有最值为.
2．利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足：
(1)x，y必须是；
(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为；
求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为．
例1已知x≥，则f(x)＝有()
A．最大值B．最小值C．最大值1D．最小值1
小结本题看似无法使用基本不等式，但对函数式进行分离，便可创造出使用基本不等式的条件．
训练1已知a>3，求a＋的最小值．
例2已知正数x，y满足＋＝1，求x＋2y的最小值．
基本不等式学案
【例4】某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800立方米，深3 米，如果池底每平方米造价为150元，池壁每平方米造价为120元，怎样设计造价 最低?最低总造价是多少?
五、课堂练习： 1、 在下列函数中， 最小值是 2 的是 x 5 A. y ( x R, 且x 0) 5 x C. y 3 x 3 x ( x R )
ab ( a 0,b 0 )。 2
时,
2、概念扩展： 回忆数列中的等差中项和等比中项的概念。若两个数 a,b , 且 a 0,b 0 ,
ab 是 a,b 的 2 ab 是叫做 a,b 的
，叫做 a,b 的算术平均数
，叫做 a,b 的几何平均数， 由基本不等式可得： a,b 的等差中项 ，特 a,b 的等比中项（ , ） 别的，当 a b 时， a,b 的等差中项等于 a,b 的等比中项。 3、总结： a2 b2 a 2 b 2 2ab ab ， a, b R ，当且仅当 a b 时，等号成立； 2 ab ab 2 ab ab ( ) ， a, b R * ，当且仅当 a b 时，等号成立。 2 2
责任编辑： 刘强
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四、典型例题： 1、基本不等式成立的条件 【例 1】不等式 m 2 1 2m 中等号成立的条件是________。 2、基本不等式求最值 【例 2】已知 0 x 1 ，则 x(1 x) 的最大值是________。 3、基本不等式的实际应用 【例 3】 （1）用篱笆围一个面积为 100 m 2 的矩形菜园，问这个矩形的长和 宽各是多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？ （2）一段长为 36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长和 宽各是多少时，菜园的面积最大，最大的面积是多少？
《基本不等式》教案
普安县第五届中小学优质课评选授课教案【课题】3．4 基本不等式（1）【执教人】吴应艳【上课时间】2013、12、【教学方法】探究学习、学案导学【教学手段】投影仪、彩笔【课型】新授课【总课时数】1课时【教学内容分析】本节课是必修5第3章第4节的内容，内容安排在实数的性质与不等式性质之后，所以对于不等式的证明不存在太大难度。
本节课内容的应用又十分广泛，因此引导学生学习好本节内容显得十分重要。
【学生学习情况分析】授课的班级学生程度不太高，基础差不多，学习的知识结构较为合理。
因此设计时也注重对探究能力的培养，同时也注意对基本不等式的应用教学。
【教学目标】知识目标：1、使学生了解基本不等式及其证明；2、让学生感知与基本不等式相近的一些不等式的证明与几何背景。
能力目标：1、通过对基本不等式的探究，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；2、让学生初步了解用分析法证明不等式，培养学生分析问题能力与逻辑思维能力情感目标：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好的探究学习习惯及勇于探索精神及灌输问题教学法。
【教学重点与难点】重点：应用数形结合的思想理解基本不等式并从不同角度探索不等式的证明过程，并能说明基本不等式的意义难点：利用基本不等式推导一些与其相似的不等式 一、教学过程 (一)情景设置【探究】右图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
现将图中的“风车”抽象成下图，这个会标中含有怎样的几何图形？你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？问题1:我们把“风车”造型抽象成图一.在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形.如果设直角三角形的两直角边长为ａ、ｂ，你能用ａ、ｂ表示哪些图形的面积，这些面积有什么关系？那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？4个直角三角形的面积和是多少呢？（由学生回答，培养学生独立思考问题的能力）（22a b +，22a b +、2ab ）问题2：比较大正方形的面积与4个直角三角形的面积，你能找到怎样的不等关系？（根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可容易得到一个不等式， >(a ≠b)） 图一22ba +ab 2问题3：什么时候这两部分面积相等呢？（让学生直接回答，老师黑板板演，或借助多媒体投影，提高学生的数学表达和交流能力。
2018版高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式：√ab≤(a+b)2(一)学案 新人教A版必
3.4 基本不等式：√ab ≤（a+b ）2（一）[学习目标] 1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式．知识点一 重要不等式及证明如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“＝”)．请证明此结论． 证明 ∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取“＝”．知识点二 基本不等式1．内容： ab ≤a ＋b 2，其中a ＞0，b ＞0，当且仅当a ＝b 时，等号成立．2．证明：∵a ＋b －2ab ＝(a )2＋(b )2－2a ·b＝(a －b )2≥0.∴a ＋b ≥2ab . ∴ab ≤a ＋b 2，当且仅当a ＝b 时，等号成立．3．两种理解：(1)算术平均数与几何平均数：设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．(2)几何意义：如图所示，以长度为a ＋b 的线段AB 为直径作圆，在直径AB 上取一点C ，使AC ＝a ，CB ＝b ，过点C 作垂直于直径AB 的弦DD ′，连接AD ，DB ，易证Rt △ACD ∽ Rt △DCB ，则CD 2＝CA ·CB ，即CD ＝ab .这个圆的半径为a ＋b2，显然它大于或等于CD ，即a ＋b2≥ab ，当且仅当点C 与圆心O 重合，即a ＝b 时，等号成立．知识点三 基本不等式的常用推论(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )； (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)当ab >0时，b a ＋a b ≥2；当ab <0时，b a ＋a b≤－2；(4)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca (a ，b ，c ∈R )．题型一 利用基本不等式比较大小例1 设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a <b <ab <a ＋b 2B ．a <ab <a ＋b 2<bC ．a <ab <b <a ＋b 2 D.ab <a <a ＋b 2<b答案 B 解析 方法一 ∵0<a <b ，∴a <a ＋b 2<b ，排除A ，C 两项．又ab －a ＝a (b －a )>0，即ab >a ，排除D 项，故选B. 方法二 取a ＝2，b ＝8，则ab ＝4，a ＋b 2＝5，所以a ＜ab ＜a ＋b 2＜b .反思与感悟 若给定的代数式中既有“和式”又有“积式”，这便是应用基本不等式的题眼，可考虑是否利用基本不等式解决；在应用基本不等式时一定要注意是否满足条件，即a ＞0，b ＞0，同时注意能否取等号．跟踪训练1 若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a 2＋b 2＞2abB ．