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乘法公式,知识梳理,经典中考题解析

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初中升高中数学衔接：第1讲 乘法公式(解析版)

初中升高中数学衔接：第1讲 乘法公式(解析版)

【第1讲】 乘法公式【根底知识回忆】知识点1 平方公式〔1〕平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；〔2〕完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．〔3〕三数和平方公式2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++； 知识点2 立方公式〔1〕立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； 〔2〕立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；〔3〕两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；〔4〕两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．【合作探究】探究一 平方公式的应用 【例1】计算：〔1〕)416)(4(2m m m +-+〔2〕)41101251)(2151(22n mn m n m ++-〔3〕)164)(2)(2(24++-+a a a a 〔4〕22222))(2(y xy x y xy x +-++ 〔5〕22)312(+-x x【解析】〔1〕原式=333644m m +=+〔2〕原式=3333811251)21()51(nm n m -=- 〔3〕原式=644)()44)(4(63322242-=-=++-a a a a a 〔4〕原式=2222222)])([()()(y xy x y x y xy x y x +-+=+-+63362332)(y y x x y x ++=+=〔5〕原式=22]31)2([+-+x x913223822)2(312312)2(2)31()2()(234222222+-+-=-⨯⨯+⨯+-++-+=x x x x x x x x x x归纳总结：在进行代数式乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．【练习1】计算：2(21)x y ++【解析】原式=22(21)[(2)1]x y x y ++=++2(2)2(2)1x y x y =++++ 2244421x xy y x y =+++++探究二 立方公式的应用【例2】计算：〔1〕3(1)x + 〔2〕3(23)x - 【解析】〔1〕332(1)331x x x x +=+++ 〔2〕332(23)8365427x x x x -=-+-归纳总结：常用配方法：()2222a b a b ab+=+-，()2222a b a b ab+=-+．【练习2】用立方和或立方差公式分解以下各多项式：(1) 38x +(2) 30.12527b -分析： (1)中，382=，(2)中3330.1250.5,27(3)b b ==．【解析】(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+(2) 333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++探究三 整体代换【例3】13x x +=，求：〔1〕221x x +；〔2〕331x x +． 【解析】13x x +=，所以〔1〕222211()2327x x x x +=+-=-=．〔2〕32223211111()(1)()[()3]3(33)18x x x x x x x x x x +=+-+=++-=-=．归纳总结：〔1〕此题假设先从方程13x x +=中解出x 的值后，再代入代数式求值，那么计算较烦琐．〔2〕此题是根据条件式与求值式的联系，用“整体代换〞的方法计算，简化了计算．【练习3-1】2310x x +-=，求：〔1〕221x x +；〔2〕331x x -． 【解析】2310x x +-=，0≠∴x ，213x x ∴-=-，13x x ∴-=-．〔1〕222211()2(3)211x x x x +=-+=-+=；〔2〕331x x -2211()(1)3(111)36x x x x =-++=-⨯+=-．【练习3-2】4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．【解析】2222()2()8a b c a b c ab bc ac ++=++-++=．【课后作业】1．不管a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 〔 〕A ．总是正数B ．总是负数C ．可以是零D ．可以是正数也可以是负数2．22169x y +=， 7x y -=，那么xy 的值为〔 〕 A ．120 B ．60 C ．30 D ．153．如果多项式29x mx -+是一个完全平方式，那么m 的值是4．如果多项式k x x ++82是一个完全平方式，那么k 的值是5．()()22_________a b a b +--=()222__________a b a b +=+-6．17x y +=，60xy =，那么22x y += 7．填空，使之符合立方和或立方差公式或完全立方公式： 〔1〕3(3)()27x x -=- 〔2〕3(23)()827x x +=+ 〔3〕26(2)()8x x +=+ 〔4〕3(32)()278a a -=-〔5〕3(2)()x +=； 〔6〕3(23)()x y -=〔7〕221111()()9432a b a b -=+ 〔8〕2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )8．假设2210x x +-=，那么221x x +=____________；331x x -=____________．9．2310x x -+=，求3313x x ++的值．10．观察以下各式：2(1)(1)1x x x -+=-；23(1)(1)1x x x x -++=-；324(1)(1)1x x x x x -+++=-…..根据上述规律可得：1(1)(...1)n n x x x x --++++=_________________【参考答案】1．乘法公式答案1．A 2．B 3．6± 4．16 5．4ab ； 2ab 6．1697．〔1〕239x x ++ 〔2〕2469x x -+ 〔3〕4224x x -+ 〔4〕2964a a ++ 〔5〕326128x x x +++ 〔6〕32238365427x x y xy y -+- 〔7〕1132a b - 〔8〕424ab ac bc --7．【解析】(1) 2229166824x y z xy xz yz ++--+(2) 22353421a ab b a b -++-+(3) 2233a b ab --(4) 331164a b -8．【解析】2210x x +-=，0≠∴x ，212x x ∴-=-，12x x ∴-=-．〔1〕222211()2(2)26x x x x +=-+=-+=；〔2〕331x x -2211()(1)2(61)14x x x x =-++=-⨯+=-．9．【解析】2310x x -+= 0≠∴x31=+∴x x原式=22221111()(1)3()[()3]33(33)321x x x x x x x x +-++=++-+=-+=10．11n x +-。

专题研究乘法公式详细总结及典型例题

专题研究乘法公式详细总结及典型例题

乘法公式专题【主要内容】 1．两数和乘以它们的差·推导：（a+b ）（a-b ）=22b ab ab a ++-（多项式乘法法则） 22b a -= （合并同类项） ·公式：（a+b ）(a-b)＝a 2-b 2·语言表示：两个数的和与这两个数的差的积等于这两数的平方差 ·用面积表示：矩形ABCD 的面积=（a+b ）（a-b ） 公式的结构特征：①左边：两个二项式相乘，这两个二项式中，有一项完全相同，另一项互为相反数。

②右边：两项的平方差，其中被减数就是左边两个二项式中完全相同的项的平方。

③公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式等代数式 2．两数和的平方·推导 222))(()(b ab ab a b a b a b a +++=++=+（多项式乘法法则）222b ab a ++= （合并同类项）·公式：()2222b ab a b a +±=±·语言表述：首平方、尾平方、乘积两倍放中央。

·用面积表示：正方形ABCD 的面积=2)(b a +又正方形ABCD 又被分成了四块，这四块的面积分别是2a 、ab 、ab 、2b即2222)(b ab a b a ++=+·公式的结构特征：（1）左边：两数和的平方。

即2)(b a +（2）右边：是二次三项式，这两数的平方和加上这两数积的2倍，即ab b a 222++ （3）公式中的a 、b 可以是数、单项式、多项式。

【乘法公式的变形】(a+b)(a-b)=a 2-b 2 (a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 (a+b)(a 2-ab+b 2)=a 3+b 3 (a-b)(a 2+ab+b 2)=a 3－b 3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： ① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2 ③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4 ④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2 ⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2 =x 2y 2-(z +m )(z +m ) =x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2) =x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2 =(x -y )(x -y )-z 2 =x 2-xy -xy +y 2-z 2 =x 2-2xy +y 2-z 2⑦ 连用公式变化，(x +y )(x -y )(x 2+y 2)=(x 2-y 2)(x 2+y 2) =x 4-y 4⑧ 逆用公式变化，(x -y +z )2-(x +y -z )2=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z ) =-4xy +4xz【平方差、完全平方式例题讲解】一、计算 1.（a+3）（a-3）（a 2+9）2.(2x-1)(2x+1)(4x 2+1)(16x 4+1)3.(2x-y)(y+2x)-2(3x-2y)(-2y-3x)-(11x-3y)(2x+3y)二、计算1.(3a+b)2 =2.(-x+3y)2 =3.(-m-n)2=三、简便计算1.498×502 =2.1022 =3.20042-4006×2004+20032=四、整体思想1.(x-y-z)(x-y+z) =2.(3a+4b-c)2=五、逆用公式1.（x+y ）2（x-y ）2-（x-y ）(x+y)(x 2+y 2) =2.（x+2y ）2(x-2y)2=3.（x+1）2(x-1)2(x 2+1)2=六、灵活运用公式1. 已知：a+b=3，ab=-12,求a 2+b 2和(a-b)2的值。

专题05整式的乘法(3个知识点6种题型3种中考考法)(原卷版)

专题05整式的乘法(3个知识点6种题型3种中考考法)(原卷版)

专题05整式的乘法（3个知识点6种题型3种中考考法）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：单项式与单项式相乘知识点2：单项式与多项式相乘知识点3：多项式与多项式相乘【方法二】实例探索法题型1：单项式与单项式相乘题型2：单项式与单项式相乘的综合应用题型3：单项式与多项式相乘题型4：单项式与多项式相乘的综合应用题型5：多项式与多项式相乘题型6：多项式与多项式相乘的综合应用【方法三】仿真实战法考法1：单项式与单项式相乘考法2：单项式与多项式相乘考法3：多项式与多项式相乘【方法四】成果评定法【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：单项式与单项式相乘单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式．注：单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方、再乘法”的顺序进行．例如：()()()22224245234312xy x y x y x y x y⋅-=⋅-=-．要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数 的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指 数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.知识点2：单项式与多项式相乘单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即()m a b c ma mb mc ++=++.要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.知识点3：多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.【方法二】实例探索法题型1：单项式与单项式相乘1．（2022秋•嘉定区期中）计算：﹣3ab •4b 2＝ ．2．（2022秋•杨浦区期中）计算：（﹣xy）2•x5＝．3．（2022秋•奉贤区期中）计算：ab2•（﹣4a2 b4）＝．题型2：单项式与单项式相乘的综合应用4．（2022秋•嘉定区期中）计算：（﹣2x3）•（﹣2x）3+（x3）2﹣x2•x4．5．（2022秋•黄浦区期中）计算：（﹣3a2b）3﹣（﹣2a3b）2•（﹣3b）．题型3：单项式与多项式相乘6．（2022秋•杨浦区期中）计算：6ab（2a﹣0.5b）﹣ab（﹣a+b）．7．（2022秋•嘉定区期中）计算：2x•（x2﹣x+3）．8．（2022秋•闵行区校级期中）计算：（﹣2xy）•（x2+xy﹣y2）．9．（2022秋•长宁区校级期中）若A＝3x﹣2，B＝1﹣2x，C＝﹣6x，则C•B+A•C＝．10．（2022秋•奉贤区期中）计算：（x2﹣3xy+y2）（﹣2x）2．题型5：多项式与多项式相乘11．（2022秋•黄浦区期中）计算：（3x﹣2）（x+2）＝．12．（2022秋•杨浦区期中）计算：（x+2y）（y﹣2）+（2y﹣4x）（y+1）．13．（2022秋•长宁区校级期中）2（x+2）（2x+3）﹣3（1﹣x）（x+6）．14．（2022秋•长宁区校级期中）计算：x（2x﹣3）+（3﹣x）（1﹣5x）．15．（2022秋•宝山区校级月考）计算：．16．（2022秋•闵行区期中）若多项式x﹣1与多项式x2+ax﹣b相乘，乘积不含一次项以及二次项，那么a，b的值分别是（）A．1，1B．1，﹣1C．﹣1，﹣1D．﹣1，117．（2022秋•浦东新区期中）已知（mx+n）（x2﹣3x+4）展开式中不含x2项，且x3的系数为2，则n m的值为．18．（2022秋•长宁区校级期中）如果（x﹣2）（x+m）＝x2+x+n，那么m＝，n＝．19．（2022秋•虹口区校级期中）有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为（2a+b），宽为（a+b）的矩形，则需要A类卡片张，B类卡片张，C类卡片张，请你在右下角的大矩形中画出一种拼法．（标上卡片名称）20．（2022秋•虹口区校级期中）已知多项式x2+ax+1与2x+b的乘积中含x2项的系数为4，含x项的系数为2，求a+b的值．21．（2022秋•浦东新区期中）甲、乙两人共同计算一道整式：（x+a）（2x+b），由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2﹣7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x﹣3．求（a﹣b）（﹣2a ﹣b）的值．22．（2022秋•长宁区校级期中）若关于x 的多项式2x +a 与x 2﹣bx ﹣2的乘积展开式中没有二次项，且常数项为10，求a 、b 的值．【方法三】 仿真实战法考法1：单项式与单项式相乘1．（2020•上海）计算：2a •（3ab ）＝ ．考法2：单项式与多项式相乘2．（2023•吉林）计算：a （b +3）＝ ．考法3：多项式与多项式相乘3．（2019•南京）计算（x +y ）（x 2﹣xy +y 2）【方法四】成功评定法一、单选题1．（2021秋·上海·七年级上海市西延安中学校考期中）下列计算正确的是（ ） A ．3x 2y +5yx 2＝8x 2y B ．2x •3x ＝6xC ．（3x 3）3＝9x 9D ．（﹣x ）3•（﹣3x ）＝﹣3x 42．（2021秋·上海黄浦·七年级统考期末）若x 2+px +q ＝（x ﹣3）（x +5），则p 的值为（ ） A ．﹣15B ．﹣2C ．2D ．83．（2022秋·上海普陀·七年级统考期末）如果2（5﹣a ）（6+a ）＝100，那么a 2+a +1的值为（ ） A ．19B ．﹣19C ．69D ．﹣694．（2022秋·上海闵行·七年级校考阶段练习）下列运算正确的是（ ） A ．325426x x x ⋅=B ．236326x x x ⋅=C ．()()25293212x x x -⋅-=-D ．()312319()x x x x -⋅--=-5．（2022秋·上海嘉定·七年级校考期中）如果A 、B 都是关于x 的单项式，且A B ⋅是一个八次单项式，A B +是一个六次多项式，那么A B -的次数（ ） A ．一定是八次 B ．一定是六次 C ．一定是四次D ．无法确定6．（2023秋·上海浦东新·七年级校考期中）如果()()253x m x x x k +-=-+，那么k 、m 的值分别是（ ）．A ．10k =，2m =B ．10k =，2m =-C ．10k =-，2m =D ．10k =-，2m =-二、填空题)213x y ⎛⎫- ⎝⎪⎭3⎫=⎪⎭．的结果是 )()32m n -三、解答题22241x y y y x y（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；根据以上规律，解答下列问题：（1）（a +b ）5展开式的系数和是 ；（a +b ）n 展开式的系数和是 ．（2）当a ＝2时，（a +b ）5展开式的系数和是 ；（a +b ）n 展开式的系数和是 ．24．（2022秋·上海静安·七年级上海市风华初级中学校考期中）7张如图1的长为a ，宽为b ()0b >的小长方形纸片，按如图2、3的方式不重叠地放在长方形ABCD 内；未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．(1)如图2，点E 、Q 、P 在同一直线上，点F 、Q 、G 在同一直线上，右下角与左上角的阴影部分的面积的差为____________（用含,a b 的代数式表示），长方形ABCD 的面积为____________（用含,a b 的代数式表示）(2)如图3，点F 、H 、Q 、G 在同一直线上，设右下角与左上角的阴影部分的面积的差为S ，CP x =. ①用含,,a b x 的代数式表示AE ；②当BC 的长度变化时，按照同样的放置方式，要使S 始终保持不变，那么,a b 必须满足什么条件?25．（2022秋·上海静安·七年级上海市风华初级中学校考期中）已知关于x 的一次二项式ax b +与231x x -+的积不含二次项，一次项的系数是4． 求：(1)系数a 与b 的值；(2)二项式ax b +与231x x -+的积．26．（2022秋·上海闵行·七年级校考周测）阅读材料，回答下列问题．阅读材料，回答下列问题． 多项式相乘的计算法则为用多项式中的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把结果加起来，例如()()()()a b c d a c d b c d ++=+++（乘法分配律）ac ad bc bd =+++()()()()()2x y x y x y x x y y x y +=++=+++22x xy yx y =+++（合并同类项） 222x xy y =++则ac ad bc bd +++叫做()()a b c d ++的展开式，222x xy y ++叫做()2x y +的展开式． (1)计算()21x +的展开式；(2)请指出()2x y +是几次几项式，并计算()3x y +的展开式（按照x 进行降幂排列），指出这个展开式是几次几项式，并推测()nx y +是几次几项式（用n 表示，其中n 为正整数）；(3)推测()nx y +的展开式中各项系数之和，并证明你的结论（用n 表示，其中n 为正整数）．27．（2022秋·上海·七年级专题练习）请阅读以下材料：[材料]若1234912346x =⨯，1234812347y =⨯，试比较x ，y 的大小．解：设12348a =，那么()()2122x a a a a =+-=--，()21y a a a a =-=-． 因为()()22220x y a a a a -=----=-<，所以x y <． 我们把这种方法叫做换元法．请仿照例题比较下列两数大小：997657997655x =⨯，997653997659y =⨯．28．（2021秋·上海·七年级统考期末）如图，已知正方形ABCD 与正方形CEFG ，点G 在边CD 上，已知正方形ABCD 的边长为a ，正方形CEFG 的边长为b ，且a b >．用a 、b 表示下列图形的面积．(1)DFG 的面积．(2)BEF △的面积．(3)BDF 的面积．。

《乘法公式》初中数学中考专题复习

《乘法公式》初中数学中考专题复习

初中数学中考专题复习《乘法公式》1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.知识点一、平方差公式平方差公式：22+-=-a b a b a b()()两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.知识点解析：在这里，ba,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如()()a b b a+-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如(35)(35)x y x y +-（3）指数变化：如3232()()m n m n +-（4）符号变化：如()()a b a b ---（5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+（6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++知识点二、完全平方公式完全平方公式：()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=- 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.知识点解析：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+ ()()224a b a b ab +=-+知识点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.知识点解析：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.知识点四、补充公式加强2()()()x p x q x p q x pq ++=+++；2233()()a b a ab b a b ±+=±；33223()33a b a a b ab b ±=±+±；2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++.例题1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的，写出计算结果．(1)()()2332a b b a --； (2) ()()2323a b a b -++；(3) ()()2323a b a b ---+； (4) ()()2323a b a b +-；(5) ()()2323a b a b ---； (6) ()()2323a b a b +--．【思路】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式.【答案】解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算．(2) ()()2323a b a b -++＝()23b －()22a ＝2294b a -．(3) ()()2323a b a b ---+＝()22a - －()23b ＝2249a b -．(4) ()()2323a b a b +-＝()22a －()23b ＝2249a b -．(5) ()()2323a b a b ---＝()23b -－()22a ＝2294b a -．【总结】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项（系数为相反数的同类项）．举一反三：【变式】计算：（1）332222x x y y ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）(2)(2)x x -+--； （3）(32)(23)x y y x ---．【答案】解：（1）原式2222392244x x y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）原式222(2)4x x =--=-．（3）原式22(32)(23)(32)(32)94x y y x x y x y x y =-+-=+-=-．例题2、计算：(1)59.9×60.1； (2)102×98．【答案】解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝22600.1-＝3600－0.01＝3599.99(2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝221002-＝10000－4＝9996．【总结】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可利用两数的平均数，通过两式(两数)的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式．这样可顺利地利用平方差公式来计算．举一反三：【变式】用简便方法计算：(1)899×901＋1； (2)99×101×10001；(3)22005－2006×2004；【答案】解：(1)原式＝(900－1)(900＋1)＋1＝22-+＝810000．90011(2)原式＝[(100－1)(100＋1)]×10001＝()2-×100011001＝(10000－1)×(10000＋1)＝100000000－1＝99999999．(3)原式＝22005－21)＝2005－(2005＋1)(2005－1)＝22005－(21．例题3、计算(2＋1)(221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1．【思路】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现2＋1与2－1，221+与221-，421+与421-等能够构成平方差，只需在前面添上因式（2－1），即可利用平方差公式逐步计算.【答案】解：原式＝(2－1)(2＋1)( 221+)(421+)(821+)(1621+)(3221+) ＋1＝(221-)( 221+)( 421+)(821+)(1621+)(3221+)＋1＝642－1＋1＝642．【总结】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后去解决，会事半功倍，提高解题能力．举一反三：【变式】计算：(1)2(3)(9)(3)-++x x x(2)(a＋b)( a－b)( 22a b+)+)( 44a b【答案】解：(1)原式＝[(x＋3)(x－3)](29x-．x+)＝481x+)＝(29x-)(29(2)原式＝[(a＋b)( a－b)]( 22+)a b+)( 44a b＝[(22+)]( 44+)a ba b-)( 22a b＝(44+)＝88a b-．a ba b-)( 44例题4、解方程：(21)(21)3(2)(2)(71)(1)x x x x x x+-++-=+-．【答案】解：222(2)13(4)771x x x x x -+-=-+-，22241312761x x x x -+-=--，227761112x x x -+=-++，612x =，∴ 2x =．【总结】先利用平方差公式，再按多项式乘法法则展开，此题把平方差公式与解方程综合起来考查．举一反三：【变式】解不等式组：(3)(3)(2)1,(25)(25)4(1).x x x x x x x x +--->⎧⎨---<-⎩ 【答案】解： (3)(3)(2)1,(25)(25)4(1).x x x x x x x x +--->⎧⎨---<-⎩①②由①得22921x x x --+>，210x >，5x >．由②得2225(2)44x x x -<-，2225444x x x -<-，425x -<-， 6.25x >．∴不等式组的解集为 6.25x >．例题1、计算：(1)()23a b +； (2)()232a -+； (3)()22x y -； (4)()223x y --．【思路】此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方公式.【答案】解：(1) ()()22222332396a b a a b b a ab b +=+⨯⋅+=++．(2) ()()()222223223222334129a a a a a a -+=-=-⨯⨯+=-+．(3) ()()22222222244x y x x y y x xy y -=-⋅⋅+=-+ ．(4) ()()()()2222222323222334129x y x y x x y y x xy y --=+=+⨯⨯+=++． 【总结】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时，结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符号为负．(2)注意()()22a b a b --=+之间的转化．例题2、计算：(1)22002；(2)21999．(3)2999.9．【答案】解：(1)()222220022000220002200022=+=+⨯⨯+＝4000000＋8000＋4＝4008004．(2)()222219992000120002200011=-=-⨯⨯+＝4000000－4000＋1＝3996001．(3) ()2222999.910000.11000210000.10.1=-=-⨯⨯+＝1000000－200＋0.01＝999800.01．【总结】构造完全平方公式计算的方法适合求接近整数的数的平方．例题3、已知7a b +=，ab ＝12．求下列各式的值：(1) 22a ab b -+；(2) 2()a b -．【答案解：(1)∵ 22a ab b -+＝22a b +－ab ＝()2a b +－3ab ＝27－3×12＝13．(2)∵ ()2a b -＝()2a b +－4ab ＝27－4×12＝1.【总结】由乘方公式常见的变形：①()2a b +－()2a b -＝4ab ；②22a b +＝()2a b +－2ab ＝()2a b -＋2ab ．解答本题关键是不求出,a b 的值，主要利用完全平方公式的整体变换求代数式的值．举一反三：【变式】已知2()7a b +=，2()4a b -=，求22a b +和ab 的值．【答案】解：由2()7a b +=，得2227a ab b ++=； ①由2()4a b -=，得2224a ab b -+=． ②①＋②得222()11a b +=，∴ 22112a b +=． ①－②得43ab =，∴ 34ab =．例题4、运用乘法公式计算：（1）2(23)a b +-；（2）(23)(23)a b c a b c +--+．【思路】（1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将23a b +-化成(23)a b +-，看成a 与(23)b -和的平方再应用公式；（2）是两个三项式相乘，其中a 与a 完全相同，2b ，3c -与2b -，3c 分别互为相反数，与平方差公式特征一致，可适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”．【答案】解：（1）原式222[(23)]2(23)(23)a b a a b b =+-=+-+-22464129a ab a b b =+-+-+22446129a b ab a b =++--+．（2）原式22222[(23)][(23)](23)4129a b c a b c a b c a b bc c =+---=--=-+-．【总结】配成公式中的“a ”“b ”的形式再进行计算.举一反三：【变式】运用乘法公式计算：(1)()()a b c a b c -++-； (2)()()2112x y y x -+-+；(3)()2x y z -+； (4)()()231123a b a b +---．【答案】解：(1) ()()a b c a b c -++-＝[a －(b －c )][ a ＋(b －c )]＝()()222222a b c a b bc c --=--+＝2222a b bc c -+-．(2) ()()2112x y y x -+-+ ＝[2x ＋(y －1)][2x －(y －1)]＝()()()222221421x y x y y --=--+＝22421x y y -+-．(3)()()()()22222x y z x y z x y x y z z -+=-+=-+-+⎡⎤⎣⎦＝222222x xy y xz yz z -++-+．(4) ()()231123a b a b +---＝()2231a b -+-＝－22[(23)2(23)1]a b a b ＋－＋＋ ＝－()22(2)a ab⎡⎤+⋅⋅+--+⎣⎦＝224129461a ab b a b －－－＋＋－例题5、已知△ABC 的三边长a 、b 、c 满足2220a b c ab bc ac ++---=，试判断△ABC 的形状．【思路】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系． 【答案】解：∵ 2220a b c ab bc ac ++---=，∴ 2222222220a b c ab bc ac ++---=，即222222(2)(2)(2)0a ab b b bc c a ac c -++-++-+=． 即222()()()0a b b c a c -+-+-=．∴ 0a b -=，0b c -=，0a c -=，即a b c ==，∴ △ABC 为等边三角形．【总结】式子2220a b c ab bc ac ++---=体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，但差着2ab 中的2倍，故想到等式两边同时扩大2倍，从而得到结论． 举一反三：【变式】多项式222225x xy y y -+++的最小值是____________. 【答案】4；提示：()()2222222514x xy y y x y y -+++=-+++，所以最小值为4.【高效练习A 】一.选择题1. 在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（ ） A.))((n m n m +-- B.()()3333x y x y -+ C.))((b a b a --- D.()()2222c d d c -+ 2．若x y +＝6，x y -＝5，则22x y -等于( )． A.11B.15C.30D.603．下列计算正确的是( )． A.()()55m m -+＝225m - B. ()()1313m m -+＝213m - C.()()24343916n n n ---+=-+D.( 2ab n -)(2ab n +)＝224ab n -4．下列多项式不是完全平方式的是( )． A.244x x --B.m m ++241 C.2296a ab b ++D.24129t t ++5．下列等式能够成立的是( )． A.()()22a b a b -=--B.()222x y x y -=- C.()()22m n n m -=-D.(x －y)(x ＋y)＝(－x －y)(x －y)6．下列等式不能恒成立的是( )． A.()222396x y x xy y -=-+ B.()()22a b c c a b +-=-- C.22241)21(n mn m n m +-=- D.()()()2244x y x y x y x y -+-=-二.填空题7．若2216x ax ++是一个完全平方式，则a ＝______． 8. 若2294x y +＝()232x y M ++,则M ＝______． 9. 若x y +＝3，xy ＝1，则22x y +＝_______.10.观察等式222222213,325,437-=-=-=，…用含自然数n 的等式表示它的规律为：_________.11. ()25(2)(2)21x x x -+--=___________.12.若()212x -=，则代数式225x x -+的值为________. 三.解答题13. 计算下列各题： （1）33(2)(2)22x y x y +--+ （2）2(4)(4)(16)x x x +-+ （3）2(2)()4(2)x y x y x y -+-- （4）23()(2)(2)y z y z z y --+-+14.先化简，再求值：22)1(2)1)(1(5)1(3-+-+-+a a a a ，其中3=a ． 15.已知：2225,7x y x y +=+=，且,x y >求x y -的值.【高效练习A 答案与解析】一.选择题 1. 【答案】A ；【解析】A 中m 和m -符号相反，n 和n -符号相反，而平方差公式中需要有一项是符号相同的，另一项互为相反数.2. 【答案】C ；【解析】()()22x y x y x y -=+-＝6×5＝30. 3. 【答案】C ；【解析】()()55m m -+＝225m -；()()1313m m -+＝219m -；(2ab n -)(2ab n +)＝2224a b n -.4. 【答案】A ；【解析】2211()42m m m ++=+；22296(3)a ab b a b ++=+；224129(23)t t t ++=+.5. 【答案】C ；6. 【答案】D ；【解析】()()()()22222x y x y x y x y-+-=-.二.填空题 7. 【答案】±4；【解析】222216244x ax x x ++=±⨯+，所以4a =±. 8. 【答案】12xy -；【解析】2294x y +＝()23212x y xy +-. 9. 【答案】7；【解析】()2222x y x y xy +=++，22927x y +=-=. 10.【答案】()22121n n n +-=+ （n ≥1的正整数）； 11.【答案】2421x x +-；【解析】()()()22225(2)(2)2154441421x x x x x x x x -+--=---+=+-.12.【答案】6；【解析】因为()212x -=，所以2221,256x x x x -=-+=.三.解答题 13.【解析】解：（1）原式＝22223339222462224x y x y x y x y y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+---=--=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦； （2）原式＝()()2241616256x x x -+=-；（3）原式＝()2222222244421717x xy xy y x xy y x xy y +----+=-+-；（4）原式＝()()22222232464y yz z y z y yz z -+--=--+. 14.【解析】解：223(1)5(1)(1)2(1)a a a a +-+-+-()()()22232151221210a a a a a a =++--+-+=+当3,=231016a =⨯+=时原式. 15.【解析】解：∵()2222x y x y xy +=++，且2225,7x y x y +=+=∴27252xy =+，∴12xy =， ∵()2222252121x y x y xy -=+-=-⨯= ∴1x y -=± ∵,x y >即0x y -> ∴1x y -=.【高效练习B 】一.选择题1．下列各多项式相乘，可以用平方差公式的有( )． ①()()2552ab x x ab -++ ②()()ax y ax y --- ③()()ab c ab c --- ④()()m n m n +-- A.4个B.3个C.2个D.1个2. 若214x kx ++是完全平方式，则k 值是（ ） A. 2± B. 1± C. 4± D. 1 3.下面计算()()77a b a b -++---正确的是( )．A.原式＝(－7＋a ＋b )[－7－(a ＋b )]＝－27－()2a b + B.原式＝(－7＋a ＋b )[－7－(a ＋b )]＝27＋()2a b + C.原式＝[－(7－a －b )][－(7＋a ＋b )]＝27－()2a b + D.原式＝[－(7＋a )＋b ][－(7＋a )－b ]＝()227a b +- 4．(a ＋3)(2a ＋9)(a －3)的计算结果是( )．A.4a ＋81B.－4a －81C. 4a －81D.81－4a5．下列式子不能成立的有( )个．①()()22x y y x -=- ②()22224a b a b -=- ③()()()32a b b a a b -=-- ④()()()()x y x y x y x y +-=---+ ⑤()22112x x x -+=-- A.1B.2C.3D.46．计算2)22(b a -的结果与下面计算结果一样的是( )．A.2)(21b a -B.ab b a -+2)(21C.ab b a +-2)(41D.ab b a -+2)(41二.填空题7．多项式28x x k -+是一个完全平方式，则k ＝______．8. 已知15a a +=，则221a a +的结果是_______. 9. 若把代数式223x x --化为()2x m k -+的形式，其中m ，k 为常数，则m ＋k ＝_______.10. 如果1ab =，那()()22_________n n n n a b a b --+=.11．对于任意的正整数n ，能整除代数式()()()()313133n n n n +---+的最小正整数是_______.12. 如果()()221221a b a b +++-＝63，那么a ＋b 的值为_______. 三.解答题 13.计算下列各值.22(1)10199+ ()()()2222(2)224m m m +-+(3)()()a b c a b c +--+ 2(4)(321)x y -+14. 已知 21x x =+，求下列代数式的值：(1)553x x -+； (2)221x x+ 15. 已知：()26,90,a b ab c a -=+-+=求a b c ++的值.【高效练习B 答案与解析】一.选择题 1. 【答案】B ；【解析】①，②，③可用平方差公式. 2. 【答案】B ；【解析】2221112224x x x kx ⎛⎫⎛⎫±⨯+=±+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以k ＝±1. 3. 【答案】C ； 4. 【答案】C ；【解析】(a ＋3)(2a ＋9)(a －3)＝224(9)(9)81a a a -+=-. 5. 【答案】B ；【解析】②，③不成立. 6. 【答案】D ；【解析】22221()()224424a b a b ab a b ab -=+-=+-.二.填空题 7. 【答案】16；【解析】2228244x x k x x -+=-⨯+，∴k ＝16. 8. 【答案】23； 【解析】21()25,a a +=222211225,23a a a a ++=+=. 9. 【答案】－3；【解析】()22223211314x x x x x --=-+--=--，m ＝1，k ＝－4. 10.【答案】－4；【解析】原式()()()22n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b =-++---=⋅- ()444nn n a b ab =-=-=-. 11.【答案】10；【解析】利用平方差公式化简得10()21n -，故能被10整除. 12.【答案】±4；【解析】()()2212a b a b +++-()2221a b a=+-.三.解答题 13.【解析】解：（1）原式＝()()2210011001=100002001100002001=20002++-+++-+ （2）原式＝()()()22222484441632256m m m m m -+=-=-+（3）原式＝()222222a b c a b c bc --=--+（4）原式＝()()222(321)3212322322x y x y x y x y -+=++-⨯⨯+⨯-⨯229412641x y xy x y =+-+-+14.【解析】解：（1）()()()2523343111x x x x x x x x x x =⋅=+⋅=+=+++ ()2231213153x x x x x =++=+++=+ ∴55353536x x x x -+=+-+=（2）已知两边同除以x ，得111,1x x xx=+-=即∴22211()21x x x x -=+-= ∴2213x x+=.15.【解析】解：∵6,a b -=∴6a b =+ ∵()290,ab c a +-+= ∴()()2690,b b c a ++-+= ∴()()2230,b c a ++-= ∴3,b c a =-=第 21 页 共 21 页 ∴()363,3a c =-+== ∴()3333a b c ++=+-+=.。

第02讲 整式的乘除法(知识解读+真题演练+课后巩固)(原卷版)

第02讲 整式的乘除法(知识解读+真题演练+课后巩固)(原卷版)

第02讲整式的乘除法1.掌握单项式乘（或除以）单项式，多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算．2.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活的运用运算律进行混合运算。

知识点1：单项式乘单项式单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．知识点2：单项式乘多项式单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．知识点3：多项式乘多项式多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．知识点4：单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．知识点5：多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．【题型1单项式乘单项式】【典例1】（2023春•青龙县期末）计算2x2y•xy2的结果是．【变式1-1】（2023•长岭县模拟）计算（2x）2（﹣3xy2）＝．【变式1-2】（2023春•永定区期末）计算：2（a2）3•（﹣3a2b）＝．【变式1-3】（2023春•新城区校级期末）＝．【题型2单项式乘多项式】【典例2】（2023春•秦都区期中）计算：3a（2a2﹣4a）﹣2a2（3a+4）．【变式2-1】（2023春•青秀区期中）化简：x+2x（x+1）﹣3x（2x﹣5）．【变式2-2】（2022春•槐荫区期末）计算：﹣3a（2a﹣4b+2）+6a．【变式2-3】（2022春•平桂区期中）计算：m（m3+m2）﹣m3（m﹣3）．【题型3多项式乘多项式】【典例3】（2022秋•惠阳区校级月考）计算：（1）（x﹣3）（x2+4）；（2）（3x2﹣y）（x+2y）．【变式3-1】（2022秋•兴城市期末）计算：（2a﹣3b）（2a2+6ab+5b2）．【变式3-2】（2022秋•南宫市期末）计算：（x﹣2）（x﹣5）﹣x2．【变式3-3】（2023春•沙坪坝区校级期末）计算：（1）（2x2）3﹣6x3（x3+2x2+x）．（2）（2x﹣1）（x+4）+（2x+3）（x﹣5）．【题型4多项式乘多项式-不存在某项问题】【典例4】（2023春•昭平县期末）已知（x2+mx﹣3）（2x+n）的展开式中不含x2项，常数项是﹣6．（1）求m，n的值．（2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．【变式4-1】（2023春•巨野县期末）（1）若（x2+mx+n）（x2﹣3x+1）的展开式中不含x2和x3项，求m、n的值．（2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．【变式4-2】（2023春•温江区校级期中）若（x+m）（x2﹣3x+n）的展开式中不含x项，x2项的系数为﹣1，求n m的值．【变式4-3】（2023春•茶陵县期中）若的积中不含x项与x2项．（1）求p、q的值；（2）求代数式p2022q2023的值．【题型5多项式乘多项式的实际应用】【典例5】（2022秋•松原期末）如图，某小区有一块长为（2a+3b）米，宽为（3a+2b）米的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，将阴影部分进行绿化．（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积S；（2）若a＝2，b＝4，求出此时绿化的总面积S．【变式5-1】（2023春•绥德县期末）如图，在某高铁站广场前有一块长为2a+b，宽为a+b的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道．（1）求该长方形空地的面积；（用代数式表示）（2）求这两个长方形喷泉池的总面积；（用代数式表示）（3）当a＝200，b＝100时，求这两个长方形喷泉池的总面积．【变式5-2】（2022秋•晋江市期末）甲、乙两个长方形的边长如图所示，其面积分别记为S1，S2．（1）请通过计算比较S1与S2的大小；（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长的和，设该正方形的面积为S3，试说明代数式S3﹣2（S1+S2）的值是一个常数．【变式5-3】（2023春•张店区期中）某学校准备在一块长为（3a+2b）米，宽为（2a+b）米的长方形空地上修建一块长为（a+2b）米，宽为（3a﹣b）米的长方形草坪，四周铺设地砖（阴影部分），（1）求铺设地砖的面积；（用含a、b的式子表示，结果化为最简）（2）若a＝3，b＝4，铺设地砖的成本为50元/平方米，则完成铺设地砖需要多少元？【典例6】（2022秋•西湖区校级期末）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）由图2可得等式：．（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．【变式6-1】（2023春•龙泉驿区期末）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，若干张边长为a的正方形A纸片，边长为b的正方形B纸片，长和宽分别为a与b的长方形C纸片（如图1）．（1）小李同学拼成一个宽为（a+b），长为（a+2b）的长方形（如图2），并用不同的方法计算面积，从而得出相应的等式：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2（答案直接填写到横线上）；（2）如果用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+3b）的大长方形，求需要A，B，C三种纸片各多少张；（3）利用上述方法，画出面积为2a2+5ab+2b2的长方形，并求出此长方形的周长（用含a，b的代数式表示）．【变式6-2】（2021秋•罗庄区期末）我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就能用图1或图2等图形的面积表示：（1）请你写出图3所表示的一个等式：．（2）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2．【题型6单项式除法运算】【典例7】（2023•青岛）计算：8x3y÷（2x）2＝．【变式7-1】（2022秋•柳州期末）计算4x2y÷2xy＝【变式7-2】（2023春•威宁县期末）计算：﹣28a3÷7a＝．【变式7-3】（2023秋•鲤城区校级月考）计算：6a2b÷2ab＝．【变式7-4】（2023•城阳区三模）＝．【题型7多项式除法运算】【典例8】（2023•丰城市校级开学）先化简，再求值：（12a3﹣6a2+3a）÷3a，其中a＝﹣1．【变式8-1】（2023春•济南期中）计算：（ab3﹣2a2b2+ab）÷ab．【变式8-2】（2023春•莲湖区期中）计算：（15x4y2﹣12x2y3﹣3x2）÷（﹣3x2）．【变式8-3】（2023春•西安月考）计算：ab（2a3b2c﹣6ab3c2）÷（﹣2ab2c）．1．（2023•随州）设有边长分别为a和b（a＞b）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为（）A．6B．7C．8D．9 2．（2023•金昌）计算：a（a+2）﹣2a＝（）A．2B．a2C．a2+2a D．a2﹣2a 3．（2021•兰州）计算：2a（a2+2b）＝（）A．a3+4ab B．2a3+2ab C．2a+4ab D．2a3+4ab 4．（2020•兰州）化简：a（a﹣2）+4a＝（）A．a2+2a B．a2+6a C．a2﹣6a D．a2+4a﹣2 5．（2021•凉山州）阅读以下材料：苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log39可以转化为指数式32＝9．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a（M•N）＝log a M+log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：设log a M＝m，log a N＝n，则M＝a m，N＝a n，∴M•N＝a m•a n＝a m+n，由对数的定义得m+n＝log a（M•N）．又∵m+n＝log a M+log a N，∴log a（M•N）＝log a M+log a N．根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：（1）填空：①log232＝，②log327＝，③log71＝；（2）求证：log a＝log a M﹣log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；（3）拓展运用：计算log5125+log56﹣log530．1．（2023春•市南区校级期中）小明有足够多的如图所示的正方形卡片A，B和长方形卡片C，如果他要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，共需要C类卡片（）A．3张B．4张C．5张D．6张2．（2022秋•新抚区期末）如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为4a2b，则图2中纸盒底部长方形的周长为（）A．4ab B．8ab C．4a+b D．8a+2b 3．（2023春•裕华区期中）化简x（x﹣2）+4x的结果是（）A．x2+6x B．x2﹣2x C．x2﹣6x D．x2+2x 4．（2023春•平湖市期中）计算（a+3b）（a+2b）的结果是（）A．a2+5ab+5b2B．a2+5ab+6b2C．a2+5b2D．a2+6b2 5．（2023春•临清市期末）若（x2﹣px+q）（x﹣3）展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（）A．p＝3q B．p+3q＝0C．q+3p＝0D．q＝3p 6．（2023春•承德县期末）若（x﹣3）（x+n）＝x2+mx﹣21，则m，n的值分别是（）A．4，﹣3B．﹣7，4C．﹣5，18D．4，7 7．（2023春•包河区期中）若关于x的多项式（x2+ax）（x﹣2）展开合并后不含x2项，则a的值是（）A．2B．C．0D．﹣2 8．（2023春•漳浦县期中）已知（x﹣1）（x﹣2）＝x2+mx+n，则m+n的值为（）A．﹣1B．﹣5C．5D．1 9．（2023春•潍坊期中）计算下列各题：（1）x2•（﹣2xy2）3；（2）（2m+1）•．10．（2022秋•河北区期末）计算：（1）a•a5+（a3）2﹣（2a2）3；（2）（2x+1）（x﹣2）．11．（2022秋•天河区期末）计算：（2x+1）（x﹣3）12．（2022春•临湘市校级月考）计算：（1）（﹣2a2b）3+8（a2）2•（﹣a2）•（﹣b）3；（2）（x﹣1）（x2+x+1）．13．（2022秋•昌吉市校级期末）如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．（1）试用含a、b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？（2）若a＝10，b＝8，且每平方米造价为100元，求出绿化需要多少费用？14．（2022秋•衡南县期中）若（x2+mx）（x2﹣3x+n）的展开式中不含x2和x3项，求m和n的值．15．（2022春•揭东区期末）如图1，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草坪上修建一横一竖，宽度均为b米的通道．（1）通道的面积共有多少平方米？（2）剩余草坪的面积是多少平方米？（3）若修两横一竖，宽度均为b米的通道（如图2），已知a＝2b，剩余草坪的面积是216平方米，求通道的宽度是多少米？16．（2023•桃城区校级模拟）甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为正整数），其面积分别为S1，S2．（1）填空：S1﹣S2＝（用含m的代数式表示）；（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和．①设该正方形的边长为x，求x的值（用含m的代数式表示）；②设该正方形的面积为S3，试探究：S3与2（S1+S2）的差是否是常数？若是常数，求出这个常数，若不是常数，请说明理由．。

