浙江省金华市十校2017-2018学年高二上学期期末联考数学试题 含答案 精品
2017-2018学年浙江省金华十校高二(下)期末数学试卷(解析版)
A．∠D′AB≥θ B．∠D′AB≤θ
C．∠D′CB≥θ D．∠D′CB≤θ
10．（4 分）过抛物线 x2＝2py（p＞0）焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 C 在直线 y
＝﹣ 上，则（ ）
A．使△ABC 为直角三角形的点 C 只有一个 B．使△ABC 为等腰三角形的点 C 只有一个 C．当△ABC 等边时，|AB|＝ p D．当△ABC 等边时，|CF|＝ p 二、填空题：本大题有 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分，把答案填在 答题卷的相应位置.
（Ⅰ）当 b 为何值时，直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2；
（Ⅱ）当 b＝3 时，过 l 上任意一点 P 作圆 C 的两条切线，切点分别记为 A、B，求四边形
PACB 面积的最小值．
19．（15 分）把同一批次生产的 9 个白色乒乓球，涂上黑、黄、红三种颜色，每种颜色涂三
个球，同种颜色的三个球分别编号为 1，2，3，将这 9 个球装入袋中搅拌均匀，从中任取
B．若 l⊥α，l∥β，则 α⊥β
C．若 α∥β，l∥α，则 l∥β
D．若 α∥β，l⊥α，则 l⊥β
5．（4 分）已知双曲线 C： ﹣ ＝1 的离心率为 2，则双曲线 C 的渐近线方程是（ ）
A．y＝± x
B．y＝± x
C．y＝± x
D．y＝±3x
6．（4 分）用数学归纳法证明命题 1+2+3+…+n2＝
B．若物理和化学至少选一门，选法总数为
种
C．若物理和历史不能同时选，选法总数为 ﹣ 种
D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为
﹣种
9．（4 分）如图，已知四边形 ABCD 是底角为 60°的等腰梯形，且|AB|＝2|CD|，沿直线 AC 将△ADC 翻折成△AD′C，所成二面角 D′﹣AC﹣B 的平面角为 θ，则（ ）
浙江省金华十校2017-2018学年高二下学期期末考试数学试题Word版含答案
浙江省金华十校2017-2018学年下学期期末考试高二数学试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设11z i=-（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．2B ．12 2．不等式(2)(3)0m m -+<的一个充分不必要条件是（ ）A ．30m -<<B ．32m -<<C ．34m -<<D ．13m -<<3．在25(4)x -的展开式中，含6x 的项的系数为（ ）A ．20B ．40C ．80D ．1604．设,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下面四个命题中不正确．．．的是（ ） A ．若,,,a b a b αα⊥⊥⊄则//b α B ．若,,a b a b αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥C ． 若//,a a αβ⊥，则αβ⊥D ．若,a βαβ⊥⊥，则//a α 5．已知双曲线2219x y m-=的一个焦点在直线5x y +=上，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．34y x =±B ．43y x =±C ． 3y x =±D ．4y x =± 6．用数学归纳法证明不等式111()232n n n N *+++≤∈L 时，从n k =到1n k =+不等式左边增添的项数是（ ） A ．k B ．21k - C ． 2k D ．21k+7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．64B ．128C ． 252D ．80+8．A B C DE 、、、、五个人参加抽奖活动，现有5个红包，每人各摸一个，5个红包中有2个8元，1个18元，1个28元，1个0元，（红包中金额相同视为相同红包），则A 、B 两人都获奖（0元视为不获奖）的情况有（ ）A ．18种B ．24种C ． 36种D ．48种9．椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F P 、为椭圆M 上任一点，且12PF PF ⋅的最大值的取值范围是22[2,3]b b ，椭圆M 的离心率为e ，1e e-的最小值是（ ）A ．2-．． 6- D ．3-10．底面为正方形的四棱锥S ABCD -，且SD ⊥平面ABCD ，SD =1AB =，线段SB 上一M 点满足12SM MB =，N 为线段CD 的中点，P 为四棱锥S ABCD -表面上一点，且DM PN ⊥，则点P 形成的轨迹的长度为（ ）A ．4 C ． 2D ．二、填空题：本大题有7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在答题卷的相应位置．11．在1()2nx x -的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则n = ；展开式中常数项是 ． 12．在正棱柱111ABC A B C -中，M 为111A B C ∆的重心，若1,,AB a AC b AA c ===uu u r uu u r uuu r ，则1AC =uuu r ；CM =uuu r ．13．已知直线:1l mx y -=，若直线l 与直线(1)2x m y --=垂直，则m 的值为 ．动直线:1l mx y -=被圆22:280C x x y -+-=截得的最短弦长为 ．14．在正三棱锥S ABC -中，M 是SC 的中点，且AM SB ⊥，底面边长AB =则正三棱锥S ABC -的体积为 ，其外接球的表面积为 ．15．已知点(4,0)A ，抛物线2:2(04)C y px p =<<的焦点为F ，点P 在C 上，PFA ∆为正三角形，则P = ．16．P 为曲线1:x C y e =上一点，Q 为曲线2:1C y nx =上一点，则PQ 的最小值为 ．17．已知椭圆22194x y +=与x 轴交于,A B 两点，过椭圆上一点00(,)P x y （P 不与,A B 重合）的切线l 的方程为00194x x y y +=，过点,A B 且垂直于x 轴垂线分别与l 交于,C D 两点，设CB AD 、交于点Q ，则点Q 的轨迹方程为 ．第Ⅱ卷三、解答题 ：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．已知圆22:4C x y +=，直线:0l y x t +-=，P 为直线l 上一动点，O 为坐标原点（Ⅰ）若直线l 交圆C 于,A B 两点，且23AOB π∠=，求实数t 的值； （Ⅱ）若4t =，过点P 做圆的切线，切点为T ，求PO PT ⋅uu u r uu u r 的最小值．19．甲、乙同学参加学校“一站到底”闯关活动，活动规则：①依次闯关过程中，若闯关成功则继续答题；若没通关则被淘汰；②每人最多闯3关；③闯第一关得10分，闯第二关得20分，闯第三关得30分，一关都没过则没有得分．已知甲每次闯关成功的概率为14，乙每次闯关成功的概率为13． （Ⅰ）设乙的得分总数为ξ，求ξ得分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲恰好比乙多30分的概率．20．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，90CDA BAD ∠==︒，AD DC ==AB PA ==E 为线段PB 上的一动点．（Ⅰ）若E 为线段PB 的中点，求证：//CE 平面PAD ；（Ⅱ）当直线CE 与平面PAC 所成角小于3π，求PE 长度的取值范围．21．已知抛物线2:C y x =，点(0,2)P ，,A B 是抛物线上两个动点，点P 到直线AB 的距离为1． （Ⅰ）若直线AB 的倾斜角为3π，求直线AB 的方程； （Ⅱ）求AB 的最小值．22．设函数32(),()1x f x e x h x kx kx x =-=-+-+．（Ⅰ）求()f x 的最小值；（Ⅱ）设()()h x f x ≤对任意[0,1]x ∈恒成立时k 的最大值为λ，证明：46λ<<．浙江省金华十校2017-2018学年下学期期末考试高二数学试题答案一、选择题1-5: CADDB 6-10: CBCAB二、填空题11．358,8 12．26,33a b c c ++- 13．1,2．4,123π15．85 16．221(3)9x y x +=≠± 三、解答题18．解：（Ⅰ）∵23AOB π∠=，∴圆心到直线l 的距离为1，∴t = （Ⅱ）∵22cos 4PO PT PO PT PT PO θ⋅=⋅⋅==-uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v uu u v ，∴求PO PT ⋅uu u v uu u v 的最小值相当于求PO uu u v 的最小值d ．d ==∴PO PT ⋅uu u v uu u v 的最小值为244-=．19．解：（Ⅰ）ξ的取值为0,10,30,60．12(0)133P ξ==-=，112(10)(1)339P ξ==⨯-=，1112(30)(1)33327P ξ==⨯⨯-=， 311(60)()327P ξ===． 则ξ的分布如下表：120()01030603927273E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= （Ⅱ）设甲恰好比乙多30分为事件A ，甲恰好得30分且乙恰好得0分为事件1B ，甲恰好得60分且乙恰好得30分为事件2B ，则12A B B =U ，12B B 、为互斥事件．231212132127()()()()()()443427216P A P B B P B P B =+=+=⨯⨯+⨯=． 所以，甲恰好比乙多30分的概率为7216． 20．解：（Ⅰ）取PA 的中点F ，连接EF DF 、，∵E 为PB 的中点． ∴//,//,2AB EF AB EF DC EF DC ==， ∴四边形EFDC 是平行四边形，∴//CE DF ，又CE ⊄平面PAD ，∴//CE 平面PAD ．（Ⅱ）方法一：∵AD DC ==∴2AC =，又45A B B A C ==︒，∴2BC =，∴BC AC ⊥，又BC PA ⊥，∴BC ⊥平面PAC∴CE 与平面PAC 所成角就是PCE ∠，∴3PCE π∠<．∵2PA AC ==，∴2,4PC BC PB ===，∴6CPE π∠=． ∵3PCE π∠<，∴3PE <．方法二：以A 为坐标原点，以直线AB 为x 轴，直线AD 为y 轴，直线AP 为z 轴，则(0,0,0),A B C P ，取线段AB 中点M，则,0),(0,M D ．易得0,0MD AC MD PA ⋅=⋅=u u u v u u u v u u u v u u v ，所以MD uuu v 为平面PAC 的一个法向量．可求得(MD =u u u v ．设PE tPB t ==-u u v u u v，((2CE CP PE t =+=-u u v u u v u u v(22t -设CE 与平面PAC 所成的角θ，所以cos()sin 22CE DM CE DMπθθ⋅-==<uuv uuu u v uuv uuu u v ， 化简得281890t t -+>，易得34t <，所以3PE <． 21．解：（Ⅰ）设直线AB的方程：y m =+1=，∴0m =或4m =，∴直线AB的方程：y =或4y =+．（Ⅱ）设直线AB 的方程：y kx m =+1=，∴221(2)k m +=-．由2y kx m y x=+⎧⎨=⎩，得到20x kx m --=，∴1212,x x k x x m +==-， ∴2221212||(1)[()4]AB k x x x x =++- 2222(1)(4)(2)(3)k k m m m =++=-+， 记22()(2)(3)f m m m =-+，∴2()2(2)(223)f m m m m '=--+， 又221(2)1k m +=-≥，∴1m ≤或3m ≥，当(,1]m ∈-∞时，()0,()f m f m '<递减，当[3,)m ∈+∞时，()0,()f m f m '>递增，min ()(1)4f m f ==，∴min ||2AB =．22．解：（Ⅰ）∵()x f x e x =-，∴()1x f x e '=-当(,0)x ∈-∞时，()0,()f x f x '<递减，当(0,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '>递增，∴min ()(0)1f x f ==．（Ⅱ）由()()h x f x ≤，化简可得23()1x k x x e -≤-，当0,1x =时，k R ∈,当(0,1)x ∈时，231x e k x x-≤-， 要证：46λ<<，则需证以下两个问题： ①2314x e x x ->-对任意()0,1x ∈恒成立； ②存在()00,1x ∈，使得0230016x e x x -<-成立． 先证：①2314x e x x->-，即证2314()x e x x ->-，由（Ⅰ）可知，11x e -≥恒成立 ，所以1x e x -≥，又0x ≠，∴1x e x ->，即证234()1x x x ≥-⇔224()(21)0x x x ≥-⇔-≥，2(21)0x -≥，显然成立，∴2314x e x x ->-对任意()00,1x ∈恒成立； 再证②存在()00,1x ∈，使得0230016x e x x -<-成立 取012x =1)48=-74<，∴31)664<⨯=， 所以存在()00,1x ∈，使得0230016x e x x -<-， 由①②可知，46λ<<．。
2017-2018年浙江省金华十校高二(下)期末数学试卷〖精品答案版〗
A．y＝± x
B．y＝± x
C．y＝± x
D．y＝±3x
6．（4 分）用数学归纳法证明命题 1+2+3+…+n2＝
时，正确的说法是（ ）
A．当 n＝1 时，命题的左边为 1+1 B．当 n＝k+1 时，命题的左边为 1+2+3+…+k2+（k+1）2 C．当 n＝k+1 时，命题左端在 n＝k 的基础上增加的部分有（k+1）2﹣（k2+1）项 D．当 n＝k+1 时，命题左端在 n＝k 的基础上增加的部分是（k2+1）+（k2+2）+…+（k+1）
，各项系数和是
．
13．（6 分）一个棱长为 2 的正方体被一个平面截去一部分后，剩下部，体积为
．
14．（6 分）已知函数 f（x）═3x﹣x3，则其图象在点（1，2）处的切线方程是
，它
的单调递增区间为
．
15．（4 分）四棱锥 P﹣ABCD 底面是正方形，侧面△PAD 是正三角形，则异面直线 PA 与 BD
所成角的取值范围是
．
16．（4 分）已知点 M（1，1）是抛物线 C：y2＝x 上的一点直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两
点使得∠AMB＝90°，则原点到直线 l 的距离最大值为
．
17．（4 分）已知函数 f（x）＝
的图象经过三个象限，则实数 a
的取值范围是
．
三、解答题（共 5 小题，满分 74 分）,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18．（14 分）已知圆 C：（x+1）2+（y﹣1）2＝1，直线 y＝﹣3x+b．
2017-2018年浙江省金华十校高二第二学期期末数学试卷〔精品解析版〕
（Ⅰ）当 b 为何值时，直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2；
（Ⅱ）当 b＝3 时，过 l 上任意一点 P 作圆 C 的两条切线，切点分别记为 A、B，求四边
形 PACB 面积的最小值．
19．（15 分）把同一批次生产的 9 个白色乒乓球，涂上黑、黄、红三种颜色，每种颜色涂三
个球，同种颜色的三个球分别编号为 1，2，3，将这 9 个球装入袋中搅拌均匀，从中任取
时，正确的说法是（ ）
A．当 n＝1 时，命题的左边为 1+1 B．当 n＝k+1 时，命题的左边为 1+2+3+…+k2+（k+1）2 C．当 n＝k+1 时，命题左端在 n＝k 的基础上增加的部分有（k+1）2﹣（k2+1）项 D．当 n＝k+1 时，命题左端在 n＝k 的基础上增加的部分是（k2+1）+（k2+2）+…+（k+1）
，体积为
．
14．（6 分）已知函数 f（x）═3x﹣x3，则其图象在点（1，2）处的切线方程是
，它
的单调递增区间为
．
15．（4 分）四棱锥 P﹣ABCD 底面是正方形，侧面△PAD 是正三角形，则异面直线 PA 与 BD
所成角的取值范围是
．
16．（4 分）已知点 M（1，1）是抛物线 C：y2＝x 上的一点直线 l 与抛物线 C 交于 A，B 两
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A．
B．3
C．
D．
8．（4 分）高一学生王超想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选 三门作为选考科目，（ ） A．若任意选择三门课程，选法总数为 种
2017-2018学年浙江省金华十校高二上学期期末联考数学试题(解析版)