a ＋b ≥2abC.1a ＋1b ＞2abD.b a ＋a b≥2 答案 D解析 对于A ，应该为a 2＋b 2≥2ab ，漏等号，故A 错误；对于B ，当a ＜0，b ＜0时，ab ＞0，但a ＋b ＜2ab ，故B 不成立；对于C ，当a ＜0，b ＜0时，ab ＞0，故C 不成立；对于D ，∵ab ＞0，则b a ＞0且a b ＞0，∴b a ＋a b≥2b a ·a b ＝2.当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b 时，取“＝”，故D 正确．题型二 用基本不等式证明不等式例2 已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：1a ＋1b ＋1c≥9. 证明 1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋(b a ＋a b )＋(c a ＋a c )＋(c b ＋b c)≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立． 反思与感悟 在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．跟踪训练2 已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .证明 (1－a )(1－b )(1－c )＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )≥2bc ·2ac ·2ab ＝8abc .当且仅当b ＝c ＝a ＝13时，等号成立．1．若0＜a ＜1，0＜b ＜1，且a ≠b ，则a ＋b ，2ab ，2ab ，a 2＋b 2中最大的一个是( )A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b答案 D解析 ∵0＜a ＜1，0＜b ＜1，a ≠b ，∴a ＋b ＞2ab ，a 2＋b 2＞2ab .∴四个数中最大的应从a ＋b ，a 2＋b 2中选择．而a 2＋b 2－(a ＋b )＝a (a －1)＋b (b －1)．又∵0＜a ＜1，0＜b ＜1，∴a (a －1)＜0，b (b －1)＜0，∴a 2＋b 2－(a ＋b )＜0，即a 2＋b 2＜a ＋b ，∴a ＋b 最大．故选D.2．设a ，b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b的最小值是( )A ．6B ．4 2C ．2 6D ．8答案 B解析 ∵a ＋b ＝3，∴2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b ＝28＝4 2. 3．不等式a 2＋4≥4a 中，等号成立的条件为________．答案 a ＝2解析 令a 2＋4＝4a ，则a 2－4a ＋4＝0，∴a ＝2.4．若a ＞b ＞1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg a ＋b 2，则它们的大小关系是________．答案 R ＞Q ＞P解析 ∵a ＞b ＞1，∴lg a ＞lg b ＞0，∴Q ＞P ，又Q ＝12(lg a ＋lg b )＝12lg ab ＝lg ab ＜lg a ＋b 2＝R ， ∴R ＞Q ＞P .1．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b 2≥ab 前者a ，b ∈R ，后者a ，b ∈R ＋；另外它们都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时，a ＋b 2＝ab ；另一方面：当a ＋b 2＝ab 时，也有a ＝b .2．在应用基本不等式比较大小或证明不等式时，要熟练运用基本不等式的几类变形，同时注意等号成立的条件．。
3..4基本不等式
3．4．1基本不等式<1）【教学目标】1学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式地几何意义，并掌握定理中地不等号“≥”取等号地条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节地学习，体会数学来源于生活，提高学习数学地兴趣【教学重点】应用数形结合地思想理解不等式，并从不同角度探索不等式地证明过程；【教学难点】基本不等式等号成立条件【教学过程】1.课题导入基本不等式地几何背景：探究：如图是在北京召开地第24界国际数学家大会地会标，会标是根据中国古代数学家赵爽地弦图设计地，颜色地明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客.2 合作探究<1）问题 1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？<教师引导学生从面积地关系去找相等关系或不等关.系）提问2:我们把“风车”造型抽象成图在正方形ABCD中有4个全等地直角三角形.设直角三角形地长为、，那么正方形地边长为多少？面积为多少呢？生答：，提问3：那4个直角三角形地面积和呢？生答：提问4：好，根据观察4个直角三角形地面积和正方形地面积，我们可得容易得到一个不等式，.什么时候这两部分面积相等呢？生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即时，正方形EFGH变成一个点，这时有结论：<板书）一般地，对于任意实数、，我们有，当且仅当时，等号成立.提问5：你能给出它地证明吗？(学生尝试证明后口答,老师板书>证明:所以注意强调当且仅当时,(2>特别地,如果,也可写成,引导学生利用不等式地性质推导(板书,请学生上台板演>:要证:①即证②要证②,只要证③要证③,只要证 (->④显然, ④是成立地,当且仅当时, ④地等号成立(3>观察图形3.4-3,得到不等式①地几何解释两个正数地算术平均数不小于它们地几何平均数探究：课本中地“探究”在右图中，AB是圆地直径，点C是AB上地一点，AC=a,BC=b.过点C 作垂直于AB地弦DE，连接AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式地几何解释吗？易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB即ＣD＝.这个圆地半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”评述：1.如果把看作是正数a、b地等差中项，看作是正数a、b地等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数地等差中项不小于它们地等比中项.即学即练:1若且，则下列四个数中最大地是< ）Ａ．Ｂ．Ｃ．2abＤ．a2 a,b是正数，则三个数地大小顺序是<）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案 B C例题分析：(1>＝2即≥2.(2>x＋y≥2＞0 x2＋y2≥2＞0 x3＋y3≥2＞0∴<x＋y）<x2＋y2）<x3＋y3）≥2·2·2＝８x3y3即<x＋y）<x2＋y2）<x3＋y3）≥８x3y3.变式训练：Ｘ＞0，当Ｘ取何值时Ｘ+有最小值，最小值是多少解读：因为Ｘ＞0，Ｘ+≥2=2当且仅当Ｘ=时即x=1时有最小值2点评：此题恰好符合基本不等式地用法，1正2定3相等可以具体解释每一项地意思.当堂检测：1.下列叙述中正确地是< ）.<A）两个数地算术平均数不小于它们地几何平均数<B）两个不等正数地算术平均数大于它们地几何平均数<C）若两个数地和为常数，则它们地积有最大值<D）若两个数地积为常数，则它们地和有最小值12下面给出地解答中，正确地是< ）.<A）y＝x＋错误!≥2错误!＝2，∴y有最小值2<B）y＝|sin x|＋错误!≥2错误!＝4，∴y有最小值4<C）y＝x<－2x＋3）≤错误!＝错误!，又由x＝－2x＋3得x＝1，∴当x＝1时，y有最大值错误!＝1<D）y＝3－错误!－错误!≤3－2错误!＝－3，y有最大值－33.已知x＞0，则x＋错误!＋3地最小值为< ）.<A）4 <B）7 <C）8 <D）114.设函数f<x）＝2x＋错误!－1<x＜0），则f<x）< ）.<A）有最大值<B）有最小值 <C）是增函数 <D）是减函数1 B 2.D 3 B 4 .A基本不等式第一课时课前预习学案一、预习目标不等号“≥”取等号地条件是：当且仅当这两个数相等；学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式地几何意义，并掌握定理.二、预习内容一般地，对于任意实数、，我们有，当，等号成立.两个正数地算术平均数不小于它们地几何平均数，字母表示：.