专题复习：乘法公式知识点归纳及典例+练习题及答案(师)

专题复习：乘法公式知识点归纳及典例+练习题及答案(师)

专题复习：乘法公式知识点归纳及典例+练习题一、知识概述 1、平方差公式 由多项式乘法得到 (a＋b)(a－b) ＝a －b . 即两个数的和与这两个数的差的积，等于它们的平方差. 2、平方差公式的特征 ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)； ③公式中的 a 和 b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对于形如两数和与这两数差相乘的形式，就可以运用上述公式来计算． 3、完全平方公式 由多项式乘法得到（a±b） ＝a ±2ab＋b2 2 2 2 2即两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的 2 倍. 推广形式：（a＋b＋c） ＝a ＋b ＋c ＋2ab＋2bc＋2ca 4、完全平方公式的特征 (a＋b) ＝a ＋2ab＋b 与(a－b) ＝a －2ab＋b 都叫做完全平方公式，为了区别，我们把前者叫做两数 和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式． ①两公式的左边：都是一个二项式的完全平方，二者仅有一个符号不同；右边：都是二次三项式，其 中有两项是公式左边两项中每一项的平方，中间是左边二项式中两项乘积的 2 倍，两者也仅有一个符号不 同． ②公式中的 a、b 可以是数，也可以是单项式或多项式． ③对于形如两数和(或差)的平方的乘法，都可以运用上述公式计算． 5、乘法公式的主要变式 （1）a －b ＝(a＋b)(a－b); （2）(a＋b) －(a－b) ＝4ab; （3）(a＋b) ＋(a－b) ＝2(a ＋b )； （4）a ＋b ＝(a＋b) －2ab＝(a－b) ＋2ab （5）a ＋b ＝(a＋b) －3ab(a＋b)． 熟悉这些变形公式，明确它们间联系，综合运用，常可简化解题过程． 注意：(1)公式中的 a，b 既可以表示单项式，也可以表示多项式. (2)乘法公式既可以单独使用，也可以同时使用. (3)这些公式既可以正用，也可以逆用，因此在解题时应灵活地运用公式，以计算简捷为宜.3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2二、典型例题讲解 例 1、计算： (1)(3a＋2b)(2b－3a)； (2)(x－2y)(－x－2y)；(3) (4)(a＋b＋c)(a－b－c). 解：；(1)原式＝(2b＋3a)(2b－3a) ＝(2b) －(3a) ＝4b －9a2 2 2 2(2)原式＝(－2y＋x)(－2y－x) ＝(－2y) －x ＝4y －x2 2 2 2(3)原式＝＝＝ (4)原式＝[a＋(b＋c)][a－(b＋c)] ＝a －(b＋c)2 2 2 2＝a －(b ＋2bc＋c ) ＝a －b －2bc－c 例 2、计算： (1)2004 －19962 2 2 2 2 22(2)(x－y＋z) －(x＋y－z)2(3)(2x＋y－3)(2x－y－3)． 解：(1)2004 －1996 ＝(2004＋1996)(2004－1996) ＝4000×8＝32000 (2)(x－y＋z) －(x＋y－z)2 2 2 2＝[(x－y＋z)＋(x＋y－z)][ (x－y＋z)－(x＋y－z)]＝2x(－2y＋2z)＝－4xy＋4xz （3）(2x＋y－3)(2x－y－3)＝[(2x－3)＋y][(2x－3)－y] ＝(2x－3) －y ＝4x －12x＋9－y ＝4x －y －12x＋9； 例 3、计算： (1)(3x＋4y) ； (3)(2a－b) ；2 2 2 2 2 2 2 2 2(2)(－3＋2a) ； (4)(－3a－2b)22解：(1)原式＝(3x) ＋2·3x·4y＋(4y) ＝9x ＋24xy＋16y2 2 22(2)原式＝(－3) ＋2·(－3)·2a＋4a ＝4a －12a＋922(3)原式＝(2a) ＋2·2a·(－b)＋(－b) ＝4a －4ab＋b2 222(4)原式＝[－(3a＋2b)] ＝(3a＋2b)2 22＝(3a) ＋2·(3a)·2b＋(2b) ＝9a ＋12ab＋4b2 22例 4、已知 m＋n＝4， mn＝－12，求(1)；（2）；（3）．解：（1）；（2）；（3）2．例 5、多项式 9x ＋1 加上一个单项式后，使它能够成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是 ________(填上一个你认为正确的即可)． 分析： 解答时，很多学生只习惯于课本上的完全平方的顺序，认为只有添加中间(两项的乘积的 2 倍)项，即 9x ＋1＋6x＝(3x＋1) 或 9x －6x＋1＝(3x－1) ；但只要从多方面考虑，还会得出2 2 2 2，9x ＋1－1＝9x ＝(3x) ， 9x ＋1－9x ＝12， 所以添加的单项式可以是 6x，22222－6x，，－1，－9x ．2答案：±6x 或 例 6、计算：或－1 或－9x2，并说明结果与 y 的取值是否有关． 解：从上述结果可以看出，结果中不含 y 的项，因此结果与 y 的取值无关． 点评： (1)利用平方差公式计算的关键是弄清具体题目中，哪一项是公式中的 a，哪一项是公式中的 b； (2)通常在各因式中， 相同项在前， 相反项在后， 但有时位置会发生变化， 因此要归纳总结公式的变化， 使之更准确的灵活运用公式． ①位置变化：(b＋a)(－b＋a)＝(a＋b)(a－b)＝a －b ； ②符号变化：(－a－b)(a－b)＝(－b－a)(－b＋a)＝(－b) －a ＝b －a ； ③系数变化：(3a＋2b)(3a－2b)＝(3a) －(2b) ＝9a －4b ； ④指数变化：(a ＋b )(a －b )＝(a ) －(b ) ＝a －b ； ⑤连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a ＋b )(a ＋b ) ＝(a －b )(a ＋b )(a ＋b )＝(a －b )(a ＋b ) ＝a －b ； ⑥逆用公式变化：(a－b＋c) －(a－b－c)2 2 8 8 2 2 2 2 4 4 4 4 4 4 2 2 4 4 3 3 3 3 3 2 3 2 6 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2＝[(a－b＋c)＋(a－b－c)][(a－b＋c)－(a－b－c)] ＝4c(a－b)． 例 7、已知 ．求 分析：的值．若直接代入求解则十分繁杂。

中考数学 第3讲 乘法公式和因式分解(解析版)

中考数学 第3讲 乘法公式和因式分解(解析版)

…
由以上规律
（1）填空：（x1）（xn+xn1+…+x+1）＝
．
（2）求：22019+22018+22017+…+22+2+1 的值．
【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，规律总结得到一般性结论，写出即可；
（2）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果． 【解答】解：①（x1）（x+1）＝x21； ②（x1）（x2+x+1）＝x31； ③（x1）（x3+x2+x+1）＝x41； ④（x1）（x4+x3+x2+x+1）＝x51； ⑤（x1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x61；
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝（x+1）（x1）．
故答案为：（x+1）（x1）．
【一领三通 3-4】（2019 江苏徐州中考）若 a＝b+2，则代数式 a22ab+b2 的值为 ．
【答案】4
中考数学复习资料
【分析】由 a＝b+2，可得 ab＝2，代入所求代数式即可． 【解答】解：∵a＝b+2， ∴ab＝2， ∴a22ab+b2＝（ab）2＝22＝4． 故答案为：4 三、【达标测试】 一、选择题 1.（2019，湖南湘潭中考模拟）下列式子，正确的是（ ）
【答案】（a+b）2．
【分析】直接利用多项式乘法去括号，进而合并同类项，再利用公式法分解因式得出答案．
【解答】解：（ab）2+4ab
＝a22ab+b2+4ab

中考复习——乘法公式(解析版)

中考复习——乘法公式(解析版)

中考复习——乘法公式一、选择题1、（1+y）（1-y）=（）．A. 1+y2B. -1-y2C. 1-y2D. -1+y2答案：C解答：（1+y）（1-y）=12-y2=1-y2，选C.2、下列运算正确的是（）．A. a12÷a3=a4B. （3a2）3=9a6C. 2a·3a=6a2D. （a-b）2=a2-ab+b2答案：C解答：A选项：a12÷a3=a9，故A错误．B选项：（3a2）3=27a6，故B错误．C选项：2a·3a=6a2，故C正确．D选项：（a-b）2=a2-2ab+b2，故D错误．选C.3、下列运算正确的是（）．A. （a+b）（a-2b）=a2-2b2B. （a-12）2=a2-14C. -2（3a-1）=-6a+1D. （a+3）（a-3）=a2-9答案：D解答：A选项：原式=a2-2ab+ab-2b2=a2-ab-2b2，故A错误；B选项：原式=a2-a+14，根据完全平方公式可以做出判断，故B错误；C选项：原式=-6a+2，根据乘法分配律可以做出判断，故C错误；D选项：原式=a2-9，故D正确．选D.4、下列运算正确的是（）．A. 2x+3x=5x2B. （-2x）3=-6x3C. 2x3·3x2=6x5D. （3x+2）（2-3x）=9x2-4答案：C解答：A选项：2x+3x=5x，故A错误；B选项：（-2x）3=-8x3，故B错误；C选项：2x3·3x2=6x5，故C正确；D选项：（3x+2）（2-3x）=-9x2+4，故D错误．选C.5、下列运算正确的是（）．A. 4m-m=4B. （a2）3=a5C. （x+y）2=x2+y2D. -（t-1）=1-t 答案：D解答：A选项：4m-m=3m，故A错误；B选项：（a2）3=a6，故B错误；C选项：（x+y）2=x2+2xy+y2，故C错误；D选项：-（t-1）=1-t，故D正确．选D.6、下列运算正确的是（）．A. （2a2b）2=2a4b2B. （-a）2=a2C. （a+b）2=a2+b2D. a3a4=a12答案：B解答：A选项：原式=4a4b2，故A错误；B选项：原式=a2，故B正确；C选项：原式=a2+2ab+b2，故C错误；D选项：原式=a7，故D错误．选B.7、下列计算正确的是（）．A. x2+x=x3B. （-3x）2=6x2C. 8x4÷2x2=4x2D. （x-2y）（x+2y）=x2-2y2答案：C解答：A选项：x2+x≠x3，故A错误；B选项：（-3x）2=9x2≠6x2，故B错误；C选项：8x4÷2x2=4x2，故C正确；D选项：（x-2y）（x+2y）=x2-4y2≠x2-2y2，故D错误．选C.8、选择计算（-4xy2+3x2y）（4xy2+3x2y）的最佳方法是（）．A. 运用多项式乘多项式法则B. 运用平方差公式C. 运用单项式乘多项式法则D. 运用完全平方公式答案：B解答：选择计算（-4xy2+3x2y）（4xy2+3x2y）的最佳方法是：运用平方差公式．选B.9、下列计算正确的是（）．A. a2·a3=a6B. a8÷a2=a4C. a2+a2=2a2D. （a+3）2=a2+9答案：C解答：A选项：a2·a3=a5，故A错误；B选项：a8÷a2=a6，故B错误；C选项：a2+a2=2a2，故C正确；D选项：（a+3）2=a2+6a+9，故D错误；选C.10、下列运算，正确的是（）．A. 2x+3y=5xyB. （x-3）2=x2-9C. （xy2）2=x2y4D. x6÷x3=x2答案：C解答：A选项：2x+3y，无法合并，故A错误；B选项：（x-3）2=x2-6x+9，故B错误；C选项：（xy2）2=x2y4，故C正确；D选项：x6÷x3=x3，故D错误．选C.11、下列计算正确的是（）．A. B. （-2a2b）3=-6a2b3C. （a-b）2=a2-b2D.24aa b-+·2a ba++=a-2答案：D解答：A选项：，故A错误；B选项：（-2a2b）3=（-2）3（a2）3b3=-8a6b3，故B错误；C选项：（a-b）2=a2-2ab+b2，故C错误；D选项：24aa b-+·2a ba++=()()22a aa b+-+·2a ba++=a-2，故D正确．选D.12、下列运算不正确的是（）．A. xy+x-y-1=（x-1）（y+1）B. x2+y2+z2+xy+yz+zx=12（x+y+z）2C. （x+y）（x2-xy+y2）=x3+y3D. （x-y）3=x3-3x2y+3xy2-y3答案：B解答：A选项：xy+x-y-1=x（y+1）-（y+1）=（x-1）（y+1），A正确，不符合题意；B选项：x2+y2+z2+xy+yz+zx=12[（x+y）2+（x+z）2+（y+z）2]，B错误，符合题意；C选项：（x+y）（x2-xy+y2）=x3+y3，C正确，不符合题意；D选项：（x-y）3=x3-3x2y+3xy2-y3，D正确，不符合题意．选B.13、下列计算正确的是（）．A. （x+y）2=x2+y2B. 2x2y+3xy2=5x3y3C. （-2a2b）3=-8a6b3D. （-x）5÷x2=x3答案：C解答：A选项：原式=x2+2xy+y2，不符合题意；B选项：原式不能合并，不符合题意；C选项：原式=-8a6b3，符合题意；D选项：原式=-x5÷x2=-x3，不符合题意．选C.14、如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（）．A. x2-2x+1=（x-1）2B. x2-1=（x+1）（x-1）C. x2+2x+1=（x+1）2D. x2-x=x（x-1）答案：B解答：第一个图形空白部分的面积是x2-1，第二个图形的面积是（x+1）（x-1）．则x2-1=（x+1）（x-1）．选B.15、下列运算一定正确的是（）．A. 2a+2a=2a2B. a2·a3=a6C. （2a2）3=6a6D. （a+b）（a-b）=a2-b2答案：D解答：2a+2a=4a，A错误；a2·a3=a5，B错误；（2a2）3=8a6，C错误；选D.16、若()()2291111k--=8×10×12，则k=（）．A. 12B. 10C. 8D. 6答案：B解答：利用平方差公式可得，8101012k⨯⨯⨯=8×10×12，可求k为10．选B.17、化简（x-3）2-x（x-6）的结果为（）．A. 6x-9B. -12x+9C. 9D. 3x+9答案：C解答：原式=x2-6x+9-x2+6x=9．选C.18、4张长为a、宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2．若S1=2S2，则a、b满足（）．A. 2a=5bB. 2a=3bC. a=3bD. a=2b答案：D解答：S1=12b（a+b）×2+12ab×2+（a-b）2=a2+2b2，S2=（a+b）2-S1=（a+b）2-（a2+2b2）=2ab-b2，∵S1=2S2，∴a2+2b2=2（2ab-b2），整理，得（a-2b）2=0，∴a-2b=0，∴a=2b．选D.19、已知三个实数a，b，c满足a-2b+c=0，a+2b+c＜0，则（）．A. b＞0，b2-ac≤0B. b＜0，b2-ac≤0C. b ＞0，b 2-ac ≥0D. b ＜0，b 2-ac ≥0答案：D解答：∵a -2b +c =0，a +2b +c ＜0， ∴a +c =2b ，b =2a c+， ∴a +2b +c =（a +c ）+2b =4b ＜0， ∴b ＜0， ∴b 2-ac =（2a c +）2-ac =2224a ac c ++-ac=2224a ac c -+=（2a c -）2≥0 即b ＜0，b 2-ac ≥0． 选D. 二、填空题20、计算：（a -1）2=______． 答案：a 2-2a +1解答：根据差的完全平方公式展开得：（a -1）2=a 2-2a +1． 故答案为a 2-2a +1．21、计算：（a +3）2=______． 答案：a 2+6a +9解答：（a +3）2=a 2+6a +9． 故答案为：a 2+6a +9． 22、计算：（2-x ）2=______． 答案：4-4x +x 2解答：（2-x ）2=22-2×2x +x 2=4-4x +x 2． 故答案为：4-4x +x 2．23、已知a =7-3b ，则代数式a 2+6ab +9b 2的值为______．答案：49解答：∵a=7-3b，∴a+3b=7，∵a2+6ab+9b2=（a+3b）2，∴a2+6ab+9b2=72=49．故答案为：49．24、化简x2-（x+2）（x-2）的结果是______．答案：4解答：x2-（x+2）（x-2）=x2-x2+4=4．25、化简：（）（）=______．答案：1解答：原式=22-2=4-3=1．26、若a=b+2，则代数式a2-2ab+b2的值为______．答案：4解答：∵a=b+2，∴a-b=2，∴a2-2ab+b2=（a-b）2=22=4．27、若x2+ax+4=（x-2）2，则a=______．答案：-4解答：∵x2+ax+4=（x-2）2，∴a=-4．故答案为：-4．28）-1）的结果等于______．答案：2解答：由平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）可知：）-1）=2-12=3-1=2．29、已知a+b=3，a2+b2=5，则ab的值是______．答案：2解答：∵a+b=3，∴（a+b）2=9，即a2+2ab+b2=9，∵a2+b2=5，∴ab=（9-5）÷2=2．故答案为：2．30、若x、y、z为实数，且2421x y zx y z+-=⎧⎨-+=⎩，则代数式x2-3y2+z2的最大值是______．答案：26解答：①②2421x y zx y z+-=⎧⎨-+=⎩①②，①-②得：y=1+z，则y=1+z代入①得：x=2-z，则x2-3y2+z2=（2-z）2-3（1+z）2+z2=-z2-10z+1=-（z+5）2+26，当z=5时，x2-3y2+z2的最大值是26，故答案且：26．31、2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图1），且大正方形的面积是15，小正方形的面积是3，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b．如果将四个全等的直角三角形按如图2的形式摆放，那么图2中最大的正方形的面积为______．答案：27解答：由题意可得在图1中：a 2+b 2=15，（b -a ）2=3， 图2中大正方形的面积为：（a +b ）2， ∵（b -a ）2=3，a 2-2ab +b 2=3， ∴15-2ab =3， 2ab =12，∴（a +b ）2=a 2+2ab +b 2=15+12=27， 故答案为：27． 三、解答题32、化简：（a +b ）2-b （2a +b ）． 答案：a 2．解答：原式=a 2+2ab +b 2-2ab -b 2 =a 2． 33、计算：（1）（x +y ）2+x （x -2y ）．（2）（1-3m m +）÷22969m m m -++．答案：（1）2x 2+y 2． （2）33m -． 解答：（1）原式=x 2+2xy +y 2+x 2-2xy =2x 2+y 2．（2）原式=（333m m m m +-++）·()()()2333m m m ++-=33m +·33m m +- =33m -． 34、计算：（1）（a +b ）2+a （a -2b ）．（2）m -1+2269m m --+223m m ++． 答案：（1）2a 2+b 2．（2）2413m m m +++． 解答：（1）（a +b ）2+a （a -2b ） =a 2+2ab +b 2+a 2-2ab =2a 2+b 2．（2）m -1+2269m m --+223m m ++ =()()133m m m -+++23m ++223m m ++ =2232223m m m m +-++++ =2413m m m +++．。

