实变函数习题答案 北大版 周民强汇编
实变函数课后习题答案_北大版_周民强
证: lim En = [a, b]\E.
n→∞ n→∞
n→∞
∀ x ∈ [a, b] \ E, ∵ lim fn (x) = 1, ∴ ∃N, ∀ n ≥ N, fn (x) ≥
n→∞ 1 , i.e. 2 n→∞ n→∞
∞
{x ∈ [0, 1] : |f (x)| >
n=1
1 } n
=
∞
+ − 1 < |f (x1 ) + f (x2 ) + · · · + f (xp )| ≤ M, p < nM , 所以 E1 则 p· n /n 只含有限个数, 同理 E1/n 也只含有限个数, 由此可得 E 可数.
n=1
+ (E1 /n
S (C, r3 )), S (P, r) 表示以 P 为圆心 r 为半径的球面 }, E 可数.
10. 设 E 是平面 R2 中的可数集, 试证明存在互不相交的集合 A 与 B , 使得 E = A ∩ B, 且任一平行于 x 轴的直线交 A 至多是有限个点, 任一平行于 y 轴的直线交 B 至多是有限 个点. 2
证: ∵ E 可数, ∴ E 中点的横坐标, 纵坐标集合也可数, 分别记为 X = {x1 , x2 , · · · , xn , · · · }, Y = {y1 , y2 , · · · , yn , · · · }, 如此就可记 E = {(xi , yj ) ∈ E : i, j ∈ N}, 作从 E 到 N2 的映 射 f : f ((xi , yj )) = (i, j ); 记 A1 = {(i, j ) : i ≤ j }, B1 = {(i, j ) : i > j }, 令 A = f −1 (A1 ), B = f −1 (B1 ) 即可. 11. 设 {fα (x)}α∈I 是定义在 [a, b] 上的实值函数族. 若存在 M > 0, 使得 |fα (x)| ≤ M, x ∈ [a, b], α ∈ I, 试证明对 [a, b] 中任一可数集 E , 总有函数列 {fαn (x)}, 存在极 限 lim {fαn (x)}, x ∈ E.
实变函数课后习题答案
第一章习题1.证明：(1) (A -B )-C =A -(B ∪C ); （2）(A ∪B )-C =(A -C )∪(B -C ). 证明：(1) 左=(A ∩B c )∩C c =A ∩(B c ∩C c )= A ∩(B ∪C )c =右； （2）左=(A ∪B )∩C c =(A ∩C c )∪(B ∩C c )=右. 2.证明： (1)();(2)().IIIIA B A B A B A B αααααααα∈∈∈∈-=--=-(1)ccI IA B A B αααα∈∈⎛⎫=== ⎪⎝⎭证明：左（）右；(2)()c cI I A B A B αααα∈∈⎛⎫=== ⎪⎝⎭左右.111111.{},,1.{}1.n n n n n nnA B A B A A n B B A n νννννν-===⎛⎫==- ⎪⎝⎭>=≤≤∞ 3 设是一列集合，作证明：是一列互不相交的集合，而且，证明：用数学归纳法。
当n=2时，B 1=A 1,B 2=A 2-A 1, 显然121212B B B B B B n k =∅== 且，假设当时命题成立，1211,,,kkk B B B B A νννν===两两互不相交，而且，111111111kk k kkkk k n k B A A B A BA B νννννννν++=++====+=-==-⇒下证，当时命题成立，因为而，所以11211+1111111111111,,,;k k k k k k k k k kk k k k k B B B B B B B B B B A A A A A A A νννννννννννννννν++=++===+++====⎛⎫=∅ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，于是，两两互不相交;由数学归纳法命题得证。
{}21214.0,,(0,),1,2,,n n n A A n n A n-⎛⎫=== ⎪⎝⎭设求出集列的上限集和下限集。
实变函数周民强思考题
实变函数周民强思考题中的特定函数1. 函数的定义实变函数是数学分析中的一个概念，它是指定义在实数集上的函数。
对于给定的实数集上的一个函数，如果它的定义域和值域都是实数集，那么就称该函数为实变函数。
周民强思考题中涉及到的特定函数是指在周民强所著《数学分析习题与解答》一书中所出现的一些与实变函数相关的思考题。
这些思考题旨在帮助读者深入理解实变函数的性质和应用，加深对相关概念和定理的理解，并提供一些具体问题来检验读者对于这些概念和定理的掌握程度。
2. 函数的用途通过解答周民强思考题中涉及到的特定函数，读者可以达到以下目标：•熟练掌握实变函数相关概念和性质；•掌握使用极限、连续性、可导性等工具来研究和刻画实变函数；•锻炼自己分析问题、解决问题和证明问题能力；•深入理解并应用实变函数相关知识。
3. 特定函数示例接下来，我们将介绍周民强思考题中涉及到的两个特定函数，并详细解释它们的定义、用途和工作方式。
3.1 函数一,x≠0函数名称：f(x)=x|x|函数定义：这是一个定义在实数集上的函数，当x不等于0时，函数值等于x除以x的绝对值。
当x=0时，该函数没有定义。
函数用途：这个函数主要用于研究实数集上的符号变化。
通过这个函数，我们可以判断给定实数x的正负性。
工作方式：•当x>0时，由于x=|x|，所以f(x)=x=1；x=−1。
•当x<0时，由于x=−|x|，所以f(x)=x−x综上所述，在实数集上除了0之外的任何实数x都有对应的函数值。
通过这个特定函数可以方便地判断给定实数的正负性。
3.2 函数二函数名称：f(x)={1,x∈ℚ0,x∉ℚ函数定义：这是一个定义在实数集上的函数，当x是有理数时，函数值为1；当x是无理数时，函数值为0。
函数用途：这个函数主要用于研究有理数和无理数之间的关系。
通过这个函数，我们可以刻画有理数和无理数在实数集中的分布特性。
工作方式：•当x是有理数时，根据定义，f(x)=1；•当x是无理数时，根据定义，f(x)=0。
实变函数测试题与答案
实变函数试题一，填空题1. 设1,2n A n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,1,2n =,则lim n n A →∞= . 2. ()(),,a b -∞+∞,因为存在两个集合之间的一一映射为3. 设E 是2R 中函数1co s ,00,0x y x x ⎧≠⎪=⎨⎪ =⎩的图形上的点所组成的集合，则E '= ，E ︒= .4. 若集合nE R ⊂满足E E '⊂,则E 为 集. 5. 若(),αβ是直线上开集G 的一个构成区间,则(),αβ满足:, .6. 设E 使闭区间[],a b 中的全体无理数集,则mE = .7. 若()n mE f x →()0f x ⎡⎤=⎣⎦,则说{}()n f x 在E 上 . 8. 设nE R ⊂,0nx R ∈,若 ,则称0x 是E 的聚点.9. 设{}()n f x 是E 上几乎处处有限的可测函数列,()f x 是E 上几乎处处有限的可测函数,若0σ∀>,有 ,则称{}()n f x 在E 上依测度收敛于()f x . 10. 设()()n f x f x ⇒,x E ∈,则∃{}()n f x 的子列{}()jn fx ,使得.二,判断题.正确的证明,错误的举反例. 1. 若,A B 可测,A B ⊂且A B ≠,则mA mB <.2. 设E 为点集,P E ∉,则P 是E 的外点.3. 点集11,2,,E n⎧⎫=⎨⎬⎩⎭的闭集. 4. 任意多个闭集的并集是闭集.5. 若nE R ⊂,满足*m E =+∞,则E 为无限集合. 三,计算证明题1.证明:()()()A B C A B A C --=-2.设M 是3R 空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心,有理数为半径的球的全体,证明M 为可数集.3.设nE R ⊂,i E B ⊂且i B 为可测集,1,2i =.根据题意,若有()()*0,i m B E i -→ →∞,证明E 是可测集.4. 设P 是Cantor 集,()[]32ln 1,(),0,1x x P f x x x P⎧+ ∈⎪=⎨ ∈-⎪⎩.求10(L)()f x dx ⎰.5. 设函数()f x 在Cantor 集0P 中点x 上取值为3x ,而在0P 的余集中长为13n的构成区间上取值为16n ,()1,2n =,求1()f x dx ⎰.6. 求极限:13230lim(R)sin 1n nx nxdx n x →∞+⎰.实变函数试题解答一填空题1.[]0,2.2.