三、提出疑惑同学们，通过你地自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面地表格中课内探究学案教学目标，不等号“≥”取等号地条件是：当且仅当这两个数相等；学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式地几何意义教学重点】应用数形结合地思想理解不等式，并从不同角度探索不等式地证明过程；【教学难点】基本不等式等号成立条件合作探究 1 证;强调：当且仅当时,特别地,如果,也可写成,引导学生利用不等式地性质推导证明:结论：两个正数地算术平均数不小于它们地几何平均数探究2：课本中地“探究”在右图中，AB是圆地直径，点C是AB上地一点，AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB地弦DE，连接AD、BD.你能利用这个图形得出基本不等式地几何解释练习1若且，则下列四个数中最大地是< ）Ａ．Ｂ．Ｃ．2abＤ．a2 a,b是正数，则三个数地大小顺序是<）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．答案 B C例题分析：已知x、y都是正数，求证：(1>≥2；( 2）Ｘ＞0，当Ｘ取何值时Ｘ+有最小值，最小值是多少分析：，注意条件a、b均为正数，结合不等式地性质(把握好每条性质成立地条件>，进行变形.1正2定3相等变式训练：1已知x＜错误!，则函数f<x）＝4x＋错误!地最大值是多少？2 证明：<x＋y）<x2＋y2）<x3＋y3）≥８x3y3.分析：注意凑位法地使用.注意基本不等式地用法.当堂检测：1.下列叙述中正确地是< ）.<A）两个数地算术平均数不小于它们地几何平均数<B）两个不等正数地算术平均数大于它们地几何平均数<C）若两个数地和为常数，则它们地积有最大值<D）若两个数地积为常数，则它们地和有最小值2下面给出地解答中，正确地是< ）.<A）y＝x＋错误!≥2错误!＝2，∴y有最小值2<B）y＝|sin x|＋错误!≥2错误!＝4，∴y有最小值4<C）y＝x<－2x＋3）≤错误!＝错误!，又由x＝－2x＋3得x＝1，∴当x＝1时，y有最大值错误!＝1<D）y＝3－错误!－错误!≤3－2错误!＝－3，y有最大值－33.已知x＞0，则x＋错误!＋3地最小值为< ）.<A）4 <B）7 <C）8 <D）114.设函数f<x）＝2x＋错误!－1<x＜0），则f<x）< ）.<A）有最大值<B）有最小值 <C）是增函数 <D）是减函数答案 1 B 2.D 3 B 4.A课后练习与提高1 已知①如果积②如果和[拓展探究]2.设a, b, c且a+b+c=1，求证：答案：1略2 提示可用a+b+c换里面地1 ，然后化简利用基本不等式.§3.4.2 基本不等式地应用【教学目标】1 会应用基本不等式求某些函数地最值,能够解决一些简单地实际问题；2 本节课是基本不等式应用举例.整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心.3 能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题．教学重点：正确运用基本不等式解决一些简单地实际问题教学难点：注意运用不等式求最大<小）值地条件教学过程：一、创设情景，引入课题提问：前一节课我们已经学习了基本不等式，我们常把叫做正数地算术平均数，把叫做正数地几何平均数.今天我们就生活中地实际例子研究它地重用作用.讲解：已知都是正数，①如果是定值，那么当时，和有最小值；②如果和是定值，那么当时，积有最大值二、探求新知，质疑答辩，排难解惑1、新课讲授例1、<1）用篱笆围一个面积为100地矩形菜园，问这个矩形地长、宽各为多少时，所用地篱笆最短，最短地篱笆是多少？<2）一段长为36地篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形地长、宽各为多少时，菜园地面积最大.最大面积是多少？分析： <1）当长和宽地乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和地最小值<2）当长和宽地和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大解：<1）设矩形菜园地长为m,宽为 m,则篱笆地长为2<）由，可得2<）等号当且仅当，因此，这个矩形地长、宽为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m(2>设矩形菜园地长为m,宽为 m,则2<）=36，=18，矩形菜园地面积为，由可得,可得等号当且仅当点评：此题用到了如果是定值，那么当时，和有最小值；如果和是定值，那么当时，积有最大值变式训练：用长为地铁丝围成矩形，怎样才能使所围地矩形面积最大？解：设矩形地长为，则宽为，矩形面，且．由．<当且近当，即时取等号），由此可知，当时，有最大值．答：将铁丝围成正方形时，才能有最大面积．例2<教材例2）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2地造价为150元，池壁每1m2地造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数地最值，其中用到了均值不等式定理.解：设水池底面一边地长度为，水池地总造价为元，根据题意，得当因此，当水池地底面是边长为40m地正方形时，水池地总造价最低，最低总造价是297600元评述：此题既是不等式性质在实际中地应用，应注意数学语言地应用即函数解读式地建立，又是不等式性质在求最值中地应用，应注意不等式性质地适用条件.变题：某工厂要制造一批无盖地圆柱形桶，它地容积是立方分M，用来做底地金属每平方分M价值3元，做侧面地金属每平方M价值2元，按着怎样地尺寸制造，才能使圆桶地成本最低.解：设圆桶地底半径为分M，高为分M，圆桶地成本为元，则3求桶成本最低，即是求在、取什么值时最小.将代入地解读式，得=当且仅当时，取“=”号.∴当1<分M），<分M）时，圆桶地成本最低为9<元）.点评：分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解，归纳整理，整体认识1．求最值常用地不等式：，，．2．注意点：一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小．3.建立不等式模型解决实际问题当堂检测：1下列函数中，最小值为4地是：<）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2.设地最小值是( >A. 10B.C.D.3函数地最大值为.4建造一个容积为18m3, 深为2m地长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2地造价为200元和150元，那么池地最低造价为元.5某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉地价格为1800元，面粉地保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付地总费用最少？答案：1C 2 D 3 4 3600 5时，有最小值，基本不等式地应用课前预习学案一、预习目标会应用基本不等式求某些函数地最值,能够解决一些简单地实际问题二、预习内容1如果是定值，那么当时，和有最2如果和是定值，那么当时，积有最3若，则=_____时,有最小值，最小值为_____.4.若实数a、b满足a+b＝2,则3a+3b地最小值是_____.三、提出疑惑同学们，通过你地自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面地表格中课内探究学案一、学习目标1 用基本不等式求某些函数地最值,能够解决一些简单地实际问题.2 引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心.教学重点：正确运用基本不等式解决一些简单地实际问题教学难点：注意运用不等式求最大<小）值地条件二、学习过程例题分析：例1、<1）用篱笆围一个面积为100地矩形菜园，问这个矩形地长、宽各为多少时，所用地篱笆最短，最短地篱笆是多少？<2）一段长为36地篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形地长、宽各为多少时，菜园地面积最大.最大面积是多少？分析： <1）当长和宽地乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和地最小值<2）当长和宽地和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大解：变式训练：1用长为地铁丝围成矩形，怎样才能使所围地矩形面积最大？2一份印刷品地排版面积<矩形）为它地两边都留有宽为地空白，顶部和底部都留有宽为地空白，如何选择纸张地尺寸，才能使用纸量最少？变式训练答案 1 时面积最大. 2此时纸张长和宽分别是和．例2：）某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2地造价为150元，池壁每1m2地造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数地最值，其中用到了均值不等式定理.答案：底面一边长为40时，总造价最低2976000.变式训练：建造一个容积为18m3, 深为2m地长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2地造价为200元和150元，那么池地最低造价为元.答案：3600当堂检测：1若x, y是正数，且，则xy有<3）Ａ．最大值16Ｂ．最小值Ｃ．最小值16Ｄ．最大值2已知且满足,求地最小值.4Ａ．16Ｂ20．Ｃ．14Ｄ．183 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉地价格为1800元，面粉地保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付地总费用最少？答案:1 C 2 D 3 时，有最小值，课后复习学案1已知x>0，y>0，且3x+4y=12，求lgx+lgy地最大值及此时x、y地值．2广东省潮州金中08-09学年高三上学期期中考试）某种汽车地购车费用是10万元，每年使用地保险费、养路费、汽油费约为万元，年维修费用第一年是万元，以后逐年递增万元.问这种汽车使用多少年时，它地年平均费用最小？最小值是多少？3某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与车库到车站地距离成反比，而每月库存货物地运费y2与到车站地距离成正比，如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站多少公里处?申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途.。
2018版高中数学第三章不等式3.4基本不等式：√ab≤(a+b)2(二)学案新人教A版必修5
3.4 基本不等式：√ab≤（a+b）2（二）[学习目标] 1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点一基本不等式求最值1．理论依据：(1)设x，y为正实数，若x＋y＝s(和s为定值)，则当x＝y时，积xy有最大值，且这个值为s2 4 .(2)设x，y为正实数，若xy＝p(积p为定值)，则当x＝y时，和x＋y有最小值，且这个值为2p.2．基本不等式求最值的条件：(1)x，y必须是正数；(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．3．利用基本不等式求最值需注意的问题：(1)各数(或式)均为正．(2)和或积为定值．(3)判断等号能否成立，“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．(4)当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性．知识点二基本不等式在实际中的应用基本不等式在实际中的应用是指利用基本不等式解决生产、科研和日常生活中的问题．解答不等式的应用题一般可分为四步：(1)阅读并理解材料；(2)建立数学模型；(3)讨论不等关系；(4)作出结论．题型一利用基本不等式求最值例1 (1)已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1(2)已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为____．(3)已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为____．答案 (1)D (2)－2 (3)3解析 (1)f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝（x －2）2＋12（x －2）＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －2）＋1x －2≥1.当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立． (2)y ＝t 2＋1－4t t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1t，即t ＝1或t ＝－1(舍)时，等号成立，∴y 的最小值为－2.(3)xy ＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3·y 4≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 3＋y 422＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝3， 当且仅当x 3＝y 4＝12，即x ＝32，y ＝2时，等号成立，∴xy 的最大值为3.反思与感悟 在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件． 跟踪训练1 (1)设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a （a －b ）的最小值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知x ，y 为正数，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________．答案 (1)D (2)3＋2 2 解析 (1)a 2＋1ab＋1a （a －b ）＝a 2－ab ＋ab ＋1ab ＋1a （a －b ）＝a (a －b )＋1a （a －b ）＋ab ＋1ab≥2＋2＝4.当且仅当a (a －b )＝1且ab ＝1， 即a ＝2，b ＝22时取“＝”． (2)由2x ＋y ＝1，得1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋yy＝3＋y x＋2xy ≥3＋2 y x ·2xy＝3＋22， 当且仅当y x ＝2xy，即x ＝2－22，y ＝2－1时，等号成立．题型二 基本不等式的综合应用例2 (1)已知x ＞1，y ＞1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy ( )A ．有最大值eB ．有最大值 eC ．有最小值eD ．有最小值 e 答案 C解析 由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝14ln x ln y ，∴ln x ln y ＝14，∵x ＞1，y ＞1，∴ln x ln y ＞0， 又ln(xy )＝ln x ln y ≥2ln x ln y ＝1， ∴xy ≥e ，即xy 有最小值为e. (2)若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求a 的取值范围．解 设f (x )＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3，∵x ＞0，∴x ＋1x≥2，∴f (x )≤15，即f (x )max ＝15，∴a ≥15.反思与感悟将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的处理方法，其一般类型有： (1)f (x )＞a 恒成立⇔a ＜f (x )min . (2)f (x )＜a 恒成立⇔a ＞f (x )max .跟踪训练2 (1)设a ＞0，b ＞0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．2B ．4C ．1 D.12(2)函数y ＝kx ＋2k －1的图象恒过定点A ，若点A 又在直线mx ＋ny ＋1＝0上，则mn 的最大值为________． 答案 (1)B (2)18解析 (1)由题意得，3a·3b＝(3)2，即a ＋b ＝1， ∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b≥2＋2b a ·ab ＝4， 当且仅当b a ＝a b ，即a ＝b ＝12时，等号成立．(2)y ＝k (x ＋2)－1必经过(－2，－1)，即点A (－2，－1)， 代入得－2m －n ＋1＝0， ∴2m ＋n ＝1，∴mn ＝12(2mn )≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋n 22＝18，当且仅当2m ＝n ＝12时，等号成立．题型三 基本不等式的实际应用例3 要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm 2，四周空白的宽度为10 cm ，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm ，请确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，使矩形广告面积最小，并求出最小值． 解 设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ，ab ＝9 000.① 广告的高为a ＋20，宽为2b ＋25，其中a ＞0，b ＞0. 广告的面积S ＝(a ＋20)(2b ＋25)＝2ab ＋40b ＋25a ＋500 ＝18 500＋25a ＋40b ≥18 500＋225a ×40b ＝18 500＋2 1 000ab ＝24 500.当且仅当25a ＝40b 时，等号成立，此时b ＝58a ，代入①式得a ＝120，从而b ＝75，即当a ＝120，b ＝75时，S 取得最小值24 500，故广告的高为140 cm ，宽为175 cm 时，可使广告的面积最小，最小值为24 500 cm 2. 反思与感悟 利用基本不等式解决实际问题的步骤(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，应用基本不等式求出函数的最大值或最小值． (4)正确写出答案．跟踪训练3 一批货物随17列货车从A 市以v 千米/时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时． 答案 8解析 设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则t ＝400＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫v 202v＝400v ＋16v 400≥2 400v ×16v400＝8(小时)， 当且仅当400v ＝16v400，即v ＝100时，等号成立，此时t ＝8小时．1．下列函数中，最小值为4的函数是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x (0＜x ＜π)C ．y ＝e x＋4e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 81 答案 C解析 A 中x ＝－1时，y ＝－5＜4，B 中y ＝4时，sin x ＝2，D 中x 与1的关系不确定，选C.2．函数y ＝x 2－x ＋1x －1(x ＞1)在x ＝t 处取得最小值，则t 等于( )A ．1＋ 2B ．2C ．3D ．4 答案 B 解析 y ＝x （x －1）＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3， 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ．6.5 m B ．6.8 m C ．7 m D ．7.2 m 答案 C解析 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．∵要求够用且浪费最少，故选C. 4．函数f (x )＝x (4－2x )的最大值为________． 答案 2解析 ①当x ∈(0，2)时，x ，4－2x ＞0， f (x )＝x (4－2x )≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（4－2x ）22＝2，当且仅当2x ＝4－2x ，即x ＝1时，等号成立． ②当x ≤0或x ≥2时，f (x )≤0，故f (x )max ＝2.5．当x ＜54时，函数y ＝4x －2＋14x －5的最大值为________．答案 1解析 ∵x ＜54，∴4x －5＜0，∴y ＝4x －5＋14x －5＋3＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（5－4x ）＋15－4x ＋3 ≤－2（5－4x ）·15－4x＋3＝1当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，等号成立．1.用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用基本不等式的条件．(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用基本不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用基本不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y ＝x ＋px(p >0)的单调性求得函数的最值． 2．求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．。
高中数学 3.4基本不等式ab≤a+b2(一)导学案(无答案)新人教版必修5 学案
3.4 基本不等式ab ≤a ＋b 2（一） 学习目标理解基本不等式及证明；熟练运用基本不等式来比较大小；能运用基本不等式证明简单的不等式． 预习篇1．如果a ，b ∈R ，那么a2＋b22ab(当且仅当时取“＝”)．2．若a ，b 都为数，那么a ＋b 2ab(当且仅当ab 时，等号成立)，称上述不等式为不等式，其中称为a ，b 的算术平均数，称为a ，b 的几何平均数．3．基本不等式的常用推论(1)ab≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a2＋b22 (a ，b ∈R)；(2)当x>0时，x ＋1x ≥；当x<0时，x ＋1x ≤. (3)当ab>0时，b a ＋a b ≥；当ab<0时，b a ＋a b≤.(4)a2＋b2＋c2ab ＋bc ＋ca ，(a ，b ，c ∈R)． 4．当a>0，b>0且a≠b 时，a ＋b 2，ab ，21a ＋1b ，a2＋b22按从小到大的顺序排列为. 课堂篇探究点一 基本不等式的证明问题1 利用作差法证明：a ∈R ，b ∈R ，a2＋b2≥2ab.问题2 当a>0，b>0时，a ＝(a)2，b ＝(b)2.据此证明：a>0，b>0时，a ＋b≥2ab.探究 下面是基本不等式ab ≤a ＋b 2的一种几何解释，请你补充完整． 如图所示，AB 为⊙O 的直径，AC ＝a ，CB ＝b ，过点C 作CD ⊥AB 交⊙O 上半圆于点D ，连接AD ，BD.由射影定理可知，CD ＝，而OD ＝，因为ODCD ，所以 a ＋b 2ab,当且仅当C 与O ，即时,等号成立．探究点二 当a>0，b>0时，21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a2＋b22这是一条重要的基本不等式链，请证明．典型例题例1 已知正数0<a<1,0<b<1，且a≠b ，则a ＋b ，2ab ，2ab ，a2＋b2，其中最大的一个是( ) A ．a2＋b2 B ．2abC ．2ab D ．a ＋b例2 设a ，b ，c 都是正数，求证：b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc ≥6.例3 a>b>c ，n ∈M 且1a －b ＋1b －c ≥na －c ，求n 的最大值巩固篇1．若0<a<b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．a>a ＋b 2>ab>bB ．b>ab>a ＋b2>aC ．b>a ＋b 2>ab>a D ．b>a>a ＋b 2>ab2．设a 、b 是实数，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( )A ．6B ．42C ．26D ．83．若不等式x2－ax ＋1≥0对一切x ∈(0,1]恒成立，则a 的取值X 围是________．4．a ，b ，c ∈R ，求证：a2＋b2＋c2≥ab ＋bc ＋ca.。
3.4基本不等式(共2课时)
三、利用基本不等式解应用题
例 4 ： （ 1 ）用篱笆围成一个面积为 100m 的矩形
菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用 篱笆最短。最短的篱笆是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m， 则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.
x y xy x y 2 100, 2 2( x y) 40 等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.