中考数学一轮复习基础考点专题08整式的乘除与因式分解(含解析)

中考数学一轮复习基础考点专题08整式的乘除与因式分解(含解析)

中考数学一轮复习基础考点专题08整式的乘除与因式分解（含解析）中考数学一轮复习基础考点专题08整式的乘除与因式分解（含解析）专题08 整式的乘除和因式分解考点总结[思维导图][知识要点]知识点一整式乘法幂的运算性质（基础）：am·an＝am＋n （m、n为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．[同底数幂相乘注意事项]1）底数为负数时,先用同底数幂乘法法则计算，根据指数是奇偶数来确定结果的正负，并且化简到底。

2）不能疏忽指数为1的情况。

3）乘数a可以看做有理数、单项式或多项式（整体思想）。

1．（·河北中考真题）若2n+2n+2n+2n=2，则n=（）A．﹣1 B．﹣2 C．0 D．[答案]A[详解]∵2n+2n+2n+2n=2，∴4×2n=2，∴2×2n=1，∴21+n=1，∴n=﹣1，故选A．2．（2012·江苏中考真题）若3×9m×27m= ，则的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6[答案]B[详解]∵3×9m×27m=3×32m×33m=31+2m+3m∴m=4故选B3．（·山东中考模拟）化简(﹣a2)•a5所得的结果是( ) A．a7 B．﹣a7 C．a10 D．﹣a10[答案]B[详解](-a2)·a5=-a7.(am)n＝amn （m、n为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．[同底数幂相乘注意事项]负号在括号内时,偶次方结果为正,奇次方为负,负号在括号外结果都为负。

1．（·浙江省温岭市第四中学中考模拟）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．（a2）3＝a6 C．a6﹣a2＝a4 D．a5+a5＝a10[答案]B[详解]A、a2•a3=a5，错误；C、不是同类项，不能合并，错误；D、a5+a5=2a5，错误；故选B．2．（·辽宁中考模拟）下列运算正确的是（）A．a2•a2=2a2 B．a2+a2=a4 C．（a3）2=a6 D．a8÷a2=a4 [答案]C[详解]A、a2•a2=a4，错误；C、（a3）2=a6，正确；D、a8÷a2=a6，错误，故选C．3．（·浙江中考模拟）计算（﹣a3）2的结果是（）A．a5 B．﹣a5 C．a6 D．﹣a6[答案]C根据幂的乘方和积的乘方的运算法则可得：（﹣a3）2=a6．故选C．(ab)n＝anbn （n为正整数）积的乘方等于各因式乘方的积．1．（·湖南中考真题）下列运算正确的是（）A． B． C． D．[答案]D[详解]A、错误．应该是x3•x3=x6；B、错误．应该是x8÷x4=x4；C、错误．（ab3）2=a2b6．D、正确．故选D．2．（·贵州中考真题）下列运算正确的是（）A．（﹣a2）3=﹣a5 B．a3•a5=a15C．（﹣a2b3）2=a4b6 D．3a2﹣2a2=1 [答案]C[详解]解：A. （﹣a2）3=﹣a6，故此选项错误；B. a3•a5=a8 ，故此选项错误；C.（﹣a2b3）2=a4b6 ，正确；D. 3a2﹣2a2=a2，故此选项错误；故选：C．am ÷an＝am－n （a≠0，m、n都是正整数，且m＞n）同底数幂相除，底数不变，指数减．[同底数幂相除注意事项]1.因为0不能做除数，所以底数a≠0.2.运用同底数幂法则关键看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。

2024年中考数学复习-乘法公式考点培优练习

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乘法公式考点培优练习考点直击 1.乘法公式是由多项式相乘得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论：① 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.(a +b )(a −b )=a²−b²②完全平方公式：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减去)它们的积的2倍.(a ±b )²=a²±2ab +b²2.对乘法公式的理解，重在突出代数推理思想的应用，在课本的基础上，常用的乘法公式还有：①(a −b )(a²+ab +b²)=a³−b³;②(a +b )(a²−ab +b²)=a³+b³;③(a +b )³=a³+3a²b +3ab²+b³④(a −b )³=a³−3a²b +3ab²−b³;(a +b +c )²=a²+b²+c²+2ac +2bc +2ab⑥(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac) =a³+b³+c³-3abc;⑦ (a −b )(a n−1+a n−2b +a n−3b 2+⋯+ab n−2+b n−1)=a n −b n ;⑧ (a +b )(a 2n −a 2n−1b +a 2n−2b 2−⋯−ab 2n−1+b 2n )=a 2n+1+b 2n+1.例题精讲例1 南山植物园中现有A ，B 两个园区，已知A 园区为长方形，长为(x+y)米,宽为(x-y)米;B 园区为正方形,边长为(x+3y)米.(1)请用代数式表示 A ，B 两园区的面积之和并化简；(2)现根据实际需要对A 园区进行整改，长增加(11x-y)米，宽减少(x-2y)米，整改后A 区的长比宽多350米，且整改后两园区的周长之和为980米.①求x,y 的值;②若 A 园区全部种植C 种花，B 园区全部种植D 种花，且C ，D 两种花投入的费用与吸引游客的收益如表：求整改后A ，B 两园区旅游的净收益之和.(净收益=收益-投入)【思路点拨】(1)根据长方形的面积公式和正方形的面积公式分别计算A ，B 两园区的面积，再相加即可求解；(2)①根据等量关系：整改后A 区的长比宽多350米，整改后两园区的周长之和为980米，列出方程组求出x ，y 的值；② 代入数值得到整改后A ，B 两园区的面积之和，再根据净收益=收益—投入，列式计算即可求解.举一反三1 (湖北中考)如图所示，图1是一个边长为a 的正方形剪去一个边长为1的小正方形，图2是一个边长为(a-1)的正方形，记图1、图2中阴影部分的面积分别为S ₁，S ₂，则 S 1S 2可化简为 .举一反三2 有相邻的两块长方形土地，大小如图所示( (a⟩100,单位：m)，出售土地的价格有如下两种不同方式：方式一：左边大的长方形土地x万元，/m²,，右边小的长方形土地y万元/m²;万元/m².方式二：全部土地x+y2(1)分别求出按两种方式出售全部的土地的收入是多少万元.(2)比较按两种方式出售全部土地的收入的大小关系.举一反三3 某公园计划砌一个形状如图1的喷水池，后来有人建议改为图2的形状，且外圆的直径不变，请你比较两种方案，确定哪一种方案砌各圆形水池的周边需用的材料多.(友情提示：比较两种方案中各圆形水池周长的和)举一反三4 某全民健身中心游泳场设计方案如图所示，A 区为成人泳区，B 区为儿童泳区，其余地区为草坪.(1)游泳区和草坪的面积各是多少?(2)如果游泳场需要有不少于一半的草坪，那么这个设计方案符合要求吗?例2 (广东中考)阅读材料：把形如ax²+bx+c的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫作配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a²±2ab+b²=(a±b)².例如：(x−1)2+3,(x−2)2+2x,(12x−2)2+34x2是x²−2x+4的三种不同形式的配方(即“余项”分别是常数项、一次项、二次项).请根据阅读材料解决下列问题：(1)比照上面的例子，写出x²−4x+2三种不同形式的配方；(2) 将a²+ab+b²配方(至少两种形式)；(3) 已知a²+b²+c²−ab−3b−2c+4=0求a+b+c的值.【思路点拨】(1)(2)考查对完全平方公式的应用能力，由题中所给的已知材料可得x²−4x+2和a²+ab+b²的配方也可分别写成“余项”是常数项、一次项、二次项的三种不同形式；(3)通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值.举一反三5 (南通中考)已知A=2a²−a+2,B=2,C=a²−2a+4,其中a>1.(1) 求证: A−B>0;(2)试比较A，B，C三者之间的大小关系，并说明理由.举一反三6 (安徽中考)老师在黑板上写出三个算式：5²−3²=8×2,9²−7²=8×4,15²−3²=8×27,王华接着又写了两个具有同样规律的算式：11²−5²=8×12,15²−7²=8×22.(1)请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式；(2)用文字写出反映上述算式的规律；(3)证明这个规律的正确性.举一反三7 (沈阳中考)认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式,如:(a +b)¹=a+b,(a+b)²=a²+2ab+b²,(a+b)³=(a+b)²(a+b) = a3+3a2b+3ab2+b3,⋯下面我们依次对(a+b)”展开式的各项系数进一步研究，发现当n取正整数时可以单独列成表中的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：(1)多项式(a+b)ⁿ的展开式是一个几次几项式?并预测第三项的系数.(2)结合上述材料，推断出多项式( (a+b)ⁿ(n取正整数)的展开式的各项系数之和 S(结果用含字母n 的代数式表示).例3 (肇庆中考)(1)计算: (a+b)(a²−ab+b²);(2)若x+y=1,xy=−1,求x³+y³的值.【思路点拨】(1)用多项式的乘法法则将多项式展开，再合并同类项即可得解；(2)用立方和公式直接计算.举一反三8 (通辽中考)若关于x的二次三项式x2+ax+14是完全平方式，则实数a 的值是 . 举一反三9(广西中考)观察下列等式：1+2+3+4+⋯+n=12n(n+1);1+3+6+10+⋯+12n(n+1)=16n(n+1)(n+2);1+4+10+20+⋯+16n(n+1)(n+2)=124n(n+1)(n+2)(n+3);则1+5+15+35+⋯+124n(n+1)(n+2)(n+3)=¯举一反三 10 (西藏中考)先化简，再求值：( (m+n)²+(m+n)(m−3n)−(2m+n)(2m−n);；其中m=√2,n=1.过关检测基础夯实1.(娄底中考)下列运算正确的是 ( )A.a²⋅a³=a⁶B.(a+b)²=a²+b²C.(−2a)³=−8a³D.a²+a²=a⁴2.(牡丹江中考)下列运算正确的是 ( )A.a²⋅a⁵=a¹⁰B.(a−2)²=a²−4C.a⁶÷a²=a³D.(−a²)⁴=a⁸3.(连云港中考)计算( (x+2)²的结果为x²+□x+4,则“□”中的数为 ( )A. —2B. 2C. -4D.44.(玉溪中考)若x²+6x+k是完全平方式，则k= ( )A.9B. -9C.±9D. ±35.(枣庄中考)若a+b=3,a²+b²=7,则ab=.6.(湖州中考)利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式.例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：( (a+b)²=a²+2ab+b².你根据图乙能得到的数学公式是 .7.(湘潭中考)多项式x²+1添加一个单项式后可变为完全平方式，则添加的单项式可以是 (任写一个符合条件的即可).8.(温州中考)(1) 计算: √4−|−2|+(√6)0−(−1);(2) 化简: (x−1)²−x(x+7).9.(无锡中考)计算：(1)√9−(−2)2+(−0.1)0;(2)(x+1)²−(x+2)(x−2).能力拓展10.(遵义中考)如图,从边长为(a+1) cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a—1)cm的正方形(a>1)，再将剩余部分沿虚线剪开拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则该矩形的面积是 ( )A.2cm²B.2acm²C.4acm²D.(a²−1)cm²11.(乌鲁木齐中考)图1是边长为(a+b)的正方形，将图 1中的阴影部分拼成图 2 的形状，由此能验证的式子是 ( )A.(a+b)(a−b)=a²−b²B.(a+b)²−(a²+b²)=2abC.(a+b)²−(a−b)²=4abD.(a−b)²+2ab=a²+b²12.(杭州中考)设M=x+y,N=x-y,P=xy.若M=1,N=2,则P= .13.(宁波中考)用长、宽分别为a，b的矩形硬纸片拼成一个“带孔”正方形，如图所示.利用面积的不同表示方法，写出一个代数恒等式: .14.(南充中考)若x²+mx+1=(x+n)²,且m>0,则n的值是 .15.(黄石中考)若x²+2xy+y²−a(x+y)+25是完全平方式，求a 的值.16.(兰州中考)化简:a(1—2a)+2(a+1)·(a-1).17.(大庆中考)已知: x²−y²=12,x+y=3,求2x²−2xy的值.18.(江西中考)(1)计算:((a+1)(a-1)-(a-2)²;(2)解不等式: x−1≥x−22+3.综合创新19.若(x+a)(x+b)+(x+b)·(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式,则a，b，c的关系可以写成( )A. a<b<cB.(a−b)²+(b−c)²=0C. c<a<bD. a=b≠c20.若√x√x =−2,则x²−1x2的值为 .21.(衢州中考)有一张边长为a 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：小明发现这三种方案都能验证公式a²+2ab+b²=(a+b)²,对于方案一，小明是这样验证的：a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b²=(a+b)²请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程.方案二：方案三：22.(临汾中考)阅读材料并回答问题：我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如：(2a+ b)(a+b)=2a²+3ab+b²就可以用图 1或图 2等图形的面积表示.(1)请写出图3所表示的代数恒等式：;(2)试画一个几何图形，使它的面积表示恒等式(a+b)(a+3b)=a²+ 4ab+3b²;(3)请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形.2 乘法公式的各种变化【例题精讲】1. (1)(x+y)(x-y)+(x+3y)²=x²- y²+x²+6xy+9y²=2x²+6xy+8y²(平方米) (2) ① x =30 y = 10②57 600元解析:(2)①(x+y)+(11x--y)=x+y+11x-y=12x(米),(x--y)--(x-2y)=x-y-x+2y=y(米),依题意有{12x−y=350,2(12x+y)+4(x+3y)=980,解得{x=30,y=10.②12xy=12×30×10=3 600(平方米), (x+3y)²=x²+6xy+9y²=900+1 800+900=3 600(平方米),(18-12)×3600+ (26−16)×3600=6×3600+10×3 600=57 600(元).2. (1)x²−4x+2=(x−2)²−2x²−4x+- 2=(x+√2)2−(2√2+4)xx2−4x+6/ =(√2x−√2)2−x2 (2)a²+ab+b²=(a+b)²−aba²+ab+b²=(a+12b)2+34b2 (3)4解析：(3)a²+b²+c²−ab−3b−2c+4=(a2−ab+14b2)+(34b2−3b+3)+(c2−2c+1)=(a2−ab+14b2)+3 4(b2−4b+4)+(c2−2c+1)=(a−12b)2+34(b−2)2+(c−1)2=0,从而有 a一12b=0,b−2=0,c−1=0,即a=1,b=2,c=1,∴a+b+c=4.3.(1) 原式=a³−a²b+ab²+a²b−ab²+b³=a³+b³(2)x³+y³=(x+y)(x²−xy+y²)=(x+y)[(x+y)²−3xy],∵x+y=1,xy=−1,∴x³+y³=1×[1²−3×(−1)]=4.【举一反三】1.a+1a−1解析: S1S2=a2−1(a−1)2=(a−1)(a+1)(a−1)2=a+1a−1.2.(1) 方式一收入:xa(a+100)+100y(a- 100)=a²x+100ax+100ay−10000y;方式二收入：x+y2[a(a+100)+100.(a−100)]=12a2x+100ax−5000x+12a2y+100ay−5000y. (2)方式一、二的收入的差为(a²x+100ax+100ay=10000y)−(12a2x+100ax−5000x+)12a2y+100ay−5000y)=12a2x+5000x−12a2y−5000y=x−y2(a2+10000),①当x>y时,方式一的收入大于方式二的收入；②当x=y时，方式一的收入等于方式二的收入；③当x<y时，方式一的收入小于方式二的收入.3. 在图 1 中,周长为2×2πr=4πr;在图 2中，周长为2πr+2π⋅r2+2π⋅r3+2π.r6=2π⋅(r+r2+r3+r6)=4πr,∴两种方案各圆形水池的周边需要的材料一样多.4.(1)根据题意得A区的面积为4a ·3a=12a²,B区的面积为(3a2)2π=9a24π,则游泳区的面积为12a2+9a24π.草坪面积为(a+4a+5a)(32a+3a+32a)−(12a2+9a24π)=48a2−9a24π.(2) 根据题意得12a2+9a24π≥12(48a2−9a24π),整理得 12a² - 27a28π≤0,即3a2(32−9π)8≤0,∵32−9π>0，显然此不等式不成立，则这个方案不符合要求.5.(1) 证明: A−B=(2a²−a+2)−2=2a²-a=a(2a-1),∵a>1,∴2a-1> 0,a(2a−1)>0,∴(2a²−a+2)−2>0,∴A-B>0;(2) A>C>B 理由：A−C=(2a²−a+2)−(a²−2a+4)=a²+a--2=(a--1)(a+2),∵a>1,∴a-1>0,a+2>0,∴(a-1)(a+2)>0,∴A-C>0,即A>C. C-B=(a²- 2a+4)−2=a²−2a+2=(a−1)²+1,:a>1,∴(a−1)²>0,∴(a−1)²+1>0.∴C-B>0,即C>B.则A>C>B.C.(1)11²−9²=8×513²−11²(2)任意两个奇数的平方差等于8的倍数(3)证明：设m，n 为整数，两个奇数可表示2m+1和2n+1,则( (2m+1)²−(2n+1)²=4(m--n)(m+n+1).当m,n 同是奇数或偶数时，(m--n)一定为偶数，所以4(m-n)一定是8的倍数;当m,n一奇一偶时，则(m+n+1)一定为偶数，所以4(m+n+1)一定是8的倍数.所以任意两奇数的平方差是8的倍数.7.(1) 多项式(a+b)"的展开式是一个n次(n+1)项式，第三项的系数为n(n−1)2(2) S=2"解析:(1)∵当n=1时,多项式((a+b)¹的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为0=1×02;当n=2时,多项式(a+b)²的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为1=2×12;当n=3时，多项式(a+b)³的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为3=3×2 2;当n=4时,多项式(a+b)⁴的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为6=4×32,⋯多项式(a+b)"的展开式是一个n次(n+1)项式，第三项的系数为n(n−1)2.(2)∵当n=1时，多项式(a+b)¹展开式的各项系数之和为1+1=2=2¹;当n=2时,多项式(a+b)²展开式的各项系数之和为1+2+1=4=2²;当n=3时,多项式(a+b)³展开式的各项系数之和为1+3+3+1= 8=2³;;当n=4时,多项式(a+b)⁴展开式的各项系数之和为1+4+6+4+1=16=2⁴…∴多项式(a+b)"展开式的各项系数之和为S=2".8.±19.1120n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)解析: :1+2+3+4+⋯+n=11×2n(n+1)=12n(n+1);1+3+6+10+⋯+1 2n(n+1)=12×3n(n+1)(n+2)=16n(n+1)(n+2);1+4+10+20+⋯+16n(n+1)(n+2)=16×4n(n+1).(n+2)(n+3)=124n(n+1)(n+2).(n+3),∴1+5+15+35+⋯+124n(n+1)(n+2)(n+3)=124×5n(n+1).(n+2)(n+3)(n+4)=1120n(n+1).(n+2)(n+3)(n+4).10. 原式: =m²+2mn+n²+m²−3mn+mn−3n²−4m²+n²=−2m²−n².当m=√2,n=1时，原式：=−2×(√2)2−1²=−4−1=−5.【过关检测】1. C 解析: a²⋅a³=a⁵,A4错误；(a+b)²=a²+2ab+b²,B 错误; a²+a²=2a²,D错误.2. D 解析:( a²⋅a⁵=a⁷,A错误；(a−2)²=a²−4a+4,B错误; a⁶÷a²=a⁴,C错误.3. D 解析: (x+2)²=x²+4x+4.4. A 解析: ∴x²+6x+k是完全平方式，∴(x+3)²=x²+6x+k,即x²+6x+9=x²+6x+k,∴k=9.5. 1 解析:( (a+b)²=a²+b²+2ab=3²=9.∵a²+b²=7,∴2ab=2, ab=1.6.(a−b)²=a²−2ab+b²7.2x 解析: ∵x²+1+2x=(x+1)²,∴添加的单项式可以是2x.8.(1)2 (2)-9x+1解析:(1) 原式=2-2+1+1=2;(2)原式=x²−2x+1−x²−7x=−9x+1.9.(1) 0 (2) 2x+5解析:(1) 原式=3-4+1=0;(2) 原式= x²+2x+1−x²+4=2x+5.10. C 解析:如图,矩形 ABCD 的面积 = S正方形EFGH —2a+1−(a²−2a+1)=4a(cm²).11. B 解析: ∴AB=√a2+b2,∴S圆锥侧=(a+b)2−(a2+b2)=4⋅12ab=2ab.12.−34解析：方法一：(x+y)²=x²+2xy+y²=1²=1,(x−y)²=x²−2xy+y²=2²=4,两式相减得4xy=-3,解得xy=−34,则P=−34.方法二：由题可得{x+y=1,x−y=2,解得{x=32,y=−12,∴P=xy=−34.13.(a+b)²−(a−b)²=4ab解析：大正方形的面积-小正方形的面积=4个矩形的面积.14. 1 解析: ∵x²+mx+1=(x+n)²=x²+2nx+n²,∴m=2n,n²=1,∵m>0.∴n=1.15.±10 解析:原式=(x+y)²−a(x+y)+5²,∵原式为完全平方式,∴-a(x+y)=±2×5(x+y),角解得a=±10.16. a-2 解析:原式= =a−2a²+2(a²−1)=a−2a²+2a²−2=a−2.17. 28 解析: :x²−y²=12,∴(x+y)(x−y)=12,∵x+y=3 ①,∴x-y=4 ②,①+②得2x=7,∴2x²−2xy=2x(x−y)=7×4=28.18.(1) 4a-5 (2)x≥6解析:(1)原式=a²−1−a²+4a−4=4a--5;(2) 去分母得2x--2≥x--2+6,移项合并得x≥6.19. B 解析:原式=3x²+2(a+b+c)x+(ab+bc+ac),∵(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式,∴3x²+2(a+b+c)x+(ab+bc+ ac)=[√3x+√33(a+b+c)]2,∴ab+bc+ac=13(a+b+c)2=13(a2+b2+c²+2ab+2ac+2bc),∴ab+bc+ac= a²+b²+c²,∴2(ab+bc+ac)=2(a²+b²+c²),即(a−b)²+(b−c)²+(c−a)²=0,∴a-b=0,b-c=0,c-a=0,∴a=b=c.20.−24√2解析：平方得(√x√x )2=(−2)²=4,展开后得x+1x−2=4,∴x+1x=6,∴x+1x+2=8,即(√x+√x)2=8,∴√x√x =2√2或−2√2(舍去), ∴x2−1x2=(x+1x)(x−1x)=(x+1x)(√x√x)(√x√x)=−24√2.21.a²+ab+(a+b)b=a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b²=(a+b)²a2+[a+(a+b)]b2+[a+(a+b)]b2=a2+ab+12b2+ab+12b2=a2+2ab+b²=(a+b)²2.(1)(2a+b)(a+2b)=2a²+5ab+2b²(3)恒等式为(a+2b)(a+b)=a²+3ab+2b²,，与它对应的几何图形如图所。

