2.排列与组合

例讲一：排列问题
有 3 名男生、4 名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数． (1)选 5 人排成一排； (2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人； (3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻．
【解】 (1)从 7 人中选 5 人排列，有 A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种)． (2)分两步完成，先选 3 人站前排，有 A37种方法，余下 4 人站后排，有 A44种方法，共有 A37·A44＝5 040(种)． (3)法一(特殊元素优先法)：先排甲，有 5 种方法，其余 6 人有 A66种排列方法，共有 5×A66 ＝3 600(种)． 法二(特殊位置优先法)：首尾位置可安排另 6 人中的两人，有 A26种排法，其他有 A55种排 法，共有 A26A55＝3 600(种)．
例讲二：组合问题
某市工商局对 35 种商品进行抽样检查，已知其中有 15 种假货．现从 35 种商品 中选取 3 种． (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？
总结：
两类有附加条件的组合问题的解法
1.“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：若“含”，则先将这些元素取出， 再由另外元素补足；若“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
2.“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须十分重视“至 少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法或间接法都可以求解， 通常用直接法，分类复杂时，用间接法求解．
排列与组合
一.定义与性质
排列数
组合数
定义 公式 性质
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元
元素的所有不同排列的个数
素的所有不同组合的个数
Amn ＝n(n－1)(n－2)… (n－m＋1)＝（n－n！m）！
Cmn ＝AAmnmm＝
n（n－1）（n－2）…（n－m＋1） m！
【解】 (1)从余下的 34 种商品中， 选取 2 种有 C234＝561 种取法， 所以某一种假货必须在内的不同取法有 561 种． (2)从 34 种可选商品中，选取 3 种，有 C334种或者 C335－C234＝C334＝5 984 种取法． 所以某一种假货不能在内的不同取法有 5 984 种． (3)从 20 种真货中选取 1 种，从 15 种假货中选取 2 种有 C120C215＝2 100 种取法． 所以恰有 2 种假货在内的不同的取法有 2 100 种．
解析：选 B.根据题意，分 2 种情况讨论：①乙和甲一起去 A 社区，此时将丙丁二人安排 到 B、C 社区即可，有 A22＝2 种情况，②乙不去 A 社区，则乙必须去 C 社区，若丙丁都 去 B 社区，有 1 种情况，若丙丁中有 1 人去 B 社区，则先在丙丁中选出 1 人，安排到 B 社区，剩下 1 人安排到 A 或 C 社区，有 2×2＝4 种情况，则不同的安排方法种数有 2＋ 1＋4＝7 种．故选 B.
Ann＝n！，0！＝1
Cmn ＝Cnn－m，Cmn ＋C mn －1＝Cmn＋1
二.技巧
(1)特殊元素优先安排． (2)合理分类与准确分步． (3)排列、组合混合问题要先选后排． (4)相邻问题捆绑处理． (5)不相邻问题插空处理． (6)定序问题倍缩法处理． (7)分排问题直排处理． (8)“小集团”排列问题先整体后局部． (9)构造模型． (10)正难则反，等价转化．
作业：
1.用数字 1，2，3，4，5 组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为
2.从 4 名男同学和 3 名女同学中选出 3 名参加某项活动，则男女生都有的选法种数 是
Байду номын сангаас
例讲三：综合应用
1.将标号为 1，2，3，4 的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮 球，且标号 1，2 的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为
2.从 0，2 中选一个数字，从 1，3，5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数， 其中奇数的个数为
3.甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去 A、B、C 三个不同社区进行帮扶活动， 每人只能去一个社区，每个社区至少一人．其中甲必须去 A 社区，乙不去 B 社区，则不 同的安排方法种数为