绝密★启用前浙江省金华市十校2017-2018学年高二上学期期末联考数学卷考试范围：常用逻辑用语、立体几何、解析几何.考试时间：120分钟【名师解读】本卷难度中等，全卷梯度设置合理．命题内容符合考试说明命题要求，全卷覆盖面广，涵盖了高中数学的常用逻辑用语、立体几何、解析几何等内容，无偏难怪出现，命题所占比例基本符合教章所占比例，重点内容重点考查.全卷仿高考试卷命制，突出基础知识、基本运算能力及推理论证能力的考查，选题贴近高考.第I 卷（选择题）评卷人 得分一、单选题1．已知平面α的法向量为()2,2,4n =-， ()1,1,2AB =--，则直线AB 与平面的位置关系为（ ） A. AB α⊥ B. AB α⊂C. AB 与α相交但不垂直D. //AB α2．已知命题：“若a b <，则22ac bc <”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 43．长方体1111ABCD A B C D -， 11,2,3AB AD AA ===，则异面直线11A B 与1AC 所成角的余弦值为（ ）A.1414 B. 19214 C. 1313D. 134．已知命题:p 直线l 过不同两点()()111222,,,P x y P x y ，命题:q 直线l 的方程为()()211y y x x --= ()()211x x y y --，则命题p 是命题q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5．已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得弦长为4，则实数a 的值为（ ）A. 2-B. 4-C. 6-D. 8-6．以下关于空间几何体特征性质的描述，正确的是（ ）A. 以直角三角形一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥B. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱C. 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥D. 两底面互相平行，其余各面都是梯形，侧棱延长线交于一点的几何体是棱台7．空间中， ,,αβγ是三个互不重合的平面， l 是一条直线，则下列命题中正确的是（ ） A. 若//l α， //l β，则//αβ B. 若αβ⊥， l β⊥，则//l α C. 若l α⊥， //l β，则αβ⊥ D. 若αβ⊥， //l α，则l β⊥8．斜率为k 的直线l 过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，交抛物线于,A B 两点，点()00,P x y 为AB 中点，作OQ AB ⊥，垂足为Q ，则下列结论中不正确的是（ ）A. 0ky 为定值B. OA OB ⋅为定值C. 点P 的轨迹为圆的一部分D. 点Q 的轨迹是圆的一部分9．在正方体1111ABCD A B C D -中，点Q 为对角面11A BCD 内一动点，点M N 、分别在直线AD 和AC 上自由滑动，直线DQ 与MN 所成角的最小值为θ，则下列结论中正确的是（ ）A. 若30θ=︒，则点Q 的轨迹为双曲线的一部分B. 若45θ=︒，则点Q 的轨迹为双曲线的一部分C. 若60θ=︒，则点Q 的轨迹为双曲线的一部分D. 若75θ=︒，则点Q 的轨迹为双曲线的一部分 10．定义在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的函数()f x ，其导函数为()'f x ，若()'0f x >和()()'tan 0f x f x x +<都恒成立，对于02παβ<<<，下列结论中不一定成立的是（ ）A. ()()cos cos f f αββα>B. ()()cos cos f f ααββ<C. ()()sin sin ff αββα< D. ()()sin sin f f ααββ>第II 卷（非选择题）评卷人 得分二、填空题11．已知a 为实数，直线1:660l ax y +-=，直线2:2350l x y ++=，若12//l l ，则a =__________；若12l l ⊥，则a =__________．12．已知抛物线2:4C x y =，则其焦点坐标为__________，直线:23l y x =+与抛物线C 交于,A B 两点，则AB = __________．13．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________，表面积为__________．14．已知函数()()3261f x x ax a x =++++，（1）若函数()f x 的图像在点()()1,1f 处的切线斜率为6，则实数a =__________；（2）若函数在()1,3-内既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是__________．15．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的左、右焦点， P 是其渐近线在第一象限内的点，点Q 在双曲线上，且满足120PF PF ⋅=， 24PF PQ =，则双曲线的离心率为__________． 16．正四面体ABCD 的棱长为2，半径为2的球O 过点D ， MN 为球O 的一条直径，则AM AN ⋅的最小值是__________．17．已知12,F F 为椭圆22:143x yC +=的左、右焦点，点P 在椭圆C 上移动时， 12PF F ∆的内心I 的轨迹方程为__________．评卷人 得分三、解答题18．已知函数()2ln f x x ax x =+-.（Ⅰ）若1a =，求函数()y f x =的最小值；（Ⅱ）若函数()y f x =在[]1,2上是减函数，求实数a 的取值范围.19．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形， 23AC =， 12A A BD ==, E 为1BD 中点.（Ⅰ）证明： 1//BB 面AEC ； （Ⅱ）求二面角E DC A --的余弦值.20．点P 是圆22:20C x y x +-=上一动点，点()3,0Q .（Ⅰ）若60PCQ ∠=︒，求直线PQ 的方程；（Ⅱ）过点Q 作直线CP 的垂线，垂足为M ，求MC MQ +的取值范围.21．如图，在三棱锥P ABC -中， AB BC =， AP PC =， 60ABC ∠=︒， AP PC ⊥，直线BP 与平面ABC成30︒角， D 为AC 的中点， PQ PC λ=， ()0,1λ∈.（Ⅰ）若PB PC >，求证：平面ABC ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若PB PC <，求直线BQ 与平面PAB 所成角的正弦值的取值范围.22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，过点()0,2M b 的直线交椭圆于,A B 两点， P 为AB 中点，连接PO 并延长交椭圆于点Q ，记直线AB 和OP 的斜率为分别为1k 和2k ，且12410k k +=.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当QMP ∠为直角时，求PQM ∆的面积.1．A 【解析】()()1,1,2,2,2,4,2,//,AB n n AB n AB AB α=--=-∴=-∴∴⊥.本题选择A 选项.3．A 【解析】1111//,C D A B ∴异面直线11A B 与1AC 所成的角即为11C D 与1AC 所成的角11AC D ∠.在11Rt AC D ∆中，222221*********,2313,12314,114.1414C D AD AC C D cos AC D AC ==+==++=∴∠===本题选择A 选项.点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．4．C 【解析】当1212,y y x x ≠≠时，过不同两点()()111222,,,P x y P x y 的直线方程为112121y y x x y y x x --=--，即()()211y y x x --= ()()211x x y y --，又当12y y =时，直线为1y y =，也满足上式， 当12x x =时，直线为1x x =，也满足上式，所以，过不同两点()()111222,,,P x y P x y 的直线方程为()()211y y x x --= ()()211x x y y --.反过来，直线l 的方程为()()211y y x x --= ()()211x x y y --，则当1x x =时， 1y y =，所以直线过点()111,,P x y 同理，当2x x =时， 2y y =，所以直线过点()222,,P x y 即直线l 过不同两点()()111222,,,P x y P x y .所以命题p 是命题q 的充要条件. 本题选择C 选项.6．D 【解析】以直角三角形的一个直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥，可得A 错误.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体可能是棱台，不一定是棱柱，故B 错误. 有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点三角形的几何体叫棱锥，故C 错误. 根据棱台的定义，可得D 正确. 本题选择D 选项.7．C 【解析】若l ∥α，l ∥β，则α与β可能平行也可能相交(此时交线与l 平行)，故A 错误； 若αβ⊥， l β⊥，则l ∥α或l ⊂α，故B 错误；若αβ⊥， //l α，则l 与β可能平行也可能相交，故D 错误；若l ∥β，则存在直线m ⊂β，使得l ∥m ，又由l ⊥α可得m ⊥α，故α⊥β，故C 正确； 本题选择C 选项.8．C 【解析】设抛物线22(0)y px p =>上,A B 两点坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ，则2211222,2,y px y px ==两式做差得， ()()()1212122y y y y p x x +-=-，整理得1201212022,,2.y y p pk ky p x x y y y -=∴=∴=-+为定值，所以A 正确.因为焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以直线AB 方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由2{ 22p y k x y px⎛⎫=- ⎪⎝⎭=得()222224420k x p k x p k -++=，则()221212222,,4p k p x x x xk ++==()2222121212122224p p p p y y k x x k x x x x p ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-++=- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 2121234OA OB x x y y p ∴⋅=+=-为定值.故B 正确. ,OQ AB ⊥∴点Q 的轨迹是以OF 为直径的圆的一部分，故D 正确.本题选择C 选项.由圆锥的特征结合平面11CBA D 与平面ABCD 所成角的平面角为45可知： 当45θ<时截面为双曲线的一部分； 当45θ=时截面为圆的一部分； 当45θ>时截面为椭圆的一部分. 本题选择A 选项.10．D 【解析】由题意可得： ()()'0,tan 0,0f x x f x >><，构造函数：()()1cos f x H x x=，则()()()()()'12'cos sin 'tan 0cos cos f x x f x xf x f x xH x xx++==<，则函数()1H x 单调递减，()()110,2H H παβαβ<<∴，即：()()()(),cos cos cos cos f f f f αβαββααβ>∴>，选项A 正确；()()2cos H x f x x =，则()()()()()'2'cos sin cos 'tan 0H x f x x f x x x f x f x x ⎡⎤=-=->⎣⎦，则函数()2H x 单调递增， ()()220,2H H παβαβ<<<∴<，即： ()()cos cos ff ααββ<，选项B 正确；点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。
最新题库学年浙江省金华十校高二(上)期末数学试卷和答案
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……………………………………………………………………………………………………………………………………2016-2017学年浙江省金华十校高二（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地）1．（4分）命题若“ｘ2+y2=0，则x=y=0”地否命题是（）A．若x2+y2=0，则x，y中至少有一个不为0B．若x2+y2=0，则x，y都不为0C．若x2+y2≠0，则x，y都不为0D．若x2+y2≠0，则x，y中至少有一个不为02．（4分）若过（2，0）且与直线2x﹣y﹣1=0垂直地直线方程是（）A．2x﹣y+1=0B．2x﹣y﹣4=0C．x+2y﹣2=0D．x+2y﹣4=03．（4分）空间中，与向量同向共线地单位向量为（）A．B．或C．D．或4．（4分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是CC1地中点，F是A1B地中点，且=α+β，则（）A．α＝，β＝﹣1B．α＝﹣，β=1C．α=1，β＝﹣D．α=﹣1，β＝5．（4分）曲线C：x2﹣3xy+y2=1（）A．关于x轴对称B．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称C．关于原点对称，关于直线y=﹣x不对称D．关于y轴对称6．（4分）已知，l，m是两条不重合地直线，α，β，γ是三个不重合地平面，给出下列条件，能得到α∥β地是（）A．l∥α，l∥βB．α⊥γ，β⊥γC．m?α，l?α，m∥β，l∥βD．l⊥α，m⊥β，l∥m7．（4分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=AA1，E，E，G，H分别是棱AB，BB1，BC，CC1地中点，∠ABC=90°．则异面直线EF和GH所成地角是（）A．45°B．60°C．90°D．120°8．（4分）已知过定点P（﹣4，0）地直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB地面积最大时，直线l地斜率为（）A．B．2C．D．9．（4分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（m＞0，n＞0）有相同地焦点F1，F2，点P是两曲线地一个公共点，且PF1⊥PF2，e1，e2分别是两曲线C1，C2地离心率，则2e12+地最小值为（）A．1B．C．4D．10．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在CDD1C1所在地平面上，满足∠PBD1=∠A1BD1，则动点P地轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线二、填空题（共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，满分36分）11．（6分）已知直线l1：ax+y﹣1=0，直线l2：x﹣y﹣3=0，若直线l1地倾斜角为，则a=，若l1∥l2，则两平行直线间地距离为．12．（6分）某几何体地三视图如图所示，其侧视图是一个边长为2地等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成地菱形，则这个几何体地体积为，表面积为．13．（6分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）地焦点F（1，0），则p=；M 是抛物线上地动点，A（6，4），则|MA|+|MF|地最小值为．14．（6分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）地左右焦点为F1，F2，离心率为，过F2地直线l交C于A，B两点，若△AF1B地周长为4，则C地方程为，此时椭圆C地一条弦被（1，1）平分，那么这条弦所在地直线方程为．15．（4分）二面角α﹣l﹣β地平面角为50°，点P为空间内一定点，过点P地直线m与平面α，β都成25°角，这样地直线m有条．16．（4分）设双曲线Γ：x2﹣=1地左右两个焦点分别为F1，F2，A为双曲线Γ地左顶点，直线l过右焦点F2且与双曲线Γ交于M，N两点，若AM，AN地斜率分别为k1，k2，且k1+k2=﹣，则直线l地方程为．17．（4分）在四棱锥S﹣ABCD中，已知SC⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为4地菱形，∠BCD=60°，SC=2，E为BC地中点，若点P在SE上移动，则△PCA面积地最小值为．三、解答题（共5小题，满分74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．（14分）设命题p：实数k满足：方程+=1表示焦点在y轴上地椭圆；命题q，实数k满足：方程（4﹣k）x2+（k﹣2）y2=1不表示双曲线．（1）若命题q为真命题，求k地取值范围；（2）若p是q地必要不充分条件，求实数a地取值范围．19．（15分）在四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，SA=AB=2CD=2，SB=2AD=2，平面SAB⊥平面ABCD，E为SB地中点（1）求证：CE∥平面SAD；（2）求证：BD⊥平面SAC；（3）求直线CE与平面SAC所成角地余弦值．20．（15分）已知直线l地方程为2x+my﹣4m﹣4=0，m∈R，点P地坐标为（﹣1，0）．