{}1(,)cos ,0(0,)1x y y x y y x ⎧⎫=≠≤⎨⎬⎩⎭;∅.3.闭集.4.b a -.5.几乎处处收敛于()f x 或a.e.收敛于()f x .6.对000,(,)U x δδ∀> 有{}()0E x -=∅.7.()()n f x f x → a.e.于E . 二判断题1. F .例如,(0,1)A =,[]0,1B =,则A B ⊂且A B ≠,但1mA mB ==.2. F .例如,0(0,1)∉,但0不是(0,1)的外点.3. F .由于{}0E E '=⊄.4. F .例如,在1R 中,11,1n F n n ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,3,4n =是一系列的闭集,但是3(0,1)n n F ∞==不是闭集.5. T .因为若E 为有界集合,则存在有限区间I ,I <+∞,使得E I ⊂,则**,m E m I I ≤=<+∞ 于*m E =+∞ .三,计算证明题. 1.证明如下:2. M 中任何一个元素可以由球心(,,)x y z ,半径为r 唯一确定,x ,y ,z 跑遍所有的正有理数,r 跑遍所有的有理数.因为有理数集于正有理数集为可数集都是可数集,故M 为可数集.3. 令1i i B B ∞==,则i E B B ⊂⊂且B 为可测集,于是对于i ∀,都有i B E B E -⊂-,故()()**0i m B E m B E ≤-≤-,令i →∞,得到()*0m B E -=,故B E -可测.从而()E B B E =--可测.4. 已知0mP =,令[]0,1G P =-,则()1320221130(L)()(L)ln 1(L)(L)()(L)(L)(R)()133PGGPGf x dx x dx x dxf x dxx dx x dxf x dxx =++ =0+ =+ = ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.5. 将积分区间[]0,1分为两两不相交的集合:0P ,1G ,2G ,其中0P 为Cantor集,n G 是0P 的余集中一切长为13n 的构成区间(共有12n -个)之并.由L 积分的可数可加性,并且注意到题中的00mP =,可得6. 因为323sin 1nx nx n x+在[]0,1上连续,13230(R)sin 1nx nxdx n x +⎰存在且与13230(L)sin 1nx nxdx n x +⎰的值相等.易知由于12x 在()0,1上非负可测，且广义积分1012dx x ⎰收敛，则 12x在()0,1上(L)可积，由于323lim sin 01n nx nx n x →∞=+，()0,1x ∈，于是根据勒贝格控制收敛定理，得到1133232300132301lim(R)sin lim(L)sin 11lim sin 100n n n nx nx nxdx nxdx n x n x nx nx dxn x dx →∞→∞→∞=++⎛⎫ = ⎪+⎝⎭ ==⎰⎰⎰⎰.一、判定下列命题正确与否，简明理由(对正确者予以证明，对错误者举处反例)（15分，每小题3分） 1. 非可数的无限集为c 势集 2. 开集的余集为闭集。
实变函数论课后答案第四章4
实变函数论课后答案第四章4第四章第四节习题 1．设()()n f x f x ⇒于E ，()()n g x g x ⇒于E ，证明：()()()()n n f x g x f x g x +⇒+于E证明：0ε∀>，[||()()(()())|][||()()|][||()()|]22n n n n E x f x g x f x g x E x f x f x E x g x g x εεε+-+≥⊂-≥⋃-≥ A B εε⋃@（否则，若[||()()(()())|]n n x E x f x g x f x g x ε∈+-+≥，而x A B εε∉⋃，()c c c x A B A B εεεε∈⋃=⋂|()()||()()|22n n f x f x g x g x εε⇒-<-<|()()(()())||()()||()()|22n n n n f x g x f x g x f x f x g x g x εεεε⇒≤+-+≤-+-<+=矛盾），则[||()()(()())|][||()()|][||()()|]022n n n n mE x f x g x f x g x mE x f x f x mE x g x g x εεε+-+≥≤-≥+-≥→（()(),()()n n f x f x g x g x ⇒⇒） 从而()()()()n n f x g x f x g x +⇒+ 2．设|()|n f x K ≤.a e 于E ，1n ≥，且()()n f x f x ⇒于E ，证明|()|f x K ≤.a e 于E证明：由本节定理2（Riesz 定理）从()()n f x f x ⇒知∃{}()n f x 的子列{}()kn fx 使()lim ()k n k f x f x →∞=.a e 于E设A E ⊂，(\)0m E A =，()()kn f x f x →于A ，从条件|()|kn f x K ≤.a e 于E ，设k n B E ⊂，(\)0k n m E B =,|()|k n f x K ≤.a e 于k n B 上令1()kn k B B A +∞==⋂I ，则B K ⊂，且11(\)()(()(())k k ccccc n n k k m E B m E B m E B A m E A B E +∞+∞===⋂=⋂⋃=⋂⋃⋂U U111()()(\)(\)00k k ccn n k k k m E A m E B m E A m E B +∞+∞+∞===≤⋂+⋂=+=+∑∑∑故(\)0m E B =,,k n x B k B B A ∀∈∀⊂⋂，则|()|k n f x K ≤令k →∞，|()|f x K ≤故x B ∀∈有|()|f x K ≤，从而命题得证 3．举例说明mE =+∞时定理不成立解：取(0,)E =+∞，作函数列1(0,](){0(,)n x n f x x n ∈=∈+∞ 1,2,n =L显然()1n f x →于E 上，但当01ε<<时[;|1|](,)n E x f n ε->=+∞，[;|1|](,)n mE x f m n ε->=+∞=+∞不0→故mE =+∞时定理不成立，即n f f →.a e 于E 不能推出()()n f x f x ⇒于E周民强《实变函数》P108若:n n T R R →是非奇异线性变换，n E R ⊂，则**(())|det |()m T E T m E =⋅ （）|det |T 表示矩阵T 的行列式的绝对值.证明：记{}012(,,,);01,1n i I x i n ξξξξ==≤<≤≤L{}12(,,,);02,1k n i I x i n ξξξξ-==≤<≤≤L显然0I 是2nk 个I 的平移集{}j I x +（1,2,2nk j =L ）的并集，0()T I 是2nk个{}()j T I x +（1,2,2nk j =L ）的并集，且有{}{}***()()()j j m T I x m TI T x m TI +=+=，{}()()j mT I x m TI += 1,2,2nk j =L现在假定（）式对于0I 成立00(())|det |()|det |m T I T m I T =⋅= （） 则 0|det |(())2(())nk T m T I m T I ==因为()2nk m I -=，所以得到()2|det ||det |()nk m TI T T m I -=⋅=⋅这说明（）式对于I 以及I 的平移集成立，从而可知（）式对可数个互不相交的二进方体的并集是成立的（对任意方体0a ∀>，°{}12(,,,);0a n iI x a ξξξξ==≤<L °000(())()|det()|()|det ||det ||det |()n a m T I m T aI T aE m I T aE a T m I =⋅=⋅== °0|det |()|det |()aT m aE I T m I =⋅=） 对一般开集G ，1i i G I +∞==U ，i I 为二进方体，i I 互补相交则111()()()|det |()|det |i i i i i i m TG m TI m TI T m I T mG +∞+∞+∞=======∑∑UT 1-1 1i i TG TI +∞==U ，T 连续，1T -连续 G 开，则()T G 开，从而可测于是应用等测包的推理方法立即可知，对一般点集（）式成立 设G 为有界G δ集1i i G G +∞==I ，i G 开，1nn i i S G ==I ，则n S 开，1n n G S +∞==I 且不妨设11S G =有界，否则令1S G U =⊂ U 有界，令°1G G U =⋂即可. 1T -连续，则i TG 开，n TS 开，TG 可测（1n n TG TS +∞==I ），12TS TS ⊃⊃L ，12n S S S ⊃⊃⊃⊃L L故1()()lim()lim |det |()n n n n n n m TG m TS m TS T m S +∞→+∞→+∞====⋅I 1|det |lim ()|det |()|det |n n n n T m S T m S T mG +∞→+∞====I （n S 开）若G 为无界G δ集，令{};||m E x x m =<，则1m m G G E +∞==⋂U ，m G E ⋂为有界G δ集1()(())lim (())m m n m m TG m T G E m T G E +∞→+∞==⋂=⋂U1lim |det |()|det |lim ()|det |()|det |m m m n n m T m G E T m G E T m G E T mG+∞→+∞→+∞==⋅⋂=⋂=⋂=U n E R ∀⊂，T 线性，则n E R ∀⊂若0mE =，则(())0m T E =（后面证）n E R ∀⊂，则由注释书P69定理3，存在G δ集G E ⊃，*mG m E =，若E 有界，*m E <+∞则*(\)0m G E =，故**0((\))(\))m T G E m TG TE == （T 1-1）****()(\))()0()()m TG m TG TE m TE m TE m TG ≤+=+≤则*()()m TE m TG =，故**()()|det ||det |m TE m TG T mG T m E ===若E 无界，{};||m E x x m =<则1m m E E E +∞==⋂U ，m E E ⋂Z****1()(())lim (())lim |det |()m m m n n m m TE m T E E m T E E T m E E +∞→+∞→+∞==⋂=⋂=⋂U**11|det |lim ()|det |()|det |(())m m m n m m T m E E T m G E T m E E +∞+∞→+∞===⋂=⋂=⋂U U*|det |()T m E =:n n T R R ∀→线性，若*()0m E =，则*()0m TE =证明：(0,,1,0,,0)n i e R =∈L L 为n R 的基，()i i T e x =， n x R ∀∈，12(,,,)n x ξξξ=L ,1122n n Tx x x x ξξξ=+++L ,令1221(||)i i M x +∞==∑，则112222112211|()|||||||||||||(||)(||)||nnn n i i i i T x x x x x M x ξξξξ==≤+++≤=∑∑L则|()()|||,,n T x T y M x y x y R -≤-∀∈（即T 是Lipschitz 连续的）∀一边平行于坐标平面的开超矩体{}121122(,,,),(,)(,)(,)n i i i n n I x a b a b a b a b ξξξξ==<<=⨯⨯⨯L L 于12n I I I ⨯⨯⨯L221()(||)n ni i i diamI b a +∞==-∑12n TI TI TI TI =⨯⨯⨯L ，(,)i i i I a b =开，1T -连续，则i TI 是1R 中开集从而可测，从而12TI TI ⨯是2R 中可测集，由归纳法知12n TI TI TI ⨯⨯⨯L 是可测集若（）式成立*0()|det |()o m TI T m I =，则∀矩体{},i i i I x a b ξ=<<%，1ni i I I ==%U ，iI 为正方体，则对开集G 也有()|det |()m TG T m G =，特别对开区间{},i i i I x a b ξ=<<这一开集有*()|det |()m TI T m I =则可知n E R ∀∈，若*()0m E =，则*()0m TE =事实上，0ε∀>，{}1i i I +∞=∃开区间，1i i E I ∞=⊂U ，1||i i I ε∞=<∑****111()(())()()i i i i i i m TE m T I m TI m TI ∞∞∞===≤=≤∑U U111|det |()|det |()|det ||||det |i i i i i i T m I T m I T I T ε∞∞∞======<∑∑∑令0ε→知*()0m TE =若（）成立，则T 将可测集映为可测集，还要看（）证明过程是否用到T 将可测集映为可测集或*()0m E =推出*()0m TE =这一性质！下面证（）成立.任一线性变换至多可分解为有限个初等变换的乘积（i ）坐标12,,,n ξξξL 之间的交换 （ii ）11,i i ξβξξβξ→→ (2,,)i n =L (iii) 112,i i ξξξξξ→+→ (2,,)i n =L 在（i ）的情形显然00|det |1,T TI I ==（）成立在（ii ）的情形下，T 矩阵可由恒等矩阵在第一行乘以β而得到{}1211()(,,,),01,2,3,,,0(0),0(0)o n i T I x i n ξξξξξβββξβ==≤<=≤<><≤<L L 当当 从而可知0(())||m T I β= （）式成立在（iii ）的情形，此时det 1T = （1100010000100001T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L M M M OM L） 而且{}01212()(,,,),01(1),01n i T I x i ξξξξξξ==≤<≠≤-<L X @ （{}{}00122();,(,,,),01,1n i T I y x I y Tx i n ξξξξξ=∃∈==+≤<≤≤L01221221(),(,,,),01,01n i y T I y ξξξξξξξξξ∀∈=+≤<≤+-=<L则{}01212()(,,,),01(1),01n i T I x i ξξξξξξ⊂=≤<≠≤-<L 反过来，12(,,,)n y X ξξξ∀=∈L ，01(1)i i ξ≤<≠则1201ξξ≤-<令122(,,,)n x ξξξξ=-L 则0x I ∈，12(,,,)n Tx y ξξξ==L 则0()y T I ∈，0()X T I ⊂ ）记{}1201(,,,)(),1n A x T I ξξξξ==∈<L {}012()(,,,),01(1)n i T I x i ξξξξ==≤<≠L10(1,0,,0),()\e B T I A ==L ，则{}12021(,,,),n A x I Y ξξξξξ==∈≤L @ {}112012\(,,,),n B e x I C ξξξξξ==∈<L @（12(,,,)n x Y ξξξ∀=∈L ，则01,1i i n ξ≤<≤≤，21ξξ≤，则12001,()x T I ξξ≤-<∈，且11ξ<，则x A ∈反过来，y A ∀∈，则存在120(,,,)n x I ξξξ=∈L ，01i ξ≤<，使122(,,,)n y Tx ξξξξ==+L ，12001,y I ξξ≤+<∈，且212,y YOK ξξξ≤+∈！1y B e ∀∈-，存在00()\z T I A ∈，使1\y z e =， 0x I ∃∈，122(,,,)01n i z Tx ξξξξξ==+≤<L121z A ξξ∉+≥，，1122\(1,,,)n z e ξξξξ=+-L ，12210011,\z e I ξξξ≤+-≤<∈1221111,\y z e C ξξξξ+-≤⇔<=∈反过来，y C ∀∈，12012(,,,),,01,1n i y I i n ξξξξξξ=∈<≤<≤≤L112(1,,,)n z y e ξξξ=+=+L ,则 1212011(,01)i ξξξξξ≤-+<<≤<则0()z T I ∈，又10111,()\,\,z A z T I A B z e y z B ξ+≥∉∈==∈，则11\,\,y B e C B e C B ∈∈=得证）由此得到0011(),{(),()T I A B A B I A B e A B e =⋃⋂=∅=⋃-⋂-=∅010(())(\)1|det |m T I mA mB mA m B e mI T =+=+===故（）式成立 这里用到A，B可测，0(),(,)(,)(,)A T I H H =⋂=-∞+∞⨯-∞+∞⨯⨯-∞+∞L ，0()T I 可测，H 开，则A可测，0()\T I A B =可测故还是需要：若:n n T R R →为非奇异线性变换，则Borel ∀集n E R ⊂，()T E 是可测集，从而∀方块I ，()T I 