初升高数学乘法公式试题讲解

初升高数学乘法公式试题讲解

初升高数学乘法公式试题讲解 乘法是数学中的基本运算之一，它常常出现在我们的日常生活和学习中。

在初中阶段，学生将深入学习乘法，并掌握乘法公式的使用。

本文将以初升高数学乘法公式试题为例，对其进行详细讲解。

1、基础乘法概念 乘法是指将两个或多个数相乘的运算方法。

在乘法中，将被乘数与乘数相乘，得到的积是乘法的结果。

乘法的结果由乘数、被乘数和积三者构成。

2、常见乘法公式在初升高数学中，常见的乘法公式有以下几种：2.1 两位数乘一位数的乘法：例如，计算32 × 5的结果。

解题步骤如下： - 将被乘数32与乘数5的个位数相乘，得到10，写在十位上； - 将被乘数32与乘数5的十位数相乘，得到160，写在百位上； - 将两次乘法的结果相加，得到最终结果160 + 10 = 170。

因此，32 × 5 = 170。

2.2 两位数乘两位数的乘法：例如，计算24 × 36的结果。

解题步骤如下： - 将被乘数24与乘数36的个位数相乘，得到144，写在个位上； - 将被乘数24的十位数与乘数36的个位数相乘，并乘以10，得到240，写在十位上； - 将被乘数24与乘数36的十位数相乘，并乘以10的平方，得到720，写在百位上； - 将被乘数24的十位数与乘数36的十位数相乘，并乘以100，得到7200，写在千位上； - 将以上四个乘法的结果相加，得到最终结果7200 + 720 + 240 + 144 = 7984。

因此，24 × 36 = 7984。

2.3 乘法公式（a + b） × c的运算：例如，计算(2 + 3) × 4的结果。

解题步骤如下：- 先将括号内的加法运算得到结果5； - 将结果5与乘数4相乘，得到20。

因此，(2 + 3) × 4 = 20。

3、乘法公式的应用 乘法公式不仅用于基本计算，还常常应用于解决实际问题。

下面举例说明：3.1 《数学竞赛试题》 在一场数学竞赛中，小明解决了5道选择题，每题得3分；解决了4道填空题，每题得5分；解决了2道解答题，每题得8分。

专题02 整式、乘法公式、因式分解(解析版)

专题02 整式、乘法公式、因式分解(解析版)

专题02 整式、乘法公式、因式分解【中考考向导航】目录【直击中考】 (1)【考向一整式的有关概念】 (1)【考向二整式的运算】 (4)【考向三与乘法公式有关的运算】 (8)【考向四因式分解】 (11)【直击中考】【考向一整式的有关概念】【答案】()21 n n+【分析】第一个图形有1根木料，第二个图形有2(21)122´++=根木料，第三个图形有【点睛】本题考查了图形的变化类问题，仔细观察，分析，归纳并发现其中的规律是解本题的关键．【变式训练】A．9B．10C．11D．12【答案】B【分析】列举每个图形中H的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H的个数为4，【考向二 整式的运算】例题1．（2022·湖南永州·统考中考真题）若单项式3m x y 的与62x y -是同类项，则m =______．【答案】6【分析】由题意直接根据同类项的概念，进行分析求解即可．【详解】解：∵单项式3m x y 与62x y -是同类项，∴6m =．故答案为：6．【点睛】本题主要考查同类项的定义，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”即相同字母的指数相同．例题2．（2022·青海西宁·统考中考真题）()2332x xy ×-=_________【答案】336x y -【分析】根据积的乘方法则计算即可．【详解】解：()2332x xy ×-=336x y -，故答案为：336x y -．【点睛】本题考查了积的乘方，解题的关键是掌握运算法则．【变式训练】1．（2022·贵州黔西·统考中考真题）计算()232x x -×正确的是（ ）A ．36x B ．312x C ．318x D ．312x -【答案】C【分析】先算积的乘方，再算同底数幂的乘法，即可得．【详解】()232x x -×=239·218x x x =故选：C ．【点睛】本题考查了单项式乘单项式，积的乘方，同底数幂的乘法，能灵活运用法则进行计算是解题的关键．2．（2022·西藏·统考中考真题）下列计算正确的是（ ）A ．2ab ﹣ab ＝abB ．2ab +ab ＝2a 2b 2C ．4a 3b 2﹣2a ＝2a 2bD ．﹣2ab 2﹣a 2b ＝﹣3a 2b 2【答案】A【详解】A 、2ab ﹣ab ＝（2﹣1）ab ＝ab ，选项正确，符合题意；B 、2ab +ab ＝（2+1）ab ＝3ab ，选项不正确，不符合题意；C 、4a 3b 2与﹣2a 不是同类项，不能合并，选项不正确，不符合题意；D 、﹣2ab 2与﹣a 2b 不是同类项，不能合并，选项不正确，不符合题意．故选A ．【点睛】本题考查整式的加减．在计算的过程中，把同类项进行合并，不能合并的直接写在结果中即可．3．（2022·青海·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．235347x x x +=B ．()222x y x y +=+C ．()()2232394x x x +-=-D ．()224212xy xy xy y +=+【答案】D【分析】根据合并同类项，完全平方公式，平方差公式，因式分解计算即可．【详解】A .选项，3x 2与4x 3不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意；B .选项，原式= ()2222x y x xy y +=++，故该选项计算错误，不符合题意；C .选项，原式= 249x -，故该选项计算错误，不符合题意；D .选项，原式=()212xy y +，故该选项计算正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了合并同类项，完全平方公式，平方差公式，因式分解，注意完全平方公式展开有三项是解题的易错点．4．（2022·甘肃武威·统考中考真题）计算：323a a ×=_____________．【答案】53a 【分析】根据单项式的乘法直接计算即可求解．【详解】解：原式＝323a a ×=53a ．故答案为：53a ．【点睛】本题考查了单项式的乘法，正确的计算是解题的关键．5．（2022·内蒙古包头·中考真题）若一个多项式加上2328xy y +-，结果得2235xy y +-，则这个多项式为___________．【答案】23y xy -+【分析】设这个多项式为A ，由题意得：22(328)235A xy y xy y ++-=+-，求解即可．【详解】设这个多项式为A ，由题意得：22(328)235A xy y xy y ++-=+-，22222(235)(328)2353283A xy y xy y xy y xy y y xy \=+--+-=+---+=-+，故答案为：23y xy -+．【点睛】本题考查了整式的加减，准确理解题意，列出方程是解题的关键．6．（2022·山东威海·统考中考真题）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn ＝_____．【答案】1【分析】由第二行方格的数字，字母，可以得出第二行的数字之和为m ，然后以此得出可知第三行左边的数字为4，第一行中间的数字为m -n +4，第三行中间数字为n -6，第三行右边数字为，再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m 可得关于m ，n 方程组，解出即可．【详解】如图，根据题意，可得第二行的数字之和为：m +2+(-2)=m【考向三 与乘法公式有关的运算】例题：（2022·江苏盐城·统考中考真题）先化简，再求值：()()()2443x x x +-+-，其中2310x x -+=．【答案】2267x x --，-9【分析】根据平方差公式和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：原式221669x x x =-+-+2267x x =--．2310x x -+=Q ，231x x \-=-，原式()()22372179x x =--=´--=-【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．【变式训练】1．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）计算：()22x y +=（ ）A ．2244x xy y ++B ．2224x xy y ++C ．2242x xy y ++D ．224x y +【答案】A【分析】根据完全平方公式展开即可．【详解】解：原式=2244x xy y ++故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．2．（2022·上海·统考中考真题）下列运算正确的是……（ ）A ．a ²+a ³=a 6B ．（ab ）2 =ab 2C ．（a +b ）²=a ²+b ²D ．（a +b ）（a -b ）=a ² -b 2【答案】D【分析】根据整式加法判定A ；运用积的乘方计算关判定B ；运用完全平方公式计算并判定C ；运用平方差公式计算并判定D ．【详解】解：A .a ²+a ³没有同类项不能合并，故此选项不符合题意；B .（ab ）2 =a 2b 2，故此选项不符合题意；C .（a +b ）²=a ²+2ab +b ²，故此选项不符合题意D .（a +b ）（a -b ）=a ² -b 2，故此选项符合题意故选：D ．【点睛】本题考查整理式加法，积的乘方，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握积的乘方运算法则、完全平方公式、平方差公式是解题的关键．3．（2022·江苏南通·统考中考真题）已知实数m ，n 满足222+=+m n mn ，则2(23)(2)(2)-++-m n m n m n 的最大值为（ ）【答案】(1)266a ab +；(2)T =6【分析】(1)根据整式的四则运算法则化简即可；(2)由方程有两个相等的实数根得到判别式△=4a ²-4(-ab +1)=0即可得到21a ab +=，整体代入即可求解．（1）解：T =()()222226949a ab b a b a+++-+=266a ab +；（2）解：∵方程2210x ax ab +-+=有两个相等的实数根，∴()()22410a ab =--+=n ，∴21a ab +=，则T =()26616a ab +=´=．【点睛】本题考查了整式的四则运算法则、一元二次方程的实数根的判别、整体思想，属于基础题，熟练掌握运算法则及一元二次方程的根的判别式是解题的关键．【考向四 因式分解】例题：（2022·贵州黔东南·统考中考真题）分解因式：2202240442022x x -+=_______．【答案】()220221x -##()220221x -【分析】先提公因式，然后再根据完全平方公式可进行因式分解．【详解】解：原式=()()2220222120221x x x -+=-；故答案为()220221x -．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．【变式训练】1．（2022·山东济宁·统考中考真题）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．21(1)1x x x x --=--B ．221(1)x x -=-C ．26(3)(2)x x x x --=-+D ．2(1)x x x x-=-【答案】C【分析】根据因式分解的定义对选项逐一分析即可．【详解】把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解．A 、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；B 、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意；C 、符合因式分解的形式，符合题意；D 、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查因式分解，解决本题的关键是充分理解并应用因式分解的定义．2．（2022·广西柳州·统考中考真题）把多项式a 2+2a 分解因式得（ ）A ．a （a +2）B ．a （a ﹣2）C ．（a +2）2D ．（a +2）（a ﹣2）【答案】A【分析】运用提公因式法进行因式分解即可．【详解】22(2)a a a a +=+故选A【点睛】本题主要考查了因式分解知识点，掌握提公因式法是解题的关键．3．（2022·广西河池·统考中考真题）多项式244x x -+因式分解的结果是( )A ．x （x ﹣4）+4B ．（x +2）（x ﹣2）C ．（x +2）2D ．（x ﹣2）2【答案】D【分析】根据完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：()22442x x x -+=-．故选：D ．【点睛】本题主要考查了公式法分解因式，理解完全平方公式是解答关键．4．（2022·江苏扬州·统考中考真题）分解因式：233x -=_____．【答案】()()311x x +-##()()311x x -+【分析】先提取公因式，再用平方差公式即可求解．【详解】233x -()231x =-()()311x x =+-，故答案：()()311x x +-．【点睛】本题考查了用提公因式法和平方差公式分解因式的知识．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．因式分解是恒等变形．因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止．5．（2022·四川绵阳·统考中考真题）因式分解：32312x xy -=_________．【答案】()()322x x y x y +-【分析】先提取公因式3x ，然后根据平方差公式因式分解即可求解．【详解】解：原式＝()()()2234322x x y x x y x y -=+-．故答案为：()()322x x y x y +-．【点睛】本题考查了因式分解，正确的计算是解题的关键．6．（2022·广东广州·统考中考真题）分解因式：2321-=a ab ________【答案】()37-a a b 【分析】直接提取公因式3a 即可得到结果．【详解】解：()232137-=-a ab a a b ．故答案为：()37-a a b 【点睛】本题考查因式分解，解本题的关键是熟练掌握因式分解时有公因式要先提取公因式，再考虑是否可以用公式法．7．（2022·山东济南·统考中考真题）因式分解：244a a ++=______．【答案】()22a +【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【详解】解：244a a ++=()22a +．故答案为：()22a +．【点睛】此题考查了公式法的运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．8．（2022·湖北恩施·统考中考真题）因式分解：3269a a a -+=______．【答案】2(3)a a -【分析】先提公因式a ，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：原式22(69)(3)a a a a a =-+=-，故答案为：2(3)a a -．【点睛】本题考查提公因式法、公式法分解因式，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征．9．（2022·贵州黔西·统考中考真题）已知2ab =，3a b +=，则22a b ab +的值为_____．【答案】6【分析】将22a b ab +因式分解，然后代入已知条件即可求值．【详解】解：22a b ab +()ab a b =+23=´6=．故答案为：6【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．10．（2022·青海西宁·统考中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2346a ab b --+因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式()()()()()()234623223232a ab b a b b b a =---=---=--解法二：原式()()()()()()24362232223a ab b a b a a b =---=---=--【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】(1)请用分组分解法将22x a x a -++因式分解；【挑战】(2)请用分组分解法将222ax a ab bx b +--+因式分解；【应用】(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a 和()b a b >，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将432234222a a b a b ab b -+-+因式分解，再求值．【答案】(1)()()1x a x a +-+(2)()()a b a b x --+(3)()()222a b a b +-，9【分析】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可；（2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可；（3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到229a b +=，()21a b -=，整体代入得出答案即可．【详解】（1）解：22x a x a-++()()22x a x a =-++()()()x a x a x a =+-++()()1x a x a =+-+；（2）解：222ax a ab bx b +--+()()222a ab b ax bx =-++-()()2a b x a b =-+-()()a b a b x =--+；（3）解：432234222a a b a b ab b -+-+()()422433222a a b b a b ab =++-+()()222222a b ab a b =+-+()()22222a b a ab b =+-+()()222a b a b =+-，∴根据题意得229a b +=，()21a b -=，∴原式9=．【点睛】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的应用，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键．。

初二整式的乘法与因式分解所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)

初二整式的乘法与因式分解所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)