作业反馈
第1课时作业： 课本：P 学案：课时（24） 第2课时作业： 课本：P 学案：课时（25）
ab ab 求函数的最值 二、利用基本不等式 2 3 例2：已知x > 0，求 f ( x) x 的最小值。
x
归纳：见和想积，乘积为定值，则和有最小值。 变式1：若x < 0，求
3 f ( x) x x
的最大值。
3 变式2：若x > 2，求 f ( x ) x 的最小值。 x2
a
b
思考：你能否在这个 图案中找出一些相等 关系或不等关系？
a b
2
2
a 2 + b2
2ab
一、两个基本的不等式 重要不等式： a² +b² ≥2ab（ a、b∈R ）
(当且仅当a=b时取“=”号)
你能给出它的证明吗？
基本不等式： a b 2 ab (a 0, b 0) (当且仅当a=b时取“=”号) 通常我们把上式写作：
ab 利用基本不等式 2 ab求函数的最值时需要同时
满足以下三个条件：
(1)a, b均为正数； (2)a b与ab有一个为定值； (3)等号必须取到；
简称为：一正二定三相等。
练习2:
1.判断以下解题过程的正 误: 1 (1) 已知x 0,求x 的最值; x 1 1 解 : x 2 x 2, 原式有最小值 2. x x
3.4基本不等式(学案)
§3.4基本不等式：2b a ab +≤(学案) 教学目标：（1）学会推导基本不等式2a b ab +≤； （2）知道算术平均数、几何平均数的概念；（3）会用不等式求一些简单的最值问题。
教学重点：基本不等式2a b ab +≤的推导及应用。
教学难点：理解“当且仅当a b =时取等号” 的意义。
教学过程：一、知识回顾：填空：1.;0____2a2. ;0____)(2b a -3. ._________)(2=-b a 问：通过2与3可以得到什么结论？二、新课讲解：一般的,对于任意的实数a,b ,我们有 ，当且仅当 时,等号成立. 思考：如果00a ,b >> ,我们用、a b 分别代替a,b ,可得 。
我们通常把上式写成）（0,02>>+≤b a b a ab （当且仅当_____时，等号成立。
） 概念扩展：若两个数a,b , 且00a ,b >>,_________叫做a,b 的算术平均数，叫做a,b 的几何平均数，思考：如何证明？证明：重要不等式：____________(当且仅当_____时，等号成立)。
基本不等式：_____________(当且仅当_____时，等号成立)。
对于基本不等式：）（0,02>>+≤b a b a ab 进行公式的变形: ）（0,02>>+≤b a b a ab ab b a 2≥+ 2)2(b a ab +≤( ) ( ) 三、例题讲解：例 1 （1）已知直角三角形的面积等于50，两条直角边各位多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？（2）用20cm 长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎么折？ 解：（1） （2）31;3 (2) 1;01 2 的最值；求已知的最值；求）已知（例-+>+>x x x x x x四． 巩固练习：._________,__111,x .1=-+>x x x 此时值为的最则已知 ._________,__20,x .22=+>x xx 此时值为的最则已知 ._________,__1221,x .32=-+->x x x x 此时值为的最则已知五．课堂小结。
高中数学教案《基本不等式》
教学计划：《基本不等式》一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解并掌握算术平均数与几何平均数之间的关系，理解并掌握基本不等式（如均值不等式、平方和不等式等）的概念、性质及证明方法，能够熟练运用基本不等式解决简单问题。
2.过程与方法：通过观察、比较、归纳等数学活动，引导学生发现基本不等式的规律，培养学生的探究能力和逻辑推理能力；通过例题讲解和练习，提高学生应用基本不等式解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学审美意识和严谨的科学态度，让学生认识到数学在解决实际问题中的重要作用。
二、教学重点和难点●教学重点：基本不等式的概念、性质及证明方法；算术平均数与几何平均数之间的关系。
●教学难点：理解基本不等式的本质，掌握其证明过程，并能灵活运用基本不等式解决实际问题。
三、教学过程1. 引入新课（约5分钟）●生活实例引入：通过生活中常见的分配问题（如分苹果、分蛋糕等），引导学生思考如何公平分配，从而引出算术平均数与几何平均数的概念，为学习基本不等式做好铺垫。
●提出问题：设问“算术平均数总是大于或等于几何平均数吗？”引发学生思考，激发学生探索的兴趣。
●明确目标：介绍本节课的学习目标，即掌握基本不等式的概念、性质及证明方法，并能运用其解决实际问题。
2. 讲授新知（约15分钟）●概念讲解：详细讲解算术平均数与几何平均数的定义，通过具体例子说明两者的区别与联系。
●不等式呈现：给出基本不等式的数学表达式，结合实例解释其含义，让学生初步感受不等式的性质。
●证明过程：通过代数方法或几何直观证明基本不等式，注重证明过程的逻辑性和条理性，让学生理解不等式的来源和依据。
3. 深入探究（约10分钟）●性质探讨：引导学生探讨基本不等式的性质，如对称性、传递性等，加深对不等式的理解。
●案例分析：选取典型例题，分析如何运用基本不等式解决问题，强调解题思路和步骤。
●学生讨论：组织学生进行小组讨论，分享自己对基本不等式的理解和应用心得，促进思维的碰撞和融合。
基本不等式教学设计
《基本不等式》教学设计张中华教材：人教版《普通高中课程标准实验教科书•数学（A版）》必修5课题：3.4 基本不等式（第一课时）一、教材分析《基本不等式》是高中教材人教A版必修五第三章第三节的内容，是《不等式》这一章中继一元二次不等式、简单线性规划之后，从几何背景（赵爽的弦图）中抽离出的基本结论，是证明其他不等式成立的重要依据，也是求解最值问题的有力工具之一。
就本章的编写而言，教材讲究从直观性上学习，注重每个数学模型引领数学思想的教材编排暗线，并且都体现出遵循从几何背景入手，强调数形结合思想。
本节内容在此基本上渗透不等式的证明方法（比较法、综合法、分析法），并且会在后续学习时再次得到加强。
基本不等式的学时安排是3课时，它涉及基本不等式的推导教学和求解最值问题两大部分。
本节课是基本不等式教学的第一课时，其主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较、抽象概括，提炼出不等式a 2+ b 2 > 2 ab （a, b G R）。
在此基础上，通过演绎替换、证明探究、数形结合及实际应用等四种不同的角度引导学生认识基本不等式。
其中基本不等式的证明是从代数、几何多方面展开，既有逻辑推理，又有直观的几何解释，使学生充分运用数形结合的思想方法，进一步培养其抽象概括能力和推理论证能力。
这就使得不等式的证明成为本节课的核心内容。
二、教学重难点教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程。
教学难点：从不同角度探索基本不等式的证明，能利用基本不等式的模型求解函数最值。
三、教学目标《课程标准》对本节课的要求有以下两条：①探索并了解基本不等式的证明过程；②会用基本不等式解决简单的最值问题。
根据《课标》要求和本节教学内容，并考虑学生的接受能力，我将本节课的教学目标确定为：1、知识与能力目标：理解掌握基本不等式，并能运用基本不等式解决一些简单的求最值问题；理解算数平均数与几何平均数的概念，学会构造条件使用基本不等式；培养学生探究能力以及分析问题解决问题的能力。
§3_4基本不等式(教案)
课题: §3.4基本不等式（教案）第1课时授课类型：新授课【教学目标】1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提升学习数学的兴趣【教学重点】 应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2a b ab +≤的证明过程； 【教学难点】 基本不等式2a b ab +≤等号成立条件 【教学过程】 1.课题导入基本不等式2a b ab +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。
你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。
2.讲授新课1．探究图形中的不等关系将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形。