可测，0()T I 可测有了，这就有（），从（）知T 将零测集E 变为零测集，从而有T 将可测集变为可测集1:n f R R →可测11()BorelB R f B -⇔∀⊂为可测集（江则坚P109习题10）现设:n n f R R →连续，则∀开集n O R ⊂，1()f O -是开集， 记{}1|()n n B R f B R -=⊂是中的可测子集1B ，可证1B 是一个σ-代数，且包含全部开集，从而包含全部Borel 集证1）1()f -∅∈∅=∅，1B 可测2）若A ∈1B ，则1111()()()()c n n f A f R A f R f A ----=-=-显然也可测，c A ∈1B3）若,(1,2,3,)i A i ∈=L 1B ，则i ∀，1()i f A -可测，1111()()i i i i f A f A +∞+∞--===U U 可测1B 是σ-代数 f 连续，则1()openOf O -∀∈1B ，1B 包含全部开集，从而包含全部Borel 集:n n T R R →为非奇异线性，1T -显然连续I ∀方体半开半闭（显然为Borel 集），11()T I TI --=可测 1[,)n i i i I a b ==∏为Borel ，111[,)ni i i m I a b m+∞===-∏I事实上，0ε∀>从()()mkm m n f x g x →（当k →+∞）知00(,)N N m ε∃=，使当0k N ≥时|()()|m km m n f x g x ε→<而当0max(,(,))k m N m ε≥时，k m k k n n ≥，故|()()|k km m n f x g x ε→<（k k n 是{}1m k k n +∞=的子列中的一个元，故,m kk m k k l n n +=，0l ≥则0(,)k N m ε≥时,0m k k l N +≥ 则,|()()||()()|k mkk l m km m m m n nf xg x f x g x ε+→=→<）()k m f x 收敛于1()m g x R ∈，即k f 在E 上收敛.若条件改为：F 是一族一致有界的[,]a b 上的函数族，则结论成立 令{}123,,,[,]E x x x a b =⊂L 则0,|()|,[,]M f x M x a b ∃>≤∀∈， {}11()|x f x f =∈F F ，则1x F 是1R 中的有界集，由聚点原理∃一列n f ∈F 和1()g x R ∈，11()()kn f g x n →→∞同样令{}11(2)2()|1,2,kx n f x k ==L F （n f 为上述取定的一列n f ∈F ）故12|()|kn f x M ≤，由聚点原理，存在1kn f 的子列2kn f 和1()g x R ∈（21k k n n k ≥≥）使22()kn f g x →，由此用归纳法可作出m N ∀∈，{}1mkn k f +∞=⊂F （m kn f 为1m kn f -的子列）使1()m km n f g x R →∈令k kk n f f =，则n f ∈F 且m ∀有()k km n f g x →故由Berstein 定理即知(0,1)B C c ≤≤=，C c =方法②建立十进位小数的展式中缺7的所有无尽十进位小数之集A 和(0,1)上一切无尽九进位小数之集B 之间的一一对应.集A 中每个十进位小数对应B 中这样的小数，该小数是前一个小数中凡是数字9都有数字7代替后而得到的，这个对应是一一的（九进小数中不含9，而A 中不含7，将9a 7，而其他不动）显然(0,1),B c A c === 周民强书P35思考题：6．设F 是定义在[,]a b 上的实值函数族，[,]E a b ⊂是可数集，则存在n f ∈F （1,2,n =L ）使得{}()n f x 在E 上收敛.我怀疑本题有错：若不假设F 是[,]a b 上一致有界的，会有反例： 令[,]a b =[0,1]，设{}|1,2,m f m ==L F 这里(),[,]m f x m x a b =∀∈，则显然任取无穷个(1,2,)()kkk n n f k f x n ∈==→+∞L F 于[,]x a b ∀∈，故()n f x 不会收敛！0a =时，{}111|lim ()0[|()]n jn k n i n j iE x f x E x f x k +∞+∞+∞+∞→∞====>=>UIUU 故还有：[|lim ()][|lim(())][|lim(())]n n n nn n E x f x a E x f x a E x f x a →∞→∞→∞<=--<=->- 111111[|()][|()]j j k n i n j ik n i n j i E x f x a E x f x a k k +∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞=========->-+=<-UI UU UI UU鄂强91：介于0与1之间，而十进展开式中数字7的一切实数所成立之集具有什么势证明：①从江则坚CH1§题知2N c =，且从证明中知2N A ∀⊂与之1-1对应的是(1)(2)0.(0,1)A A χχ∈L ，故(0,1)中小数点全是0，1两位数字构成的数组成的集合，(0,1)B 满足(0,1)2N B c ==，而十进展开式中缺数字7的一切实数之集C 满足(0,1)B C ⊂⊂附加题：徐森林书设()(1,2,)i f x i =L 为定义在n R 上的实函数列，适用点集 1{|()},1,2,i x f x i j j ≥=L 表示点集[|lim ()0]n n x f x →∞> 证明：江则坚书第一章第一节习题8：若()()n f x f x →于E ，则1a R ∀∈有11[|()]liminf [|()]n k E x f x a E x f x a k +∞=≤=≤+I 111111[|()]liminf [|()][|()]c n i k k k n i n E x f x a E x f x a E x f x a k k +∞+∞+∞+∞+∞=====⎛⎫>=≤+=>+ ⎪⎝⎭U I UI U 即111[|lim ()][|()]n i n k n i n E x f x a E x f x a k+∞+∞+∞→∞===>=>+UI U 另一方面，{}()n f x ∀易知{}|sup ()[|()]m m m n m n E x f x a E x f x a +∞≥=>=>U 故{}1|lim ()[|inf sup ()]n m n n m n E x f x a E x f x a →∞≥≥>=> 111111[|limsup ()][|sup ()][|()]m m m n m n m i k n i n k n i n m i E x f x a E x f x a E x f x a k k +∞+∞+∞+∞+∞+∞+∞→∞≥≥========>=>+=>+UI U UI UU思考:若A 不可测, B 也不可测,且(,)0A B ρ>,则A B ⋃不可测((,)0A B ρ=显然不对, 1,,(,)0,R Q B R Q R Q R R ρ===⋃=可测 至少当,A B 有一个有界时,结论是对的 若存在开集G 使G A ⊂,G B ⋂=∅,不妨设A 有界, mG <+∞,则若A B ⋃可测,则****(())(())()c mG m G A B m G A B m A m G A =⋂⋃+⋂⋃=+- )。
实变函数论课后答案解析第四章4
现设 连续，则 开集 ， 是开集，
记 ，可证 是一个 代数，且包含全部开集，从而包含全部 集
证1） 可测
2）若 ，则 显然也可测，
3）若 ，则 ， 可测， 可测 是 代数
连续，则 ， 包含全部开集，从而包含全部 集
为非奇异线性， 显然连续
方体半开半闭（显然为 集）， 可测
（i）坐标 之间的交换
（ii）
(iii)
在（i）的情形显然 （2.9）成立
在（ii）的情形下， 矩阵可由恒等矩阵在第一行乘以 而得到
从而可知 （2.9）式成立
在（iii）的情形，此时 （ ）
而且
（
则
反过来， ， 则
令 则 ，
则 ， ）
记
，则
（ ，则 ， ，则
，且 ，则反过来， ，则存在 ， Fra bibliotek使， ，且
实变函数论课后答案第四章4
第四章第四节习题
1．设 于 ， 于 ，证明： 于
证明： ，
（否则，若 ，而 ，
矛盾），则
（ ）
从而
2．设 于 ， ，且 于 ，证明 于
证明：由本节定理2（ 定理）从 知 的子列 使
于
设 ， ， 于 ，从条件 于 ，设
， , 于 上
令 ，则 ，且
故
，则
令 ，
故 有 ，从而命题得证
显然
周民强书P35思考题：
6．设 是定义在 上的实值函数族， 是可数集，则存在 （ ）使得 在 上收敛.