初二整式的乘法与因式分解所有知识点总结和常考题知识点：1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯=⑵幂的乘方：()nm mn a a = ⑶积的乘方：()nn n ab a b =2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式.⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加.3.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；()2222a b a ab b -=-+4.整式的除法：⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式. ⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加.⑷多项式÷多项式：用竖式.5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式 子因式分解.6.因式分解方法：⑴提公因式法：找出最大公因式.⑵公式法：①平方差公式：()()22a b a b a b -=+-②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±③立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+④立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++⑶十字相乘法：()()()2x p q x pq x p x q +++=++⑷拆项法 ⑸添项法常考题： 一．选择题（共12小题）1．下列运算中，结果正确的是（ ）A．x3•x3=x6 B．3x2+2x2=5x4C．（x2）3=x5D．（x+y）2=x2+y22．计算（ab2）3的结果是（）A．ab5B．ab6C．a3b5 D．a3b63．计算2x2•（﹣3x3）的结果是（）A．﹣6x5B．6x5C．﹣2x6D．2x64．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（）A．a（x+y）=ax+ay B．x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1）D．x2﹣16+3x=（x﹣4）（x+4）+3x5．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）A．a2+（﹣b）2 B．5m2﹣20mn C．﹣x2﹣y2D．﹣x2+96．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2+x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2﹣1 D．x2﹣6x+97．下列因式分解错误的是（）A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）B．x2+6x+9=（x+3）2C．x2+xy=x（x+y）D．x2+y2=（x+y）28．把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（）A．a（x﹣2）2B．a（x+2）2C．a（x﹣4）2D．a（x+2）（x﹣2）9．如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（）A．﹣3 B．3 C．0 D．110．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A．（a+b）2=a2+2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b211．图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2D．a2﹣b212．如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（）A．（2a2+5a）cm2B．（6a+15）cm2C．（6a+9）cm2D．（3a+15）cm2二．填空题（共13小题）13．分解因式：3x2﹣27= ．14．分解因式：a2﹣1= ．15．因式分解：x2﹣9y2= ．16．分解因式：x3﹣4x= ．17．因式分解：a3﹣ab2= ．18．分解因式：x2+6x+9= ．19．分解因式：2a2﹣4a+2= ．20．分解因式：x3﹣6x2+9x= ．21．分解因式：ab2﹣2ab+a= ．22．分解因式：2a3﹣8a2+8a= ．23．分解因式：3a2﹣12ab+12b2= ．24．若m2﹣n2=6，且m﹣n=2，则m+n= ．25．如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为．三．解答题（共15小题）26．计算：（x﹣y）2﹣（y+2x）（y﹣2x）27．若2x+5y﹣3=0，求4x•32y的值．28．已知：a+b=3，ab=2，求下列各式的值：（1）a2b+ab2（2）a2+b2．29．若x+y=3，且（x+2）（y+2）=12．（1）求xy的值；（2）求x2+3xy+y2的值．30．先化简，再求值3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a=﹣2．31．若a2﹣2a+1=0．求代数式的值．32．分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．33．（2a+b+1）（2a+b﹣1）34．分解因式：x3﹣2x2y+xy2．35．分解因式：（1）a4﹣16；（2）x2﹣2xy+y2﹣9．36．分解因式x2（x﹣y）+（y﹣x）．37．分解因式（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．38．因式分解（1）﹣8ax2+16axy﹣8ay2；（2）（a2+1）2﹣4a2．39．因式分解：（1）3x﹣12x3（2）6xy2+9x2y+y3．40．若x2+2xy+y2﹣a（x+y）+25是完全平方式，求a的值．初二整式的乘法与因式分解所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2015•甘南州）下列运算中，结果正确的是（）A．x3•x3=x6 B．3x2+2x2=5x4C．（x2）3=x5D．（x+y）2=x2+y2【分析】A、利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；B、合并同类项得到结果，即可做出判断；C、利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；D、利用完全平方公式展开得到结果，即可做出判断．【解答】解：A、x3•x3=x6，本选项正确；B、3x2+2x2=5x2，本选项错误；C、（x2）3=x6，本选项错误；D、（x+y）2=x2+2xy+y2，本选项错误，故选A【点评】此题考查了完全平方公式，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．2．（2008•南京）计算（ab2）3的结果是（）A．ab5B．ab6C．a3b5 D．a3b6【分析】根据积的乘方的性质进行计算，然后直接选取答案即可．【解答】解：（ab2）3=a3•（b2）3=a3b6．故选D．【点评】本题考查积的乘方，把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．3．（2011•呼和浩特）计算2x2•（﹣3x3）的结果是（）A．﹣6x5B．6x5C．﹣2x6D．2x6【分析】根据单项式乘单项式的法则和同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算后选取答案．【解答】解：2x2•（﹣3x3），=2×（﹣3）•（x2•x3），=﹣6x5．故选：A．【点评】本题主要考查单项式相乘的法则和同底数幂的乘法的性质．4．（2005•茂名）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（）A．a（x+y）=ax+ay B．x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4C．10x2﹣5x=5x（2x﹣1）D．x2﹣16+3x=（x﹣4）（x+4）+3x【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解．【解答】解：A、是多项式乘法，故A选项错误；B、右边不是积的形式，x2﹣4x+4=（x﹣2）2，故B选项错误；C、提公因式法，故C选项正确；D、右边不是积的形式，故D选项错误；故选：C．【点评】这类问题的关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断．5．（2017春•薛城区期末）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（）A．a2+（﹣b）2 B．5m2﹣20mn C．﹣x2﹣y2D．﹣x2+9【分析】能用平方差公式分解因式的式子特点是：两项平方项，符号相反．【解答】解：A、a2+（﹣b）2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故A选项错误；B、5m2﹣20mn两项不都是平方项，不能用平方差公式分解因式，故B选项错误；C、﹣x2﹣y2符号相同，不能用平方差公式分解因式，故C选项错误；D、﹣x2+9=﹣x2+32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，故D选项正确．故选：D．【点评】本题考查用平方差公式分解因式的式子特点，两平方项的符号相反．6．（2013•张家界）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）A．x2+x+1 B．x2+2x﹣1 C．x2﹣1 D．x2﹣6x+9【分析】根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、x2+x+1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故A错误；B、x2+2x﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故B错误；C、x2﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故C错误；D、x2﹣6x+9=（x﹣3）2，故D正确．故选：D．【点评】本题考查了用公式法进行因式分解，能用公式法进行因式分解的式子的特点需熟记．7．（2009•眉山）下列因式分解错误的是（）A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y）B．x2+6x+9=（x+3）2C．x2+xy=x（x+y）D．x2+y2=（x+y）2【分析】根据公式特点判断，然后利用排除法求解．【解答】解：A、是平方差公式，故A选项正确；B、是完全平方公式，故B选项正确；C、是提公因式法，故C选项正确；D、（x+y）2=x2+2xy+y2，故D选项错误；故选：D．【点评】本题主要考查了对于学习过的两种分解因式的方法的记忆与理解，需熟练掌握．8．（2015•菏泽）把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（）A．a（x﹣2）2B．a（x+2）2C．a（x﹣4）2D．a（x+2）（x﹣2）【分析】先提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：ax2﹣4ax+4a，=a（x2﹣4x+4），=a（x﹣2）2．故选：A．【点评】本题先提取公因式，再利用完全平方公式分解，分解因式时一定要分解彻底．9．（2016秋•南漳县期末）如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m 的值为（）A．﹣3 B．3 C．0 D．1【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把m看作常数合并关于x的同类项，令x的系数为0，得出关于m的方程，求出m的值．【解答】解：∵（x+m）（x+3）=x2+3x+mx+3m=x2+（3+m）x+3m，又∵乘积中不含x的一次项，∴3+m=0，解得m=﹣3．故选：A．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，根据乘积中不含哪一项，则哪一项的系数等于0列式是解题的关键．10．（2009•内江）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（）A．（a+b）2=a2+2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2﹣b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a﹣b）的长方形，面积是（a+b）（a﹣b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．【解答】解：∵图甲中阴影部分的面积=a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积=（a+b）（a﹣b），而两个图形中阴影部分的面积相等，∴阴影部分的面积=a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故选：C．【点评】此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．11．（2013•枣庄）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2D．a2﹣b2【分析】中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得．【解答】解：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b﹣2b=a﹣b，则面积是（a﹣b）2．故选：C．【点评】本题考查了列代数式，正确表示出小正方形的边长是关键．12．（2012•枣庄）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（）A．（2a2+5a）cm2B．（6a+15）cm2C．（6a+9）cm2D．（3a+15）cm2【分析】大正方形与小正方形的面积的差就是矩形的面积，据此即可求解．【解答】解：矩形的面积是：（a+4）2﹣（a+1）2=（a+4+a+1）（a+4﹣a﹣1）=3（2a+5）=6a+15（cm2）．故选B．【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，理解大正方形与小正方形的面积的差就是矩形的面积是关键．二．填空题（共13小题）13．（2015•黄石）分解因式：3x2﹣27= 3（x+3）（x﹣3）．【分析】观察原式3x2﹣27，找到公因式3，提出公因式后发现x2﹣9符合平方差公式，利用平方差公式继续分解．【解答】解：3x2﹣27，=3（x2﹣9），=3（x+3）（x﹣3）．故答案为：3（x+3）（x﹣3）．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次分解因式．14．（2013•上海）分解因式：a2﹣1= （a+1）（a﹣1）．【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．【解答】解：a2﹣1=（a+1）（a﹣1）．故答案为：（a+1）（a﹣1）．【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．15．（2013•邵阳）因式分解：x2﹣9y2= （x+3y）（x﹣3y）．【分析】直接利用平方差公式分解即可．【解答】解：x2﹣9y2=（x+3y）（x﹣3y）．【点评】本题主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．16．（2017•大庆）分解因式：x3﹣4x= x（x+2）（x﹣2）．【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：x3﹣4x，=x（x2﹣4），=x（x+2）（x﹣2）．故答案为：x（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止．17．（2016•乐山）因式分解：a3﹣ab2= a（a+b）（a﹣b）．【分析】观察原式a3﹣ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣b2是平方差公式，利用平方差公式继续分解可得．【解答】解：a3﹣ab2=a（a2﹣b2）=a（a+b）（a﹣b）．【点评】本题是一道典型的中考题型的因式分解：先提取公因式，然后再应用一次公式．本题考点：因式分解（提取公因式法、应用公式法）．18．（2013•三明）分解因式：x2+6x+9= （x+3）2．【分析】直接用完全平方公式分解即可．【解答】解：x2+6x+9=（x+3）2．【点评】本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式法的结构特点是解题的关键．19．（2017•咸宁）分解因式：2a2﹣4a+2= 2（a﹣1）2．【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式=2（a2﹣2a+1）=2（a﹣1）2．故答案为：2（a﹣1）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．20．（2015•西藏）分解因式：x3﹣6x2+9x= x（x﹣3）2．【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：x3﹣6x2+9x，=x（x2﹣6x+9），=x（x﹣3）2．故答案为：x（x﹣3）2．【点评】本题考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，关键在于需要进行二次分解因式．21．（2008•大庆）分解因式：ab2﹣2ab+a= a（b﹣1）2．【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：ab2﹣2ab+a，=a（b2﹣2b+1），=a（b﹣1）2．【点评】考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于提取公因式后利用完全平方公式进行二次因式分解．22．（2013•安顺）分解因式：2a3﹣8a2+8a= 2a（a﹣2）2．【分析】先提取公因式2a，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．【解答】解：2a3﹣8a2+8a，=2a（a2﹣4a+4），=2a（a﹣2）2．故答案为：2a（a﹣2）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．23．（2013•菏泽）分解因式：3a2﹣12ab+12b2= 3（a﹣2b）2．【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可求得答案．【解答】解：3a2﹣12ab+12b2=3（a2﹣4ab+4b2）=3（a﹣2b）2．故答案为：3（a﹣2b）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，注意因式分解要彻底．24．（2013•内江）若m2﹣n2=6，且m﹣n=2，则m+n= 3 ．【分析】将m2﹣n2按平方差公式展开，再将m﹣n的值整体代入，即可求出m+n 的值．【解答】解：m2﹣n2=（m+n）（m﹣n）=（m+n）×2=6，故m+n=3．故答案为：3．【点评】本题考查了平方差公式，比较简单，关键是要熟悉平方差公式（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．25．（2014•西宁）如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为70 ．【分析】应把所给式子进行因式分解，整理为与所给周长和面积相关的式子，代入求值即可．【解答】解：∵a+b=7，ab=10，∴a2b+ab2=ab（a+b）=70．故答案为：70．【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．三．解答题（共15小题）26．（2006•江西）计算：（x﹣y）2﹣（y+2x）（y﹣2x）【分析】利用完全平方公式，平方差公式展开，再合并同类项．【解答】解：（x﹣y）2﹣（y+2x）（y﹣2x），=x2﹣2xy+y2﹣（y2﹣4x2），=x2﹣2xy+y2﹣y2+4x2，=5x2﹣2xy．【点评】本题考查完全平方公式，平方差公式，属于基础题，熟记公式是解题的关键，去括号时要注意符号的变化．27．（2013春•苏州期末）若2x+5y﹣3=0，求4x•32y的值．【分析】由方程可得2x+5y=3，再把所求的代数式化为同为2的底数的代数式，运用同底数幂的乘法的性质计算，最后运用整体代入法求解即可．【解答】解：4x•32y=22x•25y=22x+5y∵2x+5y﹣3=0，即2x+5y=3，∴原式=23=8．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．28．（2009•十堰）已知：a+b=3，ab=2，求下列各式的值：（1）a2b+ab2（2）a2+b2．【分析】（1）把代数式提取公因式ab后把a+b=3，ab=2整体代入求解；（2）利用完全平方公式把代数式化为已知的形式求解．【解答】解：（1）a2b+ab2=ab（a+b）=2×3=6；（2）∵（a+b）2=a2+2ab+b2∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab，=32﹣2×2，=5．【点评】本题考查了提公因式法分解因式，完全平方公式，关键是将原式整理成已知条件的形式，即转化为两数和与两数积的形式，将a+b=3，ab=2整体代入解答．29．（2015•张家港市模拟）若x+y=3，且（x+2）（y+2）=12．（1）求xy的值；（2）求x2+3xy+y2的值．【分析】（1）先去括号，再整体代入即可求出答案；（2）先变形，再整体代入，即可求出答案．【解答】解：（1）∵x+y=3，（x+2）（y+2）=12，∴xy+2x+2y+4=12，∴xy+2（x+y）=8，∴xy+2×3=8，∴xy=2；（2）∵x+y=3，xy=2，∴x2+3xy+y2=（x+y）2+xy=32+2=11．【点评】本题考查了整式的混合运算和完全平方公式的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．30．（2014秋•德惠市期末）先化简，再求值3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4），其中a=﹣2．【分析】首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可．【解答】解：3a（2a2﹣4a+3）﹣2a2（3a+4）=6a3﹣12a2+9a﹣6a3﹣8a2=﹣20a2+9a，当a=﹣2时，原式=﹣20×4﹣9×2=﹣98．【点评】本题考查了整式的化简．整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．31．（2007•天水）若a2﹣2a+1=0．求代数式的值．【分析】根据完全平方公式先求出a的值，再代入求出代数式的值．【解答】解：由a2﹣2a+1=0得（a﹣1）2=0，∴a=1；把a=1代入=1+1=2．故答案为：2．【点评】本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式先求出a的值，是解决本题的关键．32．（2012春•郯城县期末）分解因式：（1）2x2﹣x；（2）16x2﹣1；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．【分析】（1）直接提取公因式x即可；（2）利用平方差公式进行因式分解；（3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；（4）把（x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）；（2）16x2﹣1=（4x+1）（4x﹣1）；（3）6xy2﹣9x2y﹣y3，=﹣y（9x2﹣6xy+y2），=﹣y（3x﹣y）2；（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2，=[2+3（x﹣y）]2，=（3x﹣3y+2）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，是因式分解的常用方法，难点在（3），提取公因式﹣y后，需要继续利用完全平方公式进行二次因式分解．33．（2011春•乐平市期中）（2a+b+1）（2a+b﹣1）【分析】把（2a+b）看成整体，利用平方差公式和完全平方公式计算后整理即可．【解答】解：（2a+b+1）（2a+b﹣1），=（2a+b）2﹣1，=4a2+4ab+b2﹣1．【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式的运用，构造成公式结构是利用公式的关键，需要熟练掌握并灵活运用．34．（2009•贺州）分解因式：x3﹣2x2y+xy2．【分析】先提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2；【解答】解：x3﹣2x2y+xy2，=x（x2﹣2xy+y2），=x（x﹣y）2．【点评】主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，本题难点在于要进行二次分解．35．（2011•雷州市校级一模）分解因式：（1）a4﹣16；（2）x2﹣2xy+y2﹣9．【分析】（1）两次运用平方差公式分解因式；（2）前三项一组，先用完全平方公式分解因式，再与第四项利用平方差公式进行分解．【解答】解：（1）a4﹣16=（a2）2﹣42，=（a2﹣4）（a2+4），=（a2+4）（a+2）（a﹣2）；（2）x2﹣2xy+y2﹣9，=（x2﹣2xy+y2）﹣9，=（x﹣y）2﹣32，=（x﹣y﹣3）（x﹣y+3）．【点评】（1）关键在于需要两次运用平方差公式分解因式；（2）主要考查分组分解法分解因式，分组的关键是两组之间可以继续分解因式．36．（2008春•利川市期末）分解因式x2（x﹣y）+（y﹣x）．【分析】显然只需将y﹣x=﹣（x﹣y）变形后，即可提取公因式（x﹣y），然后再运用平方差公式继续分解因式．【解答】解：x2（x﹣y）+（y﹣x），=x2（x﹣y）﹣（x﹣y），=（x﹣y）（x2﹣1），=（x﹣y）（x﹣1）（x+1）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．37．（2009秋•三台县校级期末）分解因式（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2．【分析】（1）先提取公因式（x﹣y），再利用平方差公式继续分解；（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式继续分解．【解答】解：（1）a2（x﹣y）+16（y﹣x），=（x﹣y）（a2﹣16），=（x﹣y）（a+4）（a﹣4）；（2）（x2+y2）2﹣4x2y2，=（x2+2xy+y2）（x2﹣2xy+y2），=（x+y）2（x﹣y）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．38．（2009春•扶沟县期中）因式分解（1）﹣8ax2+16axy﹣8ay2；（2）（a2+1）2﹣4a2．【分析】（1）先提取公因式﹣8a，再用完全平方公式继续分解．（2）先用平方差公式分解，再利用完全平方公式继续分解．【解答】解：（1）﹣8ax2+16axy﹣8ay2，=﹣8a（x2﹣2xy+y2），=﹣8a（x﹣y）2；（2）（a2+1）2﹣4a2，=（a2+1﹣2a）（a2+1+2a），=（a+1）2（a﹣1）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．39．（2011秋•桐梓县期末）因式分解：（1）3x﹣12x3（2）6xy2+9x2y+y3．【分析】（1）先提取公因式3x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解；（2）先提取公因式y，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．．【解答】解：（1）3x﹣12x3=3x（1﹣4x2）=3x（1+2x）（1﹣2x）；（2）6xy2+9x2y+y3=y（6xy+9x2+y2）=y（3x+y）2．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．40．（2003•黄石）若x2+2xy+y2﹣a（x+y）+25是完全平方式，求a的值．【分析】先把前三项根据完全平方公式的逆用整理，再根据两平方项确定出这两个数，利用乘积二倍项列式求解即可．【解答】解：原式=（x+y）2﹣a（x+y）+52，∵原式为完全平方式，∴﹣a（x+y）=±2×5•（x+y），解得a=±10．【点评】本题考查了完全平方式，需要二次运用完全平方式，熟记公式结构是求解的关键，把（x+y）看成一个整体参与运算也比较重要．Welcome 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乘法公式知识点详解及提高练习(含答案)

乘法公式知识点详解及提高练习(含答案)

初中数学竞赛辅导资料乘法公式知识点详解及提高练习甲内容提要1．乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。

公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。

公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

2．基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。

完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2立方和（差）公式：(a±b)(a2ab+b2)=a3±b33.公式的推广：①多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。

②二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5）…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a－b）(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n4.公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2－2ab由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)由公式的推广③可知：当n为正整数时a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。

七年级数学上册专题知识讲义-乘法公式、整式的除法(附练习及答案)

七年级数学上册专题知识讲义-乘法公式、整式的除法(附练习及答案)

