2012年高考文科数学试题分类汇编--导数
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2012高考文科试题解析分类汇编:导数
1.【2012高考重庆文8】设函数()f x 在R 上可导,其导函数()f x ',且函数()f x 在2x =-处取得极小值,则函数()y xf x '=的图象可能是
【答案】C
【解析】:由函数()f x 在2x =-处取得极小值可知2x <-,()0f x '<,则()0xf x '>;
2x >-,()0f x '>则20x -<<时()0xf x '<,0x >时()0xf x '>
【考点定位】本题考查函数的图象,函数单调性与导数的关系,属于基础题. 2.【2012高考浙江文10】设a >0,b >0,e 是自然对数的底数
A. 若e a +2a=e b +3b ,则a >b
B. 若e a +2a=e b +3b ,则a <b
C. 若e a -2a=e b -3b ,则a >b
D. 若e a -2a=e b -3b ,则a <b 【答案】A
【命题意图】本题主要考查了函数复合单调性的综合应用,通过构造法技巧性方法确定函数的单调性. 【解析】若
23a
b
e a e b
+=+,必有
22a b
e a e b
+>+.构造函数:()2x
f x e
x =+,则()20x
f x e '=+>恒成立,故有函数()2x f x e x =+在x >0上单调递增,即a >b 成立.其余
选项用同样方法排除.
3.【2012高考陕西文9】设函数f (x )=2x
+lnx 则 ( )
A .x=
12
为f(x)的极大值点 B .x=12
为f(x)的极小值点
C .x=2为 f(x)的极大值点
D .x=2为 f(x)的极小值点 【答案】D.
【解析】()2
2
212'x f x x
x
x
-=-
+
=
,令()'0f x =,则2x =.
当2x <时,()2
2
212'0x f x x x x -=-+=<; 当2x >时,()2
2212'0x f x x
x x
-=-
+=>.
即当2x <时,()f x 是单调递减的;当2x >时,()f x 是单调递增的. 所以2x =是()f x 的极小值点.故选D . 4.【2012高考辽宁文8】函数y=
12
x 2-㏑x 的单调递减区间为
(A )(-1,1] (B )(0,1] (C.)[1,+∞) (D )(0,+∞) 【答案】B
【命题意图】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间,属于中档题。 【解析】2
11ln ,,00,02
y x x y x y x x x x
''=-∴=-
>∴< 由≤,解得-1≤≤1,又≤1,故
选B
5.【2102高考福建文12】已知f (x )=x ³-6x ²+9x-abc ,a <b <c ,且f (a )=f (b )=f (c )=0.现给出如下结论: ①f (0)f (1)>0;②f (0)f (1)<0;③f (0)f (3)>0;④f (0)f (3)<0. 其中正确结论的序号是
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④ 【答案】C .
考点:导数。 难度:难。
分析:本题考查的知识点为导数的计算,零点问题,要先分析出函数的性质,结合图形来做。
解答:c b a abc x x x x f <<-+-=,96)(2
3
, 9123)('2+-=x x x f
)
3)(1(3)34(32--=+-=x x x x
导数和函数图像如下:
由图04961)1(>-=-+-=abc abc f ,
0275427)3(<-=-+-=abc abc f ,
且0)3()0(<=-=f abc f , 所以0)3()0(,0)1()0(<>f f f f 。
6.【2012高考辽宁文12】已知P,Q 为抛物线x 2=2y 上两点,点P,Q 的横坐标分别为4,-2,过P,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点A ,则点A 的纵坐标为 (A) 1 (B) 3 (C) -4 (D) -8 【答案】C
【命题意图】本题主要考查利用导数求切线方程的方法,直线的方程、两条直线的交点的求法,属于中档题。
【解析】因为点P ,Q 的横坐标分别为4,-2,代人抛物线方程得P ,Q 的纵坐标分别为8,2.由2
2
12,,,2
x y y x y x '==
∴=则所以过点P ,Q 的抛物线的切线的斜率分别为4,-2,所以
过点P ,Q 的抛物线的切线方程分别为48,22,y x y x =-=--联立方程组解得1,4,x y ==-故点A 的纵坐标为-4
【点评】曲线在切点处的导数即为切线的斜率,从而把点的坐标与直线的斜率联系到一起,这是写出切线方程的关键。
7.【2012高考新课标文13】曲线y =x (3ln x +1)在点)1,1(处的切线方程为________ 【答案】34-=x y
)
x (
【命题意图】本题主要考查导数的几何意义与直线方程,是简单题.
【解析】∵3ln 4y x '=+,∴切线斜率为4,则切线方程为:430x y --=.
8.【2012高考上海文13】已知函数()y f x =的图像是折线段ABC ,其中(0,0)A 、1
(,1)2B 、
(1,0)C ,函数()y xf x =(01x ≤≤)的图像与x 轴围成的图形的面积为
【答案】
4
1。
【解析】根据题意,得到12,02
()122,12
x x f x x x ⎧
≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤⎪⎩ ,
从而得到⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧≤+-≤≤==121,222
10,2)(22x x x x x x xf y 所以围成的面积为
4
1)22(21
2
12
2
1
=
+-+
=
⎰
⎰
dx x x xdx S ,所以围成的图形的面积为
4
1 .
【点评】本题主要考查函数的图象与性质,函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图形中的运用.突出体现数形结合思想,本题综合性较强,需要较强的分析问题和解决问题的能力,在以后的练习中加强这方面的训练,本题属于中高档试题,难度较大. 9【2102高考北京文18】(本小题共13分)
已知函数f(x)=ax 2+1(a>0),g(x)=x 3+bx 。
若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b 的值; 当a=3,b=-9时,若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28,求k 的取值范围。
【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目,考醒的切线、单调性、极值以及最值问题都是果本中要求的重点内容。也是学生掌握比较好的知识点,在题目占能够发现
(3)28F -=和分析出区间[,2]k 包含极大值点13x =-,比较重要。
解:(1)()2f x ax '=,2()=3g x x b
'+.因为曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点()
1c ,处具有公共切线,所以
(1)(1)f g =,(1)(1)f g ''=.
即11a b +=+且23a b =+.解得3,3a b == (2)记()()()h x f x g x =+
当3,9a b ==-时,32()391h x x x x =+-+,2
()369h x x x '=+- 令()0h x '=,解得:13x =-,21x =;
()h x 与()h x '在(,2]-∞上的情况如下: