流体力学教材

第4章流体动力学基本定理及其应用第2章我们研究了静止流体中的压力分布及流体对物体的作用力，但没有涉及运动问题；第3章我们从几何的观点研究了流体的运动，但没有讨论运动发生的原因。本章将应用力学基本定律建立流体运动的动力学方程，从而揭示流体的运动和力之间的关系。

4.1输运公式

在介绍运输公式之前先说明系统和控制体的概念。

4.1.1系统和控制体

1.系统

由确定的流体质点组成的流体团或有限的流体体积称为系统。系统和外界的分界面称为系统的边界面。系统具有如下特征：

b5E2RGbCAP

<1）系统是运动流体质点的集合，系统的体积和边界面的形状可以随时间变化；

<2）系统边界上没有质量的输入和输出，系统内的质量不变，但有动量和能量的变化；

<3）系统边界面上有力的相互作用。

系统内物理量的总和对时间的变化率称为系统导数，用Dt

D 表示。

例如，系统总质量为⎰⎰⎰=)

(d t V V M ρ，则它的系统导数为

⎰⎰⎰=)

(d t V V Dt

D

Dt DM ρ<4.1.1）

由于系统的体积V ( t >随时间而变，故微分号不能直接移到积分号的内部。

2.控制体

被流体流过的，相对于选定的坐标系固定不变的空间体积称为控制体。控制体的边界面称为控制面。控制体具有如下特征：p1EanqFDPw <1）控制体的几何外形和体积相对于选定的坐标系是固定不变的； <2）控制面上可以有流体的流入、流出，有质量、动量和能量的交换；

<3）控制面上有力的相互作用。

控制体内某物理量的总和对时间的变化率称为控制体的局部导数，用t

∂∂表示。例如，控制体内的总质量为⎰⎰⎰=V

V M d ρ，则它的局部导

数为DXDiTa9E3d ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂∂=∂∂V V V t

V t d d ρρ<4.1.2） 由于控制体的体积V 与时间无关，故微分号可直接移到积分号的内部。

4.1.2输运公式

我们知道，经典力学定律是建立在固定对象上的，因此流体力学中这些定律应建立在系统上。但是，由于流体的流动性，系统的体积和边界面形状不断变化，不利于实际应用。为此，需要将建立在系统上的定律方程转换到具有固定体积的控制体上，这就是下面要介绍的输运公式。RTCrpUDGiT 定理任一瞬时系统内物理量Q 随时间的变化率等于该瞬时同形状、同体积控制体内物理量的变化率与通过控制面S 的输运量之和5PCzVD7HxA ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅+∂∂=S

V t V S Q V t Q

V Q Dt D d )(d d )(n v <4.1.3） 这就是系统导数的Euler 表达式，通常称它为输运公式。等号右端第二项积分为物理量通过控制面的输运量。Q 可以是标量也可以是

图4.1.1 通过控制体的流动

矢量。当ρ=Q 时表示单位时间内通过S 的质量；当v ρ=Q 时表示单位时间内通过S 的动量。jLBHrnAILg 证明如图4.1.1所示，t 时刻体积为V ( t >的系统经历∆t 时间后运动到新的位置，系统边界面S(t>变为S )(t t ∆+，体积变为V ( t +

∆t > = V ( t > + ∆V ( t >，其中∆V ( t >为体积变化量。根据系

统导数定义有xHAQX74J0X ⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡

-∆+∆=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∆+→∆)()(0(d ),(d ),(1lim d t V t t V t t V V t Q V t t Q t V Q Dt

D r r <4.1.4） 将上式右端第一项的积分域分解为V ( t >和∆V ( t >两部分，然后与第二项积分相加得

dV

t t Q t V t Q V

t t Q t V t Q t t Q t V Q Dt

D

t V t t V t V t t V t t V ),(1

lim d d ),(1lim d )],(),([1lim

d )

(0)()

(0)(0)

(⎰⎰⎰⎰⎰⎰

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∆→∆∆→∆→∆∆+∆+∂∂=∆+∆+-∆+∆=r r r r <4.1.5）

上式等号右端第二项∆V ( t >是∆t 时间内系统体积的变化，也就是

t 和t t ∆+时刻系统边界面变化引起的体积变化。若设t 时刻边界面

)(t S <即流体质点）的运动速度为v ，则经过∆t 时间面积)(t S 上的微

元面积ds 运动引起的体积变化为LDAYtRyKfE ()dV tdS =⋅⋅∆v n (4.1.6>

其中n 为微元面积的法向量。当0>⋅n v 时，0d >V ；当0<⋅n v 时，

0d

求极限，即证得输运公式<4.1.3）。Zzz6ZB2Ltk 需要指出，系统和控制体分别是Lagrange 和Euler 表示法的概念，输运公式正是将Lagrange 型的系统导数表示成Euler 型，在表达形式上与质点导数相类似。dvzfvkwMI1下面首先在系统上建立动力学平衡方程，给出流体力学的Euler 运动微分方程，揭示流体运动速度和压力之间的变化规律，然后利用输运公式，给出控制体上的动力学平衡方程,即流体力学的动量方程。rqyn14ZNXI 4.2 欧拉运动微分方程

欧拉

二定律应用于理想流体运动的方程，它

是理想流体运动的基本微分方程。EmxvxOtOco 1.Euler 运动微分方程

如图4.2.1所示，在理想流体中任取一系统，其体积为V ，边界面积为S ，n 为S 的单位外法向量。该系统受到的质量力和压力合力分别为SixE2yXPq5