乘法公式、整式的除法【考向解读】一、考点突破本讲考点主要包括：平方差公式、完全平方公式，同底数幂的除法、单项式除以单项式、多项式除以单项式。

通过多项式的乘法运算得到乘法公式，再运用公式计算多项式的乘法，培养从一般到特殊，再从特殊到一般的思维能力；通过乘法公式的几何背景，培养运用数形结合思想和整体思想解决问题的能力。

平方差公式是中考命题中比较重要的考点之一，单独命题的题型多为填空题,选择题和简单的计算题，这一知识点也常融入其他知识命题;完全平方公式在中考中占有重要地位，它在数的运算，代数式的化简，方程,函数等方面都有极其广泛的应用。

整式的除法在中考中出现的频率比较高,题型多见选择题与填空题,有时也会出现化简求值题，因此运算必须熟练。

二、重点、难点提示重点：平方差公式、完全平方公式，整式的除法及零指数幂的运算。

难点：乘法公式中字母的广泛含义及整式除法法则的应用。

【重点点拨】知识脉络图【典例精析】能力提升类例1 计算：（1）（－2a－b）（b－2a）；（2）（2x＋y－z）2．一点通：第（1）题中的b－2a＝－2a＋b，把－2a看成平方差公式中的“a”即可；第（2）题有多种解法，可把2x看成完全平方公式中的“a”，把y－z看成公式中的“b”，也可把2x＋y看成公式中“a”，把z看成公式中的“b”。

答案：（1）（－2a－b）（b－2a）＝（－2a－b）（－2a＋b）＝（－2a）2－b2＝4a2－b2；（2）（2x＋y－z）2＝[（2x＋y）－z]2＝（2x＋y）2－2z（2x＋y）＋z2＝4x2＋4xy＋y2－4xz －2yz ＋z 2．点评：这两题都可以运用乘法公式计算，第（1）题先变形，再用平方差公式；第（2）题把三项和看成两项和，两次运用完全平方公式。

例2 计算：（1）[（－3xy ）2·x 3－2x 2·（3xy 2）3·12y ]÷（9x 4y 2）；（2）[（x ＋2y ）（x －2y ）＋4（x －y ）2]÷（6x ）．一点通：本题是整式的混合运算，解题时要注意运算顺序，先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里的。

专题3.4 乘法公式(知识解读)(解析版)

专题3.4 乘法公式(知识解读)(解析版)

专题3.4 乘法公式（知识解读）【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义； 2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.4.能用平方差公式和完全平方公式的逆运算解决问题【知识点梳理】知识点1：平方差公式平方差公式：语言描述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.注意：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 知识点2：平方差公式的特征抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：① 位置变化，(x +y )(-y +x )=x 2-y 2② 符号变化，(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x 2-y 2③ 指数变化，(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4④ 系数变化，(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2⑤ 换式变化，[xy +(z +m )][xy -(z +m )]=(xy )2-(z +m )2=x 2y 2-(z +m )(z +m )=x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2)=x 2y 2-z 2-2zm -m 2⑥ 增项变化，(x -y +z )(x -y -z )=(x -y )2-z 2=(x -y )(x -y )-z 2=x 2-xy -xy +y 2-z 2=x 2-2xy +y 2-z 222()()a b a b a b +-=-b a ,知识点3：完全平方公式完全平方公式：两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍注意：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：知识点4：拓展、补充公式2222222a b c ab ac bc =+++++（a+b+c ）222112a a a±=+±（a ）；； ；.【典例分析】【考点1：平方差公式】【典例1】用平方差公式计算：（1）（1+x ）（1﹣x ）； （2）（a +3b ）（a ﹣3b ）；（3）（3+2a ）（3﹣2a ）； （4）（x ﹣2y ）（﹣x ﹣2y ）．【解答】解：（1）原式＝1﹣x 2；（2）原式＝a 2﹣（3b ）2＝a 2﹣9b 2；（3）原式＝32﹣（2a ）2＝9﹣4a 2；（4）原式＝＝．【变式1-1】计算：（a ﹣b ）（a +b ）．【解答】解：原式＝a 2﹣b 2．【变式1-2】（2m +n ）（2m ﹣n ）．【解答】解：（2m +n ）（2m ﹣n ）＝4m 2﹣n 2．()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+()()224a b a b ab+=-+2()()()x p x q x p q x pq ++=+++2233()()a b a ab b a b ±+=±m 33223()33a b a a b ab b ±=±+±2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++【变式1-3】（2022秋•唐河县期末）下列能用平方差公式计算的是（ ）A．（﹣x+y）（x+y）B．（﹣x+y）（x﹣y）C．（x+2）（2+x）D．（2x+3）（3x﹣2）【答案】A【解答】解：∵（﹣x+y）（x+y）＝﹣（x+y）（x﹣y）；∴选项A符合题意；∵（﹣x+y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）（x﹣y）＝﹣（x﹣y）2，∴选项B不符合题意；∵（x+2）（2+x）＝（x+2）2，∴选项C不符合题意；∵（2x+3）（3x﹣2）不是（a+b）（a﹣b）的形式，∴选项D不符合题意，故选：A．【典例2】用简便方法计算下列各题：（1）992；（2）1022﹣101×103．【解答】解：（1）原式＝（100﹣1）2＝1002﹣2×100×1+1＝10000﹣200+1＝9801；（2）原式＝1022﹣（102﹣1）（102+1）＝1022﹣1022+1＝1．【变式2-1】计算20212﹣2020×2022的结果是（ ）A．1B．﹣1C．0D．2×20212﹣1【答案】A【解答】解：原式＝20212﹣（2021﹣1）×（2021+1）＝20212﹣（20212﹣1）＝20212﹣20212+1＝1．故选：A．【变式2-2】简便计算：（1）20222﹣2020×2024；（2）1882﹣376×88+882．【解答】（1）20222﹣2020×2024＝20222﹣（2022﹣2）（2022+2）＝20222﹣（20222﹣4）＝20222﹣20222+4＝4．（2）1882﹣376×88+882＝1882﹣2×188×88+882＝（188﹣88）2＝1002＝10000．【考点2：平方差公式的几何背景】【典例3】（2022秋•邹城市校级期末）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b 的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）．A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；（3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．【解答】解：（1）根据题意，由图1可得，阴影部分的面积为：a2﹣b2，由图2可得，拼成的长方形长为a+b，宽为a﹣b，面积为（a+b）（a﹣b），所以a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：B．（2）∵x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）＝12，∵x+3y＝4∴x﹣3y＝3（3）＝＝＝．【变式3-1】（2022秋•离石区期末）在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图），通过计算图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）A．a2﹣ab＝a（a﹣b）B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2【答案】B【解答】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为a2﹣b2；拼成的长方形的面积：（a+b）×（a﹣b），所以得出：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：B．【变式3-2】乘法公式的探究及应用．（1）如图1，是将图2阴影部分裁剪下来，重新拼成的一个长方形，面积是 ；如图2，阴影部分的面积是；比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到乘法公式 ；（2）运用你所得到的公式，计算下列各题：①103×97；②（2x+y﹣3）（2x﹣y+3）．【解答】解：（1）由拼图可知，图形1的长为（a+b），宽为（a﹣b），因此面积为（a+b）（a﹣b），图形2的阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2﹣b2，由图形1，图形2的面积相等可得，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故答案为：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（2）①103×97＝（100+3）（100﹣3）＝1002﹣32＝10000﹣9＝9991；②原式＝（2x+y﹣3）[2x﹣（y﹣3）]＝（2x）2﹣（y﹣3）2＝4x2﹣（y2﹣6y+9）＝4x2﹣y2+6y﹣9．【变式3-3】如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）探究：上述操作能验证的等式是 ．（2）应用：利用（1）中得出的等式，计算：．【解答】解：（1）第一个图形中阴影部分的面积是a2﹣b2，第二个图形的面积是（a+b）（a﹣b），则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）原式＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）⋯（1﹣）（1+）＝××××⋯××＝．【考点3：完全平方公式】【典例4】（2021春•罗湖区校级期中）运用完全平方公式计算：（1）（3a+b）2 （2）（x﹣2y）2（3）（﹣x﹣y）2 （4）1992．【解答】解：（1）（3a+b）2＝9a2+6ab+b2；（2）（x﹣2y）2＝x2﹣2xy+4y2；（3）（﹣x﹣y）2＝x2+2xy+y2；（4）1992＝（200﹣1）2＝40000﹣400+1＝39601．【变式4-1】（2020春•沙坪坝区校级月考）（﹣4x﹣）2．【解答】解：原式＝（4x+）2＝16x2+4xy+y2．【变式4-2】（2020春•沙坪坝区校级月考）（3a﹣b）2．【解答】解：（3a﹣b）2＝（3a）2﹣2×3a×b+b2＝9a2﹣6ab+b2．【变式4-3】（2019秋•静安区校级月考）（a+b﹣c）2．【解答】解：原式＝[（a+b）﹣c]2＝（a+b）2﹣2（a+b）c+c2＝a2+2ab+b2﹣2ac﹣2bc+c2．【典例5】（2022秋•丰宁县校级期末）若x2+mx+81是完全平方式，则m的值是（ ）A．±18B．±9C．9D．18【答案】A【解答】解：∵x2+mx+81是一个完全平方式，∴mx＝±2•x•9，解得：m＝±18．故选：A．【变式5-1】（2022秋•新会区校级期末）已知x2﹣ax+16可以写成一个完全平方式，则a可为（ ）A．4B．±4C．8D．±8【答案】D【解答】解：若x2﹣ax+16＝（x﹣4）2时，此时a＝8，若x2﹣ax+16＝（x+4）2时，此时a＝﹣8，所以a＝±8，故选：D．【变式5-2】（2022秋•沙坪坝区期末）若x2+（k+1）x+1是一个完全平方式，则k的值是（ ）A．﹣3B．1C．﹣3或1D．±2【答案】C【解答】解：∵（x±1）2＝x2±2x+1，∴k+1＝±2，∴k＝﹣3或1，故选：C【考点4：完全平方公式的几何背景】【典例6】（2022秋•西岗区校级期末）图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．（1）图2中阴影部分的正方形的边长是 ；（用含a、b的式子表示）（2）观察图2，用一个等式表示下列三个整式：（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系；（3）根据（2）问中的等量关系，解决如下问题：若m+n＝8，mn＝12，求m ﹣n的值．【解答】解：（1）由拼图可知，阴影部分是边长为a﹣b的正方形，故答案为：a﹣b；（2）图2整体是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，图2各个部分的面积和为（a﹣b）2+4ab，所以有（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，答：（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系为（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab；（3）∵m+n＝8，mn＝12，∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝64﹣48＝16，∴m﹣n＝±4．【变式6-1】（2022秋•南关区校级期末）如图1，三种纸片A、B、C分别是边长为a的正方形，边长为b的正方形和宽与长分别为a与b的长方形．（1）数学课上，老师用图1中的一张纸片A，一张纸片B和两张纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，由此可以得到的乘法公式是 ；（2）若小莉想用图1中的三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+b）的大长方形，需要A、B、C三种纸片分别 张．【解答】解：（1）由题意知，（a+b）2＝a2+2ab+b2，故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）∵（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，∴需要A、B、C三种纸片分别2张，1张，3张，故答案为：2，1，3．【变式6-2】（2022秋•黄石港区期末）如图，对一个正方形进行了分割，通过面积恒等，能够验证下列哪个等式（ ）A．x2﹣y2＝（x﹣y）（x+y）B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2C．（x+y）2＝x2+2xy+y2D．（x﹣y）2+4xy＝（x+y）2【答案】C【解答】解：首先看四个等式都是成立的，但是却并未都正确反映图示内容．图中大正方形的边长为：x+y，其面积可以表示为：（x+y）2分部分来看：左下角正方形面积为x2，右上角正方形面积为y2，其余两个长方形的面积均为xy，各部分面积相加得：x2+2xy+y2，∴（x+y）2＝x2+2xy+y2故选：C．【变式6-3】（2022春•邗江区期末）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值；解：因为a+b＝3，所以（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，又因为ab＝1，所以a2+b2＝7．根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；（2）填空：①若（4﹣x）x＝5，则（4﹣x）2+x2＝ ；②若（4﹣x）（5﹣x）＝8，则（4﹣x）2+（5﹣x）2＝ ．（3）如图，在长方形ABCD中，AB＝25，BC＝15，点E．F是BC、CD上的点，且BE＝DF＝x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH 和CEMN，若长方形CEPF的面积为200平方单位，求图中阴影部分的面积和．【解答】解：（1）∵2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝64﹣40＝26，∴xy＝13．（2）①令a＝4﹣x，b＝x，则a+b＝4，ab＝5，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣10＝6.\，∴（4﹣x）2+x2＝6，故答案为：6．②令a＝4﹣x，b＝5﹣x，则a﹣b＝﹣1，ab＝8，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝1+16＝17，∴（4﹣x）2+（5﹣x）2＝17，故答案为：17．（3）由题意得：（25﹣x）（15﹣x）＝200，令a＝25﹣x，b＝15﹣x，则：a﹣b＝10，ab＝200，∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝100+400＝500，∴（25﹣x）2+（15﹣x）2＝500，所以阴影部分的面积和为500平方米．【考点5：完全平方公式拓展运用】【典例7】（2022春•巨野县期末）已知x+y＝﹣5，xy＝﹣3．（1）求x2+y2的值；（2）求（x﹣y）2的值．【解答】解：（1）∵x+y＝﹣5，xy＝﹣3，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（﹣5）2﹣2×（﹣3）＝25+6＝31；（2）∵xy＝﹣3，x2+y2＝31，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝31﹣2×（﹣3）＝37．【变式7-1】（2022春•平桂区期末）已知x+y＝5，xy＝2，求x2+y2的值．【解答】解：x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝52﹣2×2＝21．【变式7-2】（2021秋•尚志市期末）已知：x+y＝3，xy＝﹣1，求下列各式的值：（1）x2+y2；（2）（x﹣y）2．【解答】解：（1）∵（x+y）2＝x2+y2+2xy，x+y＝3，xy＝﹣1，∴9＝x2+y2﹣2，∴x2+y2＝11；（2）∵x2+y2＝11，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝11﹣2×（﹣1）＝13．【变式7-3】（2021秋•汝阳县期中）已知x2+y2＝29，x+y＝7，求各式的值：（1）xy；（2）x﹣y．【解答】解：（1）∵x+y＝7，∴（x+y）2＝49，∴x2+2xy+y2＝49，∵x2+y2＝29，∴2xy＝20，∴xy＝10．（2）∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝29﹣20＝9，∴x﹣y＝±3．。

中考数学 第3讲 乘法公式和因式分解(解析版)

中考数学 第3讲 乘法公式和因式分解(解析版)