（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；（2）设点Q为直线l上地动点，且PQ⊥l，求|PQ|地最大值；（3）设点P在直线l上地射影为点A，点B地坐标为（，5），求线段AB长地取值范围．21．（15分）已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=CD=2，E为DC中点，连接AE，将△DAE沿AE翻折到△D1AE．（1）证明：BD1⊥AE；（2）若CD1=，求二面角D1﹣AB﹣C地平面角地余弦值．22．（15分）已知曲线C上地动点P（x，y）到点F（0，1）地距离比到直线l：y=﹣2地距离小1．动点E在直线l上，过点E分别做曲线C地切线EA，EB，切点为A，B．（1）求曲线C地方程；（2）求|AB|地最小值；（3）在直线l上是否存在一点M，使得△ABM为以AB为斜边地等腰直角三角形？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由．2016-2017学年浙江省金华十校高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地）1．（4分）命题若“ｘ2+y2=0，则x=y=0”地否命题是（）A．若x2+y2=0，则x，y中至少有一个不为0B．若x2+y2=0，则x，y都不为0C．若x2+y2≠0，则x，y都不为0D．若x2+y2≠0，则x，y中至少有一个不为0【分析】根据四种命题地定义，先写出已知命题地否命题，比照后，可得答案．【解答】解：命题：“若x2+y2=0，则x=y=0”地否命题是：“若x2+y2≠0，则x≠0或y≠0”，即若x2+y2≠0，则x，y中至少有一个不为0，故选：D．2．（4分）若过（2，0）且与直线2x﹣y﹣1=0垂直地直线方程是（）A．2x﹣y+1=0B．2x﹣y﹣4=0C．x+2y﹣2=0D．x+2y﹣4=0【分析】设出与直线2x﹣y﹣1=0垂直地直线方程是x+2y+m=0，把点（2，0）代入求出m地值即可．【解答】解：设与直线2x﹣y﹣1=0垂直地直线方程是x+2y+m=0，由直线过点（2，0），得2+0+m=0，解得m=﹣2，所求直线方程是x+2y﹣2=0．故选：C．3．（4分）空间中，与向量同向共线地单位向量为（）A．B．或C．D．或【分析】利用与同向共线地单位向量向量即可得出．【解答】解：∵，∴与同向共线地单位向量向量，故选：C．4．（4分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是CC1地中点，F是A1B地中点，且=α+β，则（）A．α＝，β＝﹣1B．α＝﹣，β=1C．α=1，β＝﹣D．α＝﹣1，β＝【分析】根据向量加法地多边形法则可得，====，从而可求α，β．【解答】解：根据向量加法地多边形法则以及已知可得，====，∴α＝，β＝﹣1，故选：A．5．（4分）曲线C：x2﹣3xy+y2=1（）A．关于x轴对称B．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称C．关于原点对称，关于直线y=﹣x不对称D．关于y轴对称【分析】由题意，以x代y，y代x，方程不变；以﹣x代y，﹣y代x，方程不变，即可得出结论．【解答】解：由题意，以x代y，y代x，方程不变；以﹣x代y，﹣y代x，方程不变，∴曲线C：x2﹣3xy+y2=1关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称，故选：B．6．（4分）已知，l，m是两条不重合地直线，α，β，γ是三个不重合地平面，给出下列条件，能得到α∥β地是（）A．l∥α，l∥βB．α⊥γ，β⊥γC．m?α，l?α，m∥β，l∥βD．l⊥α，m⊥β，l∥m【分析】利用直线与平面平行地判断与性质，判断选项A，C，D推出正误；平面与平面垂直地性质，判断选项B地正误；对选项逐一判断即可．【解答】解：l∥α，l∥β可能推出α、β 相交，所以A不正确；α⊥γ，β⊥γ可能推出α、β 相交，所以B不正确；m?α，l?α，m∥β，l∥β，如果m∥n推出α、β 相交，所以C不正确；只有D是正确地．故选：D．7．（4分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=AA1，E，E，G，H分别是棱AB，BB1，BC，CC1地中点，∠ABC=90°．则异面直线EF和GH所成地角是（）A．45°B．60°C．90°D．120°【分析】如图所示，由题意可建立空间直角坐标系．利用=即可得出．【解答】解：如图所示，由题意可建立空间直角坐标系．不妨时AB=2，则B（0，0，0），C（2，0，0），G（1，0，0），A（0，2，0），E （0，1，0），C1（2，0，2），H（2，0，1），B1（0，0，2），F（0，0，1）．=（0，﹣1，1），=（1，0，1）．∴===，∴异面直线EF和GH所成地角是60°．故选：B．8．（4分）已知过定点P（﹣4，0）地直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB地面积最大时，直线l地斜率为（）A．B．2C．D．【分析】由曲线y=表示在x轴上方以及含与x轴地交点半圆，设出直线l 地方程，利用△AOB地面积取最大值时，OA⊥OB，求出圆心O到直线l地距离d=，从而求出直线地斜率k．【解答】解：由y=得x2+y2=4（y≥0），∴曲线y=表示圆x2+y2=4在x轴上方地部分（含与x轴地交点）；由题知，直线地斜率存在，设直线l地斜率为k（k＞0），则直线方程为y=k（x+4），即kx﹣y+4k=0，当△AOB地面积取最大值时，OA⊥OB，此时圆心O到直线l地距离d=，如图所示；∴d==，∴k=．故选：C．9．（4分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（m＞0，n＞0）有相同地焦点F1，F2，点P是两曲线地一个公共点，且PF1⊥PF2，e1，e2分别是两曲线C1，C2地离心率，则2e12+地最小值为（）A．1B．C．4D．【分析】由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a，双曲线实轴为2m，令P在双曲线地右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆地定义推出a2+m2=2c2，由此能求出2e12+地最小值．【解答】解：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a，双曲线实轴为2m，令P在双曲线地右支上，由双曲线地定义|PF1|﹣|PF2|=2m，①由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a，②又∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2=4c2，③①2+②2，得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2，④将④代入③，得a2+m2=2c2，∴2e12+=++≥．故选：B．10．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在CDD1C1所在地平面上，满足∠PBD1=∠A1BD1，则动点P地轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【分析】利用平面与圆锥面地关系，即可得出结论．【解答】解：P在以B为顶点，BD1为对称轴，A1B为母线地圆锥与平面CC1D1D 地交面上，而A1B∥平面CC1D1D，知与圆锥母线平行地平面截圆锥得到地是抛物线地一部分，故选：D．二、填空题（共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，满分36分）11．（6分）已知直线l1：ax+y﹣1=0，直线l2：x﹣y﹣3=0，若直线l1地倾斜角为，则a=﹣，若l1∥l2，则两平行直线间地距离为2．【分析】根据题意，对于直线l1：ax+y﹣1=0，变形可得y=﹣ax+1，由其倾斜角，可得其斜率k地值，进而可得﹣a=，解可得a地值；根据题意，由于l1∥l2，结合直线平行地性质可得a×（﹣1）+1×1=0，解可得a 地值，进而由平行线间地距离公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，对于直线l1：ax+y﹣1=0，变形可得y=﹣ax+1，若其倾斜角为，则其斜率k=tan=，则有﹣a=，即a=﹣；对于直线l1：ax+y﹣1=0，直线l2：x﹣y﹣3=0，若l1∥l2，则有a×（﹣1）+1×1=0，解可得a=﹣1，则l1地方程可以变形为x﹣y+1=0，则两平行直线间地距离d==2．故答案为：﹣，2．12．（6分）某几何体地三视图如图所示，其侧视图是一个边长为2地等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成地菱形，则这个几何体地体积为2，表面积为2+6．【分析】根据已知中地三视图及相关视图边地长度，可又判断判断出该几何体地形状及底面，侧棱，底面棱长等值，进而求出底面积和高，代入棱锥体积、表面积公式即可求出答案．【解答】解：由已知中该几何中地三视图中有两个底面是正三角形地一个三棱锥组成地几何体，如图．由三视图可知，每一个三棱锥地底面正三角形地长为2，高为则该几何体地体积V=2×××22×=2．表面积为2×（+2×+）=2+6．故答案为：2，2+6．13．（6分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）地焦点F（1，0），则p=2；M是抛物线上地动点，A（6，4），则|MA|+|MF|地最小值为7．【分析】根据焦点坐标，求出p，求出准线方程，把|MA|+|MF|转化为|MA|+|PM|，利用当P、A、M三点共线时，|MA|+|PM|取得最小值．【解答】解：∵抛物线C：y2=2px（p＞0）地焦点F（1，0），∴=1，∴p=2．准线方程为x=﹣1，设点M到准线地距离为d=|PM|，则由抛物线地定义得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|，故当P、A、M三点共线时，|MF|+|MA|取得最小值为|AP|=6﹣（﹣1）=7，故答案为2，7．14．（6分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）地左右焦点为F1，F2，离心率为，过F2地直线l交C于A，B两点，若△AF1B地周长为4，则C地方程为，此时椭圆C地一条弦被（1，1）平分，那么这条弦所在地直线方程为2x+3y﹣5=0．【分析】（1）已知得：，4a=4，a2=b2+c2，解得a，b，（2）设以点A（2，1）为中点地弦与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法能求出结果．【解答】解：由已知得：，4a=4，a2=b2+c2解得a=，b=，c=1，∴C地方程为：；设以点A（1，1）为中点地弦与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，y1+y2=2，分别把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆方程得再相减可得2（x1+x2）（x1﹣x2）+3（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴4（x1﹣x2）+6（y1﹣y2）=0，k=﹣．这条弦所在地直线方程为：2x+3y﹣5=0故答案为：：，2x+3y﹣5=015．（4分）二面角α﹣l﹣β地平面角为50°，点P为空间内一定点，过点P地直线m与平面α，β都成25°角，这样地直线m有3条．【分析】利用线面角地概念及角平分线地性质，分析出所求直线二面角地平分面上，再根据线面角地大小变化确定出直线条数．【解答】解：首先给出下面两个结论①两条平行线与同一个平面所成地角相等．②与二面角地两个面成等角地直线在二面角地平分面上．图1．（1）如图1，过二面角α﹣l﹣β内任一点作棱l地垂面AOB，交棱于点O，与两半平面于OA，OB，则∠AOB为二面角α﹣l﹣β地平面角，∠AOB=50°设OP1为∠AOB地平分线，则∠P1OA=∠P1OB=25°，与平面α，β所成地角都是25°，此时过P且与OP1平行地直线符合要求，有一条．当OP1以O为轴心，在二面角α﹣l﹣β地平分面上转动时，OP1与两平面夹角变小，不再会出现25°情形．图2．（2）如图2，设OP2为∠AOB地补角∠AOB′，则∠P2OA=∠P2OB=65°，与平面α，β所成地角都是65°．当OP2以O为轴心，地平分面上转动时，OP2与两平面夹角变小，在二面角α﹣l﹣β′对称地在图中OP2两侧会出现25°情形，有两条．此时过P且与OP2平行地直线符合要求，有两条．综上所述，直线地条数共有3条．故答案为：3．16．（4分）设双曲线Γ：x2﹣=1地左右两个焦点分别为F1，F2，A为双曲线Γ地左顶点，直线l过右焦点F2且与双曲线Γ交于M，N两点，若AM，AN地斜率分别为k1，k2，且k1+k2=﹣，则直线l地方程为y=﹣8（x﹣3）．．【分析】设出直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理及k1+k2=2，求直线l 地斜率，即可求出直线l地方程．【解答】解：设直线方程为l：y=k（x﹣3），M（x1，y1），N（x2，y2）联立方程组得（8﹣8k2）x2+6k2x﹣9k2﹣8=0∴x1+x2=﹣，x1x2=∴k1+k2=+==﹣，代入解得k=﹣8，∴直线l地方程是y=﹣8（x﹣3）．故答案为y=﹣8（x﹣3）．17．（4分）在四棱锥S﹣ABCD中，已知SC⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为4地菱形，∠BCD=60°，SC=2，E为BC地中点，若点P在SE上移动，则△PCA面积地最小值为2．【分析】求出P到AC地距离最小值，AC，即可求出△PCA面积地最小值．【解答】解：设P到BC地距离为x，则P到AC地距离为=，∴x=时，P到AC地距离最小值为，∵底面ABCD是边长为4地菱形，∠BCD=60°，∴AC==4，∴△PCA面积地最小值为=2．故答案为2．三、解答题（共5小题，满分74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．（14分）设命题p：实数k满足：方程+=1表示焦点在y轴上地椭圆；命题q，实数k满足：方程（4﹣k）x2+（k﹣2）y2=1不表示双曲线．（1）若命题q为真命题，求k地取值范围；（2）若p是q地必要不充分条件，求实数a地取值范围．【分析】（1）根据方程（4﹣k）x2+（k﹣2）y2=1不表示双曲线地等价条件建立方程进行求解即可．（2）根据椭圆地方程求出命题p地等价条件，结合必要不充分条件地定义进行转化求解即可．【解答】解：（1）若命题q为真命题，则有（4﹣k）（k﹣2）≥0，得2≤k≤4（2）若方程+=1表示焦点在y轴上地椭圆，则7﹣a＞k﹣1＞0，得1＜k＜8﹣a，（a＜7），若p是q地必要不充分条件，则，即a＜4．19．（15分）在四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，SA=AB=2CD=2，SB=2AD=2，平面SAB⊥平面ABCD，E为SB地中点（1）求证：CE∥平面SAD；（2）求证：BD⊥平面SAC；（3）求直线CE与平面SAC所成角地余弦值．【分析】（1）推导出AB，AD，SA两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CE∥平面SAD．（2）求出平面SAC法向量和，由此能证明BD⊥平面SAC．（3）求出=（0，﹣，1），平面SAC法向量=（﹣，1，0），由此利用向量法能求出直线CE与平面SAC所成角地余弦值．【解答】证明：（1）∵SA=AB=2，SB=2，∴SA⊥AB，又平面SAB⊥ABCD，AB为其交线，∴SA⊥平面ABCD，又∵AB⊥AD，∴AB，AD，SA两两垂直，建立如图所示地空间直角坐标系，A （0，0，0），B（2，0，0），C（1，，0），D（0，，0），S（0，0，2），E（1，0，1），=（0，﹣，1），平面SAD地法向量=（1，0，0），∴=0，CE?平面SAD，∴CE∥平面SAD．（2）设平面SAC法向量=（x，y，z），=（0，0，2），=（1，，0），=（﹣2，，0），，取y=1，得=（﹣），∴∥，∴BD⊥平面SAC．解：（3）=（0，﹣，1），平面SAC法向量=（﹣，1，0），设直线CE与平面SAC所成角为θ，则sinθ＝=，∴cosθ＝，∴直线CE与平面SAC所成角地余弦值为．20．（15分）已知直线l地方程为2x+my﹣4m﹣4=0，m∈R，点P地坐标为（﹣1，0）．（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；（2）设点Q为直线l上地动点，且PQ⊥l，求|PQ|地最大值；（3）设点P在直线l上地射影为点A，点B地坐标为（，5），求线段AB长地取值范围．【分析】（1）令参数m地系数等于零，求得x、y地值，可得直线l恒过定点地坐标．（2）根据|PQ|≤|PS|，求得|PQ|地最大值．（3）根据PA⊥AS，以及圆地性质可得点A地轨迹是以PS为直径地圆，由根据|BM|﹣r≤|AB|≤|BM|+r，求得线段AB长地取值范围．【解答】解：（1）证明：∵直线l地方程为2x+my﹣4m﹣4=0，m∈R，即2（x ﹣2）+m（y﹣4）=0，令y﹣4=0，求得x=2，y=4，可得直线l恒过定点地坐标为S（2，4）．（2）∵点P地坐标为（﹣1，0），|PQ|≤|PS|==5，故|PQ|地最大值为5，此时，PS⊥l，它们地斜率之积=﹣1，求得m=．（3）直线l恒过定点S（2，4），点B地坐标为（，5），PA⊥AS，故点A地轨迹是以PS为直径地圆，圆心M（，2）、半径为=，∴|BM|﹣≤|AB|≤|BM|+，即≤|AB|≤．21．（15分）已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=CD=2，E为DC中点，连接AE，将△DAE沿AE翻折到△D1AE．