2012年高考文科数学试题分类汇编--导数

2012高考文科试题解析分类汇编：导数

1.【2012高考重庆文8】设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是

【答案】C

【解析】：由函数()f x 在2x =-处取得极小值可知2x <-，()0f x '<，则()0xf x '>；

2x >-，()0f x '>则20x -<<时()0xf x '<，0x >时()0xf x '>

【考点定位】本题考查函数的图象，函数单调性与导数的关系，属于基础题． 2.【2012高考浙江文10】设a ＞0，b ＞0，e 是自然对数的底数

A. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＞b

B. 若e a +2a=e b +3b ，则a ＜b

C. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＞b

D. 若e a -2a=e b -3b ，则a ＜b 【答案】A

【命题意图】本题主要考查了函数复合单调性的综合应用，通过构造法技巧性方法确定函数的单调性. 【解析】若

23a

b

e a e b

+=+，必有

22a b

e a e b

+>+．构造函数：()2x

f x e

x =+，则()20x

f x e '=+>恒成立，故有函数()2x f x e x =+在x ＞0上单调递增，即a ＞b 成立．其余

选项用同样方法排除．

3.【2012高考陕西文9】设函数f （x ）=2x

+lnx 则 （ ）

A ．x=

12

为f(x)的极大值点 B ．x=12

为f(x)的极小值点

C ．x=2为 f(x)的极大值点

D ．x=2为 f(x)的极小值点 【答案】D.

【解析】()2

2

212'x f x x

x

x

-=-

+

=

，令()'0f x =，则2x =．

当2x <时，()2

2

212'0x f x x x x -=-+=<； 当2x >时，()2

2212'0x f x x

x x

-=-

+=>．

即当2x <时，()f x 是单调递减的；当2x >时，()f x 是单调递增的． 所以2x =是()f x 的极小值点．故选D ． 4.【2012高考辽宁文8】函数y=

12

x 2-㏑x 的单调递减区间为

（A ）（-1,1] （B ）（0,1] （C.）[1，+∞） （D ）（0，+∞） 【答案】B

【命题意图】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间，属于中档题。 【解析】2

11ln ,,00,02

y x x y x y x x x x

''=-∴=-

>∴< 由≤，解得-1≤≤1,又≤1,故

选B

5.【2102高考福建文12】已知f （x ）=x ³-6x ²+9x-abc ，a ＜b ＜c ，且f （a ）=f （b ）=f （c ）=0.现给出如下结论： ①f （0）f （1）＞0；②f （0）f （1）＜0；③f （0）f （3）＞0；④f （0）f （3）＜0. 其中正确结论的序号是

A.①③

B.①④

C.②③

D.②④ 【答案】C ．

考点：导数。 难度：难。

分析：本题考查的知识点为导数的计算，零点问题，要先分析出函数的性质，结合图形来做。

解答：c b a abc x x x x f <<-+-=,96)(2

3

， 9123)('2+-=x x x f

)

3)(1(3)34(32--=+-=x x x x

导数和函数图像如下：

由图04961)1(>-=-+-=abc abc f ，

0275427)3(<-=-+-=abc abc f ，

且0)3()0(<=-=f abc f ， 所以0)3()0(,0)1()0(<>f f f f 。

6.【2012高考辽宁文12】已知P,Q 为抛物线x 2=2y 上两点，点P,Q 的横坐标分别为4，-2，过P,Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为 (A) 1 (B) 3 (C) -4 (D) -8 【答案】C

【命题意图】本题主要考查利用导数求切线方程的方法，直线的方程、两条直线的交点的求法，属于中档题。

【解析】因为点P ，Q 的横坐标分别为4，-2，代人抛物线方程得P ，Q 的纵坐标分别为8,2.由2

2

12,,,2

x y y x y x '==

∴=则所以过点P ，Q 的抛物线的切线的斜率分别为4，-2，所以

过点P ，Q 的抛物线的切线方程分别为48,22,y x y x =-=--联立方程组解得1,4,x y ==-故点A 的纵坐标为-4

【点评】曲线在切点处的导数即为切线的斜率，从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起，这是写出切线方程的关键。

7.【2012高考新课标文13】曲线y =x (3ln x +1)在点)1,1(处的切线方程为________ 【答案】34-=x y

)

x (

【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程，是简单题.

【解析】∵3ln 4y x '=+，∴切线斜率为4，则切线方程为：430x y --=.

8.【2012高考上海文13】已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ，其中(0,0)A 、1

(,1)2B 、

(1,0)C ，函数()y xf x =（01x ≤≤）的图像与x 轴围成的图形的面积为

【答案】

4

1。

【解析】根据题意，得到12,02

()122,12

x x f x x x ⎧

≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤⎪⎩ ，

从而得到⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧≤+-≤≤==121,222

10,2)(22x x x x x x xf y 所以围成的面积为

4

1)22(21

2

12

2

1

=

+-+

=

⎰

⎰

dx x x xdx S ，所以围成的图形的面积为

4

1 .

【点评】本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大. 9【2102高考北京文18】（本小题共13分）

已知函数f(x)=ax 2+1(a>0),g(x)=x 3+bx 。

若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b 的值； 当a=3,b=-9时，若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k 的取值范围。

【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目，考醒的切线、单调性、极值以及最值问题都是果本中要求的重点内容。也是学生掌握比较好的知识点，在题目占能够发现

(3)28F -=和分析出区间[,2]k 包含极大值点13x =-，比较重要。

解：（1）()2f x ax '=，2()=3g x x b

'+.因为曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点()

1c ，处具有公共切线，所以

(1)(1)f g =，(1)(1)f g ''=．

即11a b +=+且23a b =+．解得3,3a b == （2）记()()()h x f x g x =+

当3,9a b ==-时，32()391h x x x x =+-+，2

()369h x x x '=+- 令()0h x '=，解得：13x =-，21x =；

()h x 与()h x '在(,2]-∞上的情况如下：