高中数学-选修4-4参数方程讲义

——基础梳理——

1．椭圆的参数方程

(1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程是__________．规定参数φ的取值范围为__________．

(2)中心在(h ，k)的椭圆的普通方程为

x －h 2a2＋y －k 2b2＝1，则其参数方程为__________． 2．双曲线的参数方程

(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x2a2－y2b2

＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程是__________．规定参数φ的取值范围为__________．

(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y2a2－x2b2

＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程是__________． 3．抛物线的参数方程

(1)抛物线y2＝2px(p ＞0)的参数方程为__________，t ∈__________.

(2)参数t 的几何意义是__________．

[答案]

1．(1)⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝acosφy ＝bsinφ(φ为参数) [0,2π) (2)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝h ＋acosφy ＝k ＋bsinφ

(φ为参数) 2．(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝asecφy ＝btanφ

(φ为参数) [0,2π)，且φ≠π2，φ≠3π2

(2)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝btanφy ＝asecφ(φ为参数) 3．(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2pt2y ＝2pt (t 为参数) (－∞，＋∞)

(2)抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数

自主演练

1．已知方程x2＋my2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则()

A ．m ＜1

B ．－1＜m ＜1

C ．m ＞1

D ．0＜m ＜1

[解析]方程化为x2＋y21m

＝1，若要表示焦点在y 轴上的椭圆，需要1m

＞1，解得0＜m ＜1.故应选D.

2．已知90°＜θ＜180°，方程x 2＋y 2cos θ＝1表示的曲线是()

A ．圆

B ．椭圆

C ．双曲线

D ．抛物线

[解析]当90°＜θ＜180°时，－1＜cos θ＜0，方程x 2＋y 2cos θ＝1表示的曲线是双曲线．故应选C.

[答案]C

3．直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，则圆⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋rcosθ，y ＝b ＋rsinθ(θ为参数)的圆心位于第几象限()

A ．一

B ．二

C ．三

D ．四

[解析]直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，则a ＜0，b ＞0，而圆心坐标为(a ，b)，所以位于第二象限．

[答案]B

4．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝acos θ，y ＝bsin θ(θ为参数)，若θ∈[0,2π]，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ为()

A ．π B.π2C ．2π D.32

π [解析]由已知acos θ＝－a ，∴cos θ＝－1，又θ∈[0,2π]，∴θ＝π.故选A.

[答案]A

5．二次曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5cosθ，y ＝3sinθ(θ是参数)的左焦点的坐标为__________．

[解析]原方程消去参数θ，得普通方程为x225＋y29

＝1.它是焦点在x 轴上的椭圆，a2＝25，b2＝9，c2＝a2－b2＝16，c ＝4，所以左焦点坐标是(－4,0)．

6．圆锥曲线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4secθ，y ＝3tanθ(θ是参数)的渐近线方程是________________，实轴长是__________．

[解析]原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x 4＝secθ，

y 3＝tanθ，因为sec2θ－tan2θ＝1，所以x216－y29

＝1.它是焦点在x 轴上的双曲线，∴a2＝16.∴双曲线的渐近线为y ＝±34

x ，且实轴长为8. [答案]y ＝±34

x8

——题型探究——

题型一椭圆的参数方程及应用

【例1】已知A ，B 分别是椭圆x 236＋y 29

＝1的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，求△ABC 的重心G 的轨迹方程．

【分析】△ABC 的重心G 取决于△ABC 的三个顶点的坐标，为此需要把动点C 的坐标表示出来，可考虑用参数方程的形式．

【解析】由题意知A(6,0)，B(0,3)，由于动点C 在椭圆上运动，故可设动点C 的坐标为(6cosθ，3sinθ)，点G 的

坐标设为(x ，y)，由三角形重心的坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6＋0＋6cosθ3y ＝0＋3＋3sinθ3

，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋2cosθy ＝1＋sinθ，消去参数θ得到x －224

＋(y －1)2＝1. 【评析】本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便． 变式训练

在椭圆x225＋y216

＝1中有一内接矩形，问内接矩形的最大面积是多少？ [解析]椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5cost ，y ＝4sint (t 为参数)，设第一象限内椭圆上任一点M(x ，y)，由椭圆的对称性，知内

接矩形的面积为S ＝4xy ＝4×5cost×4sint＝40sin2t.

当t ＝π4时，面积S 取得最大值40，此时，x ＝5cos π4＝522，y ＝4sin π4

＝22，因此，矩形在第一象限的顶点为⎝ ⎛⎭

⎪⎫522，22，此时内接矩形的面积最大，且最大面积为40. 题型二双曲线的参数方程及应用

【例2】求点M0(0,2)到双曲线x2－y2＝1的最小距离(即双曲线上任一点M 与点M0距离的最小值)．

【分析】化双曲线方程为参数方程，对||MM0建立三角函数求最值．

【解析】把双曲线方程化为参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝sec θ，y ＝tan θ.

设双曲线上动点M(sec θ，tan θ)，

则||M0M 2＝sec2θ＋(tan θ－2)2＝(tan2θ＋1)＋(tan2θ－4tan θ＋4)＝2tan2θ－4tan θ＋5＝2(tan θ－1)2

＋3，当tan θ－1＝0即θ＝π4

时，||M0M 2取最小值3，此时有||M0M ＝3，即M0点到双曲线的最小距离为 3. 【评析】在求解一些最值问题时，用参数方程来表示曲线的坐标，将问题转化为三角函数求最值，能简化运算过程．

变式训练

设P 为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1，F2为两个焦点，证明：||F1P ·||F2P ＝||OP 2.