我怀疑本题有错：若不假设 是 上一致有界的，会有反例：
令 = ，设 这里 ，则显然任取无穷个 于 ，故 不会收敛！
时，
实变函数参考答案(习题一)
旧版书习题一2.证明：（i ）右边=⊂--))(())((D B C D B A 左边 （ii ）右边=⊃--))(())((D B C D B A 左边3.解：等式右边=)()()(C C C A B A C B A --=- ，我们猜想C C A C =-，即A C ⊂为等式成立的充要条件。
由上充分性是显然的，再注意到由原等式，我们有A CB AC B A C ⊂--=-⊂)()( ，故而必要性也成立。
4.证明：（i ）因为1inf lim ,..,inf lim 100inflim =⇔∈≥∀∈∃⇔∈⇔=n nnA nn n nA A x n n t s N n A x χχ，所以等式成立。
（ii ）因为1sup lim ..,,sup lim 1sup lim =⇔∈≥∃∈∀⇔∈⇔=nknnA nn k n nA A x t s k n N k A x χχ，所以等式成立。
5.证明：先证明}{n B 互不相交。
事实上，Φ=-⊂>∀⊂≥∀n m n m m n n B B A A B n m A B n 故而,,,,1。
再证明集合等式。
等式左边。
等式右边时，时显然成立，当==-=-=≥===-===-=nj j ni i j j ij j ni i j j i A A A A A n n 11111111)()(216.证明：（i ）左边⊃右边是显然的，下证另一边也成立。
右边。
故于是左边，则∈-≤∃>-∈∀x a x f nt s n a x f x ,)(1..,,0)(（ii ）以E 为全集，左边=ca x f E x a x f E x a x f x E })(|{})(|{})(|{->-∈=-≤-∈=≥∞=∞=+-<-=+-≥-=11)(}1)(|{)}1)(|{(n cn i na x f x E na x f x E右边=->=∞= 1}1)(|{n na x f x E7.证明：将需证的等式记为M=F=P 。
《实变函数》习题库参考答案
《实变函数》习题库参考答案一、判断题 1、( √ )理由:由内点定义知，存在A P U ⊂),(0δ，从而对任意的)(0P U ，必含有A 中无穷多个点。
满足聚点定义 2、( √ )理由:[法一]:都具有连续基数,故对等 [法二]:可建立一个映射)2tan()(ππ-⋅--=a b a x x f ,则f(x)为),(b a 到R 的一一映射.3、( √ )理由:由B A ⊂知, A A B B )(-=,从而由有限可加性知，mA A B m mB +-=)(，又由 +∞<mB 知，+∞<-+∞<)(,A B m mA 。
从而移项可得结论。
4、( √ )理由:f(x)在区间[0,5)及[5,10]上均为连续函数，故分别在2个区间上是可测函数， 从而再其和集上也是可测函数。
5、( × )理由:例如有理数集Q ，无理数2是Q 的聚点，但不是其内点。
6、( √ )理由:[法一]:都是可数集,故有相同的基数,即对等。
[法二]:可建立一个映射⎪⎩⎪⎨⎧==+==...2,1,1,11,0,1)(n n x n x x f ,则f(x)为集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧ ,1,,31,21,1,0n 到集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧ ,1,,31,21,1n 的一一映射。
7、( √ )理由:由B A ⊂知A A B B )(-=,且φ=-A A B )(， 故mA mA A B m mB =+-=)(8、( √ )理由:狄利克莱函数⎩⎨⎧-∈∈=.]1,0[,0]1,0[,1)(Q x Qx x D 是[0,1]上的简单函数，故可测。
9、( √ )理由:由于E E ⊆Φ='，所以.}3,2,1{为闭集=E 10、( × )理由:如无界。
，但，则N mN N E +∞<==0 11、( √ )理由:由于可测。
在连续，从而在]2,1[2)(]2,1[2)(-=-=x f x f 12、( √ ) 理由:事实上：)()(***CE T m E T m T m T E +=∀⇔：可测]([)(**CE C T m CE T m +=可测。
实变函数参考答案
习题1解答（A 组题）一、选择题1、C ；2、A ；3、D ；4、C ；5、C ；6、A ；7、A ；8、B ；9、D ；10、C 二、判断题1、×；2、×；3、×；4、×；5、√；6、×；7、×；8、×；9、×； 10、× 三、填空题1、＝；2、∅；3、()0,1；4、[]1,1-；5、,EF EF ；6、()2,3-；7、≥；8、c9、设有两个集合A 和B ，若≤A B ，≥A B ，则=A B 。
四、证明题1、（1）()()()()()\\====C C CC A A B A A B AAB A A AB A B ；（2）()()()()()()\\==C C CC A B CD A B CD A C B D()()()()\==CA C BD A C BD 。
2、111\lim \∞∞∞∞∞∞→∞======⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C Cn n n n n N n N N n N N n N A B A B A B AB ()111lim(\)∞∞∞∞∞∞→∞======⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭C C C n n n n n N n N N n N N n N A B A B A B A B 。
同理可证第2个集合等式。
3、当A =∅时，{}∅张成的环和σ-环均为它自身；张成的代数和σ-代数均为{},X ∅。
当A X =时，{}X张成的环、σ-环、代数和σ-代数均为{},X ∅。
当A 为X 的非空真子集时，{}A 张成的环和σ-环均为{},A ∅；张成的代数和σ-代数均为{},,,cA A X∅。
4、首先，令()()tan 12π⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦f x x ，由于()f x 是()0,1上的严格单调递减的连续函数，且()()()0,10,=+∞f，所以()f x 是()0,1到()0,+∞的一一映射。
实变的一些习题解答
存在y0 ∈ E , 使得
| x0 − y0 | = d( x0 , E ).
证. =⇒ 设E 为闭集. 根据点到集合的距离的定义, 对任何正整数k, 存在yk ∈ E , 使得
d( x0 , E ) 1 | x0 − yk | < d( x0 , E ) + . k 4
显然{yk } ⊂ E 有界, 且 lim | x0 − yk | = d( x0 , E ). 于是{yk }有收敛子列, 不妨
证 令G1 = { x : d( x, A) < d( x, B)}, G2 = { x : d( x, B) < d( x, A)}, 则G1 , G2 均 为开集, 且A ⊂ G1 , B ⊂ G2 , G1 ∩ G2 = ∅.
12. 若A, B ⊂ Rn , A ∩ B = ∅, B ∩ A = ∅, 试证明存在开集G1 , G2 使
得G1 ⊃ A, G2 ⊃ B, 且G1 ∩ G2 = ∅. 证 注意到
d( x, A) = 0, d( x, B) > 0, ∀ x ∈ A, d( x, B) = 0, d( x, A) > 0, ∀ x ∈ B.