（1）证明：BD1⊥AE；（2）若CD1=，求二面角D1﹣AB﹣C地平面角地余弦值．【分析】（1）取AE中点H，推导出D1H⊥AE，BH⊥AE，从而AE⊥面HBD1，由此能求出BD1⊥AE．（2）以AE中点H为原点，HA为x轴，HB为y轴，过H作平面ABCD地垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角D1﹣AB﹣C地平面角地余弦值．【解答】证明：（1）取AE中点H，∵AD1=AE=D1E，AB=AE=BE，∴D1H⊥AE，BH⊥AE，∵D1H∩BH=H，∴AE⊥面HBD1，∵BD1?平面HBD1，∴BD1⊥AE．解：（2）以AE中点H为原点，HA为x轴，HB为y轴，过H作平面ABCD地垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设二面有D1﹣AE﹣D地平面角地大小为θ，A（1，0，0），B（0，，0），D1（0，﹣，），C（﹣2，，0），CD1==，解得，∴D1（0，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣），设平面ABD1地一个法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（），平面ABC地法向量=（0，0，1），设二面角D1﹣AB﹣C地平面角为θ，则cosθ＝=．∴二面角D1﹣AB﹣C地平面角地余弦值为．22．（15分）已知曲线C上地动点P（x，y）到点F（0，1）地距离比到直线l：y=﹣2地距离小1．动点E在直线l上，过点E分别做曲线C地切线EA，EB，切点为A，B．（1）求曲线C地方程；（2）求|AB|地最小值；（3）在直线l上是否存在一点M，使得△ABM为以AB为斜边地等腰直角三角形？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用抛物线地定义，可得曲线C地方程x2=4y．（2）设E（a，﹣2），A，B地坐标，由题设知x12﹣2ax1﹣8=0．同理可得：x22﹣2ax2﹣8=0所以x1+x2=2a，x1?x2=﹣8，可得AB中点，由此可知直线AB方程，即可求|AB|地最小值；（3）由（2）知AB中点，直线AB地方程为，分类讨论，利用条件，即可得出结论．【解答】解：（1）∵曲线C上地动点P（x，y）到点F（0，1）地距离比到直线l：y=﹣2地距离小1，∴P地轨迹是以（0，1）为焦点地抛物线，曲线C地方程x2=4y；（2）设E（a，﹣2），A（x1，），B（x2，），∵，∴y′＝，过点A地抛物线切线方程为y﹣=1（x﹣x1），∵切线过E点，∴整理得：x12﹣2ax1﹣8=0同理可得：x22﹣2ax2﹣8=0，∴x1，x2是方程x2﹣2ax﹣8=0地两根，∴x1+x2=2a，x1?x2=﹣8，可得AB中点为（a，）又=，∴直线AB地方程为y﹣=（x﹣a）即y=x+2，∴|AB|=，∴a=0时，|AB|地最小值为4；（3）由（2）知AB中点N（a，），直线AB地方程为y=x+2．当a≠0时，则AB地中垂线方程为y﹣=﹣（x﹣a），∴AB地中垂线与直线y=﹣2地交点M（，﹣2），∴|MN|2=∵|AB|=，若△ABM为等腰直角三角形，则|MN|=|AB|，∴=（）2，解得a2=﹣4，∴不存在当a=0时，经检验不存在满足条件地点M综上可得，不存在一点M，使得△ABM为以AB为斜边地等腰直角三角形．赠送—初中英语总复习知识点归纳并列句and 和，并且， work hard, and you can pass the exam，but 但是he is rich but he is not happy，Or 否则，要不然，或者（在否定句中表和）Hurry up, or you’ll be late， so 因此，所以Kate was ill so she didn’t go to school，For 因为 I have to stay up late, for I have a lot of work to do，状语从句当状语从句的引导词为If, when, before, after, until, as soon as 等，主句和从句有下列情况：英语句子中如果一看到 Thought----but----; because----so---这种结构,就是错误，倒装句so+助动词\BE动词情态动词+另一主语，表示后者与前者一致。
浙江省金华市十校2017-2018学年高二上学期期末联考数学---精校解析Word版
金华十校2017-2018学年第一学期调研考试高二数学试题卷选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知平面的法向量为，，则直线与平面的位置关系为（）A. B.C. 与相交但不垂直D.【答案】A【解析】.本题选择A选项.2. 已知命题：“若，则”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 4【答案】C【解析】原命题：“若，则”，当时不成立，所以为假命题；则它的逆否命题也为假命题；其逆命题为“若，则”，为真；所以其否命题也为真命题；故命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是2.本题选择C选项.3. 长方体，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】异面直线与所成的角即为与所成的角.在中，本题选择A选项.点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．4. 已知命题直线过不同两点，命题直线的方程为，则命题是命题的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，过不同两点的直线方程为，即，又当时，直线为，也满足上式，当时，直线为，也满足上式，所以，过不同两点的直线方程为.反过来，直线的方程为，则当时，，所以直线过点同理，当时，，所以直线过点即直线过不同两点. 所以命题是命题的充要条件.本题选择C选项.5. 已知圆截直线所得的弦长为4，则实数的值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：圆化为标准方程为，所以圆心为（-1,1），半径，弦心距为。
2017-2018学年浙江省金华十校高二(下)期末数学试卷及答案
2017-2018学年浙江省金华十校高二（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）复数z＝，则（）A．复数z的虚部为1B．复数z的虚部为﹣1C．复数z的虚部为i D．复数z的虚部为﹣i2．（4分）已知直线l的方程为x﹣y+＝0，则其倾斜角是（）A．B．C．D．3．（4分）设x∈R，则“|x﹣1|≤1”成立的必要不充分条件是（）A．0≤x≤2B．x≤2C．0＜x＜2D．x＞04．（4分）设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（）A．若l⊥α，1⊥β，则α∥βB．若l⊥α，l∥β，则α⊥βC．若α∥β，l∥α，则l∥βD．若α∥β，l⊥α，则l⊥β5．（4分）已知双曲线C：﹣＝1的离心率为2，则双曲线C的渐近线方程是（）A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±3x6．（4分）用数学归纳法证明命题1+2+3+…+n2＝时，正确的说法是（）A．当n＝1时，命题的左边为1+1B．当n＝k+1时，命题的左边为1+2+3+…+k2+（k+1）2C．当n＝k+1时，命题左端在n＝k的基础上增加的部分有（k+1）2﹣（k2+1）项D．当n＝k+1时，命题左端在n＝k的基础上增加的部分是（k2+1）+（k2+2）+…+（k+1）27．（4分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，M为A1D1的中点，P为底面四边形ABCD（包括边界）内的动点，且满足|PM|＝|PC|，则点P的轨迹的长度为（）A．B．3C．D．8．（4分）高一学生王超想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，（）A．若任意选择三门课程，选法总数为种B．若物理和化学至少选一门，选法总数为种C．若物理和历史不能同时选，选法总数为﹣种D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为﹣种9．（4分）如图，已知四边形ABCD是底角为60°的等腰梯形，且|AB|＝2|CD|，沿直线AC 将△ADC翻折成△AD′C，所成二面角D′﹣AC﹣B的平面角为θ，则（）A．∠D′AB≥θB．∠D′AB≤θC．∠D′CB≥θD．∠D′CB≤θ10．（4分）过抛物线x2＝2py（p＞0）焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在直线y ＝﹣上，则（）A．使△ABC为直角三角形的点C只有一个B．使△ABC为等腰三角形的点C只有一个C．当△ABC等边时，|AB|＝pD．当△ABC等边时，|CF|＝p二、填空题：本大题有7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在答题卷的相应位置.11．（6分）圆C的方程是x2+y2+2x+4y＝0，则其圆心坐标是，半径是12．（6分）在（1﹣x）4的展开式中，含x3项的系数是，各项系数和是．13．（6分）一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则该几何体的表面积为，体积为．14．（6分）已知函数f（x）═3x﹣x3，则其图象在点（1，2）处的切线方程是，它的单调递增区间为．15．（4分）四棱锥P﹣ABCD底面是正方形，侧面△P AD是正三角形，则异面直线P A与BD 所成角的取值范围是．16．（4分）已知点M（1，1）是抛物线C：y2＝x上的一点直线l与抛物线C交于A，B两点使得∠AMB＝90°，则原点到直线l的距离最大值为．17．（4分）已知函数f（x）＝的图象经过三个象限，则实数a 的取值范围是．三、解答题（共5小题，满分74分）,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18．（14分）已知圆C：（x+1）2+（y﹣1）2＝1，直线y＝﹣3x+b．（Ⅰ）当b为何值时，直线l被圆C截得的弦长为2；（Ⅱ）当b＝3时，过l上任意一点P作圆C的两条切线，切点分别记为A、B，求四边形P ACB面积的最小值．19．（15分）把同一批次生产的9个白色乒乓球，涂上黑、黄、红三种颜色，每种颜色涂三个球，同种颜色的三个球分别编号为1，2，3，将这9个球装入袋中搅拌均匀，从中任取三个．（Ⅰ）求所取三个小球编号与颜色均不一样的概率；（Ⅱ）记随机变量X为所取小球的不同编号个数（例如：所取小球编号为1，1，2，则有2个编号，分别为1和2，此时X＝2），求X的分布列与数学期望．20．（15分）如图，四面体ABCD中，△ABC等边三角形，AB⊥AD，且AB＝AD＝2．（Ⅰ）记AC中点为M，若面ABC⊥面ABD，求证：BM⊥面ADC；（Ⅱ）当二面角D﹣AB﹣C的大小为时，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值．21．（15分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点M（1，），左焦点F（﹣，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点N（，0）作一条直线交椭圆C于A，B两点，又过点N作直线AB的垂线交直线x＝2于P点，求的最小值．22．（15分）已知函数f（x）＝．（Ⅰ）求证：对于任意x∈（0，+∞），不等式f（x）＞x+1恒成立；（Ⅱ）设函数g（x）＝（e x﹣1）ln（x+1）﹣x2，x∈[0，+∞），求函数g（x）的最小值．2017-2018学年浙江省金华十校高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：∵z＝＝，∴复数z的虚部为1．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2．【考点】I2：直线的倾斜角．【解答】解：设直线的倾斜角为α，α∈[0，π）．则tanα＝﹣＝，∴．故选：A．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【解答】解：由|x﹣1|≤1得﹣1≤x﹣1≤1，即0≤x≤2，对应集合为[0，2]，则“|x﹣1|≤1”成立的必要不充分条件对应的集合A⊋[0，2]，则x≤2满足条件．，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合集合关系进行转化是解决本题的关键．4．【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系；LQ：平面与平面之间的位置关系．【解答】解：由l是直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若l⊥α，1⊥β，则由面面垂直的判定定理得α∥β，故A正确；在B中，若l⊥α，l∥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正确；在C中，若α∥β，l∥α，则l与β平行或l⊂β，故B错误；在D中，若α∥β，l⊥α，则由线面垂直的判定定理得l⊥β，故D正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．5．【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：双曲线C：﹣＝1的离心率为2，可得，解得a＝1，双曲线的焦点在x轴上，双曲线的方程为，可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选：C．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．6．【考点】RG：数学归纳法．【解答】解：用数学归纳法证明命题1+2+3+…+n2＝时，当n＝1时，命题的左边为1，所以A不正确；n＝k时，左侧＝1+2+3+…+k2，当n＝k+1时，命题左端在n＝k的基础上增加的部分是（k2+1）+（k2+2）+…+（k+1）2．所以选项D正确，C不正确，选项B不正确；故选：D．【点评】此题主要考查数学归纳法的问题，解答的关键是明白等式左边项的特点，再把n ＝k+1时等式的左端减去n＝k时等式的左端．7．【考点】L2：棱柱的结构特征．【解答】解：取AB的中点E，AD的中点N，如图，因为MC在底面的射影为NC，并且DE⊥NC，所以DE⊥MC，所以DE上的点到M，C的距离相等，P在DE上，所以PM＝PC，所以点P的轨迹为DE，因为长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝BC＝2，AA1＝，M为A1D1的中点，所以DE＝；故选：D．【点评】本题考查了动点的轨迹以及长方体中线段长度；关键是发现满足条件的轨迹．8．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【解答】解：对于A．若任意选择三门课程，选法总数为种，故A错误；对于B．若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有种选法，若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有种选法由分步乘法计数原理知，总数为++种选法，故B错误；对于C．若物理和历史不能同时选，选法总数为﹣•＝﹣种；对于D．若物理和化学至少选一门，有3种情况，①只选物理有且物理和历史不同时选，有•种选法；②选化学，不选物理，有•种选法；③物理与化学都选，有•种选法，故总数为•+•+•＝6+10+4＝20种，故D错误．故选：C．【点评】本题考查排列、组合及其简单的计数问题，考查分析运算能力，属于中档题．9．【考点】MJ：二面角的平面角及求法．【解答】解：如图，不妨设CD＝2，∵∠ABC＝∠DAB＝60°，|AB|＝2|CD|，∴AB＝4，AD＝CD＝2，AC⊥BC．取AC中点O，AB中点E，连接D′O，OE，D′B，则D′O⊥AC，OE⊥AC，即∠D′OE为二面角D′﹣AC﹣B的平面角为θ，由已知可得D′O＝1，OE＝1，D′A＝2AE＝2，D′C＝2，BC＝2．∴cosθ＝，cos∠，cos∠D′CB＝．则cosθ≤cos∠D′AB，∵在[0，π]上余弦函数为减函数，∴∠D′AB≤θ；而与的大小不确定，∴∠D′CB与θ的大小不确定．故选：B．【点评】本题考查了空间位置关系、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题．10．【考点】KN：直线与抛物线的综合．【解答】解：如图，当过F的直线与y轴垂直时，分别过A，B作直线y＝﹣的垂线，垂直为C，则△ABC 为直角三角形，故A错误；分别以A，B为圆心，以2p为半径作圆，与直线y＝﹣交于C，可得四个等腰三角形，故B错误；当△ABC等边时，由图可知AB所在直线存在且不为0，设AB：y＝，联立，可得x2﹣2kpx﹣p2＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝2kp，，∴AB的中点坐标为（kp，），∴AB的垂直平分线方程为y﹣＝，取y＝﹣，可得x＝2kp+k3p．∴C（2kp+k3p，），|AB|＝，C到直线AB的距离d＝．由题意可得：|AB|＝，即，即k2＝2．∴|AB|＝6P，|CF|＝．故选：D．【点评】本题考查直线与抛物线的综合，考查计算能力，是中档题．二、填空题：本大题有7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分，把答案填在答题卷的相应位置.11．