设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。
这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。
因为4个直角三角形的面积和小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。
R,,2那么+∈a b a 2．得到结论：一般的，假设[解释]结论中“当且仅当”的含义。
3．思考证明：你能给出它的证明吗？证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+ 22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=当时当时所以，0)(2≥-b a ，即.2)(22ab b a ≥+4．1）从几何图形的面积关系理解基本不等式2a b ab +≤ 特别的，假设a>0,b>0,我们用a 、b 分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥，通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a b ab +≤ 2）从不等式的性质推导基本不等式2a b ab +≤，你能用分析法证明一下吗？ 分析法证明： 要证2a b ab +≥ （1） 只要证 a+b ≥ （2）要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2 ≥0 （4）显然，（4）是成立的。
学案3.4基本不等式
学案3.42a b +≤ 一、知识梳理1，重要不等式一般地，对于任意实数,a b ，我们有 ，当且仅当 ，等号成立。
2，均值不等式 一般地，对于任意的正实数,a b ，我们有 ， 当且仅当 ，等号成立。
注：1、完整的均值不等式211a b+≤≤2a b +≤a b =时取等号） 2、我们就把a b +叫做正数a b ，的算术平均数；叫做正数a b ，的几何平均数；我们就把211+叫做正数a b ，的调和平均数；a b ，的平方平均数； 3、均值不等式的文字描述：① 两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数② 两正数的等差中项不小于它们的等比中项③ 完整的均值不等式也可以简记为下面四个字“调、几、算、平”4， 基本不等式与最值已知,x y 都是正数，则① 如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x y =时，和x y +有最小值 ② 如果和x y +是定值s ，那么当且仅当x y =时，积xy 有最大值214s 简记为：七字言“一正、二定、三相等”二、典例精析例1、 （1）已知0ab >，求证：2≥+ba ab ，并推导出式中等号成立的条件；（2）已知,,0a b c >，且1a b c ++=，求证： 111()()()10a b c a b c +++++≥；变式、 （1）已知,,a b c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a +++≥；（2）已知,,a b c 是三个不全相等的正数，求证：6b c a c a b a b c+++++>；（3）已知,,a b c 均为正数，求证：c b a ac c b b a ++≥++222；例2、（1）已知,0,24x y xy >=，求46x y +的最小值，并说明此时,x y 的值；（2）若01x <<，求(1)y x x =-的最大值；变式、（1）已知0>x ，求x x x f 312)(+=的最小值；（2）若102x <<，求(12)y x x =-的最大值； 例3、（1）已知0x <，求函数x x x f 2)(+=的最大值；（2）已知3<x ，求x x x f +-=34)(的最大值；（3）已知4a b +=，求22a by =+的最小值；（4）求函数2710()(1)1x x f x x x ++=>-+的最小值；变式、（1）若0x <,求9()4f x x x =+的最大值。
3.4 基本不等式教案(14)2020-2021学年高一数学人教A版必修五第三章
§3.4 基本不等式（第一课时）【教材分析】基本不等式是人教版必修 5 第 3 章 第 4 节第一课时内容。
本节课的主要学习任务是通过研究赵爽“弦图”中的面积关系，寻找相等关系和不等关系为思路启发研究不等关系，培养学生直观想象能力。
并从重要不等式中观察、抽象出基本不等式, 多角度探究、理解与证明基本不等式。
探究基本不等式的证明是从代数、几何两个方面展开,不等式的证明是本节课的核心部分,也是本节课的重点，其中利用基本不等式解决最值问题为本节课的难点。
【学情分析】网课期间，停课不停学，使用万彩动画制作和钉钉平台直播授课。
本节课的情感目标为培养学生的数学学习兴趣，也利用了几何画板动态演示，学生可以从中直观感知猜想出不等关系。
通过基本不等式的证明中让学生感受数形统一的辩证性。
对于应用基本不等式解决最值问题中引发学生思考，及知识应用的升华。
【设计思想】基本不等式是高中数学中解决最值问题的一个重要工具，同时在实际生活中也有着非常广泛的应用。
因此对于本节课的教学内容，我从在北京召开的第24届国际数学家大会的会标引入新课，告诉学生会标源于中国古代数学家赵爽的“弦图”作出的设计，以个别提问为主研究基本不等式，引导学生观察“弦图”的构成，思考利用面积关系研究问题。
多角度证明重要不等式。
通过重要不等式，学生类比得到基本不等式。
引导学生分析基本不等式的几何解释，感受几何直观与代数证明的紧密结合时，让学生在探究学习的过程中体会获取知识的成功，享受学习的乐趣。
【教学目标】 一、知识与技能1.2a b+的证明过程，了解这个基本不等式的几何意义，并掌握取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题； 2.通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法；3.通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣；培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题、解决问题的能力，并能进行简单应用。
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系）
提问2:我们把“风车”造型抽象成图在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为 、 ，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？
生答： ，
提问3：那4个直角三角形的面积和呢？
生答：
提问4：好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式， 。什么时候这两部分面积相等呢？
解：设圆桶的底半径为 分米，高为 分米，圆桶的成本为 元，则 3
求桶成本最低，即是求 在 、 取什么值时最小。将 代入 的解析式，得
=
当且仅当 时，取“=”号。
∴当 1（分米）， （分米）时，圆桶的成本最低为9 （元）。
点评：分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解，
归纳整理，整体认识
1．求最值常用的不等式： ， ， ．
生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即 时，正方形EFGH变成一个点，这时有
结论：（板书）一般地，对于任意实数 、 ，我们有 ，当且仅当 时，等号成立。
提问5：你能给出它的证明吗？
(学生尝试证明后口答,老师板书)
证明:
所以
注意强调当且仅当 时,
(2)特别地,如果 ,也可写成
,引导学生利用不等式的性质推导
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
教学目标 ，不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义
教学重点】
应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程；
【教学难点】
基本不等式 等号成立条件
合作探究1证;
强调：当且仅当 时,
特别地,如果 ,也可写成
易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB
即ＣD＝ .