从而取上题解答中的开集G1 , G2 即满足要求. 上题是本题的特例.
13. 证明: Rn 中的子集E 为闭集的充分必要条件是, 对任意 x0 ∈ Rn ,
k→∞
设{yk }本身收敛, 从而| x0 − y0 | = d( x0 , E ). 根据E 为闭集知, y0 ∈ E .
⇐= 若 x ∈ E , 则根据所给条件, 存在y0 ∈ E , 使得| x0 − y0 | = d( x0 , E ). 注
意到d( x0 , E ) = 0. 从而 x0 = y0 ∈ E . 即E ⊂ E . 从而E 为闭集.
周民强《实变函数》解答 第四章 lebesgue积分
fE
m(E0) = 0,
E = E0 ∪ E1 ∪ E2,
1 ´ µ ~ [f(x)]1/kdx = [f(x)]1/kdx + [f(x)]1/kdx,
E
E1
E2
E1
[f (x)]1/k ≤ f (x), Lebesgue
1 1 G H | } ¾ ¸ ~ | } ~ lim [f(x)]1/kdx =
678
E
E
lim fk(x)dx = lim fk(x)dx.
k→∞ E
E k→∞
j k B l m n 1 o p w q r 1 G H s t p w q Ek = {x : fk(x) > fk+1(x)}
r u v w r 1 o t u x y x y z 1E{ r s | } ~ W )
m(E2) = 0,
E f (x)dx = E1 f (x)dx +
m(E) = m(E1) + m(E2) = 0.
Ek ⊂ E, m(E\Ek) < 1/k(k = 1, 2, · · ·),,
` a 1 6 7 8 a ' f W f(x) E
lim f (x)dx
k→∞ Ek
9A@CBEg FIh E˜1
678
lim fk(x) = f (x), lim gk(x) = g(x),
k→∞
k→∞
lim
k→∞
gk(x)dx =
E
g(x)dx < ∞,
E
lim
k→∞
fk(x)dx =
E
f (x)dx.
实变函数第一章习题解答
第一章习题参考解答3．等式)()(C B A C B A --=⋃-成立的的充要条件是什么？解： 若)()(C B A C B A --=⋃-，则 A C B A C B A C ⊂--=⋃-⊂)()(. 即，A C ⊂.反过来, 假设A C ⊂, 因为B C B ⊂-. 所以, )(C B A B A --⊂-. 故,C B A ⋃-)(⊂)(C B A --.最后证，C B A C B A ⋃-⊂--)()(事实上，)(C B A x --∈∀, 则A x ∈且C B x -∉。
若C x ∈，则C B A x ⋃-∈)(；若C x ∉，则B x ∉，故C B A B A x ⋃-⊂-∈)(. 从而, C B A C B A ⋃-⊂--)()(.A A CB AC B A C =∅-⊂--=⋃-⊂)()(. 即 A C ⊂.反过来，若A C ⊂，则 因为B C B ⊂-所以)(C B A B A --⊂- 又因为A C ⊂，所以)(C B A C --⊂故 )()(C B A C B A --⊂⋃-另一方面，A x C B A x ∈⇒--∈∀)(且C B x -∉，如果C x ∈则 C B A x )(-∈；如果,C x ∉因为C B x -∉，所以B x ∉故B A x -∈. 则 C B A x ⋃-∈)(. 从而C B A C B A ⋃-⊂--)()(于是，)()(C B A C B A --=⋃-4．对于集合A ，定义A 的特征函数为⎩⎨⎧∉∈=Ax Ax x A ,0,1)(χ， 假设 n A A A ,,,21是一集列 ，证明：（i ）)(inflim )(inf lim x x nnA nnA χχ=（ii ）)(sup lim )(sup lim x x n nA nnA χχ=证明：（i ）)(inf lim n nm N n n nA A x ≥∈⋂⋃=∈∀，N ∈∃0n ，0n m ≥∀时，m A x ∈.所以1)(=x m A χ，所以1)(inf=≥x mA n m χ故1)(inf sup )(inf lim ==≥∈x x mnA nm N b A nχχN n A x n n∈∀⇒∉∀inf lim ，有n k A x n n nm ≥∃⇒⋂∉≥有0)(inf0=⇒=⇒∉≥x A x mnk m A nm A k χχ，故0)(inf sup =≥∈x mA nm N b χ ，即)(inf lim x nA nχ=0 ，从而)(inflim )(inf lim x x nnA nnA χχ=5．设}{n A 为集列，11A B =，)1(11>⋃-=-=i A A B j i j i i 证明（i ）}{n B 互相正交（ii ）i ni i ni B A N n 11,===∈∀证明：（i ）m n N m n ≠∈∀,,；不妨设n>m ，因为m n i n i n n A A A A B -⊂-=-=11，又因为m m A B ⊂，所以m n m n n B A A A B -⊂-⊂，故 ∅=m n B B ，从而 {∞=1}n n B 相互正交.（ii ）因为)1(n i i ≤≤∀，有i i A B ⊂，所以i n i i n i A B 11==⋃⊂⋃，现在来证：i ni i n i B A 11==⋃⊂⋃当n=1时，11B A =；当1≥n 时，有：i ni i ni B A 11===则)()()()()(11111111111i ni n i n i i n i n i n i n i n i i n i B B B A A A A A A =+==++=+=+=-=-==事实上，i ni A x 1=⋃∈∀，则)1(n i i ≤≤∃使得i A x ∈，令}{ni A x i i i ≤≤∈=1|m in 0且则 i ni i i i i i B B A A x 111000=-=⊂=-∈ ，其中，当10=i 时，∅=-=i i i A 110 ，从而， i ni i n i B A 11===6．设)(x f 是定义于E 上的实函数，a 为常数，证明： （i ）})(|{a x f x E >=}1)({1n a x f n +≥∞=(ii)})(|{a x f x E ≥=}1)({1na x f n ->∞=证明：（i ）})(|{a x f x E x >∈∀E x ∈⇒且a x f >)(}1)(|{1)(,na x f x E x E x a n a x f N n +≥∈⇒∈>+≥∈∃⇒且使得 ∈⇒x ⊂>⇒+≥∞=})(|{}1)(|{1a x f x E n a x f x E n }1)(|{1na x f x E n +≥∞=反过来，{N n n a x f x x E x n ∈∃+≥∈∀∞=},1)(|{1 ，使}1)(|{n a x f x E x +≥∈即E x a na x f ∈>+≥且1)( 故})(|{a x f x E x >∈ 所以 })(|{}1)(|{1a x f x E na x f x E n >⊂+≥⋃∞= 故}1)(|{})(|{1n a x f x E a x f x E n +≥>∞=7．设)}({x f n 是E 上的实函数列，具有极限)(x f ，证明对任意常数a 都有：}1)(|{inf lim }1)(|{inf lim })(|{11k a x f x E k a x f x E a x f x E n n k n n k +<=+≤=≤∞=∞=证明：N ∈∀≤∈∀k a x f x E x },)(|{，即k a a x f 1)(+≤≤，且E x ∈ 因为N n x f x f n n ∈∃=∞→，)()(lim ，使n m ≥∀，有ka x f n 1)(+≤，故，)}(1)(|{n m k a x f x E x m ≥∀+≤∈ 所以∈x }1)(|{ka x f x E m n m +≤≥ }1)(|{k a x f x E x m n m N n +≤∈≥∈ = }1)(|{inf lim ka x f x E m n +≤，由k 的任意性：}1)(|{inf lim 1k a x f x E x n n k +≤∈∞= ，反过来，对于}1)(|{inf lim 1ka x f x E x n n k +≤∈∀∞= ，N k ∈∀，有 }1)(|{inf lim k a x f x E x m n +≤∈= }1)(|{ka x f x E m n m N n +≤≥∈ ，即n m N n ≥∀∈∃，时，有：k a x f m 1)(+≤且E x ∈，所以，ka x f x f m m 1)()(lim +≤≤且E x ∈.∞→k 又令，故 E x a x f ∈≤且)( 从而})(|{a x f x E x ≤∈故 })(|{a x f x E ≤=}1)(|{inf lim 1ka x f x E n n k +≤∞=8． 设)}({x f n 是区间（a ，b ）上的单调递增的序列，即≤≤≤≤)()()(21x f x f x f n若)(x f n 有极限函数)(x f ，证明：R a ∈∀，})({})({1a x f E a x f E n n >⋃=>∞=证明： })({a x f E x >∈∀，即：E x ∈且a x f >)(，因为)()(lim x f x f n n =∞→所以00,n n N n ≥∀∈∃，恒有：E )(∈>x a x f n 且，从而，})({0a x f E x n >∈})({1a x f E n n >⊂∞=反过来，N n a x f E x n n ∈∃>∈∀∞=01},)({ ，使})({0a x f E x n >∈，故0n n ≥∀，因此，a x f x f x f n n n >≥=∞→)()()(lim 0且E x ∈,即，})({a x f E x >∈，从而，})({})({1a x f E a x f E n n >=>∞=10．证明：3R 中坐标为有理数的点是不可数的。
实变函数周民强思考题
实变函数周民强思考题摘要：一、实变函数周民强思考题背景介绍1.实变函数周民强简介2.思考题的意义和作用二、实变函数周民强思考题具体内容1.思考题一a.题目描述b.解题思路与方法c.答案与解析2.思考题二a.题目描述b.解题思路与方法c.答案与解析3.思考题三a.题目描述b.解题思路与方法c.答案与解析三、实变函数周民强思考题的启示与意义1.对实变函数学习的帮助2.对提高学生思考能力的促进3.对我国数学教育的积极影响正文：实变函数周民强思考题是针对实变函数这门课程而设计的一系列思考题目，由我国著名数学家周民强教授编写。
这些思考题旨在帮助学生更好地理解实变函数的基本概念、方法和应用，提高学生的独立思考能力和解决问题的能力。
以下是实变函数周民强思考题中的三个具体题目及其解答：思考题一：设f(x) 在区间[a, b] 上连续，证明f(x) 在[a, b] 上可积。
解答：a.题目描述：证明f(x) 在区间[a, b] 上连续时，f(x) 在[a, b] 上可积。
b.解题思路与方法：通过使用实数延拓定理，将连续函数的性质扩展到可积函数的范围内。
c.答案与解析：根据实数延拓定理，我们可以找到一个可积函数g(x)，使得g(x) 在[a, b] 上等于f(x)，从而证明f(x) 在[a, b] 上可积。
思考题二：设f(x) 在区间[a, b] 上可积，证明f(x) 在[a, b] 上连续。
解答：a.题目描述：证明f(x) 在区间[a, b] 上可积时，f(x) 在[a, b] 上连续。
b.解题思路与方法：通过使用可积函数的四则运算性质和连续函数的可积性，将可积函数的性质扩展到连续函数的范围内。
c.答案与解析：根据可积函数的四则运算性质和连续函数的可积性，我们可以得到f(x) 在[a, b] 上连续的结论。
思考题三：证明勒贝格积分与黎曼积分的互化定理。
解答：a.题目描述：证明勒贝格积分与黎曼积分的互化定理。
b.解题思路与方法：通过分析勒贝格积分的定义和黎曼积分的性质，找到它们之间的联系和转换方法。
实变函数习题解答(1)
第一章习题解答1、证明 A (B C)＝(A B) (A C)证明：设x∈A (B C)，则x∈A或x∈(B C)，若x∈A，则x∈A B，且x∈A C，从而x∈(A B) (A C)。
若x∈B C，则x∈B且x∈C，于是x∈A B且x∈A C，从而x∈(A B) (A C)，因此A (B C) ⊂ (A B) (A C) (1)设x∈(A B) (A C)，若x∈A，则x∈A (B C)，若x∈A，由x∈A B 且x∈A C知x∈B且x∈C，所以x∈B C，所以x∈A (B C)，因此(A B) (A C) ⊂ A (B C) (2)由(1)、(2)得，A (B C)＝(A B) (A C) 。
2、证明①A－B＝A－(A B)＝(A B)－B②A (B－C)＝(A B)－(A C)③(A－B)－C＝A－(B C)④A－(B－C)＝(A－B) (A C)⑤(A－B) (C－D)＝(A C)－(B D)(A－B)＝A BA－(A B)＝A C(A B)＝A (CA CB)＝(A CA) (A CB)＝φ (A CB)＝A－B(A B)－B＝(A B) CB＝(A CB) (B CB)＝(A CB) φ＝A－B②(A B)－(A C)＝(A B) C(A C)＝(A B) (CA CC)＝(A B CA) (A B CC)＝φ [A (B CC)]＝A (B－C)③(A－B)－C＝(A CB) CC＝A C(B C)＝A－(B C)④A－(B－C)＝A C(B CC)＝A (CB C)＝(A CB) (A C)＝(A－B) (A C)⑤(A－B) (C－D)＝(A CB) (C CD)＝(A C) (CB CD)＝(A C) C(B D)＝(A C)－(B D)⑥A －(A －B)＝A C(A CB)＝A (CA B)＝(A CA) (A B)＝φ (A B)＝A B3、证明： (A B)－C ＝(A －C) (B －C)A －(B C)＝(A －B) (A －C)证明：(A B)－C ＝(A B) CC＝(A CC) (B CC)＝(A －(A －B) (A －C)＝(A CB) (A CC)＝(A A) (CB CC)＝A C(B C)＝A －(B C)4、证明：s C (∞=1i i A )＝∞=1i s C i A 证明：设x ∈s C (∞=1i i A )，则x ∈∞=1i i A ，于是，i ∀、x ∈i A ，从而x ∈C i A ，所以，x ∈∞=1i C i A ，所以，s C (∞=1i i A )⊂∞=1i s C i A 。
实变函数习题二课后答案
实变函数习题二课后答案实变函数习题二课后答案1. 求下列函数的定义域：a) f(x) = √(4 - x^2)由于根号内的表达式必须大于等于0，所以4 - x^2 ≥ 0。
解这个不等式得到 -2 ≤ x ≤ 2。
因此，函数的定义域为闭区间[-2, 2]。
b) g(x) = 1 / (x - 3)由于分母不能为0，所以x - 3 ≠ 0。
解这个方程得到x ≠ 3。
因此，函数的定义域为实数集合中除去3的所有实数。
c) h(x) = log(x^2 - 5x + 6)由于对数函数的定义域要求x^2 - 5x + 6 > 0。
解这个不等式得到 x < 1 或 x > 5。
因此，函数的定义域为开区间(-∞, 1) 和(5, +∞)。
2. 求下列函数的值域：a) f(x) = x^2 + 2x + 1可以将函数进行完全平方，得到 f(x) = (x + 1)^2。
由于完全平方的结果必为非负数，所以函数的值域为[0, +∞)。
b) g(x) = 1 / (x - 3)由于分母不能为0，所以函数的值域中不存在0。
对于任意非零的y，可以解方程 1 / (x - 3) = y，得到 x = 3 + 1/y。
因此，函数的值域为实数集合中除去0的所有实数。
c) h(x) = log(x^2 - 5x + 6)由于对数函数的值域为实数集合，所以函数的值域为实数集合。
3. 求下列函数的奇偶性：a) f(x) = x^3 - x将函数进行变换，得到 f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x。
由于 f(-x) = -f(x)，所以函数为奇函数。
b) g(x) = x^2 + 1将函数进行变换，得到 g(-x) = (-x)^2 + 1 = x^2 + 1 = g(x)。
由于 g(-x) = g(x)，所以函数为偶函数。
c) h(x) = sin(x)将函数进行变换，得到 h(-x) = sin(-x) = -sin(x)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
=
{x
k=1 N =1 j=N
:
fj (x)
≥
1 k
}
事实上,
设
x0
∈
{x
:
jl→im∞fj (x)
>
0},
则存在
k0,
使
jl→im∞fj (x0 )
≥
1 k0
,
再由数列上极限的定
∞∞
义,
对于任何正整数
N,
存在
nN
≥
N,
使
fnN (x0)
≥
1 k0
,
因此
x0
∈
{x
N =1 j=N
:
fj (x)
≥
1 k0
:
fn(x)
≥
1 2
},
试求集合
lim
n→∞
En.
证:
lim
n→∞
En
=
[a, b]\E.
∀x
∈
[a, b] \ E, ∵
lim
n→∞
fn(x)
=
1, ∴
∃N, ∀ n
≥
N, fn(x)
≥
1 2
,
i.e.
x
∈
En, ∴
x
∈
lim
n→∞
En,
∴
[a,
b]\E
⊂
lim
n→∞
En;
反之,
若
x∈[a,
b]\E,
n=1
n=1
则
p
·
1 n
<
|f (x1) +
f (x2)
+
···+
f (xp)|
≤
M, p
<
nM ,
所以
E1+/n
只含有限个数,
同理
E1−/n
也只含有限个数, 由此可得 E 可数.
8. 设 f (x) 是定义在 R1 上的实值函数. 如果对于任意的 x0 ∈ R1, 必存在 δ > 0, 当 |x − x0| < δ 时, 有 f (x) ≥ f (x0), 试证明集合 E = {y : y = f (x)} 是可数集.
},
∞∞ ∞
从而 x0 ∈{x源自:fj (x)≥
1 k
};
k=1 N =1 j=N
∞∞ ∞
∞∞
相反, 若 x0 ∈
{x
:
fj (x)
≥
1 k
},
则存在
k0
∈
N,
使
x0
∈
{x : fj(x) ≥
k=1 N =1 j=N
N =1 j=N
1 k0
},
因此对任何正整数
N,
都存在
j
≥
N,
使
x0
∈
{x
:
fj (x)
5. 试作开圆 {(x, y) : x2 + y2 < 1} 与闭圆盘 {(x, y) : x2 + y2 ≤ 1} 之间的一一对应.
证一: 任取闭圆盘边界上一点 R, 记圆心为 O, (O, R] 为连接 O 与 R 的线段去掉 O,
(O, R) 为连接 O 与 R 的线段去掉 O 与 R, 由旋转变换易知 (O, R) ∼ (0, 1), (O, R] ∼
开圆与闭圆盘之间一一对应.
6. 设 f (x) 在 (a, b) 上有界. 若 f (x) 是保号的 (即当 f (x0) > (<)0 时, 必有 δ0 > 0, 使 得 f (x) > (<)0(x0 − δ0 < x < x0 + δ0)), 试证明 f (x) 的不连续点集是可数的.
说明: 题目有问题, 反例:
实变函数习题答案
06 级数科院本科 2007-2008 第二学期
习题 1
第一组
1.
设
{fj (x)}
是定义在
Rn
上的函数列,
试用点集
{x
:
fj (x)
≥
1 k
}
(j, k
=
1, 2, · · · )
表示
点集 {x : jl→im∞fj(x) > 0}.
∞∞ ∞
证:
{x
:
jl→im∞fj (x)
>
0}
∵
lim
n→∞
fn(x)
=
0,
∴
∃N,
∀
n
≥
N,
fn(x)
<
1 2
,
i.e.
x∈En,
∴
x∈nl→im∞En,
∴
nl→im∞En
⊂
[a,
b]
\
E.
∴
lim
n→∞
En
=
[a,
b]
\
E.
3. 设有集合列 {An}, {Bn}, 试证明:
(i)nl→im∞(An Bn) = nl→im∞An
nl→im∞Bn ;
≥
1 k0
},
即
fj (x0 )
≥
1 k0
,
所
以
jl→im∞fj (x0 )
≥
1 k0
>
0,
即
x0
∈
{x
:
jl→im∞fj (x)
>
0}.
2.
设
{fn(x)}是定义在
[a, b]
上的函数列,E
⊂
[a, b]
且有
lim
n→∞
fn
(x)
=
χ[a,b]\E(x), x
∈
[a, b].
若令
En
=
{x
∈
[a, b]
(0, 1], ∵ (0, 1) ∼ (0, 1], ∴ (O, R) ∼ (O, R]; 再将 O 对应到 O, 就可得到开圆与闭圆盘之间的
一一对应.
∞
∞
证二:
记
An
=
{(x, y)
:
x2 + y2
=
1 n2
},
E1
=
An, E2 =
An, 开圆为 M , 闭圆盘
n=1
n=2
为 N ; ∵ {An}∞ n=1 ∼ {An}∞ n=2, 且任意两个同心圆对等, ∴ E1 ∼ E2; 又 ∵ M \ E2 = N \ E1, ∴
(ii) nl→im∞(An
Bn) =
lim
n→∞
An
证: 略.
lim
n→∞
Bn
.
4. 设 f : X → Y, A ⊂ X, B ⊂ Y, 试问下列等式成立吗? (i)f −1(Y \ B) = f −1(Y ) \ f −1(B);
(ii)f (X \ A) = f (X) \ f (A).
1
证: (i) 成立. (ii)f (A) f (Ac) = ∅ 时等式不成立.
1, x ∈ (a, b) Q, f (x) =
2, x ∈ (a, b) \ Q.
7. 设 f (x) 是定义在 [0, 1] 上的实值函数, 且存在常数 M , 使得对于 [0, 1] 中任意有
限个数 : x1, x2, · · · , xn, 均有 |f (x1) + f (x2) + · · · + f (xn)| ≤ M , 试证明下述集合是可数 集 : E = {x ∈ [0, 1] : f (x) = 0}.
∞
证:
令 a > 0,
记
Ea+
= {x ∈ [0, 1] :
∞
f (x) > a}, Ea−
= {x ∈ [0, 1] : f (x) < −a};
则
E
=
{x
∈
[0, 1]
:
|f (x)|
>
1 n
}
=
(E1+/n E1−/n); ∀ n, 取 E1+/n 中的 p 个数 x1, x2, · · · , xp,
证: 取 y ∈ E, 则 ∃ x ∈ R1, s.t.f (x) = y; 由题意, ∃δx > 0, s.t.f (z) ≥ f (x), z ∈ (x − δx, x + δx); 取有理数 rx, Rx, 满足 x − δx < rx < x < Rx < x + δx, 如此就建立了 y 与 (rx, Rx) 的映射 f ; 令 y1, y2 ∈ E, y1 = y2, ∃ x1, x2 ∈ R1, s.t. f (x1) = y1, f (x2) = y2; 若 (rx1, Rx1) = (rx2, Rx2), 由题意, f (x1) ≥ f (x2), f (x2) ≥ f (x1), 即 f (x1) = f (x2), 矛盾; 故 映射 f 是单射; {(rx, Rx) : x ∈ R1, ∃y ∈ E, s.t.f (x) = y} ⊂ Q2, 因此 E 是可数集.