【考点】J2：圆的一般方程．【解答】解：圆C的方程是x2+y2+2x+4y＝0，即（x+1）2+（y+2）2 ＝5，则其圆心坐标位（﹣1，﹣2），半径为，故答案为：（﹣1，﹣2）；．【点评】本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属于基础题．12．【考点】DA：二项式定理．【解答】解：在（1﹣x）4的展开式中，T r+1＝＝（﹣1）r x r，当r＝3时，含x3项的系数是：（﹣1）3＝﹣4，在（1﹣x）4的展开式中，各项系数和是（1﹣1）4＝0．故答案为：﹣4，0．【点评】本题考查二项展开式中含x3项的系数、各项系数和的求法，考查二项式定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．13．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【解答】解：由三视图可知几何体是正方体在一个角上截去一个三棱锥，∵正方体的棱长是2，∴三棱锥的体积V1＝××2×2×2＝，∴剩余部分体积V＝23﹣＝，几何体的表面积S＝6×2×2﹣3××2×2+＝18故答案为：18，．【点评】本题考查三视图求几何体的体积和表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力14．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：由f（x）═3x﹣x3，得f′（x）═3﹣3x2，∴f′（1）═0．∴图象在点（1，2）处的切线方程是y＝2；由f′（x）═3﹣3x2＞0，解得﹣1＜x＜1．∴函数的单调递增区间为﹣1＜x＜1．故答案为：y＝2；（﹣1，1）．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查函数单调性的求法，是中档题．15．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【解答】解：如图，在平面ABCD中，过A作AE∥BD，且AE＝BD，把△P AD绕AD旋转，当△P AD在平面ABCD上时，此时P′E最小，即∠P′AE为异面直线P A与BD所成角，由，∠EAD＝，可得，此时P﹣ABCD不是棱锥，故取不到；当四棱锥P﹣ABCD为正四棱锥时，异面直线P A与BD所成角最大为．∴异面直线P A与BD所成角的取值范围是（，]．故答案为：（，]．【点评】本题考查异面直线及其所成角，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．16．【考点】KN：直线与抛物线的综合．【解答】解：设直线AB的方程为y＝kx+t，k≠0，代入抛物线C：y2＝x，可得ky2﹣y+t＝0，设A（y12，y1），B（y22，y2），即有y1+y2＝，y1y2＝，由AM⊥BM可得，k AM•k BM＝﹣1，即为•＝﹣1，化为y1y2+（y1+y2）+2＝0，即为++2＝0，即为t＝﹣1﹣2k，则直线AB的方程为y＝kx﹣1﹣2k，即y+1＝k（x﹣2），可得直线AB恒过定点N（2，﹣1），当ON⊥l，原点到直线l的距离取得最大值，且为|ON|＝＝．故答案为：．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理，考查两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，直线恒过定点和点到直线的距离的最值求法，考查运算能力，属于中档题．17．【考点】5B：分段函数的应用．【解答】解：若a＝0时，f（x）＝，图象经过一三象限，不符题意；则当x≤0时，f（x）＝|a|x3﹣1递增，且位于第三象限；当x＞0时，f（x）的图象经过一四象限即可．当0＜x＜2时，f（x）＝x2﹣（a+1）x+2，x≥2时，f（x）＝x2﹣（a﹣1）x﹣2，则＞0，且＞0，即a＞1，又＜0，解得a＞2﹣1或a＜﹣1﹣2，可得a＞2﹣1，则a的取值范围是（2﹣1，+∞）．故答案为：（2﹣1，+∞）．【点评】本题考查分段函数的图象和运用，考查分类讨论思想和数形结合思想，以及运算能力，属于中档题．三、解答题（共5小题，满分74分）,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的半径为1，又直线l被圆C截得的弦长为2，∴直线l过圆C的圆心，由圆C的方程可知圆心（﹣1，1），代入直线方程得1＝﹣3×（﹣1）+b，∴b＝2；（Ⅱ）∵＝，∴要求四边形P ACB面积的最小值，只需求|PC|的最小值，∵P是直线l上的任意一点，∴只需求圆心C到直线l的距离d，当b＝3时，直线l：3x+y﹣3＝0．∴d＝，∴．故四边形P ACB面积的最小值为．【点评】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查多边形面积的求法，是中档题．19．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【解答】解：（I）把9个白色乒乓球按黑、黄、红三种颜色分成三组，在黑颜色组抽取1个编号的球有种可能，在黄颜色组抽取1个与前面不同编号的球有种可能，在红颜色组抽取1个与前面两个不同编号的球有种可能，所取三个小球编号与颜色均不一样的取法有种．9个球任取3个球的取法有种．∴所取三个小球编号与颜色均不一样的概率P＝＝．（Ⅱ）X＝1，2，3．P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝．则X的分布列如下表：E（X）＝1×+2×+3×＝．【点评】本题考查了随机变量的分布列及其数学期望、分类讨论方法、排列与组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角．【解答】证明：（Ⅰ）∵△ABC为等边三角形，AC中点为M，∴BM⊥AC，又∵面ABC⊥面ABD，其交线为AB，直线AD在面ABD内，由AD⊥AB，得AD⊥面ABC，而直线BM在面ABC内，∴BM⊥AD，又AD∩AC于点A，∴BM⊥面ADC．解：（Ⅱ）过A作AB的垂线，与BC的延长线交于点E，连结DE，∵AB⊥AD，AE⊥AB，∴BA⊥面AED，∴∠DAE是二面角D﹣AB﹣C的平面角，∴∠DAE＝，过A作AF⊥DE交于F点，连结BF，作AG⊥BF交于点G，连结DG，由BA⊥面AED，得DE⊥BA，又∵AF⊥DE，∴DE⊥面ABF，∵直线DE在面BDE内，∴面ABF⊥面BDE，∵BF是面ABF和面BCD所成角的平面角，由题意：AD＝AB＝2，AE＝2，，则DE＝2，AF＝，AG＝，∴＝，∴直线AD与平面BCD所成角的正弦值为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21．【考点】KL：直线与椭圆的综合．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C：＝1（a＞b＞0）过点M（1，），左焦点F（﹣，0），可得c＝，+＝1，且a2﹣b2＝c2，解得a＝2，b＝1，则椭圆方程为+y2＝1；（Ⅱ）①当AB与x轴重合时，P点不存在；②当AB与x轴垂直时，|AB|＝，|PN|＝，＝1；③当AB与x轴不重合也不垂直，设AB的方程为x＝my+（m≠0），代入椭圆方程x2+4y2﹣4＝0，可得（4+m2）y2+2my﹣2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，|AB|＝•＝•＝|＝•，又NP的方程为x＝﹣y+，联立x＝2可得P（2，﹣m），则|NP|＝，可求＝•＝（+）＞•2＝1，（由于m≠0，即等号取不到），综合可求的最小值为1．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及化简整理的运算能力，属于中档题．22．【考点】6E：利用导数研究函数的最值．【解答】（I）证明：∵x∈（0，+∞），证明不等式f（x）＞x+1恒成立；只需证明：e x﹣1x2﹣x＞0．令u（x）＝e x﹣1x2﹣x，u′（x）＝e x﹣x﹣1，令h（x）＝e x﹣x﹣1，则h′（x）＝e x﹣1＞0，∴函数h（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，∴h（x）＞h（0）＝0．∴函数u（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，∴u（x）＞u（0）＝1﹣1＝0．∴不等式f（x）＞x+1恒成立，x∈（0，+∞）．（II）解：x∈（0，+∞），由（I）可得：＞x+1，要证明：x+1＞，只需证明：ln（x+1）＞x．令v（x）＝ln（x+1）﹣x．v′（x）＝ln（x+1）+﹣1，令s（x）＝v′（x），则s′（x）＝+＝＞0，∴s（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，∴s（x）＞s（0）＝0．∴ln（x+1）＞x．∴x+1＞，即＞，（e x﹣1）ln（x+1）﹣x2＞0．又g（0）＝0．∴g（x）≥0．∴函数g（x）的最小值为0．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
浙江省金华十校2018-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试卷(扫描版)
金华十校2（川-2012学年第一学期期末考试高二数学（理科）试题卷I 寿咸廿间力1211 g 试抵势令舟I 鮒处2.仝试&仃•芥貯容一鼠人血吝案苗烦做虚飙尊耐押;um左芥感称询加荟番'的瓷非凭内堆爲牟a 皿竿叭蛙空很却处弍：八栅中4$晁不^畑価U 配h 黑叭删的白 I 伯側休祝iht1冲f 輕小槨凡们吹斛Uh 疋：-悴叫，5 W I*的体唧•:. r-jrf 1“屮執，1A . I 阿他眛槪:儿 』'如低5I 艸务 国倉划憲汴库铃L ・Hi 血配 ''■和W”梢命r 选择啄 本烦冇州小越，梅小遐$分. 是符合蛊目要求的.1.相何;二 + Al 叮的备卜堆43共利你在邯小JK 绘出的四介选頊中，只冇一頊个WK 沟亦i 的止界川皿烛柑帛啪円1，则旳寺的剧卫噬A. SffcnfB. 1益的？G 1血帅’D. JO.tcm* h ^mii^O-ASc ■H J ■ .<■ W OA 1・ ILOW2M ・ X 沟肚叩点.剧丽・A . ia^-oz?+ l fX'B. -OA^-OB-^OC2 3 2 2 13 C.二鬲丿湖」斎D ，2加二丽」.住 3 223 3 24. mdm 士-訐t(#> > 0> ffi 个罠心6 ft 币Ef i 实轴畑 0 科超巧 W 点.ff WPF 电彳.刪w 閘线的紳厂t~A. r- t<J*rIk r - t —、「. r - tv2.<IX r ±—r3+21 kJ-, r ： •行I 讯界tf 上1勺1 - M.4也IC- -D,- 2 -4S 削这刻戲的力用呛A. lr*4rH$叩K-厂-3哑严_?争C. T=-3D. ir^-3 或6. «~3 &门堆fupi-TfT和门緩3汁(~1肝旷？Tijll不亚ft的A.施井II必疏*啊H.临mi定竹条flC,充牧举Fl D, 15110也0；必營策件7.设耐“心眠I；讪川线・m /A应VMM朋恂」-拾岀"用个命那①Tt m L«* H s 川抽丄" ^77 a//A W* ¥、mLm ^:J m '. y［：£'》；％'f g ft a>则j«"n ④苦口丄严B丄尹^la//p梵中iEflttMBftW号是A.①鞘』B.②和③G③和④D* ©fll®N. il^h『」mp s 和ur+也十产C(拎I」"悴吐呼ErR)•它啊听崔示的血线讨龍圧比血阳i阿花只装了水的矗封腿丁, H内沖;】对；底3伴衿为15和匸待为km灼曲亍閱林细成的简附儿何懺冇直化儿狗休划图(2)忒平放丹时* 港面高度为心・咒这吓几何协如图卩冰平^WB<・液曲応度为如,灯進牛简歎几沏林的总简度为 A.丹cm乩3(km10. LlUh战-则磁h 5阜卜A-i^h月M •哽足逹从八汕:公创X丨用"'刈歇反樹“阵绅虫皈林上M：含峯直).则2巒的A, <7*-曲K (0,+flcJC, (h+x) D, «+*>二填空JH：本大IIXT小恵*隔小JH4分，捷搀企IL已3UArirll>*曲2£2h点户症二執上.PWlfW■魁恵P的坐标为一鼻：12,命L「；nF.剛尸0 IIE广的辿山命世匕▲ _：I 吃扁-1-41 -试押Ct 询2 *t f r. 4 «U皿(4^5M4 5h 曲制。
2017-2018学年浙江省金华十校高二(下)期末数学试卷及答案
2017-2018学年浙江省金华十校高二（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.用数学归纳法证明命题时，正确的说法是A. 当时，命题的左边为B. 当时，命题的左边为C. 当时，命题左端在的基础上增加的部分有项D. 当时，命题左端在的基础上增加的部分是2.设，则“”成立的必要不充分条件是A. B. C. D.3.如图，长方体中，，，M为的中点，P为底面四边形包括边界内的动点，且满足，则点P的轨迹的长度为A.B. 3C.D.4.复数，则A. 复数z的虚部为1B. 复数z的虚部为C. 复数z的虚部为iD. 复数z的虚部为5.如图，已知四边形ABCD是底角为的等腰梯形，且，沿直线AC将翻折成，所成二面角的平面角为，则A. B. C. D.6.已知直线l的方程为，则其倾斜角是A. B. C. D.7.已知双曲线C：的离心率为2，则双曲线C的渐近线方程是A. B. C. D.8.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在直线上，则A. 使为直角三角形的点C只有一个B. 使为等腰三角形的点C只有一个C. 当等边时，D. 当等边时，9.设l是直线，，是两个不同的平面，则下列命题不正确的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则10.高一学生王超想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，A. 若任意选择三门课程，选法总数为种B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为种C. 若物理和历史不能同时选，选法总数为种D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为种二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知函数，则其图象在点处的切线方程是______，它的单调递增区间为______．12.圆C的方程是，则其圆心坐标是______，半径是______13.已知函数的图象经过三个象限，则实数a的取值范围是______．14.四棱锥底面是正方形，侧面是正三角形，则异面直线PA与BD所成角的取值范围是______．15.一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______，体积为______．16.在的展开式中，含项的系数是______，各项系数和是______．17.已知点是抛物线C：上的一点直线l与抛物线C交于A，B两点使得，则原点到直线l的距离最大值为______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知椭圆C：过点，左焦点．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ过点作一条直线交椭圆C于A，B两点，又过点N作直线AB的垂线交直线于P 点，求的最小值．19.已知函数．Ⅰ求证：对于任意，不等式恒成立；Ⅱ设函数，，求函数的最小值．20.如图，四面体ABCD中，等边三角形，，且．Ⅰ记AC中点为M，若面面ABD，求证：面ADC；Ⅱ当二面角的大小为时，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值．21.把同一批次生产的9个白色乒乓球，涂上黑、黄、红三种颜色，每种颜色涂三个球，同种颜色的三个球分别编号为1，2，3，将这9个球装入袋中搅拌均匀，从中任取三个．Ⅰ求所取三个小球编号与颜色均不一样的概率；Ⅱ记随机变量X为所取小球的不同编号个数例如：所取小球编号为1，1，2，则有2个编号，分别为1和2，此时，求X的分布列与数学期望．2017-2018学年浙江省金华十校高二（下）期末数学试卷解析一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）22.用数学归纳法证明命题时，正确的说法是A. 当时，命题的左边为B. 当时，命题的左边为C. 当时，命题左端在的基础上增加的部分有项D. 当时，命题左端在的基础上增加的部分是【答案】D【解析】解：用数学归纳法证明命题时，当时，命题的左边为1，所以A不正确；时，左侧，当时，命题左端在的基础上增加的部分是所以选项D正确，C不正确，选项B不正确；故选：D．利用数学归纳法的证明步骤与方法，判断选项的正误即可．此题主要考查数学归纳法的问题，解答的关键是明白等式左边项的特点，再把时等式的左端减去时等式的左端．23.设，则“”成立的必要不充分条件是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：由得，即，对应集合为，则“”成立的必要不充分条件对应的集合，则满足条件，故选：B．根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行转化求解即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合集合关系进行转化是解决本题的关键．24.如图，长方体中，，，M为的中点，P为底面四边形包括边界内的动点，且满足，则点P的轨迹的长度为A.B. 3C.D.【答案】D【解析】解：取AB的中点E，AD的中点N，如图，因为MC在底面的射影为NC，并且，所以，所以DE上的点到M，C的距离相等，P在DE上，所以，所以点P的轨迹为DE，因为长方体，，，M为的中点，所以；故选：D．