这个圆的半径为 ，显然，它大于或等于CD，即 ，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.
因此：基本不等式 几何意义是“半径不小于半弦”
评述：1.如果把 看作是正数a、b的等差中项， 看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.
[拓展探究]
2.设a,b,c 且a+b+c=1，求证：
答案：1略2提示可用a+b+c换里面的1，然后化简利用基本不等式。
§3.4.2基本不等式的应用
【教学目标】
1会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题；
2本节课是基本不等式应用举例。整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。
(板书,请学生上台板演):
要证: ①
即证 ②
要证②,只要证 ③
要证③,只要证(-) ④
显然,④是成立的,当且仅当 时,④的等号成立
(3)观察图形3.4-3,得到不等式①的几何解释
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
探究：课本中的“探究”
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式 的几何解释吗？
3能综合运用函数关系，不等式知识解决一些实际问题．
教学重点：正确运用基本不等式解决一些简单的实际问题
教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件
教学过程：
一、创设情景，引入课题
提问：前一节课我们已经学习了基本不等式，我们常把 叫做正数 的算术平均数，把 叫做正数 的几何平均数。今天我们就生活中的实际例子研究它的重用作用。
,引导学生利用不等式的性质推导
证明:
结论：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
探究2：课本中的“探究”
在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式 的几何解释
练习
1若 且 ，则下列四个数中最大的是（）
（B）两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数
（C）若两个数的和为常数，则它们的积有最大值
（D）若两个数的积为常数，则它们的和有最小值
12下面给出的解答中，正确的是（）.
（A）y＝x＋ ≥2 ＝2，∴y有最小值2
（B）y＝|sinx|＋ ≥2 ＝4，∴y有最小值4
（C）y＝x（－2x＋3）≤ ＝ ，又由x＝－2x＋3得x＝1，∴当x＝1时，y有最大值 ＝1
Ａ． Ｂ． Ｃ．2abＤ．a
2a,b是正数，则 三个数的大小顺序是 （）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案B C
例题分析：
已知x、y都是正数，求证：
(1) ≥2；
( 2）Ｘ＞0，当Ｘ取何值时Ｘ+ 有最小值，最小值是多少
分析： ，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.1正2定3相等
讲解：已知 都是正数，①如果 是定值 ，那么当 时，和 有最小值 ；
②如果和 是定值 ，那么当 时，积有最大值
二、探求新知，质疑答辩，排难解惑
1、新课讲授
例1、（1）用篱笆围一个面积为100 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（2）一段长为36 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？
3．4．1基本不等式（1）
【教学目标】
1学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；
3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣
【教学重点】
应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程；
即学即练:
1若 且 ，则下列四个数中最大的是（）
Ａ． Ｂ． Ｃ．2abＤ．a
2a,b是正数，则 三个数的大小顺序是 （）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案B C
例题分析：
(1) ＝2即 ≥2.
(2)x＋y≥2 ＞0x2＋y2≥2 ＞0x3＋y3≥2 ＞0
∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2 ·2 ·2 ＝８x3y3
（D）y＝3－ － ≤3－2 ＝－3，y有最大值－3
3.已知x＞0，则x＋ ＋3的最小值为（）.
（A）4（B）7（C）8（D）11
4.设函数f（x）＝2x＋ －1（x＜0），则f（x）（）.
（A）有最大值（B）有最小值（C）是增函数（D）是减函数
1B2.D3B4.A
基本不等式
第一课时
课前预习学案
一、预习目标
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
1用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问题.
2引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心.
教学重点：正确运用基本不等式解决一些简单的实际问题
教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件
二、学习过程
例题分析：
例1、（1）用篱笆围一个面积为100 的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（D）y＝3－ － ≤3－2 ＝－3，y有最大值－3
3.已知x＞0，则x＋ ＋3的最小值为（）.
（A）4（B）7（C）8（D）11
4.设函数f（x）＝2x＋ －1（x＜0），则f（x）（）.
（A）有最大值（B）有最小值（C）是增函数（D）是减函数
答案1B2.D3B4.A
课后练习与提高
：1已知x＜ ，则函数f（x）＝4x＋ 的最大值是多少？
2证明：（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3.
分析：注意凑位法的使用。
注意基本不等式的用法。
当堂检测：
1.下列叙述中正确的是（）.
（A）两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数
（B）两个不等正数的算术平均数大于它们的几何平均数
分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值
（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大
解：（1）设矩形菜园的长为 m,宽为 m,则 篱笆的长为2（ ）
由 ，
可得
2（ ）
等号当且仅当 ，因此，这个矩形的长、宽为10 m时，所用篱笆最短，最短篱笆为40m
(2)设矩形菜园的长为 m,宽为 m,则2（ ）=36， =18，矩形菜园的面积为 ，
5某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需要面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其它费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
答案：1C2 D3 436005 时， 有最小值 ，
基本不等式的应用
课前预习学案
一、预习目标
2．注意点：一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小．
3.建立不等式模型解决实际问题
当堂检测：
1下列函数中，最小值为4的是：（）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
2.设 的最小值是( )
A. 10B. C. D.
3函数 的最大值为.
4建造一个容积为18m3,深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2的造价为200元和150元，那么池的最低造价为元.
（2）一段长为36 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积是多少？
分析：（1）当长和宽的乘积确定时，问周长最短就是求长和宽和的最小值
（2）当长和宽的和确定时，求长与宽取何值时两者乘积最大
解：
变式训练：1用长为 的铁丝围成矩形，怎样才能使所围的矩形面积最大？
解：设水池底面一边的长度为 ，水池的总造价为 元，根据题意，得