专题分类与整合思想

专题 分类与整合思想

适用学科 高中数学 适用年级

高中三年级 适用区域 苏教版

课时时长（分钟）

120

知识点

由数学概念而引起的分类讨论 由数学运算要求而引起的分类讨论

由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论 由图形的不确定性而引起的分类讨论 由参数的变化而引起的分类讨论

教学目标 掌握分类与整合思想，学会应用 教学重点 利用分类与整合思想求解问题 教学难点

利用分类与整合思想求解问题

教学过程

一、复习预习

在解答某些数学问题时，有时需要对各种情况进行分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类与整合的思想．分类讨论体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．

二、知识讲解

考点1 由数学概念、运算引起的分类讨论 考点2 由图形或图象引起的分类讨论 考点3 由参数引起的分类讨论

三、例题精析

【例题1】

【题干】函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

sin (πx 2

)，－1

e x －1

，x ≥0，若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为

________

【例题2】

【题干】 设F 1、F 2为椭圆x 29＋y 2

4＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点，已知P 、F 1、F 2是一

个直角三角形的三个顶点，且||PF 1＞||PF 2.求||

PF 1||

PF 2的值．

【例题3】

【题干】 已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋1.讨论函数f (x )的单调性．

四、课堂运用

【基础】 1.

【题干】已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n －1(p 是常数)，则数列{a n }是

( )

A ．等差数列

B ．等比数列

C ．等差数列或等比数列

D ．以上都不对 2.

【题干】若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合是 __________

【题干】 已知m ∈R ，求函数f (x )＝(4－3m )x 2－2x ＋m 在区间[0,1]上的最大值．

4.

【题干】 是否存在非零实数a ，使函数f (x )＝ax 2＋(a －2)x ＋1在[－2,3]上的最大值为3

4？若

存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由． 5.

【题干】(2013·安徽)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

【巩固】 1.

【题干】(2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直

线y ＝2x 上，则cos 2θ等于

________

【题干】(2012·四川)函数y ＝a x －1

a

(a >0，且a ≠1)的图象可能是

( )

3.

【题干】(2013·天津)已知函数f (x )＝x (1＋a |x |)．设关于x 的不等式f (x ＋a )

⎣⎡⎦⎤－12，12⊆A ，则实数a 的取值范围是_________ 【拔高】 1.

【题干】(2012·北京)已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx .

(1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值； (2)当a 2＝4b 时，求函数f (x )＋g (x )的单调区间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．

【题干】函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是 ( )

A ．[0,1]

B ．(0,4)

C ．[4，＋∞)

D ．[0,4

3.

【题干】中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1都相切，

则双曲线C 的离心率是

( )

A.3或6

2

B ．2或 3 C.233

或2

D.233或62

课程小结

1． 分类的原则是：(1)分类的对象确定，标准统一；(2)不重复，不遗漏；(3)分层次，不越

级讨论．

2． 中学数学中可能引起分类讨论的因素：

(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线与平面所成的角、直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等．

(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n }的前n 项和公式等．

(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等． (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等．

(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等． 总之，分类讨论要明确讨论的原因和对象，确定讨论标准，最后要对讨论进行总结；可以不分类的就不要分类讨论．

课后作业

【基础】 1.

【题干】直线l 1：kx ＋(1－k )y －3＝0和l 2：(k －1)x ＋(2k ＋3)y －2＝0互相垂直，则k ＝________.