取AB的中点E，由题意，点P的轨迹为DE的长度，利用勾股定理求值．本题考查了动点的轨迹以及长方体中线段长度；关键是发现满足条件的轨迹．25.复数，则A. 复数z的虚部为1B. 复数z的虚部为C. 复数z的虚部为iD. 复数z的虚部为【答案】A【解析】解：，复数z的虚部为1．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．26.如图，已知四边形ABCD是底角为的等腰梯形，且，沿直线AC将翻折成，所成二面角的平面角为，则A. B. C. D.【答案】B【解析】解：如图，不妨设，，，，，．取AC中点O，AB中点E，连接，OE，，则，，即为二面角的平面角为，由已知可得，，，，．，，．则，在上余弦函数为减函数，；而与的大小不确定，与的大小不确定．故选：B．由题意画出图形，不妨设，由已知求出对应边长，再求出二面角的平面角，由余弦定理求出，，的余弦值，结合余弦函数的单调性比较角的大小．本题考查了空间位置关系、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题．27.已知直线l的方程为，则其倾斜角是A. B. C. D.【答案】A【解析】解：设直线的倾斜角为，．则，．故选：A．设直线的倾斜角为，可得，即可得出．本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．28.已知双曲线C：的离心率为2，则双曲线C的渐近线方程是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：双曲线C：的离心率为2，可得，解得，双曲线的焦点在x轴上，双曲线的方程为，可得双曲线的渐近线方程为，故选：C．由题意双曲线C：的离心率为2，可得a，再由渐近线方程可得所求．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率和渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．29.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在直线上，则A. 使为直角三角形的点C只有一个B. 使为等腰三角形的点C只有一个C. 当等边时，D. 当等边时，【答案】D【解析】解：如图，当过F的直线与y轴垂直时，分别过A，B作直线的垂线，垂直为C，则为直角三角形，故A 错误；分别以A，B为圆心，以2p为半径作圆，与直线交于C，可得四个等腰三角形，故B错误；当等边时，由图可知AB所在直线存在且不为0，设AB：，联立，可得．设，，则，，的中点坐标为，的垂直平分线方程为，取，可得，，C到直线AB的距离．由题意可得：，即，即．，．故选：D．由题意画出图形，分析A，B错误；当等边时，由图可知AB所在直线存在且不为0，设AB：，联立直线方程与抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，利用弦长公式求，求出C的坐标，再由点到直线的距离公式求C到AB的距离，利用等边三角形边与高的关系求得k，进一步求得，，则答案可求．本题考查直线与抛物线的综合，考查计算能力，是中档题．30.设l是直线，，是两个不同的平面，则下列命题不正确的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】C【解析】解：由l是直线，，是两个不同的平面，知：在A中，若，，则由面面垂直的判定定理得，故A正确；在B中，若，，则由面面垂直的判定定理得，故B正确；在C中，若，，则l与平行或，故B错误；在D中，若，，则由线面垂直的判定定理得，故D正确．故选：C．在A中，由面面垂直的判定定理得；在B中，由面面垂直的判定定理得；在C中，l与平行或；在D中，由线面垂直的判定定理得．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．31.高一学生王超想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，A. 若任意选择三门课程，选法总数为种B. 若物理和化学至少选一门，选法总数为种C. 若物理和历史不能同时选，选法总数为种D. 若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为种【答案】C【解析】解：对于若任意选择三门课程，选法总数为种，故A错误；对于若物理和化学至少选一门，有种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有种选法，由分步乘法计数原理知，总数为种选法，故B错误；对于若物理和历史不能同时选，选法总数为种；对于若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为种，故D错误．故选：C．A.若任意选择三门课程，由组合的概念可知选法总数为种，可判断A错误；B.若物理和化学至少选一门，由分步乘法计数原理知选法总数为种，可判断B错误；C.若物理和历史不能同时选，利用间接法可知选法总数为种，可判断C正确；D.若物理和化学至少选一门，有种方法，且物理和历史同时选，有种方法，利用间接法可得选法总数为种，可判断D错误．本题考查排列、组合及其简单的计数问题，考查分析运算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）32.已知函数，则其图象在点处的切线方程是______，它的单调递增区间为______．【答案】；【解析】解：由，得，．图象在点处的切线方程是；由，解得．函数的单调递增区间为．故答案为：；．求出原函数的导函数，得到的值，由直线方程点斜式得答案，直接由导函数大于0求得x的范围得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查函数单调性的求法，是中档题．33.圆C的方程是，则其圆心坐标是______，半径是______【答案】；【解析】解：圆C的方程是，即，则其圆心坐标位，半径为，故答案为：；．把圆的一般方程化为标准方程，可得圆的圆心和半径．本题主要考查圆的一般方程和标准方程，属于基础题．34.已知函数的图象经过三个象限，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】解：若时，，图象经过一三象限，不符题意；则当时，递增，且位于第三象限；当时，的图象经过一四象限即可．当时，，时，，则，且，即，又，解得或，可得，则a的取值范围是．故答案为：．讨论，图象经过一三象限，不符题意；结合题意，讨论当时，的单调性和图象位置，当时，的图象经过一四象限即可去绝对值可得在的最值小于0，解不等式可得a的范围．本题考查分段函数的图象和运用，考查分类讨论思想和数形结合思想，以及运算能力，属于中档题．35.四棱锥底面是正方形，侧面是正三角形，则异面直线PA与BD所成角的取值范围是______．【答案】【解析】解：如图，在平面ABCD中，过A作，且，把绕AD旋转，当在平面ABCD上时，此时最小，即为异面直线PA与BD所成角，由，，可得，此时不是棱锥，故取不到；当四棱锥为正四棱锥时，异面直线PA与BD所成角最大为．异面直线PA与BD所成角的取值范围是故答案为：由题意画出图形，结合绕直线AD旋转可得异面直线PA与BD所成角的取值范围．本题考查异面直线及其所成角，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．36.一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则该几何体的表面积为______，体积为______．【答案】；【解析】解：由三视图可知几何体是正方体在一个角上截去一个三棱锥，正方体的棱长是2，三棱锥的体积，剩余部分体积，几何体的表面积故答案为：，．由三视图可知几何体是正方体在一个角上截去一个三棱锥，进而可得几何体的体积和表面积．本题考查三视图求几何体的体积和表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力37.在的展开式中，含项的系数是______，各项系数和是______．【答案】；0【解析】解：在的展开式中，，当时，含项的系数是：，在的展开式中，各项系数和是．故答案为：，0．在的展开式中，由通项公式，能求出含项的系数是：，在的展开式中，各项系数和是．本题考查二项展开式中含项的系数、各项系数和的求法，考查二项式定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．38.已知点是抛物线C：上的一点直线l与抛物线C交于A，B两点使得，则原点到直线l的距离最大值为______．【答案】【解析】解：设直线AB的方程为，，代入抛物线C：，可得，设，，即有，，由可得，，即为，化为，即为，即为，则直线AB的方程为，即，可得直线AB恒过定点，当，原点到直线l的距离取得最大值，且为．故答案为：．设直线AB的方程为，，联立抛物线方程，消去x，运用韦达定理和两直线垂直的条件：斜率之积为，化简可得，则直线AB的方程为，可得直线恒过定点，即可得到所求最大值为．本题考查直线与抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理，考查两直线垂直的条件：斜率之积为，直线恒过定点和点到直线的距离的最值求法，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）39.已知椭圆C：过点，左焦点．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ过点作一条直线交椭圆C于A，B两点，又过点N作直线AB的垂线交直线于P点，求的最小值．【答案】解：Ⅰ椭圆C：过点，左焦点，可得，，且，解得，，则椭圆方程为；Ⅱ当AB与x轴重合时，P点不存在；当AB与x轴垂直时，，，；当AB与x轴不重合也不垂直，设AB的方程为，代入椭圆方程，可得，设，，可得，，，又NP的方程为，联立可得，则，可求，由于，即等号取不到，综合可求的最小值为1．【解析】Ⅰ由题意可得，M的坐标代入椭圆方程，以及a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；Ⅱ当AB与x轴重合时，P点不存在；当AB与x轴垂直时，可得；当AB与x轴不重合也不垂直，设AB的方程为，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得，设出NP的方程，联立直线，求得P的坐标和，可得的式子，变形运用基本不等式即可得到所求最小值．本题考查椭圆方程的求法，注意运用点满足椭圆方程，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，以及化简整理的运算能力，属于中档题．40.已知函数．Ⅰ求证：对于任意，不等式恒成立；Ⅱ设函数，，求函数的最小值．【答案】证明：，证明不等式恒成立；只需证明：．令，，令，则，函数在上单调递增，．函数在上单调递增，．不等式恒成立，．解：，由可得：，要证明：，只需证明：．令．，令，则，在上单调递增，．，即，又．．函数的最小值为0．【解析】，证明不等式恒成立；只需证明：令，利用导数研究函数的单调性即可得出．，由可得：，要证明：，只需证明：令利用导数研究函数的单调性极值最值即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．41.如图，四面体ABCD中，等边三角形，，且．Ⅰ记AC中点为M，若面面ABD，求证：面ADC；Ⅱ当二面角的大小为时，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值．【答案】证明：Ⅰ为等边三角形，AC中点为M，，又面面ABD，其交线为AB，直线AD在面ABD内，由，得面ABC，而直线BM在面ABC内，，又于点A，面ADC．解：Ⅱ过A作AB的垂线，与BC的延长线交于点E，连结DE，，，面AED，是二面角的平面角，，过A作交于F点，连结BF，作交于点G，连结DG，由面AED，得，又，面ABF，直线DE在面BDE内，面面BDE，是面ABF和面BCD所成角的平面角，由题意：，，，则，，，，直线AD与平面BCD所成角的正弦值为．【解析】Ⅰ推导出，，面ABC，，由此能证明面ADC．Ⅱ过A作AB的垂线，与BC的延长线交于点E，连结DE，由，，得面AED，从而是二面角的平面角，进而，过A作交于F点，连结BF，作交于点G，连结DG，由此能求出直线AD与平面BCD所成角的正弦值．本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．42.已知圆C：，直线．Ⅰ当b为何值时，直线l被圆C截得的弦长为2；Ⅱ当时，过l上任意一点P作圆C的两条切线，切点分别记为A，B，求四边形PACB面积的最小值．【答案】解：Ⅰ圆C的半径为1，又直线l被圆C截得的弦长为2，直线l过圆C的圆心，由圆C的方程可知圆心，代入直线方程得，；Ⅱ四边形，要求四边形PACB面积的最小值，只需求的最小值，是直线l上的任意一点，只需求圆心C到直线l的距离d，当时，直线l：．，．四边形故四边形PACB面积的最小值为．【解析】Ⅰ由题意可知直线l过圆C的圆心，把圆心坐标代入直线方程求解b；Ⅱ四边形PACB面积，求出圆心C到直线l的距离得答案．本题考查直线与圆位置关系的应用，考查多边形面积的求法，是中档题．43.把同一批次生产的9个白色乒乓球，涂上黑、黄、红三种颜色，每种颜色涂三个球，同种颜色的三个球分别编号为1，2，3，将这9个球装入袋中搅拌均匀，从中任取三个．Ⅰ求所取三个小球编号与颜色均不一样的概率；Ⅱ记随机变量X为所取小球的不同编号个数例如：所取小球编号为1，1，2，则有2个编号，分别为1和2，此时，求X的分布列与数学期望．【答案】解：把9个白色乒乓球按黑、黄、红三种颜色分成三组，在黑颜色组抽取1个编号的球有种可能，在黄颜色组抽取1个与前面不同编号的球有种可能，在红颜色组抽取1个与前面两个不同编号的球有种可能，所取三个小球编号与颜色均不一样的取法有种个球任取3个球的取法有种所取三个小球编号与颜色均不一样的概率．Ⅱ，2，，，．则X的分布列如下表：．【解析】把9个白色乒乓球按黑、黄、红三种颜色分成三组，在黑颜色组抽取1个编号的球有种可能，在黄颜色组抽取1个与前面不同编号的球有种可能，在红颜色组抽取1个与前面两个不同编号的球有种可能，所取三个小球编号与颜色均不一样的取法有种个球任取3个球的取法有种即可得出所取三个小球编号与颜色均不一样的概率．Ⅱ，2，，，即可得出分布列与数学期望．本题考查了随机变量的分布列及其数学期望、分类讨论方法、排列与组合计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
【精品】2016-2017年浙江省金华十校高二上学期数学期末试卷与答案
2016-2017学年浙江省金华十校高二（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）命题若“x2+y2=0，则x=y=0”的否命题是（）A．若x2+y2=0，则x，y中至少有一个不为0B．若x2+y2=0，则x，y都不为0C．若x2+y2≠0，则x，y都不为0D．若x2+y2≠0，则x，y中至少有一个不为02．（4分）若过（2，0）且与直线2x﹣y﹣1=0垂直的直线方程是（）A．2x﹣y+1=0B．2x﹣y﹣4=0C．x+2y﹣2=0D．x+2y﹣4=0 3．（4分）空间中，与向量同向共线的单位向量为（）A．B．或C．D．或4．（4分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且=α+β，则（）A．α=，β=﹣1B．α=﹣，β=1C．α=1，β=﹣D．α=﹣1，β=5．（4分）曲线C：x2﹣3xy+y2=1（）A．关于x轴对称B．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称C．关于原点对称，关于直线y=﹣x不对称D．关于y轴对称6．（4分）已知，l，m是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列条件，能得到α∥β的是（）A．l∥α，l∥βB．α⊥γ，β⊥γC．m⊂α，l⊂α，m∥β，l∥βD．l⊥α，m⊥β，l∥m7．（4分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=AA1，E，E，G，H分别是棱AB，BB 1，BC，CC1的中点，∠ABC=90°．则异面直线EF和GH所成的角是（）A．45°B．60°C．90°D．120°8．（4分）已知过定点P（﹣4，0）的直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积最大时，直线l的斜率为（）A．B．2C．D．9．（4分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（m＞0，n＞0）有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，且PF1⊥PF2，e1，e2分别是两曲线C1，C2的离心率，则2e12+的最小值为（）A．1B．C．4D．10．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在CDD1C1所在的平面上，满足∠PBD1=∠A1BD1，则动点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线二、填空题（共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，满分36分）11．（6分）已知直线l1：ax+y﹣1=0，直线l2：x﹣y﹣3=0，若直线l1的倾斜角为，则a=，若l1∥l2，则两平行直线间的距离为．12．（6分）某几何体的三视图如图所示，其侧视图是一个边长为2的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则这个几何体的体积为，表面积为．13．