第3讲 乘法公式和因式分解一、考点知识梳理 【考点1 平方差公式】两数和与这两数差的积，等于它们的平方差 (a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2 【考点2 完全平方公式】两数的平方和，加上（或者减去）它们的积的两倍等于它们和（或差）的平方 (a±b)2＝a 2±2ab ＋b 2 【考点3 因式分解】1．把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式． 2．分解因式与整式乘法的关系：多项式因式分解整式乘法整式的积． 3. 分解因式的基本方法（1）．提公因式法：ma ＋mb ＋mc ＝m(a ＋b ＋c)． （2）．运用公式法：平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)． 完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝(a±b)2． 二、考点分析【考点1 平方差公式】【解题技巧】能够运用平方差公式进行多项式乘法运算的必须是两个二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．反之能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式且符号相反． 【例1】(2019河北沧州中考模拟)若（a ﹣b ﹣2）2+|a +b +3|＝0，则a 2﹣b 2的值是（ ） A ．﹣1 B ．1C ．6D ．﹣6【答案】D ．【分析】由非负数的性质得出a ﹣b ＝2，a +b ＝﹣3，求出a ，b 的值，再代入a 2﹣b 2进行计算即可． 【解答】解：∵（a ﹣b ﹣2）2+|a +b +3|＝0， ∴a ﹣b ＝2，a +b ＝﹣3，∴a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）＝2×（﹣3）＝﹣6； 故选：D ．【一领三通1-1】(2019 山东青岛模拟)若k 为任意整数，且993﹣99能被k 整除，则k 不可能是（ ）A．50 B．100 C．98 D．97【答案】D．【分析】对题目中的式子分解因式即可解答本题．【解答】∵993﹣99＝99×（992﹣1）＝99×（99+1）×（99﹣1）＝99×100×98，∴k可能是99、100、98或50，故选：D．【一领三通1-2】(2019辽宁大连模拟)先化简，再求值：(a＋b)(a－b)＋b(a＋2b)－b2，其中a＝1，b＝－2.【分析】先利用平方差公式和去括号，然后合并同类项.【解答】原式＝a2－b2＋ab＋2b2－b2＝a2＋ab，当a＝1，b＝－2时，原式＝12＋1×(－2)＝1－2＝－1.【一领三通1-3】(2019河北石家庄中考模拟)计算并观察、探究下列式子①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1④（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1⑤（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1…由以上规律（1）填空：（x﹣1）（x n+x n﹣1+…+x+1）＝．（2）求：22019+22018+22017+…+22+2+1 的值．【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，规律总结得到一般性结论，写出即可；（2）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果．【解答】解：①（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；②（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；③（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；④（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1；⑤（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1；… 由以上规律（1）（x ﹣1）（x n +x n ﹣1+…+x +1）＝x n +1﹣1；（2）原式＝（2﹣1）×（22019+22018+22017+…+22+2+1）＝22020﹣1， 则22019+22018+22017+…+22+2+1＝22020﹣1． 故答案为：（1）x n +1﹣1（2）22020﹣1 【考点2 完全平方公式】【解题技巧】能运用完全平方公式进行多项式乘法运算的，必须是两个数（或差）的平方和的形式，反之能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．【例2】(2019辽宁锦州中考模拟)如果二次三项次x 2﹣16x +m 2是一个完全平方式，那么m 的值是（ ） A ．±8 B ．4 C ．﹣2 D ．±2【答案】A ．【分析】先根据乘积二倍项确定出这两个数是8和x ，再根据完全平方公式的平方项列式求解即可． 【解答】解：∵﹣16x ＝﹣2×8•x ， ∴m 2＝82＝64， 解得m ＝±8． 故选：A ．【一领三通2-1】(2019山东聊城中考模拟)已知a ，b 是△ABC 的两边，且a 2＋b 2＝2ab ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．锐角三角形D ．不确定 【答案】A ．【分析】运用完全平方公式分解因式 【解答】∵a 2＋b 2＝2ab ∴a 2＋b 2-2ab=0∴=0∴a=b 故选：A ．2)(b a【一领三通2-2】(2019沧州九中模拟)当s ＝t ＋12时，代数式s 2－2st ＋t 2的值为 ．【分析】运用完全平方公式分解因式 【解答】∵s ＝t ＋12∴s －t ＝12∴s 2－2st ＋t 2＝=＝14故答案是14【一领三通2-3】（2019•吉林长春中考）先化简，再求值：（2a +1）2﹣4a （a ﹣1），其中a ＝． 【分析】直接利用完全平方公式以及单项式乘以多项式分别化简得出答案． 【解答】解：原式＝4a 2+4a +1﹣4a 2+4a ＝8a +1，当a ＝时，原式＝8a +1＝2．【一领三通2-4】（2018，江苏南京模拟）先化简，再求值：2(21)2(21)3a a +-++，其中a =【分析】直接运用(a+b)2=a 2+2ab+b 2进行计算、化简. 【解答】原式=4a 2+4a+1-4a-2+3=4a 2+2. 当a=2时, 4a 2+2 =4×(2)2+2 =10.【考点3 因式分解】【解题技巧】因式分解的一般步骤：(1)如果多项式各项有公因式，应先提取公因式；(2)如果各项没有公因式，可以尝试使用公式法来分解因式，看是否符合平方差公式还是完全平方公式，有时需考虑用十字交乘法；(3)检查因式分解是否彻底，必须分解到每一个因式不能再分解为止．【例3】（2019•台湾中考）若多项式5x 2+17x ﹣12可因式分解成（x +a ）（bx +c ），其中a 、b 、c 均为整数，则a +c 之值为何？（ ）2)(t s -2)21(A．1 B．7 C．11 D．13【答案】A．【分析】首先利用十字交乘法将5x2+17x﹣12因式分解，继而求得a，c的值．【解答】解：利用十字交乘法将5x2+17x﹣12因式分解，可得：5x2+17x﹣12＝（x+4）（5x﹣3）．∴a＝4，c＝﹣3，∴a+c＝4﹣3＝1．故选：A．【一领三通3-1】（2019 浙江温州中考）分解因式：m2+4m+4＝．【答案】（m+2）2．【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：原式＝m2+4m+22=（m+2）2．故答案为：（m+2）2．【一领三通3-2】（2019 江苏南京中考）分解因式（a﹣b）2+4ab的结果是．【答案】（a+b）2．【分析】直接利用多项式乘法去括号，进而合并同类项，再利用公式法分解因式得出答案．【解答】解：（a﹣b）2+4ab＝a2﹣2ab+b2+4ab＝a2+2ab+b2＝（a+b）2．故答案为：（a+b）2．【一领三通3-3】（2019 江西中考）因式分解：x2﹣1＝．【答案】（x+1）（x﹣1）【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝（x+1）（x﹣1）．故答案为：（x+1）（x﹣1）．【一领三通3-4】（2019 江苏徐州中考）若a＝b+2，则代数式a2﹣2ab+b2的值为．【答案】4【分析】由a ＝b +2，可得a ﹣b ＝2，代入所求代数式即可． 【解答】解：∵a ＝b +2， ∴a ﹣b ＝2，∴a 2﹣2ab +b 2＝（a ﹣b ）2＝22＝4． 故答案为：4 三、【达标测试】 一、选择题1.（2019，湖南湘潭中考模拟）下列式子，正确的是（ ）A. 3+=B. 1)1=C. 122-=-D. 2222()x xy y x y +-=- 【答案】B.【分析】二次根式的运算，整式中的法则，公式可以灵活运用.(a+b)(a-b)=a 2-b 2,a 2±2ab+b 2=(a±b)2. 【解答】A 选项不能合并；C 选项=12;D 选项错用完全平方公式因式分解； B 计算正确； 故选B.（2019，安徽蚌埠中考模拟） 下列多项式中，能用公式法分解因式的是（ ） A.x 2－xy B. x 2＋xy C. x 2－y 2 D. x 2＋y 2 【答案】 C.【分析】平方差公式因式分解为a 2-b 2=(a+b)(a-b)【解答】A 、B 能用提公因式因式分解，D 在实数范围内，不能因式分解，只有C 符合平方差公式特征. 故选 C.3.（2019•河北石家庄中考模拟）若要使4x 2+mx +成为一个两数差的完全平方式，则m 的值应为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A ．【分析】这里首末两项是±2x 和±这两个数的平方，那么中间一项为减去±2x 和±积的2倍，故m ＝±．12-【解答】解：∵（2x﹣）2＝4x2﹣x+，或[2x﹣（﹣）]2＝4x2+x+，∴m＝﹣或．故选：A．4.（2019•山东青岛中考模拟）如果自然数a是一个完全平方数，那么与a之差最小且比a大的一个完全平方数是（）A．a+1 B．a2+1 C．a2+2a+1 D．a+2+1【答案】D．【分析】当两个完全平方数是自然数时，其算术平方根是连续的话，这两个完全平方数的差最小．【解答】解：∵自然数a是一个完全平方数，∴a的算术平方根是，∴比a的算术平方根大1的数是+1，∴这个平方数为：（+1）2＝a+2+1．故选：D．5.（2019•辽宁本溪中考模拟）有一个长方形内部剪掉了一个小长方形，它们的尺寸如图所示，则余下的部分（阴影部分）的面积（）A．4a2B．4a2﹣ab C．4a2+ab D．4a2﹣ab﹣2b2【答案】D．【分析】根据阴影部分面积＝大长方形的面积﹣小长方形的面积列出算式，再根据整式的混合运算顺序和运算法则计算可得．【解答】解：余下的部分的面积为（2a+b）（2a﹣b）﹣b（a﹣b）＝4a2﹣b2﹣ab+b2＝4a2﹣ab，故选：D．二、填空题1.（2019•呼和浩特中考）因式分解：x2y﹣4y3＝．【答案】y（x﹣2y）（x+2y）．【分析】首先提公因式y，再利用平方差进行分解即可．【解答】解：原式＝y（x2﹣4y2）＝y（x﹣2y）（x+2y）．故答案为：y（x﹣2y）（x+2y）．2.（2019•辽宁沈阳中考）因式分解：﹣x2﹣4y2+4xy＝．【答案】﹣（x﹣2y）2．【分析】先提取公因式﹣1，再套用公式完全平方公式进行二次因式分解．【解答】解：﹣x2﹣4y2+4xy，＝﹣（x2+4y2﹣4xy），＝﹣（x﹣2y）2．3.（2019•甘肃兰州中考）因式分解：a3+2a2+a＝．【答案】a（a+1）2．【分析】先提取公因式a，再对余下的项利用完全平方公式继续分解因式．完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．【解答】解：a3+2a2+a，＝a（a2+2a+1），…（提取公因式）＝a（a+1）2．…（完全平方公式）故答案为：a（a+1）2．4.（2019•山东威海中考）分解因式：2x2﹣2x+＝．【答案】2（x﹣）2．【分析】直接提取公因式2，再利用公式法分解因式即可．【解答】解：原式＝2（x2﹣x+）＝2（x﹣）2．故答案为：2（x﹣）2．5.（2019，江苏省连云港中考模拟）当12s t=+时，代数式222s st t-+的值为．【答案】1 4【分析】 代数式求值，一般先化简，后代入，求值时要灵活运用乘法公式，可使运算简便. 【解答】 因为s 2-2st+t 2=(s-t)2,再把s=t+12代入，得s 2-2st+t 2=(t+12-t)2=14.6. (2019,山西省太原中考模拟)分解因式(4)4x x ++的结果是 ． 【答案】 (x+2)2【分析】若一个三项式，其中两项分别是两个数的平方第三项是这两个数的积的2倍，就可以用a 2±2ab+b 2=(a±b)2来因式分解. 【解答】(4)4x x ++ =x 2+4x+4= x 2+2·2x+22 =(x+2)2.7.（2019，山东潍坊中考模拟）分解因式：32627x x x +-= ． 【答案】x(x+9)(x-3)【分析】先提取公因式x,再运用“十字交叉法”因式分解,或者用配方法后，再运用平方差公式因式分解. 【解答】 方法一： x 3+6x 2-27x =x(x 2+6x-27 =x(x+9)(x-3) 方法二： x 3+6x 2-27x =x(x 2+6x+9-36) =x[(x+3)2-62] =x(x+3+6)(x+3-6) =x(x+9)(x-3)8. （2019，河北沧州中考模拟）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图①，它表示了（2m +n ）（m +n ）＝2m 2+3mn +n 2（1）图②是将一个长2m 、宽2n 的长方形，沿图中虚线平均分为四块小长方形，然后再拼成一个正方形（图③），则图③中的阴影部分的正方形的边长等于 （用含m 、n 的代数式表示） （2）请用两种不同的方法列代数式表示图③中阴影部分的面积． 方法① 方法②（3）请你观察图形③，写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn关系的等式：；（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若已知x+y＝7，xy＝10，则（x﹣y）2＝；（5）小明用8个一样大的长方形（长acm，宽bcm）拼图，拼出了如图甲、乙的两种图案，图案甲是一个正方形，图案乙是一个大的长方形，图案甲的中间留下了边长是2cm的正方形小洞．则（a+2b）2﹣8ab 的值为．【答案】（1）m﹣n（2）（m+n）2﹣4mn；（m﹣n）2（3）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn（4）9．（5）4.【分析】（1）阴影部分的正方形的边长为m﹣n；（2）方法①：阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积；方法②：表示出小正方形的边长为m ﹣n，即可解答；（3）大正方形的面积减去4个小长方形的面积即可得出阴影部分的面积，也可得出三个代数式（m+n）2、（m ﹣n）2、mn之间的等量关系；（4）（4）根据（3）所得出的关系式，可求出（x﹣y）2的值；（5）利用图形面积之间关系得出（a+2b）2﹣8ab＝（a﹣2b）2即可求出．【解答】解：（1）阴影部分的正方形的边长为m﹣n；故答案为：m﹣n．（2）方法①：阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，所以阴影部分的面积为：（m+n）2﹣4mn；方法②：表示出小正方形的边长为m﹣n，所以阴影部分的面积＝（m﹣n）2．故答案为：（m+n）2﹣4mn；（m﹣n）2．（3）（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn；故答案为：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn．（4）（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝72﹣4×10＝9；故答案为：9．（5）∵（a+2b）2﹣8ab＝（a﹣2b）2＝22＝4，∴（a+2b）2﹣8ab的值为4．故答案为：4．三、解答题1.(2019湖南怀化中考模拟)先化简，再求值：(2a－1)2－2(a＋1)(a－1)－a(a－2)，其中a＝2＋1.【分析】利用完全平方公式、平方差公式以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a 的值代入计算即可求出值．【解答】原式＝4a2－4a＋1－2a2＋2－a2＋2a＝a2－2a＋3，当a＝2＋1时，原式＝3＋22－22－2＋3＝4.2.(2019浙江宁波中考模拟)化简：(a＋b)2＋(a－b)(a＋b)－2ab.【分析】先利用完全平方公式、平方差公式计算，去括号合并同类项得到结果.【解答】原式＝a2＋2ab＋b2＋a2－b2－2ab＝2a2.2.(2019浙江金华中考模拟)先化简，再求值：(x＋5)(x－1)＋(x－2)2，其中x＝－2.【分析】利用完全平方公式以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】原式＝x2＋4x－5＋x2－4x＋4＝2x2－1，当x＝－2时原式＝7.4.（2019江苏省淮安中考模拟）先化简，再求值：[]21其中x-，+-xxxyxyy+),1y÷)(=(-(2=)【分析】本题既可按乘法公式展开,再合并化简后求值,也可运用提公因式法因式分解来化简,后求值.【解答】方法一:原式=(x2-2xy+y2+x2-y2)÷x =(2x2-2xy)÷x=2x-2y当x=-1,y=12时,原式=2×(-1)-2×12=-3.方法二:原式=(x-y)(x-y+x+y)÷x =2(x-y)当x=-1,y=12时,原式=2(-1-12)=-35. 已知a+b＝3，ab＝﹣10．求：（1）a2+b2的值；（2）（a﹣b）2的值．【分析】（1）将a+b＝3两边平方，利用完全平方公式展开，把ab的值代入计算即可求出所求式子的值；（2）利用完全平方公式变形，将a+b与ab的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）将a+b＝3两边平方得：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝9，把ab＝﹣10代入得：a2+b2＝29；（2）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝29+20＝49．6.下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝y，原式＝（y+2）（y+6）+4 （第一步）＝y2+8y+16 （第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的．A．提取公因式B．平方差公式C．两数和的完全平方公式D．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果是否彻底？．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果．（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．【分析】（1）根据分解因式的过程直接得出答案；（2）该同学因式分解的结果不彻底，进而再次分解因式得出即可；（3）将（x2﹣2x）看作整体进而分解因式即可．【解答】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；故选：C；（2）该同学因式分解的结果不彻底，原式＝（x2﹣4x+4）2＝（x﹣2）4；故答案为：不彻底，（x﹣2）4；（3）（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1＝（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1＝（x2﹣2x+1）2＝（x﹣1）4．7.正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm，它们的面积相差960cm2，求这两个正方形的边长．【分析】先设小正方形的边长是xcm，于是可知大正方形的周长是4xcm，则大正方形的周长是（4x+96）cm，即可求出大正方形的边长（x+24）cm，再根据面积之差即可得出答案．【解答】解：设小正方形的边长是xcm，则大正方形的边长是（x+24）cm，根据题意得：（x+24）2﹣x2＝960，即48x+576＝960，解得x＝8，∴x+24＝32（cm），答：Ⅱ正方形的边长为8cm，Ⅰ正方形的边长为32cm．8.如图，在长方形ACDF中，AC＝DF，点B在CD上，点E在DF上，BC＝DE＝a，AC＝BD＝b，AB＝BE＝c，且AB⊥BE．（1）用两种不同的方法表示长方形ACDF的面积S．方法一：S＝．方法二：S＝．（2）求a，b，c之间的等量关系（需要化简）．（3）请直接运用（2）中的结论，求当c＝10，a＝6，S的值．【分析】（1）方法一，根据矩形的面积公式就可以直接表示出S；方法二，根据矩形的面积等于四个三角形的面积之和求出结论即可；（2）根据方法一与方法二的S相等建立等式就可以表示出a，b，c之间的等量关系；（3）先由（2）的结论求出b的值，然后代入S的解析式就可以求出结论．【解答】解：（1）由题意，得方法一：S1＝b（a+b）＝ab+b2方法二：S2＝ab+ab+（b﹣a）（b+a）+c2＝ab+b2﹣a2+c2．故答案为：ab+b2；ab+b2﹣a2+c2．（2）∵S1＝S2，∴ab+b2＝ab+b2﹣a2+c2，∴2ab+2b2＝2ab+b2﹣a2+c2，∴a2+b2＝c2．（3）∵a2+b2＝c2，且c＝10，a＝6，∴b＝8，∴S＝ab+b2＝6×8+64＝112．答：S的值为112．。

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学员编号：年级：八年级课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题乘法公式
授课日期及时段
教学目的1.理解平方差公式、完全平方公式的意义以及它们与多项式乘法的关系.
2.会初步选择、运用平方差公式与完全平方公式进行简单计算
重难点平方差公式、完全平方公式的推导和应用，灵活应用平方差公式、完全平方公式。

【考纲说明】
了解乘法公式（a+b）（a-b）= 、的几何背景，并能进行简单
计算。

【趣味链接】
某学校学生实践基地有一块边长为30米的正方形实验田，现要在实验田中开设
一块边长为5米的正方形观测台，现要在实验田播种，请问正方形实验田的播种
面积是多少平方米？
【知识梳理】
1、平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
2、完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2
3、公式的变式，准确灵活运用公式：
①位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2
②符号变化，(-x+y)(-x-y)=(-x)2-y2= x2-y2
③指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4
④系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2
⑤换式变化，[xy+(z+m)][xy-(z+m)]
=(xy)2-(z+m)2
=x2y2-(z+m)(z+m)
=x2y2-(z2+zm+zm+m2)
=x2y2-z2-2zm-m2
⑥增项变化，(x-y+z)(x-y-z)
=(x-y)2-z2
=(x-y)(x-y)-z2
=x2-xy-xy+y2-z2
=x2-2xy+y2-z2
⑦连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)
=(x2-y2)(x2+y2)
=x4-y4
⑧逆用公式变化，(x-y+z)2-(x+y-z)2
=[(x-y+z)+(x+y-z)][(x-y+z)-(x+y-z)]
=2x(-2y+2z)
=-4xy+4xz
【经典例题】
【例1】（2011江苏无锡）分解因式2x2− 4x + 2的最终结果是
（）
A．2x(x− 2) B．2(x2− 2x + 1) C．2(x− 1)2 D．(2x− 2)2 【例2】（2011河北）下列分解因式正确的是（）
A.B．2a-4b+2=2（a-2b）C．
D．
【例3】（2012安徽）下面的多项式中，能因式分解的是（）
A. B. C.
D.
【例4】（2012南昌）已知（m﹣n）2=8，（m+n）2=2，则m2+n2=（）
A． 10 B． 6C． 5 D． 3
【例5】（2011山东枣庄）若，且，则．
【例6】已知，，求的值。

【例7】计算19992-2000×1998
【例8】已知a+b=2，ab=1，求a2+b2和(a-b)2的值。

【例9】已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。

求x2-z2的值。

【例10】已知，，求的值。

【例11】（2011浙江金华）已知2x－1=3，求代数式（x－3）2+2x(3+x) －7的值.
【例12】(2011浙江绍兴）先化简，再求值：，其中.
【课堂练习】
1、（2011山东济宁）把代数式分解因式，结果正确的是（）
A． B． C．
D．
2、（2011山东枣庄）如图，边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（）
A．m+3 B．m+6 C．2m+3 D．2m+6
3、（2012福州）分解因式：x2－16＝_________________．
4、（2012陕西）分解因式：．
5、（2012安徽）计算：
6、（2012广东）先化简，再求值：（x+3）（x﹣3）﹣x（x﹣2），其中x=4．
7、运用公式简便计算
（1）1032（2）1982
8、计算
（1）(a+4b-3c)(a-4b-3c)（2）(3x+y-2)(3x-y+2)
【课后作业】
1、（2011湖北荆州）将代数式化成的形式为（）
A． B． C． D．
2、（2011安徽芜湖）如图，从边长为（a＋4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为cm
的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（）.
A． B． C． D．
3、（2011山东临沂）下列运算中正确的是（）
A．（－ab）2＝2a2b2 B．（a＋1）2＝a2＋1 C．a6÷a2＝a3 D．2a3＋a3＝3a3
4（2011江苏连云港）计算（x+2）2的结果为x2+□x+4,则“□”中的数为（）
A．－2 B．2 C．－4 D．4 5、已知a2+b2=13，ab=6，求(a+b)2，(a-b)2的值。

6、已知(a+b)2=7，(a-b)2=4，求a2+b2，ab的值。

7、已知a(a-1)-(a2-b)=2，求的值。

8、已知，求的值。

9、计算：
10、已知实数x、y、z满足，那么（）
【课后反馈】
本次______________同学课堂状态：_________________________________________________________________
本次课后作业：_______________________________________________________________________________ ____
需要家长协助：_______________________________________________________________________________ _____
家长意见：_______________________________________________________________________________ _________
【参考答案】
经典例题
1、C
2、D
3、D
4、C
5、3
6、解：∵
∴∴
=∵，∴
7、解：19992-2000×1998 =19992-（1999+1）×（1999-1） =19992-（19992-12）=19992-19992+1 =1 8、解：a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2=2 （a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4=0
9、解：因为x-y=2，y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x2-z2=（x+z）(x-z)=14×4=56。

10、解：∵∴=∵，
∴= 11、解：由2x－1=3得，x=2，所以代数式（x－3）2+2x(3+x)
－7=（2－3）2+2×2 (3+2) －7=14. 12、原式当时，原式=0.
课堂练习
1、D
2、C
3、解：x2－16＝(x＋4)(x－4)．
4、
解：原式=a2－
5、
a+3a－3+a2－2a =2a2－3
6、解：原式=x2﹣9﹣x2+2x =2x﹣9，当x=4时，原式=2×4﹣9=﹣1．
7、解：（1）1032=(100+3)2 =1002+2⨯100⨯3+32=10000+600+9 =10609
（2）1982=(200-2)2 =2002-2⨯200⨯2+22=40000-800+4 =39204
8、解：（1）原式=[(a-3c)+4b][(a-3c)-4b]=(a-3c)2-(4b)2=a2-6ac+9c2-16b2
（2）原式=[3x+(y-2)][3x-(y-2)]=9x2-( y2-4y+4)=9x2-y2+4y-4
课后作业
1、C
2、D
3、D
4、D
5、解：（1）∵a2+b2=13，ab=6 ∴(a+b)2=a2+b2+2ab=13+2⨯6=25 (a-b)2=a2+b2-2ab=13-2⨯6=1
6、∵(a+b)2=7，(a-b)2=4 ∴ a2+2ab+b2=7 ①
a2-2ab+b2=4 ②
①+②得 2(a2+b2)=11，即①-②得 4ab=3，即
7、由a(a-1)-(a2-b)=2 得a-b=-2
8、由，得即即
9、解：原式
10、解：由两个完全平方公式得：从而。

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