（6分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），则p=；M 是抛物线上的动点，A（6，4），则|MA|+|MF|的最小值为．14．（6分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为，此时椭圆C的一条弦被（1，1）平分，那么这条弦所在的直线方程为．15．（4分）二面角α﹣l﹣β的平面角为50°，点P为空间内一定点，过点P的直线m与平面α，β都成25°角，这样的直线m有条．16．（4分）设双曲线Γ：x2﹣=1的左右两个焦点分别为F1，F2，A为双曲线Γ的左顶点，直线l过右焦点F2且与双曲线Γ交于M，N两点，若AM，AN的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=﹣，则直线l的方程为．17．（4分）在四棱锥S﹣ABCD中，已知SC⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为4的菱形，∠BCD=60°，SC=2，E为BC的中点，若点P在SE上移动，则△PCA面积的最小值为．三、解答题（共5小题，满分74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．（14分）设命题p：实数k满足：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q，实数k满足：方程（4﹣k）x2+（k﹣2）y2=1不表示双曲线．（1）若命题q为真命题，求k的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19．（15分）在四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，SA=AB=2CD=2，SB=2AD=2，平面SAB⊥平面ABCD，E为SB的中点（1）求证：CE∥平面SAD；（2）求证：BD⊥平面SAC；（3）求直线CE与平面SAC所成角的余弦值．20．（15分）已知直线l的方程为2x+my﹣4m﹣4=0，m∈R，点P的坐标为（﹣1，0）．（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；（2）设点Q为直线l上的动点，且PQ⊥l，求|PQ|的最大值；（3）设点P在直线l上的射影为点A，点B的坐标为（，5），求线段AB长的取值范围．21．（15分）已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=CD=2，E为DC中点，连接AE，将△DAE沿AE翻折到△D1AE．（1）证明：BD1⊥AE；（2）若CD1=，求二面角D1﹣AB﹣C的平面角的余弦值．22．（15分）已知曲线C上的动点P（x，y）到点F（0，1）的距离比到直线l：y=﹣2的距离小1．动点E在直线l上，过点E分别做曲线C的切线EA，EB，切点为A，B．（1）求曲线C的方程；（2）求|AB|的最小值；（3）在直线l上是否存在一点M，使得△ABM为以AB为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由．2016-2017学年浙江省金华十校高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）命题若“x2+y2=0，则x=y=0”的否命题是（）A．若x2+y2=0，则x，y中至少有一个不为0B．若x2+y2=0，则x，y都不为0C．若x2+y2≠0，则x，y都不为0D．若x2+y2≠0，则x，y中至少有一个不为0【分析】根据四种命题的定义，先写出已知命题的否命题，比照后，可得答案．【解答】解：命题：“若x2+y2=0，则x=y=0”的否命题是：“若x2+y2≠0，则x≠0或y≠0”，即若x2+y2≠0，则x，y中至少有一个不为0，故选：D．2．（4分）若过（2，0）且与直线2x﹣y﹣1=0垂直的直线方程是（）A．2x﹣y+1=0B．2x﹣y﹣4=0C．x+2y﹣2=0D．x+2y﹣4=0【分析】设出与直线2x﹣y﹣1=0垂直的直线方程是x+2y+m=0，把点（2，0）代入求出m的值即可．【解答】解：设与直线2x﹣y﹣1=0垂直的直线方程是x+2y+m=0，由直线过点（2，0），得2+0+m=0，解得m=﹣2，所求直线方程是x+2y﹣2=0．故选：C．3．（4分）空间中，与向量同向共线的单位向量为（）A．B．或C．D．或【分析】利用与同向共线的单位向量向量即可得出．【解答】解：∵，∴与同向共线的单位向量向量，故选：C．4．（4分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且=α+β，则（）A．α=，β=﹣1B．α=﹣，β=1C．α=1，β=﹣D．α=﹣1，β=【分析】根据向量加法的多边形法则可得，====，从而可求α，β．【解答】解：根据向量加法的多边形法则以及已知可得，====，∴α=，β=﹣1，故选：A．5．（4分）曲线C：x2﹣3xy+y2=1（）A．关于x轴对称B．关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称C．关于原点对称，关于直线y=﹣x不对称D．关于y轴对称【分析】由题意，以x代y，y代x，方程不变；以﹣x代y，﹣y代x，方程不变，即可得出结论．【解答】解：由题意，以x代y，y代x，方程不变；以﹣x代y，﹣y代x，方程不变，∴曲线C：x2﹣3xy+y2=1关于直线y=x对称，也关于直线y=﹣x对称，故选：B．6．（4分）已知，l，m是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列条件，能得到α∥β的是（）A．l∥α，l∥βB．α⊥γ，β⊥γC．m⊂α，l⊂α，m∥β，l∥βD．l⊥α，m⊥β，l∥m【分析】利用直线与平面平行的判断与性质，判断选项A，C，D推出正误；平面与平面垂直的性质，判断选项B的正误；对选项逐一判断即可．【解答】解：l∥α，l∥β可能推出α、β相交，所以A不正确；α⊥γ，β⊥γ可能推出α、β 相交，所以B不正确；m⊂α，l⊂α，m∥β，l∥β，如果m∥n推出α、β 相交，所以C不正确；只有D是正确的．故选：D．7．（4分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=AA1，E，E，G，H分别是棱AB，BB1，BC，CC1的中点，∠ABC=90°．则异面直线EF和GH所成的角是（）A．45°B．60°C．90°D．120°【分析】如图所示，由题意可建立空间直角坐标系．利用=即可得出．【解答】解：如图所示，由题意可建立空间直角坐标系．不妨时AB=2，则B（0，0，0），C（2，0，0），G（1，0，0），A（0，2，0），E （0，1，0），C1（2，0，2），H（2，0，1），B1（0，0，2），F（0，0，1）．=（0，﹣1，1），=（1，0，1）．∴===，∴异面直线EF和GH所成的角是60°．故选：B．8．（4分）已知过定点P（﹣4，0）的直线l与曲线y=相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积最大时，直线l的斜率为（）A．B．2C．D．【分析】由曲线y=表示在x轴上方以及含与x轴的交点半圆，设出直线l 的方程，利用△AOB的面积取最大值时，OA⊥OB，求出圆心O到直线l的距离d=，从而求出直线的斜率k．【解答】解：由y=得x2+y2=4（y≥0），∴曲线y=表示圆x2+y2=4在x轴上方的部分（含与x轴的交点）；由题知，直线的斜率存在，设直线l的斜率为k（k＞0），则直线方程为y=k（x+4），即kx﹣y+4k=0，当△AOB的面积取最大值时，OA⊥OB，此时圆心O到直线l的距离d=，如图所示；∴d==，∴k=．故选：C．9．（4分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣=1（m＞0，n＞0）有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，且PF1⊥PF2，e1，e2分别是两曲线C1，C2的离心率，则2e12+的最小值为（）A．1B．C．4D．【分析】由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a，双曲线实轴为2m，令P在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出a2+m2=2c2，由此能求出2e12+的最小值．【解答】解：由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a，双曲线实轴为2m，令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=2m，①由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a，②又∵PF1⊥PF2，∴|PF 1|2+|PF2|2=4c2，③①2+②2，得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2，④将④代入③，得a2+m2=2c2，∴2e12+=++≥．故选：B．10．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在CDD1C1所在的平面上，满足∠PBD1=∠A1BD1，则动点P的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【分析】利用平面与圆锥面的关系，即可得出结论．【解答】解：P在以B为顶点，BD1为对称轴，A1B为母线的圆锥与平面CC1D1D 的交面上，而A1B∥平面CC1D1D，知与圆锥母线平行的平面截圆锥得到的是抛物线的一部分，故选：D．二、填空题（共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，满分36分）11．（6分）已知直线l1：ax+y﹣1=0，直线l2：x﹣y﹣3=0，若直线l1的倾斜角为，则a=﹣，若l1∥l2，则两平行直线间的距离为2．【分析】根据题意，对于直线l1：ax+y﹣1=0，变形可得y=﹣ax+1，由其倾斜角，可得其斜率k的值，进而可得﹣a=，解可得a的值；根据题意，由于l1∥l2，结合直线平行的性质可得a×（﹣1）+1×1=0，解可得a 的值，进而由平行线间的距离公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，对于直线l1：ax+y﹣1=0，变形可得y=﹣ax+1，若其倾斜角为，则其斜率k=tan=，则有﹣a=，即a=﹣；对于直线l1：ax+y﹣1=0，直线l2：x﹣y﹣3=0，若l1∥l2，则有a×（﹣1）+1×1=0，解可得a=﹣1，则l1的方程可以变形为x﹣y+1=0，则两平行直线间的距离d==2．故答案为：﹣，2．12．（6分）某几何体的三视图如图所示，其侧视图是一个边长为2的等边三角形，俯视图是两个正三角形拼成的菱形，则这个几何体的体积为2，表面积为2+6．【分析】根据已知中的三视图及相关视图边的长度，可又判断判断出该几何体的形状及底面，侧棱，底面棱长等值，进而求出底面积和高，代入棱锥体积、表面积公式即可求出答案．【解答】解：由已知中该几何中的三视图中有两个底面是正三角形的一个三棱锥组成的几何体，如图．由三视图可知，每一个三棱锥的底面正三角形的长为2，高为则该几何体的体积V=2×××22×=2．表面积为2×（+2×+）=2+6．故答案为：2，2+6．13．（6分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），则p=2；M是抛物线上的动点，A（6，4），则|MA|+|MF|的最小值为7．【分析】根据焦点坐标，求出p，求出准线方程，把|MA|+|MF|转化为|MA|+|PM|，利用当P、A、M三点共线时，|MA|+|PM|取得最小值．【解答】解：∵抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），∴=1，∴p=2．准线方程为x=﹣1，设点M到准线的距离为d=|PM|，则由抛物线的定义得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|，故当P、A、M三点共线时，|MF|+|MA|取得最小值为|AP|=6﹣（﹣1）=7，故答案为2，7．14．（6分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为，此时椭圆C的一条弦被（1，1）平分，那么这条弦所在的直线方程为2x+3y﹣5=0．【分析】（1）已知得：，4a=4，a2=b2+c2，解得a，b，（2）设以点A（2，1）为中点的弦与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法能求出结果．【解答】解：由已知得：，4a=4，a2=b2+c2解得a=，b=，c=1，∴C的方程为：；设以点A（1，1）为中点的弦与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，y1+y2=2，分别把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆方程得再相减可得2（x1+x2）（x1﹣x2）+3（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∴4（x1﹣x2）+6（y1﹣y2）=0，k=﹣．这条弦所在的直线方程为：2x+3y﹣5=0故答案为：：，2x+3y﹣5=015．（4分）二面角α﹣l﹣β的平面角为50°，点P为空间内一定点，过点P的直线m与平面α，β都成25°角，这样的直线m有3条．【分析】利用线面角的概念及角平分线的性质，分析出所求直线二面角的平分面上，再根据线面角的大小变化确定出直线条数．【解答】解：首先给出下面两个结论①两条平行线与同一个平面所成的角相等．②与二面角的两个面成等角的直线在二面角的平分面上．图1．（1）如图1，过二面角α﹣l﹣β内任一点作棱l的垂面AOB，交棱于点O，与两半平面于OA，OB，则∠AOB为二面角α﹣l﹣β的平面角，∠AOB=50°设OP1为∠AOB的平分线，则∠P1OA=∠P1OB=25°，与平面α，β所成的角都是25°，此时过P且与OP1平行的直线符合要求，有一条．当OP1以O为轴心，在二面角α﹣l﹣β的平分面上转动时，OP1与两平面夹角变小，不再会出现25°情形．图2．（2）如图2，设OP2为∠AOB的补角∠AOB′，则∠P2OA=∠P2OB=65°，与平面α，β所成的角都是65°．当OP2以O为轴心，在二面角α﹣l﹣β′的平分面上转动时，OP2与两平面夹角变小，对称地在图中OP2两侧会出现25°情形，有两条．此时过P且与OP2平行的直线符合要求，有两条．综上所述，直线的条数共有3条．故答案为：3．16．（4分）设双曲线Γ：x2﹣=1的左右两个焦点分别为F1，F2，A为双曲线Γ的左顶点，直线l过右焦点F2且与双曲线Γ交于M，N两点，若AM，AN的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=﹣，则直线l的方程为y=﹣8（x﹣3）．．【分析】设出直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理及k1+k2=2，求直线l的斜率，即可求出直线l的方程．【解答】解：设直线方程为l：y=k（x﹣3），M（x1，y1），N（x2，y2）联立方程组得（8﹣8k2）x2+6k2x﹣9k2﹣8=0∴x1+x2=﹣，x1x2=∴k1+k2=+==﹣，代入解得k=﹣8，∴直线l的方程是y=﹣8（x﹣3）．故答案为y=﹣8（x﹣3）．17．（4分）在四棱锥S﹣ABCD中，已知SC⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为4的菱形，∠BCD=60°，SC=2，E为BC的中点，若点P在SE上移动，则△PCA面积的最小值为2．【分析】求出P到AC的距离最小值，AC，即可求出△PCA面积的最小值．【解答】解：设P到BC的距离为x，则P到AC的距离为=，∴x=时，P到AC的距离最小值为，∵底面ABCD是边长为4的菱形，∠BCD=60°，∴AC==4，∴△PCA面积的最小值为=2．故答案为2．三、解答题（共5小题，满分74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18．（14分）设命题p：实数k满足：方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q，实数k满足：方程（4﹣k）x2+（k﹣2）y2=1不表示双曲线．（1）若命题q为真命题，求k的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据方程（4﹣k）x2+（k﹣2）y2=1不表示双曲线的等价条件建立方程进行求解即可．（2）根据椭圆的方程求出命题p的等价条件，结合必要不充分条件的定义进行转化求解即可．【解答】解：（1）若命题q为真命题，则有（4﹣k）（k﹣2）≥0，得2≤k≤4（2）若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆，则7﹣a＞k﹣1＞0，得1＜k＜8﹣a，（a＜7），若p是q的必要不充分条件，则，即a＜4．19．（15分）在四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，SA=AB=2CD=2，SB=2AD=2，平面SAB⊥平面ABCD，E为SB的中点（1）求证：CE∥平面SAD；（2）求证：BD⊥平面SAC；（3）求直线CE与平面SAC所成角的余弦值．【分析】（1）推导出AB，AD，SA两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CE∥平面SAD．（2）求出平面SAC法向量和，由此能证明BD⊥平面SAC．（3）求出=（0，﹣，1），平面SAC法向量=（﹣，1，0），由此利用向量法能求出直线CE与平面SAC所成角的余弦值．【解答】证明：（1）∵SA=AB=2，SB=2，∴SA⊥AB，又平面SAB⊥ABCD，AB为其交线，∴SA⊥平面ABCD，又∵AB⊥AD，∴AB，AD，SA两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，A （0，0，0），B（2，0，0），C（1，，0），D（0，，0），S（0，0，2），E（1，0，1），=（0，﹣，1），平面SAD的法向量=（1，0，0），∴=0，CE⊄平面SAD，∴CE∥平面SAD．（2）设平面SAC法向量=（x，y，z），=（0，0，2），=（1，，0），=（﹣2，，0），，取y=1，得=（﹣），∴∥，∴BD⊥平面SAC．解：（3）=（0，﹣，1），平面SAC法向量=（﹣，1，0），设直线CE与平面SAC所成角为θ，则sinθ==，∴cosθ=，∴直线CE与平面SAC所成角的余弦值为．20．（15分）已知直线l的方程为2x+my﹣4m﹣4=0，m∈R，点P的坐标为（﹣1，0）．（1）求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；（2）设点Q为直线l上的动点，且PQ⊥l，求|PQ|的最大值；（3）设点P在直线l上的射影为点A，点B的坐标为（，5），求线段AB长的取值范围．【分析】（1）令参数m的系数等于零，求得x、y的值，可得直线l恒过定点的坐标．（2）根据|PQ|≤|PS|，求得|PQ|的最大值．（3）根据PA⊥AS，以及圆的性质可得点A的轨迹是以PS为直径的圆，由根据|BM|﹣r≤|AB|≤|BM|+r，求得线段AB长的取值范围．【解答】解：（1）证明：∵直线l的方程为2x+my﹣4m﹣4=0，m∈R，即2（x ﹣2）+m（y﹣4）=0，令y﹣4=0，求得x=2，y=4，可得直线l恒过定点的坐标为S（2，4）．（2）∵点P的坐标为（﹣1，0），|PQ|≤|PS|==5，故|PQ|的最大值为5，此时，PS⊥l，它们的斜率之积=﹣1，求得m=．（3）直线l恒过定点S（2，4），点B的坐标为（，5），PA⊥AS，故点A的轨迹是以PS为直径的圆，圆心M（，2）、半径为=，∴|BM|﹣≤|AB|≤|BM|+，即≤|AB|≤．21．（15分）已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=CD=2，E为DC中点，连接AE，将△DAE沿AE翻折到△D1AE．（1）证明：BD1⊥AE；（2）若CD1=，求二面角D1﹣AB﹣C的平面角的余弦值．【分析】（1）取AE中点H，推导出D1H⊥AE，BH⊥AE，从而AE⊥面HBD1，由此能求出BD1⊥AE．（2）以AE中点H为原点，HA为x轴，HB为y轴，过H作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角D1﹣AB﹣C的平面角的余弦值．【解答】证明：（1）取AE中点H，∵AD1=AE=D1E，AB=AE=BE，∴D1H⊥AE，BH⊥AE，∵D1H∩BH=H，∴AE⊥面HBD1，∵BD1⊂平面HBD1，∴BD1⊥AE．解：（2）以AE中点H为原点，HA为x轴，HB为y轴，过H作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，设二面有D1﹣AE﹣D的平面角的大小为θ，A（1，0，0），B（0，，0），D1（0，﹣，），C（﹣2，，0），CD1==，解得，∴D1（0，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣），设平面ABD1的一个法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（），平面ABC的法向量=（0，0，1），设二面角D1﹣AB﹣C的平面角为θ，则cosθ==．∴二面角D1﹣AB﹣C的平面角的余弦值为．22．（15分）已知曲线C上的动点P（x，y）到点F（0，1）的距离比到直线l：y=﹣2的距离小1．动点E在直线l上，过点E分别做曲线C的切线EA，EB，切点为A，B．（1）求曲线C的方程；（2）求|AB|的最小值；（3）在直线l上是否存在一点M，使得△ABM为以AB为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用抛物线的定义，可得曲线C的方程x2=4y．（2）设E（a，﹣2），A，B的坐标，由题设知x12﹣2ax1﹣8=0．同理可得：x22﹣2ax2﹣8=0所以x1+x2=2a，x1•x2=﹣8，可得AB中点，由此可知直线AB方程，即可求|AB|的最小值；（3）由（2）知AB中点，直线AB的方程为，分类讨论，利用条件，即可得出结论．【解答】解：（1）∵曲线C上的动点P（x，y）到点F（0，1）的距离比到直线l：y=﹣2的距离小1，∴P的轨迹是以（0，1）为焦点的抛物线，曲线C的方程x2=4y；（2）设E（a，﹣2），A（x1，），B（x2，），∵，∴y′=，过点A的抛物线切线方程为y﹣=1（x﹣x1），∵切线过E点，∴整理得：x 12﹣2ax1﹣8=0同理可得：x22﹣2ax2﹣8=0，∴x1，x2是方程x2﹣2ax﹣8=0的两根，∴x1+x2=2a，x1•x2=﹣8，可得AB中点为（a，）又=，∴直线AB的方程为y﹣=（x﹣a）即y=x+2，∴|AB|=，∴a=0时，|AB|的最小值为4；（3）由（2）知AB中点N（a，），直线AB的方程为y=x+2．当a≠0时，则AB的中垂线方程为y﹣=﹣（x﹣a），∴AB的中垂线与直线y=﹣2的交点M（，﹣2），∴|MN|2=∵|AB|=，若△ABM为等腰直角三角形，则|MN|=|AB|，∴=（）2，解得a 2=﹣4，∴不存在当a=0时，经检验不存在满足条件的点M综上可得，不存在一点M ，使得△ABM 为以AB 为斜边的等腰直角三角形．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =xxx①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f(p)f (q)()2bf a-0x x>O-=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
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金华十校2017-2018学年第一学期调研考试高二数学试题卷选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知平面α的法向量为(2,2,4)n =- ，(1,1,2)AB =-- ，则直线AB 与平面的位置关系为（ ）A ．AB α⊥ B ．AB α⊂C ．AB 与α相交但不垂直D ．//AB α2.已知命题：“若a b <，则22ac bc <”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．43.长方体1111ABCD A BC D -，11,2,3AB AD AA ===，则异面直线11A B 与1AC 所成角的余弦值为（ ）A C ．13 4.已知命题:p 直线l 过不同两点111222(,),(,)P x y P x y ，命题:q 直线l 的方程为211()()y y x x --=211()()x x y y --，则命题p 是命题q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件5.已知圆22220x y x y a ++-+=截直线20x y ++=所得的弦长为4，则实数a 的值是（ ）A ．2-B ．4- C.6- D ．8-6.以下关于空间几何体特征性质的描述，正确的是（ ）A ．以直角三角形一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体是圆锥B ．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱C.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥D ．两底面互相平行，其余各面都是梯形，侧棱延长线交于一点的几何体是棱台7.空间中，,,αβγ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，则下列命题中正确的是（ ）A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若αβ⊥，l β⊥，则//l αC.若l α⊥，//l β，则αβ⊥ D ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥8.斜率为k 的直线l 过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，交抛物线于,A B 两点，点00(,)P x y 为AB 中点，作OQ AB ⊥，垂足为Q ，则下列结论中不正确的是（ ）A ．0ky 为定值B ．OA OB ⋅ 为定值C.点P 的轨迹为圆的一部分 D ．点Q 的轨迹是圆的一部分9.在正方体1111ABCD A BC D -中，点Q 为对角面11A BCD 内一动点，点M N 、分别在直线AD 和AC 上自由滑动，直线DQ 与MN 所成角的最小值为θ，则下列结论中正确的是（ ）A ．若30θ=︒，则点Q 的轨迹为双曲线的一部分B ．若45θ=︒，则点Q 的轨迹为双曲线的一部分C.若60θ=︒，则点Q 的轨迹为双曲线的一部分D ．若75θ=︒，则点Q 的轨迹为双曲线的一部分10.定义在(0,)2π上的函数()f x ，其导函数为'()f x ，若'()0f x >和'()()tan 0f x f x x +<都恒成立，对于02παβ<<<，下列结论中不一定成立的是（ ）A ．()cos ()cos f f αββα>B ．()cos ()cos f f ααββ<C. ()sin ()sin f f αββα> D ．()sin ()sin f f ααββ>非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11.已知a 为实数，直线1:660l ax y +-=，直线2:2350l x y ++=，若12//l l ，则a = ；若12l l ⊥，则a = ．12.已知抛物线2:4C x y =，则其焦点坐标为 ，直线:23l y x =+与抛物线C 交于,A B 两点，则||AB = ．13.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ，表面积为 ．14.已知函数32()(6)1f x x ax a x =++++，（1）若函数()f x 的图像在点(1,(1))f 处的切线斜率为6，则实数a = ；（2）若函数在(1,3)-内既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是 ．15.已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 是其渐近线在第一象限内的点，点Q 在双曲线上，且满足120PF PF ⋅= ，24PF PQ = ，则双曲线的离心率为 ．16.正四面体ABCD 的棱长为2O 过点D ，MN 为球O 的一条直径，则AM AN ⋅ 的最小值是 ．17.已知12,F F 为椭圆22:143x y C +=的左、右焦点，点P 在椭圆C 上移动时，12PF F ∆的内心I 的轨迹方程为 ．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知函数2()ln f x x ax x =+-.（Ⅰ）若1a =，求函数()y f x =的最小值；（Ⅱ）若函数()y f x =在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围.19.如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为菱形，AC =12A A BD ==.（Ⅰ）证明：1//BB 面AEC ；（Ⅱ）若E 为1BD 中点，求二面角E DC A --的余弦值.20.点P 是圆22:20C x y x +-=上一动点，点(3,0)Q .（Ⅰ）若60PCQ ∠=︒，求直线PQ 的方程；（Ⅱ）过点Q 作直线CP 的垂线，垂足为M ，求||||MC MQ +的取值范围.21.如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC =，AP PC =，60ABC ∠=︒，AP PC ⊥，直线BP 与平面ABC 成30︒角，D 为AC 的中点，PQ PC λ=，(0,1)λ∈.（Ⅰ）若PB PC >，求证：平面ABC ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若PB PC <，求直线BQ 与平面PAB 所成角的正弦值的取值范围.22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，过点(0,2)M b 的直线交椭圆于,A B 两点，P 为AB 中点，连接PO 并延长交椭圆于点Q ，记直线AB 和OP 的斜率为分别为1k 和2k ，且12410k k +=.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）当QMP ∠为直角时，求PQM ∆的面积.试卷答案一、选择题1-5:ACACB 6-10:DCCAD二、填空题11.4，-9 12. (0,1)，43，5+，33(,3)7-- 15.2 16. 4-2231(0)x y y +=≠ 三、解答题18.解：（Ⅰ）1a =，则2()ln f x x x x =+-. ∴2121(21)(1)'()21x x x x f x x x x x+--+=+-==， ∴()f x 在1(0,)2单调递减，在1(,)2+∞单调递增. ∴min 1313()()ln ln 22424f x f ==-=+. （Ⅱ）由已知1'()20f x x a x =+-≤在[1,2]x ∈上恒成立，∴12a x x≤-. 令1()2([1,2])g x x x x =-∈，21'()20g x x=--≤. ∴()g x 在[1,2]上单调递减，∴min 7()(2)2g x g ==-. ∴72a ≤-. 19.解：（Ⅰ）设AC BD O = ，连EO ，∵ABCD 是菱形，∴O 是BD 中点.又E 是1BD 中点，∴1//OE DD ，又11//BB DD ，∴1//OE BB ，而OE ⊂面AEC ，1BB ⊄面AEC ，∴1//BB 面AEC .（Ⅱ）过O 作OF CD ⊥，垂足为F ，连OF ，∵1DD ⊥面ABCD ，1//OE DD ，∴OE ⊥面ABCD .∴EFO ∠是二面角E OC A --的平面角.∵1112OE DD ==，OF =，∴EF =，cos EFO ∠=.故二面角E DC A --.20.解：（Ⅰ）22:(1)1C x y -+= .∵1CP =，2CQ =，60PCQ ∠=︒，∴CP PQ ⊥，PQ 是C 的切线.设直线:(3)PQ y k x =-，即30kx y k --=，1=，解得：k =.∴直线PQ 的方程为：3)y x =-. （Ⅱ）∵CM MQ ⊥，∴M 在以CQ 为直径的圆上22||||4MC MQ +=，设||MC x =，||MQ y =，||||MC MQ t +=，y x t =+与224(0,0)x y x y +=≥≥有交点，∴2t ≤≤21.解：∵AB BC =，AP PC =，D 为AC 的中点，∴BD AC ⊥，PD AC ⊥，∴AC ⊥平面PBD ，∴直线BP 与平面ABC 所成角是PBD ∠，30PBD ∠=︒.设2AC a =，则BD =，PD a =，由余弦定理得PB a =或2a .（Ⅰ）若PB PC >，则2PB a =，∴在PBD ∆中222PD DB PB +=.∴PD DB ⊥，又PD AC ⊥，AC DB D = ，∴PD ⊥平面ABC ，∴平面PAC ⊥平面ABC .（Ⅱ）若PB PC <，∴PB a =，∵PQ PC λ= ，∴PQ a =，BQ ，设Q h 是Q 到面PAB 的距离，C h 是C 到面PAB 的距离，则Q C h h λ=，由等体积法：211)3234C a a a h ⋅=⋅⋅，∴C h =，∴Q h a =. 设直线BQ 与平面PAB 所成角为α，则sin HQ BQ α==7a =7=. ∵(0,1)λ∈1(0,)2.∴0sin α<<故直线BQ 与平面PAB所成角的正弦值的取值范围为(0,7. 22.解：（Ⅰ）由已知2a =，设直线1:2AB y k x b =+，联立椭圆方程消去y 可得： 222211(4)16120b k x k bx b +++=，则222211(16)48(4)0k b b b k ∆=-+>，即221430k b ->.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)P x y ，由韦达定理可得：112221212221164124k b x x b k bx x b k -⎧+=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩， 点P 为AB 中点，则1022184k b x b k -=+，3022124b y b k =+，故2214b k k =-， 由12410k k +=得21b =，所以1b =， 故椭圆方程为：2214x y +=. （Ⅱ）直线11:4PQ y x k =-，联立椭圆方程2214x y +=消去y 可得： 221211614k x k =+，则Q ，点(0,2)M ，∴MQ k ==1. ∵QMP ∠为直角，∴11MQ k k =-，可解得21516k =. 故1||||2MPQ P Q S OM x x ∆=-=12||2939⨯+=.。